Bước đầu thể hiện một số quan điểm của lí thuyết hoạt động vào dạy học chủ đề vectơ và hệ thức lượng trong chương trình hình học lớp 11 THPT

Mục lục
Trang
Phần I:

Mở đầu.........................................................................................

Phần II:

Nội dung......................................................................................

Chơng I:

Một số cơ sở lý luận và thực tiễn....................................................

Đ1. Hoạt động gợi động cơ mở đầu và trung gian trong dạy học toán.................
1.1. Hoạt động trong dạy học toán và các thành tố cơ sở của ph ơng
pháp dạy học............................................................................................
1.2. Gợi động cơ trong dạy học toán..............................................................
1.3. Mối liên hệ giữa gợi động cơ mở đầu và trung gian với các hoạt
động khác trong dạy học.........................................................................
1.4. Mối liên hệ giữa gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ trung gian với
tình huống gợi vấn đề trong dạy học toán...............................................
1.5. Vai trò và ý nghĩa s phạm của hoạt động Gợi động cơ mở đầu và
trung gian trong dạy học toán...............................................................

Đ2. Thực tiễn dạy học gợi động cơ mở đầu và trung gian trong giai đoạn
hiện nay..............................................................................................................
2.1. Vị trí và vai trò của Vectơ và Hệ thức lợng trong chơng trình SGK
hiện hành................................................................................................
2.2. Việc thực hiện việc dạy Gợi động cơ mở đầu và trung gian hiện
nay..........................................................................................................

Chơng II:

Một số phơng án dạy học theo hớng gợi động cơ nhằm hình
thành khái niệm phát hiện định lý và chứng minh......................

2.1. Một số phơng án gợi động cơ mở đầu nhằm hình thành khái niệm
phát hiện định lý.....................................................................................
2.2. Một số biện pháp gợi động cơ trung gian để chứng minh định lý...........
Chơng III. Thăm dò thực nghiƯm.....................................................................
3.1. Mơc ®Ých thùc nghiƯm............................................................................
3.2. Néi dung thùc nghiƯm............................................................................
3.3. Tỉ chức thực nghiệm..............................................................................
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm................................................................
3.5. Kết ln vỊ thùc nghiƯm.........................................................................
PhÇn III:

KÕt ln....................................................................................


Tài liệu tham khảo....................................................................................

2


Phần I: Mở Đầu
I. lý do chọn đề tài

1. Gợi động cơ mở đầu và trung gian cho hoạt động là cần thiết trong quá
trình dạy học vì những lý do sau đây:
a) Trong một bài giảng trên lớp học nếu ta gợi động cơ mở đầu và động

cơ trung gian sẽ tạo cho học sinh niềm say mê hứng thú trí tò mò khoa học,
giúp các em hiểu vấn đề và có động lực để giải quyết vấn đề.
b) Gợi động cơ mở đầu và trung gian làm cho học sinh có ý thức về ý
nghĩa của những hoạt động và đối tợng hoạt động. Qua đó làm cho những mục
đích s phạm biến thành mục đích của cá nhân học sinh. Nó có tác dụng phát
huy tính tích cực và tự giác của học sinh hớng vào việc khơi dậy và phát triển
khả năng suy nghĩ và làm việc một cách tự chủ, năng động sáng tạo, tự mình
khám phá ra cái cha biết, tìm ra kiến thức, chân lý dới sự dẫn dắt của giáo viên.
2. Thực trạng dạy học toán ở trờng THPT hiện nay còn nặng nề giao nhận
thông tin, lối dạy thầy nói trò nghe nh lâu nay còn phổ biến mà việc tổ chức
cho học sinh tự tìm tòi khám phá trí thức, nãi c¸ch kh¸c tỉ chøc cho häc sinh
häc tËp mét cách tích cực, tự giác, biến quá trình học thành quá trình tự học cha
chú ý một cách có chú định dẫn đến việc học của học sinh rơi vào thế bị động,
dẫn đến sự hạn chế phát triển t duy của học sinh.
3. Vectơ là phần tơng đối khó và mới lạ đối với học sinh đầu cấp, bởi ở
trờng THCS học sinh đợc học hình học bằng phơng pháp tổng hợp, lên lớp 10
các em đợc học Vectơ, các phép toán Vectơ và mở đầu về hệ toạ độ trong mặt
phẳng. Tiếp đó họ hiểu sử dụng công cụ này với t cách là phơng pháp toán học
mới. Phơng pháp Vectơ để nghiên cứu các hệ thức lợng trong tam giác, với
trong đờng tròn và ứng dụng một phần để nghiên cứu phép biến hình. Do đó
việc tạo ®iỊu kiƯn cho häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc vỊ Vectơ là một việc làm
cần thiết.

3


4. Hệ thức lợng nó chứa đựng những kiến thức mở đầu cho kiến thức về lợng giác, các kiến thức hệ thức lợng là những kiến thức có nhiều øng dơng ®èi
víi cc sèng thùc tÕ. Häc sinh häc tập không chỉ nắm vững kiến thức mà cần
phải biết vận dụng kiến thức đà học vào thực tế. Vì những lý do nêu trên, chúng
tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Bớc đầu thể hiện một số quan điểm của lý

thuyết hoạt động vào dạy học chủ đề Vectơ và hệ thức lợng trong chơng trình
hình học lớp 10 THPT".
II. Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lý luận và thực tiễn
làm căn cứ để đề ra các phơng pháp gợi động cơ mở đầu và trung gian cho việc
dạy học các định lý về Vectơ và hệ thức lợng trong chơng trình hình học lớp 10
THPT. Qua đó nâng cao hiệu quả của việc dạy học hình học ở trờng phổ thông.
III. Giả thiết khoa học.

Trên cơ sở tôn trọng chơng trình SGK nếu trong quá trình dạy học toán
giáo viên chú trọng tổ chức các hoạt động, gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ
trung gian thì sẽ góp phần giúp học sinh chủ động, tích cực nắm bắt kiến thức
mới cũng nh giải quyết những vấn đề mới đặt ra hớng học sinh học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu

1. Xác định vị trí và vai trò của việc gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ
trung gian trong quá trình dạy học toán.
2. Đề ra các phơng pháp gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ trung gian
cho học sinh phát hiện chứng minh định lý về Vectơ và hệ thức lợng trong chơng trình hình học 10 PTTH.
3. Thực nghiệm s phạm để điều tra tính khả thi tính hiệu quả của đề tài.
V. Phơng pháp nghiên cứu:

4


1. Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các sách báo tạp chí về khoa học toán,
giáo dục học, tâm lý học... liên quan đến đề tài.
2. Điều tra việc thực hiện dạy học theo hớng gợi động cơ trung gian ở

nhà trờng PTTH.
3. Thực nghiệm s phạm
VI. Cấu trúc luận văn
Phần I - Mở đầu

- Lý do chọn đề tài
- Mục đích nghiên cứu
- Giả thiết khoa học
- Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu

Phần II - Nội dung

Chơng I -Một số cơ sở lý luận và thực tiễn
Đ1. Hoạt động gợi động cơ mở đầu và trung gian trong dạy học toán.
1.1 Hoạt động trong dạy học toán và các thành tố cơ sở của phơng pháp dạy
học.
1.1.1 Hoạt động trong dạy học toán
1.1.1.1 Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học toán
1.1.2.1. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động

thành phần tơng thích với nội dung và mục đích d¹y häc.

5


1.1.2.2. Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức đặc biệt là tri thức phơng pháp
nh phơng tiện và kết quả hoạt động.
1.1.2.3. Phân bậc hoạt động trong quá trình dạy học.

1.2. Gợi động cơ trong dạy học toán.
1.2.1. Thế nào là gợi động cơ hoạt động.
1.2.2. Các cách thờng dùng để gợi động cơ.
1.2.2.1. Gợi động cơ mở đầu.
1.2.2.2. Gợi động cơ trung gian.
1.2.2.3. Gợi động cơ kết thúc.
1.2.2.4. Phối hợp nhiều cách gợi động cơ tập trung vào những trọng điểm
1.3. Mối liên hệ giữa gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ trung gian với tình
huống gợi vấn đề trong dạy học toán.
1.4. Vai trò và ý nghĩa s phạm của hoạt động Gợi động cơ mở đầu và trung
gian. Trong dạy học toán.
1.4.1. Tạo nên bầu không khí học tập sôi động môi trờng tâm lý thuận lợi.
1.4.2. Rèn luyện và nâng cao tính tự giác, tích cực và chủ động sáng tạo của học
sinh.
1.4.3. Gợi động cơ mở đầu và trung gian một hoạt động cần thiết để học sinh
hiểu sâu nhớ lâu, nắm vững và vận dụng các kiến thức đà học.
Đ2: Thực tiễn dạy học gợi động cơ mở đầu và trung gian trong giai

đoạn hiện nay.
2.1. Vị trí và vai trò của Vectơ và Hệ thức lợng trong chơng trình SGK hiện hành.
2.2. Việc thực hiện việc dạy Gợi động cơ mở đầu và trung gian hiện nay

6


Chơng II. Một số phơng án dạy học theo hớng gợi động
cơ nhằm hình thành khái niệm phát hiện định lý và chứng
minh
2.1. Một số phơng án gợi động cơ mở đầu nhằm hình thành khái niệm phát hiện
định lý.

2.1.1. Phơng án 1: Gợi động cơ xuất phát từ thực tế.
2.1.2. Phơng án 2: Gợi động cơ xuất phát từ những môn khoa học khác.
2.1.3. Phơng án 3: Gợi động cơ mở đầu bằng việc dùng hình vẽ và mô hình trực
quan.
2.1.4. Phơng án 4: Gợi động cơ mở đầu nhờ việc khái quát hoá.
2.1.5. Phơng án 5: Gợi động cơ mở đầu hớng tới sự hoàn chỉnh hệ thống.
2.1.6. Phơng án 6: Gợi động cơ mở đầu bằng cách xét sự liên hệ và phụ thuộc.
2.1.7. Phơng án 7: Gợi động cơ mở đàu bằng việc mở rộng cho nhiều trờng hợp.
2.2. Một số biện pháp gợi động cơ trung gian để chứng minh định lý.
2.2.1. Phơng án 1: Gợi động cơ trung gian bằng cách xây dựng hệ thống câu hỏi
s phạm.
2.2.2. Phơng án 2: Gợi động cơ trung gian chứng minh định lý bằng cách dựa
vào định nghĩa và qui tắc.
2.2.3. Phơng án 3: Gợi động cơ chứng minh các định lý bằng cách xây dựng
những bài toán trung gian.
2.2.4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích để chứng minh các định lý.
Chơng III. thăm dò Thực nghiệm
1. Mục đích thực nghiệm.
2. Nội dung thực nghiệm.
3. Kết quả thực nghiệm.
Phần III: Kết luận

7


Phần II: Nội dung
Chơng I:
một số cơ sở lý luận và thực tiễn

Đ1. Hoạt động gợi động cơ mở đầu và trung gian trong dạy

học toán.

1.1. Hoạt động trong dạy học toán và các thành tố cơ sở của PPDH.
11.1. Hoạt động trong dạy học toán:
Hoạt động là quy luật chung nhất của tâm lý học. Nó là phơng thức tồn
tại trong cuộc sống chủ thể. Hoạt động sinh ra từ nhu cầu nhng lại đợc điều
chỉnh bởi mục tiêu mà chủ thể nhận thức đợc. Nh vậy hoạt động là hệ toàn vẹn
gồm hai thành tố cơ bản: chủ thể và đối tợng, chúng tác động lẫn nhau, thâm
nhập vào nhau và sinh thành ra nhau tạo ra sự phát triển của hoạt động. Hoạt
động học là yếu tố quan trọng và có tính chất quyết định, thông thờng các hoạt
động khác hớng vào làm thay đổi khách thể (đối tợng của hoạt động) trong khi
đó hoạt đông học lại làm cho chính chủ thể thay đổi và phát triển. Dĩ nhiên
cũng có khi hoạt động học lại làm thay đổi khách thể nhng đó chỉ là phơng tiện
để đạt mục đích làm cho ngời học phát triển năng lực nhận thức (chẳng hạn
trong thí nghiệm vật lý, hoá học). Hoạt động là mắt xích, là điều kiện hình
thành nên mối liên hệ hữu cơ giữa mục đích, nội dung và phơng pháp dạy học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất
định. đó là những hoạt động đà đợc tiến hành trong quá trình hình thành và
khắc sâu vận dụng nội dung đó. Cho nên để đảm bảo đợc nội dung dạy học, thu
đợc kết quả nh mong muốn chúng ta cần tổ chức cho chủ thể học sinh tiến hành
hoạt động một cách tự giác và hiệu quả cụ thể là:
Bắt đầu từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện ra những hoạt động liên
hệ với nó rồi căn cứ vaò mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học
sinh một số trong những hoạt động đà phát hiện đợc. Việc phân tích một hoạt
8


động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành
những hoạt động với mức độ vừa sức với họ và đây là t tởng chủ đạo để đi đến
xu hớng cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động

thành phần tơng thích với mục đích và nội dung dạy học.
Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một
cách tích cực và tự giác. Vì vậy cần cố gắng gợi động cơ để học sinh ý thức rõ
vì sao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác. Chính vì vậy xu hớng gây
động cơ đợc đa vào quan điểm hoạt động trong PPDH và trở thành một trong
những xu hớng hoạt động có ý nghĩa đặc biệt quan trọng.
Việc tiến hành hoạt động đòi hỏi những tri thức nhất định đặc biệt là tri
thức phơng pháp. Những tri thức nh vậy có khi lại là kết quả của một quá trình
hoạt động. Thông qua hoạt động để truyền thụ các tri thức đặc biệt là các tri
thức phơng pháp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học.
Trong hoạt động kết quả rèn luyện ở một mức độ nào đó của một hoạt
động có thể là tiên đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn trong các hoạt động
tiếp theo. Cho nên cần phân bậc hoạt động theo những mức độ khác nhau làm
cơ sở chỉ đạo, điều khiển quá trình dạy học.
Những t tởng chủ đạo trên hớng vào việc tập luyện cho học sinh những
hoạt động và hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, xây dựng tri thức
mà đặc biệt là tri thức phơng pháp phân bậc hoạt động nên chúng đợc xem là
các thành tố cơ sở của PPDH.

1.1.2. Các thành tố cơ sở của hoạt động dạy học toán.
1.1.2.1. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và
hoạt động thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học.
a) Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung.
Trớc hết cần phải hiểu rằng: Một hoạt động là tơng thích với nội dung
nếu nó góp phần đem lại kết quả giúp chủ thể chiễm lĩnh hoặc vận dụng nội dung
đó. Từ kết quả ở đây đợc hiểu là sự biến đổi phát triển bên trong chủ thể phân

9

biệt với kết quả tạo ra bên ngoài môi trờng. Việc phát hiện những hoạt động tơng
thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt
động nhằm lĩnh hội những dạng nội dung khác nhau: khái niệm, định lý, phơng
pháp, về những con đờng khác nhau để lĩnh hội những dạng nội dung chẳng hạn
con đờng quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con đờng thuần tuý suy
diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý.
Trong việc phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung ta cần đặc
biệt chú ý các hoạt động.
- Nhận dạng và thể hiện
- Những hoạt động toán học phức hợp
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học.
- Những hoạt động trí tuệ chung.
- Những hoạt động ngôn ngữ.

Ví dụ 1: Để dạy học sinh nắm vững nội dung định lý tứ giác nội tiếp
trong đờng tròn ta cần tổ chức các hoạt động.

- Hoạt động trí tuệ: Bất kỳ tam giác nào
Cũng nội tiếp trong một đờng tròn, xét xem một tứ giác bất kỳ có đợc
không ?
Chẳng hạn, xét xem hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật ? Sau đó
xét thêm bài toán: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đờng tròn tạo
nên một tứ giác lồi. Cho biết góc  = 60 0. HÃy dùng kiến thức góc nội tiếp để
tìm góc C ?
Từ đó hÃy nêu ra giả thiết và chứng minh.

- Hoạt động nhận dạng, thể hiện: HÃy xét các tứ giác hình bình hành,
hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân hÃy xem hình nào nội tiÕp

10

đợc và hình nào không đợc ? Cho ví dụ thể hiện về tứ giác nội tiếp đợc trong đờng tròn.

- Hoạt động phức hợp: Để chứng minh một tứ giác ABCD là nội tiếp
đợc trong đờng tròn có cần phải có dủ hai điều kiện  + = 1800 và


C


+D

=1800 không ? Giải thích tại sao ?
Với các điều kiện trong hình bên: Ta

N

M

có thể kết luận tứ giác MNPQ nội tiếp
trong một đờng tròn đợc không?
Cho biết ABCD nội tiếp trong một đờng tròn hÃy dựng đờng tròn đó.

Q

P

- Hoạt động ngôn ngữ: HÃy phân
biệt đờng tròn C ngoại tiếp tứ giác ABCD và tứ giácABCD nội tiếp đờng C.

Ví dụ 2: Dạy học khái niệm tích vô hớng của hai Vectơ.
- Hoạt động thể hiện khái niƯm.
a. Cho tam gi¸c ABC víi BC = 5, CA = 6, C = 300
TÝnh

CA . CB

?

b. Cho hai ®iĨm A và D. Tìm tập hợp các điểm thoả mÃn điêù kiện
OA . OM =
OA

2

- Hoạt động ngôn ngữ: Khái niêm tích vô hớng có thể phát biểu bằng
các cách sau:

 

a .b =
a


 
b cos (a, b )

1
(

2
 
AB.AC =
 
a .b

=



a+
b

2


−
a

2

1
2


−
b

2

)
2

( AB



+AC 2 −BC 2 )

b) Ph©n tÝch hoạt động thành những hoạt động thành phần.
Trong quá trình hoạt động nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện nh
một thành phần của hoạt động khác. Phân tích một hoạt động thành những
11


hoạt động thành phần là biết đợc cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó
vừa có thể quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ vừa chú ý cho
họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng
khi cần thiết.

Ví dụ 1: Cho ABC với trọng tâm G và O là một điểm bất kì chứng
minh rằng:

OG =

1
3

OB OC
( OA + + )

Ta có thể tách bài toán trên thành những hoạt động thành phần nhờ các
câu hỏi.
Từ giả thiết G là trọng tâm ABC ta có thể suy ra điều gì?
GA +
GB +
GC =
O

Ta có thể biểu diễn


GA

qua các véc tơ





OG, OA, OB, OC

nh thế nào?




GA = G + A
O
O

HÃy làm tơng tự với



GB, GC




GB = OG + B

O



GC = OG + C

O

Muốn có kết luận ta cần làm g×?







GA + B + C = 3OG + A + B + C
G

G
−
O
O
O




⇔ 3OG = A + B + C
O
O
O
 1



⇔ OG = (OA + B + C )
O
O
3

VÝ dô 2. Cho tø diÖn ABCD. M, N, P, Q, K, L lần lợt là trung điểm của
A
AB, AD, DC, CB, AC, BD
N

M

D

L

B

K
P

Q12
C


Chøng minh r»ng: AB2 + AC2 + AD2+ BD2 + DC2 + BC2 = 4(MP2 + NQ2 + KL2)
Ta cã thể phân tích hoạt động giải bài toán này thành các hoạt động thành phần
nhờ các câu hỏi.
HÃy xét hình bình hành ABCD và chứng minh:
A
AC 2 + BD 2 = 2( AB 2 + BC 2 )
(1)
2

AC 2 + BD 2 = AC

=
=

B


+ BD 2





( AD +DC )2 +( BA +AD )2

D  


AD 2 +DC 2 +2 AD .DC +BA 2 +AD 2 +2 AB.AD

C

= AD2 + DC2 + BA2 + AD2
= 2(AB2 + BC2)
- Víi tø diƯn ABCD ta có thể lấy ra những tứ giác nào là hình bình hành.
Ta có các hình bình hành: MNPQ, MLPK, NKQL
HÃy áp dụng kết quả (1) cho MNPQ
MP2 + QN2 = 2 (NP2 + MN2)

(2)

H·y t×m mèi quan hƯ giữa MN với BD và NP với AC
Ta có MN là đờng trung bình ABD, NP là đờng trung bình ACD
MN2 =

1
4

BD2

;

NP2 =

Từ (2) và (3) ta có:

13

1
4

AC2

(3)


MP2 + QN2 =

1
2

(BD2 + AC2)

(4)

HÃy làm tơng tự với hình bình hành MLPK và NKQL
MP2 + LK2 =

1

2

(AD2 + BC2)

(5)

NQ2 + KL2 =

1
2

(AB2 + DC2)

(6)

H·y céng vÕ víi vÕ các đẳng thức (4), (5), (6)
2 (MP2 + LK2 + NQ2) =

1
2

(AB2 + DC2 + AD2 + BC2 + BD2 + AC2)

⇔AB2 + DC2 + AD2 + BC2 + BD2 + AC2 = 4 (MP2 + LK2 + NQ2)
c) Lùa chọn hoạt động dựa vào mục đích.
Gắn với mỗi nội dung dạy học có rất nhiều hoạt động. Ngời ta không thể
đa tất cả các hoạt động phát hiện đợc xung quanh néi dung d¹y häc cho häc
sinh häc tËp vì rằng một mặt sẽ không có đủ thời gian, mặt khác có thể làm cho
học sinh không định hớng đợc con đờng phải đi, không tập trung đợc vấn đề
chính. Phải lấy mục đích của việc dạy học để sàng lọc, lựa chọn những hoạt

động phát hiện đợc. Việc tập trung vào các mục đích nào đó căn cứ vào tầm
quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện mục đích còn lại đối với
khoa học, kỹ thuật và đời sống, căn cứ vào tiềm năng và vai trò của nội dung tơng ứng đối với việc thực hiện các mục đích đó.

Ví dụ: Tìm quỹ tích các điểm M sao cho góc AMB= 1V trong đó AB là
một đoạn thẳng cho trớc.
Cần lựa chọn các hoạt động tập trung vào những mục đích chính sau:
- Học sinh hiểu và nắm vững định nghĩa đờng tròn.
- Rèn luyện năng lực dự đoán, phân tích.
- Cho học sinh luyện tập các hoạt động phức hợp.

14


d) Tập trung vào các hoạt động toán học.
Trong những hoạt động để đạt đợc mục đích ta cần phân biệt hai chức năng của
nó: chức năng phơng tiện và chức năng mục đích và mối liên hệ giữa hai chức
năng này. Đơng nhiên cả hai đều cần thiết và quan trọng nhng ta cần chú ý đến
chức năng mục đích của giờ dạy toán.

Ví dụ: Để dạy một định lý, giải một bài toán ta xét một trờng hợp cụ thể,
hình vẽ, mô hình... rồi quan sát và nhận xét... (chức năng phơng tiện) nhng ta
cần đặc biệt lu ý đến chức năng toán học nh chứng minh, phơng pháp giải toán,
nhận dạng và thể hiện.

1.1.2.2. Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức đặc biệt là tri thức
phơng pháp nh phơng tiện và kết quả hoạt động.
Mục đích dạy học không chỉ là dạy tri thức mà điều quan trọng là dạy
phơng pháp lĩnh hội tri thức nhằm giúp học sinh rút ra phơng pháp để ứng xử
trong các tình huống tơng tự. Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết quả của hoạt

động. Vì vậy trong dạy học cần quan tâm đến những tri thức cần thiết lần những
tri thức đạt đợc trong quá trình hoạt động. Cần chú ý những dạng khác nhau của
tri thức: tri thức sự vật, tri thức phơng pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị.
-Tri thức sự vật: những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con ngời đÃ
tích luỹ đợc. Tri thức sự vật trong môn toán thờng là một khái niệm, một định lý
cũng có khi là một yếu tố lịch sử.
- Tri thức phơng pháp: tri thøc gióp ta chiÕm lÜnh tri thøc sù vËt gọi là tri
thức phơng pháp (các thao tác t duy, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tơng tự hóa phơng pháp tìm tòi giải bài toán, cách phân tích tìm lời giải bài toán).
- Tri thức chuẩn thờng liên quan tới những chuẩn mực nhất định, thờng là
có tính chất quy ớc, chẳng hạn trình bày giả thiết, kết luận của một chứng minh
nh thế nào, sắp xếp các dòng biến đổi đồng nhất ra sao?
- Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn:
Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học kü tht cịng nh trong ®êi
15


sống, Thực tiễn là nền tảng của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lý, Phép
tơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nó chiếm
vai trò quan trọng hơn cả.
- Trong dạy học toán ngời thầy cần coi trọng đúng mức các dạng tri thức
khác nhau, tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện. Đặc biệt tri thức giá trị liên hệ
mật thiết với việc giáo dục t tởng chính trị và thế giới quan, tri thức phơng pháp
ảnh hởng trực tiếp tới sự phát triển kỹ năng là cơ sở định hớng trực tiếp cho hoạt
động.
Đối với giáo viên cần lu ý một số biện pháp nhằm truyền thụ tri thức phơng pháp cho học sinh nh sau:
a) Dạy học tờng minh những tri thức phơng pháp quy định trong chơng trình.
Đối với những tri thức phơng pháp quy định trong chơng trình cần xuất
phát từ chơng trình và sách giáo khoa để lĩnh hội đợc mức độ hoàn chỉnh, mức
độ tờng minh của những tri thức về phơng pháp cần dạy và mức độ chặt chẽ của
quá trình hình thành những tri thức phơng pháp đó.

Một điều quan trọng trong việc truyền thụ và củng cố những tri thức phơng pháp là nên phối hợp nhiều cách để thể hiện phơng pháp đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC và trọng tâm là G. Chứng minh




GA + B + C =O
G
G

(1)

Cã rÊt nhiỊu c¸ch chøng minh mét biĨu thøc Vectơ bằng Vectơ không bằng suy
luận logic. Sau đây ta sẽ thể hiện phơng pháp này bằng những cách sau:

Cách 1: Một trong những cách chứng minh bằng suy luận logic.




GA + B + C =
G
G
O









4
4
4
( BA +BC ) + ( AB +CB ) + ( BC +AC ) = O
3
3
3







4
4
4
⇔ ( BA +AB ) + (CA +AC ) + (BC +CB ) =O
3
3
3
⇔

16


Cách 2: Dùng phép chiếu Vectơ.

Xét phép chiếu song song S theo phơng AG xuống BC, khi đó:
A
S:A I
S:G → I

K

S:C → C
Ta cã:

J

G

S:B → B
B

I






V ′= I +IB +IC =O
I


V là hình chiếu của Vectơ

V= A+ B+ C
G
G
G

C
qua phÐp chiÕu,

chiÕu song song ph¬ng (AG) xuèng BC. Theo tính chất của phép chiếu
Vectơ ta suy ra


V

// (AG)

V

// (BG)

Mà A, B, G không thẳng hàng nên



V= O

Chứng minh tơng tù ta cã

hay





GA + B + C =
G
G
O

C¸ch 3: Dïng phơng pháp toạ độ
Cho A = ( a 1 , a 2 )
G=

Từ đó ta tính đợc toạ độ


B =( b 1 , b 2 )

(

C = ( c1 , c 2 )

a 1 + b 1 + c1 a 2 + b 2 + c 2
;
)
2

2




GA + B + C
G
G

= ( O, O )





GA + B + C =
G
G
O

b) Thông báo tri thức phơng pháp trong quá trình hoạt ®éng
Nh»m gióp häc sinh dƠ dµng thùc hiƯn mét sè hoạt động quan trọng nào đó đợc
qui định trong chơng trình, đồng thời cũng giúp học sinh hiểu bài tốt hơn.

Ví dụ 1: Dạy định lý hàm số Sin trong tam gi¸c
a
b
c
=
=

= 2R
sin A sin B sin C

(1)

17


Trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC.
Tri thức phơng pháp trong định lý này mà giáo viên phải thông báo cho
học sinh là:
1. Hệ thức kép (1) chứa đựng những đẳng thức nào? Mỗi đẳng thức, chẳng hạn:
a
= 2R ,
sin A

chứa đựng những yếu tố nào trong tam giác.

2. Xét xem góc có thể nhận ra những giá trị nào.
Xét trờng hợp đặc biệt: = 900
Xét hai trờng hợp còn lại: > 900 , Â < 900

A
B

Ta chứng minh đợc hệ thức ở tr-



ờng hợp = 90 có thể đa các trờng

0

O

hợp còn lại về trờng hợp đặc biệt bằng
cách tạo ra tam giác vuông? Nhng
phải có điều kiện gì ?

B

C

Tri thức phơng pháp:
- Xét hệ thức lợng liên quan
- Kẻ đờng phụ tạo ra tam giác vuông thích hợp

Ví dụ 2: Khi chứng minh định lý cosin:
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA

(1)

b2 = a2 + c2 – 2ac cosB

(2)

c2 = a2 + b2 - 2ab cosC

(3)

Ta cã thÓ thông báo cho học sinh các tri thức:

- Để chứng minh định lý ta cần chứng minh (1) đúng còn hai trờng hợp
sau là tơng tự.
Từ a2 hÃy chuyển qua thể hiện dới dạng Vectơ
18




a2 = a 2 =

2
BC



BC theo AB

HÃy phân tích

và


AC




BC = C − B
A
A

Thùc hiƯn phÐp tÝnh ta cã kÕt qu¶.
c) Tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những tri thức phơng pháp.

VD: Cho đờng tròn (O; R) và một đỉêm M cố định. Một đờng thẳng qua
M cắt đờng tròn tại hai điểm A và B thì tích vô hớng



MA.MB

là một số không

đổi.
Ta có thể cho học sinh hoạt động giải định lý này nh sau:
Bài toán này đà cho ta những yếu tố nào cố định ? Từ trờng hợp điểm M đà cho
có những khả năng nào xảy ra với M ? hÃy vẽ hình tơng ứng.
Việc kết luận




MA . MB

không đổi, điều này hiểu nh thế nào?



Nếu MA . MB không đổi thì nó cho kết quả là kết quả trong các trờng
hợp đặc biệt đó? HÃy vẽ các trờng hợp đặc biệt đó.

HÃy chứng minh



MA . M B

là bằng kết quả đà rút ra trong trờng hợp đặc

biệt đó?

1.1.2.3: Phân bậc hoạt động trong quá trình dạy học.
a) Thế nào là phân bậc hoạt động.
Trong quá trình dạy học một điều quan trọng là phải xác định đợc múc độ
yêu cầu mà học sinh phải đạt đợc vào lúc cuối cùng hay ở những thời điểm
trung gian của mỗi hoạt động. Đây chính là sự phân bậc hoạt động.
Mức độ hay yêu cầu của hoạt động có thể hiểu vừa theo nghĩa vi mô (một
thời gian dài lâu nh là một lớp hay cấp học nào đó) vừa theo nghĩa vĩ mô (trong
một khoảng thời gian ngắn nh trong một tiết học). Việc phân bậc càng cụ thể

19


chi tiết càng tránh đợc sự chung chung mơ hồ thì chất lợng của hoạt động càng
cao. Vì vậy cần phải phân bậc hoạt động một cách linh hoạt để dạt đợc mục
đích dạy học.
b) Những căn cứ phân bậc hoạt động
- Sự phức tạp của đối tợng hoạt động
Trong hoạt động, đối tợng càng phức tạp thì hoạt động càng khó thực
hiện. Do đó có thể dựa vào sự phức tạp của đối tợng để phân bậc hoạt động. Khi
gặp những bài toán phức tạp theo Polia có thể bỏ bớt hoặc thêm một khoản vào

điều kiện để đi tới bài toán na ná giống bài toán đó, đơn giản hơn bài toán đó
mà việc nghiên cứu nó có thể giúp ích cho việc giải bài toán ban đầu. Nh vậy
việc giải baì toán ban đầu đợc phân thành các hoạt động đơn giản hơn.

Ví dụ: Công thức Cosa + Cosb = 2cos

a+b
a-b
cos
2
2

Khi cho häc sinh lun tËp vỊ công thức này có thể phân bậc hoạt động dựa vào
sự phức tạp của biểu thức biểu thị đối số của hàm số cosin. Chẳng hạn tính:
cos(

3x + y
2

) + cos (

3 y x
2

)

Là hoạt động bậc cao hơn so với tính cosx +cosy
- Sự trừu tợng, khái quát của đối tợng:
Đối tợng hoạt động càng trừu tợng, khái quát có nghĩa là yêu cầu thực
hiện hoạt động càng cao. Cho nên có thể coi mức độ trừu tợng, khái quát của

đối tợng là một căn cứ để phân bậc hoạt động.
- Nội dung của hoạt động:
Nội dung của hoạt động chủ yếu là những tri thức liên quan đến hoạt
động và những điều kiện khác của hoạt động. Nội dung hoạt động càng gia tăng
thì hoạt động càng khó thựchiện, cho nên nội dung cũng là căn cứ để phân bậc
hoạt động.

20


Ví dụ: Khi yêu cầu thể hiện khái niệm hàm số ta có thể phân bậc theo sự
phức tạp của nội dung bằng cách yêu cầu học sinh làm bài tËp sau:
(1) Cho mét vÝ dơ vỊ hµm sè
(2) Cho một ví dụ về hàm số có hai giá trị khác nhau của đôi số cùng
chung một giá trị tơng ứng của hàm số.
- Sự phức hợp của hoạt động
Một hoạt động phức hợp bao gồm nhiều hoạt động thành phần. Tuần tự
gia tăng những thành phần này cũng là nâng cao yêu cầu đối với học sinh.

Ví dụ: Khi đặt vấn đề nghiên cứu về quĩ đạo chuyển động của các điểm
có tính chất P có thể đặt các câu hỏi lần lợt nâng cao yêu cầu nh sau:
+ Chứng minh rằng các điểm có tính chất P luôn nằm trên C (C là một
hình cô định đà cho)
+ Các điểm có tính chất P nằm trên hình nào?
+ Tìm quỹ tích các điểm có tính chất P ?
- Chất lợng của hoạt động thờng là tính hoạt động hoặc độ thành thạo,
cũng có thể lấy làm căn cứ để phân bậc hoạt động.

Ví dụ: Chứng minh toán học.
Có thể phân bậc hoạt động và chứng minh theo 3 mức độ: hiểu chứng

minh, lặp lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh. Sự phân bậc này căn
cứ vào tính độc lập của hoạt đông của học sinh.
- Phối hợp nhiều phơng diện làm căn cứ phân bậc.
Trên đây là một số căn cứ phân bậc hoạt động, nội dung hoạt động, sự
phức tạp của đối tợng hoạt động, sự trừu tợng, khía quát của đối tợng hoạt động,
sự phức hợp của hoạt động, chất lợng của hoạt ®éng... Trong thùc tÕ cã thĨ kÕt
hỵp hai hay nhiỊu căn cừ trên mà phân bậc hoạt động. Cũng có thể kết hợp một
hay nhiều căn cứ trên với tính ®éc lËp cđa häc sinh trong ho¹t ®éng.
21


1.2: Gợi động cơ trong dạy học toán.
1.2.1 Thế nào là gợi động cơ hoạt động
Dạy học là một quá trình tác động lên đối tợng học sinh nên để đạt đợc
mục đích dạy học, điều cần thiết và quyết định là tất cả học sinh phải học tập
tích cực và tự giác. Sự học tập tích cực và tự giác đòi hỏi học sinh phải có ý thức
về những mục đích cần đạt đợc và phải tạo đợc động cơ bên trong thúc đẩy bản
thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó. Điều này đợc thực hiện trong dạy
học trớc hết là bằng việc đặt mục đích và quan trọng hơn còn do gợi động cơ.
Gợi động cơ là tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú ham muốn tìm tòi khám
phá, suy nghĩ, tiến hành những hoạt động để đi đến mục đích ấy. Nói cách khác
gợi động cơ là làm cho học sinh ý thức về những ý nghĩa của những hoạt động
và của đối tợng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục đích s phạm
biến thành mục đích cá nhân học sinh chứ không dựa vào bài đặt vấn đề một
cách hình thức.
Gợi động cơ tạo cho học sinh một tâm lý hào hứng phấn khởi tự tin vào
mình. ở đây gợi động cơ đợc hiểu ở cả tầm vi mô lẫn vĩ mô. Hiện nay ở nớc ta
việc gợi động cơ ở tầm vĩ mô cha đợc giải quyết tốt, hiện tợng trò chán học là
phổ biến mà nguyên nhân của nó lẫn át cả những cố gắng ở tầm vĩ mô. Trớc
tình hình ấy trong phạm vi dạy học thầy giáo dù cố gắng mấy, có làm cho học

trò thích kiến thức này, muốn tìm hiểu kiến thức nọ thì cũng chỉ gợi động cơ ở
tầm vi mô, chỉ đạt kết quả ở mức hạn chế. Vấn đề đặt ra là phải giải quyết cả
việc gợi động cơ ở tầm vĩ mô. Điều đó phải đòi hỏi sự cố gắng của toán thể xÃ
hội trong cũng nh ngoài ngành giáo dục.
ở lớp dới giáo viên thờng dùng những cách nh cho điểm, khen chê thông
báo kết quả học tập cho gia đình để gợi động cơ. Càng lên lớp cao cùng sự trởng
thành của học sinh với trình độ nhận thức và giác ngộ chính trị ngày càng đợc
nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung hớng vào những nhu

22


cầu nhận thức, nhu cầu đời sống trách nhiệm đối với xà hội ngày càng trở nên
quan trọng.
Gợi động cơ không chỉ là việc hoạt động ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một
tri thức nào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì vậy có thể phân biệt:
gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.

1.2.2 Các cách thờng dùng để gợi động cơ.
1.2.2.1 Gợi động cơ mở đầu
Khi bắt đầu một nội dung toán học nh một bài, một phần bài, một chơng hay
một phân môn ta thờng sử dụng gợi động cơ mở đầu. Có thể gợi động cơ mở
đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán học.
Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế có thể nêu lên:
- Thực tế gần gũi xung quanh häc sinh
- Thùc tÕ x· héi réng lín (kinh tÕ, quốc phòng, kỹ thuật...), thực tế ở
những môn khoa học kh¸c.
ViƯc xt ph¸t tõ thùc tÕ gióp häc sinh tri giác vấn đề dễ dàng hơn vì đó
là những sự vật mà học sinh tiếp xúc hàng ngày, cái mà häc sinh ®· quen thuéc
®ång thêi qua ®ã cho häc sinh thấy đợc sự liên hệ giữa thực tế và lý thuyết ở trờng. Từ đó làm cho bài học trở nên hấp dẫn hơn, cuốn hút hơn và đồng thời tạo

cho học ý thức vận dụng lý thuyết để áp dụng vào cải tạo thực tiễn.
Việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế không những có tác dụng gợi động
cơ mà còn góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng. Nhờ đó mà
học sinh thấy rõ việc nhận thức và cải tạo thế gới đà đòi hỏi phải suy nghĩ và
giải quyết những vấn đề toán học nh thế nào, tức là nhận rõ toán học bắt nguồn
từ nhu cầu của đời sống thực tế. Vì vậy cần khai thác mọi khả năng để gợi động
cơ xuất phát từ thực tế, đơng nhiên cần chú ý tới các điều kiện sau:

23


- Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đơng nhiên có thể đơn giản
hoá vì lý do s phạm trong trờng hợp cần thiết.
- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung.
- Con đờng từ lúc nêu cho tới lúc giải quyết vấn đề càng ngày càng tốt.
Tuy nhiên toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng do
đó không phải bất cứ nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể gợi động cơ xuất
phát từ thực tế. Vì vậy ta còn cần tận dụng cả những khả năng gợi động cơ xuất
phát từ nội bộ toán học
Gợi động cơ từ nội dung toán học là nêu một vấn đề toán học xuất phát từ
nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ những phơng thức t
duy và hoạt động toán học.
Gợi động cơ theo cách này cũng là cần thiết, vì việc gợi động cơ từ thực tế
không phải bao giờ cũng thực hiện đợc. Hơn nữa nhờ gợi động cơ từ nội bộ toán
học học sinh hình dung đợc đúng sự hình thành và phát triển của toán học cùng
với đặc điểm của nó và có thể dần dần tiến tới hoạt động toán học một cách độc
lập.
Ta thờng vận dụng gợi động cơ từ nội bộ toán học khi bắt đầu một bài
mới hoặc từng phần theo các cách thông thờng là:
+ Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự h¹n chÕ

VÝ dơ 1: Më réng miỊn gãc cã sè ®o a0 víi 00 ≤ a0 ≤ 3600 thµnh miỊn góc
ao với a R. Tuy nhiên nếu chỉ trình bày nh vậy thì việc xoá bỏ sự hạn chế
trong trờng hợp này dờng nh chỉ do ý muốn chủ quan ngời học không thấy đợc
nhu cầu của việc này. §iỊu nµy cã thĨ lµm râ nÕu ta biÕt khai thác từ thực tế.
Trong thực tiễn còn có những góc lớn hơn 3600 chẳng hạn bán kính bánh xe
OM quay 2 vßng ta nãi nã quay mét gãc 2. 3600 = 7200. Mặt khác bán kính OM
quay theo hai chiều khác nhau. Ta quy ớc chiều quay ngợc chiều kim đồng hồ
là chiếu dơng, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm. nh vậy ta đà mở
24


rộng khái niệm góc bằng cách đa vào khái niệm góc lợng giác có số đo là một
số bất kỳ.

Ví dụ 2: Nếu tam giác ABC vuông tại A ta cã a2 = b2 + c2 nÕu gãc A
thay ®ỉi hÃy tính cạnh a. Từ đó đặt vấn đề nghiên cứu định lý hàm số cosin.
+ Hớng tới sự tiện lợi, hợp lý hóa công việc:

Ví dụ 1: Việc giải phơng trình bậc hai bằng thuật giải.
Ví dụ 2: Việc cộng hai Vectơ theo qui tắc ba điểm hoặc qui tắc hình bình
hành.
+ Hớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thèng:

VÝ dơ: Xt ph¸t tõ tỉng c¸c gãc trong mét tam giác là 1800 tổng các góc
trong một tứ giác lồi là 3600, đặt vấn đề tính tổng các góc trong một đa giác lồi.
+ Lật ngợc vấn đề:

Ví dụ 1: Trong định nghĩa phơng hớng và độ dài Vectơ ta có nhận xét:
Vectơ không đợc coi là cùng phơng với mọi Vectơ. Vậy học sinh có thể dặt

vấn đề ngợc lại nếu một Vectơ cùng phơng với ít nhất hai Vectơ không cùng
phơng thì Vectơ ấy có phải là Vectơ không hay không?

Ví dụ 2: Khi chứng minh định lý: nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo
tỷ số k 1 thì với mọi điểm O bất kỳ ta có:




OA kOB
OM =
1 k

có thể đặt câu hỏi ngợc lại là: Với O là điểm bất kỳ ta cã

khi ®ã häc sinh




OA − kOB
OM =
1 −k

víi k ≠ 1 thì M có phải là điểm chia AB theo tỷ số k không?
* Xét tơng tự

Ví dụ 1: Trung điểm O của đoạn thẳng AB đợc đặc trng bởi đẳng thức
Vectơ

OA + OB = O .

Bằng cách tơng tự hÃy tìm và chứng minh đẳng thức Vectơ

25