Chuyên đề tiếp tuyến với trục tọa độ các tiệm cận

CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN VỚI TIỆM CẬN - VỚI TRỤC TỌA ĐỘ
BÀI TOÁN :
Cho hàm số : y=f(x;m), tìm m để hàm số có Cực đại , cực tiểu cùng với một điểm I tạo
thành một tam giác đặc biệt ( cân, đều , vuông ).
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1 1y x x m x m= − + + − − −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị .
b. Ta có :
( )
2 2
' 3 6 3 1y x x m= − + + −
- Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì :
( )
2 2
' 3 6 3 1y x x m= − + + −
=0 có hai nghiệm phân biệt
( )
2 2
1
2
' 9 9 1 0 9 0; 0 (*)
3 3
1

3
3 3
1
3
m m m
m
x m
m
x m
⇔ ∆ = + − > ⇒ > ⇔ ≠
− −

= = +

−
⇒

− +

= = −

−

- Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu .Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
là hai điểm cực
đại ,cực tiểu của hàm số . Nếu A,B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA
vuông góc với OB :

. 0OA OB =
uuur uuur
- Ta có :
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
; ; ; . 0 1OA x y OB x y OAOB x x y y⇒ = + =
uuur uuur uuur uuur
- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta có :
( ) ( )
( )
( )
3 2 2 2 2 2 2 2
1
3 3 1 3 1 3 6 3 1 2 2 1
3 3
x
x x m x m x x m m x m
 
− + + − − − = − − + + − + − +
 ÷
 
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
( )
2 2
2 2 1y m x m= − +
- Do đó :
( ) ( )
( )
( )
( )

( )
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 1 ; 2 2 1 . 4 4 1 4 1y m x m y m x m y y m x x m x x m= − + = − + ⇒ = − + + + +
- Áp dụng Vi-ét cho (1)
1 2
2
1 2
2
. 1
x x
x x m
+ =


= −

, thay vào :
( ) ( ) ( )
4 2 2 2 2 2 2 4
1 2
4 1 2( 1) ( 1) 4 1 1y y m m m m m m m
 
⇒ = − − + + + = + + −
 
- Vậy :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2

0 (1 ) 4 1 1 0 1 4 1 1 0x x y y m m m m m m m
 
+ = ⇔ − + − + − = ⇔ − + − − =
 
Hay :
( ) ( )
( )
2
2 2 4
2
4 2
1
1
1 0
1 3 4 4 0; *
3
6
4 4 3 0
2
2
m
m
m
m m m
m
m m
m
= ±

= ±



− =


− + − = ⇒ ⇔ ⇒



=
− + + =
= ±




Kết luận : Với m thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với O tạo
thành tam giác vuông tại O .
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
1
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
Ví dụ 2.Cho hàm số
( )
3 2
3 4y x x C= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để
đường thẳng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B,C ( B,C khác A ) cùng với
gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Đường thẳng d đi qua A(-1;0) với hệ số góc là k , có phương trình là : y=k(x+1)=kx+k .
- Nếu d cắt (C) thì :
( )
( )
3 2
3 4 1
2
x x kx k
y kx k

− + = +


= +


, có ba nghiêm phân biệt
( )
( )
3 2 2
3 4 0 1 4 4 0x x kx k x x x k⇔ − − + − = ⇒ + − + − =
có hai nghiệm phân biệt .
2
1

4 4 0
x
x x k
= −


⇔ ⇒

− + − =

Vậy
2
' 0
( ; ) 4 4 0 0 9(*)
( 1; ) 9 0
k
g x k x x k k k
g k k
∆ = >

= − + − = ⇔ ⇒ > ∨ ≠

− = − ≠

Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C .Với A(-1;0) , do đó B,C có
hoành độ là hai nghiệm của phương trình :
- Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;B x y C x y
với
1 2
;x x
là hai nghiệm của phương trình :
2

4 4 0x x k− + − =
. Còn
1 1 2 2
;y kx k y kx k= + = +
.
- Ta có :
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
; 1 1BC x x k x x BC x x k x x k= − − ⇒ = − + = − +
uuur
- Khoảng cách từ O đến đường thẳng d :
2
1
k
h
k
=
+
- Vậy theo giả thiết :
2 3 3 3
3
2
1 1 1 1 1
. . 2 1 2 1
2 2 2 4

4
1
k
S h BC k k k k k k
k
= = + = = ⇒ = ⇔ = ⇒ =
+
Đáp số :
3
1
4
k =
, thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán .
Ví dụ 3.Cho hàm số
( )
2
m
m x
y H
x
−
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m=1
b. Tìm m để đường thẳng d : 2x+2y-1=0 cắt
( )
m
H
tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam
giác OAB có diện tích bằng 3/8 .

GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (H).
b. Đường thẳng d viết lại :
1
2
y x= −
. Nếu d cắt
( )
m
H
tại hai điểm A,B thì tọa độ A,B là
nghiệm của hệ :
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
2
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
( )
( )
2
1
17
1 8 2 2 0
2 2
( ; ) 2 2 2 0 1 (*)
16
1
( 2; ) 4 2 0
2
2
m x
x

m
m
x
g x m x x m
g m m
m
y x
−

= −


∆ = − − >
<
  
+
⇔ = + + − = ⇒
  
− = + ≠


 
≠
= −



- Gọi
( ) ( ) ( )
2 2

1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 1
; ; ; ; 2
2 2
A x x B x x AB x x x x AB x x x x x x
   
− − ⇒ = − − ⇔ = − + − = −
 ÷  ÷
   
uuur
- Khoảng cách từ O đến d là h , thì :
2 2
1
1
2 2
2 2
h
−
= =
+
- Theo giả thiết :
2 1
1 1 1 1 1 17 16 3
. 2.
2 2 4 4 2 8
2 2
m
S AB h x x
a
∆ −

= = − = = =
Hay :
17
1 17 16 3 1
; 17 16 3
16
4 2 8 2
16 8
m
m
m m
m

<
−

= ⇔ − = ⇔ ⇒ =


=

, thỏa mãn điều kiện (*) .
- Đáp số : m=1/2 .
Ví dụ 4.Cho hàm số
( )
2 3
2
x
y C
x

+
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho
vòng tròn ngoại tiếp tam giác IABcó bán kính nhỏ nhất . Với I là giao hai tiệm cận .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b.Tiếp tuyến của (C) tại
( )
0 0
;M y
là
( )
( )
0
2
0
0
1 1
: 2
2
2
d y x x
x
x
 
= − + −
 ÷
 ÷

+
+
 
- d cắt tiệm cận đứng : x=-2 tại A
( )
( )
0
2
0 0
0
1 1 2
2 2 2
2 2
2
A
y x
x x
x
⇒ = − − + − = −
+ +
+
- d cắt tiệm cận đứng : y=2 tại B
( )
( )
0 0
2
0
0
1 1
2 2 2 2

2
2
B B
x x x x
x
x
⇒ = − + − ⇔ = −
+
+
- Như vậy :
( ) ( )
0
0
1
2;2 ; 2 2;2 ; 2;2
2
A B x I
x
 
− − + −
 ÷
+
 
- Ta có :
( )
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1
0; ; 2 4;0 ; 2 4; ; . .2 2 1
2 2 2 2 2

IA IB x AB x S IA IB x
x x x
   
− + + − ⇒ = = + =
 ÷  ÷
+ + +
   
uur uur uuur

Do :
( )
( )
( )
( )
2
0 0
2
2
0
0
2
0
0
1
2 2 4 2
2
. . . . 1 1 1
1 2 4 2 . 1
4 4 2 4 2
2

x x
x
IA IB AB IA IB AB
S R x
R x
x
+ + +
+
= = ⇒ = = =≥ + =
+
+
Dấu bằng xáy ra khi :
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
3
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
( )
( )
( )
0 0
2 4
0 0 0
2
0
0 0
1
2 2 2
1 1 1
2
4 2 ; 2 ; 2
1

4
2
2
2 2 2
2
x y
x x x
x
x y

= − − ⇒ = +


⇔ + = ⇔ + = ⇒ + = ⇔

+
= − + ⇒ = −


-Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 5. Cho hàm số
( ) ( )
2
; 0;1
m
m x
y C A
x m
−
=

+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Gọi I là giao hai tiệm cận . Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam giác IAB
vuông cân tại A .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : x=-m; tiệm cận ngang : y=-1, do đó I(-m;-1) .
-Nếu B thuộc đồ thị hàm số thì :
0
0
3
; 1
m
B x
x m
 
− +
 ÷
+
 
- Ta có :
( )
0 0
0 0
3 6
;2 ; ; 2 ; . 4
m m
IA m AB x IA AB mx
x m x m
 

= − ⇒ = + −
 ÷
+ +
 
uur uuur uur uuur
- Nếu tam giác IAB vuông cân tại A thì :
0
0
0
0
2
2
2 2
2 2 2 2
0
0
0
0
6
3
4 0
2
2
. 0
3
4 2
4
2
m
mx

m
mx
x m
x m
IA AB
mx
IA AB m
m x
m x
x m


+ − =
− = −


+
+

=
  
⇔ ⇔ ⇔
  
 
=
 

 

+ = + −

+ = + −
 ÷
 ÷
 
+
 

 

uur uuur
0
0
0
0
2
0
2
2
0
2
2
2
3
3
2
2
2
1
3 4 0
2

4
3
4
3 4 0
2
2
x
x
mx
x
m
m
m
x m
m
m m
m
m
m
x
m m
m
m
= ±


= ±

= ±




− = −


 
− =

+

⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = ±
− − =
   
−


   
= ±
=
+ − =






− = −

+



- Vậy với x=-2 , thì y=
( )
( )
( )
( )
0 1 2;0
4 1 2; 4
1 4 2;1
5 4 2;5
m B
m B
m B
m B
→ = − ⇒ −


− → = ⇒ − −


→ = − ⇒ −


→ = ⇒ −

; Với x=2 , thì y=
( )
( )
( )
( )

4 1 2; 4
0 1 2;0
5 4 2;5
1 4 2;1
m B
m B
m B
m B
− → = − ⇒ −


→ = ⇒


→ = − ⇒


→ = ⇒

Ví dụ 6. Cho hàm số
( )
2 1
1
x
y C
x
+
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b.Tìm tham số m để đường thẳng d : y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A,B sao
cho diện tích tam giác OAB bằng
3
.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
4
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
b. Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 1
( ; ) 2 4 1 0 1
2
4 8 1 0
1
2
( 1; ) 1 0
2
x
g x m x m x m
x m
m m
x
y x m
g m
y x m

+



= − − + − =
= − +
∆ = − − − >
  
⇔ ⇔ ⇒
+
  
= − +
− = − ≠





= − +

2
8 0m m R⇔ + > ⇒ ∈
. Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
- Gọi :
( ) ( )
1 1 2 2
; 2 ; ; 2A x x m B x x m− + − +
. Với :
1 2
,x x

là hai nghiệm của phương trình (1)
- Ta có :
( )
( )
( ) ( )
1
2 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1
;2 4 5AB x x x x AB x x x x x x= − − ⇒ = − + − = −
uuur
.
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , thì khoảng cách từ O đến d là h :
2
5
2 1
m m
h⇒ = =
+
- Theo giả thiết :
2 1
2
1 1 1 1
. 5 . . 8 3
2 2 2 2 4
5
x x
S AB h m
−
∆
= = = = + =

Vậy :
2 2 2 2 2
8 4 .3 8 4 .3 40 2 10 (*)m m m m+ = ⇔ + = ⇒ = ⇔ =
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A,B thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 7. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 3 1 1 3
m
y x x m x m C= − + − + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1 .
b. Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với
gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C).
b. Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì :
( )
2
' 3( 2 1 ) 0 ; 0 *y x x m m= − + − > ⇒ ∆ = >
- Với điều kiện (*), hàm số có CĐ,CT . Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
là hai điểm cực trị . Với
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình
2
( 2 1 )x x m− + −
=0 (1) .

- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :
1
'( ; ) 2 2 2
3 3
x
y y x m mx m
 
⇔ = − − + +
 ÷
 
. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị là d : y= -2mx+2m+2 .
1 1 2 2
2 2 2; 2 2 2y mx m y mx m⇒ = − + + = − + +
.
- Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
;2 ( ) 4 4 1AB x x m x x AB x x m x x x x m= − − ⇒ = − + − = − +
uuur
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (AB), h là khoảng cách từ O đến AB thì :
2
2 1 2 1
2 2
2 2 2 2
1 1
. 4 1. 1
2 2

1 4 1 4
m m
h S AB h x x m x x m
m m
+ +
⇔ = ⇒ = = − + = − +
+ +
- Theo giả thiết :
( )
2
2
4 . 1 2 1 4; 1 4
1
m m m m m
∆
= + ⇔ + = ⇔ + =
( )
( )
3 2 2
2 4 0 1 3 4 0 1m m m m m m m⇔ + + − = ⇔ − + + = ⇒ =
Kết luận : với m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
5
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
Ví dụ 8. Cho hàm số
( )
3 1
1
x
y C

x
+
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm tham số m để đường thẳng d : y=(m+1)x+m-2 cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho tam
giác OAB có diện tích bằng 3/2.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Nếu đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì A,B có hoành độ là 2 nghiệm
của phương trình :
( ) ( ) ( )
2
3 1
1 2; ( ; ) 1 6 1 0 1
1
x
m x m g x m m x x m
x
+
= + + − ⇔ = + − + − =
−
Điều kiện :
( ) ( )
2
1 0
' 9 1 1 0 8 0 (*)
(1, ) 4 0
m
m m m m R

g m
+ ≠


∆ = − + − > ⇒ + > ∀ ∈


= − ≠

- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A,B . Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
là tọa độ hai giao
điểm , với
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình (1).
- Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
; 1 1 2 2AB x x m x x AB x x m x x x x m m= − + − ⇒ = − + + − = − + + 
 
uuur
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB , h là khoảng cách từ O đến AB , theo giả
thiết :
2
2 1 2 1

2 2
2 2
1 1 1
. 2 2. 2
2 2 2
2 2 2 2
m m
h S AB h x x m m x x m
m m m m
− −
= ⇒ = = − + + = − −
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
2
2 1
2
2 8 2 3 1 : 1
1 3 2 '
2 ; 2 3
2 2 1
2 8 2 3 1 : 1
m m m m
x x m m
m
m m m m

+ − = + ≥ −
∆


⇔ − − = ⇒ − = ⇔
+

− + − = + < −

Ví dụ 9. Cho hàm số
( )
2 1 3
2
1 1
x
y C
x x
+
= = +
− −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 8 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
b. Gọi
( )
0 0 0
0
3
; ( ) 2
1
M x y C y
x

∈ ⇒ = +
−
. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là :
( )
( )
0
2
0
0
3 3
: 2
1
1
d y x x
x
x
= − − + +
−
−
- d cắt Ox tại điểm B.
( )
( )
( )
2
0 0 0
2
0
0
3 3 1
0 2 2 2 1

1 3
1
B B
x x x x x
x
x
= − − + + ⇒ = + −
−
−
- d cắt trục Oy tại điểm A :
( )
( )
( )
2
0 0
0
2 2
0
0 0
2 2 1
3 3
0 2
1
1 1
A
x x
y x
x
x x
+ −

= − − + + =
−
− −
- Diện tích tam giác OAB là S :
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
6
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
( )
( )
( )
2
22
0 00 0
2
0 0
2 2
0 0
2 2 12 2 1
1 1 1 1
. . 2 2 1. 8
2 2 2 3
1 6 1
B A
x xx x
S OA OB x y x x
x x
+ −+ −
= = = + − = =
− −
( )

( )
( )
( )
( )
( )
2
2
0 0
2
2
0 0 0
2
0 0 0
2
2
0 0 0
0 0
2 2 1 2 3 4 3 1 0
2 2 1 4 3 1
2 2 1 48 1 ;
2 2 1 4 3 1
2 2 1 2 3 4 3 1 0
x x
x x x
x x x
x x x
x x

+ − + − =


+ − = −


⇔ + − = − ⇔ ⇒


+ − = − −
+ + − − =



(
)
0
0
ô n
1
1 2 3 15 12 3
2
v
x


⇔

= − − ± +


Ví dụ 10 . Cho hàm số
( ) ( )

3 2
2 3 4
m
y x mx m x C= + + + +
(1)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=2 .
b. Tìm m để đường thẳng d : y=x+4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A,B,C sao
cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 . ( Điểm B,C có hoành độ khác không; M(1;3) ).
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình :
( )
3 2 2
2
0
2 3 4 4; 2 2 0
2 2 0
x
x mx m x x x x mx m
x mx m
=

 
⇔ + + + + = + ⇔ + + + = ⇒

 
+ + + =

2
' 2 0 1 2 (*)m m m m⇔ ∆ = − − > ⇔ < − ∨ >

Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4) , còn hai điểm B,C có hoành độ là hai
nghiệm của phương trình :
2
2
' 2 0
2 2 0 1 2; 2
2 0
m m
x mx m m m m
m

∆ = − − >
⇔ + + + = ⇒ ⇔ < − ∨ > ≠ −

+ ≠

- Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
; 4 ; ; 4 ; 2B x x C x x BC x x x x BC x x x x x x+ + ⇒ = − − ⇔ = − + − = −
uuur
-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d . h là khoảng cách từ M đến d thì :
2 1 2 1
1 3 4
1 1
2 . 2. 2
2 2
2
h S BC h x x x x

− +
⇒ = = ⇒ = = − = −
- Theo giả thiết : S=4
2 2
2 1
4; 2 ' 4; 2 4 6 0x x m m m m⇔ − = ⇔ ∆ = ⇒ − − = ⇒ − − =
Kết luận : với m thỏa mãn :
2 3 3m m m= − ∨ = ⇒ =
( chọn ). Đáp số : m=3
Ví dụ 11. ( DB-2004 ). Cho hàm số
( )
4 2 2
2 1
m
y x m x C= − +
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm m dể hàm số (1)có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có :
( )
3 2 2 2
2 2
0
' 4 4 4 0 0 (*)
x
y x m x x x m m
x m
=


= − = − = ⇔ ⇒ ≠

=

- Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị . Gọi ba điểm cực trị là :
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
7
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
( )
( ) ( )
4 4
0;1 ; ;1 ; ;1A B m m C m m− − −
. Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông
cân , thì đỉnh sẽ là A .
- Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để
thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.
( ) ( )
( )
4 4
; ; ; ; 2 ;0AB m m AC m m BC m⇔ = − − = − =
uuur uuur uuur
Tam giác ABC vuông khi :
( )
2 2 2 2 2 8 2 8
4BC AB AC m m m m m= + ⇔ = + + +
( )
2 4 4
2 1 0; 1 1m m m m⇔ − = ⇒ = ⇔ = ±
Vậy với m=-1 và m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .

* Ta còn có cách khác
- Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI=IB , với
( )
4
0;I m= −
( )
( )
4 2 8 2 2 2 2 8 2
0; ; ;0IA m IA m IB m IB m IA IB m m⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇔ = ⇒ =
uur uur
. Hay :
4
1 1m m= ⇔ = ±
Ví dụ 12. (KD-2007). Cho hàm số
( )
2
1
x
y C
x
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox,Oy tại hai điểm A,B
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4.
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi
( ) ( )
0

0 0 0
0
2
;
1
x
M x y C y
x
∈ ⇒ =
+
- Tiếp tuyến tại M là d :
( )
( ) ( )
2
2
0
0 0 0
2
0
0
2
2
2 1 2 0
1
1
x
y x x x x y x
x
x
= − + ⇔ − + + =

+
+
- d cắt Ox tại A :
( )
( )
( )
2 2
0
0 0 0 0 0 0
2
0
0
2
2
0 ( 1) 0 ;0
1
1
A A A
x
x x x x x x x x A x
x
x
= − + ⇒ − + + = ⇔ = − ⇔ −
+
+
- d cắt Oy tại điểm B :
( )
( )
( ) ( )
2 2

0 0 0
0
2 2 2
0
0 0 0
2 2 2
2
0 0;
1
1 1 1
B B
x x x
y x y B
x
x x x
 
= − + ⇒ = ⇒
 ÷
 ÷
+
+ + +
 
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d ,h là khoảng cách từ O đến d thì :
( )
( ) ( )
( )
( )
4
2
2 4

0
0
2 2 4 4
0 0
0 0 0
2 4 4
4
0 0 0
0
2
1 4
2
; 4
1 1 1
1 4
x
x
x x
h AB x AB x x
x x x
x
   
+ +
⇒ = ⇒ = ⇔ = + =
 ÷
 
 ÷
+ + +
 
+ +

   
uuur
Vậy :
( )
( )
( ) ( )
4
2
4
0
0
2
0
0
2 2
4
0 0
0
2
1 4
1 1 1
. .
2 2 4
1 1
1 4
x
x
x
S AB h x
x x

x
+ +
= = = =
+ +
+ +
Cho nên
( )
2 2
0 0
2
0 0 0 0
4
0 0
2 2
0 0
0 0 0 0
1 1
2 1 2 1 0
4 1
1
2
2 1 2 1 0
2
x y
x x x x
x x
x y
x x x x
= → =


 
= + − − =

⇒ = + ⇔ ⇔ ⇒
 

= − → = −
= − − + + =
 
 

- Do đó có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :
( )
1 2
1
1;1 ; ; 2
2
M M
 
− −
 ÷
 
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
8
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
Ví dụ 13.(DB-2007). Cho hàm số
( )
1
1
1 1

x
y C
x x
= = −
+ +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một
tam giác cân .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
0 0
;M x y
, thì d :
( )
( )
0 0 0
2
0
0
1 1
1
1
1
y x x y y
x
x
 
= − + = −

 ÷
+
+
 
- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x=-1 tại điểm B :
( )
( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0
2
0 0 0 0
0
1 1
1 1
1 1;
1 1 1 1
1
B
x x x
y x y B
x x x x
x
 
− −
= − − + = − + = ⇒ −
 ÷
 ÷
+ + + +
+

 
- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì :
( )
( ) ( )
0 0 0 0
2
0
1
1 2 1 2 1;1
1
A A
x x y x x A x
x
⇒ = − + ⇔ = + ⇒ +
+
- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) . Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA=IB
( )
0
2
0
2
0 0
2
0 0 0
2 2
0
0
2
0
0

0 0
0 0
0
0
1
1 2 2
0 0
1 2 2 0
1
; 2 2 1 ;
2
1
1
2
2 0
1 2 2
3
1
x
x
x y
x x x
x
IA IB x
x
x
x y
x x
x
x

−

− = +
= → =



+ + + =
 
−


⇔ = ⇒ + = − ⇔ ⇔ ⇒

 ÷

 −
+
= − → =
+ =

 

− = − −



+

Với x=0 và y=0 , ta có tiếp tuyến : y=x

Với x=-2 và y=2/3 , ta có tiếp tuyến : y=x+8/3 .
Ví dụ 14.(DB-2008). Cho hàm số
( )
3 1 2
3
1 1
x
y C
x x
+
= = −
+ +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm
M(-2;5).
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có :
( )
2
2
' '( 2) 2 : 2( 2) 5 2 9
1
y y d y x x
x
= ⇒ − = ⇔ = + + = +
+
- Tiếp tuyến d cắt trục Ox tại điểm A (-9/2;0) . Tiếp tuyến d cắt trục Oy tại điểm B(0;9) .
- Do đó :
( )

1 1 9 81
. .9
2 2 2 4
S OA OB dvdt
−
= = =
Ví dụ 15. (KA-2009). Cho hàm số
( )
( )
2 1 1
2 3 2 2 2 3
x
y C
x x
+
= = +
+ +
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
9
CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt
tai hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại
( )
( )
( )
0 0 0 0

2
0
1
; :
2 3
M x y d y x x y
x
⇒ = − − +
+
- d cắt trục Oy tại B :
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 0 0 0
0 0
2 2 2
0
0 0 0
2 2 8 6
1
2 3
2 3 2 3 2 3
B
x x x x
y x y
x
x x x

+ + +
= − − + = + =
+
+ + +

- d cắt trục Ox tại A :
( )
( )
2
0 0 0
0 0 0
2
0 0
0
2 2 4 2
1
0
2 3 2 3
2 3
A A A
x x x
x x y x x x
x x
x
+ + +
= − − + ⇔ − = ⇒ =
+ +
+
- Tam giác OAB cân
( )

( ) ( )
( )
( )
2
2
2
0 0
0 0
0
0 0
2 2
0 0
0 0
4 3
1 3
1
2 1
;
2 3 2 3
2 3 2 3
x x
x x
x
x x
OA OB
x x
x x
+ +
+ +
+

+ +
⇔ = ⇒ = ⇔ =
+ +
+ +
( ) ( ) ( )
( )
0
0 0
2
0 0 0 0 0
0 0
2
0 0
0 0
1 0
2
0
; 3 1 2 3 ; 2 2 0;
3 1
3
2 0
(2 3) 2 3
x
x y
x x x x x
x x
x y
x x
+ ≠



= → =


⇔ ⇒ + = + + ⇔ + = ⇒
+ +


=
= − → =

 + +


Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :
( )
1 2
2
0; ; 2;0
3
M M
 
−
 ÷
 
.
Ví dụ 16.(ĐH-KB-2010 ). Cho hàm số
( )
2 1 1
2

1 1
x
y C
x x
+
= = −
+ +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.Tìm m để đường thẳng d : y=-2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng
3
. ( Với O là gốc tọa độ ).
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Nếu d cắt (C) tại hai điểm A,B thì A,B có hoành độ là hai nghiệm của phương trình :
2
2 1
2 ; ( ; ) 2 (4 ) 1 0
1
x
x m g x m x m x m
x
+
⇔ = − + ⇔ = + − + − =
+
.(1) ( Có hai nghiệm khác -1)
( ) ( )
2
2
4 8 1 0

8 0 (*)
( 1; ) 1 0
m m
m m R
g m

∆ = − − − >

⇔ ⇒ + > ∀ ∈

− = − ≠


- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 2 2 2 1 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1
; 2 ; ; 2 ; 2
4 ; 5
A x x m B x x m AB x x x x
AB x x x x AB x x
− + − + ⇒ = − − −
⇔ = − + − ⇒ = −
uuur
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , h là khoảng cách từ O đến d :
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
10

CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN
2 1 2 1
2
2 2 2
1 1 1 1
; . 5. . .
2 2 2 2
5 5
1 8
3 8 4 .3; 48 8 40 2 10
2 2
m m
h S AB h x x x x m m
a
m
m m m
− −
∆
⇒ = ⇔ = = − = − =
+
⇔ = ⇒ + = ⇔ = − = ⇒ =
-Do đó , với
2 10m =
, thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 17.( Dự trữ -KB-2007). Cho hàm số
( )
1 (1)
2
m
m

y x C
x
= − + +
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Tìm m để đồ thị (1) có cực đại tại điểm A, sao cho tiếp tuyến với (1) tại A cắt trục Oy
tại B mà tam giác OAB vuông cân .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) với m=1
b. Ta có :
( ) ( )
2
2
2 2
1,2
' 8 0
4 4
' 1 ' 0 4 4 0
2 8
2 2
8
1 8
2 8 4 8
CD
CD
m
m x x m
y y x x m
x m
x x

m
m
y m
x m m
∆ = − >

+ + −

= − + = ⇒ = ⇔ + + − = ⇔

= − ± −
− −


<


⇔ ⇒ = − − − +

= − − − + −


- Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : y=3-2x
- Tiếp tuyến tại điểm cực đại A song song với trục Ox :
( )
: 3 2 3 2 2 8 7 2 8
CD
d y x m m= − = − − − − = + −
- Đường thẳng d cắt trục Oy tại B :
( )

( )
0; 0;7 2 8
CD
B y B m⇔ + −
-Do tung độ của A và B bằng nhau , cho nên tam giác OAB cân chỉ xảy ra khi tam giác
cân tại B .BO=BA
- Với :
( )
;0 2 8 2 8
CD CD
BA x BA x m m= ⇒ = = − − − = + −
uuur
.
- Vậy :
( )
0
7 2 8 2 8 ; 8 5 ô nBO BA m m m v= ⇔ + − = + − ⇔ − = −
Nguyễn Đình Sỹ - ĐT : 02403833608
11