Toán chuyên đề bất đăng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (485 KB, 14 trang )
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
184
Chuyên đề 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Một số ghi nhớ:
a
2
0 , (a b)
2
4ab ; a, b
a
2
ab + b
2
> 0 ; a, b
a a ; a
a + b a + b ; a, b
a b a b ; a, b
1 sin x 1; 1 cosx 1
II. Bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm
1. Ta có: a + b
2 a.b
dấu “=” xảy ra khi a = b
2. Nếu a + b = const thì tích a.b lớn nhất khi a = b
3. Nếu a.b = const thì tổng a + b nhỏ nhất khi a = b
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y, x z .
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
x y z
P
2x 3y y z z x
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức
1 1 2
1 a 1 b
1 ab
với a, b dương và ab 1.
Ta có:
x y z 1 1 1
P
y z x
2x 3y y z z x
2 3 1 1
x y z
1 2 1 2
yy
z x x
2 3 2 3
11
xx
y z y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
zx
yz
hoặc
x
1
y
.
Đặt t =
x
y
. Với x, y thuộc đoạn [1; 4] và x y thì t [1; 2] .
Khi đó: P
2
2
2
1 2 t 2
1
1 t 1 t
2t 3
23
t
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
185
Xét hàm số f(t) =
2
2
t2
1t
2t 3
trên [1; 2] .
Ta có: f’(t) =
32
2 2 2
2[4t (t 1) 3(2t t 3)]
(2t 3) (t 1)
< 0 , x[1; 2] .
Suy ra hàm số f nghòch biến trên [1; 2] . Do đó: f(t) f(2) =
34
33
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
z x x
hoặc 1
x z y
x
t2
y
(*) .
Dễ thấy x = 4, y = 1, z = 2 thỏa (*).
Vậy giá trò nhỏ nhất của P bằng
34
33
khi x = 4, y = 1, z = 2 .
Cách 2:
Lấy đạo hàm theo biến z ta được:
P’(z) =
22
yx
0
y z z x
=
2
22
x y z xy
y z z x
Nếu x = y thì
x x z
P
2x 3x x z z x
=
6
5
.
Nếu x > y thì P’(z) = 0
2
z xy 0 z xy
.
z
xy
P'(z)
0 +
P
P xy
Vậy P
P xy
=
xy
xy
2x 3y
y xy xy x
=
2y
x
2x 3y
yx
=
x
2
y
x
x
23
1
y
y
.
Đặt: t =
x
y
,
t 1; 2
thì P
2
2
t2
1t
2t 3
Đặt: f(t) =
2
2
t2
1t
2t 3
. Tương tự như trên ta có minP =
34
33
.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
186
Cách 3: Ta có:
yz
x y z 1
xx
P
y y z z
2x 3y y z z x
2 3 1
x x x x
Đặt a =
y
x
và b =
z
x
. Vì x, y, z [1; 4] và x y, x z nên a, b
1
; 1
4
.
Khi đó:
1 a b
P
2 3a a b b 1
.
Lấy đạo hàm theo biến b ta được:
P'(b) =
22
a1
0
a b b 1
=
2
22
1 a b a
a b b 1
.
Nếu a = 1 thì
1 1 b 6
P
2 3 1 b b 1 5
.
Nếu a < 1 thì P'(b) = 0
2
b a 0 b a
.
b
1
4
a
1
P'(b)
0 +
P
Pa
Vậy P
Pa
=
1 a a
2 3a
a a a 1
.
Đặt: t =
a
1
t ; 1
2
thì P
2
22
1 t t
t1
2 3t t t
.
Đặt: f(t) =
2
22
1 t t
t1
2 3t t t
=
2
1 t t
t 1 t 1
2 3t
=
2
1 2t
t1
2 3t
.
Ta có:
22
2
6t 2
f'(t)
t1
2 3t
0 ,
1
t ; 1
2
.
Suy ra: f(t) đồng biến trên
1
; 1
2
f(t)
1 34
f
2 33
.
Dấu “=” xảy ra
1
t
2
ba
1
a
4
1
b
2
y1
x4
z1
x2
(*).
Dễ thấy x = 4, y = 1, z = 2 thỏa (*). Ta lại có:
34 6
33 5
nên minP =
34
33
.
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
187
Caùch 4 : P =
1 1 1
2 3 1 1
y z x
x y z
Đặt a =
z
y
, b =
x
z
. Ta có a > 0, b > 0 ; ab =
1
x
y
.
P thành
1 1 1
3
11
2
ab
ab
Mà
1 1 2
11
1
ab
ab
và khi a = b thì dấu “=” xảy ra.
Nên P =
1 1 2
2 3 1 1 2 3
1
ab ab
ab a b ab
ab
.
Đặt t =
ab
, vì
14
x
ab
y
nên
12t
Suy ra P
2
2
2
2 3 1
t
tt
=
2
2
4 2 2 34
2 3 11 1 3 33
t
tt
=
2
2
3 12 2(2 ) 34
11(2 3) 3(1 ) 33
tt
tt
=
2
3( 2) 2 34
(2 )
11(2 3) 3(1 ) 33
t
t
tt
=
2
2
35 27 48 34
(2 )
33(2 3)(1 ) 33
tt
t
tt
=
=
2
2
8 27( 1) 48 34 34
(2 ) , 1,2
33(2 3)(1 ) 33 33
tt
tt
tt
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
188
Khi a = b và t = 2 thì P =
34
33
.
Do đó P
34
33
và P =
34
33
khi x = 4, y = 1 và z = 2
Vậy ta có minP =
34
33
.
( Ghi chú:
2
35 27 48tt
là 1 tam thức bậc 2 có a > 0 và
0
nên ln ln
dương )
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2) .
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
3 3 2 2
a b a b
P 4 9
b a b a
.
Giải
ª Đặt t =
ab
ba
( t > 0 ) thì :
2
22
2
22
a b a b a b
2 . t 2
b a b a
ba
3
33
3
33
a b a b a b a b
3 . t 3t
b a b a b a
ba
Suy ra: P = 4(t
3
– 3t) – 9(t
2
– 2) = 4t
3
– 9t
2
– 12t + 18
ª Theo giả thiết ta có: 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2)
a b 1 1
2 1 ab 2
b a b a
(Chia hai vế cho ab 0)
a b 1 1
2 1 a b 2
b a a b
(1)
Ta có:
11
a b 2
ab
11
2 a b .2
ab
=
ab
2 2 2
ba
(2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
11
a b 2
ab
Với t =
ab
ba
( t > 0 ) và kết hợp với (1) và (2) ta được:
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
189
2t 1 2 2 t 2
2
4t 4t 1 4 2 t 2
2
4t 4t 15 0
5
t
2
(vì t > 0) .
ª Xét P(t) = 4t
3
– 9t
2
– 12t + 18, với
5
t
2
.
Ta có: P'(t) = 12t
2
– 18t – 12 > 0,
5
t
2
.
Do đó: Hàm số P(t) đồng biến trên
5
;
2
Suy ra: P(t)
5 23
P
24
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
22
22
ab
11
a b 2
a b 2
ab 2
ab
ab
a b 5
a b 5
a b 5
t
b a 2
ab 2
2
ab 2
a b 2ab 5
ab 2
a b 3
a 1 a 2
b 2 b 1
.
Vậy minP =
23
4
khi
a 1 a 2
b 2 b 1
.
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất
của biểu thức M = 3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) +
2 2 2
2 a b c
.
Giải
Đặt t = ab + bc + ca, ta có: a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca
1 = (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 – 2t và
1
0t
3
Theo B.C.S ta có: t
2
= (ab + bc + ca)
2
≤ 3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
M ≥
2
t 3t 2 1 2t f(t)
f’(t) =
2
2t 3
1 2t
f"(t) =
3
2
2
(1 2t)
< 0, t
1
0;
3
f’(t) là hàm giảm
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
190
1 11
f'(t) f'( ) 2 3
33
> 0 f tăng f(t) ≥ f(0) = 2, t
1
0;
3
M ≥ 2, a, b, c không âm thỏa a + b + c = 1
Khi a = b = 0 và c = 1 thì M = 2. Vậy min M = 2.
Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y 1. Tìm giá trò
nhỏ nhất của biểu thức
11
A
x
xy
.
Giải
Cách 1: 1 3x + y = x + x + x + y
3
4
4 x y
3
4
1
4
xy
A =
3
4
1 1 2 2
8
x
xy
x xy
xy
Khi x = y =
1
4
ta có A = 8. Vậy min A = 8.
Cách 2: Áp dụng: a, b > 0:
1 1 4
a b a b
A =
1 1 1 2 1 1
xy
x x x y x
xy
22
48
8
xy
3x y
x
22
Khi x = y =
1
4
ta có A = 8. Vậy min A = 8.
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz,
ta có (x + y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z)
3
.
Giải
x(x + y + z) = 3yz
y z y z
13
x x x x
Đặt
yz
u 0,v 0,t u v 0
xx
. Ta có:
2
2
2
u v t
1 t 3uv 3 3 3t 4t 4 0 t 2 3t 2 0 t 2
24
Chia hai vế cho x
3
bất đẳng thức cần chứng minh đưa về
3 3 3
1 u 1 v 3 1 u 1 v u v 5 u v
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
191
3 2 2
3
33
33
3
3 3 2
2 t 3 1 u 1 v 3 1 u 1 v 3 1 u 1 v t 5t
2 t 6 1 u 1 v 5t 2 t 6(1 u v uv) 5t
1t
2 t 6 1 t 5t 4t 6t 4t 0 t 2t 1 t 2 0
3
Đúng do t 2.
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x + y)
3
+ 4xy 2. Tìm giá trò nhỏ
nhất của biểu thức A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1 .
Giải
3
32
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0
2
22
(x y) 1
xy
22
dấu “=” xảy ra khi :
1
xy
2
Ta có:
2 2 2
22
(x y )
xy
4
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
Đặt = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2
2
9 9 1 1 9
f(t) t 2t 1 f'(t) t 2 0, t f(t) f( )
4 2 2 2 16
Vậy:
min
91
A khi x y
16 2
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ
nhất của biểu thức
22
(x y)(1 xy)
P
(1 x) (1 y)
Giải
Cách 1:
Ta có:
2 2 2
(x y)(1 xy) (x y)(1 xy) 1 1 1
pp
4 4 4
(1 x) (1 y)
(1 x) (1 xy)
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
192
Khi x = 0, y = 1 thì
1
p
4
là GTNN
Khi x = 1, y = 0 thì
1
p
4
là GTLN
Cách 2:
2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y xy x(1 y ) y(1 x )
p
(1 x) (1 y) (1 x) (1 y)
22
2 2 2 2
x(1 2y y ) y(1 2x x ) x y
(1 x) (1 y) (1 x) (1 y)
Ta luôn có:
2
a1
0 ; a 0
4
(1 a)
Nên
max
1
p
4
khi x = 1, y = 0 và
min
1
p
4
khi x = 0, y = 1.
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1.
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
222
x (y z) y (z x) z (x y)
P
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
Giải
Ta có: x
2
(y + z) 2x
x
. Tương tự
22
y (z x) 2y y, z (x y) 2z z
2y y
2x x 2z z
P
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
Đặt
a x x 2y y, b y y 2z z, c z z 2x x
Suy ra:
4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a
x x , y y , z z
9 9 9
Do đó
2 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a
P
9 b c a
2 c a b a b c 2
4 6 (4.3 3 6) 2
9 b c a b c a 9
Dấu “=” xảy ra x = y = z = 1. Vậy giá trò nhỏ nhất của P là 2.
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
x 1 y 1 z 1
P x y z
2 yz 2 zx 2 xy
Giải
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
193
Ta có:
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
P
2 2 2 xyz
Do x
2
+ y
2
+ z
2
=
2 2 2 2 2 2
x y y z z x
xy yz zx
2 2 2
Nên
2 2 2
x 1 y 1 z 1
P
2 x 2 y 2 z
Xét hàm số
2
t1
f(t)
2t
với t > 0. Lập bảng biến thiên của f(t) ta suy ra
3
f(t) , t 0.
2
Suy ra:
9
P.
2
Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1
Vậy giá trò nhỏ nhất của P là
9
2
.
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Cho hai số thực x 0 và y 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
(x + y)xy = x
2
+ y
2
xy.
Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A =
33
11
.
xy
Giải
Từ giả thiết ta suy ra:
22
1 1 1 1 1
x y xy
xy
Đặt
11
a, b
xy
ta có: a + b = a
2
+ b
2
ab (1)
A = a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
+ b
2
ab) = (a + b)
2
.
Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)
2
3ab.
Vì
2
22
a b 3
ab nên a + b ( a + b) (a b)
24
(a + b)
2
4(a + b) 0 0 a + b 4. Suy ra: A = (a + b)
2
16
Với x = y =
1
2
thì A = 16. Vậy giá trò lớn nhất của A là 16.
Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
A (x 1) y (x 1) y y 2
Giải
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét M(x 1; y), N(x + 1; y).
Do OM + ON MN nên
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
194
2 2 2 2 2 2
(x 1) y (x 1) y 4 4y 2 1 y
Do đó:
2
A 2 1 y y 2 f(y)
.
Với y 2 f(y) =
2
2 1 y 2 y
f'(y) =
2
2y
1
y1
f'(y) = 0 2y =
2
1y
22
y0
1
y
3
4y 1 y
Do đó ta có bảng biến thiên như hình bên:
Với y 2 f(y)
2
2 1 y 2 5 2 3
.
Vậy A 2 +
3
với mọi số thực x, y.
Khi x = 0 và y =
1
3
thì A = 2 +
3
nên giá trò nhỏ nhất của A là
23
.
Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
.
Chứng minh rằng:
111
1
2x y z x 2y z x y 2z
.
Giải
Với a, b > 0 ta có: 4ab
2
1 a b 1 1 1 1
(a b)
a b 4ab a b 4 a b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng kết quả trên ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2x y z 4 2x y z 16 x x y z
(1)
Tương tự:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x 2y z 4 2y x z 16 y y x z
(2)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y 2z 4 2z x y 16 z z x y
(3)
Vậy:
1 1 1 1 1 1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z
y
+
0
1
3
f’(y)
f(y)
23
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
195
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Chứng minh rằng với mọi x R, ta có:
x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
x x x x
12 15 12 15
2.
5 4 5 4
xx
x
12 15
2.3
54
(1)
Tương tự ta có:
xx
x
12 20
2.4
53
(2)
xx
x
15 20
2.5
43
(3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được
cho 2, ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 0.
Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3 3
33
1 x y 1 y z
1 z x
33
xy yz zx
.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
33
3 3 3 3
3
1 x y
3
1 x y 3 1.x .y 3xy
xy
xy
33
33
1 y z
3 1 z x 3
Tương tự : ;
yz zx
yz zx
Suy ra VT
3
3 3 3 3 3 3
3.
xy yz zx xy yz zx
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
196
Hay VT
3 3 3
33
xy yz zx
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
Bài 15:
Cho x, y, z là ba số dương x + y + z 1.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
.
Giải
Cách 1: Xem
1 1 1
u x, 2 ; v y, 2 ; w z, 2
x y z
Ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
2
1 1 1
x y z 18
x y z
Mặt khác:
1 1 1 1 1
x y z 9x 9y
x y z x y
1
9z 10 x y z
z
18 10 = 8 (do BĐT Cauchy và x + y + z 1)
Do đó: Vế trái
2
8 18 82
. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
1
3
(đpcm).
Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia… ta có: 1 . x + 9 .
2 2 2
2
11
1 9 . x
x
x
(1)
Bất đẳng thức Cauchy
91
x 9 9x 80x 9.6 80x
xx
(2)
Từ (1) và (2)
2
2
11
x 54 80x
82
x
Tương tự
2
2
11
y 54 80y
82
y
và
2
2
11
z 54 80z
82
z
VT
1
162 80 x y z 82
82
Xảy ra dấu “=” khi x = y = z =
1
3
. (đpcm).
Bài 16:
Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1.
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
197
Chứng minh rằng:
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
Giải
Ta có:
22
x 1 y x 1 y
2 . x
1 y 4 1 y 4
22
y 1 z y 1 z
2 . y
1 z 4 1 z 4
;
22
z 1 x z 1 x
2 . z
1 x 4 1 x 4
Cộng vế theo vế ta được:
2 2 2
x y z 1 y 1 z 1 x
x y z
1 y 1 z 1 x 4 4 4
2 2 2
x y z 3 3
(x y z)
1 y 1 z 1 x 4 4
3
3 3 3
.3 xyz (đpcm)
4 4 2
