Luận văn báo cáo thí nghiệm vật lý nghiên cứu dao động của con lắc trọng lực

Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
BÀI I :
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG
CỦA CON LẮC TRỌNG LỰC
A. NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ HỌC
1. Dao động tử điều hoà :
o
Một chất điểm M, khối lượng m, chịu tác dụng của một lực bảo toàn
f
r
và buộc
phải di chuyển trên một trục
( , )
x
O e
r
. Nếu M chuyển động xung quanh vị trí cân bằng
bền
⇒
Phương trình chuyển động của M có dạng :
2
0
0x x
ω
+ =
&&
với :
0
k
m
ω

=
.
o
Dao tử động điều hoà : Mọi hệ có một bậc tự do, chuyển động theo phương trình
2
0
0x x
ω
+ =
&&
được gọi là các dao động tử điều hoà.
o
Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động nói trên có dạng :
( ) os( )
m o
x t x c t
ω ϕ
= +
o
Một dao động tử điều hoà vận động trong một giếng thế năng parabolic
2
1
E ( )
2
P
x kx=
dưới tác dụng của một lực phục hồi tỉ lệ với ly độ :
f kx= −
, bằng cách
thực hiện các dao động đẳng thời với chu kì riêng

0
0
2
T
π
ω
=
.
o
Cơ năng của một dao động tử điều hoà là không đổi và tỷ lệ với bình phương của
biên độ dao động
m
x
:
2
M K
1
E =E +E
2
P m
kx=
.
2. Dao động điều hoà tắt dần bởi lực ma sát nhớt :
2.1. Dao động điều hoà tắt dần :
o
Một chất điểm chịu tác dụng của một lực ma sát nhớt tỷ lệ với vận tốc và buộc phải
di chuyển dọc theo trục
( , )
x
O e

r
chung quanh vị trí cân bằng bền tại x = 0. Chất điểm
chịu tác dụng của lực :
x
f kxe= −
r
r
và lực ma sát :
v
r x
f h hxe= − = −
r
r r
&
o
Phương trình của dao động tử tắt dần do lực ma sát nhớt :
2
0
2 0x x x
α ω
+ + =
&& &
Với :
2
0
k
m
ω
=
và

2
h
m
α
=
o
Ba chế độ chuyển động của dao động tử :
+ Chế độ không tuần hoàn
0
α ω
>
: Ma sát lớn.
Với điều kiện ban đầu : x(0) = x
0
; v(0) = v
0

⇒
Phương trình chuyển động :
0 0
0
(v + x )
( ) [x ch t+ sh t]
t
x t e
α
α
ω ω
ω
−

=

⇒
Chất điểm không dao động.
+ Chế độ tới hạn
0
α ω
=
: Phương trình chuyển động :
0 0 0
( ) [x +(v + x )t]
t
x t e
α
α
−
=
Thời gian trở về vị trí cân bằng nhanh hơn.
1
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
+ Chế độ giả tuần hoàn
0
α ω
<
: Ma sát không lớn lắm. Phương trình dao động :
0 0
0
v + x
( ) cos( ) sin t
t

x t e x t
α
α
ω ω
ω
−
 
= +
 
 
Hệ dao động tắt dần.
Chu kỳ dao động :
0
2
0
2
1
T
T
π
ω
α
ω
= =
 
−
 ÷
 
với :
0

0
2
T
π
ω
=
2.2. Năng lượng của dao động điều hoà tắt dần :
o
Cơ năng của vật bị giảm, phần bị giảm đó dùng làm công để thắng lực ma sát.
o
Công suất của lực ma sát bằng đạo hàm theo thời gian của cơ năng:
2
v
M
dE
h
dt
= −
o
Giảm lượng loga :
0
T
T
Q
ω
δ α
= =
với Q là hệ số phẩm chất.
3. Áp dụng khảo sát dao dộng của con lắc trọng lực :
3.1. Những dao động nhỏ của con lắc :

o
Phương trình vi phân bậc 2 của dao động :
Các lực tác dụng lên con lắc (chất điểm M) bao gồm :
- Trọng lực :
P mg=
r
r
- Sức căng dây :
T
r
Hợp lực tác dụng :
F P T= +
r r r
Theo định luật Newton II ta có :
F ma=
r
r
⇔
mg T ma+ =
ur ur r
Chiếu lên phương tiếp tuyến Mx tại M với quỹ đạo chuyển động, ta có :
sinmg ma
θ
− =
⇒
sinmg ml ml
θ ω θ
− = =
&
( l là chiều dài của con lắc)

⇒
sin 0
g
l
θ θ
+ =
&&
Đặt :
2
0
g
l
ω
=
o
Trường hợp
θ
có giá trị nhỏ :
Ta có :
sin
θ θ
≈

⇒
Phương trình vi phân chuyển động trở thành :
2
0
0
θ ω θ
+ =

&&
(1)
Đây là một phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất, hệ số hằng, mô tả chuyển động của
con lắc. Nghiệm của phương trình này là :
0 0
cos( )t
θ θ ω ϕ
= +
(
0
θ
là góc lệch cực đại của dây treo so với vị trí cân bằng)
Dao động tự do nhỏ của con lắc là dao động điều hoà, chu kỳ dao động:
2
0
θ
θ
0
M
M
P mg=
r
r
T
r
F
r
O
x
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC

0
0
2
2
l
T
g
π
π
ω
= =
o
Trường hợp bài toán phi tuyến (con lắc dao động với biên độ lớn) :
Phương trình chuyển động của con lắc :
2
0
sin 0
θ ω θ
+ =
&&
Khai triển theo Taylor cho hàm
sin
θ
, ta có :
3 5 2 1 2 1
1 1 1
sin ( 1) ( )
3! 5! (2 1)!
k k k

O x
k
θ θ θ θ θ
+ +
= − + + + − +
+
Khai triển hữu hạn đến bậc 3, ta có :
3
sin
6
θ
θ θ
≈ −
Từ đó, phương trình chuyển động viết thành :
3
2
0
0
6
θ
θ ω θ
 
+ − =
 ÷
 
&&
(2)
Nếu coi số hạng
3
2

0
6
θ
ω
như một nhiễu loạn nhỏ, nghiệm phương trình (2) có dạng :
[ ]
0
( ) cos( ) cos(3 3 )t t t
θ θ ω ϕ ε ω ϕ
= + + +
trong đó :
ε
là biên độ hài bậc 3
⇒
[ ]
0
( ) sin( ) 3 sin(3 3 )t t t
θ θ ω ω ϕ ε ω ϕ
= − + − +
&
⇒
[ ]
2
0
( ) cos( ) 9 cos(3 3 )t t t
θ θ ω ω ϕ ε ω ϕ
= − + + +
&&
Và :
[ ]

3
3
3
2 3
0
0 0
( )
. cos( ) cos(3 3 )
6 6
t
t t
ωθ
ω θ ω ϕ ε ω ϕ
= + + +
[ ]
3 3
3 3 3
0 0
0 0
. cos ( ) . cos3( ) 3cos( )
6 24
t t t
ω ω
θ ω ϕ θ ω ϕ ω ϕ
≈ + = + + +
Thay vào phương trình (2) suy được:
2
2 2 2
0
0 0 0 0

2
2 2 3
0
0 0 0 0
2 2
2 2 3
0 0
0 0 0 0 0
0
8
9 0
24
9 1 0
8 24
ω
ω θ ω θ θ
ω
ω εθ ω εθ θ
θ ω
θ εω ω εθ θ

− − =




− + − =




 
− − + − =

 ÷

 

Hay :
2
2 2
0
0
2
0
1
8
192
θ
ω ω
θ
ε

 
= −

 ÷

 



=


Như vậy, biên độ hài bậc 3 có giá trị :
2
0
192
θ
ε
=
3
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Và chu kỳ dao động :
2
0
0
2
0
0
2 2
1
16
1
8
T T
θπ π
ω
θ
ω
 

= = ≈ +
 ÷
 
−
bởi vì :
1/ 2
2 2
0 0
1 1
8 16
θ θ
−
 
− ≈ +
 ÷
 
3.2. Những dao động tổng quát của con lắc :
Cơ năng của hệ :
M P K
E E E= +
Động năng :
2 2 2
1 1
v
2 2
K
E m ml
θ
= =
&

Trường hợp dao động nhỏ :
0 0
cos( )t
θ θ ω ϕ
= +

⇒

0 0 0
sin( )t
θ ω θ ω ϕ
= − +
&
⇒

2 2 2
1 1
v
2 2
K
E m ml
θ
= =
&
⇒
2 2 2 2 2
0 0 0
1 1
v sin ( )
2 2

K
E m m l t
ω θ ω ϕ
= = +
Thế năng :
2
(1 cos ) 2 sin
2
P
E mgh mgl mgl
θ
θ
= = − =
Vì góc
θ
nhỏ
⇒

sin
2 2
θ θ
≈
nên :
2 2 2
0 0
1 1
cos ( )
2 2
P
E mgl mgl t

θ θ ω ϕ
= = +
Vậy cơ năng toàn phần của hệ :
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
1 1
sin ( ) cos ( )
2 2
M
E m l t mgl t
ω θ ω ϕ θ ω ϕ
= + + +
Lưu ý rằng :
2
0
g
l
ω
=

⇒
2
0
1
2
M
E mgl const
θ
= =
Kết luận :

•
Đối với hệ dao động điều hoà nhỏ (và bỏ qua ma sát) thì cơ năng của hệ trong suốt
quá trình dao động được bảo toàn, trong đó có sự chuyển hoá lẫn nhau giữa thế năng
và động năng.
•
Nếu góc
θ
là bé thì thế năng được tính theo công thức gần đúng:
2
1
( )
2
P
E mgl f
θ θ
= =
•
Đồ thị của hàm
( )f
θ
là đường hyperbole, tạo thành giếng thế năng
•
Hệ vận động trong giếng thế năng chính là dao tử điều hoà.
3.3. Mặt phẳng pha :
3.3.1. Sự mô tả pha :
o
Trạng thái của một hệ có một bậc tự do được biểu diễn ở mọi thời điểm bằng một
đỉểm P(t) có toạ độ (x,v) trong một mặt phẳng gọi là mặt phẳng pha.
o
Điểm P(t) được gọi là điểm pha của hệ ở thời điểm t. Khi thời gian trôi qua, điểm

pha vạch nên một đường cong, chia độ theo t, gọi là quỹ đạo pha của hệ.
o
Bất cứ quỹ đạo pha nào cũng bắt đầu ở P(0) mà các toạ độ (x(0),v(0)) là các điều
kiện ban đầu của hệ.
4
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
o
Sự mô tả pha của hệ là tập hợp các quỹ đạo pha của hệ, thu được bằng cách coi tập
hợp các điều kiện ban đầu là có thể thực hiện được.
3.3.2. Tính chất của quỹ đạo pha :
a) Các điểm đặc biệt :
o
Các điểm đặc biệt là các điểm pha của hệ mà tại đó ta có đồng thời các hệ thức :
0
dx
dt
=
và
v
0
d
dt
=
o
Khi hệ được đặt vào một trong các điểm đặt biệt của nó, thì hệ sẽ trú ngụ ở đó. Các
điểm đặc biệt của một hệ là trạng thái cân bằng của hệ.
o
Các điểm đặc biệt của các hệ có một bậc tự do, nếu chúng tồn tại, đều ở trên trục
không gian (O’x) của mặt phẳng pha.
b) Chiều đường đi :

o
Điểm pha của một chất điểm chịu tác dụng của một trường lực hút hướng về điểm
A’(x
0
,0) ở trong mặt phẳng pha sẽ quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh điểm
A’(x
0
,0) của mặt phẳng pha.
3.3.3. Hình ảnh pha của một dao động tử điều hoà không tắt dần :
o
Với các điểm đặc biệt x = 0, v = 0, phương trình quỹ đạo pha của dao tử điều hoà
không tắt dần :
2
2 2 2
0
1
m m
x v
x x
ω
+ =

⇒
Quỹ đạo pha là các êlíp.
o
Trong mặt phẳng pha
0
v
,x y
ω

 
=
 
 
thì cơ năng E
M
của một dao động tử tỷ lệ với bình
phương khoảng cách từ điểm pha P(t) của nó đến điểm gốc O’ của mặt phẳng pha.
Các quỹ đạo pha của một dao động tử điều hoà không tắt dần là những vòng tròn
đẳng năng.
o
Khi hệ là bảo toàn thì các quỹ đạo pha là các đường đẳng năng lượng.
3.3.4. Hình ảnh pha của một dao động tử điều hoà không tắt dần :
o
Tất cả các quỹ đạo pha của một dao tử điều hoà tắt dần ở chế độ giả tuần hoàn đều
tiến về cùng một điểm
( )P ∞
, ở tại gốc O’ của mặt phẳng pha, gọi là điểm hút của hệ.
3.3.5. Hình ảnh pha của một con lắc đơn có biên độ lớn :
Nếu hệ là bảo toàn (bỏ qua ma sát), phương trình các quỹ đạo pha như sau :
2
2
2( cos )
lg
M
E
y l
m
θ
+ − =

Với l là chiều dài con lắc, θ là góc lệch so với vị trí cân bằng, m : khối lượng con lắc
đơn, E
M
là cơ năng toàn phần của con lắc đơn.
5
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
B. THÍ NGHIỆM VỀ DAO ĐỘNG CƠ HỌC CỦA CON LẮC TRỌNG LỰC
1. Mục đích thí nghiệm :
Khảo sát thực nghiệm hoạt động của con lắc vật lý ở chế độ dao động tự do bằng cách
thay đổi các thông số chọn trước. Việc thu thập và xử lý các dữ liệu được thực hiện
thông qua một carte giao diện biến đổi A/D và phần mềm SYNCRONIE.
2. Mô tả thiết bị thí nghiệm :
o
Thiết bị PENDULOR bao gồm một con lắc vật lý gắn với một điện áp kế một vòng
với nguồn nuôi (-5/+5V) được sử dụng để đo góc lệch
( )t
θ
của con lắc. Thiết bị nói
trên cho phép thu nhận bằng máy vi tính các số liệu thí nghiệm thông qua carte tiếp
nhận số liệu FASTLAB và xử lý số liệu thông qua phần mềm SYNCRONIE. Do vậy
trong thí nghiệm này, chúng ta có thể tái hiện góc
( )t
θ
trên máy vi tính, in các số liệu
đó, phân tích phổ và hiển thị các pha dao động.
o
Momen quán tính của con lắc có thể điều chỉnh được nhờ một ống hình trụ di động
dọc theo trục của thanh gắn quả nặng.
o
Có thể tăng lực ma sát nhớt bằng cách gắn vào con lắc một tờ giấy hay một bản

nhựa có diện tích đáng kể.
o
Có thể điều chỉnh lực ma sát (khô) của trục quay bởi một sợi dây có lực căng nhất
định được buộc tiếp xúc một cách trực tiếp vòng qua trục quay của con lắc.
2. Tiến hành thí nghiệm :
2.1. Khảo sát chế độ tuyến tính của dao động với biên độ nhỏ :
o
Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ (không có ma sát : ma sát nhớt cũng như
ma sát trên cổ trục).
o
Tiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch
( )t
θ
của con lắc so với vị trí cân bằng.
o
Hiển thị đồ thị
( )t
θ
, thực hiện đo chu kỳ dao động và phân tích phổ.
o
Lập trình tính vận tốc góc
d
dt
θ
trong trang tính toán của phần mềm SYNCRONIE,
vẽ đồ thị pha.
2.2. Khảo sát chế độ tuyến tính của dao động với biên độ lớn :
o
Cho con lắc dao động với biên lớn (không có ma sát : ma sát nhớt (chất lưu) cũng
như ma sát trên cổ trục).

o
Tiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch
( )t
θ
của con lắc so với vị trí cân bằng.
o
Hiển thị đồ thị
( )t
θ
, thực hiện đo chu kỳ dao động và phân tích phổ.
o
Lập trình tính vận tốc góc
d
dt
θ
trong trang tính toán của phần mềm SYNCRONIE,
vẽ đồ thị pha
2.3. Khảo sát chế độ tuyến tính của dao động quay vòng :
o
Cho con lắc quay vòng (không có ma sát : ma sát nhớt (chất lưu) cũng như ma sát
trên cổ trục).
o
Tiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch
( )t
θ
của con lắc so với vị trí cân bằng.
o
Hiển thị đồ thị
( )t
θ

, thực hiện đo chu kỳ dao động và phân tích phổ.
6
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
o
Lập trình tính vận tốc góc
d
dt
θ
trong trang tính toán của phần mềm SYNCRONIE,
vẽ đồ thị pha.
C. KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM – BÌNH LUẬN :
1. Chế độ tuyến tính của dao động với biên độ nhỏ :
1.1. Chế độ không ma sát :
Kết quả thu được như sau : Đồ thị
( )t
θ
: Hình 1, Fenetre 1 ; Phổ Fourier của góc
lệch θ : Hình 1, Fenetre ; Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 1, Fenetre 3 ; Biểu đồ
pha : Hình 1, Fenetre d’analyse 1.
Bình luận kết quả :
+ Fênetre n
0
1 cho thấy dao động của con lắc trong trường hợp biên độ nhỏ và không
có ma sát là dao động điều hoà tuần hoàn. Điều này phù hợp với lý thuyết :
0 0
cos( )t

θ θ ω ϕ
= +
+ Theo lý thuyết, vận tốc góc của con lắc :
0 0 0
( ) ( ) sin( )t t t
ω θ θ ω ω ϕ
= = − +
&
. Fênetre n
0
3
cho thấy vận tốc của con lắc cũng là một hàm điều hoà.
+ Fênetre n
0
4 cho thấy quỹ đạo pha là các hình êlíp và phù hợp với lý thuyết :
2 2
2 2 2
0 0 0
1
θ θ
θ ω θ
+ =
&
+ Tuy nhiên, đồ thị cũng cho thấy một sự suy giảm khá bé của biên độ của θ và quỹ
đạo pha cũng gần đúng là một đường êlíp. Bởi vì điều kiện thí nghiệm không phải
lý tưởng, vẫn còn tồn tại các ma sát dù rất bé : Lực cản nhớt từ môi trường không
khí, ma sát khô trên các cổ trục Chính vì vậy biên độ dao động của con lắc giảm
mặc dù rất chậm.
+ Chúng ta thấy góc lệch giảm chậm hơn vận tốc góc. Điều này cũng phù hợp với lý
thuyết.

Thật vậy, gọi
1 2
,
θ θ
là biên độ của góc lệch của con lắc vào thời điểm t
1
và t
2
(t
1
< t
2
)
⇒

Độ giảm biên độ của góc lệch :
2 1
θ θ θ
∆ = −

⇒
Độ giảm biên độ vận tốc góc :
2 1 0 2 1
ω ω ω ω θ θ
∆ = − = −
với
0
g
l
ω

=
. Thế mà l < 1m
⇒

0
1
ω
>

⇒

ω θ
∆ = ∆

⇒
Biên
độ vận tốc góc giảm nhanh hơn biên độ của góc lệch.
+ Hàm
( )t
θ
là một hàm tuần hoàn
⇒
có thể phân tích
( )t
θ
thành chuỗi Fourier :
0 0
( ) ( cos sin ) exp( )
n n n
n n

t a n t b n t C in t
θ ω ω ω
∞ ∞
= =
= + =
∑ ∑
Trên thực tế, hài giảm đáng kể, nên có thể quy ước một mức tới hạn mà dưới mức này
không còn các hài nữa
⇒
phổ được gíơi hạn bởi hai vạch phổ
max
f−
và
max
f
.
Theo lý thuyết, phổ luôn luôn đối xứng, nhưng trên thực tế có nhiều tác nhân ảnh
hưởng đến quá trình dao động nên phổ không hoàn toàn đối xứng.
7
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Chu kỳ và tần số dao động :
1.2. Chế độ ma sát nhớt (ma sát chất lưu) :
Tạo ma sát nhớt (ma sát chất lưu) bằng cách gắn một tấm bìa cứng có diện tích đáng
kể vào phía đuôi con lắc.
Kết quả thu được như sau : Đồ thị
( )t
θ
: Hình 2, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d

dt
θ
: Hình 2, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 2, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 2, Fenetre d’analyse 1
8
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Giải thích và bình luận :
+ Ma sát chất lưu không phải là ma sát lớn lắm nên dao động tắt dần theo chế độ giả tuần
hoàn. Phương trình dao động :
( ) cos( )
t
t Ce t
α
θ ω ϕ
−
= +
với
0
2 2 2
ω ω α
= −
(α : hệ số tắt dần).
Vì vậy góc lệch giảm dần theo thời gian t.Biên độ giảm dần theo hai đường bao dạng
hàm mũ.
+ Các đồ thị cho thấy biên độ giảm chậm hơn vận tốc góc. Điều này phù hợp với lý
thuyết.
+ Quỹ đạo pha có dạng hình êlíp phù hợp với lý thuyết.
Chu kỳ và tần số dao động :
1.3. Chế độ ma sát cổ trục:

9
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Tạo ma sát trục bằng cách : dùng hệ thống lò xo được buộc tiếp xúc trực tiếp vòng
qua trục quay với độ căng nhất định.
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 3, Fenetre 1; Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 3, Fenetre 3; Biểu đồ
pha : Hình 3, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 3, Fenetre d’analyse 1
Giải thích và bình luận :
+ Lý thuyết chứng minh rằng dao động của con lắc thoả mãn biểu thức :

0 0
0 0
( ) ( ) os
( ) ( )sin
t a c t a
t a t
θ θ ω
θ θ ω
= − +
= − −
&

+ Góc lệch và vận tốc giảm nhanh theo thời gian do ma sát là lớn hơn trong trường
hợp ma sát chất lưu.
+ Biên độ giảm chậm hơn vận tốc góc. Điều này phù hợp với lý thuyết.
+ Biểu đồ pha kết thức ở điểm có toạ độ
0; 0
θ θ
= =
&
.
Chu kỳ và tần số dao động :
10
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
2. Chế độ tuyến tính của dao động với biên độ lớn :
2.1. Chế độ không ma sát :
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 4, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 4, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 4, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 4, Fenetre d’analyse 1
Chu kỳ và tần số dao động :
11
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Giải thích và bình luận :

+ Giải thích tương tự trường hợp dao động của góc lệch nhỏ, không ma sát. Tuy
nhiên cần lưư ý rằng chu kỳ dao động lúc này T = 1.35s lớn hơn g trường hợp dao
dộng với biên độ nhỏ T = 1.25s. Điều này phù hợp với lý thuyết : Chu kì dao động
phụ thuộc vào biên độ của góc lệch theo biểu thức :
2
0
0
1
16
T T
θ
 
= +
 ÷
 

Với T
0
là chu kì dao động của con lắc ứng với góc lệch nhỏ.
2.2. Chế độ ma sát nhớt (ma sát chất lưu) :
Tạo ma sát nhớt trên cổ trục bằng cách dùng một hệ thống lò xo buộc tiếp xúc trực
tiếp vòng qua trục quay với độ căng nhất định
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 5, Fenetre 1 ; Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ

: Hình 5, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 5, Fenetre 4 ; Phổ Fourier : Hình 5, Fenetre d’analyse 1
Chu kỳ và tần số dao động :
12
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Giải thích và bình luận :
+ Ma sát chất lưu là ma sát không lớn lắm nên dao động của hệ là dao động tắt dần theo
chế độ giả tuần hoàn.
+ Phương trình dao động :
( ) cos( )
t
t Ce t
α
θ ω ϕ
−
= +
với
2 2 2
0
ω ω α
= −
(
α
là hệ số tắt dần). Vì
vậy góc lệch giảm dần theo thời gian có hai đường bao có dạng đồ thị hàm mũ.
+Tương tự lý luận phần không có ma sát góc lệch nhỏ, độ giảm của vận tốc nhanh hơn độ
giảm của góc lệch.
+ Biểu đồ pha thu được là những đường cong đúng như lý thuyết.
2.3. Chế độ ma sát trục:
Tạo ma sát trục bằng cách giống như khi khảo sát dao động với biên độ bé.

Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 6, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 6, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 6, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 6, Fenetre d’analyse 1

Giải thích và bình luận :
+ Lý thuyết chứng minh rằng dao động con lắc thoả :

0 0
( ) ( ) ost a c t a
θ θ ω
= − +

13
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC

0 0 0
( ) ( ) sint a t
θ θ ω ω
= − −
&
+ Góc lệch, vận tốc góc giảm nhanh theo thời gian do ma sát lớn.

+ Biểu đồ pha thu được phù hợp với lý thuyết, nó kết thúc ở điểm có :
θ
= 0,
θ
&
= 0
+ Với ma sát cổ trục, ta thấy biên độ dao động giảm nhanh hơn trường hợp ma sát
chất lưu.
Chu kỳ và tần số dao động :
3. Chế độ tuyến tính của dao động quay vòng :
3.1. Chế độ không ma sát :
Thực hiện dao động quay bằng cách : Đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng 1 góc
θ π
>
,
con lắc không thể dao động mà quay vòng.
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 7, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 7, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 7, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 7, Fenetre d’analyse 1
Chu kỳ và tần số dao động :
Giải thích và bình luận :

14
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
+ Con lắc quay vòng dưới tác dụng của các lực cản (nhỏ,) sau một thời gian cơ năng
con lắc giảm dần, kéo theo biên độ góc giảm dần, chuyển dần qua dao động với góc
lệch lớn. Đồ thị góc lệch giai đoạn đầu ứng với quay vòng, giai đoạn sau ứng với
góc lệch lớn. Với góc lệch lớn nghiệm của phương trình vi phân dao động phức tạp
hơn nhiều.
3.2. Chế độ ma sát nhớt (ma sát chất lưu) :
Thực hiện dao động quay bằng cách : đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng 1 góc
θ π
>
,
con lắc không thể dao động mà quay vòng.
Tạo ma sát chất lưu bằng cách gắn vào một tấm bìa cứng có diện tích đáng kể vào con
lắc.
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 8, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 8, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 8, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 8, Fenetre d’analyse 1
Giải thích và bình luận :
Con lắc quay vòng dưới tác dụng của các lực cản (nhỏ,) sau một thời gian cơ năng
con lắc giảm dần, kéo theo biên độ góc giảm dần, chuyển dần qua dao động với góc

lệch lớn. Đồ thị góc lệch giai đoạn đầu ứng với quay vòng, giai đoạn sau ứng với
góc lệch lớn. Với góc lệch lớn nghiệm của phương trình vi phân dao động phức tạp
hơn nhiều.
15
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Quỹ dạo pha trong trường hợp này tuy không rõ rệt lắm, nhưng cũng thể hiện hai
phần: Một phần ứng với dao động quay vòng, một phần ứng với dao động qua lại
quanh vị trí cân bằng (phần đường cong khép kín của quỹ đạo pha).
Chu kỳ và tần số dao động :
3.3. Chế độ ma sát trục:
Tạo ma sát trục bằng cách dùng một hệ thống lò xo buộc tiếp xúc trực tiếp vòng qua
trục quay với độ căng nhất định.
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 9, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 9, Fenetre 3
16
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Biểu đồ pha : Hình 9, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 9, Fenetre d’analyse 1
Giải thích và bình luận :
+ Trong phần chuyển động quay vòng, do con lắc bị vướng nên cớ những điểm bị
đứt đoạn, bất thường trên đồ thị.
+ Trong trường hợp chuyển động quay vòng, biểu đồ pha cũng có dạng gần giông

như trên lý thuyết, giản đồ pha có vùng Tuy nhiên do khi cho chuyển động không
tốt nên vận tốc con lắc thay đổi bất thường.
Chu kỳ và tần số dao động :
17
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
BÀI 2 :
KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC XOẮN
1. Mục đích thí nghiệm :
Khảo sát thực nghiệm hoạt động của con lắc xoắn và dùng nó để xác định hệ số xoắn ,
một thông số đặc trưng cho sức bền của vật liệu.
Chúng ta sẽ khảo sát bằng lý thuyết và thực nghiệm hoạt động của con lắc xoắn ở chế
độ tĩnh và chế độ động.
2. Khảo sát hoạt động ở chế độ tĩnh – Thanh xoắn ở vị trí nằm ngang :
2.1. Mô tả thiết bị thí nghiệm :
Thiết bị gồm một đĩa phân độ (1) gắn cứng với một thanh xoắn (2) (Để bảo đảm gắn
cứng thanh xoắn trên đĩa, cần siết chặt thanh xoắn với trục đĩa). Đầu kia của thanh xoắn
được gắn với một thanh ngang (3). Một đầu thanh ngang có gắn đối trọng (4), đầu kia
gắn đĩa treo (5). Đĩa treo có thể để trống hay mang thêm một quả cân khối lượng m.
Khoảng cách cần phải đo là khoảng cách l giữa hai đầu siết chặt của thanh xoắn. Đường
kính cần đo là đường kính D của thanh xoắn. Khoảng cách giữa trục quay của thanh xoắn
và điểm treo đĩa trên thanh ngang là h.
2.2. Sự cân bằng khi không có tải trọng :
Trên đĩa treo không đặt quả cân. Với đối trọng (4), ta thực hiện sự cân bằng của đĩa-
đối trọng sao cho thanh không bị xoắn : Chỉnh đĩa ở vị trí số 0, thả lỏng nút vặn O
2
,
điều chỉnh đối trọng sao cho đĩa - đối trọng cân bằng ở vị trí nằm ngang và thanh
ngang ở vị trí vừa hở so với trục tựa B, khi thanh ngang và trục tựa B tiếp xúc với
nhau sẽ làm đóng mạch điện làm cho đèn ở đĩa chia độ sáng lên. Sau đó siết chặt nút
vặn O

2
lại.
Trong điều kiện này, góc xoắn
θ
của thanh bằng 0.
Xét cân bằng momen lực cho thanh xoắn đối với trục Oz (trục của thanh xoắn), ta có :
M
đĩa treo/Oz
+ M
đối trọng/Oz
= 0
2.3. Sự cân bằng khi có tải trọng – Xác định hệ số xoắn C :
18
10
20
30
0
Ñoái troïng (4)
Đĩa phân độ (1)
Thanh xoắn (2)
Thanh ngang (3)
h
l
O
2
O
1
B
Đĩa treo (5)
m

Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
o
Đặt một quả cân khối lượng m đã biết (thực hiện cân quả cân trên bàn cân điện tử)
lên đĩa treo. Thanh ngang mang đĩa và đối trọng sẽ nghiêng đè lên trục tựa B và đèn
ở đĩa chia độ sẽ sáng lên.
o
Điều chỉnh đầu O
1
bằng cách quay chậm đĩa chia độ theo hướng ngược lại cho đến
khi thanh ngang vừa hở so với trục tựa B (đèn ở đĩa chia độ tắt).
o
Ta xác định được góc xoắn
e
θ
tương ứng.
Xét cân bằng momen lực cho thanh xoắn đối với trục Oz (trục của thanh xoắn), ta
có :
-Cθ
e
+ mgh + M
đĩa treo/Oz
+ M
đối trọng/Oz
= 0
Từ đó suy ra :
e
mgh
C
θ
=

hay
.
e
gh
m
C
θ
=
(1)
Khi khảo sát độ bền vật liệu, người ta chứng minh được :
4
D
C
l
= Γ
(2)
Với : D là đường kính thanh xoắn, l là khoảng cách O
1
O
2
.
Hệ số xoắn
Γ
là hằng số đặc trưng chỉ phụ thuộc vào tính chất vật liệu.
2.4. Nhiệm vụ cụ thể của bài thí nghiệm :
a) Xác định hệ số C của 3 thanh xoắn cùng vật liệu và có đường kính khác nhau D
1
,
D
2

, D
3
cho cùng độ dài l (đường kính thanh xoắn được đo bằng thước panme). Trên
cở sở đó tính giá trị của hệ số xoắn
Γ
(Phương pháp a).
b) Xác định hệ số C của thanh xoắn với đường kính nhỏ nhất cho 3 chiều dài l khác
nhau. Trên cơ sở đó tính giá trị của hệ số xoắn
Γ
(Phương pháp b).
c) So sánh và biện luận kết quả hệ số xoắn nhờ hai phương pháp a) và b) thí nghiệm
nêu trên.
2.5. Phương pháp tiến hành thí nghiệm :
•
Xác định hệ số C cho mỗi phép đo được thực hiện theo trình tự như sau :
+ Xác định góc xoắn
e
θ
cho tải trọng là 1 quả cân, 2 quả cân, ta có được ba cặp giá
trị
( , )
e
m
θ
kể cả cặp giá trị (0,0).
+ Dùng chương trình SYNCRONIE mô phỏng tuyến tính các giá trị đo được, tính
hệ số góc và suy ra giá trị của C.
•
Dùng chương trình SYNCRONIE, tính hệ số xoắn
Γ

với phương pháp a) bằng
cách mô phỏng các giá trị (D,C) bằng hàm mũ
4
C KD=
với
/K l= Γ
.
•
Dùng chương trình SYNCRONIE, tính hệ số xoắn
Γ
với phương pháp b) bằng
cách mô phỏng các giá trị (l,C) bằng hàm hyperbole
/C K l
=
với
4
K D= Γ
.
Trình bày sai số các kết quả nêu trên.
Chú ý : Phải siết chặt các nút vặn để tránh thanh xoắn có thể bị trượt trong ổ trục
gây nên sự mất chính xác trong phép đo.
2.6. Số liệu và kết quả thí nghiệm – Bình luận :
19
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
2.6.1. Thí nghiệm với ba thanh xoắn có cùng độ dài l = 60 cm:
a) Thanh xoắn có đường kính D
1
= 2,5mm:
m[g]
θ

e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 14 0.2442 0.3712 0
100 28 0.4884 0.3712 0
200 56 0.9169 0.3712 0
C
= 0.3712;
C∆
= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 1).
b) Thanh xoắn có đường kính D
1
= 3mm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 8 0.1395 0.6498 0
100 16 0.2792 0.6498 0
200 32 0.5584 0.6498 0
C
= 0.6498;
C∆

= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 2).
c) Thanh xoắn có đường kính D
1
= 3,5mm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 5 0.0872 1.0396 0
100 10 0.1744 1.0396 0
200 20 0.3488 1.0396 0
C
= 1.0396;
C∆
= 0
20
0
10
20
30
40
50
60
0 50 100 150 200 250

0
5
10
15
20
25
30
35
0 50 100 150 200 250
Hình 1
Hình 2
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 3).
2.6.2. Thí nghiệm với thanh xoắn có D = 2,5mm nhưng với ba độ dài khác nhau :
a) Thanh xoắn có độ dài l
1
= 50cm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 12 0.2093 0.4331 0
100 24 0.4186 0.4331 0
200 48 0.8372 0.4331 0
C

= 0.4331;
C∆
= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 4).
b) Thanh xoắn có độ dài l
2
= 55cm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 13.5 0.2355 0.3849 0
100 27 0.4710 0.3849 0
200 54 0.9420 0.3849 0
C
= 0.3849;
C∆
= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 5).
21
0
10

20
30
40
50
60
0 50 100 150 200 250
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
Hình 3
Hình 4
0
10
20
30
40
50
60
0 50 100 150 200 250
0
10
20
30
40
50
60

0 50 100 150 200 250
Hình 5
Hình 6
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
c) Thanh xoắn có độ dài l
3
= 60cm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 14 0.2442 0.3712 0
100 28 0.4884 0.3712 0
200 56 0.9768 0.3712 0
C
= 0.3712;
C∆
= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 6).
2.6.3. Kết quả tính toán :
a) Ba thanh xoắn cùng chiều dài l = 60 cm:
D [mm] C [Nm/Rad]
2
/N m Rad
 

Γ
 
∆Γ
2.5 0.3712 5.701.632.000 811.087.537
3.0 0.6498 4.813.333.333 77.211.130
3.5 1.0396 41.566.668.055 733.876.408
4.890.544.463Γ =
;
540725025∆Γ =
;
11.06%
ε
=
b) Thanh xoắn D
1
= 2,5mm có chiều dài khác nhau :
l [mm] C [Nm/Rad]
2
/N m Rad
 
Γ
 
∆Γ
50 0.4331 9543680000 11.221.333
55 0.3849 5419392000 77.211.130
60 0.3712 5701632000 733.876.908
5554901333Γ =
;
97820444∆Γ =
;

1.76%
ε
=
2.6.4. Kết luận :
a) Trường hợp đường kính D khác nhau :
Khi tăng đường kính D của thanh xoắn thì góc xoắn θ giảm xuống, và hệ số xoắn C tăng,
vì :
e
mgh
C
θ
=
và
4
D
C
l
= Γ
, do đó :
4
mghl
D
θ
=
Γ
Đồ thị
( )m
θ
là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và khi tăng D thì hệ số góc của đường
thẳng này giảm vì

4
mghl
D
θ
=
Γ
.
b) Trường hợp chiều dài l khác nhau :
Với cùng đường kính D và chiều dài l, thì khi tăng m, góc xoắn sẽ tăng lên, tức là góc
xoắn phụ thuộc vào momen xoắn.
22
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Với cùng m và D, nhưng tăng l thì góc xoắn tăng theo khiến cho hệ số xoắn C giảm
xuống. Điều này phù hợp với công thức lý thuyết :
4
D
C
l
= Γ
3. Khảo sát hoạt động ở chế độ động – Thanh xoắn ở vị trí đứng :
3.1. Mô tả thiết bị thí nghiệm :
Thiết bị gồm một thanh xoắn (1) ở tư thế đứng, một đầu cố định nhờ nút vặn O
1
, đầu
kia thả lỏng và có gắn thanh ngang (2) mang hai quả cân khối lượng m như nhau và đối
xứng qua trục quay O
1
z (h
1
= h

2
= h) được cố định chặt nhờ nút vặn O
2
.
Ký hiệu :
l là khoảng cách O
1
O
2
D là đường kính thanh xoắn
C là hệ số xoắn của thanh xoắn
J
0
là momen quán tính của 1 quả
cân đối với trục
∆
đi qua khối
tâm của nó và song sóng với O
1
z
m là khối lượng của một quả cân
Như vậy, momen quán tính tổng
cọng của thanh ngang có gắn tải
trọng bằng :
2
0
2( )J J J mh
∆
= + +
Phương trình chuyển động của

vật rắn áp dụng cho trường hợp
nêu trên với giả thiết các lực ma sát không đáng kể, cho ta biểu thức :
. .J C
θ θ
= −
&&
Hay :
2
0
( 2 2 ). . 0J J mh C
θ θ
∆
+ + + =
&&
Nghiệm phương trình vi phân trên mô tả một dao động điều hoà :
cos( )A t
θ ω ϕ
= +
Với chu kỳ dao động :
2
0
2 22
2
J J mh
T
C
π
π
ω
∆

+ +
= =
Qua biến đổi suy được :
2 2
T Ah B= +
Với :
2
8 m
A
C
π
=
và
2
0
4 ( 2 )J J
B
C
π
∆
+
=
3.2. Nhiệm vụ cụ thể của bài thí nghiệm :
a) Xác định hệ số C của thanh xoắn với đường kính nhỏ nhất ứng với ba độ dài l đã
chọn ở phần 2.4.b). Trên cơ sở đó tính hệ số xoắn
Γ
.
23
G
2

∆
2
∆
2
O
1
Thanh ngang (2)
Thanh xoắn (1)
z
G
1
h
1
h
2
O
2
Hình 7
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
b) So sánh và biện luận kết quả hằng số xoắn
Γ
tính bằng hai phương pháp ở câu 3.2.a)
và ở câu 2.4.b).
c) Xác định giá trị
0
2J J
∆
+
ứng với 3 phép đo thực hiện ở ba độ dài l phần ở phần 3.2.a).
Biện luận.

3.3. Phương pháp tiến hành thí nghiệm :
•
Xác định chu kỳ T cho mỗi phép đo như sau : Cho thanh ngang dao động với biên độ
nhỏ, dùng đồng hồ tính thời gian của n dao động (n khoảng 10 – 20 dao động), suy được :
T
i
= t/n, thực hiện ít nhất ba lần và tính giá trị trung bình T.
•
Xác định hệ số C cho mỗi phép đo thực hiện theo trình tự sau :
+ Xác định chu kỳ T cho 3 khoảng cách h khác nhau, suy được 3 cặp giá trị
(h,T).
+ Dùng chương trình SYNCRONIE mô phỏng tuyến tính các giá trị đo được,
tính A và B, từ A suy ra giá trị của C và từ B suy ra giá trị của
0
2J J
∆
+
.
Chú ý : Phải siết chặt các nút vặn để tránh thanh xoắn có thể bị trượt trong ổ trục gây nên
sự mất chính xác trong phép đo.
3.4. Kết quả thí nghiệm :
3.4.1. Thanh xoắn có chiều dài l
1
= 50 cm :
a) Với h
1
= 20cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 26.40 1.320 0.0017

20 26.50 1.325 0.0033
20 26.40 1.320 0.0017
1.3217T =
;
0.00223T∆ =
b) Với h
2
= 15cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 21.30 1.065 0.0017
20 21.37 1.0685 0.0018
20 21.33 1.0665 0.0002
1.0667T =
;
0.00123T∆ =
c) Với h
3
= 10cm:
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 16.65 0.8325 0.0007
20 16.72 0.836 0.0042
20 16.54 0.827 0.0048
0.8318T =
;
0.00323T∆ =
3.4.2. Thanh xoắn có chiều dài l
2
= 55 cm :

24
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
a) Với h
1
= 20cm:
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 27.34 1.367 0.002
20 27.50 1.375 0.006
20 27.30 1.365 0.004
1.369T =
;
0.004T∆ =
b) Với h
2
= 15cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 23.16 1.138 0.0018
20 23.24 1.162 0.0022
20 23.19 1.1595 0.0003
1.1598T =
;
0.00143T∆ =
c) Với h
3
= 10cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 20.36 1.018 0.003

20 20.48 1.024 0.003
20 20.42 1.021 0
1.021T =
;
0.002T∆ =
3.4.3. Thanh xoắn có chiều dài l
3
= 60 cm :
a) Với h
1
=20cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 28.75 1.4375 0.0018
20 28.69 1.4345 0.0012
20 28.70 1.435 0.0022
1.4357T =
;
0.00173T∆ =
b) Với h
2
= 15cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 24.86 1.243 0.0023
20 24.80 1.240 0.0007
20 24.78 1.239 0.0017
1.2407T =
;
0.0017T∆ =

c) Với h
3
=10cm :
25