bước đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học trong dạy học toán ở trường thpt

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Phơng pháp luận của duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan
trọng và cần thiết trong dạy học Toán, đặc biệt là trong điều kiện hiện nay.
Phải kết hợp t duy lôgic và t duy biện chứng, cả t duy hình tợng cũng nh t duy
khác và nhiều phẩm chất khác của con ngời, để đáp ứng nhu cầu phát triển của
xã hội. Nắm đợc phơng pháp luận của phép duy vật biện chứng, điều này giúp
cho học sinh hiểu sâu đợc cội nguồn của Toán học, từ đó vận dụng tri thức
khoa học rèn luyện ý chí, năng lực sáng tạo, độc lập và phát hiện vấn đề trong
cuộc sống.
Trong thời đại khoa học phát triển nh vũ bão hiện nay, ngời GV cần
phải ngày càng đổi mới trong cách dạy, HS cần đổi mới trong cách học mới
đáp ứng đợc xu thế đó. Phải biết vận dụng đợc những quy luật cũng nh các cặp
phạm trù của phép duy vật biện chứng vào giảng dạy mới có thể đáp ứng
những nhu cầu cho học sinh trong thời đại ngày nay.
1.1. Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII khẳng định: Phải đổi mới
phơng pháp Giáo dục Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp t duy sáng tạo cho ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên
tiến, hiện đại vào quá trình dạy học .
Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: Tiếp
tục nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phơng pháp dạy
và học .
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)
quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn .
Nh vậy, đổi mới phơng pháp dạy học nói chung, phơng pháp dạy học
Toán nói riêng, đặc biệt trong điều kiện hiện nay là hoàn toàn cần thiết, đó là
vấn đề mà Đảng, Nhà nớc và ngành Giáo dục đặc biệt quan tâm, nhằm phát
1

huy cao độ t duy tích cực và sáng tạo, năng lực hoạt động nhận thức độc lập,
năng lực suy luận biện chứng cho học sinh để tạo nên những con ngời mới
năng động, sáng tạo, tự chủ, kĩ luật nghiêm,
1.2. Hiện nay vận dụng phơng pháp luận duy vật biện chứng cho học
sinh thông qua dạy học Toán là một đề tài đợc rất nhiều ngời nghiên cứu. Khi
bàn về vấn đề này theo từng khía cạnh khác nhau đã đợc nhiều tác giả quan
tâm, tiêu biểu đề cập trong các sách, tài liệu tham khảo, các bài báo sau: của
tác giả GS.TS. Nguyễn Cảnh Toàn, Tập cho học sinh giỏi làm quen dần với
toán trong quyển sách GS đã sử dụng nhiều kiến thức toán học hiện đại, toán
học cao cấp. Quyển Phơng pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu toán học cũng của GS dùng tham khảo cho giáo viên, học viên
cao học, nghiên cứu sinh. Tác giả GS.TS. Đào Tam quan tâm với khía cạnh
Một số cơ sở phơng pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong dạy
học Toán ở trờng PT trong Nghiên cứu giáo dục số 09/1998. TS. Phạm Đình
Khơng cũng quan tâm đến vấn đề này qua bài báo Vận dụng cặp phạm trù
nội dung hình thức để hớng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt động giải
toán, tạp chí thông tin khoa học KHGD số 106/2004
1.3. Trong thực tế, cách dạy học phổ biến hiện nay là giáo viên với t
cách là ngời điều khiển đa ra kiến thức (khái niệm, định lí ) rồi giải thích,
chứng minh, sau đó đa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng
tiếp thu nội dung khái niệm, định lí, hiểu chứng minh định lí và cố gắng vận
dụng công thức để tính toán Rõ ràng với cách dạy và cách học nh vậy thì
bản thân giáo viên cũng cha thấy thoả mãn bài dạy của mình, HS cũng thấy
cha hiểu đợc cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, theo kiểu
thầy đọc trò ghi làm cho các em ít có cơ hội phát triển t duy sáng tạo, ít có
cơ hội khai thác tìm tòi ra đợc cái mới.
1.4. Hiện nay việc đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng phổ thông trung
học là phải tạo cho HS làm chủ đợc khả năng tiếp thu, chủ động trong học tập.
Vì vậy để rèn luyện t duy toán học, khả năng tìm tòi ra cái mới thì việc vận
dụng một số quan điểm biện chứng của t duy toán học, đóng vai trò hết sức

quan trọng trong dạy học Toán. Việc vận dụng một số quan điểm biện chứng
2
trong quá trình dạy học cho HS là một quá trình lâu dài, kéo dài suốt cả quá
trình học tập, với nhiều hình thức phong phú và mức độ từ thấp đến cao, từ
đơn giản đến phức tạp bằng việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù.
Nâng cao đợc chất lợng dạy học là vấn đề cấp bách trong giai đoạn hiện nay. Vì
vậy, chúng tôi chọn đề tài của mình là:
"Bớc đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của t duy toán học trong
dạy học Toán ở trờng THPT (thể hiện qua dạy học Hình học 10 THPT) "
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu cơ sở lí luận về phép duy vật biện chứng, từ đó đa ra một số
biện pháp để Bớc đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của t duy toán
học trong dạy học và vận dụng các biện pháp để phát triển t duy cho học sinh
thông qua dạy học thể hiện qua dạy học Hình học 10 THPT nhằm góp phần
nâng cao chất lợng dạy học.
3. Giả thuyết khoa học.
Trong quá trình dạy học Toán, nếu chú ý Vận dụng một số quan điểm
biện chứng của t duy toán học , trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình
SGK Hình học 10 hiện hành, và nếu xây dựng đợc một hệ thống các biện pháp
s phạm vận dụng các quy luật, các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứng
thì:
- Có thể rèn luyện phép biện chứng của t duy toán học cho HS.
- Góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán ở trờng THPT, rèn luyện
khả năng độc lập nghiên cứu, phát hiện và giải quyết vấn đề.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nhiệm vụ đặt ra cho luận văn là:
4.1. Làm rõ phơng pháp luận duy vật biện chứng.
4.2.Các quy luật và các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứng.
4.3.Mối liên hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù.

3
4.4.Sự cần thiết, sự có thể bớc đâu vận dụng một số quan điểm biện
chứng trong dạy học Toán.
4.5.Một số biện pháp vận dụng các quan điểm biện chứng trong dạy học Toán.
4.6.Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá mục đích, giả thuyết
khoa học của đề tài.
5. Phơng pháp nghiên cứu.
5.1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về phơng pháp dạy học Toán, một số tài liệu
tham khảo về việc vận dụng một số quan điểm triết học duy vật biện chứng
vào dạy học Toán, các cơ sở về tâm lý học, giáo dục học, sách giáo khoa, sách
giáo viên, sách tham khảo về chơng trình Hình học (Hình học 10.THPT) ở phổ
thông hiện hành.
- Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học phục vụ cho đề tài.
- Nghiên cứu các công trình về các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề
tài (các luận án, luận văn, các chuyên đề ).
5.2. Nghiên cứu thực tiễn:
Tìm hiểu về việc dạy và học Hình học 10 ở trờng THPT qua dự giờ,
điều tra, phỏng vấn giáo viên.
5.3. Thực nghiệm s phạm:
- Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua lớp học thực nghiệm và
lớp học đối chứng trên cùng các lớp đối tợng có trình độ tơng đơng nhau.
- Đánh giá kết quả bằng phơng pháp thống kê trong khoa học giáo dục, để
xem tính khả thi và hiệu quả các biện pháp s phạm đề xuất.
6. Đóng góp luận văn.
6.1. Về mặt lý luận:
4
- Xác định cơ sở khoa học phơng pháp luận duy vật biện chứng để làm
sáng tỏ nội dung vận dụng một số quan điểm biện chứng trong dạy học Toán ở tr-
ờng phổ thông.

- Xác định đợc các biện pháp dạy học nhằm rèn luyện các t duy cho học sinh.
.
6.2. Về mặt thực tiễn:
- Bớc đầu xây dựng một số biện pháp vận dụng các quan điểm biện chứng
trong dạy học Toán cho học sinh thông qua dạy học Hình học 10.THPT.
- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trờng THPT.
7. Cấu trúc của luận văn.
Mở đầu
- Lý do chọn đề tài.
- Mục đích nghiên cứu.
- Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Giả thuyết khoa học.
- Phơng pháp nghiên cứu.
- Đóng góp luận văn.
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1. Phơng pháp luận duy vật biện chứng là gì?
1.2. Các quy luật cơ bản và các cặp phạm trù triết học.
1.3. Mối quan hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù.
1.4. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng một số quan điểm biện
chứng cho học sinh.
1.5. Thực trạng vận dụng một số quan điểm biện chứng của t duy toán
học ở trờng phổ thông hiện nay.
1.6. Kết luận chơng 1.
5
Chơng 2: Các biện pháp nhằm bớc đầu vận dụng một số quan
điểm biện chứng của t duy toán học cho học sinh qua dạy học Hình học
10 THPT.
2.1. Đặc điểm xây dựng chơng trình Hình học 10 THPT hiện hành.
2.2. Một số căn cứ đa ra các biện pháp thực hiện.
2.3. Một số biện pháp thực hiện.

2.3.1. Biện pháp 1: Xem xét các đối tợng toán học nh là một sự vật,
hiện tợng khách quan, để tìm ra mối liên hệ giữa chúng.
2.3.2. Biện pháp 2: Xem xét nhìn nhận các đối tợng toán học dới
nhiều góc độ khác nhau nhằm vận dụng linh hoạt các cặp phạm trù
trong dạy học Toán.
2.3.3. Biện pháp 3: Xem xét các đối tợng toán học trong quá trình phát
triển Lịch sử toán.
2.3.4. Biện pháp 4: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa
chúng trong các mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng.
2.3.5. Biện pháp 5: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa
chúng theo quan điểm vận động biến đổi.
2.3.6. Biện pháp 6: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa
chúng theo quan điểm lợng đổi chất đổi.
2.3.7. Biện pháp 7: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa
chúng trong các mối liên hệ giữa nội dung và hình thức.
2.3.8. Biện pháp 8: Xem xét các đối tợng toán học, các quan hệ giữa
chúng theo quan điểm đấu tranh giữa các mặt đối lập.
2.4. Sự lựa chọn và phối hợp các biện pháp.
2.5. Kết luận chơng 2.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
6
3.2. Néi dung thùc nghiÖm.
3.3. Tæ chøc thùc nghiÖm.
3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm.
 KÕt luËn chung
 Tµi liÖu tham kh¶o
7
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1. Phơng pháp luận duy vật biện chứng là gì?

Thuật ngữ phơng pháp đợc bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp là Methodos,
theo nghĩa thông thờng là dùng để chỉ những cách thức, thủ pháp nhất định đ-
ợc chủ thể hành động sử dụng để thực hiện mục đích đặt ra. Còn theo định
nghĩa một cách khoa học thì phơng pháp là hệ thống những nguyên tắc đợc
rút ra từ tri thức về các quy luật khách quan để điều chỉnh hoạt động nhận
thức và thực tiễn nhằm thực hiện mục đích nhất định [43, tr.29]. Vậy Phơng
pháp luận là lí luận về phơng pháp, là khoa học về phơng pháp. Phơng pháp
luận giải quyết những vấn đề nh: phơng pháp là gì? bản chất nội dung, hình
thức của phơng pháp nh thế nào? Phân loại phơng pháp ra sao? Vai trò của
phơng pháp trong hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn của con ngời
nh thế nào? Do đó, có thể nói cách khác cụ thể hơn, phơng pháp luận là hệ
thống những quan điểm, những nguyên tắc xuất phát chỉ đạo chủ thể trong
việc xác định phơng pháp cũng nh việc xác định phạm vi, khả năng áp dụng
một cách hợp lí, có hiệu quả tối đa[43, tr 32]. Do vậy, phơng pháp luận Toán
học có nhiệm vụ nêu ra những quan điểm, nguyên tắc chung chỉ đạo quá trình
xác định và áp dụng các phơng pháp Toán cụ thể nh phơng pháp tiên đề, ph-
ơng pháp giả thiết diễn dịch Do đó phơng pháp luận triết học duy vật biện
chứng là phơng pháp luận chung nhất. Nó khái quát những quan điểm,
nguyên tắc chung nhất làm xuất phát điểm cho việc xác định các phơng pháp
luận khoa học chung, phơng pháp luận bộ môn và các phơng pháp hoạt động
cụ thể của nhận thức và thực tiễn trong mối quan hệ biện chứng khăng khít
nhau.
Theo Ănghen thì phép biện chứng có hai loại là biện chứng khách quan và
biện chứng chủ quan, biện chứng gọi là khách quan thì chi phối trong toàn
bộ giới tự nhiên, còn biện chứng gọi là chủ quan thì chỉ là sự phản ánh sự chi
phối, trong toàn bộ giới tự nhiên, của sự vận động thông qua những mặt đối
lập, tức là những mặt, thông qua sự đấu tranh thờng xuyên của chúng và sự
8
chuyễn hoá cuối cùng của chúng từ mặt đối lập này thành mặt đối lập kia, với
những hình thức cao hơn, đã quy định sự sống của giới tự nhiên [42, tr. 160].

1.1.1. Khái niệm về t duy
Quá trình hoạt động nhận thức của con ngời là một trong những hoạt
động trọng tâm cơ bản nhất của con ngời, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc
tổng quát của một hoạt động nói chung. Quá trình nhận thức đợc phản ánh
hiện thực khách quan bởi con ngời, là quá trình tạo thành tri thức trong bộ óc
con ngời về hiện thực khách quan. Nhờ có nhận thức, con ngời mới có ý thức
về thế giới; ý thức về cơ bản là kết quả của quá trình nhận thức thế giới.
Nhờ
đó, con ngời có thái độ đối với thế giới xung quanh, đặt ra mục đích và
dựa vào đó mà hành động. Nhận thức không phải một hành động tức
thời, giản đơn, máy móc và thụ động mà là một quá trình biện chứng,
tích cực, sáng tạo. Quá trình nhận thức đợc diễn ra theo con đờng từ
trực quan sinh động đến t duy trừu tợng, rồi từ t duy trừu tợng đến thực
tiễn. Đó là quá trình nhận thức đi từ hiện tợng đến bản chất, từ bản chất
kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn. Vì vậy: trong lí luận nhận thức,
cũng nh trong tất cả lĩnh vực khác của khoa học, cần suy luận một cách
biện chứng, nghĩa là đừng giả định rằng nhận thức của chúng ta là bất
di bất dịch và có sẵn, mà phải phân tích xem sự hiểu biết nãy sinh ra từ
sự không hiểu biết nh thế nào, sự hiểu biết không đầy đủ, chính xác trở
thành đầy đủ hơn và chính xác hơn nh thế nào.
Theo từ điển triết học: T duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất đợc tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận T duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất xã hội của con ngời và bảo đảm phản ánh thực tại một cách
gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại.
t duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động
và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời. Cho nên t duy của
con ngời đợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, và những kết
quả của t duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho t duy là những quá
trình nh trừu tợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất

định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm
Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó. Khả năng phản
9
ánh thực tại một cách khái quát của t duy đợc biểu hiện ở khả năng của con ng-
ời có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với sự trình bày những quy
luật tơng ứng. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của t duy đợc
biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgíc, chứng minh của con ngời. Khả năng
này hết sức mở rộng khả năng nhận thức. Xuất phát từ chỗ phân tích những sự
kiện có thể tri giác đợc một cách trực tiếp, cho phép nhận thức đợc những gì
không thể tri giác đợc nhờ các giác quan. Những khái niệm và những hệ thống
khái niệm (những lí luận khoa học) ghi lại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loài
ngời và là điểm xuất phát để tiếp tục nhận thức thực tại. T duy con ngời đợc
nghiên cứu trong những lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phơng
pháp khác nhau [37, tr. 4].
Từ những điều đó, ta thấy rằng nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng
trong đời sống tâm lí của con nguời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động
tâm lí cao hơn. Tuy nhiên trong thực tế biến đổi thì cuộc sống xã hội luôn đặt
ra những vấn đề cấp bách và biến đổi khôn lờng. Do đó con ngời không thể
giải quyết đợc nhiều vấn đề phức tạp đặt ra trong Toán học. Muốn giải quyết
các vấn đề nh vậy con ngời cần phải có nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí
tính mà ta còn gọi đó là t duy.
T duy đợc rất nhiều nhà tâm lí học nghiên cứu, một trong những nghiên
cứu đầy đủ nhất về t duy đã đợc trình bày trong công trình của
X. L. Rubinstêin. Theo ông thì T duy- đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của
chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các t liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể [38, tr. 8].
Nh vậy t duy mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nó
không phải bằng chân tay, bằng hình tợng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và đ-
ợc thể hiện qua ngôn ngữ. Qua ngôn ngữ con ngời nhận thức những tình
huống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích,

tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hóa, tổng quát hoá để đi đến
những khái niệm, định lí, phán đoán, để có đợc những sản phẩm của t duy.
Từ đó ta thấy đợc rằng, t duy lúc nào cũng gắn kết với ngôn ngữ và đợc thực
hiện trong ngôn ngữ cho nên nếu t duy không phát triển thì ngôn ngữ cũng
10
không thể phát triển đợc. Vì vậy nếu có t duy tốt đúng đắn thì có thể có triển
vọng để nắm vững ngôn ngữ tốt, trong sáng và rõ ràng qua đó phát triển đợc
trí tuệ của học sinh.
Vì thế mà, khách thể trong quá trình t duy đợc phản ánh dới nhiều mức độ khác
nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời.
Và t duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
Nhà tâm lí học CRUGLIĂC nói rằng: nhờ t duy mà có thể chuyển đợc
những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ
hiện tợng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc
hai, Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của
hiện tợng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra đợc
chúng. T duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một
cách có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri
thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu. Tri thức và t duy gắn bó với nhau
nh sản phẩm đi đôi với quá trình [1, tr 65].
Qua đó ta thấy rằng, một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kích
thích t duy con ngời tìm tòi cách giải quyết, thúc đẩy nhận thức để tiến lên thu
thập các tri thức mới, từ đó làm cho t duy ngày một phát triển cao độ trong
mối liên quan biện chứng với nhau.
1.1.2. Đặc điểm của t duy
Trớc hết, cần hiểu rằng t duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con ngời.
Do đó, t duy thuộc nấc thang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý tính. Vì
vậy t duy có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Có thể
thấy sự khác biệt đó qua những đặc điểm cơ bản sau:
T duy chỉ nảy sinh khi con ngời đứng trớc những hoàn cảnh có vấn

đề: không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh cũng đều gây ra t duy. Trên
thực tế t duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề mà bằng vốn
hiểu biết cũ ta không thể giải quyết đựơc nó. Để nhận thức con ngời phải vợt
qua khỏi phạm vi những hiểu biết tri thức cũ và đi tìm cái mới đạt mục đích
mới. Những hoàn cảnh nh thế gọi là hoàn cảnh có vấn đề. Theo thuật ngữ lí
thuyết tình huống thì đó là sự mất cân bằng. Hoàn cảnh có vấn đề sẽ kích
thích con ngời t duy. Muốn vậy con ngời phải nhận thức đợc, ý thức đợc hoàn
11
cảnh có vấn đề, nhận thức đợc mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể
phải có nhu cầu, nhu cầu nhận thức và đơng nhiên phải có những tri thức cần
thiết có liên quan vấn đề, chỉ trên cơ sở đó thì t duy mới nảy sinh và diễn biến.
Một trong những ngời có công trình nghiên cứu nhiều nhất về t duy là X. L.
Rubinstein. Ông đã nhấn mạnh rằng t duy sáng tạo luôn đợc bắt đầu từ một
hoàn cảnh có vấn đề.
T duy có tính khái quát: khác với nhận thức cảm tính, t duy có khả năng
đi sâu vào sự vật, hiện tợng nhằm vạch ra những thuộc tính chung những mối
liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng. Vì thế t duy có tính khái quát.
V. I. Lênin đã vạch rõ cảm giác vạch ra cái hiện thực, t duy và từ vạch ra
cái chung(Bút kí triết học).
Nhờ phản ánh khái quát, các quy luật mà t duy giúp con ngời không chỉ
nhận thức thế giới mà còn có khả năng cải tạo thế giới.
T duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con ngời phản ánh
trực tiếp sự vật, hiện tợng bằng giác quan của mình trên cơ sở đó cho ta hình
ảnh cảm tính về sự vật và hiện tợng đến t duy, con ngời không nhận thức thế
giới một cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức thế giới một cách gián tiếp -
nhận thức bằng ngôn ngữ, nhờ phơng tiện ngôn ngữ và khả năng phản ánh
khái quát; Con ngời có khả năng vạch ra các thuộc tính bản chất, các mối
quan hệ có tính quy luật. Dự đoán đợc chiều hớng phát triển và diễn biến của
chúng để nhận thức và cải tạo chúng.
T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và ngôn

ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau không tách rời nhau, nhng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu
đạt kết quả của quá trình t duy [38, tr 9].
Theo quan điểm của duy vật biện chứng thì t duy và ngôn ngữ có quan hệ
chặt chẽ với nhau nhng không đồng nhất với nhau. Và nhờ có ngôn ngữ mà
ngay từ đầu t duy đã xuất hiện.
Nói nh vậy, khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề bằng cảm giác và tri
giác con ngời không thể giải quyết đợc đòi hỏi con ngời cần phải t duy và qua
quá trình gián tiếp bộ não của con ngời đợc khái quát lên thành các định lý,
phán đoán rồi từ đó thể hiện qua ngôn ngữ. Thế nhng những ngời không nói
12
đợc không có nghĩa là không có ngôn ngữ, điều đó không đúng mà ở họ có
thể hiện qua ngôn ngữ khác. Chẳng hạn một ngời câm họ có thể sử dụng ngôn
ngữ đó là biểu hiện bằng tay.
Nh vậy, nét nổi bật của t duy là quá trình t duy bao gồm nhiều giai đoạn
kế tiếp nhau đó là từ nhận thức vấn đề đến xuất hiện các liên tởng và qua quá
trình t duy bộ não sàng lọc các liên tởng đó để hình thành nên các giả thuyết
từ đó kiểm tra giả thuyết để chính xác hoá nhằm phủ định hay khẳng định vấn
đề đó là đi đến bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết. Trong tất cả các bớc trên t
duy luôn luôn xuất hiện khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, và t duy có quan hệ mật
thiết với nhận thức cảm tính
.
Theo X. L. Rubinstêin khẳng định: nội dung
cảm tính bao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm chổ dựa cho t
duy. Điều đó cũng cho ta nhận thấy rằng quá trình t duy luôn là một hoạt
động của trí tụê và diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành qua những thao tác
nhất định và các thao tác đó tham gia vào một quá trình cụ thể nh: phân tích,
tổng hợp, so sánh,
Nh vậy, qua vấn đề nêu trên ta nhận thấy t duy có tác dụng hết sức to lớn
trong đời sống xã hội của con ngời. Chúng ta dựa vào t duy để hiểu, nhận thức

các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội và lợi dụng nó để phát triển xã
hội. Nói nh thế có nghĩa là nhờ có t duy mà xã hội loài ngời phát triển ngày
một cao. Có những hiện tợng trớc đây con ngời không thể giải thích đợc khi t
duy cha phát triển, cho đến bây giờ t duy càng phát triển sự giải thích ấy càng
ngày, càng đợc sáng tỏ.
Nhà Toán học Liên xô cũ K. K. Plantônôv đã nêu lên các giai đoạn của t
duy bằng sơ đồ sau đây.
13
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên t ởng
Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Khẳng định
Chính xác hóa Phủ định
Giải quyết vấn đề Hoạt động t duy mới
(dẫn theo [38,tr.10])
1.1.3. Sự phân loại t duy
Có nhiều cách phân loại t duy.
Theo Phạm Minh Hạc, Sácđacôp M. N có 3 loại t duy sau đây:
a/ T duy trực quan hành động: đó là loại t duy bằng các thao tác cụ thể tay
chân hớng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan.
b/T duy trực quan hình tợng: là loại t duy phát triển ở múc độ cao hơn, ra đời
muộn hơn so với t duy trực quan hành động, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà
việc giải quyết vấn đề dựa vào hình ảnh sự vật, hiện tợng.
c/T duy trừu tợng(t duy ngôn ngữ, lôgic): là loại t duy phát triển ở mức độ cao
nhất, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các
khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ
làm phơng tiện [38, tr. 11].
Vì t duy là một hình thức phản ánh gián tiếp nên nó gắn bó với ngôn ngữ
một cách hữu cơ và không có ngôn ngữ thì không có t duy.

Theo A. V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại t duy đó là: t duy hình t-
ợng, t duy thực hành, t duy khoa học và t duy lôgic. Việc phát triển t duy lôgic
bao giờ cũng đợc coi là một nhiệm vụ quan trọng đặt ra hàng đầu trong quá
trình dạy học Toán. Nói đến t duy lôgic ngời ta nhấn mạnh t duy biện chứng
nghiên cứu t duy dới góc độ cách thức nhận thức sự phát triển và biến đổi của
các sự vật hiện tợng.
Nh vậy, dựa trên cách chia đó ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các loại
t duy là có một mối quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp đến cao từ cái đơn
giản đến phức tạp. Từ những điều trông thấy đến những vấn đề cần có t duy
14
cao độ. Mối quan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng trong sự phát triển
xã hội loài ngời. Sự phát triển từ thấp đến cao đó là một quá trình nhận thức
của con ngời phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan. Quá trình
nhận thức bằng t duy diễn ra không đơn giản, thụ động, máy móc, Mà đó là
một quá trình phản ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con ngời năng động
sáng tạo, biện chứng. Đó là quá trình đi từ cái cha biết, cha sâu sắc, từ cái biết
ít đến cái biết nhiều, từ nhận thức cảm tính đến nhận thức lí tính. Vì vậy, quá
trình t duy con ngời nói chung diễn ra hai giai đoạn nhận thức cảm tính và
nhận thức lí tính và quá trính đó trải qua khi gặp tình huống có vấn đề.
Đó là
hai giai đoạn khác nhau về chất, có đặc điểm và vai trò khác nhau về
việc nhận thức sự vật khách quan. Nhận thức cảm tính là phản ánh trực
tiếp, cụ thể, sinh động sự vật, còn nhận thức lý tính là phản ánh gián
tiếp, mang tính trừu tợng khái quát. Nhận thức cảm tính đem lại những
hình ảnh bề ngoài, cha thật sâu sắc về sự vật, còn nhận thức lý tính
phản ánh đợc mối quan hệ bên trong, bản chất, phổ biến, tất yếu của sự
vật. Do đó nhận thức lý tính phản ánh sự vật sâu sắc hơn đầy đủ hơn.
Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhất
biện chứng với nhau, liên hệ, tác động lẫn nhau, bổ sung, hỗ trợ cho
nhau, không tách rời nhau. Chúng đều cùng phản ánh thế giới vật chất,

có cùng một cơ sở sinh lý duy nhất là hệ thần kinh của con ngời và đều
cùng chịu sự chi phối của thực tiễn lịch sử - xã hội. Nhận thức cảm tính
là cơ sở của nhận thức lý tính, không có nhận thức cảm tính thì không
có nhận thức lý tính. Trái lại, nhận thức cảm tính mà không có nhận
thức lý tính thì không thể nắm bắt đợc bản chất và quy luật của sự vật,
hiện tợng. Trên thực tế, chúng thờng diễn ra đan xen vào nhau trong
mỗi quá trình nhận thức.
Phép biện chứng khách quan của thế giới xung
quanh ta đợc phản ánh vào phép biện chứng chủ quan đây là vấn đề có tính
chất nền tảng.
1.1.4. T duy toán học
Cụm từ t duy toán học đã đợc sử dụng một cách rất phổ biến, trong
dạy học, trong đánh giá kết quả học tập Tuy nhiên nhiều giáo viên cha hiểu t-
ờng minh khái niệm về t duy toán học mặc dầu đã ngầm quan tâm nhiều khía
cạnh của nó trong dạy học Toán. Dờng nh mọi ngời cũng chỉ dựa khả năng
15
toán học, sức học toán để rồi đánh giá về t duy toán học. Đành rằng một học
sinh yếu về Toán thì không thể là tốt về t duy toán học nhng một học sinh có
kĩ năng giải Toán tốt cha hẳn đã là có t duy toán học tốt. T duy toán học
không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của
học sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng
hớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệ
thống các kiến thức và kỹ năng toán học[dẫn theo 38, tr. 13]. Cho đến nay có
rất nhiều tài liệu nghiên cứu khá đầy đủ về t duy toán học. Tuy nhiên trong
một số tài liệu có nói đến thì cũng chỉ nói chung chung còn ở một mức độ
nhất định, và có nói kĩ thì cũng chỉ nói về một loại hình t duy cụ thể nào đó
mà thôi. Cũng từ điều đó thì t duy toán học đợc hiểu, thứ nhất là hình thức
biểu lộ t duy biện chứng trong quá trình con ngời nhận thức khoa học toán học
hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác nh kỹ thuật, kinh
tế quốc dân. Thứ hai, t duy toán học có các tính chất đặc thù đợc quy định bởi

bản chất của khoa học toán học bởi sự áp dụng các phơng pháp toán học để
nhận thức các hiện tợng thế giới hiện thực, cũng nh bởi chính các phơng thức
chung của t duy mà nó sử dụng. Nội dung của t duy toán học là những t tởng
phản ánh hình dạng không gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiện
thực [8, tr. 5 ]. Điều đó cho ta thấy rằng t duy biện chứng là một loại hình t
duy quan trọng thể hiện trong t duy toán học, ta cũng cần hiểu t duy biện
chứng là nh thế nào? Thuật ngữ t duy biện chứng xuất hiện nhiều lần trên các
sách báo tạp chí và ấn phẩm khoa học, tuy nhiên hầu nh cha có một tài liệu
nào đa ra một định nghĩa tờng minh về loại hình t duy này. Có tài liệu thay vì
định nghĩa t duy biện chứng thì lại nhấn mạnh vai trò của nó; có tài liệu không
định nghĩa t duy biện chứng mà chỉ nói rằng t duy biện chứng dựa vào lôgic
biện chứng, thực ra chẳng riêng gì t duy biện chứng mới dựa vào lôgic biện
chứng mà nói nh Ilencô T duy toán học đáng giá nhất thiết phải là t duy biện
chứng. Câu này có thể hiểu nh sau mọi loại hình t duy toán học trong mình
nó đều có hàm lợng của t duy biện chứng, tuy nhiên hàm lợng ấy chỗ này chỗ
kia
16
có thể khác nhau và cũng không nên hiểu rằng t duy biện chứng đủ để bao
quát tất cả các tình huống Toán học mặc dù nó là cần thiết.
Nhà s phạm xô viết A. X. Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy học
và giáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ đề ra
cho con ngời trong một tơng lai không xa. Để giáo dục đợc con ngời lao động
sáng tạo có năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phơng pháp dạy học
tích cực nhằm phát triển những năng lực t duy một cách biện chứng, năng lực
xem xét các đối tợng và hiện tợng trong mối quan hệ qua lại, trong quá trình
vận động biến đổi, mâu thuẫn và phát triển của chúng. [1, tr 65].
Tuy không đa ra định nghĩa rõ ràng nhng một số tác giả cũng đã có một
sự thống nhất nào đó về một số thành phần của t duy biện chứng; Để đa ra một
khái niệm về t duy biện chứng thật cụ thể và đợc mọi ngời thừa nhận là điều
hết sức khó khăn. Do vậy, nên tập trung vào những thành tố mà ngời ta đã t-

ơng đối thống nhất. Mặt khác dành sự quan tâm cho những thành tố có dịp thể
hiện nhiều trong Toán học. Nói một cách khác có thể không nêu hết đợc mọi
thành tố nhng cố gắng xem xét những thành tố phổ biến và việc bồi dỡng
những thành tố đó cũng chính là góp phần bồi dỡng T duy biện chứng; Việc
nghiên cứu một loại hình t duy chỉ thực sự có ý nghĩa nếu nh nó có những ứng
dụng trong giảng dạy Toán, chứ không phải là chỉ đa ra một cách hình thức;
Hai chữ biện chứng đã nói lên đợc rằng T duy biện chứng có tên gọi xuất
phát từ duy vật biện chứng. Nói cách khác những nguyên lí, quy luật và phạm
trù của duy vật biện chứng đều có liên quan đến t duy biện chứng. Từ đó ta có
thể hiểu t duy biện chứng nh sau:
- Theo cách hiểu thứ nhất, T duy biện chứng là phơng thức t duy thể
hiện ý thức và khả năng vận dụng các nguyên lí, các quy luật, các cặp phạm
trù của phép biện chứng duy vật vào quá trình xem xét và giải quyết các vấn
đề Toán học.
- Theo cách hiểu thứ hai, t duy biện chứng là những hoạt động trí tuệ
nhằm vận dụng các nguyên lí, các quy luật, các cặp phạm trù của phép biện
chứng vào việc nghiên cứu giải quyết các vấn đề Toán học.
- Theo cách hiểu thứ ba, T duy biện chứng đợc đặc trng bởi sự thâu tóm
tính thay đổi, tính hai chiều, tính mâu thuẫn, tính thống nhất; Bởi mối liên
17
quan và phụ thuộc tơng hỗ của các khái niệm và quan hệ Toán học. Ngoài ra t
duy một cách biện chứng còn ở chổ biểu hiện khả năng có đợc những quan
điểm không khuôn sáo, nhiều khía cạnh khi nghiên cứu các đối tợng và các
hiện tợng xảy ra, khi giải quyết các vấn đề. T duy biện chứng còn có nét đặc
trng nữa là sự hiểu biết sự khác nhau giữa những kết luận luôn đúng và có khả
năng xảy ra là ở chỗ thể hiện rõ duy nhất và đối lập trong sự biểu hiện của hữu
hạn và vô hạn.
Trong ba cách hiểu trên, ta thấy rằng t duy biện chứng là loại t duy có
khả năng nhìn một đối tợng dới nhiều góc độ khác nhau một cách linh hoạt và
không máy móc; nhìn đối tợng Toán học trong những mối liên quan và phụ

thuộc lẫn nhau; khả năng phối hợp giữa suy đoán và suy diễn, khả năng nhìn
đối tợng Toán học khác nhau dới một quan điểm thống nhất (trong sự vận
động); khả năng nhận thức đợc tính khả biến của các tình huống Toán học và
thể hiện một cách đúng đắn.
Rõ ràng t duy toán học đơng nhiên phải là t duy biện chứng, bởi vì t duy
toán học vận dụng vào việc giải quyết vấn đề thì nó cũng phải nhìn vấn đề dới
nhiều góc độ khác nhau một cách linh hoạt, nó vẫn phải nhìn các đối tợng và
sự kiện toán học trong mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau, và nó phải phân tích
và tổng hợp, suy đoán và suy diễn.
1.1.5. Vai trò của t duy toán học
Từ vấn đề đợc hiểu về t duy toán học trên ta thấy rằng t duy toán học
không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của
học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng
hớng thì không thể đạt đựợc hiệu qủa trong sự truyền đạt cho học sinh hệ
thống các kiến thức và kỹ năng toán học [dẫn theo38, tr 13].
Nh vậy, t duy toán học đó là một quá trình phát triển từ thấp lên cao,
việc giải quyết vấn đề thứ nhất và thứ hai có kết quả, thì sẽ dẫn tới việc giải
quyết công việc thứ ba. Điều này cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề đó là
một quá trình biện chứng. Nó giúp ta hiểu đợc một cách đúng đắn và sâu sắc
qua việc nhận thức kiến thức toán học. T duy toán học không chỉ là thành
phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là
18
thành phần mà thiếu nó thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ
kiến thức toán học cho học sinh.
1.1.6. Một số quan điểm biện chứng của t duy toán học.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Triết học duy vật biện chứng thể hiện
các quy luật chung nhất của sự phát triển tự nhiên, xã hội và t duy của con
ngời. Nó là cơ sở phơng pháp luận của mọi khoa học. Và cũng theo Ông, thì
nó giúp ta hiểu đợc đối tợng và phơng pháp của khoa học toán học một cách
đúng đắn và sâu sắc giúp hình thành thế quan duy vật biện chứng của thế hệ

trẻ. Nó cung cấp cho ta phơng pháp nghiên cứu đúng đắn: xem xét những
hiện tợng giáo dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộc
lẫn nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, phát hiện những sự biến đổi số l-
ợng dẫn tới những biến đổi về chất lợng
Từ đó cho ta thấy phơng pháp luận duy vật biện chứng đóng vai trò hết
sức quan trọng trong Toán học. Để đi đến cái mới trong Toán học phải kết
hợp đợc t duy lôgic và t duy biện chứng, cả t duy hình tợng cũng nh t duy
khác và nhiều phẩm chất khác của con ngời.
Ta thấy rằng t duy là một vấn đề không thể không nhắc tới khi nói đến
Toán học. Vậy thì từ t duy ở đây có vai trò chủ đạo nh thế nào? Chính vì vậy
mà V . I . Lênin nói: Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng và từ đó trở
về thực tiễn - đó là con đờng biện chứng của nhận thức chân lí, nhận thức hiện
thực khách quan đã đợc đặc biệt trích dẫn trong nhiều công trình nghiên cứu
về tâm lí học s phạm và lí luận dạy học. Còn theo các tác giả Phạm Văn Hoàn,
Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình thì đối tợng và sự kiện Toán học với t cách
là t duy có tính hiện thực sâu vừa có tính trừu tợng cao. Hai mặt hiện thực
và trừu tợng của chúng đối lập nhau nhng lại tồn tại trong mối quan hệ biện
chứng lẫn nhau phụ thuộc và tồn tại hữu cơ với nhau, mặt hiện thực là
nguồn gốc mặt trừu tợng là thể hiện nguồn gốc trên, chúng thống nhất với
nhau trong mối quan hệ vật ảnh ( mà cơ quan phản ánh là não ngời). Mặt
hiện thực gắn liền với cảm tính, cái riêng cái cụ thể còn mặt trừu tợng gắn
liền với cái lí tính, cái chung, cái trừu tợng Cho nên trong t duy toán học
cũng phải đợc thể hiện mối quan hệ biện chứng giữa các cặp phạm trù: cái
cảm tính và cái lí tính, cái riêng và cái chung, cái cụ thể và cái trừu tợng
19
Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần có t duy biện chứng và để
nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có t duy lôgic: nên t duy toán học
cũng phải là sự thống nhất biện chứng giữa t duy lôgic và t duy biện chứng
[14, tr 60-61].
Vì vậy mà lôgic biện chứng nghiên cứu t duy dới góc độ cách thức t duy

nhận thức sự phát triển và biến đổi của các sự vật và hiện tợng. Chúng ta biết
rằng dạy học Toán là dạy hoạt động toán học Mỗi nội dung dạy học đều quan
hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Phát hiện đợc hoạt động tiềm tàng
trong một nội dung cụ thể là cụ thể hoá đựơc mục đích dạy học nội dung đó,
chỉ ra đợc cách thực hiện mục đích này đồng thời vạch đợc một con đờng để
ngời học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợc những mục đích dạy học khác.
Cho nên điều căn bản của phơng pháp dạy học là khai thác đợc những hoạt
động tiềm tàng nội dung để đạt đợc mục đích dạy học. Quan điểm này thể
hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơ giữa mục đích, nội dung và phơng pháp dạy
học [38, tr 53].
1.2. Các quy luật cơ bản và các cặp phạm trù triết học.
1.2.1. Các quy luật cơ bản của triết học duy vật biện chứng.
Hêghen khẳng định rằng phép biện chứng là lí luận về mối liên hệ phổ
biến, là môn khoa học về những quy luật phổ biến của sự vận động và phát
triển của tự nhiên, của xã hội loài ngời và của thế giới .
V. I. Lênin nhấn mạnh: phép biện chứng là học thuyết sâu sắc nhất,
không phiến diện về sự phát triển. Những ngời theo quan điểm biện chứng
xem thế giới nh là một chỉnh thể thống nhất các sự vật, các hiện tợng, và các
quy luật cấu thành thế giới đó vừa tách biệt nhau vừa có mối quan hệ qua lại
thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau.
1.Từ việc nghiên cứu nguyên lí về mối liên hệ phổ biến của các sự vật
và hiện tợng chúng ta cần rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức
cũng nh trong hoạt động thực tiễn. Với t cách là một nguyên tắc, phơng pháp
luận trong sự nhận thức các sự vật và hiện tợng quan điểm toàn diện đòi hỏi
chúng ta phải xem xét nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, các yếu
20
tố, các thuộc tính khác nhau của chính sự vật đó, mặt khác là trong mối liên
hệ qua lại giữa sự vật đó với các sự vật khác.
Lênin viết: muốn thực sự hiểu đợc sự vật cần phải nhìn bao quát và nghiên
cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của các sự vật

đó.
Tuy nhiên trong khi nêu yêu cầu để nhận thức đợc sự vật cần phải nghiên cứu
tất cả các mối liên hệ thì V. I. Lênin cũng chỉ ra rằng: chúng ta không thể làm
đợc điều đó một cách hoàn toàn đầy đủ nhng sự cần thiết phải xem xét tất cả
mọi mặt sẽ đề phòng cho chúng ta khỏi phạm sai lầm và sự cứng nhắc.
2. Nguyên lí về sự phát triển: ý nghĩa phơng pháp luận đó là tự nhiên, xã
hội và t duy đều nằm trong quá trình vận động và phát triển không ngừng.
Bản chất khách quan đó của quá trình đòi hỏi chúng ta để phản ánh đúng đắn
hiện thực khách quan cần có quan điểm phát triển. Điều đó có nghĩa là khi
xem xét các sự vật và hiện tợng phải đặt nó trong sự vận động và phát triển,
đồng thời phát hiện ra các xu hớng biến đổi chuyển hoá của chúng. Lênin
viết: lôgíc biện chứng đòi hỏi phải xem xét sự vật trong sự phát triển, trong
sự tự vận động, và trong sự biến đổi của nó Ănghen cho rằng, khi nghiên
cứu các đại lợng biến thiên thì bản thân Toán học đã bớc vào lĩnh vực của
phép biện chứng rồi. Newton nói rằng: tôi xem những phần đờng cong rất
nhỏ là những đờng thẳng(câu nói này tuy vi phạm luật đồng nhất và luật tự
mâu thuẫn nhng nó phản ánh chân thực một hiện thực, giúp ta hiểu sâu một
dạng vận động của vật chất). Quan điểm phát triển đòi hỏi không chỉ thấy sự
vật nh là cái đang có mà còn phải nắm đợc khuynh hớng phát triển trong tơng
lai của nó. Ănghen viết: phép biện chứng là phơng pháp mà điều căn bản là
nó xem xét những sự vật và những phản ánh của chúng trong t tởng trong mối
liên hệ qua lại lẫn nhau của chúng, trong sự ràng buộc, sự vận động, và sự
phát sinh.
Các quy luật của phép biện chứng: quan điểm duy vật biện chứng cho
rằng mọi quy luật đều mang tính khách quan, các quy luật đợc phản ánh
trong các khoa học không phải là sự sáng tạo thuần tuý của t tởng. Những quy
21
luật do khoa học phát triển chính là sự phản ánh những quy luật hiện thực của
thế giới khách quan và của t duy.
Những quy luật phổ biến là những quy luật tác động trong mọi lĩnh

vực tự nhiên, xã hội và t duy. Những quy luật của phép biện chứng duy vật
chính là những vấn đề nh vậy.
Với t cách là một khoa học, phép biện chứng duy vật nghiên cứu những
quy luật phổ biến tác động trong tất cả các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và t duy
con ngời. Các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật phản ánh sự vận
động, phát triển dới những phơng diện cơ bản nhất.
Trong đời sống hàng ngày ngoài từ hiện tợng biến đổi trong xã hội, thì
con ngời dần dần nhận thức đợc một cách trật tự của thế giới khách quan, và
mối liên hệ có tính lặp đi lặp lại của các hiện tợng đó, tạo thành một quy
luật . V. I. Lênin viết khái niệm quy luật là một trong những giai đoạn của
sự nhận thức của con ngời về tính thống nhất và về liên hệ, về sự phụ thuộc
lẫn nhau và tính chỉnh thể của quá trình thế giới [3, tr. 261].
Với t cách là một khoa học, phép biện chứng duy vật nghiên cứu những
quy luật phổ biến tác động trong tất cả các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và t duy
con ngời. Các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật phản ánh sự vận
động, phát triển dới những phơng diện cơ bản nhất. Mỗi quy luật của phép
biện chứng nghiên cứu những phơng diện, những góc độ khác nhau của quá
trình vận động và phát triển của các sự vật và hiện tợng, đó là sự tác động
tổng hợp của tất cả những quy luật cơ bản do phép biện chứng duy vật trừu t-
ợng hoá, khái quát hoá tạo nên.
1.2.1.1. Quy luật chuyển hoá từ những sự thay đổi về lợng thành những sự
thay đổi về chất và ngợc lại.
Trớc hết ta cần nắm đợc khái niệm về chất và l ợng : theo giáo
trình triết học Mác- Lênin, thì Chất là phạm trù triết học dùng để chỉ tính
quy định khách quan vốn có của sự vật, là sự thống nhất hữu cơ của những
thuộc tính làm cho sự vật là chính nó chứ không phải cái khác; L ợng là
phạm trù triết học dùng để chỉ tính quy định vốn có của sự vật về mặt số lợng,
22
quy mô, trình độ, nhịp điệu của sự vận động và phát triển cũng nh các thuộc
tính của sự vật [3, tr. 264-266].

Trong tự nhiên và trong xã hội có không ít sự vật mà xét riêng về các
yếu tố cấu thành chúng hoàn toàn đồng nhất nhng các sự vật đó lại khác nhau
về chất. Ví dụ: kim cơng và than chì đều do các bon tạo thành thế nhng có sự
khác biệt căn bản về chất.
Trong quá trình vận động và phát triển của sự vật chất và lợng đều biến
đổi nhng không phải bất kì sự thay đổi nào lợng cũng ngay lập tức làm thay
đổi về chất.
Bất kì sự vật nào cũng là sự thống nhất giữa chất và lợng, sự thay đổi
dần dần về lợng vợt qua giới hạn của nó sẽ dẫn tới sự thay đổi về chất thông
qua bớc nhảy và chất mới ra đời dẫn đến sự thay đổi của lợng.
Chẳng hạn nguyên hàm của hàm x
m
nói chung là
1
1
+
+
m
x
m
. Tuy nhiên khi m
biến đổi thành 1 thì nguyên hàm ấy lại trở thành lnx (ở đây có sự biến đổi
từ hàm đại số sang hàm siêu việt), trong Hình học độ cong dơng giãm dần rồi
triệt tiêu và chuyển thành độ cong âm. Sự thay đổi từ từ đó của độ cong khi
đạt đến giới hạn độ cong bằng không thì xảy ra một sự đột biến tạo nên sự
thay đổi về chất đang từ Hình học Ơclit rồi thành Hình học Hipecpôlic. Bản
thân Hình học Ơclit và Hình học Lôbasepxki là mâu thuẫn với nhau, vì dựa
vào hai hệ tiên đề trái ngợc nhau nhng lại thống nhất với nhau ở chỗ Hình học
Ơclit là giới hạn của Hình học Lôbasepxki khi bán kính dần tới không.
Hàm số đồng biến trong khoảng này nhng lại có thể nghịch biến trong

khoảng kia, biện luận phơng trình và bất phơng trình thì tập nghiệm phụ
thuộc vào tham biến.
Nh vậy sự thay đổi về chất dẫn đến sự thay đổi về lợng và ngợc lại, nó
phụ thuộc vào sự thay đổi phơng thức liên kết giữa các yếu tố tạo thành sự
vật. Do đó trong quá trình hoạt động phải biết cách tác động vào phơng thức
liên kết giữa các yếu tố tạo thành sự vật trên cơ sở hiểu rõ bản chất, quy luật
kết cấu của sự vật đó.
23
1.2.1.2. Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập
Mặt đối lập là những mặt có những đặc điểm, những thuộc tính, những
tính quy định có khuynh hớng biến đổi trái ngợc nhau tồn tại một cách khách
quan trong tự nhiên, xã hội và t duy. Sự tồn tại của các mặt đối lập là khách
quan và là phổ biến trong tất cả các sự vật[3, tr. 275].
Tất cả sự vật trên thế giới chúng ta đều chứa những mặt trái ngợc nhau,
chẳng hạn nh trong sinh học thì có đồng hoá và dị hoá, trong hình học thì có
Hình học Ơclit và Hình học phi Ơclit những mặt mâu thuẫn đó có mối quan
hệ biện chứng với nhau.
Hêghen khẳng định: mâu thuẫn là nguồn gốc của tất cả mọi vận động
và của tất cả mọi sức sống, chỉ trong chừng mực một vật chứa đựng trong
bản thân nó một mâu thuẫn thì nó mới vận động, mới có xung lực và hoạt
động. Giữa các mặt đối lập bao giờ cũng có những nhân tố giống nhau.
Chẳng hạn xét về nguyên liệu cấu thành cực bắc và cực nam của nam châm là
giống nhau. Chủ nghĩa t bản và thời kì qúa độ lên Chủ nghĩa xã hội là hai xã
hội đối lập, thế nhng trong cả hai xã hội đó đều tồn tại kinh tế thị trờng.
Tóm lại có thể nêu thực chất quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các
mặt đối lập: mọi sự vật và hiện tợng đều có những mâu thuẫn, những mặt,
những khuynh hớng đối lập trong bản thân mình, các mặt, các khuynh hớng
đối lập đó nằm trong trạng thái qua lại tạo thành xung lực nội tại của sự vận
động, phát triển dẫn đến sự mất đi của cái cũ và sự ra đời của cái mới.
Toán học phát triển theo quy luật thống nhất biện chứng giữa hai mặt

đối lập. Hai mặt đối lập đó là: một mặt càng phát triển càng khái quát, càng
trừu tợng, mặt khác càng phát triển lại càng nâng cao thêm khả năng ứng
dụng cụ thể, chẳng hạn từ Hình học Ơclit phát triển thành Hình học phi Ơclit
quay trở lại ứng dụng cho lí thuyết tơng đối trong Vật lí.
Nh vậy, việc nghiên cứu quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt
đối lập có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức và hoạt động thực tiễn, muốn
phát hiện ra mâu thuẫn phải tìm ra trong thể thống nhất những mặt những
khuynh hớng trái ngợc nhau, trong sự tác động qua lại giữa các sự vật và hiện
24
tợng, mà nh V. I. Lênin đã viết Sự phân đôi của cái thống nhất và sự nhận
thức của các bộ phận của nó, đó là thực chất của phép biện chứng [3, tr.
281].
1.2.1.3. Quy luật phủ định của phủ định
Sự phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình
vận động và phát triển [3, tr. 275]. Phủ định biện chứng nói lên một giai
đoạn, một nấc thang trong quá trình phát triển, với t cách là kết quả của phủ
định lần thứ nhất, cái mới cũng chứa đựng trong bản thân của mình xu hớng
dẫn tới phủ định lần tiếp theo phủ định của phủ định. Chỉ có thông qua phủ
định của phủ định mới dẫn tới việc ra đời một sự vật, trong đó có sự lặp lại
một số đặc trng cơ bản của cái xuất phát ban đầu, nhng trên cơ sở cao hơn
đến đây một chu kì phát triển đợc kết thúc. Khái quát một chu kì phát triển đó
tạo thành nội dung cơ bản của quy luật phủ định của phủ định.
Sự phát triển biện chứng thông qua những lần phủ định biện chứng- nh trên
đã nói là sự thống nhất giữa loại bỏ, kế thừa và phát triển. Một lần phủ định
biện chứng đợc thực hiện sẽ mang tới những nhân tố tích cực mới. Do đó, sự
phát triển thông qua những lần phủ định biện chứng sẽ tạo ra xu hớng tiến lên
không ngừng.
Diễn tả quy luật phủ định của phủ định bằng đờng xoáy trôn ốc chính là
hình thức cho phép biểu đạt rõ ràng nhất của các đặc trng của quá trình phát
triển biện chứng: tính kế thừa, tính lặp lại nhng không quay trở lại và tính

chất tiến lên của sự phát triển mỗi vòng mới của đờng xoáy trôn ốc thể hiện
một trình độ cao hơn của sự phát triển, đồng thời dờng nh quay lại cái đã qua,
dờng nh lặp lại vòng trớc, sự nối tiếp nhau của các vòng thể hiện tính vô tận
của sự phát triển từ thấp lên cao.
Xoáy trôn ốc cũng là một trong những hình thức trình bày các chủ đề
trong môn Toán của trờng phổ thông nghĩa là một vấn đề nào đó đợc lặp đi
lặp lại chứ không chỉ học một lần mà thôi, chẳng hạn khái niệm hàm số ở lớp
7 và khái niệm hàm số ở lớp 10, khái niệm phơng trình ở lớp 8 và khái niệm
25