Tính chất nhiệt của chất rắn

Baøi 4
 Nhiệt lànăng lượng được chuyển từmột vật nàysang vật
khác khi chúng cónhiệt độkhác nhau. Nhiệt được chuyển
vào vật làm thay đổi nội năng ( năng lượng toàn phần-động
năng vàthếnăng) của nó.
Đònh luật thứnhất của Nhiệt động lực học:
dQ = dU -pdV
 Nhiệtdung lànhiệt lượng cần truyền cho vật đểlàm tăng
nhiệt độcủa nólên một độ:
Nhie
Nhie
ä
ä
t
t
dung
dung
cu
cu
û
û
a cha
a cha
á
á
t ra
t ra
é
é
n
n

T
U
T
Q
C
v
∆
∆
=
∆
∆
=
Nhiệtdung của chất rắn C
crắn
= C
mạng
+ C
đtử
Chất ( 20
o
C ) c [J/gm K] c [cal/gm K] c [J/mol K]
Nhôm 0,900 0,215 24,3
Bismuth 0,123 0,0294 25,7
Đồng 0,386 0,0923 24,5
Đồng thau 0,380 0,092
Vàng 0,126 0,0301 25,6
Chì 0,128 0,0305 26,4
Bạc 0,233 0,0558 24,9
Tungsten 0,134 0,0321 24,8
Kẽm 0,387 0,0925 25,2

Thủy ngân 0,140 0,033 28,3
Alcohol(ethyl) 2,4 0,58 111
Nước 4,186 1,00 75,2
Nước đá(-10 C) 2,05 0,49 36,9
Granit 0,790 0,19

Thủy tinh 0,84 0,20

Nhiệt dung của một sốchất ởT = 20
o
C
Nhiệtdung riêng của đồngbằng0,093 cal/gm C ( hay 0,389
J/gm C) vàcủa Chìbằng0,031 cal/gm C (hay 0,13 J/gm C).
Cóthểrút ra những nhận xét sau :
Sựkhácnhauchủyếulàdo chúngđượcbiểuthòbằngnăng
lượngtrênđơnvòkhốilượng.
Nếu tínhtheonănglượngtrênmol, chúng gầnnhưbằng
nhau. Sựtươngtựcủanhiệtdung của1 mol kimloạilànột
dung củònhluậtDulongand Petit.
Kết quảthực nghiệm:
* Ởnhiệt độcao:
Đònh luật Dulong-Petit ( C
v
= 3R = 6 cal/mol.độ= 25,1 J/mol.độ)
* Ởnhiệt độthấp: với chất điện môiC ~ T
3
với kim loại C
v
= γT trong đó γ = 10
-4

cal/(mol.độ
2
)
1 mJ= 2,39 .10
-4
cal
1 cal = 4,184 J
Tính nhiệtdung của mạng tinh thể
Các nguyên tửtrong chất rắn dao động chung quanh vò trí
cân bằng dưới tác dụng của lực Hookes( F = -fx).
Nhie
Nhie
ä
ä
t
t
dung
dung
cu
cu
û
û
a ma
a ma
ï
ï
ng tinh the
ng tinh the
å
å

Tính năng lượng
trung bình
∫
∫
−
−
>=<
dE)kT/Eexp(
dE)kT/Eexp(E
E
∑
∑
−
−
>=<
)kT/Eexp(
)kT/Eexp(E
E
Khi E liên tục
Khi E gián đoạn
1.
1.
Ly
Ly
ù
ù
thuye
thuye
á
á

t co
t co
å
å
đ
đ
ie
ie
å
å
n
n
* Mô hình :
°Mỗinút mạng làmột dao động tử(DĐT) điều hòa.
°Tinhthểcó3N DĐT điều hòa
* Tính nhiệtdung :
Nănglượng trung bình của mộtDĐT điều hòa
222
xm
2
1
mv
2
1
E +=
Năng lượng trung bình củaDĐT khi cân bằng nhiệt( tính theo
phân bốBoltzmann) :
dx
kT2
xm

exp
dx
kT2
xm
exp
2
xm
dv
kT2
mv
exp
dv
kT2
mv
exp
2
mv
dxdv
kT2
)xv(m
exp
dxdv
kT2
)xv(m
exp)xv(
2
m
E
22
0

22
0
22
0
2
2
0
2
0
222
0
2
2
2
222
ω
−
ω
−
ω
+
−
−
=
ω+
−
ω+
−ω+
>=<
∫

∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∞
∞
∞
∞
TrongDĐT điều hòộng năng trung bình bằng thếnăng trung
bình nên
< E > = 2 < T > = 2 < U >
kT2
mv
u
2
=
kT2
xm
u
2
2
ω
=
Ñaët
hoaëc
du)uexp(u
du)uexp(u
kT2E
0

2/1
0
2/1
−
−
>=<
∫
∫
∞
−
∞
u
du
m
kT2
2
1
dv =
Theo đònh nghóa vàtính chất của hàmGamma
π=Γ
−Γ−=Γ
−=Γ
∫
∞
−
)2/1(
)1n()1n()n(
dx)x(expx)n(
0
1n

kT
2
kT2
)2/1(
)2/3(
kT2E =
π
π
=
Γ
Γ
>=<
Năng lượngU của hệgồm3N DĐT điều hòa U = 3NkT
Nhiệtdung C
v
= dU/dT= 3Nk
Nhiệtdung của mộtmol
C
mol
= 3N
A
k = 3R ≈ 6 cal/(mol.độ)
Einstein (1907): “If Planck’s
theory of radiation has hit upon
the heart of the matter, then we
must also expect to find
contradictions between the present
kinetic molecular theory and
practical experience in other areas
of heat theory, contradictions

which can be removed in the same
way.”
2.
2.
Ly
Ly
ù
ù
thuye
thuye
á
á
t Einstein
t Einstein
:
:
Đònh luật Rayleigh -Jeans , ra đời trong những năm đầu của thế
kỷ20, biểu thò mật độnăng lượng của bức xạcủa vật đen với
bước sóng λ
Năm 1900 Max Plancksuy ra đònh luật
Bước sóng ( nm
)
Đònh luật
Rayleigh-Jeans
“Thảm họa tửngoại”
Công thức
bức xạPlanck
Năng lượng trong đơn vò thểtích
trên đơn vò bước sóng
Đến “thảm họa tửngoại”

Đònh luật
Planck
Đònh luật Rayleigh-Jeans
tần sốthấp
2 đường trùng
nhau
Tần số
C
ư
ơ
ø
ng
đ
o
ä
b
ứ
c xa
ï
Co
å
đ
ie
å
n
L
ư
ơ
ï
ng t

ử
LýthuyếtEinstein :
* Mô hình : chất rắn làmột tập hợp3N DĐT điều hòa độc
lập, cócùng tần số ν. Năng lượng của mỗiDĐT thay đổi nhảy
bậcE
n
= nhν vớin làsốnguyên.
* Tính nhiệtdung :
Khi cân bằng nhiệt, năng lượng trung bình của một
DĐT điều hòa
1e
h
e1
1
Ln
dx
d
h
)eee1(Ln
dx
d
h
)eee1(
)e3e2e(h
e
enh
xx
x3x2x
kT
h3

kT
h2
kT
h
kT
h3
kT
h2
kT
h
0n
kT
nh
0n
kT
nh
−
ν
=
−
ν=
++++ν=
++++
+++ν
=
ν
=
−
ν
−

ν
−
ν
−
ν
−
ν
−
ν
−
∞
=
ν
−
∞
=
ν
−
∑
∑
E>
kT
h
x
ν
−=
1
kT
h
exp

h
E
−
ν
ν
>=<
ν
Năng lượngU của hệgồm3N DĐT điều hòa
1e
h
N3U
kT
h
−
ν
=
ν
° nhiệt độT cao, kT>> hν
kT
h
1 )
kT
h
(
kT
h
11e
2
kT
h

ν
≈−+
ν
+
ν
+=−
ν
nên U = 3NkT , trùng với kết quảcổđiển
° nhiệt độT thấp, kT<< hν
kT
h
exphE
ν
−ν>≈<
kT
h
exp)
kT
h
(Nk3)EN3(
dT
d
C
2
ν
−
ν
≈><=
Bằng cách làm khớp tốt nhất với kết quảthực nghiệm cóthể
xác đònh tần số ν .

Lýthuyết củaEinstein cho phép giải thích:
1. C không đổi ởnhiệt độcao vàgiảm khi hạnhiệt độT
2. C nhỏhơn6 cal/(mol.độ) ởnhiệt độphòng của một số
chất nhưB, C .
Theo mẫu củaEinstein , ở
nhiệt độthấp C
v
giảm theo
nhiệt độtheo hàm
)
kT
h
exp(
ν
−
nhanh hơn kết quảđo được
bằng thực nghiệm.
kT
h
exp)
kT
h
(Nk3C
2
ν
−
ν
=
Lýthuyết Einstein
Điểm thực nghiệm

 Ở nhiệt độkhác0 K, các nguyên tửtrong
mạng tinh thểdao động quanh vò trícân bằng.
Do cósựtương tác mạnh giữa các nguyên tử,
dao động xuất hiện ởmột hạt được truyềnsang
cho hạt bên cạnh: trong tinh thểxuất hiện
chuyển động tập thểdưới dạng sóng đàn hồi bao
gồm tất cảcác hạt của tinh thể.
3.
3.
Ly
Ly
ù
ù
thuye
thuye
á
á
t Debye
t Debye
* Mô hình :
 Tinh thểlàmột môi trường tán sắc : giữa tần số ν ( hay ω )
vàsốsóng q của các sóng cóhệthức tán sắc
ω = qv
trong đóvận tốc v, nói chung , phụthuộc vào bước sóng.
 Chuyển động tập thểđócóthểbiểu diễn bằng các dao động
chuẩn của mạng.
 Sốdao động chuẩn cóthểxuất hiện trong mạng bằng sốbậc tự
do của các hạt trong tinh thể( = 3N vớiN làsốhạt tạo nên tinh
thể).
 Chất rắn gồm cácDĐT độc lập trong đómộtDĐT không

phải biểu thò cho dao động của từng gốc nguyên tửnhư
trong mẫu củaEinstein màbiểu thò cho dao động chuẩn của
toàn tinh thể.
 Tinh thểcóN nguyên tửcó 3N dao động chuẩn( 3N
DĐT ) trong đóN dao động dọc và2N dao động ngang.
 Năng lượng trung bình của mộtDĐT với tần số ν bằng
1
kT
h
exp
h
E
−
>=<
ν
ν
ν
* Tính nhiệt dung :
Năng lượng của mạng tinh thểchất rắn:
U = tổng năng lượng của3N DĐT
= tổngN.L củaDĐT dọc+ tổngN.L củaDĐT ngang
∑
=
−
=
−
++
−
+
−

=
N
i
i
i
N
N
kT
h
h
kT
h
h
kT
h
h
kT
h
h
U
3
1
3
3
2
2
1
1
1exp1exp

1exp1exp
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
Cóhai cách đểtính U.
Cách 1
: Xác đònh 3N tần số ν đểtính tổng trên.
Do một sốdao động chuẩn cóthểcótần sốtrùng nhau, nên để
tính U cần xác đònh sựphân bốtheo tần sốcủa các dao động
chuẩn.
Khi tinh thểlàhữu hạn( các cạnh dàiL
x
, L
y
vàL
z
), áp dụng
điều kiện biên vòng cho hàm sóng
exp i q (r+L) = exp i q r
dẫn đến sựgián đoạn củaq :
z
z
z
y
y

y
x
x
x
n
L
q
n
L
q
n
L
q
π
π
π
2
2
2
=
=
=
trong đón
x
, n
y
vàn
z
làcác sốnguyên dương vàâm.
Mỗi giátrò của q

i
( i = x, y, z ) xác đònh một dao động chuẩn
với một tần sốvàbước sóng nhất đònh.
222
zyx
qqqq ++=
Xác đònh sựphân bốtheo tần sốcủa các dao động chuẩn
Xét trường hợp đơn giản:
+ mẫu tinh thểcódạng lập phương với cạnh bằngL
+ tinh thểlàmôi trường đẳng hướng
+ vận tốc truyền của các sóng được lấy bằng một giátrò
trung bình v
o
không đổi nào đó.
Với các giảthiết trên, hệthức tán sắcthành
)(
22
222
zyxoonon
nnn
L
vn
L
vqv ++===
π
π
ω
Từđây, ta thấy có6 DĐT cótần số ω
1
, 12 DĐT cótần số ω

2
, 8
DĐT cótần số ω
3
, 6 DĐT cótần số ω
4
, 24 DĐT cótần số ω
5
, .…
)ôsố(
)!trùngôsố(
)!ôsố(
hợptổsố
0
2
≠
=
242
0
3
2
=
!
!
Vídụ: 2 1 0
Trên hình , sựphân bốtheo tần sốcủa cácDĐT códạng bậc
thang( đường màu xanh).
Làm theo cách này cho đến khi sốDĐT = 3N sẽ được tất cả
tần sốcần đểtính U
1

2
3