Công thức lượng giác

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
1
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ðỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính hàm số lượng giác của cung a sau.
a) sina =
5
3
với 0 < a <
2
π
b) tga = -
2
với
2
π
< a <
π

c) cosa =
5
1
với -
2
π
< a < 0 d) sina =
3
1
v

ớ
i a
∈
(
2
π
,
π
)
e)
tga = 2 v
ớ
i a
∈
(
π
,
2
3
π
)
2. Chứng minh các ñẳng thức sau:
a)
sin
2
x + tg
2
x =
x
cos

1
2
- cos
2
x
b)
tg
2
x - sin
2
x = tg
2
xsin
2
x
c)

xtgxgcot
xsinxcos
22
22
−
−
= sin
2
xcos
2
x
d)

xtg1
)1
xcos
1
)(xgcot1(
2
2
2
+
−+
= 1
e)
cosx + cos(
3
2
π
- x) + cos(
3
2
π
+ x) = 0
f
) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2

a
g)

batgtg1
btgatg
22
22
−
−
= tg(a +b)tg(a - b)
h)
cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
4
1
sin4x
i)

x
sin
x
cos
xsinxcos
+
−
=
x

2
cos
1
- tg2x
k)

x
sin
2
x
2
sin
xsin2x2sin
+
−
= -tg
2
2
x

m
) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
4
3
sin4x
n)

sinx - sin2x +sin3x = 4cos
2
x3
cosxsin
2
x

p)
sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x
q)

4 4 2
sin cos cos
2(1 cos )
x x x
x
− +
−
= cos
2
2
x

r)

xtg31
xtg3
tgx

x3tg
2
2
−
−
=

3. Biểu diễn các biểu thức sau theo sinx và cosx.
a)
sin(x +
2
5
π
) - 3cos(x -
2
7
π
) + 2sin(x +
π
)
b)
sin(x -
π
/2) + cos(x -
π
) - 5sin(
2
11
π
+ x)

c)
cos(
π
/2 + a) + cos(2
π
- a) + sin(
π
- a) + cos(
π
+ a)
d)
2cosa - 3cos(
π
+ a) - 5sin(
π
/2 - a) + cotg(
2
3
π
- a)
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
2
e)
cos(
π
- a) - 2sin(3
π
/2 + a) + tg(

2
3
π
- a ) + cotg(2
π
- a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
a)
A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a
b
) B = cos
4
a - sin
4
a + 2sin
2
a
c
) C = 2(sin
6
a + cos
6

a) - 3(sin
4
a + cos
4
a)
d)
D =
ga
ga
cot1
cot1
−
+
-
1tga
2
−

e) E =
aa
24
cos4sin +
+
asin4acos
24
+
f) F = cos
2
a - sin(30
0

+ a)sin(30
0
- a)
g) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a h) H =
1
a
cos
a
sin
1acosasin
66
44
−
+
−+

i) m là số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong ñó a - b
≠
kπ và m
≠
±

1 thì biểu thức:
A =
a
2
sin
m
1
1
−
+
b
2
sin
m
1
1
−
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức ñại số.
a) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
b) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
2
a
tg
2
a

gcot
a2cos1
−
+

c) Biết
)bacos(
)bacos(
−
+
=
q
p
. Tính tga.tgb
d) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)
≠
k2
π
tính tg
2
a
.tg
2
b

e) Tính sin2x nếu: 5tg
2
x - 12tgx - 5 = 0 (
4
π

< x <
2
π
)
6. Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng.
a) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0
b) B = cos
7
π
.cos
7
4
π
.cos
7
5
π

c) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66

0
.sin78
0
d) A = sin37
0
.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0

e) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. sin85
0
f) A = tg110
0
+ cotg20
0

g) Tính: F = sin
18
π

.sin
18
3
π
.sin
18
5
π
.sin
18
7
π
. sin
18
9
π
h) Tính sin15
0
và cos15
0
i) Tính tgx.tgy biết :
)yxcos(
)yxcos(
−
+
=
2
1

k) Với a

≠
k
π
chứng minh rằng: cosa.cos2a.cos4a. cos2na =
a
sin
2
a2sin
1n
1n
+
+
, từ ñó tính :
D = cos
65
π
. cos
65
2
π
. cos
65
32
π

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
3
7. Chứng minh các công thức sau:

a) 4sinx.sin(
3
π
- x)sin(
3
π
+ x) = sin3x b) 4cosx.cos(
3
π
- x)cos(
3
π
+ x) = cos3x
c) tgx.tg(
3
π
- x)tg(
3
π
+ x) = tg3x d) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
a
sin
2
a.2sin
1n
1n
+
+

e) ñể tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)

n
. cos(a +nx).
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x
≠
0.
8. Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng :
a)
oo
oo
15
sin
15
cos
15sin15cos
−
+
=
3
b)
oo
oo
75
sin
75

cos
75cos75sin
+
−
=
3
1

2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x b) B =
x
sin
xcos1
+
[1 +
x
sin
)xcos1(
2
2
−
]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3

x
3. Không dùng bảng số hãy tính:
a) A = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
b) B =
o
10
sin
2
1
- 2sin70
o

c) C = sin
4
16
π
+ sin
4
16
3
π
+ sin
4

16
5
π
+ sin
4
16
7
π
d) D = tg
2
12
π
+ tg
2
12
3
π
+ tg
2
12
5
π

e) E = tg9
o
- tg27
o
- tg63
o
+ tg81

o
. f) F = cos
6
16
π
+ cos
6
16
3
π
+ cos
6
16
5
π
+

cos
6
16
7
π

g) G
1
= sin18
o
.cos18
o
; G

2
= sin36
o
.cos36
o
h) H = cos
7
2
π
+ cos
7
4
π
+ cos
7
6
π

i) I = cos
5
π
+ cos
5
2
π
+ cos
5
3
π
+ cos

5
4
π
k) K = cos
5
π
- cos
5
2
π
f
4. Với a ≠ k
π
(k
∈
Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a =
a
sin
.
32
a32sin
b) cosa.cos2a.cos4a cos2
n
a =
a
sin
2
a2sin
1n

1n
+
+

5. Tính: A = cos20
o
.cos40
o
.cos60
o
.
6. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
7. Tính: A = cos
7
π
. cos
7
4
π
. cos
7
5

π
.
8. Tính: cos
65
π
. cos
65
2
π
. cos
65
4
π
. cos
65
8
π
. cos
65
16
π
. cos
65
32
π
.
9.Tính: sin
18
π
. sin

18
3
π
. sin
18
5
π
. sin
18
7
π
. sin
18
9
π
.
10. Tính: cos
15
π
. cos
15
2
π
. cos
15
3
π
. cos
15
4

π
cos
15
7
π
.
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
4
11. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o
sin85
o
.
12. Tính: 96
3
.sin
48
π
.cos
48
π
. cos
24
π

. cos
12
π
. cos
6
π
.
13. Tính: 16.sin10
o
.sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
.
14. Tính: sin10
o
.sin20
o
.sin30
o
sin80
o
.
15. Tính: cos9
o
. cos27
o
. cos45

o
. cos63
o
. cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
. cos135
o
. cos153
o
. cos171
o
.
16. Tính: A = cos
5
π
+ cos
5
2
π
B = cos
5
π
+ cos
5
3
π

17. Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x. b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x.
c) tgx.tg(
3
π
- x).tg(
3
π
+ x) = tg3x.
Áp dụng tính: A = sin20
o
.sin40
o
.sin80
o
. B = cos10
o

.cos20
o
.cos30
o
cos80
o
.
C = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
.
18. Chứng minh rằng :
a) sin
6
x + cos
6
x =
8
5
+

8
3
cos4x b) tgx =
x

2
sin
x2cos1
−

Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24
π
) + cos
6
(
24
π
) B = tg
2
(
12
π
) + tg
2
(3.
12
π
) + tg
2
(5.
12

π
)
19. Chứng minh rằng:
a) sin
4
x =
x4cos
8
1
x2cos
2
1
8
3
+−
b) sin
8
x + cos
8
x =
35 7 1
cos4x cos8x
64 16 16
+ +

Áp dụng tính: A = sin
8
(
24
π

) + cos
8
(
24
π
) B = sin
4
(
16
π
) + sin
4
(3.
16
π
) + sin
4
(5.
16
π
) + sin
4
(7.
16
π
)
20. Chứng minh rằng:
tg
2
x + tg

2
(
x
3
−
π
) + tg
2
(
x
3
+
π
) = 9tg còn thiếu
21. Tính: cos(
7
2
π
) + cos(
7
4
π
) + cos(
7
6
π
)
22. Tính cos(
5
π

) + cos(
5
2
π
) + cos(
5
3
π
) + cos(
5
4
π
)
23. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tga.tgb.
24. Chứng minh rằng:
00
00
75
cos
75
sin
75cos75sin
+
−
=
3
1

Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức - LT
Tel: 016.55.25.25.99

Số 8/462 đờng Bởi, Ba Đình, HN ĐT:04.62.92.0398
5
DNG 2. CC BI TON TRONG TAM GIC.
I. CC KIN THC C BN.
+ A + B + C =


+
ba

< c < a + b
+ a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
R2
C
sin
c
B
sin
b
A
sin
a
===

+ S =
.r)ap(pr
R
4
abc
Csin.ab
2
1
h.a
2
1
aa
====


)cp)(bp)(ap(p

Trong ủú: p =
2
cba
+
+

r: bỏn kớnh ủng trũn ni tip
r
a
: bỏn kớnh ủng trũn ngoi tip gúc A.
+ nh lý hm tang:

( )
2
2
A B
tg
a b
A B
a b
tg


=
+
+
.

( )
2
( )
2
B C
tg
b c
B C
b c
tg


=
+

+



( )
2
( )
2
A C
tg
a c
A C
a c
tg


=
+
+

+ Cỏc cụng thc tớnh bỏn kớnh:
R =
C
sin
2
c
B
sin
2
b

A
sin
2
a
==

r = (p - a)tg
2
A
= (p - b)tg
2
B
= (p - c)tg
2
C

=
A
2
C
2
B
2
cos
sin.sina
=
B
2
C
2

A
2
cos
sin.sinb
=
C
2
A
2
B
2
cos
sin.sinc


r
a
= p.tg
2
A
= p.tg
2
B
= p.tg
2
C
.
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398

6
=
A
B
C
a
2
2
cos
2
cos.cos
=
B
2
C
2
A
2
cos
cos.cosb
=
C
2
A
2
B
2
cos
cos.cosc

+
ðường trung tuyến :
m
a
2
=
4
a
2
cb
222
−
+


m
b
2
=
4
b
2
ca
222
−
+


m
c

2
=
4
c
2
ab
222
−
+

+
ðường phân giác:
l
a
=
c
b
2
A
cos.bc2
+

l
b
=
c
a
2
B
cos.ac2

+

l
a
=
b
a
2
C
cos.ab2
+

+ Mở rộng ñịnh lí hàm sin và cosin:
CotgA =
s
4
acb
222
−+

CotgB =
s
4
bca
222
−+

CotgC =
s
4

cba
222
−+

II. CÁC ðẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1.
sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3. sin3A + sin3B + sin3C = -4cos
2
A3
. cos
2
B3
. cos
2
C3
.
4. sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2

A
.sin
2
B
.sin
2
C
.
6. cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC.
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Số 8/462 đờng Bởi, Ba Đình, HN ĐT:04.62.92.0398
7
7. cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin
2
A3
. sin
2
B3
. sin
2
C3
.
8. cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C.
9. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC.
10. tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C.
11. cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
12. tg
2
A

. tg
2
B
+ tg
2
B
. tg
2
C
+ tg
2
C
. tg
2
A
= 1
13. cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= cotg
2
A
.cotg
2

B
. cotg
2
C
.
14. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15. cos
2
2A + cos
2
2B + cos
2
2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C.
16.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c

m
=
4
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
17.
la =
c
b
2
A
cos.bc2
+
=
bc
2
)ap.(p.c.b
.
18.
r =
2
A
cos
2

C
sin
2
B
sina
.
19.
p =
r
A B C
4.tg .tg .tg
2 2 2
.
20.
r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
21.
sin
2
A
=
( )( )

p b p c
bc


22.
cos
2
A
=
c.b
)ap.(p

.
23.
tg
2
A
=
)ap(p
)cp)(bp(


.
24.
(
a
1
+
b
1

)l
c
+ (
a
1
+
c
1
)l
b
+

(
c
1
+
b
1
)l
a
= 2(cos
2
A
+ cos
2
B
+ +cos
2
C
).

III. CC BI TON V NG THC TRONG TAM GIC.
1.
Ch

ng minh r

ng di

n tớch tam giỏc cú th

tớnh theo cỏc cụng th

c sau:
S =
)BAsin(.2
Bsin.Asin).ba(
22


=
4
1
(a
2
sin2B + b
2
sin2A) =
= p
2
.tg

2
A
. tg
2
B
.tg
2
C
= 2R
2
.sinA.sinB.sinC.
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
8
2.
Ch
ứ
ng minh các
ñẳ
ng th
ứ
c sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0
b) (b - c)cotg
2
A
+(c - a)cotg
2
B

+ (a - b)cotg
2
C
= 0.
c) (b
2
- c
2
)cotgA + (c
2
- a
2
)cotgB + (a
2
- b
2
)cotgC = 0.
d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (c + b)cosA.
e) sin
2
CB
−
=
a
cb
−
cos
2
A
.

f) cos
2
CB
−
=
a
cb
+
sin
2
A
.
g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2
c
ba
+
sin
2
2
C
.
i)
r
1
=
a
h
1
+

b
h
1
+
c
h
1
.
3.
Tam giác ABC có 2a = b + c ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) 2sinA = sinB + sinC.
b) tg
2
B
. tg
2
C
=
3
1
.
4.
G
ọ
i I là tâm
ñườ

ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác ABC. R, r là bán kính
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p, n
ộ
i
ti
ế
p c
ủ
a tam giác. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2

C
.
b) IA.IB.IC = 4Rr
2
.
c) cosA + cosB + cosC = 1 +
R
r

5.
Các c
ạ
nh a, b, c theo th
ứ
t
ự
l
ậ
p thành c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng công sai c
ủ

a c
ấ
p s
ố

c
ộ
ng
ñ
ó
ñượ
c xác
ñị
nh theo công th
ứ
c sau: d =
2
3
r(tg
2
C
- tg
2
A
)
6
. Tam giác ABC có hai
ñườ
ng trung tuy
ế

n BM và CN vuông góc. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: b
2
+ c
2

= 5a
2
.
7.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a
l
2
A
cos
+
b
l
2
B
cos

c
l
2
C
cos
=
a
1


+
b
1
+
c
1
.
8.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các trung tuy
ế
n AA' và BB' vuông góc v
ớ
i nhau khi: cotgC = 2(cotgA +
cotgB).

9
. Cho
b
c
=
c
b
m
m
≠
1 ch
ứ
ng minh r
ằ
ng : 2cotgA = cotgB + cotgC.
10
. Cho tam giác ABC và AM là trung tuy
ế
n. g
ọ
i α =
AMB
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) cotgα =
s
4

cb
22
−
.
b) 2cotgα = cotgC - cotgB.
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
9
c) 2cotg
α =
C
B
CB
sin
sin
)sin( −

11.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
b
c
là nghi
ệ
m c
ủ

a ph
ươ
ng trình:
(1 + x
2
-2xcosA)(b
2
- bc) = a
2
(1 - x).
12.
Tam giác có 3 c
ạ
nh l
ầ
n l
ượ
t là: (x
2
+2); (x
2
- 2x +2);
(x
2
+ 2x + 2). V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ

a x(d
ươ
ng) thì tam giác
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i.
13
. Cho m
a
= c. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) bcosC = 3cosB.
b) tgB = 3tgC.
c) sinA = 2sin(B - C).
14.
G
ọ
i H là tr
ự
c tâm tam giác ABC. H chia
ñườ
ng cao xu
ấ
t ph

ấ
t t
ừ
A theo t
ỉ
s
ố
k cho tr
ướ
c.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng :
a) tgB.tgC = 1 + k.
b) tgB + tgC = ktgA
c) cos(B - C) = ( 1 +
k
2
)cosA.
15.
Cho tam giác ABC có các c
ạ
nh a, b, c theo th
ứ
t
ự
l
ậ

p thành c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng : cotg
2
A
cotg
2
C
= 3.
16.
Tam giác ABC th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n: tgA.tgB = 6;
tgC
tgA

=3. Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng: tgA, tgB, tgC
theo th
ứ
t
ự

ñ
ó l
ậ
p 1 c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng.
17.
Tam giác ABC có cotg
2
A
, cotg
2
B
, cotg

2
C
theo th
ứ
t
ự
l
ậ
p m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng : a, b, c theo th
ứ
t
ự
c
ũ
ng l
ậ
p m

ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng.
18
. Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo th
ứ
t
ự
l
ậ
p m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng a
2

, b
2
, c
2
theo th
ứ
t
ự

ñ
ó c
ũ
ng l
ậ
p m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng.
19.
Cho tam giác ABC th
ỏ
a mãn: 2tgA = tgB + tgC. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng :
a) tgB.tgC = 3.
b) cos(B- C) = 2cosA.
20.

ð
H M
Ỏ
- 01
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng không t
ồ
n t
ạ
i tam giác mà c
ả
3 góc trong c
ủ
a nó
ñề
u là nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ

ng trình:
0)6x2sin
2
1
xsin7)(1xcos4(
2
=−−−

21
. Ch
ứ
ng minh n
ế
u trong tam giác ABC có:
sin
2
A
= sin
2
B
.sin
2
C
thì tg
2
B
. tg
2
C
=

2
1
và ng
ượ
c l
ạ
i.

22.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u a + b = 2c thì a
2
= bc + c
2

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
10
23
Trong tam giác ABC có
ñườ
ng cao CE c
ắ
t

ñườ
ng cao AD t
ạ
i trung
ñ
i
ể
m H c
ủ
a AD.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tgB.tgC = 2.

24
. Cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A c
ạ
nh huy
ề
n có
ñộ
dài b
ằ
ng a.
Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng: sin
2
B
.sin
2
C
= l
b
.
2
c
a
4
l

25.
Cho tam giác vuông ABC t
ạ
i A. G
ọ
i I là góc gi
ữ
a
ñườ
ng cao và
ñườ
ng trung tuy
ế

n
ứ
ng
v
ớ
i c
ạ
nh huy
ề
n. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
tg
2
I
= tg
2
CB
−


26.
Cho tam giác ABC có trung tuy
ế
n AM = BA ch
ứ
ng minh r
ằ

ng:
tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C)

IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi:
1. atgA + btgB = (a+b)tg
2
BA
+

2. 2tgB + tgc = tg
2
B.tgC.
3.
)tgBtgA(
2
1
B
cos
A
cos
BsinAsin
+=
+
+

4.
)BgcotAg(cot
2
1

B
sin
A
sin
BcosAcos
22
22
22
+=
+
+

5.
C
sin
Bsin.Asin2
2
C
gcot
=

6. sin
2
A
cos.
2
B
sin
2
B

cos.
2
A
33
=

7. (p - b)cotg
2
B
tg.p
2
C
=

8.
22
ca4
ca2
Bsin
Bcos1
−
+
=
+

9
. a
2
sin2B +b
2

sin2A=c
2
cotg
2
C

10.
a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11
.
sin
2
A
cos.
2
B
sin
2
B
cos.
2
A
33
=

12.

ð
HSP B
Ắ

C NINH -B -99
a = 2b.cosC. Ch
ứ
ng minh ∆ ABC cân t
ạ
i A.
B.Tam giác ABC có ñặc ñiểm gì nếu :

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
11
1
.
tgC
tgB
Csin
Bsin
2
2
=

2.
(b
2
+ c
2
)sin(C - B) = (C
2
- B

2
)sin(B - C)


3.

B
2
cos
1
)CBcos(1
.2
b
)cb(
2
2
−
−−
=
−

4.
sin(B - C)=
2
22
a
cb −

V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A

. Ch
ứ
ng minh
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ

ñể
tam giác vuông là:
1
. cos2a + cos2B + cos2C = -1
2.
tg2A + tg2B + tg2C = 0
3
. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B
. Ch
ứ
ng minh tam giác vuông khi:
1
.
C
sin
.

B
sin
a
C
cos
c
B
cos
b
=+


2.
cotg
2
B
=
b
ca
+


3.

)bc(
b
c
a
gAcot
A

sin
1
≠
−
=+


4.

a
cb
gAcot
A
sin
1
+
=+

5.
cotg2C =
)gBcotgC(cot
2
1
−

6
.
tgB
)BCsin(Asin
)CBcos(

=
−+
−

7
.
tgA
A
cos
B
sin
BcosAsin
=
+
+


8.
sin
2
B
=
a2
ca −

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
12

9.
cos
a2
ac
2
B +
=


10.
tg
ac
ac
2
B
+
−
=


11.
cos(B - C) =
2
a
bc2


12
. S =
B2sina

4
1
2


13.

Ccos.Bcos.Asin
C
cos
1
B
cos
1
CsinBsin
=
+
+


14.
1 + cotg(45
0
- B) =
gAcot1
2
−

15
. sin

4
C + 2sin
4
A + 2sin
4
B = 2sin
2
C(sin
2
A + sin
2
B)

16
. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
17.
(
ð
HC
ð
- 99)
cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C.
Tam giác ABC có
ñặ
c
ñ
i
ể
m gì khi th

ỏ
a mãn các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau.

1.
sin3A + sin3B + sin3C = 0

2
. sin4A + sin4B + sin4C = 0

3.
sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4
. a
3
= b
3
+ c
3


5.
c = ccos2B + bsin2B
6.
(1+cotgA)(1 + cotgB) = 2

7
. sin
2
A + sin
2
B =5sin
2
C
8
.
a
l
1
c
1
b
1
=+


9.
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99

Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
13
10.
cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≤ 1

VI. BẤT ðẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
a
. Hàm l
ồ
i lõm.
+ Tính ch
ấ
t hàm l
ồ
i:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21
+

≤
+
∀x, y ∈ R
+ tính ch
ấ
t hàm lõm:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21
+
≥
+


Ứ
ng d
ụ
ng 1: Xét hàm s
ố
y = sinx có y
"
= -sinx. N
ế
u x ∈ [0, π]
Còn thi
ế

u
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Ch
ứ
ng minh các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c sau:
1
. sinA + sinB +sinC ≤
2
33

2.
1 < sin
2
A
+ sin
2
B
+ sin
2
C
≤
2
3

3.
1 < cosA + cosB + cosC ≤
2
3

4
. Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C
≥

4
9

5.
2 < cos
2
2
A
+ cos
2
2
B
+ cos
2
2

C
≤
4
9

6.

4
3
≤ sin
2
2
A
+ sin
2
2
B
+ sin
2
2
C
< 1.
7
. sin
2
A
. sin
2
B
. sin

2
C
≤
8
1

8.
sinA.sinB.sinC ≤
3
33

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
14
9
. cosA.cosB.cosC ≤
8
1

10.
cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C

≤
3
33

11
. 1 + cosA.cosB.cosC
≥

3
.sinA.sinB.sinC
12
.
A
cos
1
+
B
cos
1
+
C
cos
1

≥
6
13
.
2
A

sin
1
+
2
B
sin
1
+
2
C
sin
1

≥
6
14
.
C
sin
B
sin
A
sin
Csin.Bsin.Asin.2
++
≤
33
1

15.

(1 +
A
sin
1
).(1 +
B
sin
1
).(1 +
C
sin
1
)
≥
5 +
9
326

16. (
1 +
A
sin
1
).(1 +
B
sin
1
).(1 +
C
sin

1
).(1 +
A
cos
1
)(1 +
B
cos
1
)(1 +
c
cos
1
)
≥
135 + 78
3

17
. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C

≥

3

18
. tg
2
2
A
+ tg
2
2
B
+ tg
2
2
C

≥
1
19.
tgA + tgB + tgC
≥
3
3
. V
ớ
i ∆ABC nh
ọ
n.
20

. tg
2
A + tg
2
A + tg
2
A
≥
9. V
ớ
i ∆ABC nh
ọ
n.
21.
tg
2
A
. tg
2
B
. tg
2
C

≥

33
1

22.

cos
3
A + cos
3
A +

cos
3
A ≤
4
9
+
4
1
(cos3A + cos3B + cos3C).
23.
36r
2
≤ ab + bc + ca ≤ 9R
2
.

24
. (a + b + c)(h
a
+ h
b
+ h
c
)

≥
18S.
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
15
25.
h
a
+ h
b
+ h
c

≥
9r (
r
1
=
a
h
1
+
b
h
1
+
c
h
1

)

26.
(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc
27.
a
2
(b + c - a) + b
2
(a + c - b) + c
2
(a + b - c) ≤ 3abc.
28
. a(b
2
+ c
2
- a
2
) + b(a
2
+ c
2
- b
2
) + c(a
2
+ b
2
- c

2
) ≤ 3abc
29.
a(b - c)
2
+ b(c - a)
2
+ c(a - b)
2
+ 3abc
≥
a
3
+ b
3
+ c
3

30.

c
l
ab
+
a
l
bc
+
b
l

ac
≤ 6R.
31
.
a
r
1
+
b
r
1
+
c
r
1

≥
3
3
2
abc)cba(r
R4
++

32
.
2
a
m
+

2
b
m
+
2
c
m

≥

3
s

33.
a
4
+ b
4
+ c
4

≥
16S
2
.
34
. tg
2
A
+ tg

2
B
+ tg
2
C
+ cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C

≥
4
3

35.
a
2
+ b
2
+ c
2

≥
4S
3

36
. a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2

≥
16S
2
.
Ch
ứ
ng minh ∆ABC
ñề
u khi th
ỏ
a mãn các
ñ
i
ề
u ki

ệ
n sau:
1.
R = 2r
2. S =
3
2
R
2
(sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C)
3
.
A
sin
c
C
sin
b
B
sin
a
Ccos.cBcosbAcosa
++
+

+
=
R
9
p2






=
=
−+
−+
Ccosb2a
a
acb
acb
.4
2
333

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
16
5
.








=
−−
−−
=
4
3
Csin.Bsin
cba
cba
a
333
2

6.








−−
−−

=
=
cba
cba
a
4
1
Ccos.Bcos
333
2

7.
A, B, C là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình: tgx - tg
2
x
=
3
32

8.
2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c
9.
sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
10.

cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0
11.
cotg
2
A + cotg
2
B + cotg
2
C = 1
12
.
c
b
a
Ccos.cBcosbAcosa
++
+
+
=
2
1

13.

CsinBsinAsin
CcosBcosAcos
++
+
+
= 3.cotgA.cotgB.cotgC. V

ớ
i ∆ABC nh
ọ
n <TBS>
14.




≥+
≥
+
Ccos2BcosAcos
Csin2BsinAsin

15.
3tg
2
A + tg
2
B + tg
2
C = tg
2
A. tg
2
B. tg
2
C
16

.
A
sin
1
2
+
B
sin
1
2
+
C
sin
1
2
=
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin2
1

17. cotg
2
A

+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= tgA + tgB + tgC.
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:
cotg
2
A
+ cotg
2
B
cotg
2
C
= 9
Chứng minh tam giấc ABC là tam giác ñều.
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99
Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
17
19. (ðH Dược - 99)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2
1
c
b
a

Ccos.cBcos.bAcos.a
=
++
+
+

(A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tam giác ABC là
tam giác ñều.
20. (HVKTQS - 99)
Chứng minh ñể tam giác ñều, ñiều kiện cần và ñủ là:
p + R = (2 + 3
3
).r
21. (ðH Thủy Lợi - 99)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2cosA.sinB.sinC +
3
(sinA + cosB + cosC) =
4
17

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.
22. (ðHNT - 99)
Các góc của tam giác ABC thỏa mãn:
cotgA + cotgB + cotgC = tg
2
A
+ tg
2
B

+ tg
2
C

Chứng minh tam giác ABC ñều.
23. (HVKKTMM - 99)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn ñiều kiện:
sinA + sinB + sinC =sin2A + sin2B + sin2C
thì tam giác ABC là tam giác ñều.
24. (Sỹ Quan - 99)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn ñiều kiện:

3
333
a
c
b
a
cba
=
−−
−−
và cosB.cosC =
4
1
thì tam giác ñó là tam giác ñều.
25. (ðHAN - 99)
Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT
Tel: 016.55.25.25.99

Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398
18

2
C
sin
1
2
B
sin
1
2
A
sin
1
Ccos
1
Bcos
1
Acos
1
++=++
Chứng minh tam giác ABC là tam giác ñều.
26. (CðSP Bắc Ninh - 99)
Chứng minh nếu tam giác ABC thỏa mãn ñiều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC ñều.
27. ðHSPHN - A - 01
Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:
C
cos

.
B
cos
.
A
cos
.
2
1
C
2
sin
1
B
2
sin
1
A
2
sin
1
222
=++

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác ñều.
28. ðHSPHN - B - 01
Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác ñó thỏa mãn hệ thức: cos2A
+
3
(cos2B + cos2C) +

2
5
= 0
29. ðHSP VINH - D - 01
Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
30. ðHBK - A - 01
Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn bán kính bằng 1. Gọi ma, mb, mc lần lượt là ñộ
dài các ñường trung tuyến kẻ từ các ñỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam
giác ABC là tam giác ñều khi và chỉ khi:

sin sin sin
3
a b c
A B C
m m m
+ + =

31. (ðHBK - 99)
Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể
tam giác ABC ñều là có hệ thức.

1 1 1
(cot cot cot ) 3
sin sin sin
gA gB gC
A B C
+ + − + + =