Bài giảng hoá phân tích II và đánh giá, xử lý số liệu thực nghiệm bằng xác xuất thống kê

§¹i häc Th¸i Nguyªn
Trêng §¹i häc S ph¹m
Khoa Ho¸ häc
TS Mai Xu©n Tr êng−
Ho¸ ph©n tÝch II v ®¸nh gi¸,μ
xö lý sè liÖu thùc nghiÖm
b»ng x¸c xuÊt thèng kª
(TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ)
Th¸i nguyªn, 2011
Đại học Thái Nguyên
Trờng Đại học S phạm
Khoa Hoá học
Bài giảng
Hoá phân tích II (Hoá học phân
tích định l ợng ) v đánh giá, xử
lý số liệu thực nghiệm bằng
xác xuất thống kê
(3 tín chỉ = 45 tiết)
Thái nguyên, 2011
Lời nói đầu
Trên cơ sở những kiến thức đã học của phần cơ sở hóa học phân tích (hóa phân
tích I) cuốn b i giảng Hóa học phân tích định l ợng (Hóa phân tích II) giới thiệu những
ph ơng pháp phân tích định l ợng v cách xử lý, thống kê các kết quả thực nghiệm thu
đ ợc sao cho các kết quả có độ tin cậy cao nhất có thể.
Để biên soạn cuốn Hóa học phân tích định l ợng, tác giả đã tham khảo các giáo
trình của Tr ờng Đại học S phạm H Nội, Tr ờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc Gia H Nội v của các đồng nghiệp trong Khoa Hoá học - Tr ờng Đại Học S
phạm - Đại học Thái Nguyên.
Đối t ợng phục vụ chủ yếu của cuốn sách n y l sinh viên v cán bộ giảng dạy
Hoá học của Tr ờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên. Ngo i ra cuốn sách n y
cũng có thể l t i liệu cho sinh viên các tr ờng Đại học v cao đẳng có học tập môn hoá

phân tích.
Trong quá trình giảng dạy v biên soạn cuốn sách n y, mặc dù tác giả đã hết sức
cố gắng nh ng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận đ ợc nhiều ý kiến
đóng góp, phê bình, xây dựng của các thầy cô giáo v các bạn sinh viên. Tác giả xin
chân th nh cảm ơn.
Mọi sự đóng góp ý kiến xin gửi về theo địa chỉ: TS Mai Xuân Tr ờng - Khoa Hóa
học - Tr ờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên hoặc theo địa chỉ email:
.
Thái Nguyên, 1- 2011
Mai Xuân Tr ờng
1
Phần 1: Phân tích thể tích
Ch ơng 1
Một số khái niệm chung
I. Đối t ợng, nội dung nghiên cứu, ý nghĩa, tầm quan trọng của hoá
phân tích định l ợng
I.1 Đối t ợng
Hoá học phân tích định tính nghiên cứu cấu tạo của vật chất xem chúng
đ ợc cấu tạo từ các nguyên tố hoá học nào, ion nào hoặc từ những hợp chất nào.
Hoá học phân tích định l ợng xác định hàm l ợng của các nguyên tố, ion có
trong hợp chất hay trong mẫu nghiên cứu.
I.2 Nội dung nghiên cứu
Hoá học phân tích định l ợng xác định hàm l ợng các nguyên tố, ion có
trong các hợp chất, các chất.
I.3. ý nghĩa, tầm quan trọng của hoá học phân tích định l ợng
Hoá học phân tích nói chung và phân tích định l ợng nói riêng có ý nghĩa
rất lớn đối với khoa học và đời sống.
- Với hoá học nó là cơ sở để nghiên cứu, để tìm ra các nguyên tố mới.
- Với các ngành khoa học khác: Khoáng chất học, địa chất học, sinh lý
học, vi sinh học, nông học và các ngành kỹ thuật . . . thì hoá học phân tích cũng

đóng vai trò hết sức quan trọng.
- Với sản xuất: Bất kỳ một nguyên vật liệu nào đ ợc dùng để sản xuất ra
một sản phẩm nào đó cũng cần đến hoá học phân tích để xác định thành phần
định tính cũng nh định l ợng của chúng, biết đ ợc dữ kiện đặc tr ng cho chất
l ợng sản phẩm.
II. Quá trình tiến h nh.
Để tiến hành phân tích định l ợng một mẫu nghiên cứu theo ph ơng pháp
phân tích thể tích ng ời ta th ờng tiến hành theo các b ớc sau đây:
1. Chọn mẫu đại diện. Tức là chọn một phần nhỏ chất tiêu biểu cho toàn
bộ đối t ợng phân tích. Ví dụ: Khi tiến hành phân tích chỉ lấy độ vài gam mẫu
2
đại diện cho hàng tấn vật liệu, đây là điều khá phức tạp quyết định kết quả phân
tích.
2. Chuyển chất phân tích vào dung dịch. Khi tiến hành phân tích bằng
ph ơng pháp hoá học hoà tan hoàn toàn mẫu trong dung môi thích hợp và tiến
hành phân tích trong dung dịch. (Khi sử dụng một số ph ơng pháp vật lý có thể
không cần hoà tan mẫu nh ng phải có một số động tác xử lý hoá học tr ớc đối
với mẫu).
3. Tách các cấu tử cản trở khi tiến hành phân tích cấu tử chính. ở đây phải
dùng các ph ơng pháp hoá học, hoá lý và cả ph ơng pháp vật lý khi cần.
4. Tiến hành phân tích.
5. Tính kết quả phân tích bao gồm đánh giá kết quả và độ chính xác của
kết quả phân tích.
Để chuẩn bị cho quá trình phân tích mẫu cần chuẩn bị một số nội dung
sau đây:
+ Chuẩn bị các dụng cụ trong phân tích thể tích với độ đo l ờng chính xác
đã đ ợc kiểm tra: pipet, buret, bình định mức, ống đong, bình eclen (bình chuẩn
độ).
+ Pha các loại dung dịch.
- Pha dung dịch từ chất rắn (là chất gốc) ta chỉ cần cân một l ợng chính

xác trên cân phân tích theo tính toán rồi pha trong bình định mức có dung tích
nhất định ta đ ợc dung dịch có nồng độ xác định.
- Pha dung dịch từ chất rắn (không phải là chất gốc) thì sau khi pha đ ợc
dung dịch theo nh đã tính toán thì phải dùng một dung dịch khác có nồng độ
chuẩn (gọi là dung dịch chuẩn) để xác định lại nồng độ.
- Pha dung dịch từ một dung dịch khác đã biết nồng độ chính xác.
- Pha dung dịch từ mẫu tiêu chuẩn (có thể là chất rắn hay dung dịch).
Chất gốc là những chất rắn thoả mn 4 điều kiện sau đây:
- Tinh khiết về mặt hoá học, không đ ợc lẫn tạp chất. Nếu có chỉ
từ 0,05 ữ 1%.
- Phải có thành phần ứng đúng với công thức.
- Bền ở mọi trạng thái.
- Phải có đ ơng l ợng gam đủ lớn.
3
Nếu một chất thiếu 1 trong 4 điều kiện trên thì chất đó không phải là chất
gốc.
+ Các ph ơng pháp tiến hành chuẩn độ bằng ph ơng pháp thể tích.
- Ph ơng pháp pipet: Dùng pipet để lấy dung dịch chuẩn hoặc chất nghiên
cứu.
- Ph ơng pháp chuẩn độ l ợng cân riêng: Cân chính xác l ợng chất chuẩn
trên cân phân tích rồi pha vào bình định mức dung tích nhất định. Sau đó dùng
chất nghiên cứu hoặc chất chuẩn để chuẩn độ nồng độ chất nghiên cứu.
III. Phân loại các ph ơng pháp phân tích định l ợng
Dựa vào bản chất mà ng ời ta chia phân tích định l ợng ra làm 2 loại
chính: Ph ơng pháp hoá học và ph ơng pháp vật lý.
III.1. Ph ơng pháp vật lý
Các ph ơng pháp vật lý dựa trên việc đo một số tính chất vật lý nào đó (độ
hấp thụ ánh sáng, độ dẫn điện, . . .) của đối t ợng phân tích. Tính chất này là
hàm của khối l ợng hoặc nồng độ cấu tử trong mẫu phân tích vì vậy từ kết quả
đo có thể suy ra hàm l ợng của cấu tử cần xác định.

Ví dụ: C ờng độ màu của dung dịch KMnO 4 tỷ lệ thuận với nồng độ của
chất này. Vì vậy đo độ hấp thụ ánh sáng của dung dịch ở 1 b ớc sóng xác định
để suy ra nồng độ đ ơng l ợng của Mn có trong dung dịch.
Tuy vậy thông th ờng phải sử dụng phản ứng hoá học để chuyển cấu tử
phân tích thành dạng có tính chất vật lý thích hợp . Ví dụ chuyển Mn2+ thành
MnO4- rồi đo phổ hấp thụ sau đó mới suy ra nồng độ của ion MnO4- và Mn2+.
Các ph ơng pháp loại này gọi là các ph ơng pháp hoá lý. Hầu hết các ph ơng
pháp vật lý và hoá lý đòi hỏi phải dùng máy đo vì vậy chúng còn có tên chung là
các ph ơng pháp phân tích công cụ.
Ưu điểm của các ph ơng pháp phân tích công cụ là độ nhạy cao, tốc độ
phân tích nhanh, dùng phổ biến trong các phép phân tích vết cũng nh trong
phân tích hàng loạt để kiểm tra sản xuất.
III.2. Ph ơng pháp hoá học
Trong ph ơng pháp hoá học dựa vào dạng tồn tại của chất nghiên cứu
ng ời ta lại chia ra 3 loại: Phân tích khối l ợng (chất rắn), phân tích thể tích
(chất lỏng) và phân tích khí (chất khí).
4
Phân tích khối l ợng: Chẳng hạn để xác định hàm l ợng của cấu tử M ta
cho d thuốc thử R vào để M phản ứng với R tạo thành hợp chất MR n kết tủa.
Sau đó tách MRn và dựa vào khối l ợng thu đ ợc có thể tính đ ợc hàm l ợng M
trong mẫu phân tích.
Phân tích thể tích: Cũng có thể cho một l ợng chính xác thuốc thử R đủ
để tác dụng hết với M. Thông th ờng ng ời ta đo thể tích của dung dịch thuốc
thử R có nồng độ chính xác đã biết và từ đó tính đ ợc l ợng cấu tử cần xác định
M.
Phân tích khí: Nếu cho thuốc thử R vào mà sản phẩm phản ứng có sinh ra
chất khí thì có thể tìm đ ợc l ợng của nó bằng cách đo thể tích khí ở một nhiệt
độ và áp suất xác định rồi suy ra hàm l ợng của cấu tử M.
Ngoài ra trong phân tích thể tích dựa vào bản chất của phản ứng hoá học
xảy ra ng ời ta lại chia ra thành các ph ơng pháp trung hoà, ph ơng pháp oxihoá

- khử, ph ơng pháp kết tủa và ph ơng pháp tạo phức.
Ph ơng pháp phân tích khối l ợng và phân tích thể tích đ ợc dùng đầu
tiên trong phân tích định l ợng nên ng ời ta còn gọi 2 ph ơng pháp này là
ph ơng pháp kinh điển.
Ngoài ra còn có ph ơng pháp vi sinh để định l ợng vết các chất dựa trên
hiệu ứng của chúng với tốc độ phát triển của các vi sinh vật.
IV. Phạm vi áp dụng
Tuỳ theo kích th ớc mẫu và hàm l ợng cấu tử cần phân tích mà ta sử dụng
các ph ơng pháp phân tích t ơng ứng.
Ph ơng pháp phân tích thể tích đòi hỏi xác định chính xác điểm kết thúc
chuẩn độ (điểm gần với điểm t ơng đ ơng) vì vậy nếu hàm l ợng của cấu tử cần
xác định nhỏ làm cho việc xác định điểm t ơng đ ơng khó khăn thì ng ời ta
cũng ít sử dụng ph ơng pháp này.
V. Cách biểu diễn kết quả phân tích định l ợng v đánh giá kết quả
V.1. Biểu diễn hoá học
Ng ời ta th ờng biểu diễn cấu tử cần phân tích d ới dạng tồn tại của nó
trong chất phân tích. Ví dụ nitơ đ ợc biểu diễn d ới dạng NO 3-, NO2-, NH3,
NH4+. . . Các muối đ ợc biểu diễn d ới dạng các ion.
5
Đối với các cấu tử ch a biết chính xác thành phần hoặc không cần xác
định trực tiếp thành phần thì th ờng biểu diễn các cấu tử d ới dạng các nguyên
tố hoặc d ới dạng các oxit.
Thông th ờng mục đích phân tích quyết định cách biểu diễn cấu tử phân
tích. Ví dụ: Sắt trong quặng đ ợc biểu diễn d ới dạng Fe. Canxi trong đá vôi
đ ợc biểu diễn d ới dạng CaO nếu dùng đá vôi để sản xuất vôi.
V.2. Biểu diễn số học
Hàm l ợng của cấu tử có trong mẫu phân tích th ờng đ ợc biểu diễn d ới
dạng
q
K

Q
(1.1)
ở đây q là l ợng cấu tử có trong mẫu. Q là l ợng mẫu còn K là thừa số
tính. Nếu q, Q cùng đơn vị khối l ợng và K = 100 thì hàm l ợng cấu tử đ ợc
biểu diễn d ới dạng hàm l ợng % khối l ợng của cấu tử có trong mẫu.
Nếu q, Q cùng đơn vị khối l ợng và K = 1.000.000 thì hàm l ợng cấu tử
đ ợc biểu diễn thành phần triệu (ppm) khối l ợng của cấu tử có trong mẫu.
Đối với các chất rắn th ờng biểu diễn % khối l ợng hoặc phần triệu (ppm)
nếu khối l ợng cấu tử trong mẫu quá bé.
Đối với các chất lỏng thì có thể biểu diễn d ới dạng:
+ % khối l ợng P WW biểu diễn phần khối l ợng cấu tử trong 100 phần khối
l ợng mẫu.
+ % thể tích PVV biểu diễn số phần thể tích cấu tử trong 100 phần thể tích
mẫu (ở nhiệt độ xác định).
+ % khối l ợng - thể tích P WV biểu diễn phần khối l ợng cấu tử trong 100
phần thể tích mẫu, th ờng dùng khi cần biểu diễn nồng độ % của chất rắn hoặc
chất lỏng nguyên chất trong một chất lỏng khác ở một nhiệt độ xác định.
+ % thể tích - khối l ợng P VW biểu diễn phần thể tích cấu tử trong 100
phần khối l ợng mẫu, th ờng dùng để biểu diễn nồng độ % theo thể tích chất
lỏng hoặc khí trong một khối l ợng chất lỏng khác.
Các hệ thức liên hệ:
6
P
W
W
WPV
=
dl
VPW
=

dC
VPV .d C
=
dl
(dl là tỷ khối mẫu lỏng).
(dc là tỷ khối cấu tử lỏng).
(1.2)
(1.3)
(1.4)
P
W
W
P
W
W
Trong tr ờng hợp khi l ợng cấu tử trong chất phân tích quá bé thì ng ời ta
th ờng biểu diễn theo phần triệu (ppm). Đối với các dung dịch rất loãng thì
WW
dl 1 nên PW = PV .
Ví dụ: Trong 1 lít n ớc tự nhiên có 0,002 gam chì thì ta nói có 2 ppm Pb 2+.
Nghĩa là có 2 phần khối l ợng chì trong 1.000.000 phần thể tích n ớc.
Đối với các chất khí thì th ờng biểu diễn theo số % thể tích P VV .
Ví dụ: Khi cho 1,150 lít không khí khô (ở 00 C và 760 mm Hg) đi chậm
qua một dung dịch NaOH đặc thì l ợng khí CO 2 bị NaOH giữ lại là 1,3 mg. Tinh
PVV CO2 trong không khí.
Giải:
Số mol CO2 =
1,31,3
Thể tích CO2 có trong không khí là
.22,4

3344.1044.10
VPV =
1,3.22,4.100
=0,058%
44.103 .1,150
V.3. Biểu diễn nồng độ trong phân tích định l ợng
Trong phân tích định l ợng ng ời ta th ờng dùng các loại nồng độ sau:
V.3.1. Nồng độ phần trăm (%)
Nồng độ phần trăm là khối l ợng chất tan trong 100 gam dung dịch (P wW)
hoặc khối l ợng chất tan trong 100 ml dung dịch (P wV).
C%=
m chattan
.100(%)
m dungdich
(1.5)
V.3.2. Nồng độ mol/ lit (M)
Nồng độ mol / lít (CM) là số mol chất tan trong 1000 ml hay 1 lít dung
dịch (hoặc số milimol trong 1 ml dung dịch).
7
CM =
n
V
(1.6)
với n là số mol chất tan. V là số lít dung dịch.
Để ký hiệu nồng độ mol ng ời ta dùng chữ M . Ví dụ dung dịch NaOH
0,25 M có nghĩa là trong 1 lít dung dịch có 0,25 mol NaOH. Cần phân biệt khối
l ợng mol cũng ký hiệu là M . Ví dụ M NaOH = 40 gam.
Nồng độ phần trăm là nồng độ gần đúng còn nồng độ mol là nồng độ
chính xác.
V.3.3. Nồng độ đ ơng l ợng (N)

Là số đ ơng l ợng gam chất tan có trong 1 lít dung dịch.
CN =

V
(1.7)
với là số đ ơng l ợng gam chất tan. V là số lít dung dịch.
Ví dụ: dung dịch NaOH 0,1 N nghĩa là 1 lít dung dịch NaOH có 0,1 đ ơng
l ợng gam NaOH.
Chú ý: Đ ơng l ợng gam của một chất không phải là một hằng số.
Đ ơng l ợng gam của một chất phụ thuộc vào ph ơng trình phản ứng mà
chất đó tham gia.
Đ ơng l ợng gam của chất A =
MA
n
(1.8)
Trong phản ứng trao đổi thì n là tổng điện tích của cation hay tổng điện
tích của anion trong 1 mol chất A.
Trong phản ứng axit bazơ thì n là số mol H+ mà 1 mol chất A đã trao
đổi.
Trong phản ứng oxihoá - khử thì n là số mol electron mà 1 mol chất A đã
trao đổi.
Ví dụ 1: Để trả lời câu hỏi đ ơng l ợng gam của H 2SO4 bằng bao nhiêu?
Ta sẽ xét xem H2SO4 tham gia phản nào.
Với phản ứng
H2SO4 + NaOH NaHSO4 + H2O
8
+ Đ ơng l ợng gam của H 2SO4 =
của NaOH =
mol ion H+.
Với phản ứng

M H2SO4
1
= 98(gam); Đ ơng l ợng gam
M NaOH
= 40(gam). Vì 1 mol NaOH và 1 mol H2SO4 trao đổi đúng 1
1
H2SO4 + 2 NaOH Na2SO4 + 2 H2O
M H2SO4
2
+ Đ ơng l ợng gam của H 2SO4 =
của NaOH =
= 49 (gam); Đ ơng l ợng gam
M NaOH
= 40(gam). Vì 1 mol NaOH trao đổi 1 mol H+ và 1 mol
1
H2SO4 trao đổi 2 mol ion H+.
Với phản ứng
2H2SO4 + Cu CuSO4 + SO2 + 2 H2O
M H2SO4
2
+ Đ ơng l ợng gam của H 2SO4 =
của Cu =
M Cu
= 32 (gam).
2
= 49 (gam); Đ ơng l ợng gam
Với phản ứng
4H2SO4 + 3Zn 3ZnSO4 + S + 4H2O
M H2SO4
6

+ Đ ơng l ợng gam của H 2SO4 =
gam của Zn =
M Zn
= 32,5 (gam).
2
= 16,33 (gam); Đ ơng l ợng
Với phản ứng 5H2SO4 + 4Mg 4MgSO4 + H2S + 4H2O
+ Đ ơng l ợng gam của H 2SO4 =
gam của Mg =
M Mg
2
M H2SO4
8
= 12,25 (gam); Đ ơng l ợng
= 12 (gam).
Quy tắc đ ơng l ợng.
Trong một phản ứng hoá học số đ ơng l ợng gam của các chất tham gia
phản ứng bằng nhau.
Khối l ợng đ ơng l ợng là khối l ợng của 1 đ ơng l ợng gam chất đó.
V.4. Độ chuẩn của một chất (TA)
Độ chuẩn của một chất là số gam chất đó có trong 1 ml dung dịch.
TA .103
C N(A) =
A
C N(A) . A
10
3

TA =
(1.9)

9
Ví dụ: Độ chuẩn của HCl là THCl = 0,00365 có nghĩa là cứ 1 ml dung dịch
HCl chứa 0,00365 gam HCl.
V.5. Độ chuẩn của một chất theo chất khác (TA/B)
Độ chuẩn của một chất A theo chất B là số gam của chất B phản ứng vừa
đủ với 1 ml dung dịch chất A.
Ví dụ THCl/CaO = 0,0056 có nghĩa là 1 ml dung dịch HCl phản ứng hết với
0,0056 gam CaO.
TA/B .103
C N(A) =
B
VI. các loại sai số v cách đánh giá, xử lý số liệu
(1.10)
VI.1. Phân loại các phép đo
VI.1.1. Phép đo trực tiếp
Phép đo trực tiếp là phép so sánh vật đo với vật chuẩn.
Trong thực hành khoa học thực nghiệm nói chung và hoá học nói riêng
cần sử dụng các phép đo trực tiếp để xác định một đại l ợng nào đó.
Ví dụ: Phép cân là phép so sánh khối l ợng vật cần đo khối l ợng với khối
l ợng của quả cân (khối l ợng chuẩn).
Phép đo thể tích là phép so sánh thể tích của dung dịch với thể tích của
dụng cụ đo thể tích (pipet, buret, bình định mức - thể tích chuẩn).
Đối với các đại l ợng đo trực tiếp ta phải lấy số các số có nghĩa sao cho
chỉ con số cuối cùng là gần đúng, còn lại các con số tr ớc đó là chính xác.
Ví dụ: Nếu cân vật cân 1(g) trên cân kỹ thuật có độ chính xác
là 0,01(g) thì số liệu đ ợc biểu diễn là 1,00(g), nếu cân trên cân phân tích có
độ chính xác 10-3(g) thì số liệu đ ợc biểu diễn là 1,000(g) và nếu cân trên cân
phân tích có độ chính xác 10-4(g) thì số liệu đ ợc biểu diễn là 1,0000(g).
VI.1.2. Phép đo gián tiếp
Trong thực tế nói chung và hoá học nói riêng, chúng ta th ờng sử dụng kết

quả đo trực tiếp để xác định một đại l ợng nào đó thông qua một công thức liên
hệ nhất định. Trong tr ờng hợp này đại l ợng cần xác định thuộc phạm vi các
phép đo gián tiếp và phép đo đó đ ợc gọi là phép đo gián tiếp.
10
Ví dụ: Nh phần 1.1.1 thì phép cân, đo thể tích là phép đo trực tiếp. Nếu
sử dụng số liệu cân (m), số liệu đo thể tích (V) để xác định nồng %; nồng độ mol
theo công thức (1.11) hoặc công thức (1.12) thì phép đo khối l ợng và phép đo
thể tích lại là phép đo gián tiếp để xác định nồng độ %; nồng độ mol theo các
công thức (1.11) và (1.12):
C% =
hay
Trong đó:
m
.100%
V.1000.d
CM =
m
M.V
(1.11)
(1.12)
C% là nồng độ phần trăm của dung dịch.
m là khối l ợng chất tan.
M là khối l ợng mol của chất tan.
V là thể tích dung dịch (lít)
d là khối l ợng riêng của dung dịch.
Nh vậy một phép đo có thể là phép đo trực tiếp hay gián tiếp tuỳ thuộc
vào việc sử dụng kết quả đó một cách trực tiếp hay gián tiếp.
VI.1.3. Phép đo tập hợp
Để xác định một đại l ợng nào đó ta th ờng tiến hành đo nhiều lần, qua
nhiều giai đoạn và thu đ ợc rất nhiều giá trị thực nghiệm. Tập hợp tất cả các giá

trị của các phép đo mới có thể xác định đ ợc một đại l ợng nào đó. Trong tr ờng
hợp này, đại l ợng đó đ ợc xác định từ một phép đo tập hợp.
Ví dụ: Để xác định hàm l ợng sắt trong một mẫu quặng ta phải cân khối
l ợng quặng (phép đo 1), hoà tan quặng thành một thể tích dung dịch nhất định
(phép đo 2), chuẩn độ xác định nồng độ ion sắt trong dung dịch đó (phép đo 3);
hoặc có thể hoà tan quặng rồi cho kết tủa hydroxit, nung chuyển về dạng oxit rồi
cân xác định khối l ợng oxit sắt. Khi đó hàm l ợng sắt trong mẫu quặng đ ợc
xác định từ một phép đo tập hợp.
VI.2. Sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên
Các số liệu thực nghiệm thu đ ợc luôn mắc sai số ngẫu nhiên và có mắc
sai số hệ thống hay không ta phải dựa vào toán học thống kê để kiểm tra đánh
giá. Để đánh giá đ ợc sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống phải hiểu và nắm
vững các khái niệm sau.
11
VI.2.1. Độ lặp lại (độ chính xác)
Độ lặp lại phản ánh sự phù hợp giữa các kết quả thu đ ợc trong các lần thí
nghiệm lặp lại ở trong cùng một điều kiện thực nghiệm quy định của phép đo.
Kết quả đo có thể có độ lặp lại cao (chính xác) nh ng không đúng hoặc ng ợc
lại. Độ lặp lại phản ánh qua ph ơng sai của phép đo.
Vì ph ơng sai biểu diễn độ sai khác giữa các giá trị trong tập số liệu kết
quả thực nghiệm so với giá trị trung bình. Ph ơng sai càng nhỏ thì độ lặp lại
càng lớn và ng ợc lại.
Nguyên nhân dẫn đến độ lặp lại kém có thể là:
+ Chọn mẫu không đặc tr ng về số l ợng và chất l ợng.
+ Tay nghề ng ời làm phân tích kém.
Thực ra giá trị trung bình cộng X cũng phản ánh phần nào độ lặp lại và
ng ợc lại giá trị ph ơng sai S 2 cũng phản ánh phần nào độ đúng, tuy nhiên mỗi
đại l ợng có một tính trội riêng. X có tính trội phản ánh độ đúng, S2 có tính trội
phản ánh độ lặp lại.
VI.2.2. Độ đúng

Độ đúng phản ánh sự phù hợp giữa kết quả thực nghiệm thu đ ợc với giá
trị thực của đại l ợng đo. Độ đúng đ ợc phản ánh thông qua giá trị trung bình
cộng.
Vì trung bình cộng biểu diễn độ tập trung của các giá trị thực nghiệm nên
độ đúng của tập số liệu kết quả thực nghiệm đ ợc đánh giá thông qua giá trị
trung bình cộng. Giá trị trung bình cộng mà sai khác với giá trị thật càng nhỏ thì
độ đúng của kết quả thực nghiệm càng lớn và ng ợc lại.
Nguyên nhân dẫn đến độ đúng kém có thể là:
+ Chọn mẫu không đúng về số l ợng và chất l ợng.
+ Giải pháp đo số liệu không chính xác.
Kết quả đo có thể có độ đúng cao nh ng độ lặp lại thấp hoặc ng ợc lại.
Kết quả thực nghiệm thu đ ợc tốt nhất khi vừa có độ lặp lại cao và vừa có độ
đúng cao.
Ví dụ: Xác định nồng độ dung dịch HCl 0,1M chuẩn. 3 sinh viên A, B, C
tiến hành 5 lần thí nghiệm thu đ ợc kết quả nh sau:
12
Sinh viên
A
B
C
Lần 1
0,1002
0,1014
0,1002
Lần 2
0,0998
0,1017
0,0999
Lần 3
0,1005

0,1016
0,1001
Lần 4
0,0991
0,1015
0,0998
Lần 5
0,1001
0,1016
0,1000
Kết quả cho thấy độ đúng của sinh viên A cao hơn của sinh viên B; độ lặp
lại của sinh viên B cao hơn sinh viên A. Sinh viên C vừa có độ lặp lại cao và vừa
có độ đúng cao.
VI.2.3. Sai số phân tích
Trong thực nghiệm, việc đánh giá các kết quả thu đ ợc là hết sức quan
trọng, nó cho biết kết quả thu đ ợc có độ đúng và chính xác tới mức nào. Khi
xác định một đại l ợng nào đó, chúng ta không bao giờ nhận đ ợc giá trị thực
của nó, chúng ta chỉ cố gắng thực hiện quá trình đó sao cho kết quả thu đ ợc có
thể chấp nhận đ ợc tức là sai số của quá trình xác định đại l ợng đó nhỏ nhất
mà thôi.
Theo cách biểu diễn sai số thì có 4 loại sai số là :
VI.2.3.1. Sai số tuyệt đối
Sai số tuyệt đối đ ợc tính theo công thức (1.13):
X = xi - X xi -
Trong đó:
X là sai số tuyệt đối của đại l ợng ngẫu nhiên X.
xi là giá trị thứ i của đại l ợng ngẫu nhiên X ( i = 1 ữ n).
(1.13)
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại l ợng ngẫu nhiên X.

Sai số tuyệt đối là sự sai khác của một giá trị nghiên cứu nào đó với giá trị
trung bình (hoặc giá trị thật). Sai số này có thể âm hoặc d ơng và có thứ nguyên
của X hay . Sai số tuyệt đối không nói lên độ chính xác của phép đo.
Ví dụ 1: Xác định hàm l ợng sắt trong mẫu phân tích, làm nhiều thí
nghiệm thu thu đ ợc X = 11% nh ng giá trị thực . = 10%. Khi đó sai số tuyệt
đối là +1%.
13
Ví dụ 2: Xác định hàm l ợng sắt trong mẫu phân tích, làm nhiều thí
nghiệm thu thu đ ợc X = 2% nh ng giá trị thực . = 1%. Khi đó sai số tuyệt đối
là +1%.
Trong 2 ví dụ trên thì cùng có sai số tuyệt đối là 1% nh ng độ chính xác
của 2 phép đo là không nh nhau. Để đánh giá độ chính xác của phép đo ng ời
ta sử dụng sai số t ơng đối.
VI.2.3.2. Sai số t ơng đối
Sai số t ơng đối tính theo công thức (1.4):
=
xi Xx x
.100 = i.100 = i.100
XX
(1.4)
Trong đó:
là sai số t ơng đối của đại l ợng ngẫu nhiên X.
xi là giá trị thứ i của đại l ợng ngẫu nhiên X ( i = 1 ữ n).
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại l ợng ngẫu nhiên X.
Sai số t ơng đối là tỷ số của sai số tuyệt đối với giá trị trung bình hay giá
trị thực. Sai số này không có thứ nguyên cho nên đ ợc dùng để so sánh sai số
t ơng đối của các ph ơng pháp nghiên cứu cho kết quả không cùng thứ nguyên.
Sai số này có thể âm hoặc d ơng. Sai số t ơng đối cho biết độ chính xác của
phép đo.

Ví dụ 1: Xác định hàm l ợng sắt trong mẫu phân tích, làm nhiều thí
nghiệm thu đ ợc X = 11% nh ng giá trị thực . = 10%. Khi đó sai số t ơng đối
là +10%.
Ví dụ 2: Xác định hàm l ợng sắt trong mẫu phân tích, các thí nghiệm thu
đ ợc X = 2% nh ng giá trị thực . = 1%. Khi đó sai số t ơng đối
là +100%.
Nh vậy việc xác định hàm l ợng sắt ở ví dụ 2 mắc sai số gấp 10 lần so
với ở ví dụ 1 mặc dù chúng đều có sai số tuyệt đối là 1%.
VI.2.3.3. Sai số hệ thống
Sai số hệ thống tính theo công thức (1.15):
14
X = X - 0
Trong đó:
X là sai số hệ thống của đại l ợng ngẫu nhiên X.
(1.15)
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại l ợng ngẫu nhiên X.
Nếu hiệu số này là đáng tin cậy (tức là khác không là đáng tin cậy) thì nghiên
cứu đã mắc sai số hệ thống. Khi đó các giá trị xi tập trung về một phía của giá trị thực
trên trục số. Sai số hệ thống có thể tìm đ ợc nguyên nhân gây ra để loại bỏ.
Sai số hệ thống là sai số do lựa chọn ph ơng pháp không chính xác, dụng cụ đo
l ờng không đúng hoặc không thống nhất giữa những ng ời thực hiện về cách xác
định một đại l ợng nào đó. Do hoá chất không tinh khiết. Do nồng độ dung dịch chuẩn
sai. Do ng ời phân tích thiếu kinh nghiệm. . . Do vậy kết quả xác định luôn lớn hơn
hoặc nhỏ hơn giá trị thực.
Sai số hệ thống làm cho kết quả của phép đo không đúng. Về nguyên tắc thì
nguyên nhân của sai số hệ thống có thể xác định và có thể loại bỏ đ ợc. Mỗi loại sai số
hệ thống làm cho kết quả đo dịch chuyển về một chiều nhất định (tăng hoặc giảm so với
giá trị thực). Sai số hệ thống có thể không đổi, cũng có thể thay đổi theo điều kiện.
Ví dụ 1: Dùng pipet có dung tích sai để đo thể tích dung dịch thì các lần đo

sẽ mắc sai số và sai số này không đổi theo thời gian. Khi dùng quả cân có khối
l ợng sai để cân mẫu thì kết quả cân cũng sẽ mắc sai số và sai số này cũng không
đổi. Khi đó phép đo thể tích và phép cân đó đã mắc sai số hệ thống. Trong tr ờng
hợp này các số liệu thu đ ợc th ờng lệch hẳn về một phía so với giá trị thực (các giá
trị x1, x2, x3, x4 x5 hoặc các giá trị x1, x2, x3, x4, x5 trong hình vẽ). Khi đó sai số
hệ thống có thể dễ dàng xác định nếu biết giá trị thực của phép đo và có thể loại bỏ
bằng cách tăng số lần thực nghiệm hoặc thay đổi ph ơng pháp xác định (thay đổi
pipet hoặc thay đổi quả cân khác).

+
x1
x2 x3
x4 x5
x1
x2 x3
x4
x5
Ví dụ 2: Cân CaCl2 trên cân phân tích một cách chính xác nh ng không đậy
nắp thì kết quả cân liên tục tăng theo thời gian (do CaCl2 hút ẩm), khi đó phép cân
cũng mắc sai số hệ thống. Trong tr ờng hợp này các số liệu thu đ ợc lệch về cả hai
phía so với giá trị thực và nếu biết giá trị thực của phép đo ta cũng rất khó xác định
15
phép đo có mắc sai số hệ thống hay không. Trong những tr ờng hợp đó ta phải
dùng toán học thống kê để kiểm tra.
+
x1 x2
x3

x4 x5
Sai số hệ thống phản ánh sự sai lệch giữa giá trị trung bình với giá trị thực

nên sai số hệ thống nói lên độ đúng của phép phân tích (phép đo).
VI.2.3.4. Sai số ngẫn nhiên
Sai số ngẫu nhiên đ ợc tính theo công thức (1.6):
X = X - 0
Trong đó:
X là sai số ngẫu nhiên của đại l ợng ngẫu nhiên X.
(1.16)
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại l ợng ngẫu nhiên X.
Nghiên cứu mắc sai số ngẫu nhiên khi hiệu số giữa giá trị trung bình cộng
X với giá trị thực gần bằng không là đáng tin cậy. Khi đó các giá trị x i phân
bố đều ở hai phía của giá trị thực trên trục số. Sai số ngẫu nhiên bao giờ cũng
mắc phải và chỉ có thể tìm các giải pháp để giảm sai số ngẫu nhiên chứ không
thể loại bỏ.
Sai số ngẫu nhiên ảnh h ởng đến độ lặp lại của các kết quả đo và làm
giảm độ chính xác của phép đo.
Sai số ngẫu nhiên là sai số sinh ra do một số lớn các nguyên nhân mà tác
động của nó nhỏ tới mức không thể tách riêng và tính riêng biệt cho từng nguyên
nhân đ ợc.
Sai số ngẫu nhiên do những nguyên nhân không xác định tr ớc và làm cho
kết quả đo dao động theo các chiều h ớng khác nhau (lúc tăng, lúc giảm).
Nguyên nhân gây ra sai số ngẫu nhiên có nhiều nh : sự thay đổi về nhiệt độ,
không gian bị nhiễm bẩn, cân đo bị sai, kỹ thuật thao tác thí nghiệm thiếu cẩn
thận làm rơi vãi, rửa kết tủa không sạch, . . .
Sai số ngẫu nhiên luôn luôn xuất hiện cho dù phép đo đ ợc thực hiện hết
sức cẩn thận và điều kiện thực nghiệm đ ợc giữ cố định một cách nghiêm ngặt.
Do đặc tính của nó nh vậy mà việc xử lý và đánh giá sai số ngẫu nhiên của mọi
phép đo là rất quan trọng. Nó cho phép xác định giá trị của phép đo, đánh giá
16
chất l ợng làm việc của ng ời thực hiện phép đo, của máy đo, đánh giá so sánh

kết quả đo ở các phòng thí nghiệm khác nhau. . . Do đó mà sai số ngẫu nhiên
phải đ ợc xử lý bằng toán học thống kê.
Sai số ngẫu nhiên phản ánh sự sai lệch giữa từng giá trị cụ thể với giá trị
trung bình nên sai số này nói lên độ lặp lại của phép đo.
VI.2.4. Độ nhạy, giới hạn phát hiện và giới hạn định l ợng
Các khái niệm độ nhạy, giới hạn phát hiện và giới hạn định l ợng rất quan trọng
khi lựa chọn một ph ơng pháp phân tích.
VI.2.4.1. Độ nhạy
Độ nhạy là đại l ợng dùng để mô tả sự thay đổi nhỏ nhất của nồng độ chất
phân tích mà gây ra sự thay đổi tín hiệu phân tích. Ví dụ trong phân tích khối
l ợng với cân phân tích có độ chính xác 10 -4(g) thì độ nhạy là nồng độ chất phân
tích để gây ra sự thay đổi khối l ợng là 10 -4(g). Trong phân tích so màu (cu vét
dày 1 cm), độ nhạy đ ợc định nghĩa là nồng độ mol gây ra sự thay đổi độ hấp
thụ quang A là 0,001. Trong phân tích quang phổ hấp thụ nguyên tử ngọn lửa, độ
nhạy đ ợc định nghĩa là nồng độ gây ra sự thay đổi độ truyền qua 1% t ơng
đ ơng với độ hấp thụ quang là 0,0044.
VI.2.4.2. Giới hạn phát hiện (Limit Of Detection - LOD)
Giới hạn phát hiện đ ợc xem là nồng độ thấp nhất của chất phân tích mà hệ
thống phân tích còn cho tín hiệu phân tích có nghĩa với tín hiệu mẫu trắng hay
tín hiệu nền.Tr ớc đây giới hạn phát hiện liên quan đến tỷ số giữa tín hiệu và nhiễu và
đ ợc định nghĩa nh sau: Giới hạn phát hiện bằng 5 lần tỷ số giữa tín hiệu và nhiễu.
Bây giờ định nghĩa giới hạn phát hiện liên quan đến độ lệch chuẩn của mẫu trắng
(Sbl).
Giới hạn phát hiện đ ợc tính theo ph ơng trình hồi quy ở công thức (1.17)
hay (công thức 3):
LOD =
3.Sy
B
=
3. y

B
(1.17)
Trong đó: LOD là giới hạn phát hiện của ph ơng pháp.
Sy hay y là độ lệch chuẩn của tín hiệu y trên đ ờng chuẩn.
B là độ dốc của đ ờng chuẩn, cũng chính là độ nhạy của ph ơng pháp.
17
VI.2.4.3. Giới hạn định l ợng (Limit Of Quantity - LOQ)
Giới hạn định l ợng đ ợc xem là nồng độ thấp nhất của chất phân tích mà
hệ thống định l ợng đ ợc với tín hiệu phân tích khác có ý nghĩa định l ợng với
tín hiệu mẫu trắng (hay tín hiệu nền) và đạt độ tin cậy 95%. Th ờng ng ời ta
chấp nhận tính giới hạn định l ợng theo công thức (1.8):
LOQ =
10.Sy
B
=
10. y
B
3 LOD
(1.18)
Trong đó: LOQ là giới hạn định l ợng của ph ơng pháp.
LOD: Giới hạn phát hiện.
B là độ dốc của đ ờng chuẩn, cũng chính là độ nhạy của ph ơng pháp.
Sy hay y là độ lệch chuẩn của tín hiệu y trên đ ờng chuẩn
Giới hạn định l ợng bằng 3 lần giới hạn phát hiện hoặc bằng 9 lần độ
chênh lệch chuẩn của mẫu trắng.
VI.2.4.4. Độ thu hồi (Rev)
Độ thu hồi đ ợc tính theo công thức (1.19):
Rev =
CT - C K
.100%

C
(1.19)
Trong đó:
Rev là độ thu hồi (%) của chất X trong mẫu.
CT là nồng độ chất X xác định đ ợc trong mẫu sau khi thêm chuẩn.
CK là nồng độ chất X xác định đ ợc trong mẫu khi ch a thêm chuẩn.
C là nồng độ của chất chuẩn X thêm vào mẫu (đã biết chính xác).
VI.2.5. Sai số tối đa cho phép P(X)
Sai số tối đa cho phép P(X) của một tập số liệu kết quả thực nghiệm
đ ợc quy định cho phép lấy các giá trị x i sai khác với giá trị trung bình X lớn
nhất là 3 nó phản ánh tính thống kê của kết quả thực nghiệm. Sai số tối đa cho
phép đ ợc chia làm 2 loại :
VI.2.5.1. Sai số tối đa cho phép tuyệt đối
Sai số tối đa cho phép tuyệt đối đ ợc tính theo công thức (1.20):
P (X) = 3
(1.20)
18
Trong đó:
X.
P(X) là sai số tối đa cho phép tuyệt đối của đại l ợng ngẫu nhiên
là độ lệch chuẩn của đại l ợng ngẫu nhiên X.
VI.2.5.2. Sai số tối đa cho phép t ơng đối
Sai số tối đa cho phép t ơng đối đ ợc tính theo công thức (1.21):
P(X)3
= .100
XX
(1.21)
Trong đó : là độ lệch chuẩn của đại l ợng ngẫu nhiên X.
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
P(X) là sai số tối đa cho phép tuyệt đối của đại l ợng ngẫu nhiên X.

Sai số tối đa cho phép t ơng đối đ ợc biểu diễn d ới dạng phần trăm (%)
do đó không còn thứ nguyên, dùng để so sánh sai số tối đa cho phép t ơng đối
của ph ơng pháp nghiên cứu này với sai số tối đa cho phép t ơng đối của
ph ơng pháp nghiên cứu khác.
Những giá trị kết quả thực nghiệm nào nằm ngoài khoảng sai số tối đa cho
phép tuyệt đối thì phải loại bỏ (các giá trị đó gọi là đã mắc sai số thô). Cách xác
định các giá trị thực nghiệm mắc sai số thô để loại bỏ sẽ đ ợc trình bày ở mục
VI.4.
VI.2.6. Những nguyên nhân xuất hiện sai số đo đạc trong hoá học
VI.2.6.1. Sai số do sử dụng máy móc, hoá chất và thuốc thử
Khi sử dụng máy không đúng h ớng dẫn, hoá chất không tinh khiết.
Ví dụ: Sử dụng cân và quả cân không đúng, sử dụng dụng cụ đo thể tích
không chính xác, do các chất lạ có trong bình thuỷ tinh, đồ sứ . . . xâm nhập vào
dung dịch hoặc hoá chất có lẫn tạp chất.
VI.2.6.2. Sai số thao tác.
Do chủ quan ng ời thực hiện phép đo gây ra. Sai số thao tác không phụ
thuộc vào máy móc và dụng cụ đo và không liên quan với ph ơng pháp đo. Sai
số này có thể rất nghiêm trọng đối với ng ời thực hiện phép đo thiếu kinh
nghiệm hoặc làm việc cẩu thả, không cẩn thận, thiếu suy nghĩ.
Ng ời mới thực hiện phép đo lần đầu th ờng phạm sai lầm nghiêm trọng
do không biết làm việc, không biết cách đo. Tuy nhiên khi đã quen công việc và
19
nếu làm việc không cẩn thận thì sai số thao tác vẫn xảy ra và việc mắc phải sai
số lúc này rất nguy hiểm.
VI.2.6.3. Sai số cá nhân
Sai số cá nhân do khả năng của ng ời đo không thể thực hiện chính xác
một số thao tác đo.
Ví dụ: Khi chuẩn độ axit yếu bằng bazơ mạnh dùng metyl da cam làm
chất chỉ thị. Ng ời phân tích không thể nhận biết chính xác sự chuyển màu của
chất chỉ thị tại điểm cuối chuẩn (màu vàng da cam sang màu vàng rơm).

Thuộc loại này cũng phải kể đến sai số tâm lý, tức là khuynh h ớng của
ng ời đo khi lặp lại các phép đo luôn muốn chọn giá trị phù hợp với giá trị đã đo
đ ợc tr ớc đó. Sai số này khá phổ biến.
Ví dụ: Khi chuẩn độ 10,00(ml) axit mạnh bằng bazơ mạnh. Lần chuẩn độ
thứ nhất thể tích của dung dịch bazơ là 9,50(ml) thì ở các lần chuẩn độ tiếp theo
ng ời chuẩn độ luôn muốn thể tích dung dịch bazơ càng gần 9,50(ml) càng tốt
(mặc dù có thể giá trị 9,50(ml) mắc sai số thô).
VI.2.5.4. Sai số ph ơng pháp
Sai số ph ơng pháp có liên quan với tính chất hoá học hoặc tính chất hoá
lý của hệ đo, ít liên quan với thao tác đo.
Ví dụ khi phản ứng xảy ra không hoàn toàn hoặc phản ứng xảy ra làm sai
lệch tính hợp thức của phản ứng chính; chọn thuốc thử làm kết tủa nh ng không
làm kết tủa đ ợc hoàn toàn cấu tử cần xác định, . . .
Thật ra sai số ph ơng pháp có liên quan chặt chẽ với sai số thao tác. Trong
nhiều tr ờng hợp nếu thao tác tốt thì có thể làm giảm sai số ph ơng pháp và
ng ợc lại. Chẳng hạn nếu rửa kết tủa tốt sao cho thể tích n ớc rửa không lớn thì
sự mất mát kết tủa do độ tan sẽ không đáng kể, ng ợc lại nếu dùng nhiều n ớc
rửa thì l ợng chất mất đi khi rửa sẽ nhiều. Nếu điều chỉnh nhiệt độ khi nung phù
hợp có thể tránh đ ợc sự phân huỷ chất. . .
VI.3. đại l ợng ngẫu nhiên và các đặc tính của nó
Một đại l ợng (biến) nhận các giá trị của nó với xác suất t ơng ứng nào
đấy gọi là đại l ợng ngẫu nhiên.
20
Đại l ợng ngẫu nhiên th ờng đ ợc ký hiệu bằng các chữ cái in hoa X, Y,
Z, . . . Các giá trị mà đại l ợng ngẫu nhiên nhận th ờng viết bằng chữ th ờng x 1;
x2; . xn (đại l ợng X có n giá trị)
Phân loại các đại l ợng ngẫu nhiên: Căn cứ vào giá trị mà đại l ợng ngẫu
nhiên nhận ta có đại l ợng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
VI.3.1. Đại l ợng ngẫu nhiên rời rạc (một chiều)
Nếu tập các giá trị mà đại l ợng ngẫu nhiên X nhận là một tập gồm các

số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm nh ng đếm đ ợc, khi đó đại l ợng ngẫu
nhiên X là đại l ợng ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử có đại l ợng ngẫu nhiên X nhận các giá trị x 1; x2; . . . xn với tần
suất P(X = xi) = Pi với i = 1; 2; 3;. . . m. Để mô tả đại l ợng ngẫu nhiên rời rạc X
ta dùng bảng phân phối xác suất nh sau:
X
P(X= xi)
x1
P1
x2
P2


xm
Pm
Trong đó Pi = 1; Pi > 0 với i = 1; 2; 3; m.
VI.3.2. Đại l ợng ngẫu nhiên liên tục (một chiều)
Nếu tập các giá trị đại l ợng ngẫu nhiên X nhận lấp đầy một khoảng nào
đó, khi đó đại l ợng ngẫu nhiên X đ ợc gọi là đại l ợng ngẫu nhiên liên tục.
Để mô tả đại l ợng ngẫu nhiên liên tục ng ời ta dùng khái niệm hàm mật
độ.
Hàm P(x) đ ợc gọi là hàm mật độ của đại l ợng ngẫu nhiên X nếu thoả
mãn hai điều kiện sau:
1. P(x) 0 với x (-; +)
+
2.

P(x)dx = 1
VI.3.3. Véc tơ ngẫu nhiên (đại l ợng ngẫu nhiên nhiều chiều)
Giả sử X = (X1, X2, . . . .XZ) trong đó Xi (với i = 1, 2, . . . , z) là các biến

ngẫu nhiên 1 chiều - nghĩa là đại l ợng ngẫu nhiên X 1 nhận các giá trị x11;
x12; . . .; x1n; X2 nhận các giá trị x21; x22; . . .; x2n . . . và Xz nhận các giá trị xz1;
xz2; . . . ; xzn. Khi đó X đ ợc gọi là vectơ ngẫu nhiên z chiều.
21
x11
X=
x 21

x z1
x12

x1n


x 22 x 2n
x z2 x zn
VI.3.4. Các đặc tr ng thống kê của đại l ợng ngẫu nhiên.
Trong thực nghiệm nói chung ta có các phép đo trực tiếp, tức là so sánh
vật đo với vật chuẩn nh cân, đo thể tích, . . . Mỗi phép đo trực tiếp đều mắc phải
sai số ngẫu nhiên và các sai số này cùng với các sai số mắc phải trong các giai
đoạn phân tích khác nhau sẽ quyết định độ chính xác của phép phân tích.
Thông th ờng, khi tiến hành thực nghiệm chúng ta th ờng thực hiện một
số thí nghiệm độc lập trong cùng điều kiện giống nhau và từ các kết quả riêng lẻ
thu đ ợc, tiến hành xử lý, thống kê để đánh giá độ chính xác của phép đo. Các
đại l ợng đặc tr ng thống kê quan trọng nhất là giá trị trung bình cộng và
ph ơng sai.
VI.3.4.1. Các đại l ợng đặc tr ng cho sự tập trung của tập số liệu
VI.3.4.1.1. Tần suất
Giả thiết có một tập số liệu gồm n giá trị, trong đó có mi giá trị xi (xi xuất
hiện mi lần). mi gọi là tần số của giá trị xi, khi đó tần suất của giá trị xi đ ợc tính

theo công thức (1.22):
pi =
Trong đó:
mi là tần số của giá trị xi.
mi
n
(1.22)
n là số giá trị X của tập số liệu.
pi là tần suất xuất hiện giá trị xi, khi n thì pi Pi (Pi xác suất
xuất hiện giá trị xi).
VI.3.4.1.2. Số Trội (Mode)
Số trội (Mode) là số có tần suất lớn nhất (số có tần số xuất hiện nhiều
nhất) trong tập số liệu.
VI.3.4.1.3. Khoảng của tập số (R)
Khoảng của tập số (R) là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của tập số. Khoảng của tập số đ ợc tính theo công thức (1.23):
(1.23)R = xmax - xmin
22