Phương trình lượng giác luyện thi đại học

K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
Chuyên mục: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LTĐH 2014
Lời nói đầu. Phương trình lượng giác hầu như có mặt trong tất cả các đề thi Đại học, Cao đẳng t ừ xưa đến nay của
Bộ GD-ĐT. Phương trình lượng giác thường đặt ở vị trí câu II trong các đề thi Đại học, Cao đẳng với mức độ bình
thường để học sinh TB khá trở lên cũng có thể có khả năng lấy điểm. Tuy vậy, để lấy được điểm nguyên vẹn của câu
này cũng còn là vấn đề so với nhiều học sinh. Các em học sinh cứ than phiền lượng giác công thức nhiều, biến đổi
phức tạp và trong nhiều công thức nên chọn công thức nào để biến đổi thích hợp ?
Tôi xin mạn phép nói với các em ấy rằng, những lý do đó chưa hẳn là chính đáng đâu các em à!
Với hi vọng giúp đỡ các em học sinh ấy học tốt lượng giác hơn, các em sẽ không còn ngại ngùng với đống công thức
hỗn độn của lượng giác khi đối mặt với các dạng câu lượng giác trong đề thi. Nhưng với sự hỗ trợ của các thầy cô, các
bạn học sinh, sinh viên với những kinh nghiệm bản thân cùng khả năng phân tích, định hướng sát thực s ẽ giúp các em
học sinh tiếp cận gần hơn với các phương trình lượng giác để các em có hướng tư duy đúng.
Chuyên đề được viết dưới dạng các bài toán chọn lọc cụ thể. Mỗi bài toán đều có sự phân tích, định hướng lời giải kĩ
càng được chia sẽ từ các bạn học sinh, các thầy cô dày dặn kinh nghiệm trên diễn đàn K2pi.net. Với ngôn ngữ đời
thường, có pha chút hài hước, hi vọng sẽ mang lại cho các em học sinh những kiến thức, kinh nghiệm thật quý báu
nhất.
*****
1. Giải phương trình sau: 8(sin
6
x + cos
6
x) + 3
√
3
sin 4x = 3
√
3
cos 2x − 9 sin 2x + 11
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Trước hết, nhìn tổng quan phương trình trên, trong phương trình chỉ chứa

hai hàm lượng giác là hàm sin và hàm cosin nên điều đáng chú ý đầu tiên đó là bậc (6) và các góc lượng giác (chứa
các góc x → 2x → 4x). Những điều ta nhìn thấy này ắt hẳn khiến ta nghĩ đến công v iệc cần làm đầu tiên là hạ bậ c
(để bậc nhỏ lại) và sử dụng công thức nhân đôi (để chuyển về cùng góc). Cụ thể:
• sin
6
x + cos
6
x = [sin
2
x]
3
+ [cos
2
x]
3
= (sin
2
x + cos
2
x)(sin
4
x − sin
2
x cos
2
x + cos
4
x)
= 1 − 3 sin
2

x cos
2
x.
• sin 4x = 2 sin 2x cos 2x.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
8

1 − 3sin
2
xcos
2
x

+ 6
√
3 sin 2x cos 2x = 3
√
3 cos 2x − 9 sin 2x + 11
Như vậy, với bước là m đầu tiên, bậc c ao đã giả m xuống, góc 4x đã mất đi. Đến đây, phương trình đã được đơn giản
hóa đi một phần đáng kể, nhưng chúng ta còn phải thực hiện một thao tác nữa bằng cách sử dụng một công thức
quen thuộc sin
2
x cos
2
x =
1
4
(2 sin x cos x)
2
=

1
4
sin
2
2x. Lắp ráp nó vào phương trình trên ta thu được:
8

1 −
3
4
sin
2
2x

+ 6
√
3 sin 2x cos 2x = 3
√
3 cos 2x − 9 sin 2x + 11
⇐⇒ − 2 sin
2
2x + 2
√
3 sin 2x cos 2x −
√
3 cos 2x + 3 sin 2x −1 = 0 (1)
Những vấn đề khó khăn nhất đã được giải quyết, bậc cao nhất chỉ là bậc 2, phương trình chỉ còn một góc duy nhất
là 2 x. Phương tr ình bây giờ không còn điều gì để băn khoăn ngoài việc đưa về phương trình tích. Đến đây, nếu mất
một khoảng thời gian mò mẫm ta cũng sẽ nhóm được thành nhân tử thôi. Để khỏi mất thời gian hơn, chúng ta cần
có một cách nhìn nhận tốt hơn để nhóm thành nhân tử nhanh hơn. Nào, chúng ta cùng theo dõi cách nhìn sau nhé:

+ Trong phương trình có 5 hạng tử, để có được nhân tử chúng ta hi vọng su khi ghép những cặp đôi sẽ thành. Nhưng
với 5 hạng tử ta không thể ghép đủ các cặp đôi. Điều này có nghĩa rằng sẽ có một nhóm nào đó có chứa 3 hạng tử.
Để ý mối tương quan của các hạng tử, chúng ta c ó thể tạm nhóm như sau:
(1) ⇐⇒ (2
√
3 sin 2x cos 2x −
√
3 cos 2x) + (−2 sin
2
2x + 3 sin 2x −1) = 0
⇐⇒
√
3 cos 2x(2 sin 2x −1) + (−2 sin
2
2x + 3 sin 2x −1) = 0 (2)
Với hi vọng PT(2) sẽ có nhâ n tử 2 sin 2x − 1, ta chú ý
ax
2
+ bx + c = a(x − x
1
)(x − x
2
) = (x − x
1
)(ax − ax
2
) với x
1
, x
2

là hai nghiệm thực của tam thức ax
2
+ bx + c. Áp
dụng vào bài toán ta có ngay sự phân tích:
(2) ⇐⇒
√
3 cos 2x(2 sin 2x − 1) + (sin 2x −1)(1 −2 sin 2x) = 0 (3)
⇐⇒ (2 sin 2x − 1)(
√
3 cos 2x − sin 2x + 1) = 0
Diễn đàn K2pi.net 1
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
Lúc này, chúng ta hãy thở phào nhẹ nhỏm khi ý đồ bài toán đã bị chúng ta phá vỡ. Nếu không may, trong trường
hợp PT(3) không thể tạo thành nhân tử như ta nghĩ, lúc đó, chúng ta đổi hướng phân tích bằng cách thay sin
2
2x =
1 − cos
2
2x và tiếp tục thực hiện như vậy. Phương trình tích cuôi cùng đã thuộc dạng cơ bản. Các nghiệm của nó là
x =
π
12
+ kπ; x = ±
5π
12
+ kπ; x =
π
4
− kπ, (k ∈ Z)


2. Giải phương trình: 2 sin 6x cos
x
2
= 4 cos 2x cos x + sin 4x cos
x
2
+ 4 cos 5x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (1)(Lê Đình Mẫn) Trong PT chúng ta thấy đa số các số hạng đều có dạng tích hai hàm
lượng giác, các góc thì lệch nhau quá nhiều
x
2
, x, 2x, 4x, 5x, 6x. Thông thường một bài lượng giác trong đề thi ĐH thì
không đến nổi khó lắm đâu. Chỉ cần nắm hết cá c kĩ năng đưa về dạng nhân tử là OK! Đối với bài này tôi chỉ thấy
anh chàng
5x nó lẻ loi quá thôi. Nhưng mà 5x = 4x + x = 6x − x = Có ai đó đã nghĩ ngay đến công thức đưa tích
về tổng. Nhưng liệu có vội vàng quá không khi ta sẽ càng làm cho PT có nhiều góc lẻ và có thể phức tạp hơn chăng?
Vì thế, hãy cố gắng để tâm chút đến mối liên quan giữa các góc.
Đập thẳng vào mắt ta:
x
2
→ x → 2x → 4x. Đó có thể ẩn chứa sự nhân đôi chăng?
Và phải làm sao để tạo nên mối liên hệ giữa góc 5x và các góc khác đây? Tôi chỉ mới biết nghĩ có thế này thôi
5x = 4x + x = 6x − x. Muốn vậy, tôi cần có cos 5x. cos x hay cos 5x. sin x.
Hơn nữa, với cái này
4 cos 2x cos x, nếu ta thêm sin x thì ta được
4 cos 2x cos x. sin x = 2 cos 2x. sin 2x = sin 4 x.
Mấu chốt của phương trình đó chính là sự vắng mặt của sin x.
Thật là thú vị phải không nào! Bắt đầu với các ý tưởng đó thôi.

+TH1: Nếu sin x = 0 thay vào PT suy ra cos x = −1 ⇒ x = π + k2π (k ∈ Z).
+TH2: Với sin x = 0, nhân hai vế PT với sin x được PT tương đượng
2 sin x sin 6x cos
x
2
= sin 4x + sin x sin 4x cos
x
2
+ 4 cos 5x sin x
⇐⇒ 2 sin x sin 6x cos
x
2
= sin 4x + sin x sin 4x cos
x
2
+ 2(sin 6x − sin 4x)
⇐⇒ 2 sin 6x

cos
x
2
sin x − 1

= sin 4x

cos
x
2
sin x − 1


⇐⇒

2 sin 6x −sin 4x = 0 (1)
cos
x
2
sin x − 1 = 0 (2)

•(1) ⇐⇒ sin 2x(4 cos
2
2x − cos 2x − 1) = 0 ⇐⇒








x =
π
2
+ kπ
x = ±
arccos

1−
√
17
8


2
+ kπ
x = ±
arccos

1+
√
17
8

2
+ kπ
•(2) ⇐⇒ cos
x
2
sin x −1 = 0 (Vô nghiệm!)
Một hướng khác khi giải phương trình (1):
−2 sin
2
2x + (2
√
3 cos 2x + 3) sin 2x −
√
3 cos 2x − 1 = 0
Xem phương trình này là phương trình bậc hai ẩn sin 2x. Ta có
∆ = (2
√
3 cos 2x + 3)
2

− 8(
√
3 cos 2x + 1) = 12 cos
2
2x + 4
√
3 cos 2x + 1 = (2
√
3 cos 2x + 1)
2
Khi đó ta thu lại được sin 2x =
√
3 cos 2x + 1 hoặc sin 2x =
1
2
Phân tích hướng giải. (2)(xuannambka)
2 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
2 sin 6x cos
x
2
= 4 cos 2x cos x + sin 4x cos
x
2
+ 4 cos 5x
⇔ cos
x
2
(sin 6x − sin 4x) +

1
2
sin 4x cos
x
2
− 2 cos 2x cos x −2 cos 5x = 0
⇔ 2 sin x cos
x
2
cos 5x + cos 2x sin 2x cos
x
2
− 2 cos 2x cos x −2 cos 5x = 0
⇔ 2 cos 5x

sin x cos
x
2
− 1

+ cos 2x

sin 2x cos
x
2
− 2 cos x

= 0
⇔ 2 cos 5x


sin x cos
x
2
− 1

+ 2 cos x cos 2x

sin x cos
x
2
− 1

= 0
⇔

sin x cos
x
2
= 1 (1)
cos 5x + cos x cos 2x = 0 (2)
(1) ⇔
1
2

sin
x
2
+ sin
3x
2


= 1 ⇔ sin
x
2
+ sin
3x
2
= 2 ⇔

sin
x
2
= 1
sin
3x
2
= 1
⇔ V N
(2) ⇔ cos x(4cos
2
2x − cos 2x − 1) = 0
⇔


cos x = 0
cos 2x =
1
8

1 +

√
17

cos 2x =
1
8

1 −
√
17

⇔


x =
π
2
+ kπ
x = ±
1
2
arccos

1
8

1 +
√
17


+ kπ
x = ±
1
2
arccos

1
8

1 −
√
17

+ kπ
3. Giải phương trình
cos x = cos
2
3x
4
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Nhận thấy hình thức phương trình rất đơn giản với một hàm lượng giác với
hai loại góc x ↔
3x
4
. Thao tác đầu tiên, nghĩ ngay đến công thức hạ bậc.
P T ⇐⇒ cos x =
1 + cos
3x
2
2

Bởi hình thức đơn giản của phương trình nên ta không cần đến một thao tác biến đổi phức tạp nào ngoài cách nhìn
nhận để lựa chọn công thức thích hợp.
Hai góc x và
3x
2
tuy nó không có mối qua n hệ gì trực tiếp, nhưng ta hãy thử tìm mối quan hệ gián tiếp của chúng.
Thực vậy, ta nhận thấy x = 2.
x
2
,
3x
2
= 3.
x
2
. Như vậy đã quá rõ ràng để ta biết phải tiếp tục chọn công thức nào
trong bài toán. Cụ thể:
• cos x = 2 cos
2
x
2
− 1;
• cos
3x
2
= 4 cos
3
x
2
− 3 cos

x
2
;
Lúc này, phương trình đã cho tương đương với:
2 cos
2
x
2
− 1 =
1 + 4 cos
3
x
2
− 3 cos
x
2
2
⇐⇒ 4 cos
3
x
2
− 4 cos
2
x
2
− 3 cos
x
2
+ 3 = 0
Phương trình cuối giải ra được ng hiệm

x = k4π; x = ±
5π
3
+ k4π; x = ±
π
3
+ k4π, k ∈ Z
.

4. Giải phương trình
sin
4
x + cos
4
x + sin
3
x − cos
3
x =
7 (sin x −cos x) + cos4x
4
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Hỏa Thiên Long) Nhận thấy sự đối xứng giữa các hàm sin và cos. Chỉ lòi ra thằng: cos 4x
là mất đối xứng thôi. Cần loại bỏ cos 4x
Nhưng loại bỏ theo cách nào? Tốt hơn là đưa về sin
4
x và cos
4
x vì chúng đã có mặt sẵn rồi. Vậy ta có bước biến đổi
đầu tiên:

cos 4x = cos
2
2x − sin
2
2x = sin
4
x + cos
4
x − 6 sin
2
x. cos
2
x
Khi đó, chắc là do ngẫu nhiên nên ta có được:
sin
4
x + cos
4
x −
cos 4x
4
=
3
2
.(sin
2
x + cos
2
x)
2

=
3
4
.
Vậy là đã OK trong ý tưởng biến đổi phương trình về dạng đối xứng của 2 hàm trên.
Diễn đàn K2pi.net 3
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
sin
3
x − cos
3
x +
3
4
=
7(sin x−cos x)
4
Khi gặp mộ t bài toán có tính đối xứng ta thường nghĩ đến điều gì nhỉ? Tất nhiên là đưa về tổng tích rồi. Vì vậy, ta
lại biến đổi như sau:
P T ⇐⇒ (sin x − cos x).(4 sin x. cos x −3) + 3 = 0
5. Giải phương trình:
1
cos

x −
π
2

−

1
sin

3π
2
− x

= 4 cos

x −
5π
4

Bài toán
Phân tích hướng giải. (Lưỡi Cưa) Đánh giá về hàm: chỉ chứa hàm bậc nhất của sin và cos có hệ số đối xứng.
Đánh giá các góc: x −
π
2
;
3π
2
−x các góc này biến sin → cos biến cos → sin, góc này x −
5π
4
→ x −
π
4
làm xuất hiên
sinx − cosx.
Vậy đây là PT đối xứng của sin và cos ta nghĩ đến đặt: t = sinx −cosx hoặc t = sinx + cosx tùy vào PT là đối xứng

của hiệu hay tổng
Trước hết, dùng công thức cung có liên quan đặc biệt để xử lí mấy chỗ (Cũng giúp chúng ta tìm điều kiện dễ hơn)
cos(x −
π
2
) = cos(
π
2
− x) = sin x
sin(
3π
2
− x) = sin(
π
2
− x + π) = −sin(
π
2
− x) = −cos x
và cos(x −
5π
4
) = cos(x −
π
4
− π) = cos(x −
π
4
)
Khi đó, phương trình đã cho viết lại

1
sin x
+
1
cos x
= 4 cos(x −
π
4
)
Phương trình chứa ẩn ở mẫ u —-> đặt điều kiện đã.
Điều kiện: sin 2x = 0 ⇔ x =
kπ
2
. (Cả sin x và cos x khác 0)
Biến đổi quy đồng mẫu số, nhưng trước tiên ta nhận thấy
V T =
cos x + sin x
sin x cos x
Hãy xem vế phải của phương trình, tôi nghĩ kiểu này nên dùng công thức cộng cung
cos(x −
π
4
) = cos x cos
π
4
+ sin x sin
π
4
=
1

√
2
(cos x + sin x)
Như vậy chúng ta có thừa số chung là sin x + cos x. Phương trình được viết lại
(sin x + cos x)(
1
sin x cos x
− 2
√
2) = 0
Từ đó, nghiệm của phương trình là
x = −
π
4
+ kπ, x =
π
8
+ kπ, x =
3π
8
+ kπ
6. Giải phương trình
sin
4
x + cos
4
x + sin(3x −
π
4
) cos(x −

π
4
) −
3
2
= 0
Bài toán
Phân tích hướng giải. (TKD) Khai triển hai cái ngoặc ta được:
sin
4
x + cos
4
x +
1
2
(sin 3x − cos 3x)(cos x + sin x) −
3
2
= 0
⇔ 2(sin
4
x + cos
4
x) + (sin 3x − cos 3x)(cos x + sin x) −3 = 0
⇔ 2(sin
4
x + cos
4
x) + (3 sin x − 4 sin
3

x − 4 cos
3
x + 3 cos x)(cos x + sin x) −3 = 0
⇔ 2(sin
4
x + cos
4
x) − 3 + [3(sin x + cos x) −4(sin x + cos x)(1 −sin x cos x)](sin x + cos x) = 0
⇔ 2(sin
4
x + cos
4
x) − 3 + (sin x + cos x)
2
(2 sin 2x −1) = 0
⇔ 2(1 −
1
2
sin
2
2x) − 3 + (1 + sin 2x)(2 sin 2x −1) = 0
⇔ sin
2
2x + sin 2x − 2 = 0
⇔

sin 2x = 1
sin 2x = −2 (loại)

⇔ x =

π
4
+ kπ, k ∈ Z
4 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
7. Giải phương trình
2
√
3 cos
2
x + 2
s
in3xcosx − sin4x−
√
3
√
3 sin x + cos x
= 1
Bài toán
Phân tích hướng giải. (1) (Lưỡi Cưa)
Điều kiện: tan x = −
1
√
3
⇔ x = −
π
6
+ kπ
Hiển nhiên là qui đồng mẫu số và thu gọn

2
√
3 cos
2
x + 2 sin 3x cos x −sin 4x −
√
3 −
√
3 sin x − cos x = 0
Xử lí chỗ này trước nè
2 sin 3x cos x = sin 2x + sin 4x
Đến đây, ta được cái ngon lành hơn
2
√
3 cos
2
x + sin 2x −
√
3 −
√
3 sin x − cos x = 0
Đến đây chỉ còn lại hai cung x và 2x. Đưa về cung x
2
√
3 cos
2
x + 2 sin x cos x −
√
3 −
√

3 sin x − cos x = 0
Cái này thì mời các mem xem lại định hướng ở bài 1.
Ta thu được các nghiệm
cos x =
√
3
2
hoặc
√
3 cos x + sin x = −1
Đến đây, hãy khoan nghĩ là 1điểm đã thuộc về mềnh! Đối chiếu điều kiện và loại nghiệm nào?
TH1. cos x =
√
3
2
. Ta có
tan
2
x =
1
cos
2
x
− 1 =
1
3
Như vậy, chỉ lấy được tan x =
1
√
3

⇔ x =
π
6
+ kπ.
TH2. Cho hai họ nghiệm x = −
π
2
+ k2π cái này TMĐK
Cái thứ hai x =
5π
6
+ k2π. Thay vào , ta có
tan(
5π
6
+ k2π) = tan
5π
6
= −
1
√
3
Không TMĐK roài.
Túm lại, chỉ có hai họ nghiệm x =
π
6
+ kπ hoặc x = −
π
2
+ k2π

Phân tích hướng giải. (2) (Lê Đình Mẫn)
Điều kiện bài toán
√
3 sin x + cos x = 0 ⇐⇒ tan x = −
1
√
3
⇐⇒ x = −
π
6
+ kπ, k ∈ Z.
Ở dưới mẫu số là một hệ thống khá chặt chẽ bởi vì nó thuộc dạng quen thuộc a sin x + b cos x.
Ở trên tử số, ta nhận ra mối quan hệ cũng khá rõ ràng giữa các số hạng nếu ghép chúng lại. Chú ý:
• 3x + x = 4x, 3x − x = 2x ⇒ 2 sin 3x cos x = sin 4x + sin 2x ⇐⇒ 2 sin 3x cos x −sin 4x = sin 2x;
• 2 cos
2
x − 1 = cos 2x.
Do đó, phương trình tương đương với một phương trình thuộc dạng cơ bản sau:
√
3 cos 2x + sin 2x =
√
3 sin x + cos x
⇐⇒ sin

2x +
π
3

= sin


x +
π
6

⇐⇒


x = −
π
6
+ k2π
x =
π
6
+
k2π
3
(k ∈ Z).
Bước quan trọng cuối cùng để có nghiệm chính xác đó là đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ng oại la i. Ngoài cách làm
theo thầy Lưỡ i Cưa, ta có thể sử dụng đường tròn lượng giác bằ ng cách biểu diễn các điểm biểu thị nghiệm lên và đối
Diễn đàn K2pi.net 5
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
chiếu.
Bằng cách cho lần lượt một vài giá trị nguyên k = 1, 2, 3, 4, ta được các giá trị x cụ thể. Khi biểu diễn các giá tr ị
đó lên đường tròn lượng giác ta có hình như sau chẳng hạn:
+ Hai điểm M, N chính là hai điểm biểu thị các giá trị x không thỏa mãn điều kiện, khi nghiệm trùng một trong các
điểm này ta loại bỏ ngay.
+ Họ nghiệm thứ nhất chính là điểm N nên không nhận; họ nghiệm thứ hai biểu thị bởi ba điểm B, N, C nên chỉ có
các nghiệm thuộc hai điểm B, C là ta nhận. Bây giờ, ta chỉ cần ghi công thức các nghiệm thuộc hai điểm này ra nữa

là xong.
+ Điểm B ứng với họ nghiệm x =
π
6
+ k2π, điểm C ứng với họ nghiệm x = −
π
2
+ k2π hoặc x =
3π
2
+ k2π
Kết luận, hai họ nghiệm của phuơng trình ban đầu là
x =
π
6
+ k2π; x = −
π
2
+ k2π, k ∈ Z
.

8. Giải phương trình : tan
2
x + 3 =

1 +
√
2 sin x

tan x +

√
2 cos x

Bài toán
Phân tích hướng giải. (1) (Lưỡi Cưa)
Điều kiện: cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ
Đổi tan x =
sin x
cos x
. Qui đồng mẫu số
sin
2
x + 3 cos
2
x = (1 +
√
2 sin x)(sin x cos x +
√
2 cos
3
x)
Khai triển ra
1 + 2 cos
2
x = sin x cos x +
√
2 cos

3
x +
√
2 sin
2
x cos x + 2 sin x cos
3
x
Chú ý chỗ này
√
2 cos
3
x +
√
2 sin
2
x cos x =
√
2 cos x(cos
2
x + sin
2
x) =
√
2 cos x
Phương trình được viết lại
1 + 2 cos
2
x = sin x cos x +
√

2 cos x + 2 sin x cos
3
x
Chú ý cái này
sin x cos x + 2 sin x cos
3
x = sin x cos x(1 + 2 cos
2
x)
Thu được
(1 + 2 cos
2
x)(1 − sin x cos x) =
√
2 cos x
Đoán được nghiệm sin x = cos x =
1
√
2
Thực hiện đánh giá
1 + 2 cos
2
x ≥ 2
√
2 cos
2
x = 2
√
2|cos x| ≥ 0
và

1 − sin x cos x = 1 −
1
2
sin 2x ≥
1
2
> 0
Do đó,
V T ≥
√
2|cos x|
Dẫn tới
√
2 cos x ≥
√
2|cos x| ⇔ cos x ≥ 0
Tóm lại phương trình có nghiệm x =
π
4
+ k2π
Phân tích hướng giải. (2) (Lê Đình Mẫn)
Nút thắt sẽ được mở nhẹ nhàng cho bài toán khi chúng ta nhìn ra được điều sau đây:
Với mọi số thực a, b, c, d ta luôn có
(a − c)
2
+ (a − d)
2
+ (b − c)
2
+ (b − d)

2
≥ 0 ⇐⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ (a + b)(c + d)

Áp dụng BĐT trên với a = 1, b =
√
2 sin x, c = tan x, d =
√
2 cos x ta có ngay
tan
2
x + 3 ≥

1 +
√
2 sin x

tan x +
√
2 cos x

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 1 =
√

2 sin x = tan x =
√
2 cos x.
6 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
9. Giải phương trình:
8 cos
2
x − 2 cos x −6 −2
√
3 sin x = −
1
cos x
.
Bài toán
Phân tích hướng giải. (N H Tu prince) ĐK:cos x = 0 ⇒ x =
π
2
+ k2π
Để phương trình trở nên đơn giản hơn,ta phải làm mất ẩn ở mẫu thức,nhân hai vế cho cos x,phương trình trở thành:
8 cos
3
x − 2 cos
2
x − 6 cos x − 2
√
3 sin x cos x + 1 = 0
Không khó để nhận thấy công thức nhân hai và nhân ba đang ẩn nấp,áp dụng công thức để thu gọn phương trình:
⇔ 2(4 cos

3
x − 3 cos x) −2
√
3 sin x cos x −(2 cos
2
x − 1) = 0
⇔ 2 cos 3x −
√
3 sin 2x − cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 3x =
√
3 sin 2x + cos 2x
Phương tr ình giờ đã gọn hơn,nhưng lại gặp bất cập về góc khi 2x, 3x không liên quan nhiều đến nhau,chỉ còn ba hạng
tử tham gia nên ta nghĩ đưa về dạng cơ bản,nhóm hai hạng tử cùng góc với nhau.Có dạng a sin x + b cos x,thử biểu
diễn dưới dạng m sin(x + α) được:
2 cos 3x = 2 sin

2x +
π
6

⇔ cos 3x = cos

π
3
− 2x

Phương trình đã về dạng cơ bản.
Nghiệm của phương trình là
x =
π

15
+ k2πx =
7π
15
+ k2πx = −
11π
15
+ k2πx =
13π
15
+ k2πx = −
π
3
+ k2π
10. Giải bất phương trình
√
3
sin 2x ≥ 6 sin
2
x − 4 sin x + 2
Bài toán
Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Thông thường với bài toán lượng giác chúng ta sẽ biến đổi để tìm ra nhận
tử chung và đưa về phương trinh tích. Nhưng với bài toán này việc xuất hiện nhân tử
√
3 sin 2xchúng ta chỉ có thể
nhóm với s inx hoặ c hạ bậ c 2sin
2
x = 1 − cos2x, tuy nhiên việc làm này không đem lại kết quả. Vậy lời giải cho bài
toán nằm ở đâu? Các bạn để ý là
6sin

2
x − 4 sin x + 2 =
36sin
2
x − 24 sin x + 12
6
=
(6 sin x −2)
2
+ 8
6
> 0
Do đó để bất phương trình có nghiệm ta phải có sin 2x > 0.
Và công thức nhân đôi chúng ta có:
√
3 sin 2x = 2
√
3 sin x cos x.
Tiếp đến khi bình phương cả hai vế của bất phương trình vế trái xuất hiện sin
2
xcos
2
x = sin
2
x

1 − sin
2
x


. Tức là ta
quy được bài toán về giải phương trình chỉ có chứa . Đây chính là nút thắt của bài toán.
Do cả hai vế đều không âm nên bình phương hai vế của bất phương trình ta được
12sin
2
x

1 − sin
2
x

≥

6sin
2
x − 4 sin x + 2

2
⇔ 3sin
2
x − 3sin
4
x ≥

3sin
2
x − 2 sin x + 1

2
⇔ 3sin

2
x − 3sin
4
x ≥ 1 + 9sin
4
x −12sin
3
x + 10sin
2
x − 4 sin x
⇔ 12s in
4
x − 12sin
3
x + 7sin
2
x − 4 sin x + 1 ≤ 0 ⇔

sin x −
1
2

2

12sin
2
x + 4

≤ 0 ⇔ sin x =
1

2
Công việc còn lại của chúng ta là đối chiếu điều k iệ n nghiệm. Tuy nhiên nếu giải trực tiếp điều kiện sin 2x > 0thì các
em trong chương trình học chưa được học và cũng không được rèn luyện nhiều về bài toán giải bất phươ ng trình cơ
bản. Vậy phải làm thế nào?
Ta xử lý như sau:
Ta có
sin x =
1
2
⇔

x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
.
Với nghiệmx =
π
6
+ k2π ⇒ sin 2x = sin

π
3
+ k4π

=

√
3
2
> 0nên thỏa mãn.
Với nghiệm x =
5π
6
+ k2π ⇒ sin 2x = sin

5π
3
+ k4π

= sin

5π
3

= sin

5π
3
− 2π

= −sin
π
3
= −
√
3

2
< 0nên ta loại
nghiệm này.
Vậy bất phương trình có nghiệm là x =
π
6
+ k2π, k ∈ Z
11. Giải phương trình
√
1 − sin x (1 −sin 2x) +
1
cos
2
x
= 2 tan x
Bài toán
Diễn đàn K2pi.net 7
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Thật tự nhiên nếu chúng ta nhìn ra cái đẹp tiềm ẩn:
• 1 − sin 2x = sin
2
x + cos
2
x − 2 sin x cos x = (sin x −cos x)
2
;
•
1
cos

2
x
− 2 tan x = 1 + tan
2
x − 2 tan x = (tan x −1)
2
.
Bằng những công thức cơ bản ta đưa phương trình về PT tương đương sau:
√
1 − sin x(sin x −cos x)
2
+ (tan x − 1)
2
= 0 (1)

Rõ ràng c ăn thức luôn có nghĩa bởi sin x ≤ 1, ∀x =
π
2
+ kπ(k ∈ Z) và V T
(1)
≥ 0. Do đó, nghiệm của phương trình
phải thỏa mãn tan x = 1 ⇐⇒ x =
π
4
+ kπ(k ∈ Z).
12. Giải phương trình
4 cos 2x (cos 2x + 4 sin x −3) − 24 sin x −16
√
3 cos x + 37 = 0
Bài toán

Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Công thức cần sử dụng: cos 2x = 2 cos
2
x −1 = 1 −2 sin
2
x. Sau khi sử dụng
công thức nhân đôi này vào phương trình, ta nhận thấy phương trình có đặc điểm như sau:
• Bậc của phương trình lên đến bậc 4;
• Tuy trong phương trình có chứa hai hàm lượng giác sin x, cos x nhưng hai hàm này độc lậ p trong từng hạng tử. Vì
thế, việc đưa phương trình về tích là hầu như không thể bởi c on số 37 nó không có mối quan hệ nào với một trong các
hệ số của các hạng tử còn lại. Nói cách khác ta buộc phải tách 37 ra từng mảnh nhỏ để thâm nhập vào từng nhóm
riêng biệt.
Chính vì lẽ đó, ta thử tìm cách tạo ra những biểu thức không âm khi lấy tổng sẽ cho kết quả là số không âm. Ý tưởng
là như thế nhưng khi thực hiện cũng phải có tiểu xảo. Tiểu xảo đó là gì? Đó chính là đoán nghiệm.
Dễ dàng mò ra được nghiệm sin x =
1
2
, cos x =
√
3
2
. Điều này định hướng cho ta phân tích sao cho tạo ra
(2 sin x − 1)
2
, (2 cos x −
√
3)
2
, chẳng hạn. Hãy thử làm, ta sẽ có kết quả:
P T ⇐⇒ (2 sin x −1)
4

+ 4(2 cos x −
√
3)
2
= 0

13. Giải phương trình
sin
2
x (tan x −2) = 3 (cos 2x + sin x cos x)
Bài toán
Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Trước tiên thấy xuất hiện tan xtrong phương trình chúng ta phải đặt điều
kiện trước.
Điều kiện cos x = 0.
Tới đây để ý cos2x = 2cos
2
x − 1hoặc bằng 1 − 2sin
2
xđều được.
Ta đưa về phương trình sin
2
x (tan x −2) = 3

2cos
2
x + sin x cos x −1

.
Thử chia hai vế của phương trình cho cos
2

x = 0xem sao.
tan
2
x (tan x − 2) = 3

2 + tan x −
1
cos
2
x

⇔ tan
2
x (tan x −2) = 3

1 + tan x − tan
2
x

.
⇔ tan
3
x + tan
2
x − 3 tan x −3 = 0 ⇔ (tan x + 1)

tan
2
x − 3


= 0.
⇔

tan x = −1
tan x = ±
√
3
⇔

x = −
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
.
Nhiều em thắc mắ c là tại sao chia cả hai vế cho cos
2
xở đây. Có hai lý do, một là sin
2
x (tan x −2) = sin
2
x

sin x
cos x
− 2


có
thể coi là bậc hai đối với hàm số lượng giác. cos2x + sin x cos x = cos
2
x − sin
2
x + sin x cos xcũng là bậc hai đối với
hàm số lượng giác. Khi cả hai vế cùng bậc thì ta có thể chia cả hai vế cho cos
2
xhoặc sin
2
x. Hai là tại sao lại không
chia cho sin
2
x, ở đây chúng ta sử dụng luôn điều kiện cos x = 0. Do vậy khi chia không cần phải xét cos x = 0có là
nghiệm của phương trình hay không?
Nhưng thông thường những bài toán c ó chứa các đại lượ ng mình thường khuyên các em là biến đổi tan x =
sin x
cos x
; cot x =
cos x
sin x
. Vậy bài toán này có làm được như vậy hay không? Và c âu trả lời là hoàn toàn có thể, tuy nhiên việc biến đổi và
nhóm và hạng tử chung đòi hỏi các em có một kỹ năng nhất định trong việc rèn luyện giải phương trình lượng giác.
Trong trườ ng hợp ta biến đổi phương trình như sau
sin
2
x

sin x
cos x

− 2

= 3

cos
2
x − sin
2
x + sin x cos x

.
⇔ sin
3
x − 2sin
2
x cos x = 3

cos
3
x − sin
2
x cos x + sin xcos
2
x

.
Tới đây thì các em có thể nhận ra ngay việc chia cả hai vế của phương trình cho cos
3
x.
8 Tài liệu miễn phí

K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
14. Giải phương trình
(sin x + cos x)
2
− 2sin
2
x
1 + cot
2
x
=
√
2
2

sin

π
4
− x

− sin

π
4
− 3x

Bài toán
Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Điều kiện sin x = 0. Khi đó biến đổi phương trình thành

sin
2
x

1 + sin 2x − 2sin
2
x

=
√
2.cos

π
4
− 2x

. sin x
.
⇔ sin x (cos2x + sin 2x) =
√
2cos

π
4
− 2x

⇔
√
2 sin xcos


π
4
− 2x

=
√
2cos

π
4
− 2x

.
⇔

cos

π
4
− 2x

= 0
sin x = 1
⇔

x =
3π
8
+ k
π

2
x =
π
2
+ k2π

.
15. Giải phương trình
2 sin

π
3
− 2x

+ 2 sin 2x +
√
3
cos x
= 4 cos 4x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Chưa vội đặt ĐK đầu tiên ta cần định hướ ng lời giải trước: PT có nhiều
góc khác nhau, thông thường là biến đổi quy về một góc nào đó nhằm làm giảm số góc phân biệt, thử nhân hai vế
với cosx để k hử mẫu khi đó VP chứa cos4xcosx nếu sử dụng công thức biến tích thành tổng thì lại là m tăng s ố góc
khác nhau, thấy không ổn, chuyển sang phân tích tử số của phân thức VT với hi vọng xuất hiện nhân tử cosx, thật
may mắn vận may đã đến và đây là lời giải:
ĐK: cos x = 0
PT⇔
√
3 (cos2x + 1) + sin 2x
cos x

= 4 cos 4x ⇔
2cosx

√
3cosx + sin x

cos x
= 4 cos 4x ⇔
√
3cosx + sin x = 2 cos 4x, (2)
(Đến đây việc giải tiếp tìm nghiệm là đơn giản, nhưng đây là một PT có ĐK, thông thường tôi không vội vàng tìm
nghiệm mà tôi sẽ định hướng để sử lý ĐK.
Điều kiện tôi vẫn để nguyên từ đầu chưa giải nó ra bởi cần định hướng trước và nó đơn giản chỉ là cosx = 0: có rất
nhiều cách sử lý ĐK nhưng nên tránh dùng đường tròn lượng giác, phương trình đại số sử lý k nguyên trừ trường hợp
bất k hả kháng, cách thông thường đơn giản mà ta thử đầu tiên là thử trực tiếp giá trị của hàm ĐK vào PT muốn vậy
ta cần biến đổi PT theo hàm đó)
Ta có PT:
√
3cosx + sin x = 2[2(2 cos
2
x − 1)
2
− 1]
Với cosx = 0 thì ±1 = 2 không đúng rồi⇒ cosx = 0 không thỏa mãn PT(2). vậy nghiệm của (2) luôn thỏa mãn ĐK
hay chính là nghiệm của PT ban đầu. bây giờ chỉ ra họ nghiệm được rồi!
(2)⇔ cos(x −
π
6
) = cos4x ⇔




x = −
π
18
+ k
2π
3
x =
π
30
+ k
2π
5
, (k ∈ Z)
Vậy nghiệm của PT là:



x = −
π
18
+ k
2π
3
x =
π
30
+ k
2π

5
, (k ∈ Z)
16. Giải phương trình
4 cos
3
x + 2 cos
2
x (2 sin x − 1) −sin 2x −2 (sin x + cos x)
2 sin
2
x − 1
= 0
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Ở bài này mẫu số chỉ đóng vai trò loại nghiệm ! Không trình bày nhiều
tôi để ý đến các yếu tố sin x + cos x và sin2x đi vào biến đổi giải luôn:
ĐK: cos2x = 0
P T ⇔ 2 cos
2
x [2(sin x + cos x) −1] −[2(sin x + cos x) −1] −(sin x + cos x)
2
= 0
⇔ [2(sin x + cos x) − 1] cos 2x −(sin x + cos x)
2
= 0
⇔ (sin x + cos x)

2 cos
2
x − cos x −1


= 0
Diễn đàn K2pi.net 9
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
Tới đây bắt đầu đi phân tích sử lý ĐK: cos2x = 0 suy ra sin x + cos x = 0
Vậy P T ⇔ 2 cos
2
x − cos x − 1 = 0, ⇔ (I)

cosx = 1
cosx = −
1
2

Bây giờ biến đổi ĐK về hàm cosx để kết hợp:cos2x = 0 ⇔ cosx = ±
√
2
2
Vậy (I) thỏa mãn ĐK
Vậy PT có nghiệm là

x = k2π
x = ±
2π
3
+ k2π
, (k ∈ Z)
17. Giải phương trình
2


sin
4
x + cos
4
x

− 1
cos2x
= cos

x −
π
4

Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) ĐK: cos 2x = 0 ⇔

sin x + cos x = 0
cos x − sin x = 0
⇔



cos(x −
π
4
) = 0
sin(
π
4

− x) = 0
PT⇔ cos 2x = cos(x −
π
4
) ⇔ 2 cos(x −
π
4
). sin(
π
4
−x) = cos(x −
π
4
) ⇔ sin(
π
4
−x) =
1
2
(Tới đây mọi thứ đều thỏa mãn
ĐK→
⇒ P T có nghiệm là:

x =
π
6
+ k2π
x = −
7π
12

+ k2π
, (k ∈ Z)
18. Giải phương trình
cos 2x + cos
3x
4
− 2 = 0
Bài toán
Phân tích hướng giải. (thanhbinhmath) Do cos2x ≤ 1; cos
3x
4
≤ 1 nên cos2x + cos
3x
4
≤ 2.
Phương trình đã cho tương đương với hệ

cos2x = 1
cos
3x
4
= 1
⇔ x = k4π.
19. Giải phương trình
tan
3

x −
π
4


= tan x − 1
Bài toán
Phân tích hướng giải. (tutuhoi) Ta có công thức tan(a − b) =
tan a−tan b
1+tan a. tan b
Nhưng nếu áp dụng trực tiếp công thức này thi ta sẽ dẫn tới việc sử dụng các hằng đẳng thức bậc 3. Vậy có cách nào
tránh được việc đó không?
Để làm điều đó ta nghĩ tới việc đặt ẩn phụ. Đặt t = x −
π
4
⇒ x = t +
π
4
.
Vậy ta có thể trình bày như sau:
Điều kiện:

cos

x −
π
4

= 0
cos x = 0

x =
3π
4

+ kπ
x =
π
2
+ kπ
Ta có phương trình sau khi đặt ẩn phụ:
tan
3
t = tan

t +
π
4

+ 1
⇔ tan
3
t =
1+tan t
1−tan t
+ 1
⇔ tan t(tan t + 1)(tan
2
t − 2 tan t + 2) = 0
⇔ tan t = 0 hoặc tan t = 1
Với tan t = 0 ⇔ t = kπ ⇔ x =
π
4
+ kπ
Với tan t = 1 ⇔ t = −

π
4
+ kπ ⇔ x = kπ
Đối chiếu với điều kiện là có nghiệm rồi.
10 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
20. Giải phương trình
2012(sinx)
2013
+ 2013(cosx)
2012
= 2013
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đầu tiên nhìn thấy mũ to như tảng đá thế này chắc không thể biến đổi
thông thường được rồi, nghĩ cách thôi, đá nh giá chăng chắc phải thử mới biết, đó chính là việc đi tìm hướng cho lờ i
giải!
Ta biết hàm sin và cos có giá trị trong khoảng [−1; 1] nên trị tuyệt đối của lũy thừa càng lớn thì càng nhỏ vậy ta nghĩ
đến hướng đánh giá đưa về sin
2
x và cos
2
x và ta bắt đầu đánh giá:
Ta có:
(sinx)
2013
≤ |(sinx)
2013
| = (|sinx|)
2013

≤ sin
2
x
(cosx)
2012
≤ cos
2
x
V T = 2012[(sinx)
2013
+ (cosx)
2012
] + (cosx)
2012
≤ 2012(sin
2
x + cos
2
x) + cos
2
x ≤ 2012 + cos
2
x ≤ 2013
Tới đây ta nhận xét PT xảy ra tức có nghiệm khi tất cả các BĐT đều rảy ra dấu bằng tại cùng g iá trị c ủa biến x và
điều kiện đó là:
PT↔

(sinx)
2013
= sin

2
x
(cosx)
2012
= cos
2
x = 1
↔ sinx = 0 ↔ x = kπ , (k ∈ Z)
Vậy Nghiệm của PT là: x = kπ , (k ∈ Z)
21. Giải phương trình:
sin 4x − cos 4x = 1 + 4(sin x −cos x)
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Huy Vinh) Ta có:
sin 4x − cos 4x = 1 + 4.(sin x − cos x)
⇔ 2 sin 2x. cos 2x + 1 −2 cos
2
2x = 1 + 4.(sin x − cos x)
⇔ cos 2x.(sin 2x − cos 2x) = 2.(sin x −cos x)
⇔ (cos
2
x − sin
2
x)(sin 2x − cos 2x) = 2.(sin x − cos x)
⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x)(sin 2x −cos 2x) = 2.(sin x −cos x) (1)
-TH1: sin x = cos x ⇔ x =
π
4
+ kπ ; k ∈ Z
-TH2: sin x = cos x
Từ (1)

⇔ (cos x + sin x)(sin 2x − cos 2x) = −2
⇔ 2 sin x. cos x + 2 sin
2
x − 1 = −2
⇔ 2 sin x.(sin x + cos x)
2
− cos x − sin x + 2 = 0
⇔ 2 sin x + 4 sin
2
x. cos x −cos x −sin x + 2 = 0
⇔ sin x + (4 − 4 cos
2
x). cos x − cos x + 2 = 0
⇔ sin x + 3 cos x −4 cos
3
x + 2 = 0
⇔ sin x − cos 3x + 2 = 0
Đến đây không thể phân tích để đưa ra pt tích như những bài khác được nữa. Khi đó ta ng hĩ ngay tới phép đánh giá,
nhận thấy hàm sin và cos thì bị giới hạn trong đoạn [−1; 1]
Đánh giá như sau:
Ta có: sin x ≥ −1; −cos 3x ≥ −1 ⇒ sin x −cos 3x + 2 ≥ 0
Mà sin x − cos 3x + 2 = 0
Dấu bằng xảy ra
⇔ sin x = −cos 3x = −1
sin x = −1 ⇔ x = −
π
2
+ k2π
cos 3x = 1 ⇔ x =
h2π

3
⇒ vô nghiệm. Kết luận, phương trình đã cho có nghiệm x =
π
4
+ kπ k ∈ Z
22. Giải phương trình:
(8 sin
3
x + 1)
3
= 162 sin x − 27.
Bài toán
Diễn đàn K2pi.net 11
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
Phân tích hướng giải. (Mạo Hỡi) Trước tiên ta đặt t = 2 sin x cho gọn.
Phương trình đã cho trở thành:
(t
3
+ 1)
3
= 27(3t − 1).
Xử lí sao đây? Không lẽ khai triển ra? Bậc 9 đó, không dễ chơi đâu.
Bấm máy nghiệm vô tỉ quá, có chăng là nghiệm lượng giác?
Ừ, cũng có lí, có thể lắm, nhưng chưa thấy ý niệm lượ ng giác hóa.
Nháp ra xem nào, à này có thể đưa về hệ đối xứng không nhỉ, trông thấy quen lắm.
Ừ, có lí đấy, xem nào, mũ 3 ở vế trái và quan hệ bậc nhất ở vế phải.
Hơn nữa 3
3
= 27, lại có số 1 cùng xuất hiện, nên nghi ngay đặt u = 3t − 1

Khi đó ta có hệ:

(t
3
+ 1)
3
= 27u
(u + 1)
3
= 27t
3
Ồ, thấy rồi kìa, ta xử nó theo hàm hay trừ từng vế quen thuộc?
Nếu trừ vế theo vế ta có t
3
= u, ngon?
Nhưng còn trường hợp khác là một biểu thức rất cồng kềnh, nhưng may sao nó gồm bình phương thiếu và cộng thêm
27 nên > 0 rồi. Nếu học hàm rồi thì ta có:
Xét hàm số f (a) = (a + 1)
3
+ 27a thì f
′
(a) > 0.
Ta có f (u) = f (t
3
)
Từ đó tóm lại ta có:
t
3
= u → t
3

− 2t − 1 = 0(1).
Ồ, đây là một phương trình quen thuộc với rất nhiều bạn nè.
Tôi chém lại nha.
Bấm máy tính, nghiệm vô tỉ quá, xem ra phân tích thành nhân tử bằng đồng nhất hệ số cũng không ăn thua. Tự
nhiện chúng ta nghi ngờ có lượng giác hóa, vì nếu chú ý cos 3α = 4 cos
3
α − 3 cos α nên
2 cos 3α = 8 cos
3
α − 6 cos α.
Điều này giúp ta nghĩ tới đặt t = 2 cos α, sau đó chia cả 2 vế của phương trình cho 2 đi:
cos 3α = −
1
2
(2).
Trời không phụ lòng người rồi
Ngon.
Nhưng vấn đề là chưa chặn được khoảng giá trị của t, vì ta có ?t ∈ R
Ta để ý phương trình bậc 3 có không quá 3 nghiệm, nên giờ cứ giả sử t ∈ [−2; 2] rồi đã, xem tìm được bao nhiêu
nghiệm.
Chú ý khi đặt theo cos thì phải chặn α ∈ [0; π](3)
Sau khi giải (2), đối chiếu với (3) ta có 3 nghiệm thỏa (2).
α =
2π
9
; α =
8π
9
; α =
4π

9
Như thế (1) có 3 nghiệm
t = 2 cos
2π
9
; t = 2 cos
8π
9
; 2 cos
4π
9
.
Từ đó tìm ra t, tìm ra x.(có 6 họ nghiệm).
23. Giải phương trình:
cos x. cos
x
2
. cos
3x
2
− sin x.sin
x
2
. sin
3x
2
= 1
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Tôi thấy nó có mang bóng dáng của BĐT nên chọn ý tưởng đánh giá thử:
Ta có:

V T
2
≤ (cos
x
2
. cos
3x
2
)
2
+(sin
x
2
. sin
3x
2
)
2
≤

(cos
4
x
2
+ sin
4
x
2
).(cos
4

3x
2
+ sin
4
3x
2
) ≤

(cos
2
x
2
+ sin
2
x
2
).(cos
2
3x
2
+ sin
2
3x
2
) ≤
1
Từ đây ta có cách giải quyết PT!
24. Giải phương trình:
3cot
2

x + 2
√
2sin
2
x =

2 + 3
√
2

cosx
Bài toán
12 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Xin phép chỉ nêu ý tưởng định hướng: Tôi vẫn thường quan niệm rằng
nếu PT có chứa sin ;cos và có cả cot hoặc tan thì thường đưa cot và tan về sin và cos. PT này tôi cũng làm vậy:
P T ⇔ 3 cos
2
x − (2 + 3
√
2) sin
2
x cos x + 2
√
2 sin
4
x = 0
Coi PT là PT bậc hai của cos x ta có: ∆ = (3
√

2 − 2)
2
sin
4
x
Ngon rồi ! Dĩ nhiên là còn ĐK
25. Giải phương trình:
s
inx. sin 2x + sin 3x = 6cos
3
x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đây là PT dạng đa thức của hàm lượng giác , dạng này tương đối cơ bản
thường dùng nhẩm nghiệm đưa PT về dạng tích, trường hợp nghiệm hữu tỉ thì đơn giản rồi, còn nghiệm vô tỉ thì chú
ý các giá trị lượng giác của c ác góc đặc biệt, chẳng hạn đối với PT của hàm: tan x hoặc cot x ta chú ý các giá trị như
là: ±
√
3; ±
1
√
3
; ; với sin x hoặc cos x thì là:±
√
2
2
; ±
√
3
2
;

Ta chú ý các hạng tử sau khi đưa về cùng một góc có bậc đều bằng ba( Ở đây sin x = sin x(sin
2
x + cos
2
x).).
Vậy ta đưa PT về PT đẳng cấp bậc ba của tan x hoặc cot x để giải, và bây giờ là lời giải:
P T ⇔ sin
3
x − 2 sin
2
x cos x −3 sin x cos
2
x + 6 cos
3
x = 0
Để ý cos x = 0 không thỏa mãn P T ⇒ P T ⇔ tan
3
x − 2 tan
2
x − 3 tan x + 6 = 0
Đặt: t = tan x ta được PT: t
3
− 2t
2
− 3t + 6 = 0 ⇔ (t
2
− 3)(t − 2) = 0 ⇔

t = ±
√

3
t = 2
+ Với: t = ±
√
3 ⇒ tan x = ±
√
3 ⇔ x = ±
π
3
+ kπ, (k ∈ Z).
+ Với: t = 2 ⇒ tan x = 2 ⇔ x = arcta n 2 + kπ, (k ∈ Z).
Vậy PT có các họ nghiệm: x = ±
π
3
+ kπ ; x = arctan 2 + kπ, (k ∈ Z)

26. Giải phương trình:
4cos
3
x + 3
√
2 sin 2x = 8 cos x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Bài này thì cơ bản quá rồi, muốn nói nhiều cũng không được !
PT⇔ cos x

2 sin
2
x −3
√

2 sin x + 2

= 0 ⇔


cos x = 0
sin x =
√
2
2
⇔





x =
π
2
+ kπ
x =
π
4
+ k2π
x =
3π
4
+ k2π
, (k ∈ Z)
27. Giải phương trình:

cos 2x + sin 2x − tan x
1 + cot x
=
√
3 cos 2x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đây là PT có chứa phân thức nếu ta chọn cách nhâ n hai vế với 1 + cot x
để khử mẫu chắc chắn sẽ làm phát sinh nghiệm ngọai lai và sẽ khó khăn trong việc kết hợp nghiệm, vây đầu tiên hãy
nghĩ cách khử mẫu bằng cá ch tự triệt tiêu tức rút gọn phân thức, tất nhiên là được rồi nên tôi mới nói như vậy! Và
cách giải như sau:
ĐK:1 + cot x = 0 ⇔ cot x = −1
P T ⇔
(sin x + cos x)(2 cos x −
1
cos x
)
sin x + cos x
sin x
=
√
3 cos 2x
⇔ cos 2x tan x =
√
3 cos 2x ⇔

cos 2x = 0, (1)
tan x =
√
3, (2)
Bây giờ sử lý ĐK đây ! Tùy vào PT mà ta có cách sử lý khác nhau, chú ý cả hai PT: (1) và (2 ) đều biến đổi được về

cot x nên ta chọn cách thông qua giá trị của một hàm tức biến đổi PT về hàm cot x
(1)⇔



cot
2
x − 1
1 + cot
2
x
= 0
cot x = −1
⇔ cot x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ, k ∈ Z
Diễn đàn K2pi.net 13
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
(2)⇔ cot x =
1
√
3
, (Thảo mãn ĐK)
⇒ x =
π
3
+ kπ, k ∈ Z
Vậy PT có hai họ nghiệm: x =

π
4
+ kπ ; x =
π
3
+ kπ, k ∈ Z
28. Giải phương trình:
tan
2
x(sin2x − 6) +
1
cosx
(4
sin
3
x
cosx
− 3sin
2
x) − 2sinx(cosx + 2) + 3cosx + 6 = 0
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Bài này nhìn kềnh càng thế này thôi nhưng chỉ để luyện tập chiêu thức
nhóm nhân tử chung mà thôi ! Dù muốn nói nhiều cũng không thể trong bài này, chỉ còn nước là giải luôn:
ĐK:cos x = 0
PT⇔ tan
2
x(sin 2x − 6) +
sin
2
x

cos
2
x
(4 sin x −3 cos x) − 2 sinx(cos x + 2) + 3(cos x + 2) = 0
⇔ (tan
2
x − 1)(2 sin x −3)(cos x + 2) = 0 ⇔ tan
2
x = 1 ⇔ tan x = ±1
⇔ x = ±
π
4
+ kπ, k ∈ Z
Tới đây ta thấy ĐK chỉ để cho vui thôi ! Vì cos x = 0 là để cho tan x xác định mà tan x = ±1 thì có giá trị xác định
rồi!
Kết luận nghiệm của PT là: x = ±
π
4
+ kπ, k ∈ Z
29. Giải phương trình:
√
3 sin 2x − cos 2x = 2
√
3 cos x −2 sin x + 3
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đầu tiên ta để ý đến các biểu thức đẳng cấp của sin và cos và xử lý nó:
PT⇔
√
3 sin 2x − cos 2x = 2(
√

3 cos x −sin x) + 3 ⇔ −2 cos

2x +
π
3

= 4 cos

x +
π
6

+ 3
Bây giờ ta đưa về PT bậc hai của cos:
P T ⇔ 4 cos
2

x +
π
6

+ 4 cos

x +
π
6

+ 1 = 0 ⇔ cos

x +

π
6

= −
1
2
30. Giải phương trình:
5 cos
3
x + 7 cos x −6 = sin 2x + 6 cos 2x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Nhìn thấy cos
3
x; cos x; sin 2x;6 + 6 cos 2x đều có chứa cos x; nên tốt nhất
ta cứ gom nhân tử chung rồi tính tiếp !
PT⇔ cos x

5 cos
2
x − 12 cos x −2 sin x + 7

= 0 ⇔

cos x = 0, (1)
5 cos
2
x − 12 cos x − 2 sin x + 7 = 0, (2)
(1)⇔ x =
π
2

+ kπ.(k ∈ Z)
Giải (2) ta thấy cos
x
2
= 0 không thỏa mãn nên đặt: t = tan
x
2
(2)⇔ t(6t
3
− t
2
+ t − 1) = 0 ⇔

t = 0, (3)
6t
3
− t
2
+ t − 1 = 0
, (4)
(3)⇔ x = k2π, k ∈ Z
(4):6t
3
− t
2
+ t − 1 = 0.
Cái này nản quá !
14 Tài liệu miễn phí