[SKKN] ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Mục lục
1 MỞ ĐẦU 2
1.1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 NỘI DUNG 5
2.1 Cơ sở lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình . . . . . . . . . . . 43
3 KẾT LUẬN 47
3.1 Hiệu quả của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Bài học rút ra sau khi thực hiện đề tài . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tham khảo 50
1
Chương 1
MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó giữ
vị trí trung tâm của môn toán ở trường phổ thông, toàn bộ việc giảng dạy toán ở
nhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này (Trích "Phương pháp giảng
dạy Toán" - Nguyễn Bá Kim).
Tư duy hàm, một loại hình tư duy đang được phát triển mạnh mẽ trong hoạt
động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán. Ngày nay
trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã, đang được
thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái
niệm khác. Khái niệm đạo hàm có liên quan mật thiết để nghiên cứu tính chất,
sự biến thiên của hàm số

Trong các kì thi tốt nghiệp, kì thi tuyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh
giỏi ngoài các bài tập liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những
bài tập mà học sinh thường phải vận dụng đạo hàm như là một công cụ đắc lực
để giải toán như: Giải phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất, chứng minh bất đẳng thức Các bài toán về phương trình và hệ phương
trình luôn xuất hiện trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi. Một lượng lớn các
bài toán này không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu TRẦN MẠNH HÂN
giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn. Đó cũng là những bài toán khó của đề
thi. Tuy nhiên, nếu ta biết vận dụng đạo hàm để giải các bài tập đó thì bài toán
sẽ đơn giản hơn và ngắn gọn hơn rất nhiều.
Để nâng cao kĩ năng giải toán và góp phần phát triển tư duy hàm cho học
sinh, đồng thời bản thân có hệ thống tài liệu trong giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh, tôi đã chọn đề tài:
"Ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình và hệ phương trình"
Tôi hy vọng chuyên đề này có thể làm tài liệu hữu ích cho các thầy cô giảng dạy
môn toán và các em học sinh. Song vì năng lực và thời gian nghiên cứu còn hạn
chế vì vậy không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhân được sự đóng góp
ý kiến của các quí thầy cô và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý
nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng
giáo dục phổ thông.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
1.2 Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
mang lại hiệu quả rõ nét.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về phương trình và hệ phương trình thường gặp trong các kì thi

tuyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh giỏi
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu TRẦN MẠNH HÂN
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích tổng hợp từ các sách báo, tài liệu
liên quan, internet.
- Phương pháp quan sát: Hướng dẫn học sinh vận dụng đạo hàm để giải, biện
luận phương trình và hệ phương trình để rút ra kết luận.
4
Chương 2
NỘI DUNG
Trong các kì thi đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi học sinh giỏi
quốc gia thường xuất hiện các bài toán về giải phương trình và hệ phương trình.
Trong nhiều bài nếu sử dụng những phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khó
khăn hoặc không giải quyết được. Ứng dụng đạo hàm tuy không phải là phương
pháp "vạn năng" nhưng nó có thể giải quyết một bài toán về phương trình một
cách rất gọn gàng, sáng sủa. Khi vận dụng thành thạo phương pháp này, chúng
ta có thể nhận thấy vẻ đẹp của toán học qua từng bài toán cụ thể. Trước khi đi
tìm hiểu những dạng toán cụ thể ta cần nắm được cơ sở lí thuyết sau:
2.1 Cơ sở lí thuyết
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng D. Nếu f

(
x
)
≥ 0, ∀x ∈ D
(hoặc f

(
x

)
≤ 0, ∀x ∈ D) và f

(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của D
thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D.
2. Nếu y = f(x) đồng biến trên
[
a; b
]
thì min
x∈[a;b]
f(x) = f(a); max
x∈[a;b]
f(x) = f(b).
3. Nếu y = f(x) nghịch biến trên
[
a; b
]
thì min
x∈[a;b]
f(x) = f(b); max
x∈[a;b]
f(x) = f(a).
4. Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của hai đồ thị
y = f (x) và y = g(x).
5
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
5. Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên D thì phương trình f(x) = k (k -hằng
số) nếu có nghiệm x = x
0

thì nghiệm đó là duy nhất.
6. Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên D và y = g(x) nghịch biến trên D thì
phương trình f(x) = g(x) nếu có nghiệm x = x
0
thì nghiệm đó là duy nhất.
7. Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên D, u(x), v(x) là các hàm số nhận giá trị
thuộc D thì ta có: f
[
u(x)
]
= f
[
v(x)
]
⇔ u(x) = v(x).
8. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thỏa mãn f(a).f(b) < 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).
9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên D. Phương trình f (x) = m có nghiệm khi
và chỉ khi min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình
Nhận xét: Dựa vào kết quả: “ Nếu y = f (t) là hàm đơn điệu thì f
(
x
)
= f
(

t
)
⇔
x = t” ta có thể xây dựng được những phương trình. Xuất phát từ hàm đơn điệu:
y = f
(
x
)
= 2x
3
+ x
2
+ 1 với ∀x ≥ 0 ta xây dựng phương trình:
f
(
x
)
= f

√
3x − 1

⇔ 2x
3
+ x
2
+ 1 = 2

√
3x − 1


3
+

(3x − 1)
2
+ 1
Rút gọn ta được phương trình
2x
3
+ x
2
− 3x + 1 = 2
(
3x − 1
)
√
3x − 1
Từ phương trình f
(
x + 1
)
= f

√
3x − 1

thì bài toán sẽ khó hơn
2x
3

+ 7x
2
+ 5x + 4 = 2
(
3x − 1
)

(
3x − 1
)
Để giải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau: Đặt y =
√
3x − 1 khi đó
ta có hệ:





2x
3
+ 7x
2
+ 5x + 4 = 2y
3
3x − 1 = y
2
6
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Cộng hai phương trình ta được:

2
(
x + 1
)
3
+
(
x + 1
)
2
= 2y
3
+ y
2
Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán theo dạng trên?
Dạng 1: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(x) = g(x) (hoặc
f(x) = k) trong đó k là hằng số.
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f (x) = g(x) (hoặc f (x) = k)
Bước 2: Xét hai hàm số y = f (x); y = g(x) trên D
 Tính f

(x), xét dấu f

(x), kết luận tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trên D
 Tính g

(x), xét dấu g

(x), kết luận tính đơn điệu của hàm số y = g(x) trên D
 Kết luận hai hàm số y = f (x); y = g(x) đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong

hai hàm số là hàm số hằng.
 Tìm x
0
sao cho f(x
0
) = g(x
0
) (f(x
0
) = k)
Bước 3: Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x = x
0
.
Ví dụ 1. Giải phương trình:
√
x + 1 +
√
x + 6 +
√
x − 2 = 6
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 2
Xét hàm số: f(x) =
√
x + 1 +
√
x + 6 +
√
x − 2
liên tục trên D =

[
2 ; + ∞
)
Khi đó: f

(x) =
1
2
√
x + 1
+
1
2
√
x + 6
+
1
2
√
x − 2
> 0, ∀x > 2
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên D, vậy phương trình trên nếu có nghiệm thì
nghiệm đó là duy nhất.
Mặt khác ta có f(3) = 6. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bình luận: Nhiều phương trình được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp, từ
đó vận dụng hàm số để giải.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 8 log
2
(x
2

− x + 5) = 3(x
2
− x + 5)
7
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Lời giải
Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như ví dụ trên mà ta phải biến
đổi để tìm được hàm số mà ta muốn xét.
TXĐ: D = R
Phương trình ⇔
log
2
(x
2
− x + 5)
x
2
− x + 5
=
3
8
(do x
2
− x + 5 > e > 0)
Đặt t = x
2
− x + 5 với t > e, thì phương trình trên trở thành:
log
2
t

t
=
3
8
(*)
Xét hàm số: f(t) =
log
2
t
t
trên (e; +∞)
Ta có f

(t) =
1 − ln t
t
2
ln 2
< 0, ∀t > e
Từ đó, f(t) là hàm nghịch biến trên (e; +∞); vế phải là hằng số.
Do đó phương trình (*) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Mặt khác f(8) =
3
8
⇒ (*) có nghiệm duy nhất t = 8
Với t = 8 ta có x
2
− x + 5 = 8 ⇔ x =
1 +
√

13
2
; x =
1 −
√
13
2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x =
1 +
√
13
2
; x =
1 −
√
13
2
.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
√
2x
3
+ 3x
2
+ 6x + 16 −
√
4 − x = 2
√
3
Lời giải

Nhận xét: Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện
Điều kiện:





2x
3
+ 3x
2
+ 6x + 16 ≥ 0
4 − x ≥ 0
⇔





(x + 2)(2x
2
+ x − 8) ≥ 0
4 − x ≥ 0
⇔ −2 ≤ x ≤ 4
Xét hàm số f(x) =
√
2x
3
+ 3x
2

+ 6x + 16 −
√
4 − x liên tục trên [−2; 4]
Ta có f

(x) =
3(x
2
+ x + 1)
√
2x
3
+ 3x
2
+ 6x + 16
+
1
2
√
4 − x
> 0, ∀x ∈ (−2; 4)
Do đó hàm số f (x) đồng biến [−2; 4], về phải là hằng số, f(1) = 2
√
3 nên x = 1 là
nghiệm.
Ví dụ 4. (Trích đề thi thử đại học năm 2013 - ĐHSP Hà Nội)
Giải phương trình: (x + 2)(
√
x
2

+ 4x + 7 + 1) + x(
√
x
2
+ 3 + 1) = 0
8
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Lời giải
Xét hàm số f(x) = (x + 2)(
√
x
2
+ 4x + 7 + 1) + x(
√
x
2
+ 3 + 1) trên R, ta có
f

(x) =
√
x
2
+ 4x + 7 +
√
x
2
+ 3 +
(x + 2)
2

√
x
2
+ 4x + 7
+
x
2
√
x
2
+ 3
+ 2 > 0, ∀x ∈ R
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R, f (−1) = 0 nên x = −1 là nghiệm.
Bình luận: Trên đây là cách trình bày dựa vào việc chứng minh hàm số f (x) ở
vế trái của phương trình là hàm số đơn điệu. Điều đó dẫn đến việc tính f

(x) và
chứng minh f

(x) > 0, ∀x ∈ R là điều rất tự nhiên. Tuy nhiên ta có thể giải bài
toán này bằng cách khác được trình bày ở dạng 2 dưới đây.
Ví dụ 5. Giải phương trình: x
log
2
9
= x
2
3
log
2

x
− x
log
2
3
Lời giải
Điều kiện: x > 0. Biến đổi phương trình như sau
x
log
2
9
= x
2
3
log
2
x
− x
log
2
3
⇔ 3
log
2
x

3
log
2
x

− x
2
+ 1

= 0
Do 3
log
2
x
> 0 nên phương trình tương đương
3
log
2
x
− x
2
+ 1 = 0 ⇔ 3
log
2
x
− 2
log
2
x
2
+ 1 = 0
⇔ 3
log
2
x

− 4
log
2
x
+ 1 = 0 ⇔

3
4

log
2
x
+

1
4

log
2
x
− 1 = 0
Xét hàm số f(t) =

3
4

t
+

1

4

t
− 1 trên R.
Ta có f

(t) =

3
4

t
ln
3
4
+

1
4

t
ln
1
4
< 0 ∀x ∈ R nên hàm f(t) nghịch biến trên
R.
Mà f (1) = 0 suy ra t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Từ đó suy ra
phương trình có nghiệm x = 2.
Bình luận:
Các ví dụ trên được giải bằng việc sử dụng tính chất sau của hàm số:

Nếu f(x) đơn điệu trên D, thì phương trình f(x) = k (k -hằng số) có nhiều nhất
một nghiệm.
9
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Ví dụ 6. Giải phương trình: 5
x
+ 4
x
+ 3
x
+ 2
x
=
1
2
x
+
1
3
x
+
1
6
x
−2x
3
+ 5x
2
−7x + 17
Lời giải

Biến đổi phương trình như sau
5
x
+ 4
x
+ 3
x
+ 2
x
− (
1
2
x
+
1
3
x
+
1
6
x
) = −2x
3
+ 5x
2
− 7x + 17
Đặt f(x) = 5
x
+ 4
x

+ 3
x
+ 2
x
− (
1
2
x
+
1
3
x
+
1
6
x
) và g(x) = −2x
3
+ 5x
2
− 7x + 17
Có thể khẳng định f (x) đồng biến, g(x) nghịch biến. f(1) = g(1) nên x = 1 là
nghiệm của phương trình.
Bình luận: Ví dụ trên được giải bằng việc sử dụng tính chất sau của hàm số:
Nếu f(x) là hàm số đồng biến, g(x) là hàm số nghịch biến thì phương trình
f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Ví dụ 7. Giải phương trình 3
x
.2x = 3
x

+ 2x + 1
Lời giải
Phân tích: Khi áp dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số do không
nắm vững về kiến thức, học sinh thường mắc sai lầm trong giải toán nên thường
có những kết luận nghiệm chưa chính xác. Sai lầm thường gặp của học sinh:
Phương trình trên tương đương 3
x
=
2x + 1
2x − 1
.
Ta có f (x) = 3
x
đồng biến, g(x) =
2x + 1
2x − 1
, g

(x) = −
4
(2x − 1)
2
< 0 nên g(x) nghịch
biến.
Do f(1) = g(1) nên x = 1 là nghiệm duy nhất.
* Khi hướng dẫn học sinh sử dụng các tính chất của hàm số người thầy cần
nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ: Nếu f (x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến
trên D thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm. Đối chiếu với lời
giải trên ta thấy f(x) và g(x) có tập xác định hoàn toàn khác nhau, vì vậy khi
áp dụng dẫn đến sai lầm.

10
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Lời giải đúng như sau:
Hàm số f(x) = 3
x
đồng biến trên R
Hàm số g(x) =
2x + 1
2x − 1
nghịch biến trên các khoảng

−∞;
1
2

và

1
2
; +∞

.
Bảng biến thiên
x
g

(x)
g(x)
−∞
1

2
+∞
− −
11
−∞
+∞
11
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị của hàm g(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại
không quá hai điểm. Nên phương trình f(x) = g(x) có không quá hai nghiệm, mà
f(1) = g(1), f (−1) = g(−1). Nên phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −1.
Ví dụ 8. (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hà Nam - 2012)
Giải phương trình sau trên tập số thực: 15x.5
x
= 5
x+1
+ 27x + 23
Lời giải
Phương trình đã cho ⇔ 5
x
(
15x − 5
)
= 27x + 23.
Ta phải có 15x − 5 = 0 và phương trình trên trở thành 5
x
=
27x + 23
15x − 5
. Hàm số
f

(
x
)
= 5
x
đồng biến trên R còn hàm số g
(
x
)
=
27x + 23
15x − 5
có g

(
x
)
=
−480
(
15x − 5
)
2
< 0
nên nó nghịch biến trên các khoảng

−∞;
1
3


và

1
3
; +∞

.
Vậy phương trình có tối đa 1 nghiệm trên mỗi khoảng.
Mặt khác f
(
1
)
= g
(
1
)
= 5 và f
(
−1
)
= g
(
−1
)
=
1
5
.
Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = ±1.
Bình luận:

Một trong những ứng dụng nữa của hàm số trong việc giải phương trình đó là
chứng minh một phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước. Ta xét
thêm một số ví dụ sau để chứng minh điều đó.
11
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Ví dụ 9. ( Trích đề thi vòng loại HSG Quốc gia - 2007)
Chứng minh rằng phương trình x
x+1
= (x + 1)
x
có duy nhất một nghiệm dương.
Lời giải
Điều kiện: x > 0. Lấy loga nêpe hai vế ta có:
(x + 1) ln x = x ln(x + 1) ⇔ (x + 1) ln x −x ln(x + 1) = 0
Xét hàm số f(x) = (x + 1) ln x − x ln(x + 1) (x > 0).
f

(x) = ln x+
x + 1
x
−ln(x+1)−
x
x + 1
= ln
x
x + 1
+
1
x
+

1
x + 1
= −ln
x + 1
x
+
1
x
+
1
x + 1
⇔ f

(x) = −ln(1 +
1
x
) +
1
x
+
1
x + 1
.
Xét hàm số: g(t) = ln(1 + t) − t, t > 0, g

(t) =
1
1 + t
− 1 < 0, ∀t > 0
⇒ g(t) nghịch biến với t > 0 nên g(t) < g(0) = 0 hay ln(1 + t) < t.

Áp dụng với t =
1
x
khi đó ta có −ln(1 +
1
x
) +
1
x
> 0 nên
f

(x) = −ln(1 +
1
x
) +
1
x
+
1
x + 1
> 0, ∀x > 0
Vậy hàm số f (x) đồng biến trên
(
0; +∞
)
. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có
nhiều nhất một nghiệm dương.
Lại có f(2) = ln
8

9
< 0 và f(3) = ln
81
64
> 0 nên f (2)f(3) < 0.
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm dương duy nhất thuộc khoảng (2; 3).
Bình Luận: Qua ba bài toán trên ta thấy được tính độc đáo và thế mạnh
của phương pháp tư duy hàm trong việc giải phương trình. Khi giảng dạy người
thầy có thể cho học sinh giải bằng phương pháp khác. Đó là những yêu cầu rất
khó đối với học sinh. Từ đó học sinh thấy được vai trò và tính ưu việt của việc
sử dụng đạo hàm trong giải phương trình nói riêng và trong giải toán nói chung.
Dạng 2: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v)
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f (u) = f(v), trong đó u = u(x),v = v(x)
Bước 2: Xét hàm số y = f (x) trên D
* Tính y

, xét dấu y

* Kết luận hàm số y = f (x) là hàm số đơn điệu trên D.
Bước 3: Kết luận:
12
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u = v, giải PT: u = v
* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 10. Giải phương trình: e
|2x−5|
− e
|x−1|
=
1

|2x − 5|
−
1
|x − 1|
Lời giải
Điều kiện:





2x − 5 = 0
x − 1 = 0
⇔





x =
5
2
x = 1
Viết lại phương trình dưới dạng: e
|2x−5|
−
1
|2x − 5|
= e
|x−1|

−
1
|x − 1|
(1)
Xét hàm số f(t) = e
t
−
1
t
với t > 0
+ Đạo hàm: f

(t) = e
t
+
1
t
2
> 0, ∀t > 0
⇒ Hàm số f(t) luôn đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Khi đó: phương trình (1) ⇔ f(|2x − 5|) = f(|x − 1|) ⇔ |2x − 5| = |x − 1|
⇔



2x − 5 = x − 1
2x − 5 = −x + 1
⇔




x = 4
x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 4.
Ví dụ 11. Giải phương trình: −2
x
2
−x
+ 2
x−1
= (x − 1)
2
Lời giải
Đối với phương trình này ta cũng cần biến đổi để xuất hiện hàm số cần xét.
TXĐ: D = R
Phương trình ⇔ −2
x
2
−x
+ 2
x−1
= x
2
− 2x + 1 ⇔ 2
x−1
+ x − 1 = 2
x
2
−x
+ x

2
− x
Xét hàm số f(t) = 2
t
+ t với t ∈ R
f

(t) = 2
t
. ln 2 + 1 > 0 ∀t ∈ R ⇒ f (t) là hàm số đồng biến trên R
Phương trình tương đương
f(x − 1) = f(x
2
− x) ⇔ x − 1 = x
2
− x ⇔ x
2
− 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Ví dụ 12. (Trích đề thi thử đại học năm 2013 - ĐHSP Hà Nội)
Giải phương trình: (x + 2)(
√
x
2
+ 4x + 7 + 1) + x(
√
x
2
+ 3 + 1) = 0
13

2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Lời giải
Cách giải 2: Viết lại phương trình dưới dạng:
(x + 2)(

(x + 2) + 3 + 1) = (−x)(

(−x)
2
+ 3 + 1)
Xét hàm số f(t) = t(
√
t
2
+ 3 + 1), f

(t) =
√
t
2
+ 3 + 1 +
t
2
√
t
2
+ 3
> 0, ∀x ∈ R
⇒ hàm số luôn đồng biến.
Do đó phương trình ⇔ f(x + 2) = f (−x) ⇔ x + 2 = −x ⇔ x = −1. Vậy phương

trình có nghiệm x = −1.
Ví dụ 13. Giải phương trình: 3x(2 +
√
9x
2
+ 3) + (4x + 2)(1 +
√
1 + x + x
2
) = 0
Lời giải
Viết lại phương trình dưới dạng:
3x(2 +

(3x)
2
+ 3) = −(2x + 1)(2 +

[−(2x + 1)]
2
+ 3
Xét hàm số f(t) = t(2 +
√
t
2
+ 3), f

(t) = 2 +
√
t

2
+ 3+
t
2
√
t
2
+ 3
> 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm
số luôn đồng biến. Do đó phương trình ⇔ f (3x) = f(−2x −1) ⇔ 3x = −2x −1 ⇔
x = −
1
5
.
Bình luận: Đây là bài toán khó đối với học sinh, các em rất khó khăn trong
việc sử dụng các phương pháp khác để giải phương trình này. Vì vậy việc bồi
dưỡng cho học sinh năng lực tư duy hàm là một việc làm rất cần thiết của người
thầy. Từ đó hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh
có đủ "sức đề kháng" trước những bài toán lạ.
Ví dụ 14. Giải phương trình: 2x
3
− x
2
+
3
√
2x
3
− 3x + 1 = 3x + 1 +
3

√
x
2
+ 2
Lời giải
Biến đổi phương trình trở thành:
2x
3
− 3x + 1 +
3
√
2x
3
− 3x + 1 = x
2
+ 2 +
3
√
x
2
+ 2(∗)
14
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Xét hàm số f(t) = t +
3
√
t, ta có f

(t) = 1 +
1

3
3
√
t
2
> 1, ∀t ∈ R\{0}.
Vậy hàm số đồng biến trên R.
(*) ⇔ f(2x
3
−3x+1) = f(x
2
+2) ⇔ 2x
3
−3x+1 = x
2
+2 ⇔ (2x+1)(x
2
−x−1) = 0.
Vậy phương trình có nghiệm x ∈

−
1
2
;
1 ±
√
5
2

.

Ví dụ 15. (Trích đề thi cao đẳng - 2012)
Giải phương trình: 4x
3
+ x − (x + 1)
√
2x + 1 = 0
Lời giải
Điều kiện: x ≥ −
1
2
. Phương trình đã cho tương đương với:
(2x)
3
+ 2x =

√
2x + 1

3
+
√
2x + 1
Xét hàm số f(t) = t
3
+ t trên R. Với mọi t ∈ R, f

(t) = 3t
2
+ 1 > 0.
⇒ f (t) đồng biến trên R. Do đó phương trình trên tương đương 2x =

√
2x + 1.
Giải phương trình trên ta được nghiệm x =
1 +
√
5
4
.
Ví dụ 16. Giải phương trình:
3
√
6x + 1 = 8x
3
− 4x − 1
Lời giải
Biến đổi phương trình tương đương với
3
√
6x + 1 = 8x
3
− 4x − 1 ⇔ 6x + 1 +
3
√
6x + 1 = (2x)
3
+ 2x (∗)
Xét hàm số f(t) = t
3
+ t dễ thấy f(t) đồng biến trên R nên
(*) ⇔ f (

3
√
6x + 1) = f (2x) ⇔
3
√
6x + 1 = 2x ⇔ 8x
3
= 6x + 1 ⇔ 4x
3
− 3x =
1
2
(1)
Nếu |x| > 1 thì |4x
3
− 3x| = |x||4x − 3| >
1
2
(1) vô nghiệm.
Nếu |x| ≤ 1 đặt x = cos t, t ∈
[
0; π
]
phương trình trở thành
4 cos
3
t − 3 cos t =
1
2
⇔ cos 3t =

1
2
⇔ t = ±
π
9
+ k
2π
3
.
Chọn các nghiệm trong khoảng
[
0; π
]
ta có nghiệm t =
π
9
, t =
5π
9
, t =
7π
9
từ đó
suy ra các ngiệm của phương trình là x = cos
π
9
; x = cos
5π
9
; x = cos

7π
9
.
15
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Bình luận: Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số: f(t) đơn
điệu thì f (t
1
) = f (t
2
) ⇔ t
1
= t
2
. Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp dụng được
tính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến đổi, lột bỏ
được cái ngụy trang của bài toán, đưa về dạng thích hợp có lợi cho việc sử dụng
công cụ giải toán. Muốn làm tốt được điều đó người thầy phải thường xuyên chú
trọng việc bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh.
Ví dụ 17. Giải phương trình: x
3
− 4x
2
− 5x + 6 =
3
√
7x
2
+ 9x − 4
Lời giải

Đặt y =
3
√
7x
2
+ 9x − 4. Ta có





x
3
− 4x
2
− 5x + 6 = y
7x
2
+ 9x − 4 = y
3
⇔





x
3
− 4x
2

− 5x + 6 = y
(x + 1)
3
+ x + 1 = y
3
+ y
Xét hàm số f(t) = t
3
+ t, f

(t) = 3t
2
+ 1 > 0, ∀t ∈ R nên hàm số đồng biến trên
R. Nên ta có y = x + 1 ⇔ x
3
− 4x
2
− 6x + 5 = 0 ⇔ x ∈

5;
−1 ±
√
5
2

.
Ví dụ 18. (Trích đề thi HSG lớp 12 Vinh - 2010)
Giải phương trình:
1
2

log
2
(x + 2) + x + 3 = log
2
2x + 1
x
+

1 +
1
x

2
+ 2
√
x + 2
Lời giải
Điều kiện để phương trình xác định là x ∈

−2; −
1
2

∪(0; +∞). Bây giờ, ta biến
đổi phương trình như sau
log
2
√
x + 2 − 2
√

x + 2 + x + 3 = log
2

2 +
1
x

−

4 +
2
x

+
2
x
+ 4 +

1 +
1
x

2
⇔ log
2
√
x + 2 − 2
√
x + 2 + x + 2 = log
2


2 +
1
x

− 2

2 +
1
x

+

2 +
1
x

2
.(∗)
Xét hàm số f(t) = log
2
t − 2t + t
2
với t > 0. Ta có
f

(t) =
1
t ln 2
+ 2t − 2 ≥ 2


1
t ln 2
2t − 2 = 2

2
ln 2
− 2 > 0
16
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
nên hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞).
Khi đó phương trình (*) có dạng f

√
x + 2

= f

2 +
1
t

. Từ việc sử dụng kết
quả f(t) đồng biến, ta thấy rằng nó tương đương với
√
x + 2 = 2 +
1
x
.
Bình phương hai vế và thu gọn, ta viết phương trình này thành x

3
−2x
2
−4x−1 = 0.
Giải ra, ta tìm được x = −1 (nhận), x =
3 +
√
13
2
(nhận) và x =
3 −
√
13
2
(loại).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =

−1,
3 +
√
13
2

Bình luận: Với bài toán vừa có hàm log (hay mũ) và vừa có hàm đa thức (phân
thức) thông thường thì việc nghĩ đến dùng tính đơn điệu của hàm số để giải là
điều dễ hiểu.
Ví dụ 19. (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bình Định - 2010)
Giải phương trình: −2x
3
+ 10x

2
− 17x + 8 = 2x
2
3
√
5x − x
3
Lời giải
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương
trình cho x
3
, ta được
−2 +
10
x
−
17
x
2
+
8
x
3
= 2
3

5
x
2
− 1

Đặt t =
1
x
(t = 0), phương trình trở thành
8t
3
− 17t
2
+ 10t − 2 = 2
3
√
5t
2
− 1, (1)
Ta tiếp tục biến đổi phương trình (1) trở thành
(2t − 1)
3
+ 2(2t − 1) = 5t
2
− 1 + 2
3
√
5t
2
− 1.
Do f(u) = u
3
+ 2u là hàm số đồng biến trên R nên phương trình này tương đương
với 2t − 1 =
3

√
5t
2
− 1 hay 8t
3
− 12t
2
+ 6t − 1 = 5t
2
− 1.
Giải ra ta được t = 0 (loại), t =
17 ±
√
97
16
. Tương ứng ta tìm được x =
17 ±
√
97
16
.
Ví dụ 20. Giải phương trình: 2
1−x
2
x
2
− 2
1−2x
x
2

=
1
2
−
1
x
17
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Lời giải
Điều kiện x = 0. Ta nhận thấy
1 − x
2
x
2
−
1 − x
2
x
2
= 1 −
2
x
= 2(
1
2
−
1
x
) từ đó ta có
hướng biến đổi phương trình như sau

2
1−x
2
x
2
− 2
1−2x
x
2
=
1
2
−
1
x
⇔ 2
1−x
2
x
2
− 2
1−2x
x
2
=
1
2

1 − x
2

x
2
−
1 − x
2
x
2

⇔ 2
1−x
2
x
2
+
1
2

1 − x
2
x
2

= 2
1−2x
x
2
+
1
2


1 − 2x
x
2

(∗)
Xét hàm số f(t) = 2
t
+
1
2
t trên R, f

(t) = 2
t
ln 2 +
1
2
> 0. Hàm số f(t) đồng biến
trên R nên phương trình tương đương
f

1 − x
2
x
2

= f

1 − 2x
x

2

⇔
1 − x
2
x
2
=
1 − 2x
x
2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bình luận: Để áp dụng được học sinh phải có kỹ năng biến đổi thành thạo mỗi
phương trình để đưa phương trình trên về dạng f (t
1
) = f (t
2
). Sau đó xét hàm đặc
trưng f(t) chỉ ra được hàm f(t) đơn điệu trên tập xác định, sử dụng tính chất:
f(t
1
) = f (t
2
) khi t
1
= t
2
.
Ví dụ 21. (Trích đề thi ĐH Ngoại thương - 2001)

Giải phương trình
log
3
x
2
+ x + 3
2x
2
+ 4x + 5
= 7x
2
+ 21x + 14
Lời giải
Nhận xét x
2
+ x + 3 > 0, 2x
2
+ 4x + 5 > 0 Viết lại phương trình dưới dạng
log
3

x
2
+ x + 3

− log
3

2x
2

+ 4x + 5

= 7

2x
2
+ 4x + 5

− 7

x
2
+ x + 3

⇔ log
3

x
2
+ x + 3

+ 7

x
2
+ x + 3

= log
3


2x
2
+ 4x + 5

+ 7

2x
2
+ 4x + 5

(∗)
Xét hàm số f(t) = log
3
t + 7t, t > 0, f (t) đồng biến trên (0; +∞).
Phương trình tương đương
f

x
2
+ x + 3

= f

2x
2
+ 4x + 5

⇔ x
2
+ x + 3 = 2x

2
+ 4x + 5 ⇔



x = −2
x = −1
18
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Vậy phương trình trên có hai nghiệm x = −2, x = −1.
Ví dụ 22. (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hà Nam - 2012)
Giải bất phương trình sau trên tập số thực: log
2
2x + 1
x
2
− 2x + 1
≤ 2x
2
− 6x + 2
Lời giải
Điều kiện: x = 1 và x>−
1
2
(*)
Với điều kiện trên BPT
⇔ log
2
2x + 1
x

2
− 2x + 1
− 1 ≤ 2x
2
− 6x + 1 ⇔ log
2
2x + 1
2x
2
− 4x + 2
≤ 2x
2
− 6x + 1
⇔ log
2
(2x + 1) − log
2
(2x
2
− 4x + 2) ≤ (2x
2
− 4x + 2) − (2x + 1)
⇔ (2x + 1) + log
2
(2x + 1) ≤ (2x
2
− 4x + 2) + log
2
(2x
2

− 4x + 2)
Đặt





u = 2x + 1
v = 2x
2
− 4x + 2
thì u, v > 0 và u + log
2
u ≤ v + log
2
v (1)
Xét hàm số f(t) = log
2
t + t, t ∈ D = (0; +∞) . Có f

(t) =
1
t. ln 2
+ 1 > 0, ∀t ∈ D
Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên D
Khi đó, (1) thành f (u) ≤ f(v) và do u, v thuộc D và f(t) đồng biến trên D nên
u ≤ v
Tức là 2x + 1 ≤ 2x
2
−4x + 2 ⇔ 2x

2
−6x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤
3 −
√
7
2
hoặc x ≥
3 +
√
7
2
Kết hợp với điều kiện (*) được tập nghiệm của bpt đã cho là
T =

−
1
2
;
3 −
√
7
2

∪

3 +
√
7
2
; +∞


T =

−
1
2
;
3 −
√
7
2

∪

3 +
√
7
2
; +∞

Ví dụ 23. (Trích đề thi Olympic 30/4/2007)
Tìm nghiệm dương của phương trình:
x ln

1 +
1
x

1+
1

x
− x
3
ln

1 +
1
x
2

1+
1
x
2
= 1 − x
Lời giải
Biến đổi phương trình như sau:
x ln (1 +
1
x
)
1+
1
x
− x
3
ln (1 +
1
x
2

)
1+
1
x
2
= 1 − x
⇔ (x + 1) ln

1 +
1
x

− x

x
2
+ 1

ln

1 +
1
x
2

= 1 − x
19
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
⇔ x


(x + 1) ln(1 +
1
x
) − 1

= x
2


x
2
+ 1

ln

1 +
1
x
2

− 1

(vì x > 0)
Đặt f(t) = t

(t + 1) ln(1 +
1
t
) − 1


, t > 0.
Ta có f

(
t
)
=
(
2t + 1
)
ln

1 +
1
t

− 2 =
(
2t + 1
)

ln

1 +
1
t

−
2
2t + 1


Lại đặt: g(t) =

ln

1 +
1
t

−
2
2t + 1

,
g

(t) = −
1
t(t + 1)
+
4
(2t + 1)
2
= −
1
t(t + 1)(2t + 1)
< 0 với t > 0.
Do đó g(t) nghịch biến trên (0; +∞), mà lim
t→+∞
g(t) = 0 ⇒ g(t) > 0 với mọi t > 0

Suy ra f

(t) = (2t + 1)g(t) > 0∀t > 0. Do đó f (t) đồng biến trên (0; +∞)
Phương trình tương đương f(x) = f(x
2
) ⇔ x = x
2
⇔ x = 1( vì x > 0).
Dạng 3: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f (x) = 0 mà đạo
hàm của nó đơn điệu
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f (x) = 0
Bước 2: Xét hàm số y = f (x) trên D
* Tính f

(x), f

(x), xét dấu f

(x), kết luận tính đơn điệu của hàm số y = f

(x)
trên D
* Xét dấu f

(x), lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) trên D
* Tìm x
1
, x
2
sao cho f(x

1
) = f (x
2
) = 0
Bước 3: Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = x
1
và x = x
2
.
Ví dụ 24. (Trích đề thi ĐH Sư phạm Hà Nội - 2000)
Giải phương trình: 3
x
+ 5
x
= 6x + 2
Lời giải
Xét hàm số f(x) = 3
x
+ 5
x
− 6x − 2 có f

(x) = 3
x
ln 3 + 5
x
ln 5 − 6, x ∈ R
f

(x) = 0 ⇔ g(x) = 3

x
ln 3 + 5
x
ln 5 − 6 = 0
Do g(x) liên tục trên R; g(0).g(1) < 0 nên g(x) = 0 có nghiệm x
0
∈ (0; 1).
f

(x) = 3
x
(
ln 3
)
2
+ 5
x
(
ln 5
)
2
> 0. Ta có
∀x > x
0
⇒ f

(x) > f

(x
0

) = 0
20
2.2. Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN
∀x < x
0
⇒ f

(x) < f

(x
0
) = 0
Ta có bảng biến thiên
x
f

(x)
f(x)
−∞
x
0
+∞
−
0
+
+∞+∞
f(x
0
)f(x
0

)
+∞+∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (x) = 0 có không quá 2 nghiệm,
mà f(0) = f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 2.
Bình Luận: Ngoài cách giải trên, ta cũng có thể trình bày lời giải như sau
Xét hàm số f(x) = 3
x
+ 5
x
− 6x − 2, ta có f

(x) = 3
x
ln 3 + 5
x
ln 5 − 6, x ∈ R.
f

(x) = 3
x
(
ln 3
)
2
+ 5
x
(
ln 5
)
2

> 0 với mọi x nên f

(x) đồng biến trên R.
Lại có lim
x→+∞
f

(x) = +∞, lim
x→−∞
f

(x) = −6 nên phương trình f

(x) = 0 có nghiệm
duy nhất x
0
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nhiều nhất hai nghiệm, mà
f(0) = f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0; x = 1.
* Trong toán học sơ cấp có định lý Rôn ( Role ):
Nếu f(x) là hàm số lồi trên miền D thì phương trình f (x) = 0 sẽ có không quá
hai nghiệm trên D.
Do trong chương trình phổ thông, học sinh không được học và chứng minh nội
dung của định lý Rôn nên cách trình bày lời giải bài toán trên là phù hợp nhất.
* Một số phương trình đôi khi việc tìm nghiệm trực tiếp là khó khăn. Ta chỉ
ra phương trình có không quá n nghiệm và kết hợp với việc nhẩm được n nghiệm
từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình. Ta xét bài toán sau
Ví dụ 25. (Trích đề thi Dự bị ĐH khối A - 2008)
Chứng minh rằng phương trình: 4
x

(4x
2
+ 1) −1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.
Lời giải
21
2.3. Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Xét hàm số f(x) = 4
x
(4x
2
+ 1) − 1 liên tục trên R, f

(x) = 4
x
[ln 4.(4x
2
+ 1) + 8x]
f

(x) = 0 ⇔ 4
x

ln 4.(4x
2
+ 1) + 8x

= 0 ⇔ 4 ln 4.x
2
+ 8x + ln 4 = 0
∆ = 16 −4ln

2
4 > 0 ⇒ f

(x) = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
.
Ta có bảng biến thiên:
x
f

(x)
f(x)
−∞
x
1
x
2
+∞
+
0
−
0
+
00
f(x
1
)f(x
1

)
f(x
2
)f(x
2
)
+∞+∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá ba nghiệm.
Mặt khác, ta có f(0) = f (−
1
2
) = 0, f(−3).f (−2) < 0 nên f (x) = 0 có đúng ba
nghiệm.
Các bài tập tương tự để học sinh vận dụng phương pháp hàm số:
1/ 2
x−1
− 2
x
2
−x
= (x − 1)
2
2/ 253
12−x
2
x
2
− 253
12−8x
x

2
=
1
8
−
1
x
3/ 2
x
2
+3 cos x
− 2
x
2
+4cos
3
x
= 7 cos x.
4/ 713
7+x
2
x
2
− 713
47x+21
x
3
+3x
2
=

280 − 21x − 7x
3
x
2
+ 3x
5/ e
|2x−5|
− e
|x−1|
=
1
|2x − 5|
−
1
|x − 1|
6/ log
3
x
4
+ 14x
2
+ 7x + 1
13x
2
+ 13x + 9
= x
4
+ x
2
− 6x − 8

7/ log
3
x
2
+ x + 3
2x
2
+ 4x + 5
= x
2
+ 3x + 2
8/ ln

x
2
− 2x − 3

+ 2x = ln

x
2
+ 4x + 3

+ 6
9/ log
3
x
2
− x + 2
2x

2
− 4x + 4
= x
2
− 3x + 2.
2.3 Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình
Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là vận dụng vào việc tìm
điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước.
22
2.3. Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp trong
câu V của các đề thi vào các trường đại học trong những năm gần đây .
Ví dụ 26. (Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam (GDTX) - 2013)
Tìm m để phương trình có nghiệm thực:
4
√
x
2
+ 1 +
√
x = m
Lời giải
Điều kiện x ≥ 0.
Xét hàm số f(x) =
4
√
x
2
+ 1 +
√

x liên tục trên [0; +∞).
Ta có f

(x) =
x
2
4

(x
2
+ 1)
3
+
1
2
√
x
> 0, ∀x > 0
Do đó hàm số đồng biến trên [0; +∞). Suy ra f(x) ≥ f(0) = 1
Vậy, phương trình có nghiệm thực khi m ≥ 1.
Ví dụ 27. (Trích đề thi ĐH khối A-2008)
Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
4
√
2x +
√
2 − x + 2
4
√
6 − x + 2

√
6 − x = m
Lời giải
Đặt f(x) =
4
√
2x +
√
2 − x + 2
4
√
6 − x + 2
√
6 − x, x ∈
[
0; 6
]
f

(x) =
1
2
4

(2x)
3
−
1
2
4


(6 − x)
3
+
1
√
2x
−
1
√
6 − x
=
4

(6 − x)
3
−
4

(2x)
3
2
4

(6 − x)
3
4

(2x)
3

+
√
6 − x −
√
2x
√
2x
√
6 − x
, x ∈ (0; 6)
Nhận thấy hai số hạng của f

(x) cùng dấu với nhau nên f

(x) = 0 khi 6 −2x = 2x
hay x = 2.
Bảng biến thiên:
x
f

(x)
f(x)
0 2 6
+
0
−
2
√
6 + 2
4

√
62
√
6 + 2
4
√
6
3
√
2 + 63
√
2 + 6
4
√
12 + 2
√
3
4
√
12 + 2
√
3
23
2.3. Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình TRẦN MẠNH HÂN
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt khi
2
√
6 + 2
4
√

6 ≤ m < 3
√
2 + 6
Bình luận: Đây là bài toán khó về ứng dụng của hàm số trong việc giải phương
trình. Việc tính đạo hàm đã gây nhiều khó khăn cho học sinh, nhưng việc xét dấu
của đạo hàm còn phức tạp hơn. Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến
thức và kỹ năng vững vàng mới giải được. Đây là câu khó khăn nhất của đề đại
học khối A năm 2008. Ta xét thêm một số ví dụ khác
Ví dụ 28. (Trích đề thi ĐH khối A - 2007)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3
√
x − 1 + m
√
x + 1 = 2
4
√
x
2
− 1
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 1. Phương trình đã cho ⇔ −3

x − 1
x + 1
+ 2
4

x − 1
x + 1

= m, (1)
Đặt t =
4

x − 1
x + 1
> 0, vì
x − 1
x + 1
= 1 −
2
x + 1
< 1 nên t ∈ [0; 1).
Khi đó (1) trở thành −3t
2
+ 2t = m, (2)
Hàm số f(t) = −3t
2
+ 2t, 0 ≤ t < 1 có f

(t) = −6t + 2, f

(t) = 0 ⇔ t =
1
3
Bảng biến thiên
t
f

(t)

f(t)
0
1
3
1
+
0
−
00
1
3
1
3
−1−1
Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi −1 < m ≤
1
3
.
Bình luận:
• Đối với các bài toán có chứa tham số: Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều kiện
nghiêm ngặt cho ẩn phụ. Khi đó ta mới xét được một hàm số xác định trên
24
2.3. Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình TRẦN MẠNH HÂN
một miền xác định. Từ đó tìm được điều kiện cho tham số thoả mãn yêu
cầu đã cho của đề bài
• Việc lựa chọn ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc, ta có thể đặt như sau:
Đặt t =
4

x + 1

x − 1
> 0, tuy nhiên lúc đó điều kiện của ẩn phụ sẽ thay đổi theo
x + 1
x − 1
= 1 +
2
x + 1
> 1 ⇒ t ∈ [1; +∞). Từ đó ta lại được một hàm số mới vớí
tập xác định tương ứng.
Ví dụ 29. (Trích đề thi ĐH khối B-2004)
Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
m

√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2

= 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2

−
√
1 − x
2
Lời giải
Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1. Đặt t =
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
.
Ta có:
√
1 + x
2
≥
√
1 − x
2
⇒ t ≥ 0, t
2
= 2 − 2
√
1 − x
4
≤ 2.
Do t là hàm số liên tục trên đoạn [−1; 1], suy ra điều kiện của t là: 0 ≤ t ≤

√
2.
Phương trình đã cho trở thành: m(t + 2) = −t
2
+ t + 2 ⇔
−t
2
+ t + 2
t + 2
= m (*)
Xét hàm số f(t) =
−t
2
+ t + 2
t + 2
với 0 ≤ t ≤
√
2.
Ta có f (t) liên tục trên đoạn [0;
√
2]. f

(t) =
−t
2
− 4t
(t + 2)
2
≤ 0, ∀t ∈ [0;
√

2].
Nên f(t) nghịch biến trên [0;
√
2].
Suy ra f(
√
2) ≤ f (t) ≤ f(0) hay
√
2 − 1 ≤ f (t) ≤ 1.
Phương trình đã cho có nghiệm x ⇔ Phương trình (*) có nghiệm t ∈ [0;
√
2] ⇔
√
2 − 1 ≤ m ≤ 1.
Bình luận: Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện
chuẩn cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số. Ta xét bài toán
sau:
Ví dụ 30. (Trích đề thi ĐH Giao thông vận tải - 2001)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm dương:
√
x
2
− 4x + 5 = m + 4x −x
2
25