TỔNG HỢP KIẾN THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT

trần quốc hng


tổng hợp kiến thức
và cách giải các dạng bài tập toán 9

Năm 2008


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

tổng hợp kiến thức
và cách giải các dạng bài tập toán 9
Phần I:
Đại số

A. Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
A2 = A
a.
AB = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0)
b.
c.

A
=
B

d.

A2 B = A B

e.

A
B

( A ≥ 0; B > 0)

A B = A2 B

( A ≥ 0; B ≥ 0)

A B = − A2 B

f.

A 1
=
B B

( B ≥ 0)

AB

( A < 0; B ≥ 0)
( AB ≥ 0; B ≠ 0)

i.

A
A B
=
B
B

k.

C
C( A m )
B
=
2
A− B
A±B

m.

C
C( A m B )
=
A − B2
A± B

( B > 0)
( A ≥ 0; A ≠ B 2 )
( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )

3. Hµm sè y = ax + b (a ≠ 0)

- TÝnh chÊt:
+ Hµm số đồng biến trên R khi a > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hµm sè y = ax2 (a ≠ 0)
- TÝnh chất:
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng

2


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành.
5. Vị trí tơng ®èi cđa hai ®êng th¼ng
XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d')
(d) và (d') cắt nhau a a'
(d) // (d') ↔ a = a' vµ b ≠ b'
(d) ≡ (d') a = a' và b = b'
6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong.
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

(d) và (P) không có điểm chung
7. Phơng trình bậc hai.
Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
C«ng thøc nghiƯm
C«ng thøc nghiƯm thu gän
2
∆ = b - 4ac
∆' = b'2 - ac víi b = 2b'
NÕu ∆ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm - Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:
phân biệt:
x1 =

b + ∆
2a

;

x2 =

−b − ∆
2a

x1 =

− b ' + ∆'
a

;

x2 =

b' '
a

Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm

- Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiƯm

kÐp :

kÐp:

−b
x1 = x2 =
2a

NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng trình vô nghiệm

x1 = x2 =

b'
a

- Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm

8. Hệ thức Viet và øng dơng.
- HƯ thøc Viet:
NÕu x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) th×:
−b


 S = x1 + x2 = a


 P = x .x = c
1 2

a


- Mét sè øng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình:
x2 - Sx + P = 0
(§iỊu kiƯn S2 - 4P 0)
+ Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:
x1 = 1 ; x2 =

c
a

NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:

Trần Quốc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

3


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

x1 = -1 ; x2 =

c
a

9. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm
nào thích hợp với bài toán và kết luận
B. các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán: Rút gọn biểu thøc A
 §Ĩ rót gän biĨu thøc A ta thùc hiện các bớc sau:
- Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- Đa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia....
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
Dạng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.
Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút
gọn biểu thức A
Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a
Cách giải:
- Rút gọn biểu thức A(x).
- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
Một số phơng pháp chứng minh:

- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
A=B A-B=0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp.
A = A1 = A2 = ... = B
- Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh.
A = A1 = A2 = ... = C
A=B
B = B1 = B2 = ... = C
- Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng.
A = B ↔ A' = B' ↔ A" = B" ↔ ...... (*)
(*) đúng do đó A = B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết.

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Ph¬ng

4


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

- Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp.
- Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B
Một số bất đẳng thức quan trọng:
- Bất đẳng thức Cosi:

a1 + a2 + a3 + ... + an n
≥ a1.a2 .a3 ...an (víi a1 .a2 .a3 ...an 0 )
n

Dấu = xảy ra khi và chØ khi: a1 = a2 = a3 = ... = an
- Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:
Với mọi số a1; a2; a3;; an; b1; b2; b3;…bn

( a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn ) 2 ≤ (a12 + a22 + a32 + ... + an2 )(b12 + b22 + b32 + ... + bn2 )
a1

a2

a3

an

Dấu = xảy ra khi và chØ khi: b = b = b = ... = b
1
2
3
n
Một số phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa
A>B A-B>0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trùc tiÕp
A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nếu M 0
- Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng
A > B A' > B' ↔ A" > B" ↔ ...... ↔(*)
(*) ®óng do đó A > B
- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu
A > C và C > B A > B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng

Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tơng đơng
để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B.
- Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết.
- Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp.
- Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 5: bài toán liên quan tới phơng trình bậc hai
Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
Các phơng pháp giải:
- Phơng pháp 1: Phân tích đa về phơng trình tích.
- Phơng pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai
x2 = a x = a
- Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiÖm
Ta cã ∆ = b2 - 4ac
+ NÕu ∆ > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

b + ∆
2a

;

x2 =

−b − ∆
2a

+ NÕu ∆ = 0 : Phơng trình có nghiệm kép
x1 = x2 =

b

2a

Trần Quốc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

5


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

+ Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gän
Ta cã ∆' = b'2 - ac víi b = 2b'
+ Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 =

− b ' + ∆'
a

;

x2 =

− b' '
a

+ Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiÖm kÐp
x1 = x2 =

− b'
a

+ NÕu ∆' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.
Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) th×:

−b

x1 + x2 =


a

 x .x = c
1 2 a

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.
Bài to¸n 2: BiƯn ln theo m sù cã nghiƯm cđa phơng trình bậc
2
hai ax + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ).
 XÐt hƯ sè a: Cã thĨ cã 2 khả năng
a. Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m.
Giả sử a = 0 m = m0 ta có:
(*) trở thành phơng trình bậc nhÊt ax + c = 0 (**)
+ NÕu b ≠ 0 víi m = m0: (**) cã mét nghiƯm x = -c/b
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 với m = m0: (**) vô định (*) vô định
+ Nếu b = 0 và c 0 với m = m0: (**) v« nghiƯm ↔ (*) v« nghiƯm
b. Trờng hợp a 0: Tính hoặc '
+ Tính ∆ = b2 - 4ac
NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

b +
2a

;

x2 =

b
2a

Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kÐp :

x1 = x2 =

−b
2a

NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng trình vô nghiệm
+ Tính ' = b'2 - ac với b = 2b'
Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 =

− b ' + ∆'
a

;

x2 =

− b ' '
a

Nếu ' = 0 : Phơng trình cã nghiÖm kÐp:

x1 = x2 =

− b'
a

NÕu ∆' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Ghi tóm tắt phần biện luận trên.

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng

6


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
hai
ax + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiƯm:
1. Hc a = 0, b ≠ 0
2. Hc a ≠ 0, ∆ ≥ 0 hc ∆' 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mÃn điều kiện 1 hoặc
điều kiện 2.
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc

hai
2
ax + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) có 2 nghiệm phân biệt.
2

a 0
a 0
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt
hoặc
'
> 0
> 0

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
ax + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 1 nghiƯm.
 §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:

hai

2

a≠ 0
a≠ 0
a= 0
 hc  hc  '
∆ = 0
b≠ 0
= 0

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc

ax + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp.

hai

2

a≠ 0
a≠ 0
 §iỊu kiện có nghiệm kép:
hoặc
' = 0
= 0


Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
ax + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) vô nghiệm.

hai

2

a 0
a 0
Điều kiện có một nghiệm:
hoặc
' < 0
< 0


Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc

ax + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 1 nghiƯm.

hai

2

a≠ 0
a 0
a= 0
Điều kiện có một nghiệm:
hoặc
hoặc
b 0
=0
' = 0




Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
ax + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.
 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:

hai

2

TrÇn Qc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

7

tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tËp to¸n 9

∆ ≥ 0

 c
 P = a > 0

hoặc

' 0

c
P= > 0
a

Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bËc
ax + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.
Điều kiƯn cã hai nghiƯm d¬ng:


 ∆' ≥ 0
∆ ≥ 0


 c
 c
 P = > 0 hc  P = > 0
 a

 a
b

b

S = − a > 0
S = a > 0


Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
2
ax + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ©m.
 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ©m:


 ∆' ≥ 0
∆ ≥ 0


c
 c

 P = > 0 hc  P = > 0
 a
 a
b

b

S = − a < 0

S = a < 0


Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
2
ax + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a và c trái dấu.
Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
2
ax + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x1.
 C¸ch giải:
- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta cã: ax12 + bx1 + c = 0 → m
- Thay giá trị của m vào (*) x1, x2

hai

2

- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 =

hai

hai

hai

P
x1

Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc
hai
ax + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn các
điều kiện:
a. x1 + βx2 = γ
b. x12 + x22 = k
2

c.

1
1
+
=n
x1 x2

d. x12 + x22 ≥ h

3
e. x13 + x2 = t

 §iỊu kiƯn chung: ∆ ≥ 0 hc ∆' ≥ 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Ph¬ng

8


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tËp to¸n 9

−b

x1 + x2 = = S (1)


a

 x . x = c = P ( 2)
1 2 a


a. Trêng hỵp: αx1 + βx2 = γ

−b

 x1 + x2 =
Gi¶i hƯ 
a
 α x1 + β x2 = γ

x1, x2

Thay x1, x2 vào (2) m
Chọn các giá trị của m thoả mÃn (*)
b. Trờng hợp: x12 + x22 = k ↔ ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = k
Thay x1 + x2 = S =

−b
a

vµ x1.x2 = P =

c
a

vµo ta cã:

S2 - 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mÃn (*)
c. Trêng hỵp:

1
1
+
= n ↔ x1 + x2 = nx1.x2 ↔ b = nc
x1 x2

Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mÃn (*)
d. Trờng hợp: x12 + x22 ≥ h ↔ S 2 − 2 P h 0
Giải bất phơng trình S2 - 2P - h ≥ 0 chän m tho¶ m·n (*)
3
e. Trêng hỵp: x13 + x2 = t ↔ S 3 − 3PS = t

Giải phơng trình S 3 3PS = t chọn m thoả mÃn (*)
Bài toán 15 : Tìm hai sè u vµ v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P

cđa

chóng.
 Ta cã u và v là nghiệm của phơng trình:

x2 - Sx + P = 0 (*)
(Điều kiện S2 - 4P 0)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm.
Nội dung 6:

giải phơng trình
bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ

Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0
Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
at + bt + c = 0
2

Bảng tóm tắt
ax4 + bx2 + c = 0

Trần Quốc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

9


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

vô nghiệm
2 nghiệm âm
nghiệm kép âm
1 nghiệm dơng

vô nghiệm

vô nghiệm
vô nghiệm
2 nghiệm đối nhau
4 nghiệm
2 cặp nghiệm đối nhau

2 nghiệm dơng
Bài toán 2: Giải phơng trình A( x 2 +
Đặt

x +

1
x

Suy ra t2 = ( x

1
1
) + B( x + ) + C = 0
2
x
x

= t ↔ x2 - tx + 1 = 0
+

1
x

)2 = x 2 +

1
1
+ 2 ↔ x2 + 2 = t 2 − 2
2
x
x

Thay vào phơng trình ta có:
A(t2 - 2) + Bt + C = 0
↔ At2 + Bt + C - 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào

x +

Bài toán 3: Giải phơng trình A( x 2 +
Đặt

x

1
x

Suy ra t2 = ( x

1
x

= t giải t×m x.

1
1
) + B( x − ) + C = 0
2
x
x

= t ↔ x2 - tx - 1 = 0
−

1
x

)2 = x 2 +

1
1
− 2 ↔ x2 + 2 = t 2 + 2
2
x
x

Thay vào phơng trình ta có:
A(t2 + 2) + Bt + C = 0
↔ At2 + Bt + C + 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào

x

1
x

= t giải tìm x.

Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao
Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng:
+ Phơng trình tích
+ Phơng trình bậc hai.
Nội dung 7:
giải hệ phơng trình

Bài toán: Giải hệ phơng trình
Các phơng pháp giải:

ax + by = c

 a ' x + b' y = c '

+ Phơng pháp đồ thị
+ Phơng pháp cộng
+ Phơng pháp thế

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng

10


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
Nội dung 7:

giải phơng trình vô tỉ

Bài toán 1: Giải phơng trình dạng
Ta cã

f ( x) = g ( x )

(1)

 g(x) ≥ 0 (2)
f ( x) = g ( x) ↔
2
f (x) = [ g(x)] (3)


Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1)
Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) +
Điều kiện có nghĩa của phơng trình

h( x ) = g ( x )

 f ( x) ≥ 0

 h( x ) ≥ 0
 g ( x) ≥ 0

Víi ®iỊu kiện trên thoả mÃn ta bình phơng hai vế để giải tìm x.

Nội dung 8:
giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán: Giải phơng trình dạng
Phơng pháp 1:

f ( x ) =g ( x )

 g ( x) ≥ 0
f ( x ) =g ( x ) ↔
 2
[ f ( x )] = [ g ( x ) ] 2


XÐt f(x) ≥ 0 → f(x) = g(x)
XÐt f(x) < 0 - f(x) = g(x)
Phơng pháp 3: Víi g(x) ≥ 0 ta cã f(x) = ± g(x)
Phơng pháp 2:

Nội dung 9:

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M
Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m

Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0
Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức.
Nội dung 10:
các bài toán liên quan đến hàm số

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng

11


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

* Điểm thuộc đờng - đờng đi qua một điểm

Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một
điểm
A(xA;yA). Hỏi (C) có đi qua A không?
Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phơng trình của (C)
A(C) yA = f(xA)
Dó đó tính f(xA)
Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A.
Nếu f(xA) yA thì (C) không đi qua A.
* sự tơng giao của hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số
y = f(x) và y = g(x)
HÃy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị
Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình hoành độ
điểm chung:

f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung.
- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau.
- NÕu (*) cã 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.
* lập phơng trình đờng thẳng

Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA)
và có hệ số góc bằng k.
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA
- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình của (D)
Bài toán 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA);
B(xB;yB)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b
(D) đi qua A và B nªn ta cã:

 y A = ax A + b

 y B = ax B + b

Gi¶i hƯ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D)
Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp
xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc
b và suy ra phơng trình của (D)

Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA)
k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng

12


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hoành ®é ®iĨm chung cđa (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép.
Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***)
Tõ (**) vµ (***) → a vµ b → Phơng trình đờng thẳng (D).

Phần II:
hình học

A. Kiến thức cần nhớ.
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b2 = ab' c2 = ac'

A

h2 = b'c'

b

c

ah = bc
a =b +c
2

2

2

B

1
1 1
= 2+ 2
2
h
b c

h
c'

b'
C

H
a

2. Tỉ số lợng giác của góc nhọn.
0 < sinα < 1 0 < cossα < 1

TrÇn Quèc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

13


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tËp to¸n 9

tgα =

sin α
cos α

tgα.cotgα = 1

cot gα =

1 + tg 2α =

cos α
sin α

1
cos 2 α

sin2α + cos2α = 1
1 + cot g 2α =

3. HƯ thøc vỊ cạnh và góc trong tam giác vuông.

1
sin 2

B

b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC

a
c

c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
A

b

C

4. Đờng tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc một và chỉ một
đờng tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có một tâm đối xứng; có vô số
trục đối xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây.
Trong một đờng tròn
+ Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:

Trong một đờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

Trần Quèc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

14


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Số điểm chung

Hệ thức liên hệ
giữa d và R

2

d
1

d=R

0

Vị trí tơng đối

d>R

- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau

- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau

- Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau

- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối

Số điểm
chung

Hệ thức liên hệ giữa d
và R

- Hai đờng tròn cắt nhau
2
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài

R - r < OO' < R + r

OO' = R + r
1

+ Tiếp xúc trong

OO' = R - r

- Hai đờng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau

OO' > R + r

+ (O) đựng (O')
+ (O) và (O') đồng tâm

0

OO' < R - r
OO' = 0

Trần Quốc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

15


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

5. Tiếp tuyến của đờng tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính ®i qua

tiÕp ®iĨm.
- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tun:
+ §êng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
+ Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi
A

qua điểm đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:

O

M

+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB

B

+ OM là phân giác của góc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn: là đờng thẳng tiếp xúc với cả hai
đờng tròn đó:
Tiếp tuyến chung ngoài
Tiếp tuyến chung trong
d

d

d'

O
O'

O
O'

d'

6. Góc với đờng tròn
Loại góc

Hình vẽ
A

B

1. Góc ở tâm

Ã
AOB = sd ằ
AB

O

A

B

2. Góc nội tiếp

Công thức tính số đo

1
Ã
AMB = sd ằ
AB
2

O

M

Trần Quốc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

16


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9
x

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung.

A

B

1
Ã

xBA = sd ằ
AB
2

O

B
A

4. Góc có đỉnh ở bên trong ®êng trßn

1
·
»
AMB = ( sd » + sdCD)
AB
2

M
O
C

D
M

D

C

5. Gãc cã đỉnh ở bên ngoài đờng tròn

1
Ã
ằ
AMB = ( sd ằ sdCD)
AB
2

O
A
B

Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở
tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội
tiếp thì chắn nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung
thì bằng nhau.
7. Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R :

l=

Rn
180

8. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: S =
9. Các loại đờng tròn
Đờng tròn ngoại tiếp
tam giác

Đờng tròn nội tiếp
tam giác

R 2 n lR
=
360
2

Đờng tròn bàng tiếp
tam giác

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Ph¬ng

17


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9
A

A

A

B
C

O

O

F

B

E

J

C

B
C

Tâm đờng tròn là giao
của ba đờng trung trực
của tam giác

Tâm đờng tròn là giao của
ba đờng phân giác trong của
tam giác

10. Các loại hình không gian.

a. Hình trơ.
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2πrh
- DiƯn tÝch toàn phần: Stp = 2rh + r2
- Thể tích hình trơ: V = Sh = πr2h
b. H×nh nãn:
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl
- Diện tích toàn phần: Stp = 2πrl + πr2
1
- ThĨ tÝch h×nh trơ: V = π r 2 h
3

c. H×nh nãn cơt:
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l
1
3

- ThÓ tÝch: V = h(r12 + r22 + r1 r2 )
d. Hình cầu.
- Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d
4
3

- Thể tích hình cầu: V = R3

Tâm của đờng tròn bàng
tiếp trong góc A là giao
điểm của hai đờng phân
giác các góc ngoài tại B
hoặc C hoặc là giao điểm
của đờng phân giác góc A

và đờng phân giác ngoài
tại B (hoặc C)

r: bán kính
Trong đó
h: chiều cao

Trong đó

r: bán kính
l: ®êng sinh
h: chiỊu cao

r1: b¸n kÝnh d¸y lín
r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá
Trong ®ã l: ®êng sinh
h: chiỊu cao
R: b¸n kÝnh
Trong ®ã
d: ®êng kÝnh

11. Tø gi¸c néi tiÕp:
 DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tø gi¸c cã tỉng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại mét ®Ønh b»ng gãc trong cđa ®Ønh ®èi diƯn
- Tø giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một
góc .

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Ph¬ng

18


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

B. các dạng bài tập.
Dạng 1: Chứng minh hai gãc b»ng nhau.
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c
- Hai gãc b»ng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi mét b»ng nhau
- Hai gãc cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai gãc cïng nhän hc cïng tù có các cạnh đôi một song song hoặc
vuông góc
- Hai góc ó le trong, so le ngoài hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của mmột tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trơng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng
bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song

Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc b»ng nhau:
+ ë vÞ trÝ so le trong
+ ë vÞ trí so le ngoài
+ ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông gãc
 C¸ch chøng minh:
- Chóng song song song song víi hai đờng thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm dây và dây.

Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Ph¬ng

19


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tập toán 9

- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy.
Cách chứng minh:
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân
giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 5: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Cách chứng minh:

* Hai tam giác thờng:
- Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
- Có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau
- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau
- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Cách chứng minh:
* Hai tam giác thờng:
- Có hai góc bằng nhau đôi một
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ
- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ
* Hai tam giác vuông:
- Có một góc nhọn bằng nhau
- Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học
Cách chứng minh:
Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*)
- Chøng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB hc ∆MAD ∼ ∆MCB
- NÕu 5 ®iĨm M, A, B, C, D cúng nằm trên một đờng thẳng thì phải chứng
minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba:
MA.MB = ME.MF
MC.MD = ME.MF
Tøc lµ ta chøng minh: ∆MAE ∼ ∆MFB
∆MCE ∼ MFD
MA.MB = MC.MD
* Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chøng minh ∆MTA ∼ ∆MBT
D¹ng 8: Chøng minh tứ giác nội tiếp

20
Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Ph¬ng


tổng hợp kiến thức và cách giải các dạng bài tËp to¸n 9

 C¸ch chøng minh:
DÊu hiƯu nhËn biÕt tø giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một
góc .
Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R)
Cách chứng minh:
- Chứng minh OT MT tại T (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính
- Dùng góc nội tiếp.
Dạng 10: Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc
Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông.
- Dựa vào tỷ số lợng giác
- Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
- Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích...
đây chỉ là một số kiến thức cơ bản của chơng trình toán 9

để ôn tập tốt hơn các em cần
đọc kỹ tài liệu và xem thêm sách giáo khoa toán 9

Trần Quốc Hng - Trêng THCS Gia Ph¬ng

21