Chuyên đề Bất Đẳng Thức

CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC







÷







÷

ú
2 2
2
A. KIẾN THỨC CƠ
BẢN
1. Khái
niệm:
A > B A
—
B > 0 ; A < B A
—
B <

0
A
≥
B A
—
B
≥
0 ; A ≤ B A
—
B ≤
0
2. Tính
chất:
1) A > B và B > C A >
C
2) A > B A + C > B +
C.
3) A > B AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C <
0.
4) A > B, C > D A + C > B +
D.
5) A > B > 0 và C > D > 0 A.C >
B.D
6) A > B > 0 và n N
*
A
n
>
B
n

.
7) A > B > 0 và n N
n
A
n
B
.
8) A >
B
1 1
A B
nếu AB > 0. Hoặc:
1
1
A B
nếu AB <
0.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC
1. Phương pháp biến đổi tương
đương
Bài 1:
Ch
ứ
ng
minh: a + b
≥
ab (1) a, b > 0.(Bất đẳng thức
Côsi)
2

H D: (1) a + b
—
ab
=
a b 0
(dúng).
Bài 2:
Ch
ứ
ng
minh: (a + b)
2
≥

4ab. H D: Biến dôi dưa về (a
—
b)
2
≥
0. Bài 3:
Ch
ứ
ng
minh: a
2
+
b
2
≥
2ab. H D:

Xé
t
hiệu, dưa về (a
—

b)
2
≥
0.
Bài 4:
Ch
ứ
ng
minh: (ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
). (Bất đẳng thức
Bunhiaxcopky).
H D: Biến dôi hiệu (ac + bd)
2
—
(a
2

+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
t
hành
(ay
—
bx)
2
.
Bài 5:
Ch
ứ
ng
minh: a
2
+ b
2
+ c
2
≥
ab + bc +
ca
HD: Biến dôi hiệu a
2
+ b

2
+ c
2
—
ab + bc + ca
t
hành
(a
—
b)
2
+ (b
—
c)
2
+ (c
—
a)
2
Bài 6:
Ch
ứ
ng
minh: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d

2
+ 1
≥
a + b + c +
d.
2 2 2
2
HD: Biến dôi a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 1
—
a + b + c + d
t
hành:
a
1
b
1
c
1
d
1
Bài 7:
Ch

ứ
ng
minh: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥
a(b + c + d
+

e)
2 2 2
2
2 2 2
2
(
b
HD: Biến dôi về dạng:
a
—
(
c
+
a
—
(

d

ö
+
a
—
(
e

ö
+
a
—


0
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2

ø
2

ø

2

ø
è
ç
2

ø
Bài 8:
Ch
ứ
ng
minh: (ax + by + cz)
2
≤ (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+

z
2
)
H D: Biến dôi về dạng: (ay

—
bx)
2
+ (az
—
cx)
2
+ (bz
—
cy)
2
≥

0
Bài 9:
Ch
ứ
ng
minh a
4
+ b
4
≥
ab
3
+ a
3
b. a, b
≥
0.

é
(
ö
2
2
ù
HD: Biến dôi, phân
tIc
h

t
hành:
(a
—
b)
2
(a
2
+ ab + b
2
) = (a
—
b)
2
ê
ç
a

+
b

÷
+

3b
ú

0,
Va,b
.
a

3
+
b
3
(

a
+
b

ö
3
ë
ê
ê
2
4
ú

û
Bài 10:
Ch
ứ
ng

minh:
2


ç
è
2
ø
÷
HD:
Xé
t
hiệu, phân
tIc
h

t
hành
nhân
t
ử
dpcm.
Bài 11:
Ch

ứ
ng
minh:
a
b
a b
.
2
2
CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG
THỨC
2
2
HD: Quy dồng mẫu,
xé
t
hiệu dưa về dạng: (a
—
b)
2
≥
0.
Bài 12:
Ch
ứ
ng
minh:
a
b
2

c
2
a b
c
3
3
HD:
Xé
t
hiệu, dưa về dạng: (a
—
b)
2
+ (b
—
c)
2
+ (c
—
a)
2
≥
0.
ĐỖ TRUNG THÀNH
—
GIÁO VIÊN THCS Trang
1
Trang
2
DỖ TRUNG THÀNH

—
GIÁO VIÊN
THCS






÷ ÷
Bài 13:
Ch
ứ
ng
minh:
x y
4
xy x y
. x, y >
0.
H D: Biên dôi vê (x + y)
2
)
4xy
t
uơ
ng

t
ự

bài
2.
Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005
+
H D:
Ch
ứ
ng
minh A
2
)
B
2
dpcm.
Bài 15:
Ch
ứ
ng
minh: a
2
+ b
2
)
a + b
—
1
.
2
2
2

2007
và B = 2 2006
.
(
1

ö
HD: Biên dôi dua vê
ç
a
—
÷
(
1

ö
+

ç
b

—
÷

0
2

ø
2

ø
Bài 16:
Ch
ứ
ng

minh:
a

2
+
a
+
1
3

a

2
+
1
2
HD: Quy dồng: 2a
2
+ 2a + 2 ≤ 3a
2
+ 3 (a
—
1)
2

.
Bài 17:
Ch
ứ
ng
minh: a) a
+
1
2,
Va
>
0 . b) a
+
1

—2, Va
<
0

.
a
a
HD: a) Vì a > 0 nên: a
2
—
2a + 1
)
0 (a
—
1)

2
)
0. b) Vì a < 0: a
2
+ 2a + 1
)
0 (a + 1)
2
)
0.
Bài 18:
Ch
ứ
ng
minh: a) Nêu ab > 0
th
ì:

a b
2 . b) Nêu ab < 0
t
hì:

a b
2

.
b a b
a
H D: a) Từ (a

—
b)
2
)
0 a
2
+ b
2
)
2ab. Chia cả hai vê của a
2
+ b
2
)
2ab cho ab > 0
dpcm.
b) Chia cả hai vê của a
2
+ b
2
)
—
2ab
cho ab < 0
dpcm
Bài 19: Cho x
)
y, a
)
b.

Ch
ứ
ng
minh:
ax
+
by

a
+
b
.
x
+
y
.
2 2
2
HD: Biên dôi, dua vê: (a
—
b)(x
—
y)
)
0
(dúng).
Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > 0.
Ch
ứ
ng

minh:
a
+
b
+
c
(

1 1
1
ö

2
ç
+ +
÷

.
bc ca ab
a b
c

ø
HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy dồng, biên dôi vê: (a + b + c)
2
)
0
(dúng).
Bài 21: Cho ab
)

1.
Ch
ứ
ng

minh:
2
+
a

2
+
b
2
1
1

+
a
2
2
+
1
1

+
b
2
2
1

+
ab
(*).
H D:
(*)
1

+
a

2
+
b
2
+
a

2

b
2
1

+
ab
(a
—
b)
2

(1
—
ab) ≤ 0
(dúng).
x

2
y
2
(

x

y
Bài 22: Cho x, y ≠ 0.
Ch
ứ
ng

minh:
+ +
4 3
ç
+
÷

.
y
2
x

2
y
x
H D:
Dã
t

x
+
y
=
t
y x
( |
t
|
)
2 ).
Bấ
t
dẳng
th
ứ
c

viê
t
lại:
t

2
— 3t
+ 2
)
0
(t —
1)(
t

—
2)
)
0, |
t
|
)
2.
Bài 23:
Ch
ứ
ng
minh: (a
—
1)(a
—
3)(a
—
5)(a
—
7) + 15

)
0,
a.
H D: BDT
t(t
+ 6) + 15
)
0
(t
+ 3)
2
+ 6 > 0,
a
Bài 24:
Ch
ứ
ng
minh: (x
—
1)(x
—
3)(x
—
4)(x
—
6) + 10 > 0,
x.
H D: Làm
t
uơ

ng

t
ự
bài
23.
Bài 25: Cho a, b
)
0.
Ch
ứ
ng
minh: a
3
+ b
3
)
ab(a +
b).
HD:
Xé
t
hiệu dua vê
bấ
t
dẳng
th
ứ
c:
(x + y)(x

—
y)
2
)
0.
2. Phương pháp làm trội, ước
lượng
Bài 26:
Ch
ứ
ng
minh rằng
t
ông
sau dây không là số
t
ự
nhiên: S
=
1
+
1
1
2
2
2
+
1
+
...

+
3
2
1
(n 2)
.
n

2
Trang
3
DỖ TRUNG THÀNH
—
GIÁO VIÊN
THCS
HD: Dễ
th
ấy
A > 1.
Mã
t
khác:
A
<
1
+
1
+
1
+

1
+
...
+
1
=
2
—
1
< 2
Vậy:
1<A<2.
1 1.2 2.3 (n
—
1)n
n
Bài 27:
Ch
ứ
ng
minh: A
=
1
+
1
+

...

+

1
<
3
.(Vn
e
N
*
)
.
1.3 2.4 n(n
+
2)
4
CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG
THỨC
2
H D: Làm
t
uơ
ng

t
ự
bài
1.
Bài 28:
Ch
ứ
ng
minh:

A

=
1
+
1
+

...

+
1
<
1
.(Vn
e
N
*
)
HD: Làm
t
uơ
ng

t
ự
bài
1.
2.5 5.8 (3n
—1)(3n

+
2)
6
Bài 29:
Ch
ứ
ng
minh:
A
=
1
+
1
+

...

+
1
<

1.(
V
n

e
N
*
)
1.2.3 2.3.4 n(n

+
1)(n
+ 2)
HD:
S
ử
dụng:
1
=
1
é
1
—
1
ù
ê ú
n(n
+
1)(n
+
2) 2
ê
[

n(n
+
1) (n
+
1)(n
+

2)

ú
]
Bài 30:
Ch
ứ
ng
minh: A =
1
+
1
+
1
+ ... +
1
>
1
(n
N,
n >
1)
n+ 1 n+ 2 n+ 3
2
n
2
HD: Thay mỗi số hạng của
t
ông
bởi số nhỏ

nhấ
t
là
1
2n
A
>
1
.n
=
1
(dpcm).
2n
2
Bài 31:
Ch
ứ
ng
minh: B =
1
+
1
+
1
+ ... +
1
1.(n
N,
n >
1)

n n+ 1 n+ 2
n

2
HD: Thay mỗi số hạng của
t
ông
bởi số nhỏ
nhấ
t
là
1
B
>
1
.(n
2
—
n)
=

1—
1
>

1(dpcm).
n

2
n

2
n
Bài 32:
Ch
ứ
ng
minh: C =
1
+
1
+
1
+ ... +
1
< 1 (n N, n
)
2)
2! 3! 4!
n!
HD: A <
1
+
1
+
1
+

...

+
1
=

1—
1
<

1.
1.2 2.3 3.4 (n
—1)n
n
Bài 33:
Ch
ứ
ng
minh: D =
1
+
2
+
3
+ ... +
n-1
<
1 (n N, n
)
2)
2! 3! 4!
n!

HD:
D
=
2

—1
+
3

—1
+

...

+
n
—1
=
2
—
1
+
3
—
1
+

...

+

n
—
1
2! 3! n

! 2! 2! 3! 3! n

! n!

=

1—
1
+
1
—
1
+

...

+
1
—
1
=

1—
1
<

1
2! 2! 3! (n

—
1)! n

! n!

Bài 34:
Ch
ứ
ng
minh:
A

=
1
+
1
2
2
4
2
+
1
+ ...
+
6
2

1
(2

n)
2
<
1
(n N, n
)
1).
2
(
ö
(


(
ö
HD: C1: A
=
1
ç
1

+
1
+
1
+

...

+
1 1 1
1
÷

<
ç
1

+ + +

...

+
1 1
1
÷
=
ç
2

—
÷

< .
4

è

ç
2
2
3
2
n

2
ø
÷
4
1.2 2.3 (n
—
1)n
è
ç
n

ø
÷


(
2


ö
÷

C2: A
<
1
+
1
+

...

+
1
=
1
+
1
+

...

+
1
=
1
ç
1
—
1
÷

<

1
2
2
—1
4
2
—
1
(
2n

2
)
—
1
1.3 3.5 (2n
—1)(2n
+
1)
2

ç
è
2n
+

1
÷
ø
2

Bài 35:
Ch
ứ
ng

minh:
1
+
1
3
2
5
2
+
1
+
...
+
7
2
1
<
1
(2n
+
1)
2
4
(n N, n
)

1).
HD: Làm
t
uơ
ng

t
ự
cách 2 của bài 6
dpcm.
Bài 36:
Ch
ứ
ng

minh:
1
+
1
2
2
3
2
+
1
+
...
+
1
4

2
n

2
<
2
(n N, n
)
2).
3
HD: Nhân
xé
t
:

1
<
4
=
2
(
1
+

1
(
1
A = 2
—
1

ö
2
< .
n

2
4n

2
—
1
ç
è

2n
—1
2n
+

1
÷
ø
è
ç

3 2n
+

1
÷

ø
3