Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
BÙI VĂN ĐỊNH
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
BÙI VĂN ĐỊNH
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. NGUYỄN ĐỨC HIẾU
2. GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU
HÀ NỘI - 2014
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi
đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và
chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác.
NCS. Bùi Văn Định
2
LỜI CẢM ƠN
Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ
Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Đức Hiếu và đặc biệt là GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Tác giả xin bày tỏ

lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đ ế n các Thầy về sự chỉ bảo và hướng
dẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh.
Trong quá trình học tập, nghiê n cứu thông qua c ác bài giảng và xêmina
tại Bộ môn Toán và tại Phòng Tối ưu và Điều khiển Viện Toán học, Viện Hàn
lâm Khoa học Việt Nam, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp
đỡ và đóng góp những ý kiế n quý báu của GS. TSKH. Phạm Thế Long, PGS.
TS. Đào Thanh Tĩnh, PGS. TS. Nguyễn Xuân Viên, PGS. TS. Tô Văn Ban,
TS. Nguyễn Hữu Mộng, TS. Nguyễn Trọng Toàn, GS. TSKH. Nguyễn Đông
Yên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
nhất đến các Thầy.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học,
Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc
biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán và các thầy trong Phòng Tối ưu
và Điều khiển, Viện Toán học đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động
viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia
sẻ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tá c giả thành kính
dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đình
thân yêu của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc.
Tác giả
3
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . 5
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . 16
1.1. Các khái niệm và các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Bài toá n cân bằng và các trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Bài toá n cân bằng tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Bài toá n cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 2. MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG
GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN
BẰNG HAI CẤP . . . . . . . 33
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . 41
4
2.3. Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình
cân bằng thị trường điện bán độc quyền . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . 53
2.5. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Chương 3. KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ
HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP . . . 77
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2. Phương pháp hàm phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3. Hàm đánh giá và hướng giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4. Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . 91
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1. Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2. Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . 96
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN

ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . 98
4
5
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
N tập số tự nhiên
R tập số thực
R = R ∪{±∞} tập số thực mở rộng
R
n
không gian Euclide n chiều
H không gian Hilbert thực
X không gian véc tơ tô pô thực
M
T
chuyển vị của ma trận M
x, y = x
T
y tích vô hướng của hai véc tơ x và y
x =

x, x chuẩn của véc tơ x
I ánh xạ đồng nhất
dom f miền hữu hiệu của hàm số f
im F miền ảnh của ánh xạ F
epi f trên đồ thị của hàm số f
graph F đồ thị của ánh xạ F
ϕ
′
(x) = ∇ϕ(x) đạo hàm của ϕ tại x

ϕ
′
(x; d) đạo hàm theo hướng d của ϕ tại x
∂ϕ(x ) dưới vi phân của ϕ tại x
∇
x
f(x, y) đạo hàm của hàm f (., y) tại x
∇
y
f(x, y) đạo hàm của hàm f (x, .) tại y
6
∂f ( x, x) dưới vi phân của hàm f ( x, .) tại x
C bao đóng của tập C
int C phần trong của tập C
ri C phần trong tương đối của tập C
lim = lim sup giới hạn trên
lim
= lim inf giới hạn dưới
x
k
→ x dãy x
k
hội tụ tới x
P
C
(x) hình chiếu của x lên tập C
N
C
(x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x
EP(C, f) bài toán cân bằng

VIP(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị)
S
f
tập nghiệm của bài toán EP(C, f)
S
F
tập nghiệm của bài toán VIP(C, F )
BEP(C, f, g) bài toán cân bằng hai cấp
MNEP(C, f) bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập S
f
VIEP(C, f, F ) bài toán VIP(S
f
, F )
BVIP(C, F, G) bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
u.s.c. nửa liên tục trên
l.s.c. nửa liên tục dưới
7
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Sự cân bằng (equilibrium) thường được hiểu như là một t rạng thái đồng
đều nhau giữa những lực lượng đối lập nhau hay giữ a những đối tượng có ảnh
hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn nhau. T huật ngữ này được sử dụng
rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học ,
Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v.v Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một
hệ, theo thuật ngữ cơ học cổ điển, xảy ra khi hợp lực tác động lên hệ bằng
không và trạng thái này được duy trì trong một khoảng thời gian dài. Trong
Hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng với tốc
độ của phản ứng nghịch, trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổn
định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiện
sống, trạng thái này thường xảy ra khi tương quan lực lượng giữa con mồi và

thú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỉ lệ tương đồng với nhau.
Trong Kinh tế học, cân bằng kinh tế là một khái niệm cơ bản nhưng đồng
thời cũng là động lực và là mục đích của m ỗi nền kinh tế. Một ví dụ đơn giản
về lĩnh vực này là ở một thị trường xác định có sản xuất và tiêu thụ đồng
nhất một loại hàng hóa. Sức mua của thị trường phụ thuộc vào giá cả của
mặt hàng đó t rên thị trường, nói một cách chính xác hơn, nếu m ặt hàng được
bán ở mức giá p thì hàm cầu của thị trường là D(p), trong khi đó các nhà sản
xuất có thể cung cấp lượng hàng ở mức giá p là S(p) và ta có hàm vượt cầu là
E(p) = D(p) − S(p). Sự cân bằng xảy ra ở mức giá p
∗
nếu E(p
∗
) = 0, tức là
lượng cung bằng lượng cầu, điều này cũng giống như sự cân bằng xảy ra trong
8
cơ học khi hợp lực tác động lên hệ bằng không.
Có nhiều bài toán liên quan đến sự cân bằng có thể được nhìn nhận trong
một thể thống nhất qua các mô hình toán học khác nhau của nó, chẳng hạn
như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash
trong các trò chơ i không hợp tác, v.v Ngược lại, nếu có nhiều mô hình cùng
nằm trong một cấu trúc thống nhất sẽ cho phép thiết lập một công thức chung
cho cấu trúc thống nhất đó và do vậy chúng ta có thể phát triển các nghiên
cứu về lý thuyết cũng như thuật toán cho thể thống nhất chung đó mang lại
khả năng ứng dụng rộng lớn hơn các mô hình riêng lẻ. Mô hình chung cho bài
toán cân bằng EP(C, f ) đó là
Tìm x
∗
∈ C sao cho f (x
∗
, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,

trong đó C ⊆ H là một tập lồi đóng và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm
cân bằng, tức là f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C.
Công thức này được đưa ra lần đầu tiên bở i H. Nikaido và K. Isoda năm
1955 [53] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp
tác, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 [29] và thường được gọi là bất đẳng thức
Ky Fan, tuy nhiên nó có tê n gọi là bài to án cân bằng (equilibrium problem)
theo cách gọi của các tác giả L. D. Muu và W. Oettli [49] năm 1992, E. Blum
và W. Oettli [16] năm 1994. Bài toán cân bằng bao hàm nhiều lớp bài toán
quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán
điểm bất động, bài toán c ân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp
tác, bài toán tối ưu véc tơ, v.v [15 , 16, 33, 49]. Nó là m ộ t mô hình toán học
thống nhất cho nhiều lớp bài toán quan trọng riêng lẻ. Vì vậy, các kết quả thu
được về bài toán cân bằng được áp dụng trực tiếp cho các bài toán đặc biệt
của nó, ngược lại, nhiều kết quả của mỗi bài toán riêng lẻ nói trên c ó thể mở
rộng cho bài toán cân bằng với những điều chỉnh phù hợp nhờ đó nó có thể
mang lại nhiều ứng dụng hơn.
Các hướng nghiên cứu thường được đ ặt ra đối với bài toán cân bằng là:
9
nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm,
tính ổn định [13, 27, 36, 49, 65] và nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựng
các thuật toán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán [9, 18, 41, 44, 46, 47,
54, 55, 56] và áp dụng bài toán này vào trong các bài toán thực tế [46, 48].
Trong các vấn đề nêu trên, thì việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp
giải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướng nghiên cứu về bài toán cân bằng.
Tính đến nay, đã có nhiều kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cân
bằng lồi và đơn điệu, trong đó phải kể đế n các phương pháp: phương pháp
hàm đánh giá (gap function method), phương pháp sử dụng nguyên lý bài
toán phụ (auxiliary subproblem principle method), phương pháp điểm gần
kề (proximal point method), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov
regularization method), phương pháp điểm trong và các phương pháp chiếu

(projection methods). Trong các phương pháp đó thì phương pháp chiếu đóng
một vai trò quan trọng vì sự đơn giản và thuận tiện khi tính to án. Các thuật
toán chiếu cho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các t huật toán
chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán khác [15, 47],
trong các thuật toán chiếu đó thì thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức
biến phân được đề xuất bởi M. V. Solodov và B. F. Svaiter [59] (gọi là thuật
toán Solodov-Svaiter) có nhiều đặc điểm nổi bật, đó là nó có thể áp dụng được
cho một lớp khá rộng các bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) với
toán tử F chỉ cần đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên tục, mà
không nhất thiết phải có tính chất Lipchitz. Ngoài ra, cũng theo [59] thì nói
chung, số các bước lặp giải bài toán VIP(C , F ) theo thuật toán này là ít hơn
đáng kể so với các thuật toán khác.
Từ những đặc điểm nổi bật của thuật toán Solodov-Svaiter cho bài toán
VIP(C, F ) ở trên, dẫn đến việ c mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằng
EP(C, f ) là hết sức cần thiết. Đây là một vấn đề sẽ được giải quyết trong luận
án.
10
Ngoài các phươ ng pháp chiếu cho bài toán cân bằng thì các phương pháp
hiệu chỉnh đóng một vai trò quan trọng vì nó cho phép giải quyết các bài toán
đặt không chỉnh (ill-posed problem) theo nghĩa nghiệm của nó không duy nhất,
hoặc không phụ thuộc liên tục theo các dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi
nhỏ của các dữ liệu đ ầ u vào của bài toán có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn
của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người
có c ông đặt nền móng cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh đó là A. N.
Tikhonov [63, 64], do tầm quan trọng của lý thuyết này mà đã có nhiều nhà
toán học nước ngoài như A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin [63, 64], v.v và các
nhà toán học trong nước như P. K. Anh, N. Bường [1], L. D. Mưu [32], N. D.
Yên [62], v.v , dành nhiều công sức nghiên cứu. Năm 2006, phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method) đã được áp dụng cho bài
toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu trong không gian hữu hạn chiều

bởi N. T. Hao [31] và đã được nhóm các tác giả N. N. Tâm, J. C. Yao và N.
D. Yên [62] mở rộng các kết quả đó ra trong không gian Hilbert. Gần đây,
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov đã được mở rộng cho bài toán cân bằng giả
đơn điệu bởi các tác giả P. G. Hưng và L. D. Mưu [32]. Việc áp dụng phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào các bài toán cân bằng hay bất đẳng thức biến
phân dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f ) sau
min{x − x
g
 : x ∈ S
f
}
với x
g
∈ C là một điểm chọn trước (đóng vai trò là nghiệm phỏng đoán) và
S
f
là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Với các giả thiết về tính
liên tục và tính đơn điệu của song hàm f thì tập ràng buộc S
f
là một tập lồi
đóng. Nhưng vì nó không được cho dưới dạng tường minh nên theo S. Boyd và
L. Vandenberghe (xem [17, section 4.2]), MNEP(C, f) là một bài toán tối ưu
không lồi. Bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng với
kỹ thuật siêu phẳng cắt [61] ta thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f).
Cùng với việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toán bất đẳng
11
thức biến phân, các nhà toán học còn quan tâm tới bài toán bất đẳng thức
biến phân hai cấp BVIP(C, F, G)
Tìm x
∗

∈ S
F
sao cho G(x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ S
F
.
Bằng cách phát triển các kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàm tăng
cường với kỹ thuật siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscosity methods),
P. E. Maingé (xem [38, 39]) vào năm 2008 đã xây dựng được các thuật toán
giải bài toán bất đẳng thức biến phân liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh trên
tập S là giao giữa tập nghiệm của bài toán bấ t đẳng thức biến phân đơn điệu
và liên tục Lipschitz với tập các điểm bất động của ánh xạ demicontractive.
Do đó, việc mở rộng các thuật toán này cho những lớp bài toán tổng quát hơn
như bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và Lipschitz trên tập
nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu là hết sức cần thiết. Vấn đề này
cũng sẽ được nghiên cứu trong luận án.
Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc khác là phương pháp điểm gần
kề. Phương pháp này được đề xuất bởi B. Martinet [40] vào năm 1970 cho bài
toán bất đẳng thức biến phân và được phát triển bởi R. T. Rockafellar [58]
năm 1976 cho bao hàm thức đơn điệu cực đ ạ i. Năm 1999, A. Moudafi [44] đã
mở rộng phương pháp điểm g ần kề cho bài toán cân bằng đơn điệu và đến
năm 2010, A. Moudafi [45] đã áp dụng phương pháp này cho lớp bài toán cân
bằng hai cấp đơn điệu. Ý tưởng chính của phương pháp này là kết hợp giữa
phương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải bài toán
cân bằng hai cấp về việc giải một dãy các bài toán cân bằng với song hàm cân
bằng là f + ǫ
k

g. Để chứng minh sự hội tụ của thuật toán đã đưa ra, tác giả
A. Moudafi đòi hỏi các giả thiết về tính đơn điệu, tính liê n tục và tính lồi của
các song hàm, và đặc biệt là giả thiết x
k +1
− x
k
 = o(ǫ
k
) với x
k
là nghiệm
của bài toán cân bằng EP(C, f + ǫ
k
g), đây là giả thiết rất khó kiểm chứng vì
chúng không liên quan tới các dữ liệu đầu vào của bài toán. Do đó, việc tiếp
12
tục nghiên cứu và đề xuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp (hoặc
các trường hợp riêng c ủa nó) với các giả thiết như trên hoặc các giả thiết yếu
hơn là rất cần thiết. Những vấn đề này sẽ được giải quyết trong luận án.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về
bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp:
• Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng
vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp.
• Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp.
3. Đối t ượng và phạm vi nghiên c ứu
Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các
nội dung sau về bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp:
• Nội dung 1. Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng
giả đơn điệu và bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm

của bài toán cân bằng giả đơn điệu.
• Nội dung 2. Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳng
thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằng
giả đơ n điệu.
• Nội dung 3. Nghiên cứ u xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng
hai cấp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Cùng với các phương pháp cơ bản của giải tích lồi, giải tích hàm, giải tích đa
trị và giải tích phi tuyến, chúng tôi còn sử dụng các phương pháp sau:
13
• Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng chúng tôi mở rộng
phương pháp chiếu của Solodov-Svaite r, kết hợp với quy tắc tìm kiếm
theo tia của Armijo;
• Để xây dựng thuật toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng giả đơn điệu chúng tôi sử dụng phương pháp chiếu
kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt (chiếu siêu phẳng cắt) và quy tắc
tìm kiế m theo tia của Armijo;
• Để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của
bài toán cân bằng chúng tôi sử dụng kỹ thuật lai ghép giữa thuật toán đạo
hàm tă ng cường với phương pháp siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-
viscosity methods) kết hợp với quy tắc tìm kiếm theo tia của Armijo;
• Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp chúng tôi sử
dụng phương pháp hàm phạt, kết hợp với phương pháp hàm đánh giá và
nguyên lý bài toán phụ.
5. Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn điệu, đã
kết hợp thuật toán này với kỹ thuật siêu phẳng cắt để thu được thuật
toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng
giả đơn điệu. Đã chứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của các

thuật toán đề xuất, đồng thời đã áp dụng vào mô hình Nash-Cournot
trong vấn đề cân bằng thị trường điện bán độc quyền.
• Xây dựng được thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàm tăng cường
với phương pháp siêu phẳng cắt và kỹ thuật tìm kiếm theo tia Armijo
cho bài toán bất đằng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm
14
của bài toán cân bằng giả đơn điệu. Chứng minh được tính đúng đắ n và
sự hội tụ của thuật toán đã đưa ra. Áp dụng thuật toán đã đề xuất vào
bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.
• Đề xuất phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp. Chứng
minh định lý về sự hội tụ của dãy nghiệm của các bài toán phạt tới
nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu. Đề xuất phương pháp
hàm đánh giá giải bài toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇-đơn điệu từ
khái niệm ∇-đơn điệu. C hứ ng minh được bất kỳ điểm dừng nào của hàm
đánh giá cũng là nghiệm của bài toán cân bằng nếu song hàm cân bằng
thỏa mãn giả thiết giả ∇-đ ơ n điệu chặt. Đồng thời chỉ ra hướng giảm của
hàm đánh giá tại những điểm không phải là điểm dừng, cùng tính chất
"độc lập" của hướng giảm đối với tham số phạt ǫ. Áp dụng các phương
pháp đề xuất vào bài toán nảy sinh khi sử dụng phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov cho bài toán cân bằng giả đơn điệu.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố và gửi đăng trong 3 bài
báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành và đã được báo cáo tại:
• Xêmina của Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự;
• Xêmina của Phòng Tối ư u và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam;
• Hội nghị Khoa học các nhà nghiên cứu trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự,
các năm 2010, 2011;
• Hội Thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 9, Ba Vì, Hà Nội, 2011;
• The 5
th

International Conference on High Performance Scientific Com-
puting, Hanoi 2012.
15
6. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình khoa học của tác giả liên
quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương:
• Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2. Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu
và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp.
• Chương 3. Kết hợp phương pháp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài
toán câ n bằng hai cấp.
16
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khá i niệm cũng như các kết quả
bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau.
Chương này gồm bốn phần. Phần thứ nhất trình bày một số khái niệm và
các kết quả cần thiết nhất về giải tích hàm, giải tích lồi. Phần thứ hai dành
để giới thiệu về bài t oán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một
số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Phần tiếp theo trình
bày về bài toán cân bằng tương đương. Phần cuối cùng trình bày về bài toán
cân bằng hai cấp và một số trường hợp riêng của bài toán này.
1.1. Các khái niệm và cá c kết quả cơ bản
1.1.1. Một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi
Các khái niệm về tập lồi và hàm lồi là các khái niệm cơ bản của giải tích lồi
và lý thuyết tối ưu, các khái niệm này có thể tìm thấy trong các tài liệu tham
khảo [2, 3, 6, 10, 12, 57, 66].
Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một không gian véc tơ trên R, tập C ⊂ X được
gọi là:
(a) lồi nếu ∀x, y ∈ C và 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C;

(b) nón có đỉnh tại 0 nếu ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C;
(c) nón lồi nếu nó vừa là nón có đỉnh tại 0 vừa là một tập lồi.
Các tập lồi là đóng kín đối với một số phép toán như phé p giao, phép c ộng ,
phép nhân với một số thực. Tức là, nếu C và D là hai tập lồi trong X thì
C ∩D, λC + βD cũng là các tập lồi với mọi λ, β ∈ R.
17
Định nghĩa 1.2. Giả sử C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H và x
0
∈ C. Khi đó tập
N
C
(x
0
) = {ω ∈ H : ω, x − x
0
 ≤ 0, ∀x ∈ C}
được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x
0
và tập −N
C
(x
0
) được gọi là
nón pháp tuyến (trong) của C tại x
0
.
Hiển nhiên 0 ∈ N
C
(x

0
) và từ định nghĩa trên ta thấy N
C
(x
0
) là một nón lồi
đóng.
Định nghĩa 1.3. Giả sử C = ∅ (không nhất thiết lồi) là một tập con của
không gian Hilbert H và y ∈ H là một véc tơ bất kỳ, gọi
d
C
(y) = inf
x∈C
x − y.
Ta nói d
C
(y) là khoảng cách từ y đến C. Nếu tồn tại P
C
(y) ∈ C sao cho
d
C
(y) = y − P
C
(y) , thì ta nói P
C
(y) là hình chiếu của y trên C.
Từ định nghĩa trên ta thấy hình chiếu P
C
(y) của y trên C là nghiệm của
bài toán tối ưu

min
x∈C

1
2
x − y
2

.
Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực
tiểu của hàm ||x −y||
2
trên C.
Mệnh đề 1.1. (xem [10, Theorem 3.14, Proposition 4.8 ]) Cho C là một tập
lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H. Khi đó
(a) với mọi y ∈ H và w ∈ C thì w = P
C
(y) khi và chỉ khi y − w ∈ N
C
(w)
hay y − w, x − w ≤ 0 ∀x ∈ C;
(b) hình chiếu P
C
(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất;
(c) P
C
(x) − P
C
(y) ≤ x − y, ∀x, y ∈ H (tính không giãn);
(d) P

C
(x) −P
C
(y)
2
≤ P
C
(x) −P
C
(y), x −y, ∀x, y ∈ H (tính đồng bức).
Định nghĩa 1.4. Giả sử X là không gian véc tơ tô pô lồi địa phương thực,
C ⊂ X là một tập lồi và f : C → R ∪ {+∞}, khi đó
18
(a) hàm số f được gọi là lồi (convex function) trên C nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1];
lồi chặt (strictly convex function) trên C nế u
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x = y, ∀λ ∈ (0; 1);
và là lồi mạnh (strongly convex function) trên C với hệ số δ > 0 nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 − λ)δy −x
2
,
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1];
(b) hàm số f được gọi là lõm (lõm chặt, lõm mạnh) trên C nếu −f là lồi (lồi
chặt, lồi mạnh) trên C;
(c) các tập
domf = {x ∈ C : f(x) < +∞},
epif = {(x, t) ∈ C × R : f (x) ≤ t},
được gọi lần lượt là miền hữu hiệu (effective domain) và trên đồ thì
(epigraph) của f ;
(d) hàm f : C → R ∪ {±∞} được gọi là chín h thường (proper function) nếu

domf = ∅ và f(x ) > −∞ với mọi x ∈ C.
Định lí 1.1. (xem [2, Định lý 2.3]) Giả sử f : X → R ∪{+∞} là hàm lồi và
α ∈ [−∞, +∞]. Khi đó các tập mức
L
0
α
(f) = {x ∈ X : f (x) < α},
L
α
(f) = {x ∈ X : f (x) ≤ α}
là các tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Giả sử f : H →
¯
R. Khi đó
(a) f được gọi là nửa liên tục dưới (lower semicontinuous) tại x
0
∈ H nếu
lim
x→x
0
f(x) ≥ f(x
0
)
19
(b) hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên C nếu nó là nửa liên tục dưới tại
mọi x ∈ C. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous)
trên C nếu −f là nửa liên tục dưới trên C. Hàm f được gọi là liên tục
trên C nếu nó vừa nửa liên tục dưới và vừa nửa liên tục trên trên C.
Định lí 1.2. (xem [2, Định lý 2.9]) Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H
và x

0
∈ H. Khi đó các khẳng định sau là tương đương
(a) f liên tục tại điểm x
0
;
(b) f bị chặn trên trong một lân cận mở của x
0
;
(c) int(epif) = ∅;
(d) int(domf ) = ∅ và f liên tục trên int(domf ) , đồng thời
int(epif) = {(x, t) ∈ H ×R : x ∈ int(domf ), f(x) < t}.
Từ Định lý 1.2 ta suy ra một hàm lồi chính thường chỉ có thể gián đoạn
tại những điểm biên của miền hữu hiệu của nó.
1.1.2. Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi
Phép tính vi phân là một trong những phép tính cơ bản nhất của giải
tích. Nhờ những tính chất đặc thù của hàm lồi mà phép tính vi phân của nó
càng trở nên đa dạng và phong phú hơn.
Định nghĩa 1.6. Giả sử f : H → R, x ∈ H và d ∈ H\{0}. Khi đó hàm f được
gọi là
(a) khả vi (Fréche t ) tại x nếu tồn tại véc tơ x
∗
∈ H sao cho
lim
y→x
f(y) − f(x) − x
∗
, y − x
y − x
= 0,
khi đó x

∗
được gọi là đạo hàm của f tại x và được ký hiệu là ∇f(x) hoặc
f
′
(x);
(b) có đạo hàm theo hướng d tại x nếu tồn tại giới hạn
f
′
(x; d) = lim
t→0
+
f(x + td) − f (x)
t
.
20
Có thể thấy rằng nếu hàm f khả vi tại x thì nó có đ ạo hàm theo mọi hướng
tại x và ta có f
′
(x; d) = ∇f(x), d, ∀d ∈ H.
Định lí 1.3. (xem [35, Section 2.5.5]) Giả sử f là hàm δ lồi mạnh trên tập
lồi đóng C ⊂ R
n
. Khi đó ta có
(a)
δ
2
x − x
∗

2

≤ f(x) − f (x
∗
), ∀x ∈ C và x
∗
= arg min
x∈C
f(x). Nếu
thêm vào đó hàm f khả vi trên C thì
(b) δy −x
2
≤ ∇f (y) − ∇f(x), y −x, ∀x, y ∈ C;
(c) 0 ≤ f(x) −f(x
∗
) ≤
1
δ
∇f(x)
2
, ∀x ∈ C.
Nhận xét 1.1. Nếu f là hàm khả vi và δ lồi mạnh trên tập lồi đóng C ⊂ R
n
,
thì ta có
f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x + δ y − x
2
, ∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.7. Giả sử f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường trên H,
w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm (subg radient) của f tại x nếu
f(y) ≥ w , y −x + f(x), ∀y ∈ H. (1.1)
Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân (subdiffer-

ential) của f tại x và ký hiệu là ∂f (x). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân
tại x nếu ∂f(x) = ∅.
Định lí 1.4. (xem [66 , Theorem 2.6, Proposition 2.20, 2.21]) Một hàm lồi
chính thường f t rên R
n
khả dưới vi phân tại mỗi điểm x ∈ int( domf ) và
(a) ∂f (x) là một tập bị chặn;
(b) ∂f (x) = {∇f(x)} nếu f k hả vi tại x;
(c) w ∈ ∂f (x) ⇔ f
′
(x; d) ≥ w , d ⇔ (w, −1) ∈ N
epif
(x, f (x));
(d) f (x + d) − f (x) ≥ f
′
(x; d).
Định lí 1.5. (xem [57, Theorem 24.5]) Giả sử f là hàm lồi trên R
n
, có g iá
trị hữu hạn trên tập lồi mở C, {f
k
} là một dãy hàm lồi hữu hạn trên C
sao cho lim
k → ∞
f
k
(x) = f(x), ∀x ∈ C. Nếu x ∈ C và {x
k
} ⊂ C sao cho
lim

k → ∞
x
k
= x, thì với bất kì y ∈ R
n
và bất kì dãy {y
k
} hội tụ về y ta có
lim sup
k → ∞
f
′
k
(x
k
; y
k
) ≤ f
′
(x; y).
21
Hơn nữa, với bất kì số ǫ > 0, tồn tại chỉ số k
0
sao cho
∂f
k
(x
k
) ⊂ ∂f(x) + ǫB[0; 1], ∀k ≥ k
0

,
với B[0; 1] là hình cầu đơn vị đóng trong R
n
.
Định lí 1.6. (xem [35, Theorem 2.4.11, Section 2.4.12, 2.5.4]) Giả sử C ⊆ R
n
là một lồi đóng khác rỗng và f : R
n
→ R ∪{+∞} là hàm lồi, khi đó mọi điểm
cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục, ngoài ra tập
các điểm cực tiểu argmi n
x∈C
f(x) của f trên C là một tập lồi. Hơn nữa, nếu
f là lồi chặt thì hàm số có không quá một điểm cực tiểu trên C. Nếu f là lồi
mạnh thì hàm số luôn có duy nhất một điểm cực tiểu toàn cục trên C.
Định lí 1.7. (xem [66, Proposition 2.31]) Giả sử C ⊆ R
n
là một tập lồi khác
rỗng và f : R
n
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C. Khi đó x
0
là điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi
0 ∈ ∂f (x
0
) + N
C
(x
0
).

Hệ quả 1.1. Với các giả thiết như trong Định lý 1.7 thì điểm x
0
∈ intC là
điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (x
0
). Đặc biệt, nếu hàm f
khả vi thì điều kiện này trở thành ∇f(x
0
) = 0.
1.2. Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng
Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và f : C×C →
¯
R
thỏa mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C; một hàm f như vậy được gọi là song
hàm cân bằng (equilibrium bifunction). Chúng tôi xét bài toán cân bằng hay
bất đằng thức Ky Fan như sau
Tìm x
∗
∈ C sao cho f (x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ta sẽ ký hiệu bài toán này là EP(C, f ) và tập nghiệm của nó là S
f
.
Bài toán này đượ c đặt tên là bài t oán cân bằng (equilibrium probl em) bởi các
tác giả L. D. Muu và W. Oettli [49] năm 1992, E. Blum và W. Oettli [16] năm
1994, nhưng công thức này được đưa ra lần đầu tiên bởi các tác giả Nikaido và
Isoda năm 19 55 [53] khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi
22
không hợp tác, Ky Fan đưa ra năm 1972 [29] (thường được gọi là bất đẳng

thức Ky Fan). Về mặt hình thức, bài toán c ân bằng có dạng khá đơn giản
nhưng nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiề u lĩnh vực
khác nhau như: bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán đ iểm bất động, bài toán cân bằng Nash; nó cho ta
một cách nhìn thống nhất, đồng bộ nhiều bài toán khác nhau bắt nguồn từ
nhiều ngành khác nhau, hợp nhấ t chúng trong một thể thống nhất chung rất
thuận tiện cho việc nghiên cứu. Nhiều kết quả của các bài toán riêng lẻ nói
trên có thể mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát với những điều chỉnh phù
hợp và do vậy thu được nhiều ứng dụng rộng lớn hơn. Điều này giải thích vì
sao bài toán cân bằng mặc dù mới được chú ý gần đây nhưng đã có rất nhiều
(hàng trăm) [15] các công trình của các nhà khoa học qua n tâm nghiên cứu
một cách rất tích cực.
Sau đây là một số ví dụ về những bài toán quen thuộc có thể được mô tả
dưới dạng bài toán cân bằng.
1.2.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → H là một ánh xạ đơn trị.
Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) VIP(C, F ) là bài toán





Tìm x
∗
∈ C sao cho
F (x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ C.

Bằng cách đặt f(x, y) = F (x), y −x, ta đưa được bài toán VIP(C , F ) về bài
toán EP(C, f).
Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán VIP(C, F ) là khi C là một nón
lồi đóng khác rỗng trong R
n
. Ký hiệu C
+
= { x ∈ R
n
: x, y ≥ 0, ∀y ∈ C} là
nón cực của C. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) trở thành
bài toán bù CP(C, F ) (complementarity problem) được định nghĩa như là bài