chuyên đề dãy số theo quy luật

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (176.3 KB, 12 trang )

Dãy số có qui luật
I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a
1
+ a
2
+ a
n
(1)
Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả).
Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc .
Ví dụ 1 : Tính tổng S

n
=1+3+5 + + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S
1
= 1
S
2
= 1 + 3 =2
2

S
3

= 1+ 3+ 5 = 9 = 3
2

Ta dự đoán Sn = n
2

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng
giả sử với n= k ( k

1) ta có S
k

= k
2
(2)
ta cần phải chứng minh S
k
+ 1 = ( k +1 )
2
( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 + + (2k 1) + ( 2k +1) = k
2
+ (2k +1)

vì k
2
+ ( 2k +1) = ( k +1)
2
nên ta có (3) tức là S
k+1
= ( k +1)
2

theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh vậy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n
2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + + n =
2
)1( +nn
2, 1
2
+ 2
2
+ + n
2
=
6

)12)(1( ++ nnn
3, 1
3
+2
3
+ + n
3
=
2
2
)1(

+nn
4, 1
5
+ 2
5
+ + n
5

=
12
1
.n
2
(n + 1)
2
( 2n
2
+ 2n 1 )
II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a

i
, i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp
của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a
1
= b
1
- b
2

a
2
= b

2
- b
3

1
a
n
= b
n
b
n+ 1

khi đó ta có ngay : S
n
= ( b
1
b
2
) + ( b
2
b
3
) + + ( b
n

b
n + 1
) = b
1
b
n + 1

Ví dụ 2 : tính tổng : S =
100.99
1

13.12

1
12.11
1
11.10
1
++++
Ta có :
11
1
10
1
11.10

1
=
,
12
1
11
1
12.11
1
=
,
100

1
99
1
100.99
1
=
Do đó : S =
100
9
100
1
10

1
100
1
99
1

12
1
11
1
11
1

10
1
==+++
Dạng tổng quát S
n
=
)1(
1

3.2
1
2.1

1
+
+++
nn
( n > 1 ) = 1-
11
1
+
=
+ n
n
n

Ví dụ 3 : tính tổng S
n
=
)2)(1(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1

++
++++
nnn
Ta có S
n
=

++

+
++

+

)2)(1(
1
)1(
1

2
1

4.3
1
3.2
1
2
1
3.2
1
2.1

1
2
1
nnnn
S
n
=

++

+
+++
)2)(1(
1
)1(
1

4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S

n
=
)2)(1(4
)3(
)2)(1(
1
2.1
1
2
1
++
+

=

++

nn

nn
nn
Ví dụ 4 : tính tổng S
n
= 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n! ( n! = 1.2.3 n )
Ta có : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!

n.n! = (n + 1) n!
Vậy S
n

= 2! - 1! +3! 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng S
n
=
[ ]
222
)1(
12

)3.2(
5
)2.1(

3
+
+
+++
nn
n
Ta có :
[ ]
;
)1(
11
)1(

12
222
+
=
+
+
ii
ii
i
i = 1 ; 2 ; 3; ; n
Do đó S
n

= ( 1-

+
++

+
22222
)1(
11

3
1

2
1
)
2
1
nn
= 1-
22
)1(
)2(
)1(
1

+
+
=
+ n
nn
n
III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+2
2
+ + 2
100
( 4)

ta viết lại S nh sau : S = 1+2 (1+2+2
2
+ + 2
99
)
2
S = 1+2 ( 1 +2+2
2
+ + 2
99
+ 2
100

- 2
100
) => S= 1+2 ( S -2
100
) ( 5)
Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2
101
. VËy S = 2
101
-1
VÝ dô 7 : tÝnh tæng S
n

= 1+ p + p
2
+ p
3
+ + p
n
( p
≠
1)
Ta viÕt l¹i S
n
díi d¹ng sau : S

n
= 1+p ( 1+p+p
2
+ + p
n-1
)
S
n
= 1 + p ( 1+p +p
2
+ + p
n-1

+ p
n
–p
n
) =>S
n
= 1+p ( S
n
–p
n
)
 S

n
= 1 +p.S
n
–p
n+1
=>S
n
( p -1 ) = p
n+1
-1 =>S
n
=

1
1
1
−
−
+
p
P
n

VÝ dô 8 : TÝnh tæng S
n

= 1+ 2p +3p
2
+ + ( n+1 ) p
n
, ( p
≠
1)
Ta cã : p.S
n

= p + 2p
2

+ 3p
3
+ + ( n+ 1) p
n +1

= 2p –p +3p
2
–p
2
+ 4p
3
–p

3
+ + (n+1) p
n
- p
n
+ (n+1)p
n
–p
n
+ ( n+1) p
n+1
= ( 2p + 3p

2
+4p
3
+ +(n+1) p
n
) – ( p +p + p + p
n
) + ( n+1) p
n+1
= ( 1+ 2p+ 3p
2
+4p

3
+ + ( n+1) p
n
) – ( 1 + p+ p
2
+ + p
n
) + ( n +1 ) p
n+1
p
.
S

n
=S
n
-

1
1
)1(
1
1
+
+

++
−
−
n
n
Pn
P
P
( theo VD 7 )
L¹i cã (p-1)S
n
= (n+1)p

n+1

-
1
1
1
−
−
+
P
p

n
=>S
n
=
2
11
)1(
1
1
)1(
−
−

−
−
+
++
P
p
p
Pn
nn
IV > Ph ¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tæng ®· biÕt
• C¸c kÝ hiÖu :
n

n
i
i
aaaaa ++++=
∑
=

321
1
• C¸c tÝnh chÊt : 1,
∑ ∑ ∑
= = =

+=+
n
i
n
i
n
i
iiii
baba
1 1 1
)(
; 2,

∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
aaaa
11
.

VÝ dô 9 : TÝnh tæng : S
n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1)
Ta cã : S
n
=
∑∑ ∑∑
== ==
+=+=+
n
i
n

i
n
i
n
i
iiiiii
11 1
22
1
)()1(

V× :

6
)12)(1(
2
)1(
321
1
2
1
++
=
+
=++++=

∑
∑
=
=
nnn
i
nn
ni
n
i
n
i

(Theo I )
cho nªn : S
n
=
3
)2)(1(
6
)12)(1(
2
)1( ++
=
++

+
+ nnnnnnnn
VÝ dô 10 : TÝnh tæng : S
n
=1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1)
ta cã : S
n
=
∑ ∑
= =
−=−
n

i
n
i
iiii
1 1
2
)3()13(
=
∑∑
===
−
n

i
n
i
ii
11
2
3
Theo (I) ta cã : S
n
=
)1(
2

)1(
6
)12)(1(3
2
+=
+
−
++
nn
nnnnn
3
Ví dụ 11 . Tính tổng S

n
= 1
3+
+2
3
+5
3
+ + (2n +1 )
3

ta có : S
n

= [( 1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+ +(2n+1)
3
] [2
3

+4
3
+6
3
+ +(2n)
3
]
= [1
3
+2
3
+3

3
+4
3
+ + (2n +1 )
3
] -8 (1
3
+2
3
+3
3
+4

3
+ + n
3
)
S
n
=
4
)1(8
4
)22()12(
2222

+

++ nnnn
( theo (I) 3 )=( n+1)
2
(2n+1)
2
2n
2
(n+1)
2

= (n +1 )
2
(2n
2
+4n +1)
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 )
Cơ sở lý thuyết :
+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta
dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối số đầu 0) : ( khoảng cách ) + 1
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta
dùng công thức: Tổng = ( số đầu số cuối ) .( số số hạng ) :2

Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132
Số số hạng của A là : ( 132 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607
Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 + + 2005 +2009
số số hạng của B là ( 2009 1 ) : 4 + 1 = 503
B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm toán
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )
Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)
Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) (k-1) k(k+1) = k( k+1)
[ ]
)1()2( + kk

= k (k+1) .3 = 3k(k+1)
Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1).
3
)1()2( + kk
=
3
)1)(1(
3
)2)(1( +

++ kkkkkk

*
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) (k-1) k(k+1)
=> 1.2 =
1.2.3 0.1.2
3 3

2.3.4 1.2.3
2.3
3 3

( 1)( 2) ( 1) ( 1)

( 1)
3 3
n n n n n n
n n
=
+ + +
+ =
4
S =
1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
3 3 3
n n n n n n + + + +

+ =
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2)
[ ]
)1()3( + kk
= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rút ra : k(k+1) (k+2) =
4
)2)(1()1(
4
)3)(2)(1( ++

+++ kkkkkkkk
áp dụng : 1.2.3 =
4
3.2.1.0
4
4.3.2.1

2.3.4 =
4
4.3.2.1
4

5.4.3.2

n(n+1) (n+2) =
4
)2)(1()1(
4
)3)(2)(1( ++

+++ nnnnnnnn
Cộng vế với vế ta đợc S =
4

)3n)(2n)(1n(n +++
* Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202
2, a, A = 1+2 +2
2
+2
3
+ + 2
6.2
+ 2
6 3

b, S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
99

+ 5
100

c, C = 7 + 10 + 13 + + 76
3, D = 49 +64 + 81+ + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,
5, S =
100.99
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++

6, S =
61.59
4

9.7
4
7.5
4
+++
7, A =
66.61
5

26.21
5
21.16
5
16.11
5
++++
8, M =
2005210
3
1

3
1
3
1
3
1
++++
9, S
n
=
)2)(1(

1

4.3.2
1
.3.2.1
1
++
+++
nnn
10, S
n
=

100.99.98
2

4.3.2
2
3.2.1
2
+++
11, S
n
=
)3)(2)(1(

1

5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++
+++
nnnn
5
12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9
50 chữ số 9

13, Cho: S
1
= 1+2 S
3
= 6+7+8+9
S
2
= 3+4+5 S
4
= 10 +11 +12 +13 + 14
Tính S
100

=?
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính
tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820
c, 1 +
1991
1989
1
)1(
2

10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan
15, Chứng minh : a, A = 4+ 2

2
+2
3
+2
4
+ + 2
20
là luỹ thừa của 2
b, B =2 + 2
2
+ 2
3

+ + 2
60

3 ; 7; 15
c, C = 3 + 3
3
+3
5
+ + 3
1991

13 ; 41
d, D = 11
9
+ 11
8
+11
7
+ + 11 +1

5
Chuyên đề 1 : dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật

(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
na
1
a
1
n)a.(a
n
+
=
+
- - - Chứng minh - - -
naanaa

a
naa
na
naa
ana
naa
n
+
=
+

+

+
=
+
+
=
+
11
).().().(
)(
).(
Bài 1.1 : Tính
a)

2009.2006
3

14.11
3
11.8
3
8.5
3
++++=A
b)
406.402

1

18.14
1
14.10
1
10.6
1
++++=B
c)
507.502
10

22.17
10
17.12
10
12.7
10
++++=C
d)
258.253
4

23.18
4
18.13
4
13.8
4
++++=D
Bài 1.2 : Tính:
6
a)
509.252
1

19.7
1
7.9
1
9.2
1
++++=A
b)
405.802
1

17.26
1
13.18
1
9.10
1
++++=B
c)
405.401
3
304.301
2

13.9
3
10.7
2
9.5
3
7.4
2
+++=C
Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)

8
5
120
1

21
1
15
1
10
1
2008

=
x
b)
45
29
45.41
4

17.13
4
13.9
4

9.5
47
=+++++
x
c)
93
15
)32)(12(
1

9.7
1

7.5
1
5.3
1
=
++
++++
xx
Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
46)23)(13(
1

11.8
1
8.5
1
5.2
1
+
=
+
++++
n

n
nn
b)
34
5
)34)(14(
5

15.11
5
11.7
5

7.3
5
+
=
+
++++
n
n
nn
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi
2; nNn
ta có:

15
1
)45)(15(
3

24.19
3
19.14
3
14.9
3
<

+
++++
nn
Bài 1.6 : Cho
403.399
4

23.19
4
19.15
4
+++=A

chứng minh:
80
16
81
16
<< A
Bài 1.7 : Cho dãy số :
;
25.18
2
;
18.11

2
;
11.4
2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Bài 1.8 : Cho
2222
9
1

4

1
3
1
2
1
++++=A
. Chứng minh
9
8
5
2
<< A

Bài 1.9 : Cho
2222
2007
2

7
2
5
2
3
2
++++=A

. Chứng minh:
2008
1003
<A
Bài 1.10 : Cho
2222
2006
1

8
1
6

1
4
1
++++=B
. Chứng minh:
2007
334
<B
Bài 1.11 : Cho
222
409
1

9
1
5
1
+++=S
. Chứng minh:
12
1
<S
Bài 1.12 : Cho
2222

305
9

17
9
11
9
5
9
++++=A
. Chứng minh:
4

3
<A
Bài 1.13 : Cho
2
201
202.200

49
48
25
24
9

8
++++=B
. Chứng minh:
75,99>B
Bài 1.14 : Cho
1764
1766

25
27
16
18

9
11
++++=A
. Chứng minh:
21
20
40
43
20
40 << A
7
∗ Bµi 1.15 : Cho

100.98
99

6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
22222

+++++=B
. T×m phÇn nguyªn cña B.
∗ Bµi 1.16 : Cho
2500
2499

16
15
9
8
4
3

++++=C
. Chøng minh C > 48
∗ Bµi 1.17 : Cho
59 321
1

4321
1
321
1
++++
++

+++
+
++
=M
. Chøng minh
3
2
<M
∗ Bµi1.18 : Cho
100.99
101.98

5.4
6.3
4.3
5.2
3.2
4.1
++++=N
. Chøng minh 97 < N < 98.
• Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:
)2)((
1
)(

1
)2) ((
2
nananaananaa
n
++
−
+
=
++
Chøng minh:
)2)((

1
)(
1
)2)(()2)((
2
)2)((
)2(
)2)((
2
nananaananaa
a
nanaa

na
nanaa
ana
nanaa
n
++
−
+
=
++
−
++

+
=
++
−+
=
++
)3)(2)((
1
)2)((
1
)3)(2)((
3

nananananaanananaa
n
+++
−
++
=
+++
∗ Bµi 1.19 : TÝnh
39.38.37
2

4.3.2

2
3.2.1
2
+++=S
∗ Bµi 1.20 : Cho
20.19.18
1

4.3.2
1
3.2.1
1

+++=A
. Chøng minh
4
1
<A
∗ Bµi 1.21 : Cho
29.27.25
36

7.5.3
36
5.3.1

36
+++=B
. Chøng minh B < 3
∗ Bµi 1.22 : Cho
308.305.302
5

14.11.8
5
11.8.5
5
+++=C

. Chøng minh
48
1
<C
∗ Bµi 1.23 : Chøng minh víi mäi n
∈
N; n > 1 ta cã:
4
11

4
1

3
1
2
1
3333
<++++=
n
A
∗ Bµi 1.24 : TÝnh
30.29.28.27
1

5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++=M
∗ Bµi 1.25 : TÝnh
100.99
1

6.5
1
4.3

1
2.1
1
100
1

52
1
51
1
++++
+++

=P
Bµi 1.26: TÝnh:
2007.2005
1004.1002

)12)(12(
)1)(1(

9.7
5.3
7.5
4.2

5.3
3.1
++
+−
+−
++++=
nn
nn
Q
Bµi 1. 27: TÝnh:
2007.2005
2006

5.3
4
4.2
3
3.1
2
2222
++++=R
8
Bài 1.28: Cho
12005

2

12005
2

12005
2
12005
2
12005
2
20052

2
2006
2
1
2
3
2
2
+
++
+
++

+
+
+
+
+
=
+
n
n
S
So sánh S với
1002

1
Hng dn:
1k
m2
1k
m
1k
m
1k
m2
)1k)(1k(
mmkmmk

1k
m
1k
m
22

=
+

=
+
++
=
+

p dng vo bi toỏn vi m {2; 2 , ., 2 } v
k { 2005, 2005 ,
2006
2
2005

} ta cú:
12005
2
12005
2
12005
2
2
2

=
+
12005
2
12005
2
12005
2
2
2
3
2

2
2
2

=
+

(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa

n
a
1
với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính :
10032
2
1

2
1
2
1
2
1
++++=A
Bài 2.2: Tính:
10099432
2
1

2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
+++=B

Bài 2.3: Tính:
9953
2
1

2
1
2
1
2
1
++++=C

Bài 2.4: Tính:
581074
2
1

2
1
2
1
2
1
2

1
++=D
Bài 2.5: Cho
n
n
A
3
13

27
26
9

8
3
2
++++=
. Chứng minh
2
1
> nA
Bài 2.6: Cho
98
98
3

13

27
28
9
10
3
4 +
++++=B
. Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho
9932

4
5

4
5
4
5
4
5
++++=C
. Chứng minh:
3

5
<C
Bài 2.8: Cho
22222222
10.9
19

4.3
7
3.2
5
2.1

3
++++=D
. Chứng minh: D < 1.
9
Bài 2.9: Cho
10032
3
100

3
3
3

2
3
1
++++=E
. Chứng minh:
4
3
<E
Bài 2.10: Cho
n
n
F

3
13

3
10
3
7
3
4
32
+
++++=

với n

N
*
. Chứng minh:
4
11
<F
Bài 2.11: Cho
10032
3
302

3
11
3
8
3
5
++++=G
. Chứng minh:
2
1
3

9
5
2 << G
Bài 2.12: Cho
10032
3
601

3
19
3
13

3
7
++++=H
. Chứng minh:
5
9
7
3 << H
Bài 2.13: Cho
10032
3
605

3
23
3
17
3
11
++++=I
. Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho
10132
3

904

3
22
3
13
3
4
++++=K
. Chứng minh:
4
17

<K
Bài 2.15: Cho
10032
3
403

3
15
3
11
3
7

++++=L
. Chứng minh: L < 4,5.
(3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: Tính:
2500
2499

25
24
.
16
15

.
9
8
=A
.
Bài 3.2: Cho dãy số:
,
35
1
1,
24
1

1,
15
1
1,
8
1
1,
3
1
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 3.3: Tính:

780
1
1
15
1
1
10
1
1
6
1
1

3
1
1B
.
Bài 3.4: Cho
200
199

6
5
.
4

3
.
2
1
=C
. Chứng minh:
201
1
2
<C
Bài 3.5: Cho
100

99

6
5
.
4
3
.
2
1
=D
. Chứng minh:

10
1
15
1
<< D
Bài 3.6: Tính:

+

+

+

+= 1
99
1

1
4
1
1
3
1
1
2
1
E
Bài 3.7: Tính:

= 1
100
1
1
4
1
1
3
1
1

2
1
F
.
Bài 3.8: Tính:
2222
30
899

4
15
.

3
8
.
2
3
=G
.
10
Bµi 3.9: TÝnh:
64
31
.

62
30

10
4
.
8
3
.
6
2
.

4
1
=H
.
Bµi 3.10: TÝnh:
1000 0 01 100000001.10001.101
/12
 
sc
n
I
−

=
Bµi 3.11: Cho






−







−






−







−= 1
100
1
1
4
1
1

3
1
1
2
1
2222
K
. So s¸nh K víi
2
1−
Bµi 3.12: So s¸nh







−







−






−







−=
20
1
1
4
1
1
3
1
1

2
1
1L
víi
21
1
Bµi 3.13: So s¸nh







−






−







−






−=
100

1
1
16
1
1
9
1
1
4
1
1M
víi

19
11
Bµi 3.14: TÝnh:
51.49
50

5.3
4
.
4.2
3
.

3.1
2
2222
=N
Bµi 3.15: TÝnh






−







−







−






−=
7
10
1

7
3
1
7
2
1
7
1
1P
.
Bµi 3.16: TÝnh:







−







−






−







−=
2007
2
1
7
2
1
5
2
1

3
2
1Q
Bµi 3.17: TÝnh:






−







−







−






−=
99
1
2
1

7
1
2
1
5
1
2
1
3
1
2

1
T
Bµi 3.18: So s¸nh:
40 23.22.21
39 7.5.3.1
=U
vµ
12
1
20
−
=V

Bµi 3.19: Cho






+







+






+







+=
101.99
1
1
5.3
1
1
4.2

1
1
3.1
1
1V
. Chøng minh V < 2.
Bµi 3.20: Cho
199
200

5
6

.
3
4
.
1
2
=S
. Chøng minh:
400201
2
<< S
Bµi 3.21: Cho

210
208

12
10
.
9
7
.
6
4
.

3
1
=A
. Chøng minh:
25
1
<A
Bµi 3.22: TÝnh:
101.100
100

4.3

3
.
3.2
2
.
2.1
1
2222
=B
Bµi 3.23: TÝnh:







+






+







+







+






+







+






+







+
=
1999
1000
1
3
1000

1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1
3
1999

1
2
1999
1
1
1999
1
C
Bµi 3.24: TÝnh:









−
−







−






−







−=
2
)12(
1
1
25
4
1
9

4
1
1
4
1
n
D
, víi n
∈
N,
1≥n
11

Bài 3.25: Cho

++++

++

+

=
n
E
321
1
1
321
1
1
21
1
1

và
n
n
F
2+
=
với n

N
*
. Tính

F
E
Bài 3.26: Cho

+

+

+

+=
1024
2
1
1
256
1
1
16
1
1

4
1
1
2
1
1G
và
2047
2
1
=H
. Tính: G + H.

Bài 3.27: Cho
n
nn
I
2
22
2
2)12)(12(

65536
2257.255
.

256
217.15
.
16
25.3
.
4
23.1 ++++++
=
với n

N.

Chứng minh:
3
4
<I
Bài 3.28: Cho dãy số:
;
3
1
1;
3
1
1;

3
1
1;
3
1
1;
3
1
1
16842
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh

A23
1

là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của
A
B
23
3

=
Bài 3.29: Cho

n
nn
A
2
22
42
6
23

6
97
.

6
13
.
6
5 +
=
và
12
1
6
1

+
=
n
B
với n

N
a) Chứng minh :
B
A
M =
là số tự nhiên ; b) Tìm n để M là số nguyên tố.

Bài 3.30: Cho
n
n
A
2
2
42
3
16

3
1297

.
3
37
.
3
7 +
=

+

+

+

+=
n
B
2
842

3
1
1
3
1
1.
3
1
1
3
1
1

3
1
1
với n

N
a) Chứng minh : 5A 2B là số tự nhiên.
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A 2B chia hết cho 45.
Bài 3.31: Cho
n
nn
A

2
22
42
3
23

3
97
.
3
13
.

3
5 +
=
.( với n

N ) Chứng minh: A < 3.
(4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: Tính:
99.98 4.33.22.1
)98 321( )321()21(1
++++
+++++++++++

=
A
12
Bµi 4.2: TÝnh:
99.98 4.33.22.1
1.98 96.397.298.1
++++
++++
=
B
Bµi 4.3: TÝnh:
400.299

1

104.3
1
103.2
1
102.1
1
400.101
1

302.3

1
301.2
1
300.1
1
++++
++++
=C
Bµi 4.4: TÝnh:
100
99

4
3
3
2
2
1
100
1

3
1
2

1
1100
++++






++++−
=
D

Bµi 4.5: TÝnh:
100.9 9
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
100
1

53
1
52
1
51
1
++++
++++
=E
Bµi 4.6: TÝnh
121

16
11
16
16
121
15
11
15
15
:
27
8

9
8
3
8
8
27
5
9
5
3
5
5

+−
+−
−+−
−+−
=F
Bµi 4.7: TÝnh
25
2
32,0
4
1
1.

5
1
1:2,1
56
43
4:
4
1
2
7
3
5

2
1
2:
5
1
15
2
3
+


