ung dung dao ham giai phuong trinh

Giải phơng trình
Giải phơng trình : .
Giả sử hàm số
( )f x
xác định trên D, kiểm tra tính liên tục, khả vi của
( )f x
trên D.
Khảo sát hàm số
( )f x
để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực
trị bằng công cụ đạo hàm.
Dựa vào khảo sát hàm
( )f x
để kết luận số nghiệm.
Chỉ ra sự tồn tại các
0
Dx
mà
0
x
là nghiệm của phơng trình
( ) 0f x =
Kết luận nghiệm của phơng trình
( ) 0f x =
.
Đồng thời sử dụng các tính chất sau :
Tính chất 1 : Nếu
( )f x
tăng (giảm) trên (a;b) thì phơng trình
( ) kf x =
nếu có nghiệm sẽ có không quá 1 nghiệm.

Chứng minh :
Giả sử phơng trình có 2 nghiệm
Do là hàm số tăng mâu thuẫn giả sử sai
Vậy phong trình nếu có nghiệm sẽ có không quá 1 nghiệm.
Tính chất 2 : Nếu tăng
( )f x
(giảm) trên (a;b)

( ) ( ), , (a;b)f u f v u v u v= =
.
Tính chất 3 : Nếu
( )f x
là hàm số tăng còn là
( )g x
hàm số giảm trên
(a;b) thì phơng trình
( ) ( )f x g x=
có nhiều nhất là 1 nghiệm.
Hoặc ta có khi sử dụng định lý Lagrang.
Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :

3
3 1 log (1 2 ) (1)
x
x x= + + +
.
( TH & TT )
Giải :
Điều kiện :
1

2
x

>
Đặt
3
log (1 2 ) 1 2 3
y
y x x= + + =
Ta có
3
(1) 3 1 2 log (1 2 ) 3 3 (2)
x x y
x x x x y + = + + + + = +
Xét hàm số
( ) 3
t
f t t= +
trên
1
( ; )
2

+
. Có
1
'( ) 3 ln3 1 0
2
t
f t t

= + > >
Nên hàm số
( )f t
là hàm số đồng biến trên
1
( ; )
2

+
Khi đó
3
(2) ( ) ( ) log (1 2 ) 3 2 1 0
x
f x f y x y x x x = = = + =
Đặt
1
( ) 3 2 1,
2
x
g x x x

= >
Mà
2
1
'( ) 3 ln3 2, ''( ) (3 ln3) 0
2
x x
g x g x x

= = > >

'( )g x
là hàm đồng biến và có đổi dấu vì :
'(2) 9ln3 2 0, '(0) ln3 2 0g g= > = <
'( ) 0g x =
có nghiệm duy nhất
x

=
Ta có bảng biến thiên

x
1
2

0

2
+

'( )g x
- 0 +

( )g x
( )g

Từ bảng trên

nếu
( ) 0g x =
có nghiệm thì nhiều nhất là 2 nghiệm
Mặt khác
(0) (1) 0g g= =
Do đó phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
0, 1x x= =
.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình

2 2
1 1 1 1x x x x x x+ + + + + + =
.
Giải :
Điều kiện :
2 2
2 2
1 0 1
1 1 0 1 1
x x x x x x
x x x x x x

+ + +



+ + + + + +


luôn đúng

x R
Vậy :
D
=
R
Viết lại phơng trình dới dạng

2 2
1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1)(*)x x x x x x x x+ + + = + + + + + + +
Xét hàm số
2
( ) 1f t t t t t= + + +
Ta có
2
2 2
2 1 2 1
'( ) 1
4 1 1
t t t
f t
t t t t t
+ +
= +
+ + +
Mặt khác
2 2
2 1 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0t t t t t t t + + = + + > +
Vậy
'( ) 0f t t>

hàm số
( )f t
luôn đồng biến trên
R
Khi đó
(*) ( ) ( 1) 1f x f x x x = + = +
( vô nghiệm )
Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Giải phơng trình

5 7 16 14x x x x+ + + + + =
.
Giải :
Điều kiện :
5x
Xét hàm số
( ) 5 7 16f x x x x x= + + + + +
trên
5x
Ta có :
1 1 1 1
'( ) 0 5
2 2 5 2 7 2 16
f x x
x x x x
= + + + > >
+ +
Hàm số
( )f x

đồng biến trên
(5; )+
Có
(9) 3 2 4 5 14 ( ) (9) 9f f x f x= + + + = = =
Phơng trình trên có nghiệm duy nhất là
9x =
.
Ví dụ 4 : Giải phơng trình

2 2
log (3log (3 1))x x =
.
Giải :
Đặt
2
1
log (3 1),
3
y x x= >d
.
Do đó ta có hệ phơng trình
2
2
log (3 1)
log (3 1)
y x
y x
=

=

d

Cộng vế với vế ta đợc phơng trình :
2 2
log (3 1) log (3 1) (1)x x y y + = +
Xét hàm số
2
1
( ) log (3 1) , .
3
f t t t t= + >
Có
3 1
'( ) 1 0
(3 1)ln2 3
f t x
t
= + > >

Hàm số
( )f t
là hàm đồng biến trên
1
( ; )
3
+
2
(1) ( ) ( ) log (3 1) 2 3 1 0

x
f x f y x y x x x = = = + =
Xét hàm
( ) 2 3 1, '( ) 2 ln 2 3
x x
g x x g x= + =
Ta có :
0 2
3
'( ) 0 log ( )
ln2
g x x x= = =
Mà
0 0
'( ) 0 , '( ) 0g x x x g x x x> > < <
Nên hàm số
( )g x
nghịch biến trên
0
( ; )x
, đồng biến trên
0
( ; )x+
Phơng trình có
( ) 0g x =
không quá 2 nghiệm trên
R
Mà
(0) (1) 0g g= =
Giá trị

0x =
( loại do không thuộc tập xác định )
Do vậy
1x =
là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.
Nhận xét : Đối với phơng trình có dạng
( ( )) (1)f f x x=
trong đó
( )f x
đồng biến ( nghịch biến ) trên tập xác định D.
Cách giải : Đặt
( )y f x=
Ta có hệ phơng trình
( )
( )
f y x
y f x
=


=

Cộng vế với vế ta đợc phơng trình
( ) ( ) (2)f x x f y x+ = +
Xét hàm số
( ) ( )F t f t t= +
thì
( )F t
đồng biến trên D
Khi đó

(2) ( ) ( ) ( )F x F y x y x f x = = =
Do đó để giải (1) ta đi giải phơng trình
( )f x x=
Tơng tự ta cũng có cách giải đối với phơng trình có dạng :
a b
s
s clog (d e) (1),
x
x x

+
= + + +
với
d ac ,e bc ; a,b,c,d 0

= + = + >
Đặt
s
log (d e) a bx y+ = +
Từ
a b
a b
c(a b)
(1)
d
x
y
s y x
s x e

+
+

= + + +



= +


Trừ vế theo vế của 2 phơng trình trên ta đợc :

a b a b
s s c(a b) d e
x y
y x x

+ +
= + + +

Mà theo giả thiết ta có :
d ac ,e bc

= + = +
a b a b
s s c(a b) (d ac) (e bc) d e
x y
y x x
+ +
= + + +

a b a b a b
s s ac ac s ac s ac (3)
x ay b x y
y x x y
+ + + +
= + = +
Xét hàm số
a b
( ) s ac
t
f t t
+
= +
là hàm số đồng biến trên R
s
s
(3) ( ) ( ) log (d e) a b
log (d e) a b=0
f x f y x y x x
x y
= = + = +
+
Ví dụ 5 : Giải phơng trình

1
7
7 6log (6 5) 5
x
x

=
.
Giải :
Điều kiên :
5
6
x >
Đặt
7
log (6 5) 1x y =