12 chuyên đề toán luyện thi đại học năm 2013 của nguyễn minh hiếu

Các chuyên đề
LUYỆN THI ĐẠI HỌC

y
B2

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng

A1

F1

O

F2

A2 x

B1

Copyright c 2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.

Đồng Hới
Tháng 08 - 2012


Nguyễn Minh Hiếu

www.VNMATH.com

2


Mục lục
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
6
7
8
9

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§1. Phương Trình & Bất Phương Trình Khơng Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§3. Hệ Phương Trình Đại Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§2. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§3. Phương Trình Đường Tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§4. Phương Trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§1. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Tốn Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Lũy Thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Lơgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lơgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
29
30
31
31
33
34

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§1. Tọa Độ Trong Khơng Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§2. Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§4. Hình Chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§5. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

48
49


Nguyễn Minh Hiếu

www.VNMATH.com

Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Ngun Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
51
52
52
54
56

§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Chuyên đề 9. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
59
61
62

Chuyên đề 10. Hình Học Khơng Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§1. Quan Hệ Song Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§2. Quan Hệ Vng Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
§3. Thể Tích Khối Đa Diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Chuyên đề 11. Tổ Hợp - Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Nhị Thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69
69
70
71

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§1. Bất Đẳng Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4


Chuyên đề 1

Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị
Hàm Số
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) đồng biến trên I.
• Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) nghịch biến trên I.
• Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) khơng đổi trên I.
Lưu ý.
• Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I và f (x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f (x) đồng biến trên I.
• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f (x) liên
tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y . Tìm các điểm tại đó y bằng 0 hoặc khơng xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
• Tìm tập xác định Df .

• Tính y và chỉ ra y ≥ 0, ∀x ∈ Df (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ Df ).

C. Bài Tập
1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a) y = 2x3 − 3x2 + 1.
b) y = −x3 − 3x + 2.
4
2
d) y = x − 2x + 3.
e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 1.
2x + 3
x+2
g) y =
.
h) y =
.
x+2
3x − 1

c) y = √3 + 3x2 + 3x.
x
f) y = x2 − 2x − 3.
x2 − 4x + 4
i) y =
.
1−x

1.2. Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − 4 x + 9 luôn đồng biến trên R.
1.3. Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3 − m) x2 − 2x + 2 luôn nghịch biến trên R.
1.4. Tìm m để hàm số y =

mx − 2
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
m−x

mx − 2
ln nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
x+m−3
m
1.6. Tìm m để hàm số y = x + 2 +
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
x−1

1.5. Tìm m để hàm số y =

1.7. Tìm m để hàm số y =

mx + 4
nghịch biến trên (−∞; 1).
x+m

1.8. Tìm m để hàm số y =

mx − 2
nghịch biến trên (1; +∞).
x+m−3
5


www.VNMATH.com

Nguyễn Minh Hiếu

1.9. Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
1.10. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + mx + 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.

§2. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1.2. Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 . Khi đó, nếu y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x0 ) = 0.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a; x0 ), (x0 ; b). Khi đó
• Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) và f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0 .
• Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) và f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0 .
Định lý 1.4. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 . Khi đó
f (x0 ) = 0
thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
• Nếu
f (x0 ) < 0
f (x0 ) = 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
• Nếu
f (x0 ) > 0
Lưu ý. Nếu y (x0 ) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x0 .

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y . Tìm các điểm tại đó y bằng 0 hoặc khơng xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị.
• Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4.
3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 .

• Tính y , y . Hàm số đạt cực trị tại x0 ⇒ y (x0 ) = 0 ⇒ m.
• Thay m và x0 vào y để kết luận.
Lưu ý. Nếu y (x0 ) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y để kết luận.

C. Bài Tập
1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y = 2x3 − 3x2 + 1.
d) y = x4 − 2x2 + 3.
2x + 3
g) y =
.
x+2

b) y = −x3 − 3x + 2.
e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 1.
x+2
h) y =
.
3x − 1

1.12. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3 (2m − 1) x − 2
b) Đạt cực trị tại x = 0.
a) Có cực trị.

c) y = √3 + 3x2 + 3x.
x
f) y = x2 − 2x − 3.
x2 − 4x + 4
.
i) y =

1−x
c) Đạt cực đại tại x = 1.

1 3
x − mx2 + m2 − m + 1 x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
3
a) Đạt cực đại tại x = 1.
b) Có cực đại, cực tiểu.
c) Khơng có cực trị.

1.13. Cho hàm số y =

1.14. Cho hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
c) Đạt cực trị tại x = 1.
a) Có ba điểm cực trị.
b) Đạt cực tiểu tại x = 0.
1.15. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2 (2m − 1) x2 + 3 có đúng một cực trị.
1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 + m2 − 9 x2 + 10 có ba điểm cực trị.
x2 + mx + 1
x+m
b) Đạt cực tiểu tại x = 1.

1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y =
a) Khơng có cực trị.

6

c) Đạt cực đại tại x = 2.

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D. Khi đó
f (x) ≤ M, ∀x ∈ D
• M = max f (x) ⇔
.
• m = min f (x) ⇔
∃x0 ∈ D : M = f (x0 )
x∈D
x∈D

f (x) ≥ m, ∀x ∈ D
.
∃x0 ∈ D : m = f (x0 )

Lưu ý.
• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
• Tính y , y = 0 ⇒ xi ∈ D.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1:
• Tính y và chỉ ra y ≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ D).
• Từ y ≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D.
• Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

PP2:
• Tính y . Tìm các điểm tại đó y = 0 hoặc khơng xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
Lưu ý.
• m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x).
x∈D

• m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min f (x).
x∈D

C. Bài Tập
1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 1 + 8x − 2x2 trên [−1; 3].
b) y = x3 − 3x2 + 1 trên [−2; 3].
c) y = 1 + 4x3 − 3x4 trên [−2; 1].
1
1
3
2
e) y = x − 5 + x trên (0; +∞).
f) y = x − x trên (0; 2].
d) y = x − 3x + 1 trên (1; 4).
√
4
.
g) y =
h) y = x4 + 2x2 − 1.
i) y = x + 4 − x2 .
1 + x2
1.19. Tìm giá √ lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau

trị
4
b) y = 2 sin x − 3 sin3 x trên [0; π].
a) y = x + 2 cos x trên 0; π .
2
4
4
e) y = 5 sin x − 12 cos x − 5.
d) y = sin x + cos x.

c) y = sin4 x − 4sin2 x + 5.
f) y = sin2 x + sin 2x + 2cos2 x.

1.20. Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tính
khoảng cách đó.
1.21. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0).
1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 1 x3 + (m − 1) x2 + (m − 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3).
3
1.23. Tìm m để hàm số y = mx3 − 3 (m − 1) x2 + 9 (m − 2) x + 1 đồng biến trên [2; +∞).
1.24. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞).
1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =

1.26. Tìm m để hàm số y =

1.27. Tìm a để hàm số y =

mx2 + 6x − 2
nghịch biến trên [1; +∞).
x+2

x2 − 2mx + 2m2 − 2
đồng biến trên (1; +∞).
x−m
x2 − 2ax + 4a2
đồng biến trên (2; +∞).
x − 2a
7


www.VNMATH.com

Nguyễn Minh Hiếu

§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.6. Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu
lim f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0 .
x→+∞

x→−∞

Định nghĩa 1.7. Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) nếu
lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞ hoặc lim f (x) = −∞.
x→x+
0

x→x−
0

x→x+

0

x→x−
0

Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) nếu
lim [f (x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim [f (x) − (ax + b)] = 0.
x→+∞

x→−∞

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Tìm lim f (x) ⇒TCN.
x→±∞

• Tìm lim± f (x) ⇒TCĐ.
x→x0

Lưu ý. x0 thường là một nghiệm của mẫu.
2. Tìm tiệm cận xiên.
C1: Viết lại hàm số dưới dạng y = ax + b + g(x). Chỉ ra lim [y − (ax + b)] = 0 ⇒TCX.
x→±∞

f (x)
và b = lim [f (x) − ax] ⇒TCX.
C2: Tính a = lim
x→∞
x→±∞ x

C. Bài Tập
1.28. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau
x−3
2x − 1
.
b) y =
.
a) y =
x
−x
√− 2
√ +2
x+3
x2 + x
e) y =
.
d) y =
.
x+1
x−1
2
x − 4x + 4
.
g) y =
h) y = x2 + x − 1.
1−x
1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y =
1.30. Tìm m để hàm số y =

c) y =

3 − 4x
.
x+1

f) y = 2x − 1 +
i) y = x +

1
.
x

x2 + 2x.

mx2 − 2m (m − 1) x − 3m2 + m − 2
có tiệm cận xiên đi qua A (−1; −3).
x+2

2x2 + (m + 1) x − 3
có giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) : y = x2 + 2x − 1.
x+m

1.31. (A-08) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =
1.32. Tìm m để đồ thị hàm số y =

mx2 + 3m2 − 2 x − 2
bằng 450 .
x + 3m

x2 + mx − 1

có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích
x−1

bằng 4.
1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y =

2x2 − (5m − 1) x + 4m2 − m − 1
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một
x−m

tam giác có diện tích bằng 4.
1.34. Cho hàm số y =

3x − 1
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm
x−2

cận không đổi.
−x2 + 4x − 3
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số
x−2
đến hai tiệm cận là một hằng số.
1.35. (A-07) Cho hàm số y =

1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =

3x − 5
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
x−2

1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =

x2 + 2x − 2
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
x−1
8


Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Sơ đồ khảo sát tổng quát.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên.
• Giới hạn, tiệm cận (nếu có).
• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị).
3. Đồ thị.
• Tương giao với các trục.
• Tính đối xứng (nếu có).
• Điểm đặc biệt (nếu cần).
2. Điểm uốn.
Định nghĩa 1.9. Điểm U (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x) nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía
trên đồ thị cịn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Mệnh đề 1.10. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x0 , f (x0 ) = 0 và f (x) đổi dấu
khi qua điểm x0 thì U (x0 ; f (x0 )) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x).

B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

y

U

(a = 0).
y

U
x

O

• Hàm số y = ax4 + bx2 + c
y

(a = 0).
y

ax + b
• Hàm số y =
cx + d
y

x

O

(c = 0, ad − bc = 0).
y

I

x

O

• Hàm số y =

ax2 + bx + c
dx + e

(a = 0, d = 0).

y

y

I
I

O

x

O

x

O

x

O

I
x

O

x

C. Bài Tập
1.38. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x3 + 3x2 − 4.
b) y = −x3 + 3x − 2.
c) y = −x3 + 1.
3
3
e) y = x + x − 2.
f) y = −2x − x − 3.
g) y = −x3 + 3x2 − 1.

d) y = x3 + 3x2 + 3x + 1.
1
h) y = 3 x3 − x2 − 3x − 5 .
3

1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
c) y = 1 x4 + x2 − 3 .
a) y = x4 − 2x2 − 3.

b) y = x4 + 2x2 − 1.
2
2
4
2
4
2
e) y = −x + 2x − 2.
f) y = 2x − 4x + 1.
g) y = −2x4 − 4x2 + 1.

d) y = 3 − 2x2 − x4 .
h) y = x4 − 4x2 + 3.

1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
4
x−3
a) y =
.
b) y =
.
c) y =
2−x
2−x
x−2
x+2
e) y =
.
f) y =
.

g) y =
x+1
x−1

−x + 2
.
2x + 1
x+3
h) y =
.
x−2

9

x+3
.
x−1
2−x
.
x+1

d) y =


Nguyễn Minh Hiếu

www.VNMATH.com

1.41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
x2 + 2x + 2

x2 − 2x − 3
2x2 + 5x + 4
a) y =
.
b) y =
.
c) y =
.
x+1
x−2
x+2
2
2
1
x − 2x
2x − x + 1
.
g) y = −x + 2 +
e) y =
.
f) y =
.
x−1
x−1
1−x

10

−x2 − 2x
.

x+1
1
h) y = x − 1 +
.
x+1

d) y =


Chuyên đề 2

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình & Bất Phương Trình Khơng Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về phương trình tích.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng f (x).g(x) = 0.
f (x) = 0
• Áp dụng cơng thức f (x).g(x) = 0 ⇔
.
g(x) = 0
2. Đặt ẩn phụ.
• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.
• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x).
3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).
• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Xét phương trình trên từng khoảng.
Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f (x)| thì xét hai trường hợp f (x) ≥ 0 và f (x) < 0.

B. Bài Tập

2.1. Giải các bất phương trình sau
a) x2 − 6x + 6 > 0.
c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ 0.

b) −4x2 + x − 2 ≥ 0.
d) x4 + x2 + 4x − 3 ≥ 0.

2.2. Giải các bất phương trình sau
x−2
≥ 0.
a) 2
x − 9x + 8
x+5
2x − 1
c)
+
> 2.
2x − 1
x+5

x2 − 3x − 2
≥ 2x + 2.
x−1
1
1
d) 2
< 2
.
x − 5x + 4
x − 7x + 10

2.3. Giải các phương trình sau
a) x3 − 5x2 + 5x − 1 = 0.
c) x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0.
3
3
3
e) x2 + 1 + (1 − 3x) = x2 − 3x + 2 .

√
√
b) x3 − 3 3x2 + 7x − 3 = 0.
3
3
d) (x − 3) + (2x + 3) = 18x3 .
2
3
f) (4 + x) − (x − 1) = (1 − x) x2 − 2x + 17 .

2.4. Giải các phương trình sau
2
a) x2 − 4x + 3 − x2 − 6x + 5
c) x4 + 3x2 + 3 = 2x.
e) x4 = 6x2 − 12x + 8.

b) x4 = (2x − 5) .
d) x4 − 4x − 1 = 0.
f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + 1.

b)

2

= 0.

2

2.5. Giải các phương trình sau
4
4
a) (x + 3) + (x + 5) = 2.
4
4
c) (x + 3) + (x − 1) = 82.

b) (x + 1) + (x + 3) = 16.
4
d) x4 + (x − 1) = 29 .
8

2.6. Giải các phương trình sau
a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3.
c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2 .

b) x2 + 1 (x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
d) x2 − 2x + 4 x2 + 3x + 4 = 14x2 .

4

11

4


www.VNMATH.com

Nguyễn Minh Hiếu
2.7. Giải các phương trình sau
a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = 0.
c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + 8 = 0.

b) 2x4 + 3x3 − 16x2 − 3x + 2 = 0.
d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + 4 = 0.

2.8. Giải các phương trình sau
2
a) x2 + 5x − 2 x2 + 5x − 24 = 0.

b) x2 + x + 1

c) x2 − 2x − 2

2

− 2x2 + 3x + 2 = 0.

2.9. Giải các phương trình sau
1
6
1

+
= 2
.
a)
2x2 − x + 1 2x2 − x + 3
2x − x + 7
x2 + 1
x
5
c)
+ 2
=− .
x
x +1
2
2
x
e) x2 +
= 1.
x+1
2.10.
a)
c)
e)

Giải các phương trình sau
|x − 1| = x2 − 3x + 1 .
x2 − 5x + 4 − x = 4.
x2 − 5x + 4 = x2 + 6x + 5.

x2 + x + 2 = 12.

2

d) (4x + 3) (x + 1) (2x + 1) = 810.

4x
3x
+
= 1.
4x2 − 8x + 7 4x2 − 10x + 7
2
2
x−3
x−1
x−3
+
= 0.
−2
d)
x+2
x+2
x−1
2
2
1
1
13
.
f)

+
=
2+x+1
2+x+2
x
x
36
b)

b) x2 + 4x − 5 = x2 + 5 .
√
d) x2 + 4x + 4 = 5 − x2 .
f) x2 − 5x + 5 = −2x2 + 10x − 11.

2.11. Giải các phương trình sau
a) x2 − x

2

2

+ x2 − x − 6 = 0.

c) x2 + 3x − 10 + x2 − 4 = 0.

x+1
2x − 1
− 6 = 0.
−
x+1

2x − 1
d) x2 + 3x − 4 + x2011 + 2011x − 2012 = 0.

b) 3

2.12. Giải các bất phương trình sau
a) |x − 2| < |2x + 1|.
c) x2 − 5x + 4 ≤ x2 + 6x + 5.
2.13. Giải các phương trình sau
a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3|.
c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|.
√
√
e) x2 − 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = 5.

2x − 3
≤ 1.
x−3
d) x2 − 2x + x2 − 4 > 0.
b)

b) x2 − 5x + 4 + x2 − 5x = 4.
d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.
√
√
f) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2.

§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Sử dụng phép biến đổi tương đương.

f (x) ≥ 0
.
• f (x) = g(x) ⇔
f (x) = g(x)
•
•

3

g(x) ⇔ f (x) = g(x).

 f (x) ≥ 0
g(x) > 0
f (x) < g(x) ⇔
.

f (x) < g 2 (x)
f (x) =

3

•
•
•

f (x) = g(x) ⇔
3

g(x) ≥ 0
.

f (x) = g 2 (x)

f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g 3 (x).

g(x) < 0

f (x) ≥ 0

f (x) > g(x) ⇔ 
g(x) ≥ 0
f (x) > g 2 (x)

.

2. Đặt ẩn phụ
• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x).
• Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Dự đốn nghiệm (nếu có).
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN).
4. Đánh giá hai vế.
f (x) = A
• Đánh giá f (x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f (x) = g(x) ⇔
.
g(x) = A
12


Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

B. Bài Tập
2.14. Giải các phương trình sau
√
a) x − x − 1 − 7 = 0.
√
√
√
c) 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4.
√
√
√
e) 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x + 1.

√
√
√
b) 2x + 9 = 4 − x + 3x + 1.
√
d) √ 2x + 6x2 + 1 = √+ 1.
x
√
f) 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0.

2.15. √ các bất phương trình sau
Giải
a) √x2 − 4x − 12 > 2x + 3.
c) 3 6x − 9x2 < 3x.

√
b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − 4.

d) x3 + 1 ≥ x + 1.

2.16. Giải các bất phương trình sau
√
√
√
a) (CĐ-09) x + 1 + 2 x − 2 ≤ 5x + 1.
√
c) 2x + 6x2 + 1 > x + 1.

b) (A-05)
d) (A-04)

2.17. Giải các phương trình sau
√
√
a) (D-05) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.

b)

c) x +

x+

1
2

+

x+

1
4

d)

= 9.

2.18. Giải các bất phương trình sau
√
a) x + x − 4 ≥ 8 − x.
4
√
c) (x − 2) x2 + 4 < x2 − 4.
√
√
√
e) x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4.
2.19. Giải các phương trình sau
√
a) (D-06) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0.
√
√
c) 2x2 + 8x + 6 + x2 − 1 = 2x + 2.
√
e) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1.

√

√

√
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.
2 (x2 − 16) √
7−x
√
+ x−3> √
.
x−3
x−3

√
√
x − 1 + 2 x + 2 − x − 1 − 2 x + 2 = 1.
√
√
x+3
x+2 x−1+ x−2 x−1=
.
3

√
b) (D-02) x2 − 3x 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.
√
2
d) √ + 2) 9 − x√≤ x2 − 2x − 8. √
(x
2+x−2+
f) x
x2 + 2x − 3 ≤ x2 + 4x − 5.
√

√
b) 7 − x2 + x x + 5 = √3 − 2x − x2 .
√
d) 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6.
7
7
f) x2 − 2 + x − 2 = x.
x
x

2.20. Giải√ bất phương trình sau
các
1 − 1 − 4x2
a)
< 3.
x
2x
c) √
> 2x + 2.
2x + 1 − 1

21 − 4x + x2
≥ 0.
x+1
x2
d)
√
2 > x − 4.
1+ 1+x

2.21. Giải các phương trình sau
√
a) (x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x.
√
√
c) x + 1 + 4 − x + (x + 1) (4 − x) = 5.

b) (x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x2 .
√
√
√
d) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2.

2.22. Giải các phương trình sau
√
√
a) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2 .
√
4
x2
5
4 − x2
x
c) 2 +
+
+√
x
4 − x2
2
x

4 − x2

b)

1−

√

b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3

= −3.

√
√
√
+ 2 = 0. d) (B-2011) 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x.

2.23. Giải các phương trình sau
√
a) x2 + 3x + 2 ≥ 2 x2 + 3x + 5.
√
c) x (x + 1) − x2 + x + 4 + 2 ≥ 0.
x
x+1
e)
−2
> 3.

x+1
x

√
b) x2 + 2x2 + 4x + 3 ≥ 6 − 2x.
d) x2 − 2x + 8 − 6 (4 − x) (2 + x) ≤ 0.
√
√
√
f) x + 2 + x − 1 + 2 x2 + x − 2 ≤ 11 − 2x.

2.24. Giải các phương trình sau
√
a) x2 − 1 =√ x2 − 2x.
2x
c) (4x − 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1.

√
b) x2 − 1 = 2x x2 +√
2x.
d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24.

2.25. Giải các phương trình sau
√
√
a) 3 2 − x = 1 − √ x − 1.
c) 2 x2 + 2 = 5 x3 + 1.

√
√

b) (A-09) 2 3 3x − 2 + √ 6 − 5x − 8 = 0.
3
d) 2 x2 − 3x + 2 = 3 x3 + 8.
13


Nguyễn Minh Hiếu

www.VNMATH.com

2.26. Giải √ phương trình sau
các
5
a) x2 + x +√ = 5.
c) x3 + 1 = 2 3 2x − 1.

√
b) x3 + 2 = 3 3 3x − 2.
√
√
d) x 3 35 − x3 x + 3 35 − x3 = 30.

2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau
√
√
a) (B-2012) x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x.
√
√
c) 3 x2 − 2 = 2 − x3 .

b) (A-2010)
d) x +

2.28. Giải các phương trình sau
√
√
a) √ 4x − 1 + √ 4x2 − 1 = 1.
c) 2x − 1 + x2 + 3√ 4 − x.
=
e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + 3 = 0.

√
b) x − 1 = −x3 − 4x + 5.
√
d) x5 + x3 − 1 − 3x + 4 = 0. √
f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x − 1) 2x + 1 = 0.

2.29. √ các phương trình sau
Giải
√
a) x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2.
√
√
√
2
c) 2 x − 2 − 1 + x + 6 + x − 2 − 2 = 0.

√
√
b) x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11.

√
1
d) 5x3 + 3x2 + 3x − 2 = 2 x2 + 3x − 1 .
2

x−

√

x

≥ 1.
1 − 2 (x2 − x + 1)
3 (1 − x2 ) = 2 1 − 2x2 .

§3. Hệ Phương Trình Đại Số
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)
2. Phương pháp thế.
• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia.
• Loại 3. Thế hằng số.
3. Đặt ẩn phụ.
4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Nếu y = f (x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f (u) = f (v) ⇔ u = v.
• Nếu y = f (x) luôn đồng biến trên D cịn y = g(x) ln nghịch biến hoặc khơng đổi trên D thì phương trình
f (x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.

B. Bài Tập
2.30. Giải các hệ phương trình sau

x2 + y 2 + xy = 7
.
a)
x + y + xy = 5
x2 + y 2 + x + y = 4
c) (DB-05)
.
x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2

b)
d)

x + y + xy = 1
.
2
x3 + y 3 − 3(x − y) + 2 = 0
x2 − xy + y 2 = 3 (x − y)
2 .
x2 + xy + y 2 = 7(x − y)

2.31. Giải các hệ phương trình sau
2

a)

2

x − 2y = 2x + y
.
y 2 − 2x2 = 2y + x


 2x + y = 3

x2 .
c)
3

 2y + x = 2
y
2.32. Giải các hệ phương trình sau
x2 − xy = 2
.
a)
2x2 + 4xy − 2y 2 = 14
x3 + y 3 = 1
c)
.
x2 y + 2xy 2 + y 3 = 2
2.33. Giải các hệ phương trình sau
x + y = −1
a)
.
x3 − 3x = y 3 − 3y
x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
c) (B-08)
.
x2 + 2xy = 6x + 6



 x − 3y = 4y

x
b)
4x .

 y − 3x =
y

2
 3y = y + 2

x2
d) (B-03)
x2 + 2 .
 3x =

y2
x2 − 2xy + 3y 2 = 9
.
x2 − 4xy + 5y 2 = 5
(x − y) x2 + y 2 = 13
d) (DB-06)
.
(x + y) x2 − y 2 = 25
b)

b) (DB-06)
d) (D-09)

14

x2 + 1 + y (y + x) = 4y
.
x2 + 1 (y + x − 2) = y
x (x + y + 1) − 3 = 0
.
2
5
(x + y) − x2 + 1 = 0


Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
2.34. Giải các hệ phương trình sau
√
√
3
x−y = x−y
√
a) (B-02)
.
x+y = x+y+2
2xy
x2 + y 2 + x+y = 1
√
c)
.
x + y = x2 − y

1

1
x− x =y− y
.
2y = x3 + 1
6x2 − 3xy + x + y = 1
.
x2 + y 2 = 1

b) (A-03)
d)

2.35. Giải các hệ phương trình sau
xy + x + y = x2 − 2y 2
x4 − x3 y − x2 y 2 = 1
√
√
.
a) (DB-07)
.
b) (D-08)
3
2
x y − x − xy = −1
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
x3 + 2y 2 = x2 y + 2xy
xy + x − 2 = 0
c) (D-2012)
. d)
.
3

2
2
2
2x − x y + x + y − 2xy − y = 0
2 x2 − 2y − 1 + 3 y 3 − 14 = x − 2
2.36. Giải các hệ phương trình sau
x2 + y 2 + xy = 1
a)
.
x3 + y 3 = x + 3y
x3 − 8x = y 3 + 2y
c) (DB-06)
x2 − 3 = 3 y 2 + 1

x3 + 2xy 2 + 12y = 0
.
8y 2 + x2 = 12
5x2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2 (x + y) = 0
d) (A-2011)
.
2
xy x2 + y 2 + 2 = (x + y)
b)

.

2.37. Giải các hệ phương trình sau
xy + x + 1 = 7y
a) (B-09)
.

x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2
8x3 y 3 + 27 = 18y 3
c)
.
4x2 y + 6x = y 2

b)
d)

2.38. Giải các hệ phương trình sau
x (3x + 2y) (x + 1) = 12
a)
.
x2 + 2y + 4x − 8 = 0
√
2 2x + y = 3 − 2x − y
.
c) (CĐ-2010)
x2 − 2xy − y 2 = 2
2
2
x +y =5
√
√
e)
.
y − 1 (x + y − 1) = (y − 2) x + y

1
2x2 + x − y = 2

.
2
y − y x − 2y 2 = −2
x3 − y 3 = 9
.
x2 + 2y 2 = x − 4y

√
x
xy
√+ y − √ = 3
.
x+1+ y+1=4
√
√
2x + y + 1 − x + y = 1
d) (DB-05)
.
3x + 2y = 4
5
2
3
2
x + y + x y + xy + xy = − 4
f) (A-08)
.
5
x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 4
b)

2.39. Giải các hệ phương trình sau
√
√
√
√
x − 1 − y = 8 − x3
√x + 10 + y − 1 = 11 .
√
a)
b)
.
4
x − 1 + y + 10 = 11
(x − 1) = y
√
4x2 + 1 x + (y − 3) 5 − 2y = 0
x3 − 3x2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y
√
. d) (A-2010)
.
c) (A-2012)
x2 + y 2 − x + y = 1
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7
2

§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:
• m = f (x) có nghiệm trên D ⇔ min f (x) ≤ m ≤ max f (x).
x∈D

x∈D

• m ≤ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ max f (x).
x∈D

• m ≥ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ min f (x).
x∈D

• m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min f (x).
x∈D

• m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x).
x∈D

B. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Phương pháp tam thức bậc hai.
• Dựa vào định lý về dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán.
2. Phương pháp chiều biến thiên hàm số.
• Từ bài tốn biến đổi và rút m theo f (x).
• Lập BBT của f (x). Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL.
3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.
• Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài tốn.
• Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra.
15


www.VNMATH.com

Nguyễn Minh Hiếu

C. Bài Tập
2.40. Tìm m để phương trình m −
a) Có nghiệm.

√

5 x2 − 3mx + m + 1 = 0.
b) Vơ nghiệm

c) Có hai nghiệm trái dấu.

2.41. Tìm m để phương trình x2 + 2 (m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
2.42. Tìm m để phương trình (m − 2) x2 − 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
2.43. Tìm m để phương trình (m − 2) x4 − 2 (m + 1) x2 + 2m − 1 = 0.
a) Có một nghiệm.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
√
√
x
√+ y =1
√
2.44. (D-04) Tìm m để hệ
có nghiệm.
x x + y y = 1 − 3m
√
√
2.45. Tìm m để bất phương trình 4x − 2 + 16 − 4x ≤ m có nghiệm.
2.46. Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3

c) Có bốn nghiệm phân biệt.

= m có nghiệm.

√
√
2.47. (DB-07) Tìm m để bất phương trình m x2 − 2x + 2 + 1 + x (2 − x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn 0; 1 + 3 .
√
√
√
2.48. (A-07) Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1 có nghiệm thực.
√
2.49. (B-06) Tìm m để phương trình x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.
√
√
√
√
√
2.50. (B-04) Tìm m để phương trình m 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 có nghiệm.
√
√
√
√
2.51. (A-08) Tìm m để phương trình 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m có hai nghiệm phân biệt.
√
2.52. (DB-07) Tìm m để phương trình 4 x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
2.53. (B-07) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x2 + 2x − 8 =

m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt.

2.54. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx − m2 = 0 ln có nghiệm.
2.55. (DB-04) Tìm m để hệ

x2 − 5x +√ ≤ 0
4
có nghiệm.
3x2 − mx x + 16 = 0

2x3 − (y + 2) x2 + xy = m
có nghiệm.
x2 + x − y = 1 − 2m
√
√
2.57. Tìm m để hệ 1 − x2 + 2 3 1 − x2 = m có nghiệm duy nhất.
2.56. (D-2011) Tìm m để hệ

2.58. Tìm m để hệ

x = y2 − y + m
có nghiệm duy nhất.
y = x2 − x + m

16


Chuyên đề 3

Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
A. Kiến Thức Cần Nhớ
−
−
Cho hai vectơ → (x1 ; y1 ) , → (x2 ; y2 ) và ba điểm A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) , C (xC ; yC ). Ta có
u
v
x1 = x2
→=→⇔
−
−
• Hai vectơ bằng nhau:
u
v
.
y1 = y2
→ ± → = (x ± x ; y ± y ); k → = (kx ; ky ).
− −
−
• Các phép toán vectơ:
u
v
u
1
2 1
2
1
1
→, → cùng phương ⇔ ∃k = 0 : → = k →.

− −
−
−
• Hai vectơ cùng phương:
u v
u
v
→.→ = x x + y y .
− −
• Tích vơ hướng của hai vectơ:
u v
1 2
1 2
→⊥→ ⇔ →.→ = 0.
− −
− −
• Hai vectơ vng góc:
u v
u v
−
2
• Độ dài vectơ:
|→| = x2 + y1 .
u
1
− −
→; →) = →.→ .
− −
u v
• Góc giữa hai vectơ:

cos ( u v
− −
u
v
|→|.|→|
−
−
→
• Tọa độ vectơ:
AB = (xB − xA ; yB − yA ).
−
−
→
2
2
• Khoảng cách giữa hai điểm:
AB = AB = (xB − xA ) + (yB − yA ) .
xA + xB yA + yB
;
• Tính chất trung điểm:
I là trung điểm của AB ⇔ I
.
2
2
xA + xB + xC yA + yB + yC
• Tính chất trọng tâm:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G
;
.
3

3

B. Bài Tập
−→
−
−
−
→
−
→
3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = 3AB − 2AC.
−→
−
−→
−
−→
−
Tìm tọa độ điểm M sao cho M A + 2M B = 5M C.
3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác
M AB vuông tại M .
3.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy và trọng tâm G thuộc
trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.
3.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
3.6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M là trung điểm AB, G là trọng
tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh GI vng góc với CM .
√
3.7. (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B − 3; −1 . Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác OAB.

3.8. (B-03) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M (1; −1) là trung điểm cạnh BC và
2
G 3 ; 0 là trọng tâm tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.
3.9. (D-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 0) , B (4; 0) , C (0; m) , m = 0. Tìm toạ độ trọng
tâm G. Tìm m để tam giác GAB vuông tại G.
3.10. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3; −7), trực tâm là H (3; −1), tâm đường tròn
ngoại tiếp là I (−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương.
17


Nguyễn Minh Hiếu

www.VNMATH.com

§2. Phương Trình Đường Thẳng
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Vectơ chỉ phương và pháp tuyến.
→
−
−
• Vectơ → = 0 có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
u
→
−
−
• Vectơ → = 0 có giá vng góc với ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
n
−
−
Lưu ý. → (a; b) ⇒ → (b; −a) và ngược lại.

n
u
2. Phương trình tham số của đường thẳng.
−
• Đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương → (a; b) có phương trình tham số:
u

x = x0 + at
.
y = y0 + bt

3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 = 0).
−
• Nhận xét: • Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến → (a; b).
n
• Cho x0 tuỳ ý ⇒ y0 ta có điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng.
−
• Đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) và có VTPT → (a; b) có PT: a (x − x0 ) + b (y − y0 ) = 0.
n
• Đường thẳng qua A (a; 0) và B (0; b) có phương trình x + y = 1 gọi là PT đoạn chắn.
a
b
• Trục Ox có phương trình y = 0 và trục Oy có phương trình x = 0.
4. Góc và khoảng cách.
→→
|−1 .−2 |
n n
• Góc giữa hai đường thẳng: cos (∆1 ; ∆2 ) = − − .
→ →

|n1 | . |n2 |
|ax0 + by0 + c|
√
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M, ∆) =
.
a2 + b2
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: d (∆1 , ∆2 ) = d (M, ∆2 ), trong đó M là điểm bất kỳ trên ∆1 .

B. Bài Tập
3.11. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 2) , B (2; 3) và C (6; 2). Viết phương trình đường thẳng qua A và
song song với BC.
3.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; 5). Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai tia Ox, Oy lần lượt
tại M, N sao cho diện tích tam giác OM N bằng 30.
3.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (8; 6). Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 12.
3.14. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vng
góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
3.15. (CĐ-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A (2; −4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450 .
3.16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0; d2 : 3x + 6y − 1 = 0 và điểm M (2; −1). Tìm
giao điểm A của d1 , d2 . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d1 , d2 lần lượt tại B, C sao cho tam giác
ABC cân tại A.
3.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) và hai đường cao lần lượt có phương trình là
d1 : 5x + 3y − 4 = 0 và d2 : 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.
3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnh
A và B lần lượt là d1 : 4x − 3y + 1 = 0 và d2 : 7x + 2y − 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh cịn lại.
3.19. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB , B C lần lượt có phương
trình là y − 2 = 0, x − y + 2 = 0, x − 3y + 2 = 0 với B , C tương ứng là chân các đường cao kẻ từ B, C của tam giác
ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.
3.20. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến

và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d1 : 7x − 2y − 3 = 0; d2 : 6x − y − 4 = 0. Viết phương trình
đường thẳng AC.
3.21. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 3) và hai trung tuyến kẻ từ B và C lần lượt có phương
trình d1 : x − 2y + 1 = 0 và d2 : y − 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
18


Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
3.22. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (2; −1) và hai đường phân giác trong của góc B, C lần lượt
có phương trình là d1 : x − 2y + 1 = 0 và d2 : x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
3.23. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, có đỉnh C (−4; 1), phân giác trong góc A
có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác bằng 24 và đỉnh A có
hồng độ dương.
3.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành có hai cạnh là x + 3y − 6 = 0 và 2x − 5y − 1 = 0. Biết hình bình
hành có tâm đối xứng I (3; 5), hãy viết phương trình hai cạnh cịn lại của hình hành.
3.25. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0.
Viết phương trình đường thẳng AB.
3.26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ :

x = −2 − 2t
y = 1 + 2t

và điểm M (3; 1). Tìm điểm M (3; 1) sao cho

đoạn M B là ngắn nhất.
3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0, d2 : x + y − 8 = 0. Tìm điểm
B ∈ d1 và C ∈ d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
3.28. (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3). Tìm điểm C thuộc d : x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảng
cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

3.29. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ
điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
3.30. (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0. Tìm
M thuộc d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2 .
3.31. Trong mặt phẳng Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3; −4) và đường thẳng ∆ : 2x − y − 1 = 0. Tìm toạ độ M trên ∆ sao
cho M P + M Q là nhỏ nhất. Tìm toạ độ N trên ∆ sao cho |N P − N Q| là lớn nhất.
3.32. (CĐ-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C (−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao
kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y − 9 = 0; x + 3y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.
3.33. (A-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng chứa BC có phương trình
√
√
3x − y − 3 = 0, A và B thuộc Ox, bán kính đường trịn nội tiếp bằng 2. Tìm trọng tâm tam giác ABC.
3.34. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B 1 ; 1 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC
2
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm DEF . Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình
y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương.
3.35. (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB
là H(−1; −1), đường phân giác trong góc A là x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B là 4x + 3y − 1 = 0.
3.36. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâm G (1; 1) và đường thẳng
chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
3.37. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm
trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
3.38. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc
đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
3.39. (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I
Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hồnh độ âm.

1
2; 0

, AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.

3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0, d2 : 2x + y − 1 = 0. Tìm các đỉnh hình
vng ABCD biết A thuộc d1 , B thuộc d2 và B, D thuộc trục hồnh.
3.41. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương
trình là x + 3y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M − 1 ; 1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
3
nhật ABCD.
3.42. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên
cạnh CD sao cho CN = 2N D. Giả sử M 11 ; 1 và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ
2 2
điểm A.
19


www.VNMATH.com

Nguyễn Minh Hiếu

§3. Phương Trình Đường Trịn
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phương trình đường trịn.
√
2
2
• Dạng 1: (x − a) + (y − b) = R2 (R > 0)
Có tâm I (a; b) và bán kính R = √R2 .
• Dạng 2: x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
a2 + b2 > c

Có tâm I (a; b) và bán kính R = a2 + b2 − c.
2. Tiếp tuyến với đường trịn.
−→
−
• Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là IM .
• Phương trình tiếp tuyến tại M là: (x0 − a) (x − x0 ) + (y0 − b) (y − y0 ) = 0.
3. Bán kính đường trịn.
• Điểm M thuộc đường trịn khi và chỉ khi R = IM .
• Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi R = d (I; ∆).

B. Bài Tập
3.43. (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (−3; 1). Gọi T1 , T2
là các tiếp điểm vẽ từ M đến (C). Lập phương trình đường thẳng T1 T2 .
3.44. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) và đường tròn (C) : x2 + y 2 − 2x + 4y − 5 = 0. Viết phương
trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AM N vuông cân tại A.
3.45. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng d :
4x − 3y + m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AIB = 1200 , với I là tâm của (C).
2

3.46. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1) + y 2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ
điểm M ∈ (C) sao cho IM O = 300 .
3.47. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 +y 2 +4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 =
0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm M để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
3.48. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0.
Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến M A và M B đến (C), (A, B là tiếp điểm). Tìm
tọa độ điểm M , biết tứ giác M AIB có diện tích bằng 10.
2

3.49. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2) + y 2 = 4 và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0,

5
∆2 : x − 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường trịn (C1 ), biết đường trịn (C1 ) tiếp xúc với
hai đường thẳng ∆1 , ∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C).
3.50. (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2; −2) , C (4; −2). Gọi H là chân đường cao
vẽ từ B và M, N là trung điểm AB, BC. Viết phương trình đường trịn qua H, M, N .
3.51. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường trịn có tâm
thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
3.52. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C1 ) : x2 + y 2 = 4, (C2 ) : x2 + y 2 − 12x + 18 = 0 và
đường thẳng d : x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2 ) tiếp xúc với d và cắt (C1 ) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
√
√
3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0 và d2 : 3x − y = 0. Gọi (T ) là đường
tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vng tại B. Viết phương trình của (T ),
√
biết tam giác ABC có diện tích bằng 23 và điểm A có hồnh độ dương.

§4. Phương Trình Elip
A. Kiến Thức Cần Nhớ
y
B2

A1

F1

O
B1
20

F2

A2 x


Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

• Phương trình chính tắc của elip:
• Trong đó:
Các đỉnh:
Các tiêu điểm:
Trục lớn:
Trục nhỏ:
Tiêu cự:
Tâm sai:
Bán kính qua tiêu:

y2
x2
+ 2 =1
2
a
b

b2 = a2 − c2 .

A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b).
F1 (−c; 0), F2 (c; 0).
A1 A2 = 2a.
B1 B2 = 2b.

F1 F2 = 2c.
c
e= .
a
cx
cx
M F1 = a + , M F2 = a − .
a
a

B. Bài Tập
3.54. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau
x2
y2
x2
y2
c) x2 + 4y 2 = 4.
a)
+
= 1.
b)
+
= 1.
25
4
9
4
3.55. Viết phương trình chính tắc của các đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau
√
a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e = 23 .

b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4.
√
√
c) (E) có một tiêu điểm là F
3; 0 và đi qua điểm M 1; 23 .
√

3.56. (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng
sở có chu vi 20.
3.57. (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E) :

5
3

và hình chữ nhật cơ

x2 y 2
+
= 1. Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối
4
1

xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
√

x2 y 2
+
= 1. Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm
3
2

của (E) (F1 có hồnh độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (T ); N là điểm đối xứng
của F2 qua M . Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AN F2 .
3.58. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 2;

3 và elip (E) :

3.59. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường trịn tiếp xúc với các cạnh
của hình thoi có phương trình x2 + y 2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của
hình thoi. Biết A thuộc Ox.
x2
y2
+
= 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hồnh
4
1
độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

3.60. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) :

3.61. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y 2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E),
biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vng.

21


Nguyễn Minh Hiếu

www.VNMATH.com

22

Chuyên đề 4

Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát
Hàm Số
§1. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cách tính tung độ cực trị:
• Nếu y = f (x).g(x) + r(x) thì y0 = r(x0 ).
u(x)
u (x0 )
• Nếu y =
thì y0 =
.
v(x)
v (x0 )

B. Bài Tập
4.1. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa |x1 − x2 | ≤ 2.
4.2. Tìm m để hàm số y = x3 + 2 (m − 1) x2 + m2 − 4m + 1 x + 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa
4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y = 2 x3 − mx2 − 2 3m2 − 1 x +
3
2 (x1 + x2 ) = 1.

2
3

1
x1

1
+ x2 =

1
2

(x1 + x2 ).

có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2 +

4.4. Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m + 1) x2 − m2 − 3m + 2 x − 4 có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.
4.5. (DB-05) Tìm m để hàm số y =

x2 + 2mx + 1 − 3m2
có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.
x−m

4.6. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh
độ dương.
4.7. Tìm m để hàm số y =

mx2 + 3mx + 2m + 1
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox.
x−1

4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3 1 − m2 x + m3 − m2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số.
4.9. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 mx2 + 1 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
2

2
4.10. (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3 m2 − 1 x − 3m2 − 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách
đều gốc toạ độ.
4.11. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx − 3m + 1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x − y = 0.
4.12. (D-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là
gốc tọa độ và A thuộc trục tung.
4.13. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.
4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam
giác vuông.
x2 + 2 (m + 1) x + m2 + 4m
có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng
x+2
với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vng.

4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y =

23


www.VNMATH.com

Nguyễn Minh Hiếu

4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 48.
4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx +
1
cận xiên bằng √2 .

1

x

có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm

4.18. (B-05) Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, hàm số y =
√
cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20.

x2 + (m + 1) x + m + 1
ln có điểm cực đại, điểm
x+1

1
4.19. Tìm m để hàm số y = 3 x3 − mx2 − x + m + 1 có khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.

§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Giao điểm của hai đồ thị.
• Hồnh độ giao điểm của (C1 ) : y = f (x) và (C2 ) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f (x) = g(x).
• Số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) bằng số nghiệm của phương trình f (x) = g(x).
Lưu ý. Phương trình f (x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.
• Đồ thị hai hàm số y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x0 ; y0 ) ⇔

f (x0 ) = g(x0 )
.
f (x0 ) = g (x0 )

B. Bài Tập
4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − 2 và parabol y = x2 − 4x + 2.

4.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt.
4.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
4.23. Tìm a để đồ thị hàm số y = x3 + ax + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.
4.24. (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2
tại ba điểm phân biệt.
4.25. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có
hồnh độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x2 + x2 + x2 < 4.
1
2
3
4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 1.
4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =

x−1
luôn cắt đường thẳng y = m − x với mọi giá trị của m.
x+1

4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =

2x − 1
tại hai điểm thuộc hai
x+1

nhánh phân biệt.
4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B
x+1

sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
4.30. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y =

x+3
tại hai điểm
x+1

phân biệt M, N . Xác định m sao cho độ dài M N là nhỏ nhất.
4.31. (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =
AB = 4.
4.32. Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =

x2 − 1
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x

x2 − 2x + 2
tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua
x−1

đường thẳng y = x + 3.
4.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
24


Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số
4.34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập
thành cấp số cộng.
4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m tại bốn điểm phân biệt có
hồnh độ nhỏ hơn 2.

4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9.
4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y =

(2m − 1) x − m2
tiếp xúc với đường thẳng y = x.
x−1

4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 tiếp xúc với trục hồnh tại hai điểm phân biệt.

§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0 ; y0 ) là k = y (x0 ).
• Phương trình tiếp tuyến tại M (x0 ; y0 ) là y = y (x0 ) (x − x0 ) + y0 .

B. Bài Tập
1
4.39. (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = 3 x3 − 2x2 + 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng
minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = −1 đi
qua điểm A (1; 2).
4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

3x − 2
tại điểm có tung độ bằng −2.
x+1

x+3
. Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và
x+1

Q. Chứng minh S là trung điểm P Q.
4.42. (DB-06) Cho hàm số y =

4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x3 + 1 − m (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của
(Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.
4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

2x + 1
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5.
x−2

−x + 3
biết tiếp tuyến song song với đường phân giác
2x − 1

góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ.
4.46. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y =
y = x + 2.

2x + 3
, biết d vng góc với đường thẳng
x+1

4.47. (D-05) Cho hàm số y = 1 x3 − m x2 + 1 có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hồnh độ bằng −1.
3
2
3
Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0.
4.48. (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x2 + x − 1
(C). Biết rằng tiếp tuyến đó vng
x+2

góc với tiệm cận xiên của (C).
4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x
sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt
x−1

nhau tạo thành một tam giác cân.
4.50. Tìm m để (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho
các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vng góc với nhau.
−x + 1
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị
2x − 1
(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m
để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =

4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9).
25