Chuyên đề dao động cơ học

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
1

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - CON LẮC LÒ XO
LÝ THUYẾT.
1. Phương trình dao động điều hòa:
os( t+ )
x Ac
 


Trong đó :
; ; onst
A c
 


+
x
: là li độ của dao động (
0 or 0
x x
 
).
+
A
: biên độ dao động (
A
> 0).

+
( )
t
 

: pha dao động tại thời điểm t. Đơn vị là rađian (rad).
+

: pha ban đầu của dao dộng. Đơn vị là rađian (rad).
+

: tần số góc hay tốc độ góc.
+ Mối liên hệ giữa tốc độ góc

, chu kỳ
T
và tần số
f
:


2
2
f
T

 
 



2
2
m
T
k



 


k
m



1 1
2 2
k
f
T m

 
  


2. Vận tốc của vật dao động điều hòa:
' sin( t+ )
v x A

  
  

+
min
0
v

: khi vật ở vị trí biên (
x A
 
).
+
axm
v A


: khi vật ở vị trí cân bằng (
0
x

).
3. Gia tốc của vật dao động điều hòa:
2 2
' " os( t+ )
a v x Ac x
   
     

+

0
a

khi
0
x

và
0
F





+
2
axm
a A


: khi vật ở 2 vị trí biên (
x A
 
).
4. Lực kéo về ( lực phục hồi) của lò xo:
F k x

;
5. Lực đàn hồi:

F k l
 

6. Động năng của con lắc lò xo:
2 2 2 2
d
1 1
W sin ( )
2 2
mv m A t
  
  

7. Thế năng của con lắc lò xo:
2 2 2
t
1 1
W os ( )
2 2
kx kA c t
 
  

8. Cơ năng của con lắc lò xo:
2 2 2
d t
1 1
W W W onst
2 2
kA m A c


    


2 2 2
0d 0t
1 1
W W W
2 2
kA m A

   

8. Mối liên hệ giữa
, , ,
A v x

:
2
2 2
2
v
A x

 

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
2

CHỦ ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC ĐIỂM DAO ĐÔNG ĐIỀU HÒA.
(
, , , , , , , , , ,
A T f v a t x s F

).
1. Tìm A.
a. Cho chiều dài quỹ đạo: P’ P
- A O A

2 '
A PP d
 



'
2 2
PP d
A
 

+ Cho quãng đường đi được trong một chu kỳ: S

T
= 4A

4
T
S
A 

b. Cho phương trình dao động: VD:
6 os(10 t+ )
x c
 

cm

A = 6 cm.
c. Cho điều kiện ban đầu ( t = 0 ):

0:
t

+
0
2
2 os cos = 0
A
x Ac
 
   
(1)

+
0
0 sin sin 0 0,
v A
    
      
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta lấy
0




A = 2
- Nếu
0
0
v

thì
0
A x
 ; - Nếu
0
0
v

thì
0
A x


d. Thông qua cơ năng:
2
2
2
v
A x

 

2. Tìm

:
a. Cho phương trình dao động: VD:
6 os(10 t+ )
x c
 

cm


10
 

rad/s.
b. Cho tại vị trí cân bằng lò xo dãn
0
l

,cho g:

0
k g
m l

 


c. Cho vận tốc cực đại:
ax
ax
A
m
m
v
v A
 
  

d. Cho cơ năng W:
2 2
1 1 2W
W
2
m A
A m
 
  

3. Tìm T:
0

2 1
2 2
l
m
T
f k g

 


   

4. Tìm f:
0
1 1 1
2 2 2
k g
f
T m l

  
   


5. Tìm

: a. Cho phương trình dao động: VD:
6 os(10 t+ )
x c
 


cm

 

rad.
b. Dựa vào điều kiện ban đầu: t = 0.
6. Tìm vận tốc v :


.sinv A t
  
  
hay
2 2
v A x

  

+ Vân tốc trung bình:
S
v
t

, S là quãng đường vật đi được trong thời gian t.
+ VD: vận tốc vật đi được trong một chu kỳ:
4
S A
v
T T

 


Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
3

7. Tìm gia tốc a :


2 2
' " . os t +
a v x x Ac
   
     

+
2
axm
a A x A

  
: ở 2 vị trí biên (
x A
 
).
+
min
0 0

a x
  
: ở vị trí cân bằng.
8. Tìm (t):
a. tìm những thời điểm khi vật có li độ x.
Cho
os( t+ )
x Ac
 



t
( chú ý: lấy hết các nghiệm và cộng với giá trị tuần hoàn
.2
k

với k є z ).
b. tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm này đến điểm kia: M đến N (lấy hết nghiệm và
không cộng với giá trị tuần hoàn).
* Chú ý:
+ Nếu M trùng với gốc thời gian của phương trình dao động thì khi đó ta không phải tính lại
góc

và cho


. os t+
N
x A c t

 
 
( không cộng với giá trị tuần hoàn).

– A O N + A
M v
0

+ Nếu M không trùng với gốc thời gian của phương trình dao động thì ta phải chọn lại gốc thời
gian để tính.
9. Tìm quãng đường đi được trong thời gian t:
Lập tỉ số
t
n x
T
 
( với x < ¼ )


t nT xT
t nT xT S S S
     ,
với
4
nT
S nA
 ,


xT

S os +
x Ac xT
 
 
.
10. Tìm lực tác dụng F:
+ Lực đàn hồi luôn có chiều ngược với chiều biến dạng và có độ lớn
dh
.
F k l
 

k : độ cứng hay hệ số đàn hồi,
l

: độ biến dạng của vật.
+ Lực phục hồi: là lực lấy lại vị trí cân bằng. Độ lớn
F k x
 .
 Chú ý : F
dh
và F
ph
như nhau khi tại vị trí cân bằng lò xo không biến dạng.
+ Lực tác dụng lên vật :
.
hl
F m a

F

hl
= 0 khi a = 0 ( vật ở VTCB).
F
dh
lớn nhất khi vật ở vị trí biên dương (
x A
 
):

ax
.
dh m
F m A
 .
+ Tìm lực tác dụng lên điểm treo hay giá đỡ.
Với những bài toán liên quan đến lực:
- Trước hết xem lực cần tìm là lực gì.
- Xét vật ở thời điểm t bất kỳ có li độ là x.
- Viết phương trình định luật II niutơn cho vật:
1 2 3
F .
F F m a
   
  

(1).
- Chọn hệ quy chiếu ( hệ trục tọa độ), chiếu phương trình (1) lên hệ quy chiếu đã chọn, đưa về
phương trình vô hướng rút lực cần tìm trong hợp lực và thay
2
a x


 
, biện luận lực đó theo x.

VD: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên được gắn cố định vào điểm I, đầu dưới treo vật có khối
lượng m. Biết vật dao động điều hòa. Khi nào vật tác dụng lên điểm I lớn nhất và nhỏ nhất.

BG
Lực tác dụng lên điểm treo I có độ lớn bằng độ lớn của lực đàn hồi

và có chiều ngược với chiều của
lực đàn hồi tác dụng lên vật.
Xét vật m tại thời điểm t vật có li độ x.
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
4

Phương trình định luật II niutơn cho vật:
.
dh
P F m a
 
 

(1).
Chọn trục tọa độ trùng với phương thẳng đứng chiều dương hướng từ trên xuống dưới.
Chiếu (1) lên trục tọa độ ta được :
2
. .

dh dh
P F m a F P m a k l m x

       

Hay
2 2 2
( ) ( )
dh
F m l m x m l x k l x
  
        

Biện luận F
dh
theo x:
F
dh
lớn nhất khi x = +A : F
dh max
=
( )
k l A
 

F
dh
nhỏ nhất :
- nếu
A l

 
thì F
dh min
khi
x l
 


F
dh min
= 0.
- nếu
A l
 
thì F
dh min
khi
x A
 


F
dh min
=
( )
k l A
 


VẬN DỤNG:

1. Một vật có khối lương m = 100g dao động điều hòa theo phương trình:
2
5 os(4 )
3
x c t


  cm.
a. Xác định vị trí và chiều chuyển động ban đầu.
b. Xác định biên độ, chu kì, tần số và pha dao động ban đầu.
c. Tính giá trị lớn nhất của vận tốc, lực kéo về. Vật đạt các giá trị trên khi nó ở vị trí nào?
2. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
3
6 os(8 )
4
x c t


  cm.
a. Xác định tần số và pha dao động ban đầu.
b. Xác định vận tốc và gia tốc của vật vào thời điểm t = 1,25s. Lúc này, vật chuyển động nhanh dần
hay chậm dần? Tại sao?
3. Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau:
a.
5 os 1
x c t

 
cm. b.
2

2sin (2 )
6
x t


  cm. c.
3sin5 3cos5
x t t
 
 
cm.
Chứng mình rằng những chuyển động trên đều là dao động điều hòa. Xác định biên độ, tần số, pha ban
đầu và vị trí cân bằng của các dao động đó.
4. Một vật khối lượng 100g, dao động điều hòa theo phương trình:
5 os(2 )
6
x c t


  cm. Lấy
2

=10.
Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về trong các trường hợp sau:
a. Ở thời điểm t = 5s. b. Khi pha dao động là 120
0
.
5. Chọn phương trình biểu thị cho dao động điều hòa:
A.
 



os
t
x A c t
 
 
cm B.
 


os
t
x Ac t
 
 
cm
C.


os
x Ac t b
 
  
cm D.


os
x Ac t bt


 
cm
6. Phương trình dao động của vật có dạng:
sin
x A t


cm. Pha ban đầu của dao động là:
A. 0 B.
2


c.

D.
2


7. Phương trình dao động có dạng:
os
x Ac t


cm. Gốc thời gian là lúc vật:
A. ở vị trí biên dương x = A. B. ở vị trí biên âm x = -A.
C. đi qua VTCB theo chiều dương. D. đi qua VTCB theo chiều âm.
8. Trong các phương trình sau, phương trình nào không biểu thị cho dao động điều hòa:
A.
5 os t + 1
x c



cm B.
3 os(100 t+ )
6
x tc


 cm
C.
2
2sin (2 t+ )
6
x


 cm D.
3sin5 3 os5 t
x t c
 
 
cm
dh
F


P


I

m

x

o

x

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
5

9. Phương trình dao động của vật có dạng:
2
sin ( t+ )
4
x A



cm. Chọn kết luận đúng.
A. Vật dao động với biên độ
2
A
B. Vật dao động với biên độ
A

C. Vật dao động với biên độ

2
A
D. Vật dao động với pha ban đầu
4


10. Phương trình dao động của vật có dạng:
sin5 os5 t
x A t Ac
 
 
cm. Biên độ dao động của vật là:
A.
2
A
B.
A
C.
2
A
D.
3
A

11. Phương trình dao động của vật có dạng:
os( t+ )
3
x Ac




cm. Gốc thời gian là lúc vật có:
A. li độ
2
A
x

, chuyển động theo chiều dương. B. li độ
2
A
x

, chuyển động theo chiều âm.
C. li độ
2
A
x
 
, chuyển động theo chiều dương. D. li độ
2
A
x
 
, chuyển động theo chiều âm.
12. Dưới tác dụng của một lực có dạng:
0,8cos(5 )
2
F t

  N. Vật có khối lượng m = 400g, dao động

điều hòa. Biên độ dao động của vật là:
A. 32 cm B. 20 cm C. 12 cm D. 8 cm
13. Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình
10sin(4 t+ )
2
x



cm, với t tính
bằng giây. Động năng của vật đó biến thiên với chu kỳ:
A. 1,00 s B. 1,50 s C. 0,50 s D. 0,25 s
14. Phương trình dao động điều hòa của vột vật có dạng:
5sin(100 )
2
x t


  cm. Chu kì của dao động
là: A. 0,2 s B. 0,02 s C. 0,4 s D. 0,04 s
15. Một vật dao động điều hòa có phương trình dạng:
4 os( )
2
x c t


  cm. Biên độ, chu kỳ, pha ban
đầu của dao động đó là? A. 4 , 2 ,
2
A cm T s



   
B. 4 , 4 ,
2
A cm T s


  

C. 4 , 2 ,
2
A cm T s


  
D. 4 , 4 ,
2
A cm T s


   

16. Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kì T = 0,5s. Phương trình dao động của vật
tại thời điểm t = 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương là:
A.
5 os
x c t



cm B.
5 os(4 )
2
x c t


 
cm C.
5 os4
x c t


D.
5 os(4 )
2
x c t


 
17. Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kì T = 0,5s. Phương trình dao động của vật
tại thời điểm t = 0 khi vật có li độ x = 2,5cm đang chuyển động theo chiều dương là:
A.
5 os(4 )
3
x c t


 
cm B.
5 os(4 )

3
x c t


  cm
C.
5 os(4 )
6
x c t


 
cm D.
5 os(4 )
6
x c t


  cm
18. Một vật thực hiện dao động điều hòa có chu kỳ T = 3,14s và biên độ A = 1cm. Tại thời điểm vật đi
qua VTCB, vận tốc của vật có giá trị:
A. 0,5 cm/s B. 1 cm/s C. 2 cm/s D. 3 cm/s
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
6

CHỦ ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
PHƯƠNG PHÁP:
+ B1: chọn hệ quy chiếu: Trục ox …. . Gốc tọa độ …. . Chiều dương …. . Gốc thời gian …. .

+ B2: phương trình dao động có dạng:
cos( )
x A t
 
 

+ B3: Xác đinh:
, à
A v
 

+ Phương trình vận tốc:
sin( )
v A t
  
  

+ Phương trình gia tốc:
2
cos( )
a A t
  
  

+ Tìm
A
:
- đề cho: x ứng với v:


2
2 2
2
v
A x

 

- nếu v = 0 (buông nhẹ):

A = x.
- nếu v = v
max


x = 0


ax
m
v
A



- đề cho a
max
:

ax

2
m
a
A


.
- đề cho chiều dài quỹ đạo CD: A = CD/2
- đề cho lực F
max
= kA

ax
m
F
A
k


- đề cho l
max
và l
min
của lò xo:

ax min
2
m
l l
A




- đề cho l
cb
và l
max
hoặc l
cb
và l
min


A = l
max
– l
cb
hoặc A = l
cb
– l
min

- đề cho
W
hoặc
max
d
W
hoặc
max

W
t


2
W
A
k

với
max min
2 2 2
d t
1 1
W=W W
2 2
kA m A

  

+ Tìm

:
- mối liên hệ:
2
2
f
T

 

 
- lò xo nằm ngang:
k
m


- lò xo thẳng đứng:
0
k g
m l

 


- hoặc:
ax ax
2 2
A A
m m
a v
v a
x
A x

   


+ Tìm

( thường lấy

  
  
): dựa vào điều kiên ban đầu.
- nếu t = 0: + x = x
0
; v = v
0

Hoặc + v = v
0
; a = a
0

- nếu t = t
1:
1 1
cos( )
x A t
 
 



?


hoặc
2
1 1
cos( )

a A t
  
  

?




1 1
sin( )
v A t
  
  

1 1
sin( )
v A t
  
  


Chú ý: - Vật đi theo chiều dương thì v > 0 ; Vật đi theo chiều âm thì v < 0.
- Trước khi tính

cần xác định rõ

thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác.

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
7

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT:
( Chọn gốc thời gian lúc t = 0 ) là:
+ Lúc vật qua VTCB theo chiều dương (x
0
= 0, v
0
> 0): pha ban đầu
/ 2
 
 

+ Lúc vật qua VTCB theo chiều âm (x
0
= 0, v
0
< 0): pha ban đầu
/ 2
 


+ Lúc vật qua vị rí biên dương (x
0
= A): pha ban đầu
0




+ Lúc vật qua vị rí biên âm (x
0
= -A): pha ban đầu
 


+ Lúc vật qua vị trí x
0
= A/2 theo chiều dương (v
0
> 0): pha ban đầu
/3
 
 

+ Lúc vật qua vị trí x
0
= A/2 theo chiều âm (v
0
< 0): pha ban đầu
/3
 


+ Lúc vật qua vị trí x
0
= -A/2 theo chiều dương (v
0

> 0): pha ban đầu
2 /3
 
 

+ Lúc vật qua vị trí x
0
= -A/2 theo chiều âm (v
0
< 0): pha ban đầu
2 /3
 


+ Lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x 
theo chiều dương (v
0
> 0): pha ban đầu
/ 4
 
 

+ Lúc vật qua vị trí
0
2

2
A
x 
theo chiều âm (v
0
< 0): pha ban đầu
/ 4
 


+ Lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x  
theo chiều dương (v
0
> 0): pha ban đầu
3 / 4
 
 

+ Lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x  
theo chiều âm (v

0
< 0): pha ban đầu
3 /4
 


+ Lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x 
theo chiều dương (v
0
> 0): pha ban đầu
/ 6
 
 

+ Lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x 
theo chiều âm (v
0
< 0): pha ban đầu
/ 6
 



+ Lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x  
theo chiều dương (v
0
> 0): pha ban đầu
5 /6
 
 

+ Lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x  
theo chiều âm (v
0
< 0): pha ban đầu
5 /6
 


VẬN DỤNG
1. Một vật dđ đh với biên độ A = 4cm và chu kì T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo

chiều dương của quỹ đạo. Viết phương trình dao động của vật.
HD: + B1: phương trình dđ có dạng:
cos( )
x A t
 
 

+ B2: biên độ: A = 4cm ; tần số góc:
2 / T
  
 
rad/s.
Tại t = 0:
0
cos 0
x A

 



/ 2
 
 



/ 2
 
 

0
sin 0
v A
 
  

sin 0



+ B3: Vậy phương trình dđ là:
4 cos( / 2)
x t
 
 
cm
2. Một vật dđ đh trên đoạn thẳng dài 4cm với tần số f = 10 Hz. Lúc t = 0 vật qua VTCB theo chiều
dương của quỹ đạo. Viết phương trình dao động của vật.
HD: + B1: phương trình dđ có dạng:
cos( )
x A t
 
 

+ B2: biên độ: A = 4/2 = 2cm ; tần số góc:
2 20
f
  

 
rad/s.
Tại t = 0:
0
cos 0
x A

 


/ 2
 
 



/ 2
 
 


0
sin 0
v A
 
  

sin 0



+ B3: Vậy phương trình dđ là:
2 cos(20 / 2)
x t
 
 
cm
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
8

3. Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số
góc
10
 

rad/s. Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm. Chọn gốc tọa
độ tại VTCB, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất. Viết phương
trình dao động của vật.
HD: + B1: phương trình dđ có dạng:
cos( )
x A t
 
 

+ B2: biên độ: A = ( l
max
– l
min

)/2 = 2cm ; tần số góc:
10
 

rad/s.
Tại t = 0:
0
cos 2
x A

  



os 0
c





 



0
0
v


0 ;
 


+ B3: Vậy phương trình dđ là:
2 cos(10 )
x t
 
 
cm
LUYỆN TẬP:
4. Một vật dđ đh với
5


rad/s. Tại VTCB truyền cho vật một vận tốc 1,5 m/s theo chiều dương.
Phương trình dao động là:
A.
0,3 cos(5 / 2)
x t

 
cm B.
0,3 cos 5
x t

cm
C.
0,3 cos(5 / 2)
x t


 
cm D.
0,15 cos 5
x t

cm
5. Một vật dđ đh với
10 2


rad/s. Chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật có li độ
2 3
x 
cm và đang
đi về VTCB với vận tốc
0, 2 2
v 
m/s theo chiều dương. Lấy g = 10m/s
2
. Phương trình dđ của vật
là: A.
4 cos(10 2 / 6)
x t

 
cm B.
4 cos(10 2 2 / 3)
x t


 
cm
C.
4 cos(10 2 / 6)
x t

 
cm D.
4 cos(10 2 / 3)
x t

 
cm
6. Một vật dao động với biên độ 6cm. lúc t = 0, con lắc qua vị trí có li độ
3 2
x  cm theo chiều
dương với gia tốc có độ lớn
2 / 3
cm/s
2
. Phương trình dao động của con lắc là:
A.
6 cos 9
x t

cm B.
6 cos( / 3 / 4)
x t

 

cm
C.
6 cos( / 3 / 4)
x t

 
cm D.
6 cos( / 3 / 3)
x t

 
cm
7. Một vật có khối lượng m =1kg dđ đh với chu kì T = 2s. Vật qua VTCB với vận tốc v
0
= 31,4 cm/s.
Khi t = 0, vật qua vị trí có li độ x = 5cm ngược chiều dương quĩ đạo. Lấy
2
10


. Phương trình dđ là:
A.
10 cos( 5 / 6)
x t
 
 
cm B.
10 cos( / 3)
x t
 

 
cm
C.
10 cos( 5 / 6)
x t
 
 
cm D.
10 cos( / 3)
x t
 
 
cm
8. Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ và có độ cứng k = 80N/m. Con lắc thực hiện 100 dao động hết
31,4s. Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu có li độ 2cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục
tọa độ với vận tốc có độ lớn
40 3
cm/s, thì phương trình dao động của quả cầu là:
A.
4 cos(20 / 3)
x t

 
cm B.
4 cos(20 / 6)
x t

 
cm
C.

6 cos(20 / 6)
x t

 
cm D.
6 cos(20 / 3)
x t

 
cm
9. Cho con lắc lò xo nằm ngang. Giữ vật sao cho lò xo có chiều dài 45,2 cm, đồng thời chuyền cho nó
một vận tốc bằng
32

cm/s theo phương lò xo cho con lắc dđ đh. Trong quá trình dđ, chiều dài của lò
xo biến thiên từ 42cm đến 58cm. Chọn trục OX trùng với trục lò xo, gốc tọa độ O trùng với VTCB của
vật. Gốc thời gian la là lúc vật có li độ cực đại. Hãy:
a. Lập phương trình dđ của con lắc. (
8cos5
x t


cm )
b. Tính khối lượng của vật nặng biết rằng, khi lò xo dài 52cm thì vật có động năng bằng
2 3
7,5 .10
J


.

c. Tìm thời điểm lò xo có chiều dài 54cm lần thứ 5. ( 100g và 13/15 s )
10. Cho con lắc lò xo nằm ngang. Kéo vật lệch khỏi VTCB sao cho lò xo dãn 2cm. Vào thời điểm gốc,
thả vật tự do cho nó dđ đh. Biết trong mỗi phút con lắc thực hiện được 60 dao động, vật nặng có khối
lượng m = 100g. Hãy:
a. Viết phương trình dđ của con lắc. (
2cos2
x t


cm )
b. Tính năng lượng dđ của vật nặng. ( 7,9.10
-4
J )
c. Tìm tốc độ của vật khi nó cách VTCB một đoạn bằng 1,6cm.
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
9

CHỦ ĐỀ 3: CHU KỲ DAO ĐỘNG
LÝ THUYẾT:
+ Cho độ dãn
0
l

của lò xo tại VTCB:
2
m
T
k



hay
0
2
l
T
g



: Con lắc lò xo thẳng đứng.
0
2
.sin
l
T
g




: Con lắc lò xo nằm nghiêng góc


Với:
0 0
cb
l l l
  

: độ biến dạng tại VTCB;
0
,
cb
l l
: Chiều dài của lò xo ban đầu và tại VTCB.

+ Cho số lần dao động N trong thời gian t:
chu kỳ:
t
T
N

; tần số:
1
N
f
T t
 
; tần số góc:
2
2
N
T t

 
 

Trong đó: N là số dao động, t: thời gian thực hiên số dao động.
+ Cho khối lượng m thay đổi:

1
1
2
m
T
k


2 2
1
1
4
m
T
k


3 1 2
m m m
 
:
3
3
2
m
T
k




2 2 2
3 1 2
T T T
 

2
2
2
m
T
k


2 2
2
2
4
m
T
k


4 1 2
m m m
 
:
4
4
2

m
T
k




2 2 2
4 1 2
T T T
 

+ Cho độ cứng k của lò xo thay đổi:
- Lò xo ghép nối tiếp:
1 2
1 1 1
k k k
 



2 2 2
1 2
T T T
 

- Lò xo ghép song song:
1 2
k k k
 



2 2 2
1 2
1 1 1
T T T
 

- Khi lò xo có (k,l) bị cắt thành 2 phần có độ cứng và chiều dài là: (k
1
,l
1
) và (k
2
,l
2
):
Khi đó ta luôn có: k
1
l
1
= k
2
l
2
= kl
+ Dao động của vật gắn xen kẽ vào hệ 2 lò xo:
1 2
k k k

 



2 2 2
1 2
1 1 1
T T T
 

LUYỆN TẬP:
1.

Con lắc lò xo gồm vật m và lò xo có độ cứng k dao động điều hòa, khi mắc thêm vào vật m một vật
khác có khối lượng gấp 3 lần vật m thì chu kỳ dao động của chúng:
A. tăng lên 3 lần B. giảm đi 3 lần C. tăng lên 2 lần D. giảm đi 2 lần
2. Khi treo vật m vào lò xo k thì lò xo dãn 2,5cm, kích thích cho m dao động. Chu kỳ dao động tự do
của vật là: A. 1 s B. 0,5 s C. 0,32 s D. 0,28 s
3. Một con lăc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối lượng m = 0,2kg. Trong 20 giây con lắc thực
hiên được 50 dao động. Độ cứng của lò xo là: A. 60 N/m B. 40 N/m C. 50 N/m D. 55 N/m
4. Hai lò xo có chiều dài bằng nhau độ cứng tương ứng là k
1
,k
2
. Khi mắc vật m vào lò xo k
1
thì vật dao
động với chu kì T
1
= 0,6s. Khi mắc vật m vào lò xo k

2
thì vật dao động với chu kì T
2
= 0,8s. Khi mắc
vật m vào hệ hai lò xo k
1
song song với k
2
thì chu kỳ dao động của m là:
A. 0,48 s B. 0,7 s C. 1,00 s D. 1,4 s
5. Khi gắn vật có khối lượng m
1
= 4kg vào một lò xo có khối lượng không đáng kể nó dao động với
chu kì T
1
= 1s. Khi gắn vật khác có khối lượng m
2
vào lò xo trên nó dao động với chu kì T
2
= 0,5s.
Khối lượng m
2
bằng bao nhiêu? A. 0,5kg B. 2kg C. 1kg D. 3kg
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
10

6. Một lò xo có độ cứng k mắc với vật nặng m
1

có chu kỳ dao động T
1
= 1,8s. Nếu mắc lò xo đó với vật
nặng m
2
thì chu kì dao động là T
2
= 2,4s. Chu kì dao động khi ghép m
1
và m
2
với lò xo trên là:
A. 2,5 s B. 2,8 s C. 3,6 s D. 3,0 s
7. Hai lò xo có chiều dài bằng nhau có độ cứng tương ứng là k
1
,k
2
. Khi mắc vật m vào một lò xo k
1
thì
vật m dao động với chu kì T
1
= 0,6 s. Khi mắc vật m vào lò xo k
2
, thì vật m dao động với chi kì
T
2
= 0,8s. Khi mắc vật m vào hệ hai lò xo k
1
ghép nối tiếp k

2
thì chu kì dao động của m là:
A. 0,48 s B. 1,0 s C. 2,8 s D. 4,0 s
8. Một lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Một đầu của lò xo gắn vào điểm O cố định. Treo vào lò xo hai vật
có khối lượng m = 100g và
60
m g
 
. Tính độ dãn của lò xo khi vật cân bằng và tần số góc dao động
của con lắc. A.
0
4,4 ; 12,5 /
l cm rad s

  
B.
0
6,4 ; 12,5 /
l cm rad s

  
C.
0
6,4 ; 10,5 /
l cm rad s

  
D.
0
6,4 ; 13,5 /

l cm rad s

  

9. Con lắc lò xo gồm lò xo k và vật m dao động điều hòa với chu kì T =1s. Muốn tần số dao động của
con lắc là f = 0,5 Hz thì khối lượng của vật phải là:
A. m’ = 2m B. m’ = 3m C. m’ = 4m D. m’ = 5m
10. Lần lượt treo hai vật m
1
và m
2
vào một lò xo có độ cứng k = 40 N/m và kích thích chúng dao động.
Trong cùng một khoảng thời gian nhất định, m
1
thực hiện 20 dao động và m
2
thực hiện 10 dao động.
Nếu treo cả hai vật vào lò xo thì chu kì dao động của hệ bằng
/2( )
s

. Khối lượng m
1
và m
2
lần lượt
là: A. 0,5kg ; 1kg B. 0,5kg ; 2kg C.1kg ; 1kg D. 1kg ; 2kg
11. Trong dao động điều hòa của một con lắc lò xo, nếu giảm khối lượng của vật nặng 20% thì số lần
dao động của con lắc trong một dơn vị thời gian là:
A. tăng

5 / 2
lần B. tăng
5
lần C. giảm
5 / 2
lần D. giảm
5
lần
12. Khi gắn quả nặng m
1
vào một lò xo, nó dđ với chu kỳ T
1
= 1,2s . Khi gắn quả nặng m
2
vào lò xo nó
dđ với chu kỳ T
2
= 1,6s . Khi gắn đồng thời m
1
và m
2
vào lò xo đó, chúng dđ với chu kỳ là bao nhiêu?
A. 0,4s B. 1s C. 2s D. 2,8s.
13. Hòn bi của một con lắc lò xo có khối lượng là m, con lắc dđ với chu kỳ T = 1s. nếu thay hòn bi đã
cho bằng hòn bi có khối lượng 2m thì chu kỳ dđ của con lắc lò xo là bao nhiêu?
A. 1s B. 1,2s C. 1,4s D. 2s
14. Một lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Lần lượt treo 2 quả cầu có khối lượng m
1
, m
2

vào lò xo và kích
thích cho dđ thì thấy rằng: trong cùng một khoảng thời gian vật m
1
thực hiện được 16 dđ và m
2
thực
hiện được 9 dđ. Nếu treo cả 2 quả cầu vào lò xo thì chu kỳ dđ của chúng là
/5
T s


. Tính m
1
và m
2
.
A. 60g ; 190g B. 50g ; 200g C. 160g ; 90g D. 150g ; 100g
15. Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m được treo thẳng đứng, vật dđ đh với tần số 6 Hz. Khi
treo thêm một gia trọng có khối lượng 44g thì tần số dđ là 5 Hz. Tính khối lượng m và độ cứng k của lò
xo. A. 100g ; 100N/m B. 100g ; 144N/m C. 56g ; 144N/m D. 56g ; 100N/m









Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
11

CHỦ ĐỀ 4: XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI DAO ĐỘNG CỦA VẬT Ở
THỜI ĐIỂM t VÀ
'
t t t
  

LÝ THUYẾT
+ Trạng thái dao động của vật ở thời điểm t:
os( t+ )
x Ac
 



' sin( t+ )
v x A
  
  


2
os( t+ )
a Ac
  
 
+ Hệ thức độc lập:

2
2 2
2
v
A x

 
+ Công thức:
2
a x

 

+ Chuyển động nhanh dần nếu: v.a > 0 + Chuyển động chậm dần nếu: v.a < 0
PHƯƠNG PHÁP
+ Các bước giải bài toán tìm x, v, a dao động ở thời điểm t.
- Cách 1: thay t vào các phương trình:
os( t+ )
x Ac
 



' sin( t+ )
v x A
  
  


x, v, a tại t.

2
os( t+ )
a Ac
  
 
- Cách 2: sử dụng công thức:
2
2 2
2
v
A x

 



2
2
2
v
x A

  


2 2
v A x

  

2
a x

 

+ Các bước giải bài toán tìm x, v, dao động sau (trước) ở thời điểm t một khoảng thời gian
t

.
- biết tại thời điểm t vật có li độ x = x
0
.
Từ phương trình dao động điều hòa:
os( t+ )
x Ac
 

cho x = x
0
Lấy nghiệm:
t+
  

với
0
 
 
ứng với x đang giảm (vật cđ theo chiều âm vì v < 0).

Hoặc
t+
  
 
ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương vì v > 0).
- li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó
t

giây là:

os( t + )
x Ac
 
  
hoặc
os( t - )
x Ac
 
  


sin( t + )
v A
  
   

sin( t - )
v A
  
   

BÀI TẬP VÂN DỤNG.
1. Một chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng có tọa độ và gia tốc liên hệ với nhau bởi biểu thức:
a = -25x cm/s
2
. Chu kỳ và tần số góc của chất điểm là:
A. 1,256 s ; 25 rad/s B. 1 s ; 5 rad/s C. 2s ; 5 rad/s D. 1,256 s ; 5 rad/s
2. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
2 os(2 )
6
x c t


 
cm. Li độ và vận tốc của vật lúc
t = 0,25 s là: A.
1 ; 2 3 /
cm cm s


B.
1,5 ; 3 /
cm cm s



C.
0,5 ; 3 /
cm cm s


D.
1 ; /
cm cm s



3. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
5 os(20 )
2
x c t

 
cm. Vận tốc và gia tốc cực đại
là: A. 10m/s ; 200m/s
2
. B. 10m/s ; 2m/s
2
. C. 100m/s ; 200m/s
2
. D. 1m/s ; 20m/s
2
.
4. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
10 os(4 )
8
x c t


 

cm. Biết li độ của vật tại thời
điểm t là 4cm. Li độ của vật tại thời điểm sau đó 0,25s là:
A. 4cm B. - 4cm C. 2,5cm D. – 2,5cm
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
12

5. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
4 os(20 )
6
x c t


 
cm. Chọn kết quả đứng:
A. lúc t = 0 , li độ của vật là – 2cm B. lúc t = 1/20 s , li độ của vật là 2cm
C. lúc t = 0 , vận tốc của vật là 80cm/s D. lúc t = 1/20 s , vận tốc của vật là 125,6cm/s
6. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
3 2 os(10 )
6
x c t


 
cm. Ở thời điểm t = 1/60 s
vận tốc và gia tốc của vật có giá trị nào sau đây:
A.
2 2
0 / ;300 2 /

cm s cm s

B.
2
300 2 / ;0 /
cm s cm s


C.
2
0 / ; 300 2 /
cm s cm s

D.
2 2
300 2 / ;300 2 /
cm s cm s


7. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
3
6 os(10 )
2
x c t


 
cm. Li độ của chất điểm khi
pha dao động bằng
2

3

là: A. 30 cm B. 32 cm C. – 3 cm D. – 40 cm
8. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
5 os(2 )
6
x c t


 
cm. Lấy
2
10 , 3,14
 
 
.
Gia tốc của vật khi có li độ x = 3 cm là:
A. – 12m/s
2
B. – 120cm/s
2
C. 1,2m/s
2
D. 12cm/s
2

9. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
5 os(2 )
6
x c t



 
cm. Lấy
2
10 , 3,14
 
 
.
Vận tốc của vật khi có li độ x = 3 cm là:
A. 25,12 cm/s B.
25,12

cm/s C.
12,56

cm/s

D. 12,56cm/s
10. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
10 os(4 )
8
x c t


 
cm. Biết li độ của vật tại thời
điểm t là – 6cm và vật đang chuyển động theo chiều dương. li độ của vật tại thời điểm t’ = t + 0,125 s
là: A. 5cm B. 8cm C. – 8cm D. – 5cm
11. Một vật dao động điều hòa theo phương trình:

10 os(4 )
8
x c t


 
cm. Biết li độ của vật tại thời
điểm t là 5cm và vật đang chuyển động theo chiều âm. li độ của vật tại thời điểm t’ = t + 0,3125 s là:
A. 2,588cm B. 2,6cm C. – 2,588cm D. -2,6cm











Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
13

CHỦ ĐỀ 5: XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT ĐI QUA LI ĐỘ x
0
– VẬN
TỐC ĐẠT GIÁ TRỊ v
0

.
a. Khi vật đi qua li độ x
0
thì:
0
0
os( t+ ) cos( t+ )= os t+ 2
x
x Ac c k
A
        
      

+
1
2
k
t
  
 

 
s, với
k N

khi
0
 
 
( v < 0) vật qua x

0
theo chiều âm.
+
1
2
k
t
  
 
 
 
s, với
*
k N

khi
0
 
  
( v > 0) vật qua x
0
theo chiều dương.
Kết hợp với điều kiên bài toán ta loại bớt một nghiệm.
CÁCH KHÁC: Ta có thể dựa vào mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ.
+ B1: vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục ox nằm ngang.
+ B2: xác định vị trí vật lúc t = 0 thì: x = x
0
v = v
0

xác định vị trí vật lúc t ( x
t
đã biết ).
+ B3: xác định góc quét

0
?
M OM

  

+ B4: T 360
0



0
360
t T
 

 
 

T = ?



b. Khi vật đạt vận tốc v
0

thì:
0
0
sin ( t+ ) sin( t+ )=- sin t+ 2
v
v A k
A
         

      


t+ 2
k
    
  



1
2
k
t
  
 

 
với
k N


khi
0
 
 
và
*
k N

khi
0
 
 


1
2
k
t
   
 
 
 

0
  
  

0
  
  

Luyện tập:
1. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
8cos2
x t


cm. Thời điểm thứ nhất vật đi qua VTCB
là: A.1/4 s B. ½ s C. 1/6 s D. 1/3 s
HD:
Cách 1: vật qua VTCB:
1
8cos2 0 2 2
2 4
x t t k t k

  
       
với
k N


Tại thời điểm thứ nhất ứng với k = 0

t = 1/4 s.
Cách 2: dựa vào mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ.
+ B1: vẽ đường tròn.
+ B2: lúc t = 0: x
0
= 8cm, v

0
= 0 ( vật đi ngược chiều dương từ vị trí biên dương ).
+ B3: vật đi qua VTCB: x = 0 , v < 0.
+ B4: vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua M
0
và M
1
. Vì
0


, vật xuất phát từ
M
0
nên thời điểm thứ nhất vật qua VTCB ứng với vật qua M
1
. Khi đó bán kính quét được một góc
2






1
2 2.2 4
t T
  
  
 

   
s.
2. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
8cos2
x t


cm. Thời điểm vật đi qua vị trí x = 4cm
lần thứ 2009 kể từ thời điểm bắt đầu dao động là:
v < 0
v > 0
O
M
0
, t
0

M, t
x
x
0
O
M
1

x
A

M
0

M
2




-A

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
14

A. 6025/30 s B. 6205/30 s C. 6250/30 s D. 6,025/30 s
HD:
Cách 1: tại vị trí x = 4cm:
1 1
8cos10 4 os10 os 10 2
2 3 3 30 5
k
x t c t c t k t
 
   
            

Vật qua lần thứ 2009 (lẻ) ứng với vị trí M
1
: v < 0 ( sin > 0)


ta chọn nghiệm trên với
2009 1
1004
2
k

 


1 1 1004 6025
30 5 30 5 30
k
t     
s.



Cách 2: dựa vào mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ.
+ B1: vẽ đường tròn.
+ B2: lúc t = 0: x
0
= 8cm, v
0
= 0 ( vật đi ngược chiều dương từ vị trí biên dương ).
+ B3: vật đi qua vị trí x = 4cm ứng với vật qua các điểm M
1
và M
2
. Vật quay 1 vòng (1chu kì)
qua vị trí x = 4cm là 2 lần. Qua lần thứ 2009 thì phải quay 1004 vòng rồi đi từ M

0
đến M
1
.
Góc quét
1 6025
1004.2 (1004 ).0, 2
3 6 30
t
 
 


       
s.
VẬN DỤNG:
3. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
4cos(4 )
6
x t


  cm. Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí
x = 2cm theo chiều dương: A. 9/8 s B. 11/8 s C. 5/8 s D. 1,5 s
4. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
5cos
x t


cm. Vật qua vị trí cân bằng làn thứ 3 vào

thời điểm: A. 2,5 s B. 2 s C. 6 s D. 2,4 s
5. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
4cos(2 )
x t
 
 
cm. Vật đến điểm biên dương lần
thứ 5 vào thời điểm: A. 4,5 s B. 2,5 s C. 2 s D. 0,5 s
6. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
6cos( )
2
x t


  cm. Thời gian vật qua VTCB đến lúc
qua điểm có x = 3cm lần thứ 5 là: A. 61/6 s B. 9/5 s C. 25/6 s D. 37/6 s
7. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
4cos(4 )
6
x t


  cm. Thời điểm thứ 2009 vật qua vị
trí x = 2cm kể từ t = 0 là: A. 12049/24 s B. 12061/24 s C. 12025/24 s D. Đáp án khác
8. Một vật dao động điều hòa với phương trình:
8cos10
x t


cm. Thời điểm vật đi qua vị trí x = 4 lần

thứ 2008 theo chiều âm kể từ thời điểm bắt đầu dao động là:
A. 12043/30 s B. 10243/30 s C. 12403/30 s D. 12430/30 s
9. Con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang với chu kì T = 1,5 s, biên độ A = 4cm, pha
ban đầu là
5
6

. Tính từ lúc t = 0, vật có tọa độ x = -2cm lần thứ 2005 vào thời điểm nào:
A. 1503 s B. 1503,25 s C. 1502,25 s D. 1503,375 s
10. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình
2
4cos
3
x t

 (x tính bằng cm, t tính bằng s).
Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm?
A. 3015s. B. 6030s. C. 3016s. D. 6031s.
11. Một vật dđ đh theo phương trình 10cos 10
2
x t cm


 
 
 
 
. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí li
độ x = 5cm lần thứ 2012 .
O

M
1

x
A

M
0

M
2




-A

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
15

CHỦ ĐỀ 6: XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG VÀ SỐ LẦN VẬT ĐI QUA
LY ĐỘ x
0
THỜI ĐIỂM t
1
ĐẾN t
2

Lý thuyết:
+ Tính số chu kì dđ từ thời điểm t
1
đến t
2
:
2 1
t t
m
N n
T T

  
với
2
T



.

+ Trong một chu kì vật đi được quãng đường: S
T
= 4A ( tức là vật đi qua li độ bất kì 2 lần).
- nếu m = 0 thì: quãng đường đi được: S
N
= n.4A và số lần vật đi qua x
0
là M
N

= 2n.
- nếu
0
m

thì: Khi t = t
1
ta tính
1 1
cos( )
x A t
 
 
và v
1
dương hay âm.
Khi t = t
2
ta tính
2 2
cos( )
x A t
 
 
và v
2
dương hay âm.
Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẻ
m
T

chu kì rồi dựa vào hình vẽ để tính S
lẻ
và số lần M
lẻ
vật đi qua
x
0
tương ứng. Khi đó: Quãng đường vật đi được là: S = S
N
+ S
lẻ
.
Số lần vật đi qua x
0
là: M = M
N
+ M
lẻ
.
PHƯƠNG PHÁP:

+ B1: Xác định:
1 1
cos( )
x A t
 
 
và
2 2
cos( )

x A t
 
 


1 1
sin( )
v A t
  
  

2 2
sin( )
v A t
  
  

Ta chỉ cần xác định dấu của v
1
và v
2
.
+ B2: Phân tích:
2 1
( ; 0 )
t t t nT t n N t T
        

- Quãng đường đi được trong thời gian nT là: S
1

= n.4A và trong thời gian
t

là S
2
.
- Quãng đường tổng cộng: S = S
1
+ S
2

- Nếu
1 2
. 0
v v

: thì
2 2 1
0
2
T
t S x x
     


2
2
2
T
t S A

   


2 2 1
4
2
T
t S A x x
     

- Nêu v
1
.v
2
< 0: thì
1 2 1 2
0 2
v S A x x
    



1 2 1 2
0 2
v S A x x
    

*. Chú ý: + Tính S
2
bằng cách định vị trí x

1
, x
2
và chiều chuyển động của vật trên trục OX.
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dđ đh
và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t
1
đến t
2
là:
2 1
S
v
t t



với S là quãng đường tính như trên.
LUYỆN TẬP: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình:
12 cos(50 / 2)
x t

 
cm.
Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian
/12
t



s, kể từ thời điểm gốc t = 0 là bao
nhiêu?
HD:
Cách 1:
+ tại t = 0: thì x
0
= 0 và v
0
> 0, Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương.
+ tại thời điểm
/12
t


s: thì x = 6cm và v > 0, Vật đi qua vị trí có x = 6cm theo chiều dương.
+ số chu kì dao động:
0
.50 1
2
12.2 12
t t t
N
T T



    


2 2

12 30
T
t T T

   
s.
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
16

với
2 2
50 25
T
  

  
s.
+ vậy thời gian dao động là 2T và
/ 300
t

 
s.
+ quãng đường tổng cộng mà vật đi được là:
2
T t
S S S


 
.
- Với S
2T
= 2.4A = 2.4.12 = 96 cm.
- Vì
1 2
. 0
v v

và
2
T
t
 
nên
0
6 0 6
t
S x x cm

    

+ vậy
2
96 6 102
T t
S S S cm

    

Cách 2: sử dụng mối quan hệ giữa dđ đh và chuyển động tròn đều.
+ tại t = 0: x
0
= 0 và v
0
> 0, vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương.
+ số chu kỳ dao động:
0
.50 1
2
12.2 12
t t t
N
T T



    



2 2
12 30
T
t T T

   
s. với
2 2

50 25
T
  

  
s.
+ góc quay được trong khoảng thời gian t là :với
(2 ) 2.2
12 6
T
t T

   
    

+ vật quay được 2 vòng + góc
/ 6



quãng đường vật đi được tương ứng là:
S = 2.4A + A/2 = 102 cm.
VẬN DỤNG:
1. Một con lắc lò xo dđ đh với phương trình:
6 cos(20 )
3
x t

 
cm. Quãng đường vật đi được trong

khoảng thời gian
13 / 60
t


s, kể từ khi bắt đầu dao động là:
A. 6 cm B. 90 cm C. 102 cm D. 54 cm
2. Một con lắc lò xo dđ đh với biên độ 6 cm và chu kì 1s. Tại t = 0, vật đi qua VTCB theo chiều âm của
trục tọa độ. Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375 s kể từ thời điểm gốc là:
A. 56,53 cm B. 50 cm C. 55,77 cm D. 42 cm
3. Một vật dao động với phương trình
3
4 2 cos(5 )
4
x t


 
cm. Quãng đường vật đi được từ thời
điểm t
1
= 1/10 s đến t
2
= 6 s là: A. 84,4 cm B. 333,8 cm C. 331,4 cm D. 337,5 cm
4. Một con lắc lò xo dđ đh với phương trình:
4 cos(5 )
6
x t

 

cm. Quãng đường vật đi được trong
khoảng thời gian
4 /15
t


s, kể từ khi bắt đầu dao động là ?
5. Một vật dao động với phương trình
10 cos(10 )
4
x t


 
cm. Quãng đường vật đi được từ thời
điểm t
1
= 0,1 s đến t
2
= 6,25 s là?

-A
x
0
x
A
x
O
-A
A
x
O
x
0 x
6


Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
17

CHỦ ĐỀ 7: XÁC ĐỊNH THỜI GIAN NGẮN NHẤT VẬT ĐI QUA
LI ĐỘ x
1
ĐẾN x
2
.
Lý thuyết: khi vật dđ đh từ x
1
đến x

2
thì tương ứng với vật chuyển động từ M đến N.
Cách 1:
+ Nếu M trùng với mốc thời gian của phương trình dao động khi đó ta không phải tính lại pha ban đầu

và cho
cos( )
N
x A t
 
 

t ( không cộng giá trị tuần hoàn ).
+ Nếu M không trùng với mốc thời gian của phương trình dao động khi đó ta phải chọn lại gốc thời
gian để tính lại pha ban đầu

và làm tương tự như trên.
Cách 2: Ta có thể dựa vào mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ.
( thời gian ngắn nhất vật chuyển động từ x
1
đến x
2
thì tương ứng với thời gian vật chuyển động tròn
đều từ M đến N ).

2 1
0
360
MN
MOM

t t T
 

 


     với:
1
1
os
x
c
A


và
1 2
0 ,
  
 


2
2
os
x
c
A



Phương pháp:
+ B1: vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục ox nằm ngang.
+ B2: xác định vị trí vật lúc t = 0 thì: x = x
0
v = v
0

xác định vị trí vật lúc t ( x
t
đã biết ).
+ B3: xác định góc quét

' ?
MOM

  

+ B4: T 360
0



0
360
t T
 

 
 

T = ?



LUYỆN TẬP:
1. Vật dđ đh có phương trình:
cos
x A t


. Tính thời gian ngắn nhất kể từ lúc bắt đầu dao động đến
lúc vật có li độ x = - A/2.
HD:
+ tại t = 0: x
0
= A, v
0
= 0. trên đường tròn ứng với vị trí M.
+ tại thời điểm t: x = - A/2. trên đường tròn ứng với vị trí N.
+ vật đi ngược chiều dương, quay được góc
0
2
120
3


  
+ thời gian ngắn nhất vật đi từ VT bắt đầu dđ đến VT x = - A/2 là:

0
0 0
120
360 360 3
T
t T T
 

 
   
s
2. Vật dđ đh theo phương trình:
4 cos(8 )
6
x t


 
cm. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi vị trí M có
li độ
1
2 3
x   cm theo chiều dương đến vị trí N có li độ
2
2 3
x  cm theo chiều dương.
HD:
+ nhận xét: điểm M không trùng với gốc thời gian nên ta phải chọn lại gốc thời gian.
+ phương trình dao động có dạng:
4 cos(8 )

x t
 
 

+ tại t = 0:
4cos 2 3
x

  



4cos 2 3
x

  



3 5
cos os
2 6
c


  


8 .4 sin 0
v

 
  

sin 0



sin 0



-A
A
O
M’
M
x
x
1
N
N’
x
2



1


2



-A
A
O
x
x
0
N
x




M
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
18




5
6


 



5
6


 


sin 0



+ vậy phương trình dao động tại M là:
5
4cos(8 )
6
x t


 
cm.
+ khi tới N theo chiều dương, ta có:

5 2 3
4cos(8 ) 2 3 os(8 t - ) os
6 3 2 6
x t c c
  
 
     

5
8 .4sin(8 ) 0
6
v t

 
   

5
sin(8 ) 0
6
t


 




5
8
6 6
t
 

  



5
8
6 6
t
 

  



5 4
8
6 6 6
t
  

  


t = 1/12 s.

5
sin(8 ) 0
6
t


 

VẬN DỤNG:
3. Một vật dđ đh với chu kì T = 2s. Thời gian ngắn nhất đê vật đi từ điểm M có li độ x
1
= A/2 đến điểm
biên dương x
2
= A là: A. 0,25 s B. 1/1 s C. 1/3 s D. 1/6 s.
4. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. kích thích cho con lắc dđ đh theo phương thẳng đứng. Chu kì và
biên độ của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8cm. chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc
tọa độ tại VTCB, gốc thời gian t = 0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương. Lấy g = 10m/s
2
và
2
10


.
Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến lúc lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là:
A. 7/30 s B. 1/30 s C. 3/10 s D. 4/15 s
5. Một vật dđ đh có biên độ bằng 4cm và chu kỳ bằng 0,1s.
a. Viết phương trình dđ của vật khi chọn t = 0 là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương.
B. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
= 2cm đến vị trí có li độ x
2
= 4cm.

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
19

CHỦ ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH LỰC CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU TÁC DỤNG LÊN
VẬT VÀ ĐIỂM TREO LÒ XO. CHIỀU DÀI LÒ XO KHI DAO ĐỘNG.
Lý thuyết:
a. Lực kéo về ( lực hồi phục):
- Lực kéo về:
F kx ma
  

 
: lực luôn hướng về VTCB.
- Độ lớn:
2
F k x m x


 
.
- Lực hồi phục đạt giá trị cực đại
axm
F kA

khi vật qua các vị trí biên (
x A
 
).
- Lực hồi phục đạt giá trị cực tiểu
min
0
F

khi vật đi qua VTCB (
0
x

).
b. Lực tác dụng lên điểm treo lò xo.
+ lực tác dụng lên điểm treo lò xo có độ lớn lực đàn hồi:
0
F k l x
  

- khi lò xo nằm ngang:
0
0
l

 
( với
0
l

: độ biến dạng của lò xo tại VTCB ).
- khi lò xo có phương thẳng đứng:
0
2
mg g
l
k

  
.
- khi lò xo nằm trên mặt phẳng nghiêng góc

:
0
2
sin sin
mg g
l
k
 

  

+ lực cực đại tác dụng lên điểm treo là:
ax 0

( )
m
F k l A
  
.
+ lực cực đại tác dụng lên điểm treo là:
- khi lò xo nằm ngang:
in
0
m
F

.
- Khi lò xo treo thẳng đứng hoặc nằm nghiêng góc

:

min 0
( )
F k l A
  
nếu
0
l A
 


min 0 0
( ) 0
F k l l

    
nếu
0
l A
 

c. Lực đàn hồi ở vị trí có li độ x ( gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng ):
+ khi con lắc lò xo nằm ngang:
F k x


+ khi con lắc lò xo treo thẳng đứng hoặc nằm nghiêng góc

:
0
F k l x
  

d. Chiều dài lò xo:
0
l
: là chiều dài tự nhiên của lò xo.
+ khi lò xo nằm ngang: - chiều dài cực đại của lò xo:
ax 0m
l l A
 

- chiều dài cực tiểu của lò xo:
min 0
l l A

 

+ khi lò xo treo thẳng đứng hoặc nằm nghiêng góc

:
- chiều dài khi vật ở VTCB:
0 0
cb
l l l
  

- chiều dài cực đại của lò xo:
ax 0 0m
l l l A
   

- chiều dài cực tiểu của lò xo:
min 0 0
l l l A
   

- chiều dài ở li độ x:
ax 0 0m
l l l x
   

Phương pháp:
+B1: tính
0
l


+B2: so sánh
0
l

với A.
+B3: Tính
2
2 2 2
2
4
4 , ,
k m m m f F l
T

 
   


Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
20

LUYỆN TẬP:
1. Con lắc lò xo treo vào giá cố định, khối lượng vật nặng là m = 100g. Con lắc dđ đh theo phương
trình:
os10 5
x c t


cm. lấy g = 10m/s
2
. Lực đàn hồi cực đại và cực tiểu tác dụng lên điểm treo là
bao nhiêu?
HD:
+ tìm A: A = 1cm = 0,01m.
+ tìm
0
l

:
0
2
10
0,02
500
g
l

   
m.
+ tìm k:
2
0,1.500 50
k m

  
N/m.
+ vậy:
ax 0

( ) 50(0,02 0, 01) 1,5
m
F k l A
     
N.
và
ax 0
( ) 50(0, 02 0, 01) 0,5
m
F k l A     
N vì
0
l

> A.
2. Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dđ đh với phương trình
2 os20
x c t

cm. Chiều dài tự nhiên của lò
xo là l
0
= 30 cm, lấy g = 10m/s
2
. Chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất trong quá trình dao động là bao nhiêu?
HD:
+ Tìm A: A = 2 cm.
+ tìm
0
l


:
0
2
10
0,025
400
g
l

   
m.
+ Vậy: - chiều dài cực đại của lò xo:
ax 0 0
0,3 0,025 0,02 0,345
m
l l l A m
       

- chiều dài cực tiểu của lò xo:
min 0 0
0,3 0,025 0,02 0,305
l l l A m
       

VẬN DỤNG:
3. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, dđ đh với biên độ 4 cm và chu kì 0,5 s. Khối lượng quả nặng là
400g. Lấy
2
10



, cho g = 10m/s
2
. Giá trị lực đàn hồi cực đại và cực tiểu tác dụng vào quả nặng là:
A. 6,56 N ; 1,44 N B. 6,56 N ; 0 N C. 256 N ; 65 N D. 656 N ; 0 N
4. Cho con lắc lò xo treo thẳng đứng, lò xo có khối lượng không đáng kể. Hòn bi đang ở VTCB thì
được kéo xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 3cm rồi thả cho nó dao động. Hòn bi thực
hiện dao động mất 20 s. Cho g = 10m/s
2
, lấy
2
10


. Tỉ số độ lớn lực đàn hồi cực đại và lực đàn hồi cực
tiểu của lò xo khi dđ là: A. 5 B. 4 C. 7 D. 3
5. Một vật treo vào lò xo làm nó dãn ra 4cm. Cho g = 10m/s
2
, lấy
2
10


. Biết lực đàn hồi cực đại và
cực tiểu lần lượt là 10 N và 6 N. Chiều dài tự nhiên của lò xo là 20 cm. Chiều dài cực đại và cực tiểu
của lò xo trong quá trình dao động là:
A. 25cm ; 24cm B. 24cm ; 23cm C. 26cm ; 24cm D. 25cm ; 23cm
6. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu trên cố định, đầu dưới treo một vật m = 100g. kéo vật xuống
dưới VTCB theo phương thẳng đứng rồi thả nhẹ. Vật dđ đh theo phương trình

5 os(4 )
2
x c t


 
cm. chọn gốc thời gian là lúc buông vật, lấy g = 10m/s
2
. lực dùng để kéo vật
trước khi dao động có độ lớn là: A. 1,6 N B. 6,4 N C. 0,8 N D. 3,2 N.
7. Một chất điểm có khối lượng m = 50g dđ đh trên đoạn thẳng MN = 8cm với tần số f = 5Hz. Khi t = 0
chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy
2
10


. ở thời điểm t =1/12 s, lực gây ra
chuyển động của chất điểm có độ lớn là: A. 10 N B. 1 N C.
3
N D.
10 3
N




Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
21

CHỦ ĐỀ 9: XÁC ĐỊNH NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Lý thuyết:
+ phương trình dao động có dạng:
cos( )
x A t
 
 

+ phương trình vận tốc:
sin( )
v A t
  
  

+ thế năng:
2 2 2
t
1 1
W os ( )
2 2
kx kA c t
 
  

+ động năng:
2 2 2 2 2 2
d
1 1 1
W sin ( ) sin ( )

2 2 2
mv m A t kA t
    
    
với
2
.
k m



+ cơ năng:
2 2 2
d t
1 1
W W W onst
2 2
kA m A c

    


2 2 2
0d 0t
1 1
W W W
2 2
kA m A

   

- khi
d t
W W




2
2
A
x  
, khoảng thời gian liên tiếp để
d t
W W

là :
4
T
t
 

- thế năng và động năng của vật biến thiên tuần hoàn quanh giá trị
2 2 2
1 1
4 4
kA m A


với tần

số góc
' 2
 

, tần số dao động
' 2
f f

và chu kì dao động
'
2
T
T



Chú ý: khi tính năng lượng thì các đơn vị: khối lượng phải là kg, vận tốc phải là m/s, li độ phải là m.
Bài tập:
1. Một con lắc lò xo dđ đh với chu kì T và biên độ A. tại vị trí nào thì động năng gấp đôi thế năng.
2. Một con lắc lò xo dđ đh với chu kì T và biên độ A. sau những khoảng thời gian nào thì động năng
bằng thế năng.
3. Một con lắc lò xo có k = 100N/m, quả nặng có khối lượng m = 1kg. khi đi qua vị trí có li độ 6cm vật
có vận tốc 80cm/s. Động năng của vật tại vị trí có li độ x = 5cm là?
A. 0,375J B. 1J C. 1,25J D. 3,75J
4. Một con lắc lò xo có m = 200g dđ đh theo phương thẳng đứng. Chiều dài tự nhiên của lò xo là l
0
=
30cm. lấy g = 10m/s
2
. khi lò xo có chiều dài 28cm thì v = 0 và lúc đó lực đàn hồi có độ lớn 2N. năng

lượng dao động của vật là: A. 1,5J B. 0,1J C. 0,08J D. 0,02J
5. Một vật có khối lượng m = 100g dđ đh trên trục OX với tần số f = 2Hz, lấy tại thời điểm t
1
vật có li
độ x
1
= -5cm, sau đó 1,25s thì vật có thế năng là: A. 20mJ B. 15mJ C. 12,8mJ D. 5mJ
6. Một con lắc lò xo dđ đh. Nếu tăng độ cứng lò xo lên 2 lần và giảm khối lượng đi 2 lần thì cơ năng
của vật sẽ: A. không đổi B. tăng 4 lần C. tăng 2 lần D. giảm 2 lần
7. Một con lắc lò xo nằm ngang, tại VTCB cấp cho vật một vận tốc có độ lớn 10cm/s dọc theo trục lò
xo, thì sau 0,4s thế năng con lắc đạt cực đại lần đầu tiên, lúc đó vật cách VTCB là:
A. 1,25cm B. 4cm C. 2,5cm D. 5cm
8. Con lắc lò xo dđ theo phương ngang với phương trình
cos( )
x A t
 
 
. Cứ sau những khoảng
thời gian bằng nhau và bằng
/ 40

giây thì động của vật bằng thế năng của lò xo. Con lắc dđ đh với
tần số góc là: A. 20rad/s B. 80rad/s C. 40rad/s D. 10rad/s
9. Một vật dđ đh, cứ sau một khoảng thời gian 2,5s thì động năng lại bằng thế năng. Tần số dđ của vật
là: A. 0,1Hz B. 0,05Hz C. 5Hz D. 2Hz
10. Một vật dđ đh với phương trình
1, 25 cos(20 )
2
x t


 
cm. vận tốc tại vị trí thế năng gấp 3 lần
động năng là: A. 12,5cm/s B. 10cm/s C. 7,5cm/s D. 25cm/s
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
22

CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG LỚN NHẤT VÀ
NHỎ NHẤT VẬT ĐI ĐƯỢC TRONG KHOẢNG THỜI GIAN:
Lý thuyết:
+ Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua VT biên nên trong cùng một khoảng thời
gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần VT biên.

+ Sử dụng mối liên hệ giữa dđ đh và chuyển động tròn đều.
- góc quét:
.
t
 
  

- quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2

đối xứng qua trục sin ( hình1 ):

ax
2 sin

2
m
S A




- quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2

đối xứng qua trục cos( hình2 ):

min
2 (1 os )
2
S A c


 



Chú ý:
+ Trong trường hợp
2
T
t
 

thì ta tách
'
2
T
t n t
   
trong đó: * ; 0 '
2
T
n N t
   
.
- Trong thời gian
2
T
n
quãng đường luôn là S
n
= n.2A.
- Trong thời gian
'
t

thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian
t

là:

ax
min
max min
à
t t
m
tb tb
S S
v v v 
 
với S
max
, S
min
tính như trên.
LUYỆN TẬP:
1. Một vật dđ đh dọc theo trục OX quanh VTCB O với biên độ là A và chu kì T. trong khoảng thời gian
T/4, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là: A.
A
B.
2
A
C.
3
A
D.
1,5
A

HD: ta có

2
. .
4 2
T
t
T
 
 
    


ax
2 sin 2 sin 2
2 4
m
S A A A
 

  

2. Một vật dđ đh với phương trình
4 cos(4 )
3
x t


 
cm. quãng đường lớn nhất mà vật đi được
trong khoảng thời gian
1 / 6

t s
 
là: A.
4 3
cm B.
3 3
cm C.
3
cm D.
2 3
cm
3. Một con lắc lò xo gồm một lò xốc độ cứng k = 100N/m và vật có khối lượng m = 250g, dđ đh với
biên độ A = 6cm. chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua VTCB. Quãng đường vật đi được trong
10 ( )
s

đầu tiên là: A. 9m B. 24m C. 6m D. 1m
4. Một vật dđ đh với phương trình
4 cos(4 )
3
x t


 
cm. quãng đường bé nhất mà vật đi được
trong khoảng thời gian
1/ 6
t s
 
là: A.

3
cm B.
3 3
cm C.
1
cm D.
2 3
cm

M
1
M
2
P
1
P
2
-A

A

x

O

2


H 1

O

-A

A

x

M
1
M
2
2


H 2

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
23

CHỦ ĐỀ 11: HỆ HAI LÒ XO
1. HAI LÒ XO GHÉP NỐI TIẾP.
Coi 2 lò xo như là 1 lò xo có độ cứng k được xác định theo công thức:
1 2
1 1 1
k k k
 
.

Khi đó chu kỳ dđ của hệ là T được xác định như sau:
2 2 2
1 2
T T T
 
hay 2
m
T
k

 .
2. HAI LÒ XO GHÉP SONG SONG.
Coi 2 lò xo như là 1 lò xo có độ cứng k được xác định theo công thức:
1 2
k k k
 
.
Khi đó chu kỳ dđ của hệ là T được xác định như sau:
2 2 2
1 2
1 1 1
T T T
  hay 2
m
T
k

 .
3. VẬT XEN GIỮA HAI LÒ XO.
Coi 2 lò xo như là 1 lò xo có độ cứng k được xác định theo công thức:

1 2
k k k
 
.
Khi đó chu kỳ dđ của hệ là T được xác định như sau:
2 2 2
1 2
1 1 1
T T T
  hay 2
m
T
k

 .
LUYỆN TẬP:
1. Cho hệ dđ như hình vẽ. Chiều dài tự nhiên và độ cứng của các lò xo lần lượt
là: l
01
= 20cm ; l
02
= 25cm ; k
1
= 40N/m ; k
2
= 50N/m. Vật nặng có khối lượng
m = 100g, kích thước không đáng kể.
a. Tính độ biến dạng của mỗi lò xo và chiều dài của hệ lò xo khi vật cân bằng.
Lấy g = 10m/s
2

.
b. Từ VTCB kéo vật thẳng đứng xuống dưới một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ. Chứng
tỏ vật dđ đh. Tính độ cứng của hệ 2 lò xo và tính chu kỳ dđ của vật.
BG
a. Khi vật ở VTCB thì độ dãn của các lò xo là:
1 2
,
l l
 
.
Ta có:
02
0
P F
 

 
(với vật m)


2 2
0
mg k l
  


'
01 02
0
F F

 

 
(với điểm nối I)
1 1 2 2
0
k l k l
   

Vậy:
1
1
0,1.10
0,025 2,5
40
mg
l m cm
k
    

2
2
0,1.10
0,02 2
50
mg
l m cm
k
    
Chiều dài của hệ lò xo là:

01 1 02 2
20 2,5 25 2 49,5
l l l l l cm
          
b. Chọn trục tọa độ OX hướng thẳng đứng xuống dưới. Gố tọa độ O là VTCB
của vật.
+ Khi vật ở VTCB thì:
1 1 2 2
mg k l k l
   

+ Khi vật ở thời điểm t, có li độ x: Khi đó lò xo k
1
dãn là (
1 1
l x
 
) và lò xo k
2

dãn là (
2 2
l x
 
).
Ta có:
2
P F F
 
  

(với vật m)


2 2 2
( )
mg k l x F
   


'
1 2
0
F F
 

 
(với điểm nối I)
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) 0
k l x k l x
     




2 2
F k x
 


1 1
/
x F k
 

1 1 2 2
k x k x

2 2
/
x F k
 

k
2
m
k
1
I

P


02
F


'
02
F



01
F


k
2
m
k
1
I

P


2
F


'
2
F


1
F


O

x
Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
24

+ Vì x = x
1
+ x
2
nên ta có:
1 2 1 2
1 1F F
x F
k k k k
 
     
 
 


1 1
1
1 1
F x
k k
 
 
 
  

 

 
 
(1)
+ Gọi k là độ cứng của hệ 2 lò xo mắc nối tiếp, ta có:
.
F k x
 
(2)
+ Từ (1) và (2) ta có:
1 2
1 2 1 2
1 1 1
k k
k
k k k k k
   


+ Theo định luật niu tơn ta có:
F ma

(3)
+ Từ (2) và (3) ta có:
2
"
k
ma kx a x x x
n


       
Vậy vật dđ đh với tần số góc
1 2
1 2
.
( )
k kk
m k k m

 


+ Chu kỳ dđ của vật là:
1 2
1 2
( )2 (40 50)0,1
2 2 2,3.14 0,42
. 40.50
k k mm
T s
k k k

 

 
    

+ Độ cứng của hệ lò xo:
1 2

1 2
40.50
22,2 /
40 50
k k
k N m
k k
  
 
.

2. Một vật có khối lượng m = 250g được gắn vào 2 lò xo theo sơ đồ
như hình vẽ. Chiều dài tự nhiên và độ cứng của các lò xo lần lượt là:
l
01
= 25cm ; l
02
= 20cm ; k
1
= 100N/m ; k
2
= 150N/m. Vật chỉ có thể
trượt không ma sát theo 1 thanh nằm ngang.
a. Xác định độ biến dạng của các lò xo khi vật ở VTCB.
b. Kéo vật từ VTCB đến vị trí lò xo k
1
không biến dạng rồi thả nhẹ
cho dđ đh. Tính độ cứng của hệ lò xo, chu kỳ và biên độ dđ của vật.
KQ: a. l
1

: 3cm, l
2
: 2cm; b. 250N/m , 0,2s, 3cm.


3. Cho hệ dđ như hình vẽ. Chiều dài tự nhiên và độ cứng của các
lò xo lần lượt là: l
01
= 20cm ; l
02
= 25cm ; k
1
= 40N/m ; k
2
=
50N/m. Vật nặng có khối lượng m = 100g, kích thước không đáng
kể. Khoảng cách MN = 50cm. Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt
phẳng ngang.
a. Tính độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật cân bằng.
Lấy g =10m/s
2
.
b. Từ VTCB kéo vật về phía N một đoạn 3cm rồi thả cho vật dđ
đh. Tính độ cứng của hệ 2 lò xo và lực đàn hồi lớn nhất xuất hiện
trên các lò xo.
KQ: a. l
1
: 2,78cm, l
2
: 2,22cm; b. 90N/m, l

1
: 2,312N, l
2
: 2,6N.


4. Cho 2 cơ hệ được bố trí như hình vẽ a và b. Lò xo có độ cứng
k = 40N/m, vật nặng có khối lượng m = 100g. Bỏ qua mọi lực ma
sát, khối lượng của ròng rọc và lò xo.
a. Tính độ dãn của lò xo trong mỗi hình khi vật ở VTCB.

k
2
m
k
1
m
k
1
k
2
M

N

H.a

k

m

m
k

H.b

Chuyên đề Dao động cơ học Luyện thi Đại học - Cao Đẳng

Biên soạn: Dương Quốc Thịnh E-mail:
25

Lấy g = 10m/s
2
.
b. Nâng vật lên vị trí sao cho lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ.
Chứng minh vật dđ đh. Tính chu kỳ và biên độ dđ của vật.
BG
Hình a.
a. Khi vật ở VTCB, lò xo dãn một đoạn là
0
l

.
Ta có:
0
0
P T
 

 
(với vật m)



0
0
mg T
 


'
0
0
od
T F
 

 
(với điểm nối I )
'
0 0
0
T k l
  

Mặt khác ta có:
'
0 0 0
0
T T mg k l
    

0
0,1.10
0,025 2,5
40
mg
l m cm
k
     
b. Chọn trục tọa độ OX hướng thẳng đứng xuống dưới, gốc tọa
độ O tại VTCB của vật.
+ Khi vật ở VTCB, lò xo dãn một đoạn là
0
l

, ta có:
0
0
mg k l
  
.
+ Khi vật ở thời điểm t, vật có li độ la x, khi đó lò xo dãn là:
0
l x
 
.
Ta có:
P T F
 
  

(với m)


F mg T
 


' 0
d
T F
 

 
(với điểm I )
0
' ( ) 0
T k l x
   

Mặt khác ta có:
0
' . .
T T F mg k l k x k x
       
(1)
Theo định luật 2 niu tơn ta có: F = m.a (2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
. "
k

ma k x a x x x
m

       
Vậy vật dđ đh với tần số góc
k
m


+ Chu kỳ dđ của vật:
2 0,1
2 2.3,14 0,314
40
m
T s
k



    .
+ Biên độ dđ của vật là:
0
2,5
A l cm
   .
Hình b: a.
0
5
l cm
  ; b. 0,628s , 10cm.

CHỦ ĐỀ 12: ĐIỀU KIỆN ĐỂ 2 VẬT CHỒNG LÊN NHAU DAO ĐỘNG
CÙNG GIA TỐC.

+ Khi vật m
1
đặt trên vật m dđ theo phương song song với bề mặt tiếp xúc giữa 2 vật. Để vật m
1
không
bị trượt trên vật m ( tức là 2 vật dđ với cùng một gia tốc) thì lực ma sát nghỉ lớn nhất mà vật m tác
dụng lên vật m
1
trong quá trình dđ phải nhỏ hơn hoặc bằng lực ma sát trượt xuất hiện giữa 2 vật.
Tức là:
2
1 ax 1 1 1
. . . . . .
msn mst m
F F hay m a m g m A m g
  
    (

: là hệ số ma sát giữa 2 vật).
+ Khi vật m
1
đặt trên vật m dđ theo phương thẳng đứng. Để vật m
1
không bị trượt trên vật m ( tức là 2
vật dđ với cùng một gia tốc) thì gia tốc lớn nhất mà 2 vật có được trong dđ phải nhỏ hơn hoặc bằng gia

tốc trọng trường.
Tức là:
2
axm
a g hay A g

 

m
I

P


0
d
F


0
T


'
0
T


m
I

P


d
F


T


'
T


O
x