TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN CÁC KHÍ BOSE TƯƠNG TÁC YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC S. TSKH

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Trần Hữu Phát,
người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền
tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày
càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau
Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội và các Giáo sư, Phó
Giáo Sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức
quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong
thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, tháng 9 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Xuân Tuấn


LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn Xuân Tuấn, học viên cao học khóa 2011 – 2013
chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose –
Einstein các khí Bose tương tác yếu”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của
riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng
với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, tháng 9 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Xuân Tuấn

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) đã được quan sát thành công bằng thực
nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trong một
thể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ
tuyệt đối bằng laser. Đó là BEC từ khí Bose. Sau đó không lâu BEC từ khí
Fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định. Phát kiến BEC đã mở ra một
giai đoạn phát triển như vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực
nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử. Thực vậy, ngưng tụ
Bose-Einstein được tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống
kê Bose-Einstein, vì thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất
đặc biệt: là một chất lỏng lượng tử với tính kết hợp rất cao như các tia laser.
Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật
dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên
thực nghiệm các BEC 2 thành phần từ phân tử khí gồm 2 thành phần khí khác
nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa 2
thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính là một
môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng
lượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách
ngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực.
Các chất lỏng lượng tử quen thuộc mà thực nghiệm đã phát hiện từ lâu là
3
He
và
4
He
. Hiện nay thực nghiệm cũng đã khẳng định được các BEC cũng
là chất lỏng lượng tử và trong điều kiện nhất định cũng có tính siêu lỏng. Từ
đó phát triển một phương hướng nghiên cứu đầy triển vọng, đó là nghiên cứu

các hiện tượng lượng tử tương tự với những hiện tượng đã biết trong thủy
động học cổ điển, chẳng hạn hiện tượng không ổn định Kelvin-Helmholtz,
không ổn định Rayleigh – Taylor. Đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ
1
Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu” nghiên cứu một cách hệ thống sự
phụ thuộc của áp suất và năng lượng của hệ vào nhiệt độ tuyệt đối, đặc biệt là
ở gần đúng nhiệt độ thấp và ở gần đúng nhiệt độ cao.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein, nghiên cứu khí Bose
tương tác yếu.
- Xác định sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng vào nhiệt độ
T
ở
trong gần đúng nhiệt độ thấp và ở gần đúng nhiệt độ cao.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí
Bose tương tác yếu, chỉ ra được sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng
vào nhiệt độ T, vẽ được đồ thị liên hệ giữa áp suất và năng lượng vào
nhiệt độ T ở gần đúng nhiệt độ thấp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Hệ khí Bose tương tác yếu một thành phần.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn.
- Phương pháp giải tích toán học.
- Phương pháp tính số.
6. Cấu trúc luận văn.
- Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein.
- Chương 2: Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí
Bose tương tác yếu.
2

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose-Einstein, điều kiện để
xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ,
ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lí tưởng.
1.1 Giới thiệu.
Ngưng tụ Bose-Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan
sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ trở
thành chủ đề chính trong lí thuyết và thực nghiệm.
Năm 1924, nhà vật lí học người Ấn Độ Satyendra Nath Bose đã gửi
Einstein một bài báo, trong đó ông bắt nguồn từ định luật Planck trong bức xạ
của photon như khí của hệ hạt đồng nhất. Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết
của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử mà
số lượng hạt được bảo toàn, và trong cùng năm, dự đoán rằng nhiệt độ đủ
thấp, các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ. Chúng
được biết đến như một hiện tượng, gọi là ngưng tụ Bose-Einstein (BEC), xảy
ra đối với các hạt boson có tổng số spin nguyên.
Ngưng tụ Bose-Einstein và quá trình ngưng tụ nó, được dự đoán có
nhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều năm thí nghiệm đã cố gắng sản xuất
ngưng tụ Bose-Einstein ở trong phòng thí nghiệm. Cuối cùng vào năm 1995,
nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm được điều hành bởi viện quốc gia về tiêu
chuẩn và công nghệ và đại học Colorado ở Boulder, Colorado và viện công
nghệ Massachusetts (gọi tắt là MIT) đã thu được bằng chứng thuyết phục cho
ngưng tụ Bose-Einstein trong khí loãng nguyên tử.
Ở MIT đã xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose-Einstein
nguyên tử giống như laser, nói cách khác sóng nguyên tử có tính kết hợp.
Trong nhiều năm thí nghiệm đã thành công trong việc quan sát sự kết hợp
3
trực tiếp và đã giải thích bước đầu “nguyên tử laser” tạo ra một chùm nguyên
tử kết hợp, tương tự photon phát ra bởi laser quang học. Đồng thời các nhà lí

thuyết đã làm rõ nhiều vấn đề, đưa ra và đã phát triển cách thức mạnh mẽ để
mô phỏng thực nghiệm.
Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bị
ảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử
khác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh
dấu bởi bước sóng De Broglie
2
2
2
dB
B
k mT
π
λ
 
=
 ÷
 
h
, k
B
là hằng số Boltzmann,
m
là
khối lượng nguyên tử,
T
là nhiệt độ của khí. Ở nhiệt độ phòng bước sóng De
Broglie nhỏ hơn rất nhiều lần so với khoảng cách trung bình giữa các nguyên
tử. Điều này có nghĩa là sóng vật chất của các nguyên tử riêng lẻ là không
tương quan với nhau hoặc là bị rối vào nhau và khí có thể được mô tả bởi

thống kê Boltzmann.
Vì khi khí được làm lạnh, sự nhòe tăng lên và có nhiều hơn một nguyên
tử ở mỗi hình lập phương kích thước
dB
λ
. Các hàm sóng của nguyên tử liền
kề sau đó chồng chất, các nguyên tử mất đi sự giống nhau và hành vi của khí
được chi phối bởi thống kê lượng tử. Thống kê Bose-Einstein tăng đội ngột
tạo cơ hội tìm nhiều hơn một nguyên tử trong cùng trạng thái, và chúng ta có
thể nghĩ sóng vật chất trong khí Bose như “dao động điều hòa”. Kết quả là
ngưng tụ Bose-Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái cơ bản của khí.
Einstein đã miêu tả quá trình như ngưng tụ không có tương tác làm cho nó là
một mô hình quan trọng của thống kê cơ học lượng tử. Sự phân bố mật độ
ngưng tụ được miêu tả bởi hàm sóng đơn vi mô với biên độ và pha được xác
định rõ, giống như một lĩnh vực cổ điển.
4
1.2 Làm lạnh nguyên tử.
Ngưng tụ Bose-Einstein được trích dẫn như một hiện tượng quan trọng
trong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho
ngưng tụ đến từ nghiên cứu về Hêli siêu lỏng. Trong trường hợp của Hêli siêu
lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quá
trình chuyển đổi, mục đích lâu dài trong vật lí nguyên tử là đạt được BEC
trong khí nguyên tử loãng, thách thức là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanh
hoặc dưới 1µK đồng thời ngăn chặn nguyên tử ngưng tụ trở thành chất rắn
hoặc chất lỏng. Nỗ lực để có được ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí
nghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha
loãng, sau đó bị mắc kẹt bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi,
cách tiếp cận này đã tiến đến rất gần quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự
tương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới
hạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ.

Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy
từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử. Những kĩ
thuật này đã thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh. Nguyên tử ở nhiệt độ dưới
mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử
kiềm là rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser bởi vì quá trình có
quang học có thể được kích thích bởi laser có sẵn và bởi chúng có thuận lợi là
có cấu trúc mức năng lượng dễ làm mát ở nhiệt độ thấp, tuy nhiên nhiệt độ
thấp nhất mà làm mát bằng laser kĩ thuật có thể đạt được bị giới hạn bởi năng
lượng photon đơn. Các con đường thành công để ngưng tụ Bose-Einstein là
sự kết hợp hài hòa của phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một
kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi,
làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao được phép thoát ra khỏi mẫu
nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va
5
chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố
vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell-Boltzmann
nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc
cường độ với nhược điểm duy nhất là số lượng của các nguyên tử bị mắc kẹt
giảm. Thách thức trong việc làm mát cho kim loại kiềm là câu hỏi là: làm thế
nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không
đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mật độ thấp, nơi mà ánh
sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử. Mặt khác đòi hỏi phải có
mật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, cần sản xuất tỉ lệ va
chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không để kéo
dài tuổi thọ của các khí bị mắc kẹt.
Cho bay hơi làm mát để làm việc, nguyên tử mất đi phải được cách li
nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh
vực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương
pháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị mắc
kẹt và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và một điện thế được xây

dựng xung quanh nguyên tử với một từ trường đồng nhất. Điều này hạn chế
các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ của không gian. Nguyên tử chỉ có
thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần thiết là ngắn hơn nhiều so với thời
gian sống của một nguyên tử trong bẫy, điều này đòi hỏi một cái bẫy giam kín
chứa mật độ cao. Các thí nghiệm lần đầu tiên quan sát BEC là sử dụng bẫy
cực từ tuyến tính.
1.3 Ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí Bose lí tưởng
Theo công thức của thống kê Bose-Einstein, số hạt trung bình có năng
lượng trong khoảng từ
ε
đến
d
ε ε
+
là bằng
6
( )
( )
exp 1
dN
dn
ε
ε
ε µ
θ
=
−
 
−
 

 
(1.1)
trong đó
( )dN
ε
là số các mức năng lượng trong khoảng từ
ε
đến
d
ε ε
+
.
Ta đi tìm
( )dN
ε
. Theo quan điểm lượng tử, các hạt Boson chứa trong
thể tích
V
có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác
định
( )dN
ε
bằng cách áp dụng công thức
2
2
( )
2
N k V
dN k dk dk
k

π
∂
= =
∂
cho ta số
các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của vecto
k
r
từ
k
đến
k dk+
2
2
( )
2
k dk
dN k V
π
=
(1.2)
Theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng
p
r
và véctơ sóng
k
r
p k=
r
r

h
(1.3)
Ta có thể viết công thức (1.2) dưới dạng
2
2 3
( )
2
p dp
dN p V
π
=
h
(1.4)
Nhưng đối với các hạt phi tương đối tính
2
2
p
m
ε
=
(1.5)
Từ đó
2 3
2p dp m d
ε ε
=
(1.6)
do đó theo (1.4) ta được
3
2 3

2
( )
2
m V
dN d
ε ε ε
π
=
h
(1.7)
7
Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, cho nên số trạng thái khả dĩ
ứng với cùng giá trị của spin
s
của hạt
2 1g s= +
. Do đó, số các mức năng
lượng trong khoảng
ε
đến
d
ε ε
+
bằng
3
2 3
2
( )
2
m Vg

dN d
ε ε ε
π
=
h
(1.8)
Như vậy theo công thức (1.2) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng
từ
ε
đến
d
ε ε
+
3
2 3
2
( )
2
exp 1
m Vg d
dn
ε ε
ε
ε µ
π
θ
=
−
 
−

 
 
h
(1.9)
Vì số hạt toàn phần là
N
, cho nên ta có phương trình sau đây
3
2 3
0 0
2
( )
2
exp 1
m Vg d
N dn
ε ε
ε
ε µ
π
θ
∞ ∞
= =
−
 
−
 
 
∫ ∫
h

(1.10)
Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học
µ
. Ta xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học
µ
đối với khí Bose lí tưởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng
0
µ
<
(1.11)
Thực vậy, hạt trung bình
( )dn
ε
chỉ có thể là một số dương, do đó, theo
(1.9), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.9) là luôn luôn dương (nghĩa là
khi
0
µ
<
, để cho
exp
ε µ
θ
−
 
 
 
luôn luôn nhỏ hơn 1 với mọi giá trị của

ε
).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,
µ
giảm dần khi nhiệt độ
tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy vi phân các hàm ẩn vào (1.10), ta
được
8
2
0
0
0
2
0
exp
exp 1
exp 1
exp
1
exp 1
exp 1
d
d
d
d
ε µ
ε ε
θ
ε ε
ε µ

ε µ
µ
θ
µ
θ
ε µ
θ
ε ε
ε ε
θ
ε µ
θ
θ
θ
ε µ
θ
∞
∞
∞
∞
−
 
 
 
∂
 − 
−  
∂
 
−

−
 
 
 
∂
 
   
= − = −
−
∂  
∂
 
−
 
∂
 
−
 
 − 
 
 
−
 
 
 
 
∫
∫
∫
∫

(1.12)
Nhưng do (1.11) nến
0
ε µ
− >
, do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải của (1.12) là luôn luôn dương với mọi giá trị của
ε
, và vì vậy
0
µ
θ
∂
<
∂
(1.13)
Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống
µ
có thể tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn
hơn (nhưng vẫn âm) và cuối cùng
µ
có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không
(
0
µ
=
) ở cùng một nhiệt độ
0
T
bằng cách đặt

0
µ
=
, từ phương trình (1.10)
3 3/2
3/2
0
2 3
2 3
0 0
2
2 1
2
exp 1
x
m Vg d m Vg xdx
N
e
ε ε
θ
ε µ
π
π
θ
∞ ∞
= =
−
− 
−
 

 
∫ ∫
h
h
(1.14)
biết rằng
0
2,31
1
x
xdx
e
∞
=
−
∫
ta được
2/3
4 1/3 2
0
2/3
(2 )
(2,31 )
N
g m V
π
θ
 
=
 ÷

 
h
(1.15)
Đối với tất cả các khí Bose quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với
4
He
, ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ
120kg/m
3
ta được
0
2,19T K=
.
9
Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ
nào đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn
0
T
, nghĩa là
0
0
θ θ
< <
(1.16)
Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên
0
µ
=
. Nhưng khi đó, đối với

0
θ θ
<
điều kiện (1.10) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt
'
N N<
. Thực vậy đối với
0
θ θ
<
và
0
µ
=
điều kiện (1.10) có dạng phương trình (1.14), từ đó
3/2
'
0
N
N
θ
θ
 
=
 ÷
 
(1.17)
Do số hạt toàn phần trong hệ lại không đổi, vì vậy kết quả vừa thu được
phải được đoán nhận vật lí một cách đặc biệt. Điều mà
'

N N<
khi
0
θ θ
<
chỉ
ra rằng số hạt toàn phần
N
chỉ có một phần số hạt
'
N
có thể phân bố theo
mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.1) tức là
3/2 '
3/2
2 3
0
( )
(2,31)
2
exp 1 exp 1
m Vg d N d
dn
ε ε ε ε
ε
ε ε
θ
π
θ θ
= =

   
− −
   
   
h
(1.18)
Còn các hạt còn lại
'
N N−
, cần phải được phân bố như thế nào đó khác
đi, chẳng hạn như tất cả các số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là
chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn
0
T
một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm
ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác theo định luật
1
exp 1
ε
θ
 
−
 
 
Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó, một số hạt của khí Bose
chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí Bose phân bố
khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không
tuyệt đối (

0T =
) tất cả các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức không.
10
CHƯƠNG 2. TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-
EINSTEIN CÁC KHÍ BOSE TƯƠNG TÁC YẾU
2.1 Phương pháp hàm cho khí Bose phi tương đối tính.
Hàm sóng
( , )x t
ψ ψ
=
cho một hạt tự do phi tương đối tính có khối
lượng m thỏa mãn phương trình Schrodinger

2
1
2
t
i
m
ψ ψ
∂ = − ∇
(2.1)
Trong mô hình lượng tử hóa lần hai của hệ thống, nhiều hạt có hàm sóng
( , )x t
ψ
trở nên tương ứng với trường lượng tử. Phương trình sóng (2.1) là
phương trình chuyển động cổ điển, nó xuất phát từ phương trình Schrodinger
Lagrangian

2

*
1
£
2
t
i
m
ψ ψ ψ
= ∂ − ∇
(2.2)
Bây giờ xây dựng Hamiltonian H và toán tử số hạt
3 *
N d x
ψ ψ
=
∫
, hàm
phân bố chính tắc lớn được đưa ra bởi công thức

( )
( , ) Tr
H N
e
β µ
β µ
− −
Ξ =
(2.3)
Ở đây
1

T
β
=
khi hệ ở trong trạng thái cân bằng nhiệt ở nhiệt độ
T
và thế hóa
học
µ
. Hằng số Boltzmann được lấy
1
B
k =
. Viết lại vết như một phần tích
phân [8], ta thu được hàm tích phân
3 *
0
£ ( , )
*
( , )
E
d d x
D D e
β
τ ψ ψ
β µ ψ ψ
−
∫ ∫
Ξ =
∫
(2.4)

ở đây trường
( , )x
ψ ψ τ
=
bây giờ là hàm của thời gian ảo
it
τ
=
. Động lực
học của nó bị chi phối bởi mật độ Lagrangian Euclidean

2
* *
1
£
2
E
m
τ
ψ ψ ψ µψ ψ
= ∂ + ∇ −
(2.5)
11
ở đây chúng ta đã bao gồm cả các đóng góp từ thế hóa học.
2.1.1 Hình thức trường phức.
Vì tích phân (2.4) là Gaussian, nó có thể ngay lập tức được đánh giá.
Kết quả cho năng lượng tự do
ln /
β
Ω = − Ξ

có thể được viết lại như sau

2
1
( , ) Trln( )
2m
τ
β µ µ
β
∇
Ω = ∂ − −
(2.6)
Các vết của hàm số được đưa ra bởi giá trị riêng của toán tử tương ứng.
Chúng được tìm bởi khai triển trường Bose trong sóng phẳng
1
( , )
n
ikx i
nk
n k
x e
V
ω τ
ψ τ ψ
β
∞
+
=−∞
=
∑ ∑

(2.7)
ở đây
2 /
n
n
ω π β
=
tương ứng với tần số Matsubara. Sau đó chúng ta có
1
( , ) ln( )
n k
k n
i
β µ ω ε µ
β
∞
=−∞
Ω = − + −
∑ ∑
(2.8)
ở đây
2
/ 2
k
k m
ε
=
là năng lượng đơn hạt. Nó có thể theo quy tắc tổng phân kì
bằng cách lấy đạo hàm với chú ý đến
k k

e
ε µ
= −
. Sau đó sử dụng tổng chuẩn
2 2
1 1 1
2 1
n
n
e
βω
β
ω ω ω
∞
=−∞
 
= +
 
+ −
 
∑
(2.9)
Và hợp nhất lại chúng ta có
1
( , ) ln(1 )
2
k
e
k
k

e T e
β
β µ
−
 
Ω = + −
 
 
∑
(2.10)
Sau khi loại bỏ hằng số vô hạn, áp suất của khí bây giờ là đơn giản
/P V= −Ω
. Lấy thể tích vô hạn ta được
3
( )
3
1
( , ) ( ) ln(1 )
(2 ) 2
k
k
d k
P T e
β ε µ
β µ ε µ
π
− −
 
= − − + −
 

 
∫
(2.11)
Số hạng đầu tiên là năng lượng ở điểm không, nó chỉ đóng góp ở nhiệt độ
không.
12
Để tìm ra phương trình trạng thái thì áp suất như hàm của mật độ
/P
ρ µ
= ∂ ∂
, bỏ qua năng lượng điểm không trong (2.11), chúng ta nhận được
kết quả thông thường

3
( )
3
1
(2 ) 1
k
d k
e
β ε µ
ρ
π
−
=
−
∫
(2.12)
từ đó có thể tính thế hóa học

µ
như một hàm của nhiệt độ và mật độ, từ áp
suất sau đó có phương trình trạng thái, nó bao gồm đường tới hạn, xác định
bởi
0
µ
=
, tức là
3/2
3
3
1
(3 / 2)
(2 ) 1 2
k
d k mT
e
βε
ρ ζ
π π
 
= =
 ÷
−
 
∫
(2.13)
Vì mật độ cao hơn giá trị tới hạn, áp suất trong khí được xem là không phụ
thuộc vào mật độ, pha ngưng tụ này có một hệ số nén vô hạn, điều đó là phi
vật lí. Lực thế giữa các hạt sẽ giải quyết các vấn đề này và ngưng tụ Bose-

Einstein sẽ trở thành một vật lí siêu lỏng.
2.1.2 Hình thức trường thực.
Sau khi chúng ta xem xét khí tương tác, chúng ta sẽ tìm thấy nó thuận tiện
hơn để hợp hai thành phần thực của trường phức
ψ
như biến trường độc lập

( )
1 2
1
2
i
ψ ψ ψ
= +
(2.14)
Lagrangian Euclidean sau đó có thể viết như sau

1
ˆ
£
2
E a ab b
M
ψ ψ
=
(2.15)
ở đây toán tử ma trận mật độ
ˆ
ab
M

có dạng
2
ˆ
2
ab ab ab
M i
m
τ
µ δ
 
∇
= ∂ − +
 ÷
 
ò
(2.16)
13
ở đây
ab
ò
là tenxơ phản đối xứng hai chiều với
12
1=ò
. Sau khi biểu diễn tác
động tương ứng trong điều kiện của các thành phần Fourier phức trong (2.7),
hàm phân bố bây giờ được đưa bởi hàm tích phân
* * * *
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
, ,
1

( , ) exp ( ) ( )
2
k k n
n k n k
D D e e
β µ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ω ψ ψ ψ ψ
 
Ξ = − + + −
 
 
∑ ∑
∫
(2.17)
hai năng lượng e
1k
và e
2k
ở đây thực sự đều bằng
k k
e
ε µ
= −
.
Từ hình thức hàm phân bố (2.17) chúng ta thấy rằng trong các số hạng
của các thành phần trường thực, tự do, lí thuyết trường phi tương đối tính là
tương tác ở cấp độ cơ bản. Phần đường chéo của tác động di chuyển các
trường
1
ψ
và

2
ψ
ở thời gian cố định với đường truyền
:
(0)
11
1
1
k
D
e
=
:
(0)
22
2
1
k
D
e
=
(2.18)
Trong khi đó số hạng động lực học cung cấp tương tác với đỉnh đơn giản
:
n
ω
:
n
ω
−

(2.19)
của cường độ cho bởi tần số Matsubara. Năng lượng tự do bây giờ thu được
trong chuẩn lí thuyết nhiễu loạn, cái mà hầu như không giải quyết đáng kể tới
tất cả các bậc trong tương tác. Đầu tiên, chúng ta cần hàm phân bố tự do
* *
0 1 2 1 1 1 2 2 2
,
1 1
2 2
1 2
1
exp ( )
2
= det ( ) det ( )
k k
n k
k k
D D e e
e e
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
− −
 
Ξ = − +
 
 
∑
∫
(2.20)
Lấy logarithm, chúng ta tìm thấy kết quả không tương tác
ở đây các vòng lặp khép kín biểu thị các vết trên các biến trong các hàm

truyền. Sự tương tác động sẽ xáo trộn các trường trong hai sơ đồ vòng lặp
14
(2.21)
này. Trường một sẽ chuyển sang trường hai và ngược lại với hằng số liên kết
là
n
ω
. Khi hàm truyền tự do có
1 2
0
, 0
ψ ψ
=
thì chỉ các vòng lặp với một số
chẵn của tương tác sẽ đóng góp. Sau đó chúng ta sẽ tìm thấy năng lượng tự do
đầy đủ
=
2 4 6
1 2
,
1 2 1 2 1 2
1
ln( )
2 1( ) 2( ) 3( )
n n n
k k
n k
k k k k k k
e e
e e e e e e

ω ω ω
 
+ − + +
 
 
∑
=
2
1 2
,
1
ln( )
2
n k k
n k
e e
ω
+
∑
(2.22)
2.1.3 Hàm truyền tự do của trường thực.
Các hàm truyền trong (2.18) chỉ di chuyển các trường ở thời gian cố
định. Chuyển động trong thời gian được gây ra bởi sự tương tác động lực học
trong (2.15). Hiệu ứng đầy đủ của nó có thể dễ dàng được tính toán trong lí
thuyết nhiễu loạn. Đối với trường một, khi chúng ta xem xét lại một cách thức
Fourier với động lượng đã cho
k
và tần số Matsubara
n
ω

. Chúng ta tìm được
D
11
=
*
1 1
ψ ψ
=
= + + + …
=
(0) (0) (0) (0)
11 11 22 11
( ) ( )
n n
D D D D
ω ω
+ −

+
(0) (0) (0) (0) (0)
11 22 11 22 11
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
D D D D D
ω ω ω ω
− − +
=
(0)
11 2
2 (0) (0) 2

11 22 1 2
1
k
n n k k
D e
D D e e
ω ω
=
+ +
(2.23)
Tương tự
D
22
=
*
2 2
ψ ψ
=
= + + + …
15
=
1
2
1 2
k
n k k
e
e e
ω
+

(2.24)
và
D
12
=
*
1 2
ψ ψ
=
= + + …
=
2
1 2
n
n k k
e e
ω
ω
+
(2.25)
với
21 12
= −
D D
. Những kết quả này đơn giản có thể tóm tắt trong phương
trình Dyson-Schwinger cho đường truyền đầy đủ
(0) (0) (0)
ab ab ac cd db
D D D D= + Π
(2.26)

Với các đường truyền tự do (2.18),
(0)
12
0D
=
và năng lượng riêng không chéo
hóa
(0)
cd cd n
ω
Π =
ò
, các phương trình được giải quyết một cách dễ dàng để cung
cấp cùng kết quả giống như trên.
Sau đó chúng ta sẽ sử dụng phương trình Dyson-Schwinger để tính toán
đường truyền khi mà các boson có một tương tác tầm ngắn. Ở đây cơ bản các
trường là tự do và các đường truyền có thể trực tiếp đạt được từ toán tử ma
trận (2.16). Biến đổi Fourier của nó là
1
2
k n
ab
n k
e
M
e
ω
ω
−
 

=
 ÷
 
(2.27)
Lấy nghịch đảo sau đó chúng ta dễ dàng có
2
1
2
1
1 2
1
k n
ab a b ab
n k
n k k
e
D M
e
e e
ω
ψ ψ
ω
ω
−
 
= = =
 ÷
−
+
 

(2.28)
Biểu thức trên được chấp nhận với kết quả trước đó.
2.2 Hạt nhân Boson trong xấp xỉ một vòng.
Ở đây xem xét trường hợp lí tưởng của boson chỉ có thế năng tương tác
đẩy
( )V r
ở khoảng cách ngắn. Nhiệt động lực học của khí này sau đó sẽ chủ
16
yếu độc lập với hình dạng thế năng, nó chỉ nhập kết quả thông qua chiều dài
tán xạ sóng
S
[16].
3
( )
4
m
a d rV r
π
=
∫
(2.29)
a
là dương. Ở đây thế năng có dạng
( ) 2 ( )V r r
λδ
=
với hằng số liên kết
2 /a m
λ π
=

. Trong lí thuyết lượng tử hóa lần hai nó sẽ tương ứng với một số
hạng tương tác
* 2
( )
λ ψ ψ
trong Lagrangian.
Lagrangian của trường vô hướng thực tương đối tính
Ψ
có thể được
viết như sau
2
2 4
0 0
1
£
2 2
m
µ
µ
λ
= ∂ Ψ∂ Ψ − Ψ − Ψ
(2.30)
trong thời gian thực. Ở đây
0 3
µ
=
và
0
λ
là hằng số nối tương đối tính. Vì

tác động phải là không thứ nguyên, các trường này có cùng thứ nguyên như
thời gian nghịch đảo hay khoảng cách nghịch đảo đơn vị, ở đây vận tốc ánh
sáng
1c =
. Bây giờ chúng ta giới hạn phi tương đối tính bằng cách cho
m
→ ∞
. Trường phi tương đối tính
ψ
được xác định thông qua
*
1
( )
2
imt imt
e e
m
ψ ψ
−
Ψ = +
(2.31)
Điều này dẫn tới một số số hạng trong Lagrangian dao động với tần số
2m
.
Chúng có thể giảm xuống vì
m
→ ∞
. Kết quả Lagrangian phi tương đối tính
có dạng
2

* * 2
1
£ ( )
2
t
i
m
ψ ψ ψ λ ψ ψ
= ∂ − ∇ −
(2.32)
với hằng số liên kết phi tương đối tính
2
0
3 / 2m
λ λ
=
.
2.2.1 Trạng thái cơ bản cổ điển.
Bao gồm các tương tác ở trên. Lagrangian Euclidean (2.5) mô tả các
boson được thay đổi thành
17
2
* * * 2
1
£ ( )
2
E
m
τ
ψ ψ ψ µψ ψ λ ψ ψ

= ∂ + ∇ − +
(2.33)
Trong giới hạn cổ điển ở nhiệt độ không, hệ thống sẽ ở trong trạng thái
có năng lượng thấp nhất. Các trường sau đó sẽ đạt được một giá trị không đổi
được đưa ra bởi mức tối thiểu của thế năng cổ điển
* * 2
( ) ( )U
ψ µψ ψ λ ψ ψ
= − +
(2.34)
nó là bất biến với sự chuyển pha
( ) ( )
i
x e x
θ
ψ ψ
→
và vì vậy chỉ phụ thuộc vào
modun
ψ
của trường.
Để định lượng hơn, trạng thái cơ bản bị phá vỡ đối xứng có một áp suất
cổ điển được đưa ra bởi mức tối thiểu của thế năng (2.34), tức là
2
( ) / 4P
µ µ λ
=
. Số mật độ tương ứng sau đó là
/ 2
ρ µ λ

=
và do đó
2
( )P
µ λρ
=
. Mật độ năng lượng ở trạng thái cơ bản
( )
ρε
xuất phát từ biến
đổi nhiệt động lực học Legendre
( ) ( )P
ρ µρ µ
ε
= −
(2.35)
Bằng cách này chúng ta đã khắc phục một trong những vấn đề của khí lí
tưởng Bose, cụ thể là hệ số nén vô hạn của pha ngưng tụ. Điều cần tiếp theo
là bao gồm lượng tử và dao động nhiệt xung quang trạng thái cơ bản cổ điển.
2.2.2 Sự dao động Gaussian.
Biểu thị trường dao động bằng
χ
, Chúng ta có thể viết trường Bose
đầy đủ như sau
[ ]
1
( ) ( )
2
x v x
ψ χ

= +
(2.36)
ở đây
v
là hằng số trường của ngưng tụ, thay vào biểu thức Lagrangian
(2.33), chúng ta có thể viết nó
2 4
2
1
ˆ
£ ( )( ) ( )
2 4 2 4
E a ab b
v v M v
µ λ λ
χ χ λ χ χ χ χ χ
= − + + + × × + ×
(2.37)
18
khi biểu diễn hai số hạng của hai thành phần thực của trường phức
χ
và
ν
.
Các số hạng tuyến tính trong
χ
đã được loại bỏ vì chúng sẽ không đóng góp
sau khi tích phân trong toàn bộ không gian. Toán tử ma trận
ˆ
ab

M
bây giờ là
2
ˆ
( ) 2
2
ab ab ab a b
M i v v v v
m
τ
λ µ δ λ
 
∇
= ∂ − − × + +
 ÷
 
ò
(2.38)
Lấy biến đổi Fourier của toán tử, nó trở thành

2
2
3
k n
ab
n k
v
M
v
ε µ λ ω

ω ε µ λ
 
− + −
=
 ÷
− +
 
(2.39)
ở đây
2
/ 2 .
k
k m
ε
=
Hàm phân bố chính tắc lớn (2.4) bây giờ có thể viết lại như một hàm
tích phân trên các trường thực
1
χ
và
2
χ
như sau
3
2 4
int
0
1
ˆ
£

2
2 4
1 2
( , )
a ab b
d d x M
V v v
e D D e
β
µ λ
τ χ χ
β
β µ χ χ
 
 
− +
− − +
 
 ÷
 
 
∫ ∫
Ξ =
∫
(2.40)
V là thể tích của hệ và
2
int 1
£ ( ) ( )
4

v
λ
λ χ χ χ χ χ
= × + ×
(2.41)
cho tương tác của trường dao động, số hạng đầu tiên là đóng góp bậc hai của
Lagrangian tương tác.
Trong xấp xỉ một vòng, chúng ta chỉ giữ lại phần bậc hai của
Lagrangian. Tích phân (2.40) là tích phân Gaussian và đưa đến đóng góp
năng lượng tự do
2 4
1 1
( , ) lndet
2 4 2
v v v M
V V
µ λ
µ
β
Ω = − + +
(2.42)
Từ (2.39) chúng ta có thể tìm thấy định thức
2 2
,
det ( )
n k n k
M
ω ω
= +
∏

, năng
lượng kích thích bây giờ là
19
2 2
( )( 3 )
k k k
v v
ω ε µ λ ε µ λ
= − + − +
(2.43)
Tổng hợp các tần số Matsubara có sử dụng (2.9), chúng ta có được năng
lượng tự do

2 4
1 1 1
( , ) ln(1 )
2 4 2
k
k
k
v v v T e
V V
βω
µ λ
µ ω
 
Ω = − + + + −
 
 
∑

(2.44)
như một hàm của ngưng tụ
ν
, đây là thế năng hiệu dụng
eff
U
cho hệ trong
xấp xỉ một vòng. Năng lượng tự do nhiệt động lực học là giá trị của hàm trong
mức tối thiểu của nó. Do các dao động lượng tử, điều này sẽ thay đổi đôi chút
từ mức tối thiểu cổ điển ở
2
/v
µ λ
=
. Đối với các giá trị của ngưng tụ, hệ thức
tán sắc (2.43) đơn giản kết quả của Bogoliubov [3].
2
( 2 ) 4
2
k
k m
m
ω ε ε µ µ
= + = +
(2.45)
Ở đây và sau này chúng ta bỏ các chỉ số sóng trên
ω
. Trong giới hạn bước
sóng dài
0k

→
nó trở nên tuyến tính và miêu tả cho các kích thích phonon.
Đây là hệ quả của định lí Goldstone, cái đòi hỏi sự kích thích với sự tán sắc
tuyến tính tương quan khi một sự đối xứng liên tục bị phá vỡ tự phát.
2.2.3 Tái chuẩn hóa.
Tổng vô hạn trong (2.44) được xem là khác nhau rõ rệt trong giới hạn
tử ngoại
k
→ ∞
. Một phân kì tương tự cũng được tìm thấy. Chúng ta có thể
loại bỏ phân kì mạnh bằng cách trừ đi số hạng đầu tiên trong (2.10) vì vậy
chúng ta tìm lại được áp suất trong khí không tương tác. Lấy giới hạn thể tích
vô hạn sau đó chúng ta sẽ có thế năng hiệu dụng

3
2 4
3
1
( , , ) ( ) ln(1 )
2 4 (2 ) 2
eff
d k
U v T v v T e
βω
µ λ
µ ω ε µ
π
−
 
= − + + − + + −

 
 
∫
(2.46)
20
Tuy nhiên, tích phân đang miêu tả dao động Gaussian ở nhiệt độ không vẫn
không hữu hạn. Các phân kì có thể loại bỏ bằng tái chuẩn hóa hằng số liên kết
λ
và thế hóa học
µ
. Đối với mục này chúng ta sẽ đưa vào các số hạng phản

* * 2 2 4 2
2 2 2 2
1 2
1 1 1
£ ( ) ( )
2 4 4
1 1
( 3 ) ( )
2 2
ct
v v
v v
δµψ ψ δλ ψ ψ δµ δλ δλ χ χ
δµ δλ χ δµ δλ χ
= − + = − + + ×
− − − −
(2.47)
Lại một lần nữa chúng ta lờ đi các số hạng tuyến tính trong trường dao động

χ
.
Ở nhiệt độ không chúng ta có được thế năng hiệu dụng sau khi tái chuẩn hóa
2 4
3
2 4
3
( , , 0)
2 4
1 1 1
( )
2 (2 ) 2 4
eff
U v T v v
d k
v v
µ λ
µ
ω ε µ δµ δλ
π
= = − +
+ − + − +
∫
(2.48)
Điều này bây giờ có thể tạo hữu hạn bởi hiệu chỉnh lượng
δµ
và
δλ
. Thế
năng hiệu dụng phụ thuộc vào nhiệt độ đóng góp trong (2.46) là hữu hạn và vì

vậy năng lượng tự do đầy đủ sẽ hữu hạn.
Biểu thức cho số hạng phản có thể đạt được bởi cô lập hai phân kì trong
tích phân (2.48), bởi khai triển biểu thức (2.43) theo
ω
cho giá trị lớn của
động lượng
k
. Cắt bỏ tích phân tại
k
= Λ
, sau đó chúng ta viết lại như sau
2 4 2 4
3 2 4 3 2 4
2 2
3 3
1 1
( , , 0)
2 4 2 4
1 1
2 2
2 (2 ) 2 2 (2 ) 2

eff
U v T v v v v
d k v d k v
v v
µ λ
µ δµ δλ
λ λ
ω ε µ λ λ

π ε π ε
Λ Λ
= = − + − +
   
+ − + − + + −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Phân kì trong tích phân sau bị loại bỏ vì chứa số hạng phản
3
3
3 2
2
(2 ) 3
d k
λ
δµ λ
π π
Λ
= = Λ
∫
(2.49)
và
21
3 2 2
3 2
(2 )
d k
m
λ λ

δλ
π ε π
Λ
= = Λ
∫
(2.50)
Điều này làm cho các thông số tái chuẩn hóa như đạt được bởi Benson,
Bernstein và Dodelson [1]. Jackiw [12] cũng đã đạt được hằng số nối tái
chuẩn hóa từ sự xem xét trạng thái nhảy vọt của các hạt phi tương đối tính
trong một hàm thế năng
δ
. Hằng số liên kết không tái chuẩn hóa
0
λ
đã cho
được xác định

2
0
1 1
m
λ λ π
Λ
= −
(2.51)
không đổi. Hằng số tái chuẩn hóa
λ
tăng có giới hạn.
Loại bỏ phân kì, chúng ta bây giờ có thể cho phép giới hạn
Λ → ∞

. Sau
đó chúng ta có kết quả hữu hạn

2 4
3 2 4
2
3
( , , 0)
2 4
1
2
2 (2 ) 2
eff
U v T v v
d k v
v
µ λ
µ
λ
ω ε µ λ
π ε
= = − +
 
+ − + − +
 ÷
 
∫
(2.52)
Với giá trị vô hạn cho hằng số liên kết
µ

và
λ
, nó có thể được tính toán bởi
một số tích phân.
2.2.4 Ngưng tụ và áp suất ở nhiệt độ không.
Vì dao động lượng tử, mức tối thiểu của thế năng hiệu dụng (2.52) là
được chuyển từ giá trị cổ điển. Trong mức tối thiểu mới đạo hàm
( / ) 0
eff
U v
µ
∂ ∂ =
. Với
2
1
(2 2 3 )v
v
µ
ω
ε µ λ
ω
∂
 
= − +
 ÷
∂
 
(2.53)
Chúng ta tìm giá trị ngưng tụ ở mức tối thiểu
22