góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán

Mở đầu
1. Lí DO CHọN Đề TàI
1.1. Trớc những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi hỏi
nhà trờng phải đào tạo ra những con ngời có năng lực giải quyết vấn đề trong học
tập và trong thực tiễn cuộc sống. Hình thành và bồi dỡng năng lực giải quyết vấn
đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổ chức giáo dục và
các doanh nghiệp.
Trong đổi mới giáo dục, ở hầu khắp các nớc trên thế giới, ngời ta rất quan
tâm đến bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các môn học,
thể hiện đặc biệt rõ nét ở trong quan điểm trình bày kiến thức và phơng pháp dạy
học thông qua chơng trình, sách giáo khoa.
Raja Roy Singh trong cuốn Nền giáo dục cho thế kỉ XXI - Những triển
vọng của Châu á - Thái Bình Dơng đã khẳng định: Để đáp ứng đợc những đòi
hỏi mới đợc đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần thiết
phải phát triển năng lực t duy, năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo Các năng lực
này có thể quy gọn là năng lực giải quyết vấn đề.
Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục Australia và các Bộ trởng Bộ Giáo dục -
Đào tạo - Việc làm các bang của Australia (9/1992) đã đa ra kiến nghị coi phát
hiện và giải quyết vấn đề là một trong bảy năng lực then chốt (Key competencies).
ở Việt Nam, các Nghị quyết Hội nghị lần thứ t khoá VII (1993), lần thứ hai
khoá VIII (1997) của Ban chấp hành Trung ơng Đảng cộng sản Việt nam và Luật
Giáo dục (1998) đã chỉ rõ: Cuộc cách mạng về phơng pháp giáo dục hớng vào
ngời học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề
một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trờng
phổ thông. áp dụng những phơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dỡng năng lực t
duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Năng lực đầu tiên trong bốn năng lực
cơ bản mà mẫu ngời tơng lai cần có chính là năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, khoa học công nghệ, . Thái Duy Tuyên khi
bàn về mục tiêu và phơng pháp bồi dỡng con ngời Việt Nam trong điều kiện mới
đã chỉ ra: Giáo dục không chỉ đào tạo con ngời có năng lực tuân thủ, mà chủ yếu
là những con ngời có năng lực sáng tạo, , biết cách đặt vấn đề, nghiên cứu và giải

quyết vấn đề . Các dự án phát triển Giáo dục tiểu học, Trung học cơ sở và Trung
học phổ thông ở nớc ta hiện nay đang thực hiện đổi mới Giáo dục theo định hớng
trên.
1.2. ở trờng phổ thông, có thể xem học Toán là học phát hiện và giải quyết
các vấn đề Toán học (tìm tòi ở mức độ học tập các tri thức Toán học theo con đờng
1
tìm tòi suy lí và khái quát hóa) và dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Hơn nữa,
môn Toán là môn học có tính khái quát cao, mang đặc thù riêng của khoa học
Toán học nên chứa đựng nhiều tiềm năng để bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề.
Mặt khác trong dạy học Toán, mà cụ thể là: dạy học khái niệm, dạy học
định lí, và dạy học giải bài tập Toán, mỗi cái có một vai trò quan trọng riêng, một
ý nghĩa nhất định trong việc góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, phát
triển trí tuệ cho học sinh.
1.3. Đã có một số tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển một số loại năng
lực cụ thể trong dạy học môn Toán. Về năng lực học Toán học nói chung có A.N.
Kôlmôgôrôv, V.A. Cruchetxki; ở trung học cơ sở về năng lực t duy sáng tạo có
Tôn Thân; về năng lực Toán học trong lĩnh vực số học có Trần Đình Châu; về năng
lực sáng tạo trong lĩnh vực hình học có Trần Luận; ở trung học phổ thông về năng
lực giải Toán có Lê Thống Nhất; Nguyễn Thị Hơng Trang; Các nghiên cứu này
đã tạo nên bức tranh nhiều màu sắc về năng lực nói chung và năng lực Toán học
nói riêng. Tuy nhiên căn cứ vào thực trạng dạy học Toán ở trung học phổ thông
hiện nay, có thể nói vấn đề bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề cha đợc quan tâm
và phát triển một cách đầy đủ. Cụ thể cha có công trình nào nghiên cứu về vấn đề
bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán.
1.4. Chủ đề dạy học Toán ở trờng trung học phổ thông đợc chúng tôi chọn
làm minh họa cho đề tài vì lí do sau đây:
Trong đổi mới nội dung, đổi mới chơng trình đang thực hiện ở nhà trờng
phổ thông, có rất nhiều vấn đề phát sinh, những đòi hỏi mới trong những hoàn
cảnh mới. Những nội dung kiến thức, bài tập của hôm nay, ngày mai sẽ có thể
không phù hợp nữa. Hơn nữa, xét thực trạng dạy học ở trờng trung học phổ thông

hiện nay, các nhà Toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: Kiến thức,
t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay trong
nhà trờng, t duy, tính cách bị chìm đi trong kiến thức , Ta còn chuộng cách
nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo,
chẳng giúp ích gì mấy cho việc phát triển trí tuệ mà còn làm cho học sinh xa rời
thực tế, mệt mỏi và chán nản . Khối lợng kiến thức thì phong phú, nội dung, ch-
ơng trình liên tục thay đổi, làm sao có thể nhồi nhét hết vào trong đầu học sinh
đang ở tuổi có nhiều mối quan tâm khác! Do đó, thay vì việc dạy nhồi nhét, luyện
nhớ, chúng ta hãy góp phần phát triển cho học sinh cách phát hiện và giải quyết
vấn đề, dạy cho họ cách học. Mà dạy học Toán vừa tạo ra cơ hội thuận lợi, vừa đòi
hỏi phát triển những biện pháp s phạm thích hợp để hình thành và phát triển năng
lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
2
Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều kiện
cho việc nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề trên bình diện đề xuất các biện
pháp s phạm để bồi dỡng các năng lực này trong dạy học Toán ở trung học phổ
thông, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở trờng trung học phổ
thông nói riêng, qua đó phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung. Vì tất cả
các lí do trên chúng tôi đã chọn vấn đề Góp phần phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Toán" làm đề tài nghiên
cứu.
2. mục đích nghiên cứu
Hệ thống hoá và thống nhất một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực
giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở THPT; từ đó xây dựng các BPSP nhằm bồi
dỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán ở trung học phổ
thông.
3. giả thuyết khoa học
Nếu xác định đợc một số thành tố của NLGQVĐ và xây dựng đợc các
BPSP phù hợp thì có thể góp phần phát triển năng lực này cho HS trong dạy học
Toán ở trờng THPT.

4. phơng pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận:
- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nớc, các chủ trơng và chính sách
của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học Toán ở trờng
THPT.
- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận DH bộ
môn Toán có liên quan đến đề tài.
- Phân tích chơng trình, SGK, sách bài tập, sách giáo viên, sách tham khảo
hiện hành ở trờng THPT, và các sách trong chơng trình trớc hiện hành ở nớc ta.
4.2. Quan sát
Dự giờ quan sát biểu hiện GV và HS (về nhận thức, thái độ, hành vi) trong
hoạt động dạy và học Toán (trớc và trong khi thực nghiệm).
4.3. Điều tra thực tiễn và xin ý kiến chuyên gia:
- Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra GV và HS về:
+ Thực trạng tình hình DHT ở trờng THPT;
+ Thực trạng vấn đề bồi dỡng NLGQVĐ cho học sinh thông qua DH Toán ở
trờng PTTH (nhận thức của GV, kết quả).
- Tổ chức xin ý kiến chuyên gia giáo dục về vấn đề nghiên cứu.
3
4.4. Thực nghiệm s phạm:
Tổ chức nghiệm s phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài:
Hệ thống hoá, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn, phơng
pháp luận có liên quan đến NLGQVĐ trong dạy học Toán.
5.2. Đề xuất các BPSP bồi dỡng NLGQVĐ cho HS trong DH Toán ở THPT.
Trên cơ sở đó, xác định một số qui tắc tựa thuật giải thích hợp, hớng dẫn vận dụng
các BPSP trong quá trình dạy học Toán.
5.3. Tổ chức thực nghiệm s phạm xem xét tính khả thi của phơng án đề
xuất; tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn.

6. những đóng góp của luận văn và ý nghĩa của đề tài
6.1. Về mặt lí luận: Góp phần làm rõ các thành tố của NLGQVĐ của HS
trong dạy học Toán.
6.2. Về mặt thực tiễn: Xây dựng hệ thống các BPSP bồi dỡng cho HS
NLGQVĐ trong dạy học Toán.
7. những vấn đề đa ra bảo vệ
7.1. Một số thành tố của NLGQVĐ (đây là các thành tố thực sự cần thiết và
có thể bồi dỡng cho HS trong dạy học Toán ở trờng THPT).
7.2. Hệ thống các BPSP đã đề xuất là thiết thực và có tính khả thi để bồi d-
ỡng NLGQVĐ cho học sinh THPT trong DH Toán.
7.3. Một số qui tắc tựa thuật giải cùng với việc sử dụng các BPSP mà luận
văn đã đề xuất là cách thức cụ thể để góp phần phát triển NLGQVĐ cho HS.
8. cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính
của luận văn đợc trình bày trong ba chơng:
Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Quá trình nhận thức.
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học.
1.3. Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy
học Toán.
1.4. Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
trong dạy học Toán ở THPT.
1.5. Các biểu hiện và cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề.
Chơng 2: Các biện pháp s phạm góp phần phát triển năng giải quyết
vấn đề cho học sinh THPT trong dạy học Toán
4
2.1. Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp s phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh trong học Toán.
2.3. Kết luận.

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.
Chơng I
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Quá trình nhận thức
Trong dạy học nói chung, dạy học Toán nói riêng cần chú ý đến cơ chế
cũng nh những điều kiện ảnh hởng đến sự phát triển của nhận thức của ngời học,
bởi điều đó có vai trò quyết định đến khả năng lĩnh hội tri thức- tạo tiền đề cho
việc phát triển trí tuệ, phát triển NLGQVĐ của họ.
5
Ngời ta có thể xem xét khoa học các đối tợng nghiên cứu tâm lí học theo
nhiều góc độ khác nhau. Và đối với sự phát triển của nhận thức cũng không nằm
ngoài qui luật đó.
Các nghiên cứu cho thấy có thể chia quá trình nhận thức thành hai cấp độ:
nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính.
Nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác, ) có vai trò quan trọng trong đời
sống tâm lí của con ngời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn.
Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra VĐ mà bằng nhận thức cảm tính, con ng-
ời không thể nhận thức và giải quyết đợc. Muốn nhận thức và giải quyết đợc
những vấn đề nh vậy, con ngời phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận
thức lí tính (còn gọi là t duy).
Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về t duy đã đợc
trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstein. Những công trình này đã thúc
đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt các vấn đề cơ bản liên quan đến nghiên
cứu hình thức hoạt động tâm lí phức tạp. Theo cách hiểu của X. L. Rubinstein: T
duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ
hơn, toàn diện hơn so với các t liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể

[21, tr. 264].
Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về t duy, chẳng hạn: T duy là quá
trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính
qui luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan [24, tr. 117], hoặc: T
duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và
sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái quát
thực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó. T duy sinh ra trên cơ sở hoạt động
thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vợt xa giới hạn của nó [80].
T duy con ngời mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, t duy con ngời không dừng lại ở trình độ thao tác bằng
chân tay, bằng hình tợng mà con ngời còn đạt tới trình độ t duy bằng ngôn ngữ, t
duy trừu tợng, t duy khái quát - hình thức t duy đặc biệt của con ngời [24, tr. 119].
Trong quá trình t duy, con ngời sử dụng phơng tiện ngôn ngữ - sản phẩm có tính
xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để từ đó tiến hành các thao tác t
duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những
khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật - những sản phẩm khái quát của t
duy.
T duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. T duy có những
đặc điểm cơ bản sau [24, tr. 119-125]:
6
*) T duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;
*) T duy có tính khái quát;
*) T duy có tính gián tiếp;
*) T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và ngôn
ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu đạt kết
quả của quá trình t duy.
*) T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: t duy thờng bắt đầu
từ nhận thức cảm tính, dù t duy có tính khái quát và tính trừu tợng đến đâu thì nội
dung của t duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình

tợng trực quan, ). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: Nội dung cảm tính bao
giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm thành chỗ dựa cho t duy [24, tr.
122].
*) T duy là một quá trình: t duy đợc xét nh một quá trình, nghĩa là t duy có
nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình t duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp
nhau đơc minh hoạ bởi sơ đồ Hình 1.1 (do K. K. Plantônôv đa ra):
Hình 1.1 (Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận [80])
Xuất hiện các liên t ởng
Sàng lọc các liên t ởng và hình thành giả thuyết
Chính xác hoá Phủ địnhKhẳng định
Kiểm tra giả thuyết
Nhận thức vấn đề
Giải quyết vấn đề
Hoạt động t duy mới
7
*) Quá trình t duy là một hành động trí tuệ: quá trình t duy đợc diễn ra bằng
cách hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia
vào một quá trình t duy cụ thể với t cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng
hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá,
Có thể tìm thấy sự đầy đủ, sâu sắc hơn ở nghiên cứu về t duy trong luận án
tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận [80] và các tài liệu chuyên khảo khác. Cái cốt lõi là
chúng ta phải thấy đợc tác dụng của t duy trong đời sống xã hội, bởi con ngời dựa
vào t duy để nhận thức những qui luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi
dụng những qui luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình [80].
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học
Theo phân tích trên thì chúng ta cần có những quan tâm đúng mực đến sự
phát sinh và cơ chế của quá trình nhận thức để áp dụng vào dạy học có hiểu quả.
Bởi đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ đợc tốt hơn, góp phần phát triển năng lực
GQVĐ của ngời học nói chung, và trong dạy học Toán nói riêng.
1.2.1. Năng lực và năng lực toán học

1.2.1.1. Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ
a) Năng lực
ở phơng Tây có nhiều quan điểm về NL: Theo quan điểm di truyền học, tr-
ờng phái A. Binet (1875-1911) và T. Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối và
tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Theo quan điểm xã hội học, E. Durkhiem
(1858-1917) cho rằng: NL, nhân cách con ngời đợc quyết định bởi xã hội (nh một
môi trờng bất biến, tách rời khỏi điều kiện chính trị). Theo phái tâm lí học hành
vi, J. B. Watson (1870-1958) coi NL của con ngời là sự thích nghi sinh vật với
điều kiện sống [25]. Nhìn chung, các quan điểm này chủ yếu xem xét NL từ khía
cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con ngời mà coi nhẹ yếu tố giáo
dục.
Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách
khác. Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL mà
nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL
C. Mác chỉ rõ: Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không
phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động [48, tr. 167]. Ph.
Ăng ghen thì cho rằng: Lao động đã sáng tạo ra con ngời [2, tr. 641].
Trờng phái tâm lí học Xôviết với A. G. Côvaliov [13, tr. 84-127], N. X.
Lâytex, và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL
trí tuệ. B.M. Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với
8
kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai yếu tố
cơ bản liên quan đến khái niệm NL:
Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân. Mỗi cá thể khác
nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực. Không thể nói rằng: Mọi ngời đều
có năng lực nh nhau!
Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà
NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và đợc hoàn thành có kết quả tốt (tính
hớng đích).
Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của

hoạt động, ông coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con ngời: Năng lực
là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con ngời thích hợp với một hoạt động
có ích lợi cho xã hội nhất định [87, tr.250].
ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm Tất
Dong và Phạm Minh Hạc đa ra nhận định nghĩa: Năng lực chính là một tổ hợp
các đặc điểm tâm lí của một con ngời (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một
nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết
quả của một hoạt động nào đấy [24, tr.45].
b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực
M. A. Đanilôp và M.N. Xcatkin [20, tr. 26]: "Kĩ năng bao giờ cũng xuất phát
từ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành động. Kĩ năng là khả năng của
con ngời biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến thức".
Theo X.Roegiers [74, tr. 79] thì cho rằng: "Kĩ năng là khả năng thực hiện
một cái gì đó. Đó là một hoạt động đợc thực hiện".
Meirieu cho rằng: "Kỹ năng là một hoạt động trí tuệ ổn định và có thể tái
hiện trong những trờng kiến thức khác nhau. Không một kĩ năng nào tồn tại ở
dạng thuần khiết và mọi khả năng đều biểu hiện qua những nội dung".
Nh vậy, qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Kĩ năng là ở phơng
thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn đợc biểu hiện qua các nội dung
cụ thể. Kĩ năng có thể đợc hình thành theo con đờng luyện tập. Kĩ năng là một bộ
phận cấu thành năng lực.
Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành một
hoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động thành phần
của nó. Đồng thời, thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩ năng
đó chính là kĩ xảo. Nh vậy, NL và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng khít, gắn
bó, NL thờng bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệ chặt chẽ với
nhau, giúp con ngời hoạt động có kết quả.
9
Nhìn nhận vấn đề NL dới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phơng diện tìm
cách phát triển những NL cho HS trong HT, X. Rogiers đã mô hình hoá khái niệm

NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại tình
huống hoạt động: Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự
nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trớc để giải quyết những
vấn đề do tình huống này đặt ra [74, tr.90].
Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tợng trong tâm lí
học. Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà
tâm lí học đều thống nhất rằng:
*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có
những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định,
đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao.
*) Ngời có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:
+ Có tri thức về hoạt động đó;
+ Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả;
+ Đạt đợc kết quả phù hợp với mục đích đề ra;
+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau.
c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phơng diện giáo dục,
chúng tôi tổng hợp lại nh sau:
*) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hởng
của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, đợc phát triển hay hạn chế còn do
những điều kiện khác của môi trờng sống.
*) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trờng điều kiện xã hội (ở đây
ta sẽ giới hạn trong môi trờng giáo dục) thuận lợi mới phát triển đợc, nếu không
sẽ bị thui chột. Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển trong
hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể.
*) Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của con ngời.
*) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những
hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời NL còn liên
quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm.
*) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đời sống
là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trờng s phạm.

1.2.1.2. Năng lực toán học và một số thành phần đặc trng của t duy
toán học ảnh hởng đến năng lực toán học
a) Năng lực toán học
10
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL toán học từ những phơng diện
khác nhau. Trong các bài viết của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục học
ở trờng phổ thông, ông đa ra các yêu cầu đối với t duy toán học của học sinh là:
1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy đợc
sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các kí hiệu;
4) Phân chia rõ tiến trình suy luận;
5) Thói quen lí lẽ đầy đủ về logic [80].
Theo A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của t duy toán học là:
1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế;
2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất đi đến mục đích;
3) Phân chia rành mạch các bớc suy luận;
4) Sử dụng chính xác các kí hiệu (mỗi kí hiệu toán học có một ý nghĩa xác
định chặt chẽ);
5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [80].
*) A. N. Kôlmôgôrôv xem xét NL toán học trên cơ sở 3 thành tố liên có liên
quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tởng tợng và suy luận lôgic:
1) NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các
phơng pháp xa lạ với các qui tắc thông thờng để giải phơng trình;
2) Trí tởng tợng hình học hay trực giác hình học ;
3) Nghệ thuật suy luận lôgíc đợc phân nhỏ hợp lí, tuần tự.
*) V. A. Cruchetxki [28, tr. 168] nhìn nhận dới góc độ thu nhận và xử lí
thông tin đã phân chia NL toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:
1) Thu nhận thông tin toán học;
2) Chế biến thông tin toán học;

3) Lu trữ thông tin toán học;
4) Thành phần tổng hợp chung là khuynh hớng toán học của trí tuệ.
*) Trong [91], UNESCO đã công bố 10 tiêu chí NL toán học cơ bản nh sau:
1) NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các
KN;
2) NL tính nhanh và tính cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;
3) NL dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;
4) NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành
kí hiệu;
5) NL theo dõi một hớng suy luận hay chứng minh;
6) NL xây dựng một chứng minh;
11
7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;
8) NL giải một bài toán có lời văn (cha toán học hóa);
9) NL phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng;
10) NL khái quát hoá.
Theo A. A. Stoliar, dạy Toán có thể xem nh dạy cho học sinh hoạt động toán
học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tơng ứng. Học toán bao gồm
các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học, nên ta có thể
phân chia NL thành thành các NL học Số học, NL học Đại số, NL học Giải tích,
NL học Hình học Mặt khác, toán học có tính trừu tợng cao và tính lôgic chặt
chẽ nên hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với t duy toán học. Do đó, NL toán
học có thể đợc nghiên cứu từ những góc độ riêng. Có những tác giả đã cụ thể hoá
và vận dụng NL này vào DH Toán theo các khía cạnh, phạm vi và chủ đề khác
nhau.
E. L. Thorndike trong cuốn các vấn đề giảng dạy Đại số, 1920 [88, tr. 27]
đã xác định bảy thành tố của NL Đại số gồm:
1) Hiểu và thiết lập các công thức;
2) Biểu diễn các tơng quan số lợng thành hình dạng công thức;
3) Biến đổi các công thức;

4) Thiết lập các phơng trình biểu diễn các quan hệ số lợng đã cho;
5) Giải các phơng trình;
6) Thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
7) Biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lợng.
Tiếp cận từ góc độ bồi dỡng t duy sáng tạo, Tôn Thân đã tập trung nghiên
cứu ba trong năm thành phần cơ bản của t duy sáng tạo là tính mền dẻo, tính
nhuần nhuyễn, và tính độc đáo [79, tr. 12-13].
Theo hớng bồi dỡng NL toán học cho HS THCS, Trần Đình Châu tập trung
vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [8, tr. 38-39].
Từ khía cạnh rèn luyện NL t duy trong NL toán học, Nguyễn Thái Hoè đa
ra các yêu cầu rèn luyện t duy qua giải bài tập toán [29, tr. 4]; Nguyễn Văn Thuận
tìm hiểu các đặc trng của t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho
HS ở đầu cấp THPT [80].
Nghiên cứu rèn luyện NL giải toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hớng tìm
hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [52]. Còn Nguyễn
Thị Hơng Trang thì tiếp cận NL này từ quan điểm phát hiện và GQVĐ một cách
sáng tạo [82],
Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:
12
*) NL toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh,
giúp họ nắm vững và vận dụng tơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức,
kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.
*) NL toán học đợc hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền
với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ HT trong môn Toán:
xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,
b) Một số thành phần đặc trng của t duy toán học ảnh hởng đến năng
lực toán học
Để thuận lợi cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến NLGQVĐ
nh đề xuất các NL thành tố và các BPSP ở các phần sau của luận văn, chúng tôi
thấy cần thiết phải phân tích, làm rõ một số loại t duy dới đây.

a) T duy trực giác
Khái niệm trực giác đợc đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau,
điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và sáng tạo khoa
học. Theo đại bách khoa toàn th Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức chân lí
bằng cách xét đoán trực tiếp mà không có sự biện giải bằng chứng minh. Theo
Cruchetxki thì nhiều trờng hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực có
thể giải thích bởi ảnh hởng vô thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng
là năng lực khái quát hóa các đối tợng, các quan hệ, các phép toán toán học và
năng lực t duy bằng cấu trúc rút gọn.
Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhau
và trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thể coi là sự bừng sáng
đột ngột, cha nhận thức đợc, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể là kết quả
của sự vận động không có ý thức các cách thức hoạt động khái quát và các cấu
trúc rút gọn.
J. Bruner đã viết: Thông thờng t duy trực giác dựa trên cơ sở quen biết với
những kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này. Điều
đó cho phép thực hiện t duy trực giác dới những dạng biến đổi đột ngột, việc
chuyển nhanh từ chỗ này sang chỗ kia, bỏ qua những khâu của vấn đề,
Và cũng cần chú ý rằng không phải tất cả các phát minh (phát minh vĩ đại)
đều là trực giác, nhng có rất nhiều phát minh bắt đầu từ trực giác. Newton chỉ với
quả táo rơi trên cây xuống mà đã đi tới định lí vạn vật hấp dẫn. Có thể hệ thống
các tiên đề của hình học Ơclit khi ông nêu ra có lẽ phần lớn cũng xuất phát từ
trực giác chăng?
Ví dụ 1.1. Vào năm Gauss 7 tuổi, thầy giáo đã ra cho cả lớp bài tập: Hãy
tính tổng của một 100 số tự nhiên từ 1 đến 100 và Gauss đã đa ra cách trả lời
13
chính xác chỉ sau một lát suy nghĩ. Làm thế nào ở độ tuổi đó, ông đã có thể tính
đợc phép tính phức tạp này?
Phải chăng xuất phát từ trực giác, Ông đã nghĩ: Dù thay đổi trật tự của con
số trong phép tính thì kết quả vẫn không thay đổi, vì thế mình có thể nhóm 1 với

100, 2 với 99, 3 với 98, để tạo thành các cặp có tổng bằng nhau, và mình có 50
cặp số nh vậy (?), suy luận đa ra đáp án là 101.50 = 5050.
Suy nghĩ này đợc thể hiện qua sơ đồ sau:

Không rõ thời điểm đó Ông thực sự đã suy nghĩ nh thế nào, nhng có lẽ bằng
trực giác toán học khi ghép đôi các cặp với nhau nh trên? (Dẫn theo [87, tr. 5]).
Qua những ví dụ trên, cho thấy cần phải có những quan tâm hợp lí đối với t
duy trực giác bởi nó cũng những ý nghĩa rất lớn trong học tập cũng nh trong cuộc
sống.
b) T duy lôgíc
T duy lôgic đợc hiểu là: T duy thay thế các hành động với các sự vật có
thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo qui tắc của Lôgíc học [68]. T duy
lôgíc là thứ t duy chặt chẽ, không mâu thuẫn, nó không chỉ là thực hiện giải quyết
vấn đề, mà còn là phơng hớng GQ. Ta sẽ thấy rằng, nếu hiểu một cách đầy đủ thì
t duy lôgíc đóng vai trò quan trọng trong việc PH và GQVĐ, nó chứng đựng cả
những thao tác tiền lôgíc, nh mò mẫn, dự đoán, bác bỏ, khẳng định, đặt giả thuyết.
Theo các tác giả Koliagin, Oganhexian, Lukankin, Xanhixki là: T duy lôgíc đợc
đặc trng bởi kĩ năng đa hệ quả từ những tiền đề, kĩ năng phân chia ra trờng hợp
riêng và phối hợp chúng lại để khảo sát một cách toàn diện vấn đề đang xét, kĩ
năng dự đoán về mặt lí thuyết một kết quả cụ thể nào đó [80].
Theo quan điểm trên, t duy lôgíc chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là: suy
diễn, dự đoán, chia trờng hợp riêng. Tuy nhiên, mức độ của từng thành phần ấy thì
không đợc định chuẩn một cách rõ ràng, bởi nh đối với dự đoán chẳng hạn, cũng
có nhiều mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trực tiếp và gián tiếp.
Vấn đề dự đoán trong t duy lôgíc thờng gặp nhiều trong DH toán ở trờng
PT, nh các bài toán quĩ tích hình học phẳng, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các
hàm số khi cha có công cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán về phơng hớng GQ
bài toán. Chẳng hạn đối với rất nhiều phơng trình, hệ phơng trình, nếu đi theo con
đờng truyền thống nh: đặt ẩn phụ, biến đổi tơng đơng, phơng pháp thế, thì
1 +2 +3 + + 98 + 99 +100

101 101
101
14
không thể giải đợc, nhng nếu đoán ra yếu tố then chốt là bài toán sẽ đợc giải theo
phơng pháp không mẫu mực (đánh giá hai vế chẳng hạn); thì sẽ thành công.
Xét ví dụ dới đây, mô tả lại quá trình mày mò, suy luận để tìm lời giải của
một HS có NL toán học.
Ví dụ 1.2: Giải phơng trình:
x
x
x
1
2
2cos
+=

.
ĐKXĐ:
0

x
.
HS đó nhận thấy phơng trình đã cho có chứa những yếu tố siêu việt (mũ, l-
ợng giác), hơn nữa có vẻ nh, các biểu thức ở hai vế đã cho dới dạng mà khó có thể
làm gọn hơn đợc nữa, lại dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phơng trình. Nghĩ tới
bài toán có thể đợc giải theo một cách khác, khi mà các phép biển đổi thông thờng
không khả thi, đó là đánh giá hai vế.
Nhận thấy đợc:
x
ĐKXĐ thì luôn có:

220
2cos
=<
x
VT

;
Tiếp tục đi đánh giá VP với hi vọng tìm thấy có sự có sự trái chiều.
Các biểu thức:
x
x
1
,
là các biểu thức cùng dấu với tích không đổi, có xuất
hiện dáng dấp của BĐT Cauchy, Nhng BĐT này lại chỉ áp dụng cho các số không
âm; nên dẫn tới đánh giá nh sau:
Khi
0
<
x
thì
VT
x
xVP <<+= 0
1
nên phơng trình vô nghiệm.
Khi
0>x
thì theo BĐT Cauchy
VT

x
xVP += 2
1
, nên phơng trình tơng đ-
ơng với hệ điều kiện:
1
2
1
22
2cos
=





=+=
==
x
x
xVP
VT
x

.
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là
1
=
x
.

Nhiều HS khi giải không tránh khỏi sai lầm khi áp dụng BĐT Cauchy ngay
cho vế phải và cũng dẫn tới đáp số đúng, sai lầm này thuộc kiểu sai lầm không
nắm rõ nội dung định lí với các điều kiện của nó.
Cũng cần nói thêm rằng nhiều bài toán thuộc kiểu không mẫu mực trên, mà
yếu tố mấu chốt lại nằm ở chỗ hạn chế đợc miền chứa nghiệm của bài toán, rồi
giải bài toán trên miền chứa nghiệm của nó thì dờng nh đơn giản hơn. Nh ví dụ
trên khi
0
<
x
thì phơng trình vô nghiệm, nên nếu phơng trình có nghiệm thì
nghiệm phải thuộc khoảng
( )
+;0
, do đó dẫn tới cách giải trên.
15
Bài toán vừa xét chỉ có thể dạy cho HS ở lớp 12 trong chơng trình phân ban
mới, khi mà họ đã học xong khái niệm lũy thừa của một số thực, phơng trình mũ.
Nhng không có nghĩa là đến bây giờ mới có những bài toán mà HS giải theo cách
này, mà ngay từ các lớp THCS các em cũng đã làm quen với kiểu bài nh trên,
chẳng hạn: giải hệ phơng trình:







+
=

+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
x
y
y
y
x
x
;
Không chỉ THCS, bài toán trên thực sự là một thách thức lớn đối với nhiều
HS THPT nếu nh ngay từ đầu không hạn chế đợc miền chứa nghiệm của bài toán
là cả x và y đều thuộc
( )
+;0
và giải hệ trên miền chứa nghiệm đó.
Các tác giả Koliagin, Oganhexian, cho rằng: phát triển t duy lôgíc của HS
là một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của GV dạy Toán, của những
ngời biên soạn chơng trình SGK và cả những ngời nghiên cứu về giáo dục toán
học. Theo các tác giả, đối với mọi cấp học, cần phải thờng xuyên quan tâm tới
việc phát triển t duy lôgíc của HS, và cần chú ý ngay từ lớp nhỏ (dẫn theo [80]).
c) T duy sáng tạo
Theo Từ điển tiếng Việt, sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn

đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai
ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Nh
vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kì hoạt động nào của xã hội loài ngời. Sáng tạo
thờng đợc nghiên cứu trên nhiều phơng diện nh là một quá trình phát sinh cái mới
trên nền tảng cái cũ, nh một kiểu t duy, nh là một năng lực của con ngời.
Các nhà nghiên cứu đa ra nhiều quan điểm khác nhau về t duy sáng tạo.
Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những
điều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau
của t duy sáng tạo. Tính sáng tạo của t duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái
mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái
mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" [37].
Theo Tôn Thân: "T duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập tạo ra ý tởng
mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác giả "T duy sáng
tạo là t duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập
của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản
phẩm của t duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó
[79].
16
Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G. Polya cho rằng: "Một t duy gọi là có
hiệu quả nếu t duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu t duy đó tạo ra những t liệu, phơng tiện giải các bài toán sau này. Các
bài toán vận dụng những t liệu phơng tiện này có số lợng càng lớn, có dạng muôn
màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của t duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng
của ngời giải vạch ra đợc các phơng thức giải áp dụng cho những bài toán khác.
Việc làm của ngời giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để
lại một bài toán tuy không giải đợc nhng tốt vì đã gợi ra cho ngời khác những suy
nghĩ có hiệu quả".
Chẳng hạn con gà đẻ trứng vàng của Fermat: Phơng trình x
n
+ y

n
= z
n
không có nghiệm nguyên dơng với số tự nhiên n >2. ở lề của cuốn sách
Arithmetica của Diophantus, Pierre de Fermat viết: Khi n = 4 biểu thức trên có
nghĩa, và với số n đồng dạng cũng vậy. Tôi có một phơng pháp rất hay để chứng
minh cho định lí này nhng không thể viết ra đây vì lề cuốn sách quá hẹp [87, tr.
35]. Tuy không đa ra đợc lời giải cho bài toán nhng các kết quả toán học có đợc
khi đi tìm lời giải bài toán của các nhà toán học nhiều thế hệ, đã cho những lí
thuyết toán học mới với những ý nghĩa to lớn, (cũng nói thêm rằng, việc chứng
minh định lí đó cũng chỉ mới đợc Andrew Wiles công bố vào 1994 với độ dày 200
trang, và lí thuyết chứng minh hết sức phức tạp vợt qua kiến thức mà nhân loại có
đợc thời Fermat sống, có dựa vào một phần của Giả thuyết Taniyama - Shimura
(dẫn theo [87, tr. 36]).
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ngời học Toán: "Đối với
ngời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đơng đầu với những
vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết. Nh vậy, một bài tập
cũng đợc xem nh là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những
mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu ngời giải cha biết trớc
thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bớc đi cha biết trớc. Nhà trờng phổ
thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa
trình bày.
Theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của t duy sáng tạo thì đó là
t duy để tạo ra cái mới. Lene trong [44], đã chỉ ra các thuộc tính của t duy sáng
tạo là:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo;
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng qui cách";
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết;
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tợng đang nghiên cứu;
17

- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời
giải (khả năng xem xét đối tợng ở những phơng thức đã biết thành một phơng thức
mới);
- Kĩ năng sáng tạo một phơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nhng phơng
thức khác.
T duy sáng tạo là t duy tích cực và t duy độc lập nhng không phải trong t
duy tích cực đều là t duy độc lập và không phải trong t duy độc lập đều là t duy
sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dới dạng vòng trong
đồng tâm.
T duy tích cực
T duy độc lập
T duy sáng tạo
Hình 1.2
Có thể nói đến t duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh
mà học sinh đó cha biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, t duy sáng tạo giải
quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý,
tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
Nói chung t duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mới độc
đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
Ví dụ 1.3: Xét ví dụ mà qua đó thể hiện những cách nhìn khác nhau trong
việc chứng minh một định lí toán học của những HS có NL toán học nhất định, và
ở góc độ nào đó cũng có thể coi là sáng tạo trong giải.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
2
3
coscoscos
++
CBA
.
Cách 1: HS vận dụng tính chất quen biết trong hoàn cảnh mới khi có những

phần tơng tự:
HS đã biết tính chất:







+
+
2
;
2
,,
2
cos2coscos

yx
yx
yx
; (1)
dấu = xảy ra khi x = y.
Họ dễ suy ra kết quả tơng tự:
3
cos3coscoscos
zyx
zyx
++
++

,







2
;
2
,,

zyx
; (2)
dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
Sự di chuyển nhanh của t duy khi áp dụng vào tam giác ABC, ta đợc:
18
2
3
3
cos3coscoscos =
++
++
CBA
CBA
; dấu bằng xảy ra khi:
CBA
==
. (ở

đây các góc A, B, C tuy không thỏa mãn điều kiện (2.1) nhng do bị hạn chế bởi
góc trong tam giác giác nên vẫn có kết quả tơng tự).
Cách 2: Hớng suy nghĩ xuất trong đầu những HS có kiến thức khá phong
phú, khi thấy đợc sự xuất hiện các giá trị cosin của góc trong tam giác, gợi ý đến
dùng tích vô hớng của các vectơ đợc xây dựng trên cơ sở các cạnh của tam giác có
giá là các đờng chứa cạnh (theo chúng tôi cách giải này có những nét độc đáo
nhất định khi nghĩ đợc nh vậy). Dẫn tới cách giải sau:
Chọn ba vectơ
kji ==
sao cho:
1=== kji
(đvđd) nh Hình 1.3.
Khi đó ta có:

( )
0
2
++ kji


0)(2
222
+++++ ikkjjikji

0)coscoscos(2111
++++
AikCkjBji
(4)

2

3
coscoscos ++ CBA
;
((4) dễ có, chẳng hạn:
BBjijiji cos)cos(),cos(
===

).
Dấu = xảy ra khi:

0=++ kji

tam giác ABC đều. (xem Hình 1.4).
Cách 3: HS vận dụng linh hoạt bất đẳng thức quen thuộc (bất đẳng thức
Cauchy) khi đoán đợc dấu =, theo chúng tôi cách giải này có nhiều nét độc đáo.
Ta có:

BABABACBA sinsincoscoscoscoscoscoscos
++=++
A
C
i
j
k
B
Hình 1.3
19

2
3

2
sincos
2
sincos
2
1
cos
2
sinsin
2
)cos1(cos
cossinsin)cos1(cos
2222
2222
=
+
+
+
+
+
+
+
+

++=
BBAA
B
BABA
BBABA
Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.

Cách giải trên, mấu chốt là dự đoán đợc dấu = và trên cơ sở đó mà nhóm thích
hợp, và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức đã học.
Ngoài ra đối với những HS ở mức độ vừa phải hơn, việc giải đợc nh cách 4,
cách 5 cũng có thể coi là mới mẻ trong giải bài toán.
Cách 4: Với lối suy nghĩ mộc mạc, khi biến đổi để đa về tổng của những
biểu thức không âm (khi muốn đánh giá biểu thức không âm) hay đa về tổng của
những biểu thức không dơng (khi muốn đánh giá không dơng).
Ta có:
2
3
coscoscos
++
CBA


2
3
2
sin21
2
cos
2
cos2
2
+
+

CBABA

0

2
1
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
+


CBAC


0
2
cos
4
1
4
1
2
cos
4
1
)
2
cos
2

1
(
2
sin2
2
sin
222


+

+


BABABACC

0
2
sin
4
1
2
cos
2
1
2
sin
2
2

+









BABAC
, luôn đúng.
(I) đợc chứng minh; dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.
Cách 5: HS biết huy động kết quả của định lí về dấu của tam thức bậc hai,
vận dụng vào giải bài toán, thực hiện biến đổi để xem là biểu thức đa ra đợc nh là
tam thức bậc hai của một biến nào đó mà việc xét dấu có thể thực hiện đợc thông
qua biệt số đenta.
Sử dụng biến đổi tơng đơng kết hợp với kết quả của định lí về dấu của tam
thức bậc hai. Ta có:
( )
( )
3
2
1
2
1
2
sin
2

cos2
2
sin2
2
3
2
sin21
2
cos
2
cos2
2
3
coscoscos
2
2
+


+
+

++
CBAC
CBABA
ICBA
Để (I) đúng thì điều kiện cần và đủ là (3) đúng.
20
Để chứng minh (3) đúng, thấy dáng dấp của tam thức bậc hai ẩn
2

sin
C
,
nghĩ tới việc đi xét biệt số đenta, khi đó:

BA
BABA
,,0
2
sin1
2
cos
22


=

=

là góc của tam giác, cùng với hệ số a = 2 >
0, suy ra (3) đúng, suy ra (I) đúng, dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.
Cũng cần hiểu rằng t duy sáng tạo cũng có nhiều cấp độ khác nhau, đối với
HS khi cha có PP để giải bài toán nào đó, mà HS đó có thể mò mẫm, dự đoán, rồi
đi đến cách giải (chẳng hạn, HS cấp THCS khi cha có cách giải phơng trình bậc
hai dạng chuẩn, thì việc biến đổi để đa về dạng bình phơng đúng dạng X
2
= k) thì
cũng có thể coi đó là một nỗ lực đáng ghi nhận, có thể coi là sự sáng tạo trong nỗ
lực GQVĐ.
Khi HS có những cách giải mà thể hiện suy nghĩ, cách giải không giống nh

cách thờng giải (bởi trong trờng hợp này có ý nghĩa của những con số mà nếu thay
đổi đi một chút thì không thể giải đợc theo cách đó); tuy có thể không đầy đủ, cha
chặt chẽ nhng ngời giáo viên cần có những động viên, khuyến khích kịp thời, cổ
vũ cho họ và hãy lấy đó là những tín hiệu tốt bởi ít ra việc dạy học của mình đã có
những hiệu quả đáng ghi nhận.
1.2.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học
1.2.2.1. Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong học Toán
Mỗi nội dung kiến thức trong Toán học dạy cho học sinh đều liên hệ mật
thiết với những hoạt động nhất định. Đó là những hoạt động đợc tiến hành trong
quá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó. Theo Nguyễn Bá Kim [38, tr. 13],
việc phát hiện đợc những hoạt hoạt động tiềm tàng trong một nội dung đã vạch đ-
ợc một con đờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó, đồng thời giúp họ cụ thể
hoá đợc mục đích DH có đạt đợc hay không và đạt đến mức độ nào.
Đối với HS, trong hoạt động Toán học, mỗi vấn đề đợc biểu thị thành các
câu hỏi, yêu cầu bài toán cha có sẵn lời giải hoặc cách thực hiện [18, tr. 116]. Để
GQ đợc nhiêm vụ học toán, HS cần phải tiến hành những hoạt động phát hiện
(PH) và giải quyết (GQ) những tình huống liên quan đến môn Toán: Chẳng hạn,
xây dựng khái niệm (KN), hình thành qui tắc, công thức, chứng minh định lí (ĐL)
và giải bài tập toán. Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống đó (dù ở cấp độ
nào) cũng có cấu trúc nh một bài toán - do đó có thể coi là một bài toán. Vì vậy,
có thể nói rằng: vấn đề trong học toán là bài toán (theo nghĩa rộng) mà HS cha
biết đờng lời giải.
21
Quá trình nhận thức theo hớng QGVĐ (cũng giống nh quá trình GQ bài
toán, nhiệm vụ) có thể chia thành các bớc: Tìm hiểu vấn đề (dự đoán vấn đề liên
quan, làm rõ và giới hạn vấn đề); thực hiện việc GQVĐ; tự kiểm tra các kết quả và
quá trình. Trong đó, ở bớc đầu và cuối, hoạt động nhận thức của HS diễn ra thờng
đợc bắt đầu bởi t duy trực giác, trong tình hình đòi hỏi cách t duy phê phán, cách
tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả tìm tòi, xác minh VĐ, mặt khác ở bớc GQVĐ thì
hoạt động nhận thức lại diễn ra trong tình hình mà ở đó VĐ đòi hỏi cách t duy

lôgic, chặt chẽ. Nh vậy, hoạt động GQVĐ vừa cần t duy lôgic lại vừa cần t duy
sáng tạo và càng không thể thiếu t duy trực giác.
1.2.2.2. Nội dung của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán
Giải quyết các vấn đề đợc nhận định theo nghĩa thông thờng là thiết lập
những phơng pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại. Với những vấn
đề có độ khó cao hơn, các phơng pháp giải quyết cần phải tiến bộ hơn khi giải
pháp thông thờng không thể đáp ứng với hoàn cảnh khỏ khăn này. Một số nhà tâm
lí học nhận định rằng hầu hết các kiến thức học hỏi liên quan đến việc giải quyết
các vấn đề nói chung và vấn đề khó khăn nói riêng.
Bransford trong nghiên cứu the IDEAL problem Solver Con ngời lí t-
ởng giải quyết các vấn đề khó khăn xuất bản 1984 đã đề nghị năm thành phần
trong việc GQVĐ là:
1) Nhận diện vấn đề;
2) Tìm hiểu cặn kẽ vấn đề khó khăn;
3) Đa ra một giải pháp;
4) Thực hiện giải pháp;
5) Đánh giá hiệu quả việc thực hiện.
Từ cách hiểu vấn đề và GQVĐ ở trên, trong học toán, chúng tôi quan niệm
hoạt động GQVĐ liên quan đến: các hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tình
huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm
thấy hớng giải quyết bài toán - vấn đề là kiến thức và kĩ năng đã có để tiến hành
thực hiện các hoạt động toán học (tính toán, biến đổi, suy luận, ) để đi đến lời
giải bài toán, thực hiện đợc yêu cầu của VĐ. Nh vậy, hoạt động giải quyết vấn đề
trong dạy học toán bao gồm:
+) Phát hiện, huy động kiến thức và phơng pháp đã biết liên quan tới nội
dung những vấn đề cụ thể trong học toán;
+) Phát hiện hớng giải quyết và tiến hành GQ những VĐ toán học một cách
có kết quả;
22
+) Vận dụng trong những tình huống học toán tơng tự, đặc biệt và khái

quát.
Dới góc nhìn để thấy rõ hơn trong thành phần hoạt động học toán thì có thể
xem hoạt động GQVĐ trong toán học gồm hai hoạt động chính:
*) Phát hiện vấn đề trong toán học;
+) Phát hiện các vấn đề trong tình huống học toán (xây dựng KN, quy tắc,
công thức, xác định tính chất; chứng minh định lí; giải bài toán);
+) Phát hiện cấu trúc của bài toán, vấn đề: điều gì đã có, đợc sử dụng; điều
gì càn phải tìm, phải xác định;
+) Phát hiện đờng lối của bài toán, vấn đề;
+) Phát hiện sai lầm nhợc điểm trong lời giải;
*) Giải quyết vấn đề trong học toán;
+) Định nghĩa khái niệm; phát biểu định lí;
+) Tiến hành các phép tính toán, suy luận chứng minh;
+) Trình bày lời giải bài toán;
+) Sửa chữa sai lầm, chính xác hoá cách giải quyết.
Đồng thời, có thể thấy rằng, ranh giới giữa hoạt động phát hiện và giải
quyết vấn đề trong hoạt động nhận thức chỉ là tơng đối: trong phát hiện lại có
GQVĐ, để giải quyết vấn đề lại cần phát hiện, cứ tiếp tục phát triển nh vậy và
nâng cao hơn nữa hoạt động nhận thức. Song ở mỗi bớc thì bao giờ cũng phát hiện
trớc rồi mới giải quyết sau và hoạt động toán học của HS là sự tổng hoà giữa hoạt
động phát hiện và hoạt động giải quyết, chúng luôn đan xen và tác động tơng hỗ
lẫn nhau trong quá trình tìm tòi và xác minh kiến thức, hình thành kĩ năng và ph-
ơng pháp toán học.
1.2.2.3. Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán và mối quan hệ với
các năng lực khác
ở góc độ coi GQVĐ nh một phơng thức DH, đã có nhiều công trình nghiên
cứu ở Việt Nam (Nguyễn Bá Kim - Vũ Dơng Thuỵ [35], Nguyễn Hữu Châu [5],
và trên thế giới (V. Ôkôn [53], I. Ia. Lecne [44], ).
Tuy nhiên, GQVĐ không chỉ đợc xem nh một cách tiếp cận DH mà còn đ-
ợc coi nh một mục tiêu, một NL cần đạt đến trong DH: Trần Kiều [33, tr. 20], Vũ

Văn Tảo và Trần Văn Hà [77], [78],
ở bình diện vận dụng cụ thể trong DH toán, đã có một số tác giả xem xét
PH và GQVĐ từ các khía cạnh khác nhau: Nguyễn Lan Phơng nghiên cứu về kĩ
thuật thực hiện PH và GQVĐ trong DH toán (thể hiện qua DH quan hệ vuông góc
trong không gian ở hình học lớp 11) [55], Nguyễn Thị Hơng Trang tiếp cận PH và
23
GQVĐ theo góc độ một xu hớng sáng tạo khi rèn luyện NL giảo toán cho học
sinh (thể hiện qua DH giải phơng trình, bất phơng trình ở THPT) [82],
Tập trung xem xét GQVĐ dới góc độ một NL cần phát triển cho HS để làm
căn cứ cho việc nghiên cứu bản chất và thành phần của NLGQVĐ của HS trong
quá trình dạy học toán THPT đợc chúng tôi trình bày ở phần sau của luận văn.
Từ những nghiên cứu về NL và hoạt động GQVĐ, vận dụng vào thực tiễn
DH toán ở trờng THPT, chúng tôi quan niệm: NLGQVĐ của HS trong học toán là
một tổ hợp các NL thể hiện ở các kĩ năng (thao tác t duy và hành động) trong hoạt
động HT nhằm giải quyết những nhiệm vụ của môn toán.
a) Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán
Từ quan điểm về NLGQVĐ có hai hoạt động thành phần là hoạt động PH
và GQ trong học toán, có thể xem NLGQVĐ theo hai nhóm năng lực phát hiện
vấn đề (NLPHVĐ) và năng lực giải quyết vấn đề (NLGQVĐ) trong học toán nh
sau:
a) Nhóm năng lực phát hiện vấn đề trong học toán
+) NL phát hiện mâu thuẫn, có vấn đề trong tình huống: nhận ra biểu tợng,
dấu hiệu bản chất, tính chất chung, mối quan hệ về mặt toán học của một loạt sự
vật hiện tợng;
+) NL giới hạn vấn đề;
+) NL toán học hoá tình huống bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, xác định
giải thiết, kết luận của định lí, bài toán.
+) NL phát hiện định hớng GQVĐ dới dạng cấu trúc giả thiết và kết luận
của bài toán;
+) NL phát hiện những mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết và kết luận,

các liên tởng với các VĐ đã biết để tìm ra đờng lối GQ: phát hiện đợc quan hệ
bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn, song song, vuông góc, giữa các đối tợng toán học;
+) NL phát hiện sai lầm, nhợc điểm trong cách giải bài toán, trong quá trình
tìm hiểu giới hạn cách GQVĐ;
+) NL PH đợc những ứng dụng trong thực tiễn của kiến thức toán học.
b) Nhóm năng lực GQVĐ trong học toán
+) NL sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, vẽ hình, đọc hình vẽ;
+) NL tính toán, NL suy luận và chứng minh;
+) NL hệ thống hoá vấn đề;
+) NL qui kết quả giải quyết vấn đề về đúng tình huống, đúng giới hạn VĐ;
+) NL sửa chữa sai lầm.
b) Mối quan hệ giữa năng lực GQVĐ với một số năng lực khác
24
Từ những công trình nghiên cứu có liên qua tới vấn đề NL trong học Toán
mà chúng tôi đợc tiếp cận, đối chiếu với quan niệm về NLGQVĐ, có thể thấy
rằng: trong thực tiễn, tuỳ theo quan niệm về vấn đề ở trong phạm vi mà ta có
những mối quan hệ khác nhau giữa NLGQVĐ với NL học toán, NL giải toán, ,
chúng đan xen, tơng hỗ, gắn bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt của
HS:
+) Nếu hiểu mỗi VĐ trong học toán của HS theo nghĩa hẹp (là khái niệm,
định lí, bài toán, , thì NLGQVĐ là một trong những thành phần quan trọng hình
thành nên NL học toán. Trong học toán, NLGQVĐ có thể xem xét, nghiên cứu
theo đặc thù từng phân môn: Đại số, Hình học, Chúng có những biểu hiện
riêng gắn với tính chất các hoạt động tơng ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối
liên hệ chặt chẽ tơng hỗ lẫn nhau, tạo nên NLGQVĐ và NL học toán thông qua
quá trình DH toán (yếu tố GD). Mặt khác, nếu xét theo các tình huống DH điển
hình của môn Toán thì có thể nói đến NL học khái niệm, NL suy luận chứng minh
định lí, NL giải toán, trong NL học toán nói chung. Trong đó NLGQVĐ đều có
mặt và đóng vai trò quan trọng ở mỗi NL thành phần (nhất là NL giải toán bởi tính
VĐ trong bài toán và hoạt động giải toán tự nó đã thể hiện rõ đặc thù GQVĐ).

+) Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi HS luôn phải nhận biết
và GQ những VĐ xảy ra đối với bản thân (trong đó có những VĐ của việc học
toán) thì NLGQVĐ có cấu trúc phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai
trò rộng hơn NL HT (nói riêng là NL học toán). Nhng nếu xét riêng ở phạm vi học
toán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải toán thì mỗi bài toán có thể chứa
đựng nhiều vấn đề. Khi đó, NLGQVĐ lại là một bộ phận trong NL giải toán, NL
học toán,
+) NL t duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của NLGQVĐ ở mức độ cao.
+) NL học toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh tơng đối
cao) để hình thành nên NL toán học.
+) ở các nhà toán học nổi tiếng, NL sáng tạo toán học là sự phát triển NL
toán học, NLGQVĐ ở mức độ cao dựa trên cơ sở rất quan trọng là tài năng đặc
biệt (yếu tố bẩm sinh).
1.3. Vấn đề phát triển năng lực cho học sinh trong dạy học Toán
*) Về mặt triết học, từ các qui luật mâu thuẫn và lợng chất, có thể thấy:
mâu thuẫn giữa kiến thức, kĩ năng toán học đã có ở HS với yêu cầu xây dựng và sử
dụng KT mới đã tạo ra nhu cầu, động lực để các em tiến hành hoạt động GQVĐ
trong dạy học toán. Do đó, nếu HS thờng xuyên đợc tập luyện hoạt động GQVĐ
25