hệ phương trình toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh lặp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (542.92 KB, 51 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THANH HIẾU
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THANH HIẾU
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
X
X
∗
X
R
n
n
∅
x := y x y
∀x x
∃x x
I
A
T
A
a ∼ b a b
a = o(b) a b
a = O(b) a b
A
∗
A
D(A) A
R(A) A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
x {x
k
} x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
∈ X
A(x
0
) = f,
A X X
∗
X f X
∗
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
x
h,δ
α
F
h,δ
α
(x) = A
h
(x) − f
δ
2
+ αx
∗
− x
2
α > 0 h δ x
∗
(A
h
, f
δ
)
(A, f)
α = α(h, δ)
x
h,δ
α(h,δ)
h
δ
A : X → X
∗
M : X → X
∗
h U
s
X
A
h
(x) + αU
s
(x − x
∗
) = f
δ
A
j
(x) = f
j
, ∀j = 1, , N,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
j
: X → X
∗
f
j
∈ X
∗
N
j=1
α
µ
j
A
h
j
(x) + αU
s
(x − x
∗
) = θ,
µ
1
= 0 < µ
j
< µ
j+1
< 1, j = 2, , N − 1
f
j
= θ A
h
j
A
j
X
H
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(x) = f,
A : X → Y X
Y f Y f x
x f
A : X → Y
X Y
A(x) = f f ∈ Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A : X → Y
X Y
A(x) = f
(A, f)
(A
h
, f
δ
)
A
h
≡ A
f
δ
f
δ
− f ≤ δ x
δ
f f
δ
δ → 0 f
δ
→ f x
δ
x
0
x
δ
A
A
X Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A A
A
{x
n
}
x x
n
x x
n
→ x y
n
= A(x
n
) y = A(x)
A y
n
→ y
A(x) = f
D(A)
A
R(A) A
−1
A(x) = f
A A
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A).
X = Y = R
5
A
A =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
Ax, x = x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
5
≥ 0, ∀x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
)
T
∈ R
5
,
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
1
= f
1
x
2
= f
2
x
3
= f
3
0x
1
+ 0x
2
+ 0x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
= f
4
x
5
= f
5
f = (f
1
, f
2
, f
3
, f
4
, f
5
)
T
∈ R
5
f = (f
1
, f
2
, f
3
, 0, f
5
)
T
f
1
, f
2
, f
3
, f
5
f
δ
= (f
1
, f
2
, f
3
, f
δ
4
, f
5
)
T
f
δ
4
= 0
x
0
x
∗
x
0
A(x
0
) = f
x
0
− x
∗
= min{x − x
∗
: A(x) = f}.
x
∗
x
∗
A : X → Y
{x
n
} ⊂ D(A) X x A(x
n
)
Y y x ∈ D(A) A(x) = y
r : X → Y X
Y r(x) = o(x) x → θ
X
r(x)/x → 0 x → θ
X
L(X, Y ) T : X → Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A : X → Y X
Y A
x ∈ X T ∈ L(X, Y )
A(x + h) = A(x) + T h + o(h),
h θ T
A x A
(x) = T
A x
0
A(x
0
) =
f f
δ
f
δ
− f ≤ δ,
A
−1
x
δ
:= A
−1
f
δ
x
δ
x
δ
− x ≤ ε f, f
δ
A : X → Y
X Y T (f, α)
α Y X
δ
1
α
1
T (f
δ
, α)
α ∈ (0, α
1
) f
δ
∈ Y
f
δ
− f ≤ δ, δ ∈ (0, δ
1
);
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α = α(δ, f
δ
) δ ε > 0
δ(ε) ≤ δ
1
f
δ
∈ Y
f
δ
− f ≤ δ ≤ δ(ε)
x
δ
α
− x
0
≤ ε x
0
x
∗
x
δ
α
∈ T (f
δ
, α(δ, f
δ
))
T (f, α)
x
δ
α
∈ T(f
δ
, α(δ, f
δ
))
α = α(δ, f
δ
)
α(δ, f
δ
)
lim
δ→0
α(δ, f
δ
) = 0.
T (f, α)
T (f
δ
, α) := arg min
x∈H
{A(x) − f
δ
2
+ αx − x
∗
2
}.
α
α x
δ
α
x
0
x
δ
α
− x
0
z ∈ X
x
0
− x
∗
= A
(x
0
)
∗
z.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X Y
x
δ
α
F
δ
α
(x) = A(x) − f
δ
2
+ αx − x
∗
2
.
A α x
δ
α
x
0
A
α > 0 {x
k
} f
δ
f
k
f
k
→ f
δ
x
k
X X
∗
X . x
∗
, x
x
∗
(x) x
∗
∈ X
∗
x ∈ X A
D(A) ⊆ X D(A) ≡ X
R(A) X
∗
S = S(X) = {x ∈ X : x = 1} X
X
X x, y ∈ S x + y < 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∂S S
A
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ X.
A x = y
A
A
δ(t) t ≥ 0 δ(0) = 0
A(x) − A(y), x − y ≥ δ(x − y) ∀x, y ∈ D(A).
δ(t) = c
A
t
2
c
A
A
A h X A(x+ty)
Ax t → 0
+
x, y ∈ X A d X
x
n
→ x Ax
n
Ax n → ∞
h X d
A : X → X
∗
lim
x→∞
Ax, x
x
= ∞.
U
s
: X → X
∗
U
s
(x) =
x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = x
∗
s−1
x = x
s
, s ≥ 2
X s = 2 U
s
U
X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
U(x) U(λx) = λU(x) λ ∈ R
U X
∗
X U = I X
X
∗
U : X → X
∗
d
X U
X X
∗
X f ∈ X
∗
A : X → X
∗
h
x
0
∈ X
A(x) − f, x − x
0
≥ 0, ∀x ∈ X
x
0
A(x) = f
A X
A(x
0
) − f, x − x
0
≥ 0, ∀x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M : X → X
∗
h
M U
s
X
A(x) + αU
s
(x − x
∗
) = f
δ
.
X
X
x
n
x
x
n
→ x
x
n
− x → 0
X
∗
A : X → X
∗
h
α > 0 f
δ
∈ X
∗
x
δ
α
α, δ/α → 0 {x
δ
α
}
x
∗
X
X X
∗
X ϕ : X → R ∪ {+∞} X
• ϕ
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• ϕ X
lim inf
y→x
ϕ(y) ≥ ϕ(x), ∀x ∈ X.
• ϕ x ∈ X x
∗
∈ X
∗
lim
λ→+0
ϕ(x + λy) − ϕ(x)
λ
= x
∗
, y, ∀y ∈ X,
x
∗
ϕ x ϕ
(x)
• ϕ ∀x ∈ X,
ϕ(x) > −∞ domϕ = ∅ domϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞}
ϕ X
x ∈ X ∂ϕ
∂ϕ(x) = {x
∗
∈ X
∗
: ϕ(x) ≤ ϕ(y) + x − y, x
∗
, ∀y ∈ X}.
x
∗
∈ X
∗
ϕ x ∂ϕ(x)
ϕ x
A
j
h
X X
∗
x
0
∈ X
A
j
(x
0
) = θ ∀j = 1, , N.
S
j
= {¯x ∈ X : A
j
(¯x) = θ}, j = 1, , N.
A
j
ϕ
j
: X → R ∪ {+∞} S
j
inf
x∈X
ϕ
j
(x),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X j = 1, , N
F : X → R ∪ {+∞}
X
F
x
0
F (x) X
F
(x
0
), x − x
0
≥ 0 ∀x ∈ X
F
(x), x − x
0
≥ 0 ∀x ∈ X
ϕ : X → R ∪ {+∞}
X
inf
x∈X
ϕ(x)
F : X → R ∪ {+∞}
X F X
F
X X
∗
j
F : X → R ∪ {+∞}
X
lim
x→∞
F (x) = +∞ x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
inf
x∈X
F (x) F
X
A h
M > 0 x ∈ X
x ≥ M Ax, x > 0 A(x) = θ
A h
X X
∗
A(x) = f f ∈ X
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
j
(x) = θ, j = 1, 2, , N
A
j
: D(A
j
) ≡ X → X
∗
h
H
X X
∗
X A : X → X
∗
Gr(A) A X × X
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Gr(A) = {(x, y) : y = A(x)}.
A
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ X, x
∗
∈ A(x), y
∗
∈ A(y).
Gr(A)
Gr(A) X × X
∗
A
X X
∗
X F : X → R ∪ {+∞}
X ∂F
X X
∗
A A + λU
X
∗
X X
∗
U : X → X
∗
X A : X →
X
∗
A
λ > 0 R(A + λU) X
∗
h
X X
∗
X
B : X → X
∗
h A : X → X
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A + B
A
X
X
A : X → X
∗
h X
A A
R(A) = X
∗
X X
∗
X
A
j
A
j
A
h
j
(x) + αU(x − x
∗
) = θ, j = 1, 2, , N,
A
h
j
h A
j
A
j
(x) − A
h
j
(x) ≤ hg(x), h → 0,
g(t) t ≥ 0 U
X U : X → X
∗
U(x), x = x
2
, U(x) = x.
j = 1, 2, , N
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
