phương pháp tính - nguyễn cảnh hoàng ( đại học công nghệ, đhqghn)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.62 MB, 59 trang )
Phương pháp
tính
Nguyễn Cảnh Hoàng
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP SỐ
Bài 1. PHƯƠNG PHÁP SỐ LÀ GÌ?
Numerical Analysic
Methods numeric
Computational methods
Tất cả các tên gọi đó đều nhắm tới một bộ môn toán học có mục đích giải quyết các bài toán ứng dụng liên
quan nhiều tới các tính toán, các con số cụ thể. Bộ môn này có thể phải sử dụng rất nhiều kiến thức có sở từ các
chuyên ngành khác, ví dụ:
Giải tích, giải tích hàm
Đại số
Xác suất thống kê
Một vài bài toán chính của phương pháp số là:
Xấp xỉ hàm: Thay một hàm phức tạp hoặc chưa biết rõ bằng một hàm giải tích đơn giải hơn mà thể
hiện được khá gần đúng hàm đó. Đó là các bài toán nội suy, xấp xỉ đều, xấp xỉ trung bình phương,…
Tính đạo hàm, tích phân bằng số gần đúng với các hàm số.
Giải gần đúng phương trình: Phương trình đại số, phương trình siêu việt, hệ phương trình đại số tuyến
tính, các bài toán tìm vector riếng, giá trị riêng, phương trình vi phân, tích phân,…
Giải gần đúng các bài toán tối ưu, quy hoạch tuyến tính và phi tuyến.
Hiểu một cách nôm na, phương pháp số là bộ môn khoa học bao gồm những phương pháp tính toán bằng số
cụ thể một cách hữu hiệu (có thể gần đúng) các bài toán cụ thể. Tính hữu hiệu (khả thi) đó được thể hiện bởi:
Độ chính xác
Khối lượng phép tính
Ước lượng được sai số
Ở mức độ phù hợp với thực tế và chấp nhận được.
Bài 2. SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TOÁN HỌC TÍNH TOÁN
VÀ TOÁN HỌC LÝ THUYẾT
Toán học lý thuyết và thực hành trong thực tế nhiều khi không song hành, đặc biệt khi chúng ta gặp những bài
toán thực nghiệm, được thiết lập không chính xác, có những dung sai nào đó trong xây dựng mô hình hoặc số liệu.
Thông thường, toán học lý thuyết quan tâm tới sự tồn tại và duy nhất của nghiệm, dáng điệu, định tính của
hàm số (rất cứng nhắc và cực đoan) trong khi học tính toán thì đề xuất thuật giải toán (chính xác hoặc gần đúng)
và đặc biệt quan tâm tới:
Thời gian tính toán (chấp nhận được so với các công cụ hiện có)
Bộ nhớ
Tốc độ hội tụ
Sự ổn định thuật toán
Tính thiết thực, phù hợp với thực tế: Có sai số nhưng sai số đủ bé, chấp nhận được.
Ví dụ vui:
Để tìm chàng rể, bố mẹ và cô giái thường có các quan điểm hoàn toàn khác nhau, một bên thực tế,
một bên lý thuyết.
Để đi tới Bắc cực, theo nhà lý thuyết chẳng có gì đơn giản hơn: Lấy la bàn, theo phương Bắc, đi mãi sẽ
tới. Điều đó là hoàn toàn đúng và hợp lý nếu ta là người ngoài hành tinh đến để thám hiểm Trái đất
hay có phép cân đẩu vân như Tôn Ngộ Không. Trong khi với nhà thực hành trên Trái Đất thì đó là một
việc vô cùng khó khăn, và thực tế là đúng như vậy.
Archimedes đã từng nói: “Hãy cho tôi 1 điểm tựa, tôi sẽ nâng cả Trái Đất”. Điều đó tương đương với
việc lý thuyết vậy, còn thực tế thì ta thừa biết chuyện đó không thể thực hiện được.
Ta xét vài ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ 1: Giải hệ với A ma trận cấp n×n
Về lý thuyết, phương trình Cramer cho các nghiệm
Và đối với các sinh viên năm thứ 1, đây là một điều đơn giản, không có gì đáng phải bàn cãi.
Tuy nhiên ta thử tính xem, số phép tính ta sẽ phải tính sẽ phải là bao nhiêu: Để đơn giản, ta hãy chỉ tính các
phép nhân chia mà thôi: Ta cần tính n+1 định thức cấp n, mỗi định thức có n! số hạng, mỗi số hạng n thừa số. Vậy
số phép tính nhân cần thực hiện sẽ là:
Với n = 20, số phép toán sẽ vào cỡ 10
20
, và với các máy tính có tốc độ 10
9
phép tính nhân/giây, ta sẽ mất 3.10
3
năm tất cả! Nghĩa là nếu dùng máy tính đó, tính từ thời bà Trưng, Bà Triệu tới giờ ta vẫn chưa giải được một hệ
phương trình nào cả. Trong khi đó, trên thực tế ta phải giải nhiều bài toán với n cỡ 100 cho các bài toán về:
Dự báo thời tiết
Kinh tế: Dự báo, quy hoạch,…
Hàng không: Cất & hạ cánh máy bay
Địa chất: Khai thác, thăm dò khoáng sản
…
Điều đó có nghĩa rằng trong thực tế tính toán không ai sử dụng định lý Cramer cả.
Ví dụ 2: Tính
Lấy tích phân từng phần ta được:
Ngoài ra:
Theo lý thuyết với (1.1) và (1.2) ta có thể tính được bất kỳ
nào, với giá trị e cho trước: từ đó tính
Tuy nhiên theo cách trên, với độ chính xác của e khá cao, ta có:
Và cứ tiếp tục tính ta được:
Điều này vô lý vì với mọi n ta phải luôn có
do trong đoạn
hàm số dưới dấu tích phân luôn dương.
Có 2 câu hỏi được đặt ra:
(1.1), (1.2) là đúng, tại sao cuối cùng
lại sai!?
Liệu có cách nào tính
chính xác hơn không?
Ta trả lời câu hỏi thứ 2 trước:
Ta thấy từ (1.1) suy ra:
Với sai số:
Trong đó
là sai số ở bước thứ .
Vậy theo nguyên lý kẹp ta có
Nếu ta lấy
thì sai số
. Theo (1.3) ta tính được
Với sai số:
Tiếp tục tính ta được
Chắc chắn kết quả này chính xác hơn kết quả trước.
Lí do: Theo (1.1) thì
suy ra
trong khi đó theo (1.4):
Nên:
Nghĩa là theo (1.4) ta có sai số luông giảm lần sau mỗi bước cho nên kể cả
rất lớn
cũng sẽ trở
nên vô cùng bé, trong khi đó tính theo công thức (1.1) thì sai số sẽ tăng theo từng bước cho nên
sẽ
rất lớn làm cho
.
Ví dụ 3: Tính gần đúng số hoặc tính diện tích hình bất kỳ.
Có rất nhiều cách khác nhau để tính gần đúng số với các sai số khác nhau. Ta có thể nêu 2 cách khá đơn giản
như sau:
Để biết đường kính một cây cổ thụ, ta đo chu vi rồi chia cho 3, nói một cách khác ta đã lấy gần đúng số
bằng 3.
Ném mũi tên vào hình vuông trong đó có chứa hình S. Tỉ lệ giữa số lần ta ném vào trong hình S trên
tổng số lần ném xấp xỉ tỉ lệ diện tích hình S trên diện tích hình vuông. Nếu cho S là một hình tròn đường
kính nào đó, ta biết được diện tích S, từ đó suy ra giá trị gần đúng của số .
Bài 3. QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ TIN HỌC
Như đã nêu trên, thường với các bài toán thực tế, ta phải thực hiện các tính toán cụ thể và do vậy mà phải sử
dụng tới máy tính. Nghĩa là CNTT được xem như công cụ để thực hiện các tính toán và quy trình để giải sẽ được
tiến hành theo các bước sau:
1. Mô hình hóa bài toán.
2. Phân tích mô hình
3. Tính tương thích với thực tế
4. Sự tồn tại của lời giải
5. Phương pháp tính toán
6. Rời rạc (module) hóa mô hình: Đưa bài toán liên tục về bài toán rời rạc, thường sử dụng các phương
pháp sai phân, phương trình hữu hạn (chẳng hạn để đưa số liệu của một đường con ta chỉ đưa một số
hữu hạn điểm)
7. Xây dựng thuật toán: Độ phức tạp, tính ổn định và hội tụ.
8. Cài đặt và khai thác tin học.
Bài 4. MỘT SỐ KIẾN THỨC GIẢI TÍCH HÀM
4.1. Không gian Metrix
Hàm số (Ánh xạ) thỏa mãn:
dấu bằng xảy ra
được gọi là metric (hay độ đo, khoảng cách) và
được gọi là không gian metric nếu đã biết rõ metric d, ta
chỉ cần nói không gian metric X là được
Một số ví dụ đơn giản về độ đo: km, dặm,… trong không gian
; ngày, tháng, năm,… trong không gian về trục
thời gian.
Trong không gian metric ta có một số khái niệm sau:
Hình cấu mờ:
Hình cầu đóng:
Hình cầu đóng:
Mặt cầu:
Dãy hộ tụ:
khi
Ánh xạ liên tục nếu
thì
Dãy Cauchy:
Ta có mệnh đề sau: Mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Không gian đầy đủ: Một không gian được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy hội tụ đều hội tụ tới phần tử thuộc không
gian đó.
Ánh xạ co được gọi là ánh xạ co nếu
sao cho với
ta có
(nghĩa là kích thước của ảnh bao giờ cũng nhỏ hơn kích thước thật của vật)
Nguyên lý ánh xạ co
Giả sử A là ánh xạ co trong không gian Metric đầy đủ X. Khi đó:
Tồn tại duy nhất
sao cho
(điểm
đó được gọi là điểm bất động của ánh xạ A).
Mọi dãy lặp
xuất phát từ
bất kỳ đều hội tụ tới
và:
Chứng minh: Ta có
Do vậy
Suy ra
là dãy cơ bản và hội tụ tới
nào đó.
Cho , qua giới hạn ta có
Do là đầy đủ nên
và
nên khi qua giới hạn ta được
nghĩa là
là điểm bất
động của ánh xạ A.
Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai, ta cũng làm như trên:
Qua giới hạn khi ta được bất đẳng thức thứ hai.
Bây giờ ta chứng minh rằng chỉ có 1 điểm bất động duy nhất: Giả sử có 2 điểm bất động thì
Vậy
Ý nghĩa: Để giải phương trình
nào đó, ta tìm cách chuyển về giải phương trình
, tức là
điểm bất động của ánh xạ . Nếu là ánh xạ co trong đoạn
nào đó thì có thể tiến hành quá trình lặp:
Chọn
bất kỳ thuộc miền xác định.
Lấy
với Dãy
sẽ hội tụ tới
là điểm bất động của g và do vậy ta có thể
chọn một
với đủ lớn là một nghiệm gần đúng của phương trình.
(Ở đây điều kiện có nghiệm duy nhất có thể làm nhẹ bởi việc chọn đoạn
để trong đó phương trình có
nghiệm duy nhất)
Cả 2 bất đẳng thức về sai số trên đều cho ta ước lượng sai số khi lấy giá trị gần đúng
. Sự khác biệt của
hai ước lượng trên là ở chỗ:
Bất đẳng thức (1): Ước lượng tiền nghiệm. Cho biết sai số bước cần thiết để đạt được độ chính xác
nào đó, khi chỉ mới biết
mà thôi.
Bất đẳng thức (2): Ước lượng hậu nghiệm. Cho biết sai số toán học khi đã thực hiện đến bước thứ .
Hiển nhiên là sai số ở (2) phải chính xác hơn (bé hơn) ở (1).
4.2. Không gian tuyến tính
Ta nói rằng trên xác định một cấu trúc tuyến tính gồm phép cộng (+) trong X và nhân (×) với số thực :
Tính giao hoán:
Tính kết hợp:
Tính phân phối:
o
o
Không gian tuyến tính
với tập nền thường viết tắt là . Ta có một khái niệm và tính chất sau:
Tập được gọi là kín (đóng) với phép cộng
và phép nhân
nếu
và khi đó được gọi là không gian con của .
Bao đóng tuyến tính
Hệ
với
được gọi là độc lập tuyến tính nếu
suy ra
, ngược lại gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Số chiều của không gian tuyến tính: là số lớn nhất các vector độc lập tuyến tính trong không gian đó
Nghĩa là nếu n là chiều của không gian tuyến tính thì:
o vector
độc lập tuyến tính, tập vetor này được gọi là cơ sở của không gian tuyến
tính và mỗi vector của không gian đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính duy nhất
các vector cơ sở:
(mọi cơ sở đều có đúng n vector độc lập tuyến tính)
o
vector
là phụ thuộc tuyến tính.
Tập lồi: Nếu ta có
thì gọi là tập lồi.
4.3. Không gian tuyến tính định chuẩn
Trong không gian tuyến tính ta xác định một chuẩn
nếu nó thỏa mãn:
a.
b.
c.
Không gian tuyến tính định chuẩn là không gian metric với
.
CHƯƠNG 2. SAI SỐ
Bài 1. SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI, SAI SỐ TUYỆT ĐỐI
Định nghĩa:
Gọi – giá trị chính xác của đại lượng nào đó.
– giá trị gần đúng của đại lượng đó mà ta đo được.
Khi đó ta gọi:
là sai số tuyệt đối.
là sai số tương đối.
Tuy nhiên ta không biết được chính xác a, do vậy mà bao giờ cũng chỉ được lấy
Nhận xét: thể hiện mức độ chính xác hơn
Ví dụ:
Chiều dài Hà Nội – Thành phố Hồ Chí Minh ,
chính xác hơn nhiều so
với chiều cao của bạn A là mà sai số
.
Cân 1 con voi và 1 con gà cùng sai số thì rõ ràng việc cân con voi là chính xác hơn rất nhiều.
Xét một hàm số liên tục, khả vi
trong
ta có:
Tương tự với hàm hiều biến:
Bài 2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SAI SỐ
2.1. Cộng – Trừ
Từ (2.1) suy ra:
2.2. Nhân với một hằng số
2.3. Nhân – Chia
Theo (2.2)
2.4. Lũy thừa
Như vậy nếu:
độ chính xác giảm
độ chính xác tăng (phép khai căn)
(nghịch đảo)
Ví dụ:
nên ta lấy
Ta có:
trong khi đó thực tế
Ta thử tính xam ta phạm sai số như thế nào
Nghĩa là
Tóm lại là sai số phạm phải có thể còn cai hơn rất nhiều so với 2 như trên.
Do vậy với các phép toán gần đúng phải rất cần thận trong việc tính toán và ước lượng sai số, nhất là trong việc
chia cho các số bé.
Bài 3. SAI SỐ THU GỌN
Trong nhiều trường hợp ta không cần hoặc không thể nêu giá trị chính xá của số mà chỉ cần nêu giá trị gần
đúng của nó được thu gọn, ví dụ dân số Việt Nam là 80 triệu người.
Làm tròn: Giả sử
Cần giữ đến số hạng thứ , vứt bỏ phần μ còn lại. Ta có
Với
Còn nếu
thì tùy ý, ta thường chọn
là số chẵn cho dễ tính, ví dụ 11.5 làm tròn lên 12 còn 10.5
làm tròn xuống 10.
Chữ số có nghĩa: là mọi chữ số khác không trong biểu diễn thập phân của 1 số gần đúng, hoặc nó là chữ số 0
nằm giữa 2 chữ số có nghĩa, hoặc nó là 0 đại diện cho hàng được giữ lại.
Ví dụ: Với thì mọi con số trên đều có nghĩa.
Nếu làm tròn 1.209790 thì con số 0 sau cùng có nghĩa
1.210 thì con số 0 sau cùng không có nghĩa
Chữ số chắc: Là chữ số
trong
Mà
(hay chữ số chắc chắn đúng)
Ví dụ: nếu sai số là 0.01 thì 3.14 là chữ số chắc.
Bài 4. QUAN HỆ GIỮA SAI SỐ VÀ CHỮ SỐ CHẮC
Gọi là số chữ số chắc của .
Xét ví dụ số
với toàn chữ số, chắc khi đó
, chứng tỏ
không phụ
thuộc vào vị trí dấu chấm thập phân mà
, trong đó
là gồm toàn chữ số chắc với chữ số cuối cùng hàng
đơn vị. Do vậy nếu
thì chính xác hơn .
Xét 2 bài toán sau:
a. Biết tìm :
Giả sử
với ta có:
b. Biết tìm :
Giả sử
và
Ta có
Tạm dời vị trí dấu thập phân của a để có a
m
với m+1 chữ số trước dấu thập phân ta có:
Rõ ràng
nên
Nếu
tức
có chữ số chắc và ko thể có nhiều hơn (vì
)
Nếu
thì
có m chữ số chắc và không thể ít hơn
Do lý luận trên không phụ thuộc vào dấu chấm thập phân nên ta có quy tắc:
Giả sử
và
. Khi đó:
có chữ số chắc nếu
có chữ số chắc nếu
có ít nhất m chữ số chắc nếu không biết
Ví dụ: Cho hình vuông cạnh a, diện tích với sai số hãy tính a?
Ta có
Nên a có 3 chữ số chắc.
Vậy ta có thể lấy
Các chữ số chắc là các chữ số kể từ vị trí thứ 2 sau dấu phẩy.
Bài 5. CÁC LOẠI SAI SỐ
5.1. Sai số giả thiết
Do ta mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế nên sẽ gặp sai số được gọi là sai số giả thiết. Sai số này không
thể tránh khỏi, bởi lẽ ta đã chấp nhận điều đó từ trước.
Ví dụ:
Vẽ người đẹp: khó vì sai số bé đến mấy cũng khó chấp nhận được, vẫn chưa đẹp như hình lý tưởng
của ta.
Vẽ ma quỷ: dễ, vì sai số lớn đến mấy cũng chấp nhận được.
Trung quân ái quốc: vua không thể sai.
5.2. Sai số phương pháp
Mỗi phương pháp đo và tính toán có sai số đặc trưng riêng của cách đo và của công cụ dùng để đo:
Ví dụ:
Đo chiều dài bằng gang tay
Đo chiều dài bằng thước ê-ke dài 10cm và so với đo bằng thước dây dài 4m.
5.3. Sai số số liệu
Bản thân số liệu đã có sai số.
Ví dụ: Đo lượng mưa hàng ngày trong năm, bản thân các số liệu đã có sai số.
5.4. Sai số tính toán
Các số liệu đã có sai số, giờ khi tính toán, cộng trừ nhân chia lại có sai số do việc tính toán có thể cho các kết
quả làm tròn không tuyệt đối chính xác.
5.5. Sai số ngẫu nhiên
Bài tập
1. Đo bán kinh vòng tròn ta được với
. Nếu lấy với sai số
, hãy
a. Tính sai số tương đối của R và π
b. Tính diện tích, chu vi của hình tròn đó và ước lượng sai số tương đối, tuyệt đối.
2. Trong tính toán người ta thường tránh chia cho số bé. Giải thích vì sao? Cho ví dụ minh họa.
3. Để cân một đứa trẻ, bà mẹ bế nó và trèo lên bàn cân, sau đó chỉ cần cân riêng bà mẹ và lấy kết quả trừ đi
cho nhau được trọng lượng đứa bé. Theo bạn, kết quả đó có chính xác như việc cân riêng đứa bé hay
không? Giải thích,
4. Phân biệt sự khác nhau giữa 2 câu nói:
a. “Dân số Việt Nam bây giờ là tám mươi triệu.”
b. “Dân số Việt Nam bây giờ là tám chục triệu.”
CHƯƠNG 3. NỘI SUY
Trong thực tế, nhiều khi ta phải nghiên cứu một hàm số mà chỉ biết một số giá trị của nó tại các điểm
nào đó. Ta muốn tái tạo lại một cách khá chính xác hàm số đó, để có thể nghiên cứu nó một cách toàn diện
hơn, để có thể thực hiện tính toán trên nó như đối với chính hàm số đó. Tóm lại, từ các điểm rời rạc
trên hệ trục tọa độ, ta muốn tái tạo lại toàn bộ hàm số liên tục, qua đó có thể xét đạo hàm, tích phân,
dáng điệu, chiều biến thiên của nó. Việc tái tạo, xây dựng lại hàm số dựa vào một số điểm rời rạc của nó
được gọi là nội suy hàm số đã cho.
Như vậy nội suy hàm số có nghĩa là ta phải tìm 1 hàm số nào đó khá gần só với , và theo lẽ thường tình nó
phải có những tính chất đẹp, ví dụ như liên tục, khả vi, khả tích,…(hiển nhiên tại các điểm
thì phải có
)
và hàm số đó càng đơn giản càng tốt.
Bài 1. NỘI SUY ĐA THỨC
Ta thấy rằng trong các hàm số, đa thức là hàm số đơn giản nhất mà lại chứa các tính chất: liên tục, khả vi, khả
tích. Do vậy mà ta hay nội suy một hàm số đã cho bằng đa thức và gọi đó là nội suy đa thức.
Ta đặt lại bài toán cụ thể sau:
Cho các điểm
là các mốc nội suy và ứng với chúng, ta có các giá trị hàm số:
Hãy tìm đa thức bậc m sao cho:
Ý nghĩa hình học: Nội suy hàm số bằng đa thức bậc m chẳng qua là việc vẽ đường cong bậc m đi qua n+1 điểm
cho trước. Việc tìm đa thức đó được gọi là nội suy đa thức.
Giả sử
, khi đó tìm chẳng qua là tìm hệ số
trong sao cho:
Thực ra đây là hệ n+1 phương trình với m+1 ẩn số
mà theo định lý Cramer thì:
: Bài toán vô nghiệm
: Bài toán vô định
: Ta có hệ thức Vandermar
Và hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất được tính theo công thức Cramer:
Như vậy ta có thể giải (3.1) để tìm
cần thiết.
Bài 2. CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE
Tuy nhiên việ giải (3.1) theo phương pháp Cramer vơi luôn đòi hỏi một khối lượng tính toán khá lớn. Ta
có cách tìm đơn giản hơn như sau:
Trong đó:
Dấu ^ ở trên nhị thức nào thì nhị thức đó không tồn tại.
Ta có thể thấy rằng
có các tính chất sau:
với
Khi đó đặt:
Ta có:
là đa thức bậc n.
Như vậy có nghĩa là là đa thức bậc n nội suy hàm số đã cho. Do vậy là đa thức nội suy cần tìm
và công thức trên gọi là công thức Lagrange.
Ví dụ: Công thức phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
mà ta đã biết chính là công thức
Largrange:
Với các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h, tức là
với
, công thức Lagrange có thể
có dạng dễ sử dụng hơn. Ta đặt
và khi đó:
Công thức Lagrange sẽ có dạng
Các hệ số
có thể được tính sẵn, số phép tính rất ít, ta có thể tính chung
Nhược điểm: Nếu thêm mốc nội suy, phải tính lại từ đầu từng
. Thực ra với mỗi
phải nhân thêm
với
và cộng thêm
vào .
Tuy nhiên công thức này với số mốc ít () thì tính toán rất đơn giản.
Với các công thức Lagrange và công thức (3.3) ta lại thấy một ý tưởng của phương pháp số: Công thức có vẻ
nặng nề, nhưng mạng tính thuật toán, dễ lập trình và số lượng phép toán không quá lớn, thuận tiện để có thể tính
toán một cách rất khả thi bằng máy tính.
Bài 3. SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY
Ta đã xấp xỉ bởi một đa thức nội suy . Hiển nhiên là ta đã phạm phải một sai số nào đó. Vấn đề là
phải đánh giá, ước lượng sai số đó là bao nhiêu?
3.1. Sai số phương pháp
Gọi
(và cố định ) là sai số của phép nội suy trên. Ta tìm cách ước lượng đó.
Xét hàm phụ:
Trong đó K là một hệ số nào đó sao cho:
Tức là:
Hay
Ta có nhận xét sau:
Phương trình
với các giá trị
phân biệt. Vậy theo định lý Rolle thì phương trình
có nghiệm phân biệt.
Tương tự
có nghiệm phân biệt.
….
có một nghiệm .
Mà
bậc n bậc
Gọi
Là công thức ước lượng sai số của phép nội suy đa thức (cho bất kỳ phép nội suy đa thức nào).
Ta thấy rằng sai số trên phụ thuộc chủ yếu vào hàm số . Để tiện đánh giá ta xét trường hợp các mốc nội
suy cách đều nhau với
.
Khi đó
và dáng điệu của nó quy về dáng điệu của hàm số:
Ta có một vài nhận xét về hàm số đó như sau:
1. là hàm chẵn nếu n lẻ và là hàm lẻ nếu n chẵn.
Chứng minh: Đặt
Và có
Nếu chẵn thì còn lại một thừa số bằng không ghép được nên hàm là lẻ, còn lại nếu lẻ thì ghép
hết và như vậy ta có hàm chẵn.
2.
đan dấu trong phân hoạch
: Rõ ràng
là một đa thức bậc nên đồ thị có dạng như
hình vẽb ên và như vậy nó phải đan dấu qua các nghiệm
Có thể chứng minh một cách khác:
Mà trong đoạn thì
nên đổi dấu khi qua mốc .
3. Do với mọi
thì
Nên
giảm dần khi t chạy từ 0 đến
, sau đó tăng dần do tính đối xứng của .
4. Ngoài hàm tăng rất nhanh.
Từ hệ thức
ta thấy khi t ở ngoài thì tăng rất nhanh (có thể suy trực
quan từ đồ thị của hàm sau điểm n có dạng như hình vẽ tăng rất nhanh.
Từ các điều trên ta có nhận xét sau:
Phép nội suy đa thức có độ chính xác cao với các điểm nằm phía trong các mốc nội suy và giảm dần
với các điểm nằm ngoài rìa (điều này có tính chất tương đối, trung bình mà nói chứ không có nghĩa là
sai số ở giữa thì tuyệt đối bé hơn so với ngoài rìa, ví dụ
).
tăng rất nhanh ở ngoài
nên nếu dùng để ngoại suy thì sai số sẽ rất lớn (dự báo kinh
tế năm 2050 dựa vào số liệu thì chắc chắn sai số sẽ rất lớn!)
3.2. Sai số tính toán
Giả sử thay vì các giá trị chính xác
ta đã dùng các giá trị gần đúng
, nghĩa là nhẽ ra phải có
0
1
2
n
n
Ta đã dùng
Nên sai số tính toán sẽ là
(với các mốc không cách đều cũng hoàn toàn tương tự).
Ví dụ: Để tính
ta thay hàm số bởi đa thức nội suy qua các mốc
và lấy
Việc xấp xỉ như vậy đã phạm phải một sai số cỡ
Nghĩa là nếu lấy
ta đã phạm phải một sai số cỡ 0.0028
(Để sai số này bé hơn, ta có thể chỉ cần lấy thêm vài mốc nội suy nào đó, chẳng hạn nếu lấy thêm mốc
ta sẽ có sai số giảm đi cỡ 8 lần!!!)
Bài 4. CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU
Với hàm số đã cho thì
hoàn toàn xác định, suy ra sai số chỉ phụ thuộc vào
. Vấn đề đặt ra là hãy tìm
sao cho
là bé nhất, tức là ta phải
giải bài toán Min-Max:
(Ví dụ về bài toán min-max: Khi bị công an tuýt còi vì vi phạm luật lệ giao thông, tất cả chúng ta đều cố gắng
làm sao để số tiền phạt tối đa vì vi phạm luật giao thông là bé nhất).
4.1. Đa thức Chebysev
Xét hàm số:
Đặt và dựa vào tính chất:
Ta có:
Ngoài ra:
Từ (3.7) và (3.8)
Nghĩa là có thể tính được mọi
một cách truy hồi.
Các đa thức
đó được gọi là đa thức Chebysev bậc n và có tính chất sau:
là đa thức bậc n với hệ số đầu là
có n nghiệm:
Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ lấy các giá trị tức là ta có đúng n
giá trị khác nhau của x mà thôi.
Cực trị của
Giá trị cực trị đó đạt được với
Định lý: Trong các đa thức bậc n có dạng:
Đa thức
có độ lệch so với 0 bé nhất trong , tức
Chứng minh: Giả sử ngược lại, tức có không đồng nhất bằng 0 mà
Đặt:
Ta thấy rằng:
là đa thức có bậc bé hơn .
Tại các điểm
ta có :
và do vậy mà sẽ có lần đổi dấu từ âm sang dương và ngược lại, suy ra có nghiệm.
Điều này vô lý vì
là đa thức có bậc bé hơn nên không thể có nghiệm được.
Vậy ta suy ra điều cần chứng minh:
4.2. Chọn mốc nội suy tối ưu
Ta cần chọn
sao cho
bé nhất, tức
bé nhất. Theo định lý Chebysev thì đa
thức
là được. Vậy ta xét các trường hợp sau:
a.
: Ta muốn có bé nhất trong mọi đa thức bậc , hệ số đầu tiên bằng 1,
xác định trên
. Vậy phải trùng với đa thức
. Hai đa thức này cùng bậc, có cùng hệ số
đầu tiên bằng 1, vậy chúng trùng nhau nếu có các nghiệm trùng nhau. Mà nghiệm của
là nghiệm
của đa thức Chebysev
, còn nghiệm của là
. Vậy ta đồng nhất các nghiệm đó
và phải có:
Khi đó:
b.
: Giả sử ta có phép biến hình (ánh xạ) :
Biến đổi thành
Ta có công thức:
(đây là hàm ngược của hàm trên)
Khi đó:
Các mốc nội suy của
là:
Các mốc nội suy của là:
Đó chính là công thức xác định vị trí các mốc nội suy
mà chúng sẽ làm cho sai số của phép nội
suy đa thức trên đoạn
có sai số bé nhất.
Bài 5. SAI PHÂN
5.1. Định nghĩa sai phân
Cho một hàm số và gia số h cố định của đối số . Khi đó giá trị
được gọi là sai
phân (cấp 1) của hàm số tại với gia số .
Khi đó sai phân cấp sẽ được hiểu là sai phân của sai phân cấp :
5.2. Tính chất
Ta có thể chứng minh được một số tính chất của sai phân như sau:
1. Toán tử sai phân là tuyến tính
2. Nếu là đa thức bậc thì là đa thức bậc .
3.
4.
5.
Đây chính là công thức Taylor
6.
Chứng minh:
Ta có
7.
Chứng minh:
Do
8. Nếu
thì tồn tại
đủ bé sao cho
Chứng minh:
Ta chứng minh công thức trên bằng quy nạp theo . Dễ thấy là công thức đó đúng với . Giả sử công thức
đúng với , ta cần chứng minh đúng với .
Ta có:
Với:
Vậy công thức trên đúng với mọi n.
Ý nghĩa:
a. Với h bé ta có thể xem
, tức là
b. Với : Đây là công thức số gia hữu hạn
với ý nghĩa luôn tìm được điểm trên cung có hoành độ sao cho qua kẻ được tiếp tuyến
song song với dây cung .
C
A
B
5.3. Bảng sai phân
Nếu ta lấy gia số h cố định cho phân hoạch
nghĩa là
với
Ta lập bảng gọi là bảng sai phân như sau:
x
y
Δ
Δ
2
Δ
3
…
⁞
⁞
x
0
y
0
Δy
0
x
1
y
1
Δ
2
y
0
Δy
1
Δ
3
y
0
x
2
y
2
Δ
2
y
1
…
Δy
2
Δ
3
y
1
x
3
y
3
Δ
2
y
2
Δy
3
x
4
y
4
⁞
⁞
Ta thấy rằng:
Chỉ cần biết cột giá trị
ta dễ dàng suy ra mọi giá trị của mọi cột
Nếu biết bất kỳ một cột hoặc một hàng xiên (lên hoặc xuống) nào đó ta đều có thể tìm được mọi giá
trị khác kể từ đó của bảng sai phân.
Tính chất 6 có 3 dạng cụ thể thuận lợi cho các tính toán như sau:
o
(3.10)
o
(3.11)
o
(3.12)
Bài 6. CÁC CÔNG THỨC NỘI SUY VỚI SAI PHÂN
Giả sử cho các mốc cách đều
với
Ta có thể có một vài công thức nội suy liên quan tới sai phân như sau:
6.1. Công thức Newton tiến
Giả sử ta muốn công thức nội suy đa thức có dạng:
Dễ thấy rằng công thức này:
Cũng là đa thức bậc
Đơn giản hơn công thức Lagrange
Vấn đề đặt ra là phải tìm các hệ số
. Bằng cách thay
vào công thức trên lần lượt ta được:
Tổng quát:
Chứng minh quy nạp công thức trên như sau:
Giả sử đã có công thức trên đúng với mọi , ta chứng minh nó đúng với :
Thay
vào ta có:
Mà theo (3.12) thì
Vậy công thức trên đúng với mọi i.
Lưu ý rằng trong chứng minh công thức trên, ta chỉ quan tâm tới thứ tự các thừa số, do vậy nếu trong công
thức , ứng với số hạng có dạng
Thì ta sẽ có
Và quy tắc này cũng đúng cho các công thức Newton lừi, Gauss mà ta sẽ đề cập đến sau.
Trong công thức trên nếu thực hiện việc đổi biến
ta được:
Do đa thức nội suy bậc n là duy nhất cho nên đây cũng chính là công thức Lagrange được viết và tính một cách
đơn giản hơn mà thôi, do vậy cho nên nó phải có cùng một sai số:
6.2. Công thức Newton lùi
Tương tự, ta muốn công thức nội suy có dạng:
Và vấn đề đặt ra cũng là xác định các hệ số
bằng bao nhiêu. Ta cũng thay
vào hai vế của công thức
trên và lần lượt tìm ra các giá trị
đó. Tuy nhiên ở đây ta theo thứ tự ngược lại, thay lần lượt bởi
theo đúng thứ tự mà các mốc đó xuất hiện trong công thức nội suy. Nếu viết lại số hạng thứ của công thức trên
ta được
nên theo lưu ý ở cuối 6.1 ta có:
6.3. Công thức Gauss I và II
Các mốc nội suy đi từ giữa sang 2 phía:
Ta muốn công thức nội suy có dạng
Và tương tự ta có:
Với sơ đồ thứ tự mốc nội suy như sau:
Và ta có quy luật
như sau:
1. Xuất phát từ
thì
2. Ta luôn có
, vấn đề là xác định 1 như thế nào? Ta có quy tắc sau đây:
Giả sử
thì
a.
nếu mốc nội suy thứ là tiến
b.
nếu mốc nội suy thứ là lùi.
Quy tắc này luôn đúng với mọi công thức nội suy có mốc nội suy cách đều và với các mốc nội suy như sau:
Ta có công thức Gauss II (một lùi một tiến)
Với:
Tiến
Tiến
Lùi
Lùi
Tiến
Tiến
Lùi
Lùi
6.4. Công thức Stirling
Là trung bình cộng của 2 công thức Gauss I và Gauss II.
Nếu thực biện việc biến đổi
ta có các công thức cụ thể sau:
Gauss I
Gauss II
Stirling
Ta có thể ghi nhớ các công thưc đó qua bảng sai phân sau:
x
y
Δ
Δ
2
Δ
3
…
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
x
-1
y
-1
Δ
2
y
-2
Δy
-1
Δ
3
y
-2
Gauss I
x
0
y
0
Δ
2
y
-1
Δy
0
Δ
3
y
-1
Gauss II
x
1
y
1
Δ
2
y
0
Δy
1
Δ
3
y
0
x
2
y
2
Δ
2
y
1
Newton tiến
Δy
2
⁞
x
3
y
3
⁞
Newton lùi
⁞
Δ
2
y
n-3
⁞
⁞
Δ
2
y
n-2
Δy
n-1
x
n
y
n
Nhận xét:
Các công thức trên đều là các dạng khác nhau của công thức Lagrange.
Thêm mốc nội suy, chúng ta chỉ phải tính thêm các số hạng ở phía sau kể từ mốc nội suy mới được
thêm vào.
Sai số trong mọi công thức trên luôn là:
Để ý rằng
như là số hạng tiếp theo trong công thức nội suy có sai phân nếu ta thêm
vào một mốc nội suy nữa. Điều đó có nghĩa là số hạng thứ trong mỗi công thức nội suy chính là
sai số của phép nội suy đa thức qua mốc nội suy, điều đó có nghĩa là cứ thêm mốc nội suy thì đa thức
sẽ được tăng lên một số hạng mà giá trị của nó xấp xỉ sai số của bước trước đó! Và như vậy thì mọi giá
trị của hàm nội suy sẽ được điều chỉnh chính xác hơn một chút, đúng bằng giá trị của sai số ở bước
trước đó!
Trong các công thức sai phân, do số hạng thứ là sai số của phép nội suy qua k mốc đầu nên điều
đó có nghĩa là tầm quan trọng của các mốc nội suy giảm dần theo thứ tự chúng được sử dụng trong
các công thức, ví dụ với công thức Newton tiến thì
là quan trọng nhất, tiếp đó là
Do vậy để
có thể có giá trị của với độ chính xác cao, ta nên dùng công thức cho từng vị trí của trong đoạn
, cụ thể:
o gần
: dùng công thức Newton tiến
o gần : dùng công thức Newton lùi
o gần giữa: dùng công thức Gauss I hoặc II
Do vậy mà khi gần với các mốc nội suy nào thì ta sẽ dùng công thức nội suy tương ứng với mốc đầu
tiên gần với nó nhất có thể.
Bài 7. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SAI PHÂN
7.1. Tính giá trị đa thức
Giả sử ta cần tính bậc và ta đã biết giá trị tại điểm
.
Trường hợp 1:
Nếu điểm đó là bất kỳ, ta dùng công thức Lagrange để xác định nội suy, và đó cũng chính là .
Thay vào ta được giá trị .
Ví dụ: Cho đa thức bậc 3 với các giá trị theo bảng:
x
0
2
3
-1
y
1
5
19
-1
Khi đó:
Lúc đó chẳng hạn ta có
Trường hợp 2
Nếu các mốc nội suy cách đều và điểm cần tính cũng cách đều, ta lập bảng sai phân và tính được mọi
và
, từ đó suy ra
Ví dụ: Nếu là đa thức bậc 3 như ở ví dụ trên, hãy tính .
Ta lập bảng sai phân:
x
y
Δ
Δ
2
y
Δ
3
y
0
1
0
1
1
4
4
6
2
5
10
14
6
3
19
16
30
4
49
Gán
rồi tính ngược lại
Và ta được .
