Chương III vật lý lò phản ứng hạt nhân

Chương 3. QUÁ TRÌNH LÀM CHẬM NƠTRON
3.1 Cơ chế làm chậm nơtron – Tán xạ đàn hồi
Các nơtron nhanh chuyển động trong một môi trường sẽ bị mất năng lượng
(bị làm chậm) do va chạm với hạt nhân của môi trường đó. Việc làm chậm nơtron
được tiếp tục cho đến khi tốc độ của chúng đạt tới cân bằng nhiệt trong môi
trường. Trong quá trình làm chậm, một số nơtron bị bắt bởi các hạt nhân khi nó va
chạm, còn một số thì chuyển động ra khỏi môi trường. Các hiệu ứng này là rất
quan trọng trong việc thiết kế lò phản ứng hạt nhân. Như vậy, quãng đường trung
bình mà nơtron phân hạch (nơtron nhanh) trải qua để đạt được tới năng lượng
nhiệt là liên quan trực tiếp đến kích thước lò phản ứng hạt nhân. Chúng ta sẽ xem
xét hiện tượng và rút ra các công thức trong quá trình làm chậm nơtron.
Sự va chạm của các nơtron có thể được miêu tả nhờ vào các định luật va
chạm đàn hồi trong cơ học. Để thuận tiện trong tính toán, đầu tiên chúng ta sẽ
phân tích sự va chạm trong hệ toạ độ tâm khối lượng, và sau đó chuyển sang hệ
toạ độ phòng thí nghiệm. Hình 3.1 miêu tả sự va chạm trong hai hệ toạ độ, còn
Bảng 3.1 trình bày các đại lượng tương ứng.
Tốc độ của tâm khối lượng
C
V

thu được từ điều kiện là động lượng của hệ
thống nơtron + hạt nhân thì bằng với động lượng của nơtron trong hệ toạ độ phòng
thí nghiệm:

A
v
VvVA
CC
+
=→=+
1

).1(
0
0




(3.1)
Tốc độ của nơtron trong hệ toạ độ tâm khối lượng là:
n
V

v

0
v

θ
A
ψ
C
Vv


−
0
C
V

a

v

b
v

Hệ toạ độ phòng thí nghiệm Hệ toạ độ tâm khối lượng
Hình 3.1 Tán xạ của nơtron trong các hệ toạ độ
phòng thí nghiệm L và tâm khối lượng C

A
vA
A
v
vVv
C
+
=
+
−=−
11
00
00




(3.2)
Bảng 3.1 Phân tích quá trình va chạm
Đại
lượng

Hệ toạ độ phòng thí nghiệm, L Hệ toạ độ tâm khối lượng, C
Trước va chạm Sau va chạm Trước va chạm Sau va chạm
Nơtron
H. nhân
Nơtron
H. nhân
Nơtron
H. nhân
Nơtron
H. nhân
K.lượng
1
A
1
A
1
A
1
A
Tốc độ
0
v

0
v

V

C
Vv



−
0
C
V

a
v

b
v

Đ.lượng
1.
0
v

0
1.
v

A.
V

C
Vv


−

0
A.
C
V

a
v

A.
b
v

N.lượng
2
2
0
v
0
2
2
v
2
2
AV
2
)(
2
0 C
Vv



−
2
.
2
0
vA
2
2
a
v
2
.
2
b
vA
Trong hệ toạ độ tâm khối lượng, các động lượng của nơtron và của hạt nhân
trước và sau va chạm là bằng nhau, nhưng nguợc nhau về dấu:

A
vA
VAVv
CC
+
==−
1
).(1
0
0




trước va chạm (3.3)

ba
vAv

=.1
sau va chạm (3.4)
Định luật bảo toàn năng lượng trong hệ toạ độ tâm khối lượng cho thấy:


22
2
0
2
0
22
1
12
1
12
1
ba
v
A
v
A
v
A

A
Av
+=






+
+






+
(3.5)
Từ các biểu thức (3.4) và (3.5), ta thu được tốc độ của nơtron và của hạt
nhân sau khi va chạm trong hệ toạ độ tâm khối lượng:

A
Av
v
a
+
=
1
0

và
A
v
v
b
+
=
1
0
(3.6)
Khi so sánh các biểu thức (3.1) và (3.2) với biểu thức (3.6), ta nhận thấy
rằng trong hệ toạ độ tâm khối lượng tốc độ của nơtron và tốc độ của hạt nhân là
không thay đổi sau va chạm; nhưng chiều chuyển động của chúng thì thay đổi.
Nếu đứng trong hệ toạ độ tâm khối lượng, ta nhận thấy rằng nơtron bị tán
xạ dưới một góc ψ; trong khi đó nếu đứng trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm, sẽ
thấy nơtron bị tán xạ dưới góc θ. Mối liên quan giữa hai góc này được xác định
khi sử dụng công thức chuyển đổi từ hệ này sang hệ khác (Hình 3.2):

vVv
Ca



=+
Từ hình 3.2, ta nhận thấy:
v
a
cosψ + V
C
= v cosθ;

nếu thay thế vào đây các biểu thức v
a
và V
C
từ (3.1) và (3.6), ta được:

θψ
cos.
1
cos
1
00
v
A
v
A
Av
=
+
+
+
(3.7)
Trên cơ sở của định lý cosin, ta có:

ψ
cos2
222
CaCa
VvVvv ++=

ψ
cos
)1(
2
11
2
2
0
2
0
2
0
2
A
Av
A
v
A
Av
v
+
+






+
+







+
=
(3.8)
Khi kết hợp (3.8) với (3.7), ta được:

1cos2
1cos
cos
2
++
+
=
ψ
ψ
θ
AA
A
(3.9)
Dựa trên biểu thức (3.8), ta có thể rút ra sự thay đổi của năng lượng nơtron
trong quá trình va chạm với hạt nhân:

2
2
2

0
2
0
)1(
cos21
A
AA
v
v
E
E
+
++
==
ψ
(3.10)
Sau khi va chạm với hạt nhân, sự mất năng lượng tối đa của nơtron nếu ψ =
π. Trong trường hợp này cosψ = -1 và biểu thức (3.10) trở thành:
θ
ψ
C
V

a
v

v

Hình 3.2 Sơ đồ vector của các tốc độ sau va chạm

2
0
min
1
1






+
−
==
A
A
E
E
α
(3.11)
Sự mất năng lượng tương đối được biểu thị như sau:

α
−=
−
1
0
min0
E
EE

Khi nơtron va chạm với hạt nhân hydrogen, tức là A = 1 và α = 0, nghĩa là
nơtron có thể mất toàn bộ năng lượng trong một lần va chạm duy nhất. Hệ toạ độ
tâm khối lượng có thể được sử dụng để xác định hai đại lượng quan trọng trong lý
thuyết làm chậm nơtron: cosin trung bình của góc tán xạ trong hệ toạ độ phòng thí
nghiệm,
θ
cos
, và tham số va chạm trung bình của năng lượng, ξ.
3.2 Cosin trung bình của góc tán xạ
Để xác định các đại lượng này, chúng ta cần xác định xác suất tán xạ của
các nơtron dưới một góc đã cho. Thực nghiệm chỉ ra rằng ở năng lượng của nơtron
dưới 2 – 3 MeV, tán xạ sẽ là đẳng hướng trong hệ toạ độ tâm khối lượng. Trong
trường hợp này:

ψψ
π
ψψπ
π
ψψ
d
dd
dP .sin
2
1
4
.sin.2
4
)( ==
Ω
=

(3.12)
Xác suất để một nơtron có năng lượng E
0
và sau khi va chạm giảm xuống
năng lượng E là:

dE
dE
d
PdEEP
ψ
ψ
)().( =
.
Trước khi tính đạo hàm
dE
d
ψ
, chúng ta viết biểu thức (3.10) dưới dạng:

[ ]
ψαα
cos)1()1(
2
1
0
−++= EE
(3.13)
Khi vi phân biểu thức này ta được:

ψψα
dEdE .sin)1(
2
1
0
−−=
Từ đó:

ψα
ψ
sin)1(
2
0
−
−=
EdE
d
(3.14)
và cuối cùng:

)1(
).(
0
α
−
−=
E
dE
dEEP
(3.15)

Cosin trung bình của góc tán xạ,
θ
cos
, được xác định như sau:

∫ ∫
=
++
+
==
π
ψψ
ψ
ψ
ψθψθ
0
2
3
2
.sin
1cos2
1cos
2
1
.cos)(cos
A
d
AA
A
dP

(3.16)
Bảng 5 cho các giá trị của
θ
cos
và
θ
đối với một loạt các nguyên tố thường gặp
trong các thành phần cấu tạo của lò phản ứng hạt nhân. Đối với các nguyên tố
nặng, tán xạ là hoàn toàn đẳng hướng cả trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm.
Bảng 3.2 Các thông số va chạm của một số nguyên tố.
Nguyên tố A
θ
cos
θ
ξ C
H 1 0,667 48
o
1,0000 18
D 2 0,333 70,5
o
0,7261 25
C 12 0,056 87
o
0,1589 114
O 16 0,042 87,5
o
0,1209 150
U 232 0,002 89,9
o
0,0084 2172

3.3 Tham số va chạm trung bình của năng lượng
Sở dĩ đưa ra tham số va chạm trung bình của năng lượng (hay độ mất năng
lượng logarit trung bình là để đơn giản trong quá trình tính toán. Thật vậy, ở mỗi
va chạm nơtron mất đi phần tối đa năng lượng α. Chúng ta có thể biểu diễn một
loạt thang logarit cho các mức năng lượng của nơtron trong quá trình va chạm: E
1
= E
0
, E
2
= αE
0
, E
3
= α
2
E
0
,… Nếu chúng ta viết lnE
1
= a
1
, lnE
2
= a
2
, lnE
3
= a
3

,… thì
a
1
– a
2
= a
2
– a
3
= - lnα = const. Điều đó cho thấy mức thang giảm logarit năng
lượng là tuyến tính. Độ mất năng lượng logarit trung bình (tham số va chạm trung
bình của năng lượng) được định nghĩa như sau:

∫∫
−
−===−=
0
0
0
0
)1(
.ln).(ln)/ln(lnln
0
00
00
E
E
E
E
E

dE
E
E
dEEP
E
E
EEEE
αα
α
ξ
Để tính tính phân, trước hết ta đặt x = E/E
0
:

∫
+
−−
+=
−
+=
−
=
α
α
α
α
α
ξ
1
2

1
1
ln
2
)1(
1ln
1
1.ln
1
1
A
A
A
A
dxx
(3.17)
Đối với A > 10, chúng ta có thể viết (3.17) một cách gần đúng dưới dạng:

3
2
2
+
≈
A
ξ
(3.18)
Ngay cả khi A = 2, sai số của biểu thức (3.18) cũng không vượt quá 4%. Ta
nhận thấy rằng tham số va chạm trung bình ξ không phụ thuộc vào năng lượng ban
đầu của nơtron; thạm chí nó cũng không phụ thuộc vào sự mất năng lượng logarit
cực đại. Trong mỗi lần va chạm, nơtron mất đi trung bình một phần năng lượng

như nhau. Thông số ξ có thể được sử dụng để tính số va chạm trung bình C đối với
quá trình làm chậm từ năng lượng E
0
đến năng lượng cuối cùng E
f
:

ξ
)/ln(
0 f
EE
C =
(3.19)
Nếu lấy E
0
là năng lượng phân hạch trung bình của nơtron, E
0
= 2 MeV còn
E
f
là năng lượng của các nơtron nhiệt, E
f
= E
T
= 0,025 eV, ta thu được:

ξξ
2,18)10.5,2/10.2ln(
36
==

−
C
(3.20)
Bảng 3.2 cho ta thấy tham số va chạm trung bình của năng lượng, ξ, và số
va chạm trung bình cần thiết để nơtron được làm chậm từ năng lượng phân hạch
đến năng lượng nhiệt đối với một số các nguyên tố.
3.4 Lethargy
Trong nhiều trường hợp, để được thuận lợi hơn người ta thường sử dụng
một biến đơn thay cho năng lượng. Lethargy là một hàm phụ thuộc năng lương E
của nơtron được định nghĩa như sau:

E
dE
Eddu −=−= )(ln
(3.21)
hay:
u(E) = ln(E
0
/E) (3.22)
trong đó E
0
là năng lượng trung bình của nơtron phân hạch E
0
= 2 MeV, và (3.22)
có thể dược viết dưới dạng:
E = E
0
e
-u
Sự thay đổi trung bình của lethargy khi nơtron va chạm với hạt nhân là thừa

số va chạm trung bình của năng lượng nơtron:

ξ
==−=∆ )/ln(
2112
EEuuu
Mật độ thông lượng nơtron phụ thuộc năng lượng có thể được viết theo
hàm số lethargy như sau:
ф(u) du = - ф(E) dE
ở đây, dấu trừ bên vế phải chỉ ra rằng E nhỏ đi khi u tăng lên. Đối với nơtron phân
hạch, nghĩa là khi chưa được làm chậm, thì u(E
0
) = 0. Từ (3.21), ta có:
ф(u) = E ф(E). (3.23)
3.5 Mật độ làm chậm
3.5.1 Chất làm chậm không hấp thụ nơtron
Các nơtron nhanh sinh ra trong quá trình phân hạch được làm chậm nhờ
vào các va chạm với các hạt nhân của chất làm chậm, và khuếch tán trong toàn bộ
lò phản ứng hạt nhân. Giả sử rằng các nơtron nhanh được tạo thành trong một môi
trường làm chậm với tốc độ q nơtron/cm
3
/s, năng lượng ban đầu của chúng là E
0
.
Nếu bỏ qua sự hấp thụ và rò nơtron trong quá trình làm chậm, q sẽ trình bày số
nơtron được làm chậm trong một đơn vị diện tích và trong một đơn vị thời gian, và
trong quá trình làm chậm “đi qua” năng lượng E. Đại lượng q(E) được gọi là mật
độ chậm nơtron. Để thiết lập phương trình miêu tả quá trình làm chậm, cần thiết
rút ra mối quan hệ gắn bó giữa mật độ chậm và mật độ thông lượng nơtron được
làm chậm ф(E).

Số nơtron từ trong 1 cm
3
và trong thời gian 1s, trong quá trình làm chậm đi
qua khoảng năng lượng dE ở xung quanh năng lượng E là ф(E)Σ
s
(E)dE. Năng
lượng của nơtron qua va chạm có thể thay đổi nhiều nhất từ E đến αE (Hình 3.3).
Bởi vì xác suất để một nơtron được làm chậm từ năng lượng E đến năng lượng
trong khoảng E’ và E’ + dE’ là
EE
dE
α
−
−
'
, nên số nơtron được làm chậm trong
khoảng năng lượng dE’ sẽ là:

.)()(
'
dEEE
EE
dE
s
Σ
−
−
φ
α
Trong quá trình làm chậm, các nơtron rơi và trong khoảng năng lượng dE’

có thể đến từ vùng năng lượng từ E’ đến E’/α, nên tổng số nơtron có năng lượng
trong khoảng dE’ sau khi va chạm sẽ là:

∫
Σ
−
α
φ
α
/'
'
)()(
'
E
E
s
dEEE
EE
dE


Số nơtron đi vào trong khoảng năng lượng dE’ là bằng với số nơtron đi ra
từ khoảng năng lượng này sau khi va chạm. Ta có thể viết phương trình như sau:

∫
Σ
−
=Σ
α
φ

α
φ
/'
'
)()(
'
')()'(
E
E
ss
dEEE
EE
dE
dEEE
(3.24)
trong đó, vế bên trái miêu tả số nơtron đi ra từ khoảng năng lương dE’, còn vế bên
phải miêu tả số nơtron đi vào trong khoảng năng lượng đó. Chúng ta viết phương
trình (3.24) dưới dạng khác như sau:

∫
−
=
α
ψ
α
ψ
/'
'
)(
1

1
)'(
E
E
E
dE
EE
(3.25)
ở đó ta đa viết ψ(E) = ф(E)Σ
s
(E). Nghiệm của phương trình (3.25) là:

E
C
EEE
s
=Σ= )()()(
φψ
(3.26)
E’/α
dE
dE’
E
E’
αE
dEE
EE
dE
S
Σ

−
)(
'
φ
α
Hình 3.3 Sơ đồ tính mật độ chậm
trong đó, C là một hằng số. Hằng số C liên quan đến mật độ làm chậm q. Từ hình
3.3, ta nhận thấy rằng mật độ chậm nơtron q(E’) miêu tả số nơtron trong 1 cm3
trong thời gian 1s đi qua năng lượng làm chậm E’. Khi nhân số nơtron bị va chạm
ф(E)Σ
s
(E)dE trong dE với xác suất để sau khi va chạm nơtron rơi vào vùng năng
lượng có gạch chéo
EE
EE
α
α
−
−'
và lấy tích phân trên toàn bộ vùng năng lượng mà từ
đó nơtron có khả năng rơi vào vùng năng lượng gạch chéo ở dưới E’, ta thu được
q(E’):

∫
−
−
Σ=
α
α
α

φ
/'
'
)1(
'
.)()()'(
E
E
s
E
EE
dEEEEq
Thay thế
E
C
EE
s
=Σ )()(
φ
ta thu được:

∫
=
−
+=−
−
=
α
ξα
α

α
α
α
/'
'
2
)ln
1
1()'(
1
1
)'(
E
E
CCdEEE
E
C
Eq
(3.27)
Do đó, nếu không có hấp thụ và rò nơtron, mật độ chậm nơtron là một hằng
số. Khi kết hợp (3.27) với (3.26) ta thu được mối liên hệ giữa mật độ thông lượng
nơtron và mật độ chậm nơtron:

E
q
E
s
Σ
=
ξ

φ
)(
(3.28)
Trong trường hợp chung, tiết diện vĩ mô tán xạ Σ
s
phụ thuộc yếu vào năng
lượng, có thể được xem như là hằng số và mật độ thông lượng nơtron được làm
chậm là tỷ lệ nghịch với năng lượng. Trong trường hợp này (Σs ≈ const.), mật độ
thông lượng nơtron được viết trong thang lethargy cũng là một hằng số:

s
q
u
Σ
=
ξ
φ
)(
(3.28’)
Ở đây, ta đã sử dụng biểu thức (3.23).
3.5.2 Chất làm chậm có hấp thụ nơtron
Đối với chất làm chậm có hấp thụ nơtron, phổ năng lượng nơtron cũng có
dạng (3.28), trong đó mật độ làm chậm q phụ thuộc vào tính chất hấp thụ của môi
trường. Môi trường hấp thụ nơtron thường gặp là vùng hoạt lò phản ứng gồm chất
làm chậm và nhiên liệu uran, trong đó có các đồng vị U
235
và U
238
. Các U
238

hấp
thụ mạnh nơtron trong dải năng lượng cộng hưởng. Do khối lượng của U
238
rất lớn
nên có thể bỏ qua sự tán xạ nơtron.
Khi nơtron rơi vào vùng hấp thụ cộng hưởng của U
238
thì số nơtron bị hấp
thụ trong 1 cm
3
trong 1s trong khoảng năng lượng từ E đến E + dE:
dq = ф(E)Σ
a
(E)dE (3.29)
Biểu thức ф(E) trong (3.28) trong trường hợp chất làm chậm có hấp thụ
nơtron được viết thành:


E
Eq
E
sa
1
)(
)(
)(
Σ+Σ
=
ξ
φ

Thay thế ф(E) này vào biểu thức (3.29), ta được:

E
dE
q
dq
E
dE
qdq
sa
a
sa
a
)()( Σ+Σ
Σ
=→
Σ+Σ
Σ
=
ξξ
Sau khi lấy tích phân hai vế, ta được:










Σ+Σ
Σ
−=
∫
0
)(
exp)(
0
E
E
sa
a
E
dE
qEq
ξ
(3.30)
ở đây, ta giả thiết các nơtron nhanh được tạo thành trong một môi trường làm
chậm có hấp thụ nơtron với tốc độ q
0
nơtron/cm
3
/s, năng lượng ban đầu của chúng
là E
0.
Như vậy, phổ năng lượng nơtron làm chậm trong môi trường có hấp thụ
nơtron là:










Σ+Σ
Σ
−
Σ
=
∫
0
)(
exp)(
0
E
E
sa
a
a
E
dE
E
q
E
ξξ
φ
(3.31)
Biểu thức (3.30) cho số nơtron được làm chậm đến năng lượng E và tránh

được hấp thụ công hưởng của U
238
. Khi Σ
a
= 0 thì q = q
0
; do đó, xác suất tránh hấp
thụ cộng hưởng là:









Σ+Σ
Σ
−==
∫
0
)(
exp
0
E
E
sa
a
E

dE
q
q
p
ξ
(3.32)
Ta có thể viết biểu thức (3.32) dưới dạng:









Σ+Σ
Σ
Σ
−=
∫
0
exp
E
E
sa
s
a
s
a

E
dE
N
p
σ
ξ
(3.33)
trong đó, N
a
là mật độ hạt nhân của chất hấp thụ nơtron trong 1 cm3, ví dụ mật độ
của U
238
. Để thuận tiện, người ta dùng tiết diện hấp thụ hiệu dụng:

sa
s
aeffa
Σ+Σ
Σ
=
σσ
)(
(3.34)
và tích phân cộng hưởng hiệu dụng:

∫
=
0
)(
E

E
effaeff
E
dE
I
σ
(3.35)
Khi đó xác suất tránh hấp thụ công hưởng có dạng:







−=
ss
effa
N
IN
p
σξ
exp
(3.36)
trong đó, N
s
là mật độ hạt nhân của chất làm chậm. Biểu thức (3.36) miêu tả sự
phụ thuộc xác suất tránh hấp thụ công hưởng vào tỷ số mật độ hạt nhân chất làm
chậm N
s

và mật độ hạt nhân hấp thụ N
a
. Tỷ số này càng cao thì xác suất tránh hấp
thụ cộng hưởng cành lớn. Song, tỷ số này càng lớn, có nghĩa rằng vùng hoạt gồm
nhiều hạt nhân làm chậm và ít hạt nhân nhiên liệu và như vậy vô hành dung ta đã
giảm hệ số sử dụng nơtron nhiệt f (giảm khả năng hấp thụ nơtron nhiệt trong nhiên
liệu U
235
). Do đó, người ta cần phải chọn một chế độ tối ưu giữa hai yêu cầu ngược
nhau này để hệ số nhân nơtron K
eff
đạt giá trị cực đại đối với vùng hoạt lò phản
ứng hạt nhân. Biểu thức (3.36) được áp dụng cho môi trường đồng nhất (môi
trường gồm các hạt nhân nhiên liệu và chất làm chậm,… được trộn đều với nhau).
Nếu với cùng tỷ số N
s
/N
a
, ta thay thế môi trường đồng nhất bằng môi
trường không đồng nhất (trong môi trường mà nhiên liệu và chất làm chậm được
đặt xem kẽ nhau) thì có thể tăng xác suất tránh hấp thụ cộng hưởng. Điều này
được giải thích như sau:
• Các nơtron nhanh (nơtron phân hạch) đi xuyên qua thanh nhiên liệu uran mà
hầu như không bị làm chậm vì số khối lượng A của U
238
rất lớn (
3
2
2
+

=
A
ξ
), do
đó, quá trình làm chậm chủ yếu xảy ra trong chất làm chậm (A bé). Trong chất
làm chậm, các nơtron nhanh chuyển thành nơtron nhiệt mà không bị hấp thụ
cộng hưởng bởi hạt nhân U
238
. Sau khi trở thành nơtron nhiệt, chúng mới đi
vào thanh nhiên liệu để gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân.
• Sau khi được làm chậm trong chất làm chậm, không phải tất cả các nơtron đều
trở thành nơtron nhiệt, mà một số có thể là nơtron cộng hưởng và cũng có thể
vẫn là nơtron nhanh. Nếu là nơtron nhanh thì có thể đi trở lại thanh nhiên liệu;
các nơtron cộng hưởng khi đi vào thanh nhiên liệu hầu hết sẽ bị hấp thụ ở bề
mặt ngoài thanh do nồng độ hạt nhân U
238
rất lớn; còn các nơtron nhiệt khi đi
vào thanh nhiên liệu sẽ gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân U
235
ở cả mặt
ngoài lẫn bên trong thanh. Do đó, số tương đối các nơtron bị hấp thụ trong
thanh nhiên liệu bị giảm đi; hiện tượng này được gọi là hiệu ứng che chắn.
• Như vậy, môi trường không đồng nhất có ưu điểm hơn môi trường đồng nhất
về mặt tăng xác suất tránh hấp thụ cộng hưởng. Mặt khác, về kiến trúc, môi
trường không đồng nhất thuận tiện ở chỗ các thanh nhiên liệu được tách độc
lập nên việc thay thế chúng sẽ dễ dàng hơn so với môi trường đồng nhất.
3.6 Phương trình tuổi Fermi.
Các nơtron nhanh sinh ra từ một nguồn nơtron trong một môi trường chất
làm chậm không có hấp thụ và rò nơtron; chúng khuếch tán trong môi trường này
và với khoảng cách càng xa nguồn thì năng lượng của các nơtron càng nhỏ. Năng

lương của nơtron càng bé thì khoảng cách giữa nơtron và nguồn càng tăng.
Phương trình tuổi cho phép tính phân bố không gian các nơtron trong quá
trình làm chậm đạt tới một năng lượng nhất định. Để rút ra phương trình tuổi, ta
giả sử rằng môi trường hấp thụ yếu nơtron, không có rò nơtron và làm chậm
liên tục nơtron. Mặc dù sự chuyển năng lượng trong một lần va chạm là gián
đoạn, nhưng nó cũng đủ nhỏ đối với các nguyên tố có A > 2 (xem Bảng 3.2 về
tham số va chạm trung bình của năng lượng). Như vây, giả thiết làm chậm nơtron
liên tục là thoả mãn đối với các chất làm chậm như berily và graphit. Trong trường
hợp chất làm chậm là nước, các giả thiết mà phương trình tuổi sử dụng sẽ không
còn giá trị, không những do tiết diện hấp thụ nơtron tương đối lớn mà còn do sự
mất năng lượng ở một lần va chạm cũng rất lớn.
Giả thiết làm chậm nơtron liên tục cho phép ta thiết lập một mối liên hệ
giữa mất năng lượng và khoảng thời gian xảy ra hiện tượng đó, gọi là thời gian
làm chậm. Để đạt được mục đích này, chúng ta xem xét số lượng va chạm trong
khoảng thời gian dt. Quãng đường mà nơtron đi qua trong thời gian dt là vdt; và
cũng trên quãng đường này nơtron chịu trung bình
s
vdt
λ
va chạm, trong đó
s
s
Σ
=
1
λ
là quãng đường tự do trung bình tán xạ. Mặt khác, số va chạm có thể được biểu thị
qua tham số va chạm trung bình của năng lượng, cụ thể
E
dEEd

ξξ
=
)(ln
. Vì vậy, ta
có thể viết:

s
dtv
E
dE
λξ
.
=−
(3.37)
ở đây, dấu trừ chỉ ra rằng khi t tăng thì E giảm.
Khi thay thế
m
E
v
2
=
(m là khối lượng của nơtron) và lấy tích phân từ E
0
đến E , người ta thu được thời gian làm chậm từ năng lượng ban đầu E
0
đến năng
lượng bất kỳ E:

∫ ∫









−
Σ
=→−=
t E
E
s
s
EE
m
t
E
dEm
dt
0
0
2/3
.
112
2
0
ξξ
λ
(3.38)

trong đó, Σ
s
là tiết diện vĩ mô khuếch tán trung bình.
Để thiết lập phương trình tuổi, chúng ta xuất phát từ phương trình khuếch
tán động (2.28) trong trường hợp môi trường không hấp thụ nơtron và cũng không
có hiện tượng rò nơtron:

dtv
D
φ
φ
∂
=∇
1
2
ở đây, cần chuyển hoá từ mật độ thông lượng nơtron sang mật độ làm chậm khi sử
dụng biểu thức (3.28):

t
q
Ev
q
E
D
ss
∂
∂
Σ
=∇
Σ

ξξ
11
2
Khi sử dụng biểu thức (3.37), ta có thể chuyển từ biến số t sang biến số E:

E
qE
qD
s
∂
∂
−=∇
λ
ξ
2
Chúng ta sẽ đưa thêm vào biến số
τ
với định nghĩa sau:

∫ ∫
Σ
==→−=
0
0
E
E
u
u
s
ss

du
D
E
dE
D
dE
E
D
d
ξξ
λ
τ
ξ
λ
τ
(3.39)
Chúng ta thu được phương trình tuổi của Fermi:

τ
∂
∂
=∇
q
q
2
(3.40)
Từ “tuổi” xuất phát từ sự tương tự của phương trình (3.40) với phương
trình truyền nhiệt, trong đó
τ
đóng vai trò thời gian. Thứ nguyên của

τ
là bình
phương của độ dài và là một trong các hằng số đặc trưng của chất làm chậm.
Thông thường, đối với mỗi một chất làm chậm người ta tính toán hoặc đo đạc tuổi
tương ứng với năng lượng của các nơtron nhiệt. Bảng 3.3 chỉ ra các hằng số đặc
trưng của các chất làm chậm.
Bảng 3.3 Đặc trưng khuếch tán và làm chậm của các chất làm chậm
Chất làm
chậm
Mật độ,
ρ(g/cm
3
)
σ
a
(barn)
D
(cm)
L
(cm)
β
τ
(cm
2
)
Σ
s
(cm
-1
)

H
2
O 1,00 0,66 0,142 2,88 0,82 33 0,90
D
2
O 1,10 0,0012 0,80 110 0,97 110 0,43
Be 1,84 0,010 0,70 23,6 0,89 95 0,55
C 1,62 0,0032 0,90 50,2 0,93 323 0,30
3.7 Giải phương trình tuổi Fermi.
3.7.1 Nguồn phẳng nơtron vô hạn trong môi trường vô hạn
Để giải phương trình tuổi Fermi, đầu tiên chúng ta xem xét một trường hợp
đơn giản là nguồn nơtron phẳng vô hạn ở trong một môi trường vô hạn. Nguồn
nơtron nằm trong mặt toạ độ yoz phóng ra Q nơtron nhanh từ 1 cm
2
trong 1s.
Nơtron sinh ra từ nguồn được làm chậm và khuếch tán trong môi trường chất làm
chậm. Phương trình tuổi Fermi trong trường hợp nguồn phẳng vô hạn có dạng:

τ
ττ
∂
∂
=
∂
∂ ),(),(
2
2
xq
x
xq

với x ≠ 0 (3.41)
Phương trình (3.33) được giải nhờ phương pháp tách biến:

)().(),(
ττ
TxXxq =
(3.42)
Thay thế (3.42) vào (3.41) và nhân với X(x).
)(
τ
T
ta thu được:

2
2
2
)(
)(
1)(
)(
1
α
τ
τ
τ
−==
d
dT
T
dx

xXd
xX
ở đây, dấu trừ trước α
2
có ý nghĩa rằng q không thể tăng cùng với
τ
. Ta có hai
phương trình sau:

,0
2
2
2
=+ X
dx
Xd
α
và

τα
d
T
dT
2
−=
Nghiệm của hai phương trình này là:
X(x) = Acosαx + B sinαx (3.43)

τα
τ

2
)(
−
=
eT
Do đó:

)sincos(),(
2
xBxAexq
αατ
τα
+=
−
(3.44)
trong đó, A và B là các hằng số bất kỳ. Nghiệm q(x,
τ
) có thể được viết dưới dạng
khác:

)'(cos.),(
2
xxeCxq
−=
−
ατ
τα
(3.44’)
ở đây, C và x’ là các hằng số. Nghiệm tổng quát của phương trình (3.41) là một sự
chồng chập của các nghiệm dạng (3.44’). Để viết sự chồng chập này, chúng ta sử

dụng các tính chất của tích phân Fourier:

∫ ∫
∞ ∞
∞−
−=
0
')'(cos)'(
1
)( dxxxxfdxf
αα
π
(3.45)
và đồng thời chúng ta sử dụng điều kiện cho nguồn phù hợp với điều kiện của bài
toán:

)()0,( xQxq
δ
=
(3.46)
trong đó,
)(x
δ
là hàm Dirac. Áp dụng cho
),(
τ
xq
, ta được:

∫ ∫

∞ ∞
∞−
−
−=
0
')'(cos).'(
1
),(
2
dxxxexQdxq
αδα
π
τ
τα
(3.47)
Khi
0
→
τ
, ta được:

∫ ∫
∞ ∞
∞−
=−=
0
)(')'(cos)'(
1
)0,( xQdxxxxQdxq
δαδα

π
phù hợp với tính chất của tích phân Fourier trong (3.45). Từ đây ta nhận thấy rằng
cần đặt C = 1/π và sử dụng (3.47) cho bài toán đặt ra.
Để giải quyết vấn đề ta viết (3.47) dưới dạng:

∫
∞
∞−
= ')'()(
1
),( dxxQIxq
δα
π
τ
(3.48)
trong đó,

ααα
τα
dxxeI )'(cos)(
0
2
−=
∫
∞
−
(3.49)
Để tính tích phân, ta đưa vào các hàm mũ:

[ ]

)'()'(
2
1
)'(cos
xxixxi
eexx
−−−
+=−
αα
α

và thu được:







+=
∫∫
∞
−−−
∞
−+−
ααα
αταατα
dedeI
xxixxi
0

)'(
0
)'(
22
2
1
)(
Ta biến đổi số mũ như sau:

τ
ατ
ττ
ατατα
4
)'(
)(
4
)'(
2
)'(
)'(
2
2
2
2
2
xx
a
xxxxi
xxi

−
−−−=
−
−






−
−−=−+−

τ
ατ
ττ
ατατα
4
)'(
)(
4
)'(
2
)'(
)'(
2
2
2
2
2

xx
a
xxxxi
xxi
−
−+−=
−
−






−
+−=−−−
Đặt β
1
= α – a và β
2
= α + a , ta có:

=









+=
∫ ∫
∞
−
∞
−−
−
−
a a
xx
dedeeI
21
4
)'(
2
2
2
1
2
2
1
)(
ββα
τβτβ











+=
∫∫
∞
−
∞
−
−
−
−
ββ
τβτβ
τ
dedee
aa
xx
22
2
4
)'(
2
1
Hàm
2
τβ
−

e
là hàm chẵn nên ta có thể viết:

τ
π
βββββ
τβτβτβτβτβ
4
22
0
22222
==+=+
∫∫∫∫∫
∞
−
−
∞−
−
∞
−
−
∞
−
∞
−
−
dedededede
a
aaa
và

τ
τ
π
α
4
)'(
2
4
)(
xx
eI
−
−
=
(3.50)
trong đó tính chất của tích phân Poisson đã được áp dụng, tức là:

α
π
α
2
1
0
2
=
∫
∞
−
dxe
x

Khi thay thế (3.50) vào (3.48) và sử dụng các tính chất của hàm Dirac ta
được nghiệm của phương trình tuổi Fermi cho trường hợp nguồn phẳng vô hạn
trong môi trường vô hạn:

τ
πτ
τ
4
2
4
),(
x
e
Q
xq
−
=
(3.51)

3.7.2 Nguồn nơtron điểm trong môi trường vô hạn
Trong trường hợp nguồn nơtron điểm ở trong gốc hệ toạ độ, để xác định
nghiệm của phương trình tuổi Fermi, người ta sử dụng định lý về mối quan hệ
giữa mật độ làm chậm của nguồn phẳng nơtron và mật độ làm chậm của nguồn
điểm nơtron (2.37):

τ
πτ
τ
π
τ

4
2/3
2
)4(
),(
2
1
),(
r
rx
e
Q
x
xq
r
rq
−
=
=






∂
∂
−=
(3.52)
Phân bố mật độ làm chậm nơtron từ một nguồn điểm được chỉ ra trên hình

3.4 đối với hai giá trị tuổi
τ
. Khi
τ
bé, năng lượng của nơtron gần với năng lượng
ban đầu và đa số nơtron đều ở gần nguồn. Khi
τ
lớn, năng lượng của nơtron là
nhỏ, tức là các nơtron bị làm chậm nhiều hơn và khuếch tán xa hơn. Mật độ làm
chậm ở gần nguồn là nhỏ hơn khi
τ
lớn hơn.
Để làm rõ ý nghĩa của tuổi, chúng ta sẽ tính bình phương quãng đường mà
nơtron đã đi kể từ nguồn đến điểm nó có năng lượng E.

∫
∫
=
dVrq
dVrqr
r
),(
),(
2
2
τ
τ
Thay nghiệm của phương trình tuổi (3.52) vào biểu thức trên, ta được:

τ

τ
τ
6
0
4
2
0
4
4
2
2
2
==
∫
∫
∞
−
∞
−
drer
drer
r
r
r
(3.53)
r
Q(r,)
1
τ
2

τ
12
EE <
12
ττ
>
0
Hình 3.4 Mật độ làm chậm nơtron
từ một nguồn điểm
Như vậy, ý nghĩa vật lý của “tuổi” liên quan trực tiếp đến khoảng cách
trung bình mà nơtron đã đi trong quá trình làm chậm. Mặt khác, biểu thức (3.53)
có thể phục vụ định nghĩa tuổi trong các trường hợp khi mà phương trình tuổi
không được áp dụng, ví dụ trong trường hợp của nước làm chậm.