Hướng dẫn ôn thi TN THPT 2012 -2013 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP






TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

MÔN TOÁN





HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP
NĂM HỌC: 2012 - 2013

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
PHẦN 1: GIẢI TÍCH

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I- Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:


* Lược đồ các bước khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:

 Tập xác đònh.
 Tính đạo hàm y' = f'(x)
 y' = 0 tìm các điểm tới hạn (kết luận y' > 0 (hoặc y' < 0) nếu phương trình y' = 0 vô nghiệm).
 Giới hạn và tiệm cận (nếu có).
 Bảng biến thiên.
 Điểm đặc biệt.
 Đồ thò.
Khảo sát hàm số y = f(x)
Tập xác đònh: D = {x  R  f(x) có nghóa}
Sự biến thiên Tính y'
y' < 0 x(a; b)  hàm
số giảm trên (a; b)

Tiệm cận (nếu có)
Điểm cực trò
Điểm đặc biệt: x = 0  y = f(0)
y = 0  giải phương trình f(x) = 0
Đồ thò:
° hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a0) đối xứng qua I(x
0
; f(x
0
)) với x
0
là nghiệm y'' = 0.
° hàm số y = ax

4
+ bx
2
+ c (a  0) đối xứng qua Oy
° hàm số y =
dcx
bax


đối xứng qua giao điểm hai đường tiệm cận.
Nếu



)(lim
0
xf
xx
(hoặc



)(lim
0
xf
xx
) thì x = x
0
là tiệm cận đứng.
Nếu

0
)(lim yxf
x


thì y = y
0
là tiệm cận ngang.

CĐ
-
+
0
x
0
b
a
y
y'
x


CT
-
+
0
x
0
b
a

y
y'
x

y' > 0 x(a; b)  hàm
số tăng trên (a; b)

Bảng biến thiên

+
b
a
y
y'
x

Bảng biến thiên:

-
b
a
y
y'
x

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
2

* Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Nối các khung ở giữa với các dạng đồ thò tương ứng:
Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a  0)









Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a  0)






Hàm số y =
dcx
bax



(ac  0)





0a
nghiệm2có0'y






0a
nghiệm2có0'y






0a
nghiệmcó10'y







0a
nghiệmcó10'y






0a
nghiệmvô0'y






0a
nghiệmvô0'y






0a
nghiệmcó 30'y







0a
nghiệmcó 30'y






0a
nghiệmcó10'y






0a
nghiệm1có0'y

1
2
3
4
5
6
I
II

III
IV
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
3



Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số sau:
a) y =
2
3
4
2
4
 x
x
; b) y = -x
3
+ 3x + 1; c) y =
32
14


x
x
.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y = x
3

- 6x
2
+ 9x; b) y = x
3
+ 1; c) y =
3
1
x
3
- x
2
- 3x -
3
5
;
d) y = -x
3
+ 3x
2
- 3x - 1; e) y = 2x
3
- 3x
2
- 2; f) y = x
3
- x
2
+ x.
Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =

24
2
3
4
1
xx 
; b) y =
2
3
x
2
x
2
4

; c) y = -
24
x
2
3
x
4
1

; d) y =
24
2
3
4
1

xx 
.
Bài 5: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =
7
23


x
x
; b) y =
1
2


x
x
; c) y =
23
12


x
x
; d) y =
12
2


x

x
;
e) y =
1
2


x
x
; f) y =
12
2


x
x
; g) y =
2
2
x3


. h) y =
1x
x
.
i) y =
x
1
; j) y =

x
x 1
.

II. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:
1) Tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm số:
a) Cách tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) trên đoạn [a; b]:
 Tìm x
i
 [a; b] (i = 1, 2, , n) tại đó f'(x
i
) = 0 hoặc không xác đònh f'(x
i
).
 Tính f(a), f(b), f(x
i
) (i = 1, 2, , n).
 Tính GTLN = max[f(a), f(x
i
), f(b)] (i = 1, 2, , n)
GTNN = min[f(a), f(x
i
), f(b)] (i = 1, 2, , n).
b) Cách tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) trên một khoảng (a; b):
y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), ta có hai trường hợp:
x
a x
0
b
y'

- +
y

GTNN


x
a x
0
b
y'
+ -
y
GTLN

(Trong đó f'(x
0
) bằng 0 hoặc f'(x) không xác đònh tại x
0
).

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x
3
- 3x
2
- 9x + 35 trên đoạn [-4; 4].
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
x36 
trên đoạn [-1; 1].

Bài 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
2
cos2x + 4sinx trên đoạn [0;
2

].
0 bcad

0bcad

A
B
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
4
Bài 4: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
4
- 2x
2
+ 1 trên đoạn [0; 2].
Bài 5: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x- e
2x
trên đoạn [-1; 0].
Bài 6: Tím các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f(x) =
x45 
trên đoạn [-1; 1]; b) f(x) = 1 +
2
9 x
trên đoạn [-3; 3];

c) f(x) = sin2x - x trên đoạn [-
2
;
2

]. d) f(x) =
2x
x
trên (-2; 4].
Bài 7: Tím các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f(x) = 3 +
52
2
 xx
; b) f(x) = x +
2
2 x
; c) f(x) = sin
4
x - 4sin
2
x + 5;
d) y = x +
x
4
với x > 0; e) y =
2
4 x
x


trên khoảng (-; +).

2) Tìm giao điểm của hai đường - Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thò (C
1
) và hàm số y = g(x) có đồ thò là (C
2
).
Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C
1
) và (C
2
).

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thò hai hàm số:
a) (C): y = x
2
- 2x + 2 và d: y = x; b) (C): y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và d: y = x + 1;
c) (C): y = x
3
- 3x và d: y = x
2
+ x - 4. d) (C): y = x
4
- 4x

2
+ 5 và d: y = x
2
+ 1.
Bài 2: Biện luận số nghiệm phương trình x
2
+ 2x + 1 + m = 0 theo hai phương pháp (dùng biệt thức  và
phương pháp biện luận bằng đồ thò)
Bài 3: Dự vào đồ thò của hàm số y = x
3
+ 3x
2
, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x
3
+ 3x
2
+ m = 0 túy
theo giá trò của tham số m.
Bài 4: Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thò:
a) (C): y = x
3
- 4x
2
+ 4x và d: y = m + 1; b) (C): y =
2
2


x
x

và d: y = m - 2.

3) Viết phương trình tiếp tuyến:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thò là (C) và M(x
0
; f(x
0
))  (C); f(x) có đạo hàm tại x = x
0
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x
0
; y
0
) có dạng: y - y
0
= f'(x
0
)(x - x
0
).
* Chú ý:
 Với f'(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x
0
.
 Đường thẳng y = kx + m có hệ số góc là k.
 Nếu tiếp tuyến tại M(x
0

; y
0
) song song đường thẳng d: y = k
1
x + b thì f'(x
0
) = k
1
.
 Nếu tiếp tuyến tại M(x
0
; y
0
) song song vuông góc d
1
: y = k
2
x + b thì f'(x
0
).k
2
= -1.

* Bài tập rèn lyện:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4 tại điểm M(0; 4).
Bài 2: Cho hàm số y = x

2
có đồ thò (C), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có tung độ bằng
4.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này song song với
đường thẳng y = -3x + 1.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng y =
7
1
x - 4.
Bài 5: Cho parabol (P) : y =
2
x
– 2x +3. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) trong các trường hợp
sau:
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
a) tại điểm có hoành độ
0
x
= 1;

b) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + 4y = 0.
c) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4x – 2y + 5 = 0.
Bài 6: Cho hàm số y =
1
12


x
x
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hoành độ
0
x
= – 2.
b) Biết tiếp tuyến có hệ số góc
3
1
.
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 3y = 0.
4) Đònh tham số để hàm số đồng biến, nghòch biến trên R:
 Nếu f'(x)  0 x  R thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R.
 Nếu f'(x)  0 x  R thì hàm số y = f(x) nghòch biến trên R.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Đònh m để hàm số y = 4x
3
+ mx nghòch biến trên R.
Bài 2: Đònh m để hàm số y = -(m
2
+ 5m)x

3
+ 6mx
2
+ 6x - 5 đồng biến trên R.
Bài 3: Đònh m y = x
3
- 3mx
2
+ (m + 2)x – m đồng biến trên tập xác đònh.

5) Đònh tham số để hàm số đạt cực trò tại x
0
:
Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại x
0
thì f'(x
0
) = 0.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Xác đònh m để hàm số y = x
3
- mx
2
+ (m -
3
2
)x + 5 có cực trò tại x = 1. Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay
cực đại?. Tính giá trò cực trò tương ứng.
Bài 2: Cho hàm số y =

3
1
x
3
- mx
2
+ (m
2
- m + 1)x + 1. Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
x = 1?
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x - 5. Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x
= 1?
Bài 4: Đònh m để hàm số y = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x - 5 đạt cực đại tại x = 1.

* Một số bài toán tổng hợp:

Bài 1: a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số y = -x
3

+ 3x
2
.
b) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình -x
3
+ 3x
2
- m = 0.
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =
1
32


x
x
tại điểm có hoành độ x
0
= -3 thuộc đồ thò
hàm số.
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 1, gọi đồ thò của hàm số là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 4: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
3
- 3x + 1 trên đoạn [0; 2].
Bài 5: Cho hàm số y =

2
1


x
x
, gọi đồ thò của hàm số là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
6
Bài 6: Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
- 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x
3
+ 3x
2
- 1 = m.
Bài 9: Cho hàm số y =
1
23


x
x

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số đã cho.
b) Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thò của hàm số đã cho tại
hai điểm phân biệt.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

I. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ MŨ:
1/ Các đònh nghóa:
 a
n
= a. a a (n  Z
+
, n  1, a  R).

 a
1
= a, a  R; a
0
= 1; a
-n
=
n
a
1
.

n

m
n
m
aa 
(a > 0, m, n  N);
n
m
n
m
n
m
a
a
a
11


.
2/ Các tính chất:
 a, b  R, a  0, b  0 và m, n  Z. Ta có:
a) Các tính chất biểu thò bằng hằng đẳng thức:
a
m
.a
n
= a
m + n

n
m

a
a
= a
m – n
(a
m
)
n
= a
m.n
(ab)
n
= a
n
b
n
n
n
n
b
a
b
a
)(

b) Các tính chất biểu thò bằng bất đẳng thức:
i) Nếu 0 < a < b thì a
n
< b
n

, n > 0 và a
n
> b
n
, n < 0.
ii) Nếu a > 1 thì a
m
> a
n
với m > n.
iii) Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
với m > n.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
5
75,0
)25,0()
16
1
(



; b)

)0(
)(
)(
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4





a
aaa
aaa
; c)
6
2
3
4
)4(
a

a
;
c)
])
2
()2[()
2
2(
111 

y
x
y
x
; d)
3
1
3
4
3
1
3
1
2
)43(2


n
nnn
.

Bài 2: Chứng minh rằng:
2352
)
3
1
()
3
1
( 
.
Bài 3: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a) A =
3
5
9
39
; b) B =
5
23
22
2
; c) C =
3
3
aaaa
;
d) D =
4
3
2

xx
(x > 0). e) E =
5
3
b
a
a
b
(a, b > 0); f) F =
16
11
: aaaaa
(a > 0).

II. HÀM SỐ LÔGARIT:
1/ Các tính chất cơ bản của lôgarít:
a) Hàm số y = log
a
x liên tục trên R
*

.
b) Nếu log
a
x
1
= log
a
x
2

thì x
1
= x
2
(x
1
> 0, x
2
>0).
c) Nếu a > 1 thì log
a
x > 0 khi x > 1, log
a
x < 0 khi 0 < x < 1.
Nếu 0 < a < 1 thì log
a
x > 0 khi 0 < x < 1, log
a
x < 0 khi x >1.
2/ Các đònh lí về lôgarít:
Đònh lí 1: Với mọi cơ số 0 < a  1, ta có:
x =
x
a
a
log
, x  R
*

; x = log

a
a
x
, x  R.
n thừa số
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Đònh lí 2: Với mọi cơ số 0 < a  1, x
1
, x
2
> 0, ta có: log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2

Đònh lí 3: Với mọi cơ số 0 < a  1, x
1
, x

2
> 0, ta có:
2
log
1
log
2
1
log x
a
x
a
x
x
a


Đònh lí 4: Với mọi cơ số 0 < a  1, x > 0, ta có: log
a
x

= log
a
x
Hệ quả: Nếu
n
1


thì x


=
n
n
xx 
1
(với x > 0) và
x
a
n
n
x
a
log
1
log 
.
Đònh lí 5: Với x > 0, 0 < a  1, 0 < b  1, ta có:
b
a
x
a
x
b
log
log
log 

Hệ quả 1: log
a

b.log
b
a = 1  log
a
b =
a
b
log
1
.
Hệ quả 2: Với mọi   0 và x > 0 thì
x
a
x
a
log
1
log



.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2log
27
1
a

; b) log
3
6.log
8
9.log
6
2; c) log45 - 2log3;
d)
2
1
ln25 - ln2; e) log
2
48 -
3
1
log
2
27; f) log4 - log3 + log + 3logr;
g) log
25
8.log
8
5; h)
)(log
1
)(log
1
abab
ba


; i)
6log
1
6log
1
32

.
Bài 2: Tính
a)
2log320log
10log4log
22
22


. b)
)

(log
4
5
4
3
2
a
aaa
a
c)


n
5
5
5
5
55
5 loglog
.
Bài 3: Biễu diễn log
30
8 qua log
30
5 và log
30
3.
Bài 4: So sánh các số:
a) log
3
5 và log
7
4; b) log
0,3
2 và log
5
3.
Bài 5: Biễu diễn trực tiếp y theo x:
a) lny =
3
1
lnx + ln4; b) logy +

2
1
logx = log3.
III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT:
1/ Phương trình mũ cơ bản:
a
x
= a
b
 x = b, (a > 0, a  1)
a
x
= c  x = log
a
c,(a > 0, a  1, c > 0)
2/ Phương trình lôgarít cơ bản:
Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log
a
x = log
a
b  x = b
log
a
x = c  x = a
c
3/ Bất phương trình mũ:
 Nếu a > 1 thì: a
f(x)
< a
g(x)


f(x) < g(x).
 Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
< a
g(x)


f(x) > g(x).
4/ Bất phương trình lôgarít:
 log
a
x > 0 





1010
11
akhix
akhix
.
 log
a
x < 0 






101
010
akhix
akhix
.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
 Nếu a > 1 thì: (x
1
> x
2
 log
a
x
1
> log
a
x
2
).
 Nếu 0 < a < 1 thì: (x
1
> x
2
 log
a
x
1

< log
a
x
2
).

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
7332
)
7
11
()
11
7
(


xx
; b) 2.16
x
- 17.4
x
+ 8 = 0; c) log
4
(x + 2)log
x
2 = 1.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 9
x
- 5.3
x
+ 6 < 0; b) log
0,5
(4x + 11) < log
0,5
(x
2
+ 6x + 8); c) log
3
(x+ 2) > log
9
(x + 2);
d)
x
x
2
2
log
1
1log 
; e)
3
2
45.125
5.74
12




 xx
x
.

* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
7332
)
7
11
()
11
7
(


xx
(x = 2); b) 0,125.4
2x – 3
=
x
)
8
2
(
(x = 6);
c) 2.16

x
– 17.4
x
+ 8 = 0 (x =
2
3
; x =
2
1

); d) 25
x
– 12.2
x
– 6,25.0,16
x
= 0 (x = 1);
e) 4
x
-
xxx 
 2.34
1
(x = 4); f) 5
x – 1
+ 5.0,2
x – 2
= 26 (x = 1; x = 3).
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 5

x
+ 5
x + 1
+ 5
x + 2
= 3
x
+ 3
x + 3
– 3
x + 1
(x =
31
25
log
3
5
); b)
143
42
2


xxx
(x = 1; x = -2);
c)
x
x
x




2
2
3.368
(x = 4; x =
18log
3

); d)
0455
1

 xx
(x = 0);
e) 6.9
x
– 13.6
x
+ 6.4
x
= 0 (x = 1); f)
10)245()245( 
xx
(x = 1);
i) 8
x
– 3.4
x
– 3.2

x + 1
+ 8 = 0 (x = 0; x = 2); j) 4
x
– 2.14
x
+ 3.49
x
= 0 (x =
3log
7
2
);
k) 2
4x
– 50.2
2x
= 896 ( x = 3); h) 5
2x – 1
+ 5
x + 1
= 250 (x = 2 + log
5
2).
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
xxx 318
42
2



(x = -3; x = -2); b)
2162
2
5
6
2

 xx
(x = -3);
c) 2
x
+ 2
x - 1
+ 2
x – 2
= 3
x
- 3
x - 1
+ 3
x – 2
(x = x = 2); d) 2
x
.3
x – 1
.5
x – 2
= 12 (x = 2);
e) 3
4x + 8

- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0 (x = -1; x =
2
3

); f) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
– 17 = 0 (x = -3);
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) log
5
x = log
5
(x + 6) – log
5
(x + 2) (x = 2); b) lg(x
2
+ 2x – 3) +
1
3
lg


x
x
= 0 (x = -4);
d)

1
lg2
2
lg4
1



 xx
(x = 10; x = 100); e) 1 + log
2
(x – 1) = log
x-1
4 (x = 3; x =
4
5
);
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
6
39


x
x
(x < -3 hoặc -2 < x < 1); b)
42
3
2


 xx
; c)
7
9
)
9
7
(
32
2

 xx
;
d) 16
x
- 4
x
- 6  0; d) 3
x
+ 9.3
-x
– 10 < 0 (0 < x < 2);
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
a) log
8
(x
2
– 4x + 3)  1 (-1  x < 1 hoặc 3 < x  5); b)
2)1(log

3
1
x
;
c) log
3
(x - 3) + log
3
(x - 5) < 1; f) log
2
(x + 3) ≥ 1 + log
2
(x – 1) (1 < x < 5);
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
 Bài toán: Tính

b
a
dxxf )(



b
a
dxxf )(

=
a
b
xF )(
= F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) (NewTon-Lebniz)
 Chú ý: ° Phải thuộc lòng bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp.
° Nếu có

dxxf )(
là F(x) thì


 dxbaxf )(
=
a
1
F(ax + b).
 Bài tập: Tính các tích phân sau:
a)


2
1
5
3
)
11
( dxx
x
x

; b)


4
0
325 dxx
; c)



1
0
2
)( dxee
xx
.

: TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC
 Nếu hàm phân thức có bậc đa thức tử lớn hơn hoặc bằng bậc đa thức mẫu thì ta chia đa thức; nếu bậc
đa thức tử nhỏ hơn bậc đa thức mẫu ta dùng hệ số bất đònh A, B.

 Bài toán mẫu số 1: Tính


2
1
2
3
dx
x

xx

 Ta có:


2
1
2
3
dx
x
xx
=


2
1
)
1
( dx
x
x
=
1
2
ln
1
2
2
2

x
x

=
2
3
+ ln2
 Bài toán mẫu số 2: Tính




4
2
3
2
dx
x
x

 Ta có




4
2
3
2
dx

x
x
=




4
2
)
3
5
1( dx
x
=
2
4
3ln5
2
4



xx
= 6 - 5ln7
 Bài toán mẫu số 3: Tính



5

4
2
34
13
dx
xx
x
.
 Ta có



5
4
2
34
13
dx
xx
x
=





5
4
)
3

5
1
2
( dx
xx

= -2


5
4
1x
dx
+ 5


5
4
3x
dx

= -2(lnx - 1)
4
5
+ 5(lnx - 3)
4
5
= ln18
 Chú ý: ° Nếu f(x) = ax
2

+ bx + c có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x - x
2
)
 Bài tập: Tính tích tích phân các hàm phân thức:
a)



3
2
1
1
dx
x
x
; b)


1
0
1
dx

x
x
; c)



1
0
2
1
1
dx
x
xx
; d)
5
3
1
( 2)( 1)
dx
xx

;
31)3)(1(
13
34
13
2










x
B
x
A
xx
x
xx
x

=
)3)(1(
3)(


xx
BAxBA

Giải hệ:












5
2
13
3
B
A
BA
BA

3
5
3
3
3
53
3
2











xx
x
x
x
x
x

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
e)


1
0
2
32xx
dx
; f)



0
1
2
32xx
dx

; g)


1
0
2
65xx
xdx
.
: TÍCH PHÂN HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
 Bài toán: Tính

b
a
dxxf )(

 Xét dấu biểu thức f(x) để phá giá trò tuyệt đối.
 Chú ý:


b
x
x
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
0
0
)()()(

với x
0
 (a; b).
 Bài tập: Tính các tích phân sau:
a)




1
3
2x
dx; b)


2
0
2
dxxx
; c)


3
0
2
2dxxx
;
d)
dxxx




2
2
)2(
; e)



2
0
2
1
34
dx
x
xx
; f)


1
0
2
dxxx
.

: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
 Bài toán 1: Tính I =

b

a
dxxf )(

 Đặt t = (x)  dt = '(x)dx
Đổi cận: x = a  t
1
= (a)
x = b  t
2
= (b)
Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C là hằng số)
Khi đó ta có I =
 

b
a
t
t
b
a
dttfCdxxxfCdxxf
2
1
)(.)(')].([.)(


 Bài toán 2: Tính J =

b
a

dxxf )(

 Đặt x = (t)  dx = '(t) dt
Đổi cận: Với x = a tìm t
1
sao cho (t
1
) = a
Với x = b tìm t
2
sao cho (t
2
) = b
Khi đó ta có: J =

2
1
)(')]([
t
t
dtttf


 Chú ý: Đổi biến dạng 2 áp dụng cho biểu thức dưới dấu tích phân có:
22
xa 
(đặt x = asint);
22
22
1

,
1
xa
xa


(đặt x = atant)
 Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)


1
0
2009
)1( dxxx
; b)
dxxx


1
0
8
2
1
; c)


2
1

1
dx
e
e
x
x
; d)

2
ln
e
e
dx
x
x
;
e)


2
1
32x
dx
; f)


3
0
2
3

1x
dxx
; g)

2
0
2cos
2sin

xe
x
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
12
a)


3
1
2
4 x
dx
; b)


1
0
2

4 x
dx
; c)


1
0
22
1 dxxx
.

: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
 Khi biểu thức dưới dấu tích phân xuất hiện hai hàm số gồm: một đa thức và một lượng giác hoặc e
x
hoặc
lnx (trừ
xxx
x
ln
1
;
ln
) thì nghó đến tích phân từng phần.

 Bài toán: Tính I =

b
a
dxxvxu )(')(

 Đặt















v
dxdu
dxdv
u
. Khi đó ta có I =


b
a
vdu
a
b

uv)(
.

 Chú ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có lnx (
a
x
x
a
ln
ln
log 
) thì đặt u = lnx, dv là thành phần còn lại;
nếu không có lnx thì đặt u = "đa thức", dv là thành phần còn lại.
 Bài tập: Tính các tích phân sau:
a)
dxxx
e

1
2
ln
; b)


2
0
cos)12(

xdxx
; c)


1
0
dxxe
x
;
d)


2ln
0
dxxe
x
; e)


1
0
)1ln(2 dxxx
; f)

e
xdx
1
2
ln
.

: TÍCH PHÂN HÀM LƯNG GIÁC
 Thông thường khi tính tích phân hàm số lượng giác ta biến đổi lượng giác trước khi tính tích phân, gặp

tích thì biến thành tổng, gặp bình phương thì hạ bậc, Nếu biểu thức dưới dấu tích phân chứa nhiều hai
hàm số lượng giác cùng cung (góc) thì ta nghó đến phương pháp đặt ẩn phụ; nếu xuất hiện vừa lượng giác,
vừa đa thức thì dùng tích phân từng phần.
 Bài tập: Tính các tích phân sau:
a)


2
2
3cos.5cos


xdxx
; b)


4
6
2
)cot(


dxgxtgx
; c)


2
0
44
)sin(cos2cos


dxxxx
;
d)

2
3
3
sin
cos


dx
x
x
; e)

2
0
22
cossin

xdxx
; f)


2
0
2
sin)32(


xdxxx
.

: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
 Nếu bài toán cho hai đường số y = f(x) và y = g(x) thì tìm phương trình hoành độ giao điểm; nếu cho ba
đường y = f(x), y = g(x), y = h(x) thì vẽ hình xác đònh hình phẳng cần tìm.

 Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = f(x), hai đường thẳng x = a, x =
b và trục Ox.
vi phân hai vế
nguyên hàm hai vế
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
13
 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S =

b
a
dxxf )(
.
 Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thò của hai hàm số
y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]?
 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S =


b
a
dxxgxf )()(
.

 Chú ý: Giả sử ,  là hai nghiệm thuộc đoạn [a; b] của phương trình f(x) = g(x) thì:
S =



a
dxxgxf )]()([
+




dxxgxf )]()([
+


b
dxxgxf

)]()([

 Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
3
; x + y = 2 và trục hoành; b) y = 2x - x
2
; x + y = 0;
c) y
2

= 2x + 1 và y = x - 1; d) y = x; y = x + sin
2
x (0  x  );
e) y = x
3
, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2;
f) y = x
3
, y = x + 6, y = -x + 2;
g) y = x
3
- 1 và tiếp tuyến với y = x
3
- 1 tại điểm (-1; -2);
h) parabol y = -x
2
+ 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol và trục tung.
Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) trục tung, trục hoành và đồ thò của hàm số y =
1x
1x2


;
b) đồ thò các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1;
c) đồ thò hàm số y = x
3
+ 3x

2
, trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = -1;
d) bởi đồ thò hàm số y =
1x
xx
2


và trục hoành;
e) bởi trục hoành, trục tung , đồ thò hàm số y = x
3
- 3x + 1 và đường thẳng x = -1.

: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI VẬT THỂ TRÒN XOAY
 Trong bài toán giới hạn của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) (y = g(x) không phải
là trục Ox) thì vẽ hình để xác đònh hình phẳng tạo nên vật thể tròn xoay khi quay quanh Ox.

 Bài toán: Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0, quay xung quanh trục Ox
tạo thành một vật thể tròn xoay T. Tính thể tích vật thể tròn xoay T?
 Thể tích vật thể tròn xoay T là: V = 

b
a
dxxf
2
)]([
.
 Bài tập:
Bài 1: Tính thể tích các khối vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi
quay quanh trục Ox:

a) y = x
3
+ 1, y = 0, x = 0, x = 1; b) y = -3x
2
+ 3x , y = 0;
c) y = xe
x
, x = 2 và y = 0; d) y =
3
1
x
3
- x
2
và các đường y = 0, x = 0, x = 3.
Bài 2: Vẽ hình, xác đònh hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây, cho các hình phẳng này quay quanh
Ox, tính thể tích các khối vật thể tròn xoay tạo thành.
a) y= -x + 2, y = x, y = 0; b) y = x
3
, y = -x + 2 và trục hoành;
c) y = 2x - x
2
, y = x; d) y = x
3
, y = -x
2
+ 2 và x = 0.

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ

14
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC

1) Đònh nghóa:
 Số phức có dạng z = a + bi (a, b  R) với a là phần thực, b là phần ảo.

1
2
i

2
1
z
z
z


22
. baibaz 
; 
ibazibaz 


22
bazz 








db
ca
idciba

2) Các phép toán:
Cho hai số phức z
1
= a
1
+ b
1
i, z
2
= a
2
+ b
2
i
 z
1
+ z
2
= (a
1
+ a
2
) + (b
1

+ b
2
)i  z
1
- z
2
= (a
1
- a
2
) + (b
1
- b
2
)i
 z
1
.z
2
= (a
1
a
2
- b
1
b
2
) + (a
1
b

2
+ a
2
b
1
)i (nhân như nhân hai đa thức - lưu ý i
2
= -1)

i
ba
baba
ba
bbaa
iba
iba
z
z
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
22
11

2
1









(nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu)
 Số thực âm r có hai căn bậc hai là i
r
.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Hãy thực hiện các phép tính:
a) 5 + 2i - 3(-7 + 6i); b) (2 -
3
i)(
2
1
+
3
i); c) (1 +
2
i)
2
; d)

i
i
23
152


.
Bài 2: Xác đònh phần thực và phần ảo của các số phức sau đây:
a) z = (0 - i) - (2 - 3i) + (7 + 8i); b) z = (0 - i)(2 + 3i)(5 + 2i);
c) z =
i
i
23
6


; d) z = (7 - 3i)
2
- (2 - i)
2
.
Bài 3: Tìm những số thực x và y thỏa mãn từng điều kiện:
a) x + 2i = 5 + yi; b) (x + 1) + 3(y - 1)i = 5 - 6i.
Bài 4: Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm:
a) z
2
; b)
z
1
; c)

z
; d) z + z
2
+ z
3
.
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
2
- 6x + 29 = 0; b) x
2
+ x + 1 = 0; c) x
2
- 2x + 5 = 0;
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
4
- 5x
2
+ 4 = 0; b) x
4
- 3x
2
- 4 = 0; c) 2x
4
+ 3x
2
- 5 = 0.

* Bài tập tự luyện:

Bài 1: Hãy thực hiện các phép tính:
a) (2 - i) + (
3
1
- 2i) b) (2 - 3i) - (
i
4
5
3
2

); c) (2 - 3i)(3 + i) d) (3 + 4i)
2
;
e)
3
)3
2
1
( i
; f)
i
i


2
1
; g)
i
i

54
32


; h)
i5
3
;
i)
)22)(4(
32
ii
i


; j)
iii
2
1
)2
2
3
)(
3
1
3( 
; k)
)
5
4

3()
5
3
4
5
()
5
1
4
3
( iii 
.
Bài 2: Tìm z, biết:
a)
 
4 5i z 2 i  
b)
   
2
3 2i z i 3i  
; c)
11
z 3 i 3 i
22

  


;
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12

Tài liệu lưu hành nội bộ
15
d)
3 5i
2 4i
z


; e)
i
i
z
i
i





2
31
1
2
.
Bài 3. Tìm môđun của các số phức sau:
a) z = 1 + 4i + (1 - i)
2
; b) z = 4 – 3i + (1 – i)
3
.

Bài 4: Tính giá trò các biểu thức:
a) A =
22
)21()21( ii 
; b) B = z
2
+
2
)(z
với z = 1 +
3
i; c) C = (2 +
5
i)
2
+ (2 -
5
i)
2
;
d) D = z.
z
với z = (1 - 2i)(2 + i)
2
; f) F = (2 +
5
i)
2
+ (2 -
5

i)
2
.
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
2
- 4x + 7 = 0; b) x
3
+ 8 = 0; c) x
2
- 2x + 2 = 0;
d) x
2
- x + 1 = 0; e) x
2
+ 3x + 3 = 0.
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z
2
+ 5 = 0; b) z
2
+ 2z + 2 = 0; c) z
2
+ 4z + 10 = 0;
d) z
2
- 5z + 9 = 0; e) -2z
2
+ 3z - 1 = 0; g) 3z
2

- 2z + 3 = 0.
Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng 1; b) Phần ảo của z bằng -2;
c) Phần thực của z thuộc [-1; 2], phần ảo của z thuộc [0; 1]; d) z  2.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
PHẦN 2: HÌNH HỌC

CHỦ ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:
Bài 1: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45
0
. Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của A' lên
mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC và góc giữa A'A với mặt đáy ABC bằng 60
0
. Tính thể tích
khối lăng trụ.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều ở trong hai mặt phẳng vuông góc
nhau. Cho BC = a, tìm thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
60
0
. Tính thể tích khối chóp.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA  AB, SA  BC, BC  AB. Cho biết BA = a
3
, BC = a

3
, SA = a.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Các cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60
0
.
Tính thể tích khối chóp.
Bài 7: Nếu hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a và góc ASB bằng 60
0
. Tính thể tích khối
chóp.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông
góc với đáy (ABCD). Nếu SA = 2a, AB = a, BC = 3a thì thể tích khối chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại A, mặt bên BB'C'C là hình vuông có
diện tích bằng 2a
2
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 10: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a
3
và hình chiếu
vuông góc với A' lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một
góc 60
0
. Đỉnh A' cách đều các đỉnh ABCD. Tính thể tích khối hộp.

II. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN:
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 60
0
. Xác đònh tâm và bán

kính mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh là a.
Bài 3: Cho tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c và đôi một vuông góc. Xác đònh tâm và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 5. Đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B và BA = 3, BC
= 4. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 5: Cặt khối trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng qua trục của khối trụ đó ta được một hình vuông cạnh
a. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
Bài 6: Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh
của hình nón đó.
Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 30
0
. Tính diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Bài 8: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông là AB = 3, AC = 4, quay quanh đường thẳng chứa
cạnh BC được hình tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình tròn xoay đó.
Bài 9: Đường cao của một khối tròn xoay bằng 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi qua
đỉnh và cắt khối nón theo một thiết diện là một tam giác, biết rằng khoảng cách từ tâm của đáy đến thiết
diện đó là 12cm. Tính diện tích thiết diện.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
17
Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc .
Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60
0
.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và tính thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 12: Một hình trụ có bán kính đáy là R và đường cao là R
3

.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Bài 13: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
Bài 14: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, chiều cao h = a
3
. Tính diện tích
mặt trụ nội tiếp trong lăng trụ.
* Một số bài toán trong các đề thi:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh
bên SB bằng a
3
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của
cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 6*: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =
a
2

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
18
CHỦ ĐỀ 2: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1. Tọa độ vectơ, tọa độ điểm trong không gian Oxyz:
1) Đối với hệ tọa độ Oxyz, nếu
);;( zyxu 

,
)';';'( zyxv 

thì:
ª
vv


= (x + x'; y + y'; z + z') ª
vv


= (x - x'; y - y'; z - z')
ª k
u

= (kx; ky; kz) ª
vu

.

= xx' + yy' + zz'
ª









'
'
'
zz
yy
xx
vu

ª
u

cùng phương
v

(
0


v

)  kR:








'
'
'
kzz
kyy
kxx

ª
222
zyxu 

ª
0.  vuvu

 xx' + yy' + zz' = 0
ª










''
;
''
;
''
],[
yx
yx
xz
xz
zy
zy
vu

ª
222222
'''
'''.
),cos(
zyxzyx
zzyyxx
vu
vu
vu








2) Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B
), C(x
C
; y
C
; z
C
) thì:
ª
AB
= (x
A
- x
B

; y
A
- y
B
; z
A
- z
B
) ª AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx 

ª Trung điểm của AB: I(
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx 
)
ª Trọng tâm tam giác ABC: G(
3
;
3
;
3
CBACBACBA

zzzyyyxxx 
)
ª A, B, C thẳng hàng 
AB
cùng phương
AC

3) Điều kiện đồng phẳng:
ª Ba vectơ
cba



,,
đồng phẳng  k,l  R:
clcka



ª Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng 
ADACAB ,,
đồng phẳng
* Bài tập rèn luyện:
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
kjiu



352 
,

kjv



12 
và
)2;7;1(w

.
a) Tìm tọa độ
d

biết
wvud


3
3
1
4 
; b) Tìm tọa độ
e

biết
vuwe

4)(2 
.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(4; -1; 1), B(2; 1; 0), C(2; 3; 4). Tính chu vi tam giác
ABC.

Bài 4: Tính tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ
ba


,
trong mỗi trường hợp sau:
a)
a

= (1; -1; 1),
b

= (0; 1; 2); b)
a

= (4; 3; 4),
b

= (2; -1; 2).
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho
a

= (0; 1; 2),
b

= (1; 2; 3),
c

= (1; 3; 0),
d


= (2; 5; 8).
a) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
cba



,,
không đồng phẳng.
b) Hãy phân tích vectơ
d

theo hai vectơ
ba


,
từ đó kết luận gì về ba vectơ
dba


,,
.
c) Phân tích vectơ
u

= (2; 4; 11) theo ba vectơ
cba




,,
.
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ tùy ý
cba



,,
. Gọi
acwcbvbau





32,3,2 
. Chứng tỏ
rằng ba vectơ
wvu

,,
đồng phẳng.
Bài 7: Cho các điểm A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-2; 3; 3).
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ của điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.
c) Chứng minh O, A, B, C là 4 đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện đó.
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho hai bộ ba điểm:
a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1); b) M(1; 1; 1), N(-4; 3; 1), P(-9; 5; 1).
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12

Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Hỏi bộ ba nào thẳng hàng?
Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho vectơ
a

= (1; -3; 4).
a) Tìm y
0
và z
0
để cho vectơ
b

= (2; y
0
; z
0
) cùng phương
a

.
b) Tìm tọa độ của vectơ
c

biết rằng
a

,
c


ngược hướng và
ac

2
.
Bài 10: Cho các vectơ
)2;0;1( a

,
)1;2;1( b

,
)2;3;0( c

. Tìm tọa độ của vectơ
u

biết:
a)
0232




 ucba
; b)
buau




 ,
và
u

=
21
.
Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1; 0;1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh
còn lại của hình hộp.
Bài 12: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao
của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Bài 13: Cho các điểm A(2; 1; -2), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D  Oy.
a) Tính diện tích ABC;
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC;
c) Tính góc giữa hai đường thẳng OA và BC.
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1). Hãy tìm trên mặt phẳng
(Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A, B, C.

2. Phương trình mặt cầu:
ª Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính r có dạng:
(x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= r

2
.
ª Ngược lại, phương trình x
2

+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
- D > 0 là phương
trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C) và có bán kính R =
DCBA 
222
.
* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Xác đònh tọa độ tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a x
2
+ y
2
+ z
2
- 8x + 2y + 1 = ; b x
2

+ y
2
+ z
2
+ 4x + 8y - 2z - 4 = .
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.
b) (S) có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ.
c (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; -3 và B(-2; 3; 5;
d (S) đi qua bốn điểm A(1; 2; 2, B(0; 0; 1, C(2; 4; 1, C(4; 2; -1.
Bài 3: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu khi đó xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu:
a) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
+ 8x + 4y - 12z - 100 = 0; b) x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 6x + 2y - 16z - 26 = 0;
c) x
2
+ y
2
+ z
2

+ 4x + 6y – 2z + 14 = 0; d) 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 12y + 12z + 36 = 0.
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) (S) có tâm thuộc Oz và đi qua 2 điểm C(0; 1; 2), D(1; 0; -1).
b) (S) đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1);
c) (S) đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz).
d) (S) có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc mp(Oyz).
Bài 5: Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
Bài 6: Cho mặt cầu (S) có phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 4z = 0.
a) Xác đònh tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S);
b) Xác đònh tọa độ giao điểm của (S) với các trục tọa độ.


Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
3. Phương trình mặt phẳng:
ª Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () là vectơ (khác vectơ
0


) có giávuông góc với mp().
ª Nếu mặt phẳng () song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương
ba


,
thì mặt phẳng () có
một vectơ pháp tuyến là
],[ ban



.
M(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
vectơ pháp tuyến của mp(

)

u
= (A; B; C)

α

b
a
b
a
b'
a'
b
a
n
= [
a
,
b
]


ª Mặt phẳng ():



 C)B;A;nVTPTcó
)z;y;M(xqui
000
(

có phương trình: A(x - x
0
) + B(y - y

0
) + C(z - z
0
) = 0
* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:
a) () đi qua điểm M(2; 0; 1) và nhận vectơ
n

= (1; 1; 1) làm vectơ pháp tuyến.
b) () đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vectơ
u

= (0; 1; 1),
v

= (-1; 0; 2).
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua A(2; -1; 4) và vuông góc BC biết B(3; 2; -1), C(0; -2; -1).
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6).
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng ()
có phương trình x - y + z + 1 = 0.
Bài 6: Viết phương trình mp(P) đi qua A(0; 2; 0) và song song mp(Q): 2x + 3y - 4z - 2 = 0.
Bài 7: Viết phương trình mp(Q) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; -1), C(0; 3; 0) và chứng minh bốn điểm A,
B, C và D(-1; -3; 4) tạo thành một tứ diện.
Bài 8: Lập phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Bài 9: Lập phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp:
a) () chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2);
b) () đi qua hai điểm A(-1; 4; -1), B(1; 1; 3) và song song với trục Oy.
c) () đi qua điểm O và chứa đường thẳng AB với A(1; 2; 3), B(-1; 1; 3).

Bài 10: Viết phương trình mp() đi qua các điểm M
1
, M
2
, M
3
lần lượt là hình chiếu của M(-2; 3; 1) lên các
trục toạ độ.
Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc với mp(P) có
phương trình: x - y + z + 1 = 0.
Bài 12: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng
(): 3x - 2y + 2z + 7 = 0, (): 5x - 4y + 3z + 1 = 0.

* Tiếp diện của mặt cầu:
Bài 1: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0).
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+z
2
- 2x + 2y + 4z - 3 = 0 và mặt phẳng (P) có
phương trình: x – y – 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với
mp(P)

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(2; 1; 3) và nhận mp(P): 2x - 2y + z - 16 = 0 làm tiếp diện.

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
21
Bài 4: Cho đường thẳng d:
2
1
1
1
2




zyx
. Viết phương trình mặt cầu có tâm trên d và tiếp xúc với hai
mặt phẳng (): x + y - 2z + 5 = 0 và (): 2x – y + z + 2 = 0.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương
trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
Bài 6: Cho A(1; 0; 2), B(1; 1; 0),C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình đường cao DH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc vơí mặt cầu ngoại tiếp tứ diện tại A.
Bài 7: Viết phương trình mp(P) song song với trục Oz, vuông góc mp(Q): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt
cầu (S): x
2
+ y
2
+ z

2
- 2x + 2y - 4z - 3 = 0.

IV. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

v
u
= (a; b; c)
Vectơ chỉ phương của
M(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
z
x
y
O

Đường thẳng :



 c)b;(a;uVTCPcó
)z;y;M(xqui

000

có phương trình tham số









)(
0
0
0
Rt
ctzz
btyy
atxx

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua hai điểm P(2; 3; -1) và Q(1;
2; 4).
Bài 2: Viết phương trình tham của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua A(3; 2; -1) và song song với đường thẳng
43
1
2
1 zyx






;
b) d đi qua B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng 








tz
ty
tx
4
33
21
.
Bài 3: Xét vò trí tương đối của cặp đường thẳng d:









tz
ty
tx
46
32
23
và d':








tz
ty
tx
20
41
5
.
Bài 4: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng





04523

0432
zyx
zyx
.
Bài 5: Chứng minh hai đường thẳng d:








tz
ty
tx
22
1
3
và d':








sx
sy

sx
2
32
chéo nhau và vuông góc nhau.
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng d biết:
a) d đi qua điểm A(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P):x - 2y + 1 = 0;
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
22
b) d đi qua B(-1; 2; -3), song song với (Q):x + 2y - z = 0 và vuông góc với d':








tz
y
tx
3
0
2
;
c) d tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z

2
+ 2x - 4y - 1 = 0 tại C(1; 1; 1) và tạo với Oz một góc 45
0
.
Bài 7: Lập phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng d:
1
9
2
3
1
7





 zyx
và
d':
3
1
2
1
7
3 




 zyx

.
Bài 8: Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng
1
1
4
2
3
2 



 zyx
trên mp(P): x + 2y + 3z + 4 = 0.
Bài 9: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các trường hợp:
a)
,
5
4
3
3
2
2
:
1





 zyx

d

1
4
2
4
3
1
:
2






 zyx
d
.
b) :
2
4
1
3
2
1






 zyx
, ':
4
1
2
1
4
2 





 zyx
.
5. Vò trí tương đối và khoảng cách:
Bài 12: Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) đến mặt phẳng 2x - y + 2z - 9 = 0.
Bài 6: Cho A(2; -2; 0), B(4; 2; -2), Viết phương trình mp(P) vuông góc với AB và cách M(1; -1; 0) một
khoảng bằng 3.
Bài 8: Cho (): 4x + ay + 6z - 10 = 0, (): bx - 12y - 12z + 4 = 0. Xác đònh a, b để () // () rồi tính khoảng
cách từ () đến ().
Bài 9: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Tín độ dài đường cao thuộc đỉnh A của tứ diện
ABCD.