Cách giải toán lớp 12 ôn thi đại học

GIẢI TÍCH 12
Bổ túc về đại số:
1. Phương trình bậc 2:
 ax
2
+bx+c=0 với x
1,
x
2
là nghiệm thì ax
2
+bx+c = a(x-x
1
)(x-x
2
);
 ∆=b
2
-4ac (∆’=b’
2
-ac với b’=b/2) thì








∆±−
=

∆±−
=
a
b
x
a
b
x
2
''

2
2,12,1
 Nếu a+b+c=0 thì x
1
=1; x
2
=c/a; nếu a-b+c=0 thì x
1
=1; x
2
= -c/a;
S=x
1
+x
2
= - b/a; P=x
1
.x
2

= c/a (đl Vieet)
2. Tam thức bậc hai: f(x)= ax
2
+bx+c
 ∆<0 thì f(x) cùng dấu a +
0)(
21
<⇔<<
αα
afxx




<∆
>
⇔>
0
0
0)(
a
xf
+



<∆
<
⇔<
0

0
0)(
a
xf








>−
>
>∆
⇔<<
0
2
0)(
0
21
α
αα
S
afxx
+








<−
>
>∆
⇔<<
0
2
0)(
0
21
α
αα
S
afxx
3. Phương trình bậc ba: ax
3
+bx
2
+cx+d=0
 Nếu a+b+c+d=0 thì x
1
=1;
 Nếu a-b+c-d=0 thì x
1
= -1;
 Dùng Hoocner ax
3
+bx

2
+cx+d=(x-1)(ax
2
+ βx + γ) = 0 với β=a+b; γ=β+c
4. Các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit:

);2cos1(
2
1
cos
);
2
cos(sin- );
2
sin(cos
2
xx
xxxx
+=
+=+=
ππ

)2cos1(
2
1
sin
2
xx −=
; 1+tg
2

x=
x
2
cos
1

x
x
2
2
sin
1
cotg1 −=+
 Cấp số cộng: ÷a,b,c,… d = c – b = b – a
 Cấp số nhân: a,b,c,…
a
b
b
c
q ==

1
I. ĐẠO HÀM:
1. Qui Tắc:
1. (u ± v)’ = u’ ± v’
2. (u.v)’ = u’v + v’u
3.
2
'
v

u'vv'u
v
u −
=






4. (ku)’ = ku’ (k:const)
2. Công thức:
(x
n
)’ = nx
n-1
(u
n
)’ = nu
n-1
u’
2
'
x
1
x
1
−=







2
'
u
'u
u
1
−=






( )
x2
1
x
'
=
( )
u2
'u
u
'
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu
(tgx)’ =
xcos
1
2
(tgu)’ =
ucos
'u
2

(cotgx)’ =
xsin
1
2
−
(cotgu)’ =
usin
'u
2
−

(e
x
)’ = e
x
(e
u
)’ = u’e
u
(a

x
)’ = a
x
.lna (a
u
)’ = u’a
u
.lna
(lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
'u
(log
a
x)’ =
alnx
1
(log
a
u)’ =
alnu
'u
2
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. Hàm bậc ba y = ax
3
+bx
2

+cx+d:
• Miền xác định D=R
• Tính y’= 3ax
2
+2bx+c
• y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
• Tính y’’ tìm 1 điểm uốn
• Bảng biến thiên
• Điểm đặc biệt (2điểm)
• Đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
- Để hs tăng trên D



≤∆
>
⇔≥⇔
0
0
0'
'y
a
y
- Để hs giảm trên D



≤∆
<

⇔≤⇔
0
0
0'
'y
a
y
- Để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n
0
phân biệt
- Để hs không có cực trị ⇔y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
- Hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đồ thị
- Chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị,
nếu x
i
là cực trị thì giá trị cực trị là: y
i
=mx
i
+n
- Đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu.
- Đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ⇔ ax
3
+bx
2
+cx+d=0 có 3
nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox.
3
2. Hàm trùng phương y = ax
4

+bx
2
+c:
• Miền xác định D=R
• Tính y’
• y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
• Bảng biến thiên
• Điểm đặc biệt (2điểm)
• Đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng phương:
- Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng.
- Để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 có 3 n
0
pb (hoặc 1 n
0
)
- Để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n
0
pb
- Đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆>0; P>0; S>0.
- Đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc ⇔ ∆>0; P>0; S>0; x
2
= 9x
1
và sử
dụng định lý Vieet.
3. Hàm nhất biến
dcx
bax
y

+
+
=
• Miền xác định D=R\
{ }
c
d
−
• Tính
( )
2
'
dcx
bcad
y
+
−
=
(>0, <0)
• TCĐ
c
d
x −=
vì
0lim =
−→
y
c
d
x

• TCN
c
a
y =
vì
c
a
y
x
=
∞→
lim
• Bảng biến thiên
• Điểm đặc biệt (4điểm)
• Đồ thị
- Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
4
4. Hàm hữu tỷ:
edx
x
edx
cbxax
y
+
++=
+
++
=
γ
βα

2
chia bằng Hoocner
• Miền xác định D=R\
{ }
d
e
−
• Tính y’=
( ) ( )
2
2
2
.
edx
pnxmx
edx
d
+
++
=
+
−
γ
α
• y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
• TCĐ
d
e
x −=
vì

0lim =
−→
y
d
e
x
• TCX
βα
+= xy
vì
0lim =
+
∞→
edx
x
γ
• Bảng biến thiên
• Điểm đặc biệt (4điểm)
• Đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
- Có 2 cực trị hoặc không ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của
mẫu hoặc vô nghiệm.
- Nếu x
i
là cực trị thì giá trị cực trị là
d
bax
y
i

i
+
=
2
và đó cũng là đt qua 2
điểm cực trị.
- Đồ thị cắt ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ ax
2
+bx+c=0 có 2 nghiệm pb
5
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
1. Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
a. Loại 1: pttt tại M(x
0,
y
0
) ∈ y=f(x)
- Tính: + y’=
+ y’(x
0
)=
- pttt: y = f’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
b. Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
Ta có: f’(x)=k
Giải pt này tìm x

0
thay vào y=f(x) tìm được y
0
từ đó ta có pttt là: y = k(x-x
0
)+y
0
• pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
• pttt ⊥y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
c. Loại 3: pttt qua M(x
0,
y
0
) của y=f(x)
- ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x
0
)+y
0
- Để d là tt thì hệ sau có nghiệm:



=
+−=
(2)
(1)
kxf
yxxkxf
)('
)()(

00

- Thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào
pttt d ở trên.
2. Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y= g(x)
- Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là
có mấy giao điểm.
- Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng
f(x)=g(m)
Đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt
dựa vào đồ thị.
- Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:



=
=
(x) ')('
)()(
gxf
xgxf
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
6
3. Đơn điệu: cho y=f(x) ; đặt g(x)=y’
a. g(x) = ax
2
+bx+c ≥ 0 trong (α,+∞) ⇔ a>0;
α
≤−
a

b
2
; g(α)≥0.
b. g(x) = ax
2
+bx+c ≤ 0 trong (α,+∞) ⇔ a<0;
α
≤−
a
b
2
; g(α)≤0.
c. g(x) = ax
2
+bx+c ≥ 0 trong (α,β) ⇔ ag(α)≤0; ag(β)≤0
{áp dụng cho dạng có m
2
}
d. Trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m
> giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x))
e. đối với hàm có mxđ D=R\{x
0
} thì
• Tăng trên (α,+∞)⇔ y’≥0; x
0
≤α
• Giảm trên (α,+∞)⇔ y’≤0; x
0
≤α
4. Cực trị:

* y = f(x) có cực trị ⇔ y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”≠0)
* y=f(x) có cực đại tại x
0
⇔
( )
( )



<
=
0''
0'
0
0
xy
xy
* y=f(x) có cực tiểu tại x
0
⇔
( )
( )



>
=
0''
0'
0

0
xy
xy
a. T.Hợp 1: Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
P.Pháp:
• Tập xác định D = R
• Tính y’
• Để hàm số có cực trị thì y
/
= 0 có hai n
0
pb



〉∆
≠
⇔
0
0a
7
b. T.Hợp 2: Hàm số
//
2
bxa
cbxax

y
+
++
=
P.Pháp:
• Tập xác định






=
/
/
\
a
b
RD
• Tính
( )
2
//
/
)(
bxa
xg
y
+
=

• Để hàm số có cực đại và cực tiểu
thì y’ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D





≠−
〉∆
⇔
0)(
0
/
/
/
a
b
g
g
5. GTLN, GTNN:
a. Trên (a,b)
• Tính y’
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• KL:
( )
;
max
CD
a b
y y=

,
( )
;
min
CT
a b
y y=

b. Trên [a;b]
• Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
( )
0
;x a b∈
• Tính y (x
0
) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL:
[ ]
;
max
a b
y M=
Chọn số nhỏ nhất m , KL:
[ ]
;
min
a b
y m=
8

III. HÀM SÓ MŨ VÀ LOGARIT:
1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
; (
n
a
1
=a
−
m
; a
0
=1; a
−
1
=

a
1
);
(a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a
=







;
n
m
n
m
aa =
.
2. Công thức logarit: log
a
b = c⇔a
c
=b ( 0< a≠1; b>0)
Với 0< a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R ta có:
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log

a
x
2
; log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
−log
a
x
2
;

xa
x
a
=
log
; log
a
x
α
=
α

log
a
x;
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
; (log
a
a
x
=x);
log
a
x=
a
x
b
b
log
log
; (log
a
b=
a

b
log
1
) ; log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
3. Phương trình mũ- lôgarít :
* Dạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a ≠
)
 b
≤
0 : pt vô nghiệm
 b>0 :
log
x

a
a b x b= ⇔ =
* Đưa về cùng cơ số: A
f(x)
= B
g(x)
⇔ f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
x b=
( a> 0 ,
0a ≠
)
 Điều kiện : x > 0

log
b
a
x b x a= ⇔ =
• log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔ f(x) = g(x)
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
9
4. Bất PT mũ – logarit:
* Dạng a

x
> b ( a> 0 ,
0a
≠
)
b
≤
0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0 :
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1

log
x
a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng
log
a
x b>
( a> 0 ,
0a
≠
, x>0 )
log

b
a
x b x a> ⇔ >
, khi a >1
log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
ΙΙΙ1. Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

⇔
F
( ) ( )
xfx =
/
,
( )
bax ;∈∀
2. Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

∫
+= cxdx.1

( )
1
1
.

1
−∝≠+
+∝
=
∫
+∝
∝
c
x
dxx

∫
+= cxdx
x
ln.
1

∫
+= cSinxdxCosx .

∫
+−= cCosxdxSinx.

∫
+= ctgxd x
xCos
.
1
2


∫
+−= cCotgxdx
xSin
2
1
.

∫
+= cedxe
xx
.

∫
+= c
a
a
dxa
x
x
ln
.
10
3. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

( )
( )
∫
+
+∝
+

=+
+∝
c
bax
a
dxbax
1
1
.
1
α

∫
++=
+
cbax
a
dx
bax
ln.
1
.
1

( ) ( )
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos .
1

.

( ) ( )
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin .
1
.

( )
( )
∫
++=
+
cbaxtg
a
dx
baxCos
.
1
.
1
2

( )
( )
∫
++−=
+

cbaxCotg
a
dx
baxSin
.
1
.
1
2

∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
.
1
.

∫
+=
+
+
c
a
a
m
dxa

nmx
nmx
ln
.
1
.
4. Các phương pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về
tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức.
a. Phương pháp đổi biến số:
( )
[ ]
( ) ( )
∫
ϕϕ=
b
a
xdxxfA
/
P.Pháp:
 Đặt : t =
( )
xϕ

⇒

( ) ( )
xdxdt .
/
ϕ=
 Đổi cận:

( )
( )



ϕ=⇒=
ϕ=⇒=
atax
btbx

 Do đó:
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
==
b
a
b
a
tFdttfA .
11
 Các dạng đặc biệt cơ bản:

1.
∫
+
=
a
xa
dx
I
0
22
P.Pháp:
• Đặt:
tgtax .=







π
〈〈
π
−
22
t
( )
dtttgadt
tCos
a

dx .1.
2
2
+==⇒
• Đổi cận:
2. Tính
dxxaJ
a
.
0
22
∫
−=
P.Pháp:
• Đặt






π
≤≤
π
−=
22
int. tSax
dtCostadx
=⇒
• Đổi cận

b. Phương pháp tính tích phân từng phần
- Loại 1: Có dạng: A=
dx
Cosx
Sinx
e
xP
b
a
x
.).(
∫










trong đó P(x) là hàm đa thức
Phương pháp: Đặt u = P(x)
⇒
du = P(x).dx
dv =













∫
∫
∫
Cosx
Sinx
e
x
.dx
⇒
v =
Áp dụng công thức tích phân từng phần: A =
[ ]
∫
−
b
a
b
a
duvvu
- Loại 2: B =
∫

+
b
a
dxbaxLnxP ).().(

Phương pháp: Đặt u = Ln(ax+b)
⇒

dx
bax
a
du .
+
=

dv = P(x).dx
⇒
v =
12
Áp dụng: B =
[ ]
∫
−
b
a
b
a
duvvu
IV. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b

P.Pháp:
• DTHP cần tìm là:
dxxfS
b
a
.)(
∫
=
(a < b)
• Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
+ Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm không thuộc đoạn
[ ]
ba;
thì:
∫
=
b
a
dxxfS ).(
+ Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
ba;
.
Giả sử x =
α
, x =
β
thì:
dxxfdxxfdxxfS
b

a
.)(.)(.)(
∫∫∫
β
β
α
α
++=
∫
α
=
a
dxxfS ).(
+
∫
β
α
dxxf ).(
+
∫
β
b
dxxf ).(
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hoành:
P.Pháp:
♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0



=

=
⇔
bx
ax

∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfS ).(.)(
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường (c
1
): y = f(x) và(c
2
): y =
g(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp
• DTHP cần tìm là:
dxxgxfS
b
a
.)()(
∫
−=

• HĐGĐ của hai đường (c
1
) và (c

2
) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0
13
Lập luận giống phần số 1
14
V. THỂ TÍCH VẬT THỂ:
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên
đoạn
[ ]
ba;
. Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:
[ ]
dxxfV
b
a
.)(.
2
∫
π=

2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên
đoạn
[ ]
ba;
. Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:
[ ]
dyygV
b
a
.)(.

2
∫
π=
.
IV. SỐ PHỨC:
• Số i : i
2
= -1
• Số phức dạng : z = a + bi ; a,b∈R
• Modun của số phức :
2 2
z a b= +
• Số phức liên hợp của z = a + bi là :
z a bi= −
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
;
z z
z z
′ ′
 
=
 ÷
 
;
0z ≥
với mọi
z ∈£
,
0 0z z= ⇔ =
.

z z=
;
zz z z
′ ′
=
;
z
z
z z
′
′
=
;
z z z z
′ ′
+ ≤ +
;
z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
• a+ bi = c + di
a c
b d
=

⇔

=


• (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
• (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
• (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
•
( ) ( )
2 2
a bi c di
a bi
c di
c d
+ −
+
=
+
+
Ta có:
1 2 3 4
, 1, , 1i i i i i i= = − = − =
;
4 4 1 4 2 4 3
1, , 1,
n n n n
i i i i i i
+ + +
= = = − = −
.
15
( )
2
1 2i i+ =

;
( )
2
1 2i i− = −
; Các căn bậc hai của số thực a < 0 là :
i a±
Xét phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 ( a khác 0 ;
, ,a b c R∈
)
Đặt
2
4b ac∆ = −
o Nếu
∆
= 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =
2
b
a
−
o Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm thực :
1,2
2
b
x
a
− ± ∆

=
o Nếu
∆
< 0 thì phương trình có hai nghiệm phức :
1,2
2
b i
x
a
− ± ∆
=
 Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai
2
0az bz c+ + =
(
, , , 0a b c a∈ ≠£
) có
hai nghiệm
1 2
,z z
thì :
1 2
b
z z
a
+ = −
và
1 2
c
z z

a
=
.
 Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số
1 2
,z z
có tổng
1 2
z z S+ =
và
1 2
z z P=
thì
1 2
,z z
là nghiệm của phương trình :
2
0z Sz P− + =
.
16
HÌNH HỌC 12
PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. sin
α
=
AB
BC
(ĐỐI chia HUYỀN)
2. cos

α
=
AC
BC
(KỀ chia HUYỀN)
3. tan
α
=
AB
AC
(ĐỐI chia KỀ)
4. cot
α
=
AC
AB
(KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC
2
= AB
2
+ AC
2
(Định lí Pitago)=>AB
2
= BC
2
- AC
2

2. AB
2
= BH.BC 3. AC
2
= CH.BC
4. AH
2
= BH.CH 5. AB.AC = BC.AH
6.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA
2. b
2
= a
2
+ c
2
– 2accosB
3. c

2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN
a b c
2R
sin A sin B sin C
= = =
V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC
= =
; b)
AM AN
MB NC
=
17
α
H
C
B
A
N
M
C
B

A
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =
1
ah
2

b) S =
p(p a)(p b)(p c)− − −
(Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:
a) Đường cao: h =
a 3
2
; b) S =
2
a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung
trực
3. Tam giác vuông:
a) S =
1
2
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =

1
2
a
2
(2 cạnh góc vuông bằng nhau)
b) Cạnh huyền bằng a
2
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30
o
hoặc 60
o
b) BC = 2AB c) AC =
a 3
2
d) S =
2
a 3
8
6. Tam giác cân:
a) S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác,
đường trung trực
18
60
o

30
o
C
B
A
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi: S =
1
2
d
1
.d
2
(d
1
, d
2
là 2 đường chéo)
9. Hình vuông: a) S = a
2

b) Đường chéo bằng a
2
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2
π
R (R: bán kính đường tròn)
b) S =
π
R

2
(R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) BG =
2
3
BN; BG = 2GN; GN =
1
3
BN
2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác
đáy).
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân
bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo
với mặt đáy các góc bằng nhau
19
G
P
N
M

C
B
A
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(
α
):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(
α
)
Tức là:
d a; d b
a b
a,b
⊥ ⊥


∩


⊂ α

⇒
d
⊥
(
α
)
b)
( ) ( )
( ) ( ) a

a d ( )
α ⊥ β


α ∩ β =


⊥ ⊂ β


⇒
d
⊥
(
α
)
c) Đt d vuông góc với mp(
α
) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(
α
)
4. Góc
ϕ
giữa đt d và mp(
α
): d cắt (
α
) tại O và A
∈
d

Nếu
AH ( )
H ( )
⊥ α


∈ α

thì góc giữa d và (
α
) là
ϕ
hay
ˆ
AOH
=
ϕ
5. Góc giữa 2 mp(
α
) và mp(
β
):
Nếu
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
α ∩ β =


⊥ ⊥



⊂ α ⊂ β

thì góc giữa (
α
) và (
β
) là
ϕ
hay
ˆ
EMF
=
ϕ
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(
α
):
Nếu AH
⊥
(
α
) thì d(A, (
α
)) = AH (với H
∈
(
α
))
IX. KHỐI ĐA DIỆN:

1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp: V =
1
Bh
3
(diện tích đáy là đa giác)
3. Tỉ số thể tích của khối chóp:
S.A B C
S.ABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
′ ′ ′
′ ′ ′
=
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay:
S
xq
=
Rlπ
(R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5. Thể tích của khối nón tròn xoay: V =
1
Bh
3
(diện tích đáy là đường tròn)
20
α
β
ϕ

F
E
M
B
A
ϕ
O
H
A
d'
d
α
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay:
S
xq
= 2
Rlπ
(R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh =
2
Rπ
h ( h: chiều cao khối trụ)
8. Diện tích của mặt cầu: S = 4
2
Rπ
(R: bk mặt cầu )
9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V =
3
4
R

3
π
(R: bán kính mặt cầu)
PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN
I. CÔNG THỨC VECTƠ:
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho
( )
321
;; aaaa =

;
( )
321
;; bbbb =

và
Rk
∈
Ta có:
1)
( )
332211
;; babababa ±±±=±


2)
( )
321
;; kakakaak =


3)
332211
. babababa ++=


4)
2
3
2
2
2
1
aaaa ++=

5) Tích có hướng của hai vectơ
a

và
b

là
[ ]









=
21
21
13
13
32
32
;;,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba


6)
[ ]
( )
baS inbaba






, , =
7)






=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba


21
8)
a

cùng phương
b


[ ]
0,


=⇔ ba

9)
[ ]
baa


,⊥
hay
[ ]
bab



,⊥
10)
a

,
b

,
c

đồng phẳng
[ ]
0., =⇔ cba



11)
0

332211
=++⇔⊥ babababa


 Ứng dụng của vectơ:
•
[ ]
ACABS
ABC
,.
2
1
=
∆
•
[ ]
/
.
.,
////
AAADA BV
DCBAHoäpABCD
=
•
[ ]
ADACABV
CDTöùdieänAB
.,.
6
1

=
II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog không gian Oxyz cho
( )
AAA
zyxA ;;
và
( )
BBB
zyxB ;;

1)
( )
ABABAB
zzyyxxAB −−−= ;;
2)
( ) ( ) ( )
222
ABABAB
zzyyxxAB −+−+−=
3) G là trọng tâm
ABC
∆
, ta có:











++
=
++
=
++
=
3
3
3
CBA
G
CBA
G
CBA
G
zzz
z
yyy
y
xxx
x
4) G là trọng tâm tứ diện ABCD
0

=+++⇔
GDGCGBGA

⇔










+++
=
+++
=
+++
=
4
4
4
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
zzzz
z
yyyy

y
Xxxx
x
22
5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có:










−
−
=
−
−
=
−
−
=
k
kzz
z
k
kyy
y

k
kxx
x
BA
M
BA
M
BA
M
1
1
1
,
1
≠
k
6) I là trung điểm của đoạn AB thì:










+
=
+

=
+
=
2
2
2
2
zz
z
yy
y
xx
x
A
I
BA
I
BA
I
III. MẶT PHẲNG:
1) Giả sử mp
( )
α
có cặp VTCP là:
( )
321
;; aaaa =

và
( )

321
;; bbbb =

Nên có VTPT là:
=
n

[ ]








=
21
21
13
13
32
32
;;,
bb
aa
bb
aa
bb
aa

ba


2) Phương trình tổng quát của mp
( )
α
có dạng: Ax + By + Cz + D = 0
Với
0
222
≠++ CBA
; trong đó
( )
CBAn ;;=

là VTPT của mp
( )
α
3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ:
• (Oxy) : z = 0 ;
• (Ozy) : x = 0
• (Oxz) : y = 0
4) Chùm mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng cắt nhau:
( )
0:
11111
=+++α DzCyBxA
và
( )
0:

22222
=+++α DzCyBxA

PT của chùm mp xác định bởi
( )
1
α
và
( )
2
α
là:
( ) ( )
0
22221111
=+++µ++++λ
DzCyBxADzCyBxA
với
0
22
≠µ+λ
23
5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng:
a. Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
P.Pháp:
• Tìm VTPT
( )
CBAn ;;=

và điểm đi qua

( )
0000
;; zyxM
• Dạng:
( ) ( ) ( )
0
000
=−+−+− zzCyyBxxA
b. Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C
P.Pháp:
• Tính
ACAB,
• Mp (ABC) có VTPT là
[ ]
ACABn ,=

và qua A
• Kết luận.
c. Vấn Đề 3: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua điểm A và vuông góc BC
P.Pháp: Mp
( )
α
⊥
BC. Nên có VTPT là BC qua A
• Trục Ox chứa
( )
0;0;1=i


• Trục Oy chứa
( )
0;1;0=j

• Trục Oz chứa
( )
1;0;0=k

d. Vấn Đề 4: Viết phương tình mp
( )
β
là mặt phẳng trung trực của AB.
P.Pháp:
• Mp
( )
β
⊥
AB. Nên có VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB
• Kết luận.
e. Vấn Đề 5: Viết phương tình mp
( )
β
đi qua điểm
( )
0000
;; zyxM
và song
song với mặt phẳng
( )

0: =+++α DCzByAx
P.Pháp:
•
( ) ( )
αβ //
. Nên phương trình
( )
β
có dạng: Ax + By + Cz + D
/
= 0
•
( )
/
0
DM ⇒β∈
• Kết luận
24
f. Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc
với mp (Q)
P.Pháp:
• Mp (P) có cặp VTCP là:
AB
và VTPT của (Q) là
Q
n

• Mp (P) có VTPT là
[ ]
Q

nABn

,=
và qua A
• Kết luận.
g. Vấn Đề 7: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua các điểm là hình chiếu của
điểm
( )
000
;; zyxM
trên các trục toạ độ.
P.Pháp:
• Gọi M
1
, M
2
, M
3
lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì
M
1
(x
0
;0;0) , M
2
(0;y
0

;0) , M
3
(0;0;x
0
)
• Phương trình mp
( )
α
là:
1
00
=++
z
z
y
y
x
x

h. Vấn Đề 8: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua điểm M0 và vuông góc với
hai mặt phẳng (P) và (Q).
P.Pháp:
• (P) có VTPT là
P
n

• (Q) có VTPT là

Q
n

• Mp
( )
α
có VTPT là
[ ]
QP
nn

,
và qua M
o
• Kết luận.
i. Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại
tiếp điểm A.
P.Pháp:
• Xác định tâm I của mặt cầu (S)
• Mặt phẳng
( )
α
: Mp tiếp diện có VTPT :
IA
• Viết phương trình tổng quát.
25