Chuyên đề tiếp tuyến

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
………………………………………………………………………………………………………
Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp
Ví dụ 1:
Cho hàm số
3 2
3 2 5 ( )y x x x C= − + −
. viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1
Bài giải :
Với x = 1
y⇒ =
- 4
(1, 5)M⇒ −

( )C∈

' 2 '
3 6 2 (1) 1y x x y= − + ⇒ = −
; vậy tiếp tuyến tại M có dạng :
1( 1) 5 4y x y x= − − − ⇔ = − −
Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)
cho hàm số
3
( )
1
x
y C
x
+
=
−

. cho m
0 0
( , ) ( )M x y C∈
. tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số
(C) tại hai điểm A, B . chứng minh rằng M là trung điểm AB .
bài giải:

0
0 0
0
3
( , ) ( )
1
o
x
M x y C y
x
+
∈ ⇒ =
−
,
'
2 2
0
4 4
( 1) ( 1)
y k
x x
− −
= ⇒ =

− −
, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :
2
0 0 0
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
3 5 3
4 4 4
( ) ( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x x
y x x y y x x y x
x x x x x
+ + −
− − −
= − + ⇔ = − + ⇔ = +
− − − − −
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
2
0 0
2 2
0
0 0
0
0
0
1
5 3
4

7
(1, )
( 1) ( 1)
7
1
1
1
x
x x
y x
x
A
x x
x
y
x
x
x
=

+ −
−

= +
+
 
⇔ ⇒
− −
+
 

=
−
 
−
=


Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :
2
0 0
0
2 2
0
0 0
5 3
4
2 1
(2 1,1)
( 1) ( 1)
1
1
x x
y x
x x
B x
x x
y
y

+ −

−
= +
= −


⇔ ⇒ −
− −
 
=


=

Nhận xét :
0
0
0
0 0
0
1 2 1
2 2
7
à trung diem AB
1
1 3
2 2 1
A B
M
A B
M

x
x x
x x
x
M l
x x
y y
y
x
+ −
+

= = =


−
⇒

+

− +
+
= = =

−

(đpcm)
Ví dụ 3 : (D2005)
Cho hàm số
3 2

1 1
( )
3 2 3
m
m
y x x C= − +
. cho M
( )
m
C∈
, biết rằng
1
M
x = −
, tìm m để tiếp tuyến tại M
song song với đường thẳng 5x - y = 0
Bài giải :
' 2
y x mx= − ⇒
hệ số góc tiếp tuyến tại M
'
( 1) 1k y m= − = +
, để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x – y
= 0
1 5 4k m m⇔ = + = ⇒ =

Nha Trang 8/2009
Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm
0 0
M( , ) ( ) : ( )x y C y f x∈ =

Cách giải :
* tính
' '
( )y f x=
; tính
'
0
( )k f x=
( hệ số góc của tiếp tuyến )
* tiếp tuyến tại M có dạng :
0 0
( )y k x x y= − +

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000)
Cho hàm số
3
3 1 ( )y x x C= − +
, và điểm
0 0
( , )A x y ∈
(C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo
0
x
Bài giải :
Vi điểm
0 0
( , )A x y ∈

(C)
3
0 0 0
3 1y x x⇒ = − +
,
' 2 ' 2
0 0
3 3 ( ) 3 3y x y x x= − ⇒ = −
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :
' 2 3 2 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( )( ) (3 3)( ) 3 1 (3 3)( ) 2 1 ( )y y x x x y y x x x x x y x x x x d= − + ⇔ = − − + − + ⇔ = − − − +
phương trình
hoành độ giao điểm của (d) và (C) :

3 2 3 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
2
0
0
0
0
0
3 1 (3 3)( ) 2 1 3 2 0 ( ) ( 2 ) 0
( ) 0
( 0)
2
2 0
x x x x x x x x x x x x x x
x x

x x
x
x x
x x
− + = − − − + ⇔ − + = ⇔ − + =
=

− =

⇔ ⇔ ≠


= −
+ =


Vậy điểm B có hoành độ
0
2
B
x x= −
Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho tiếp
tuyến song với đường thẳng :
1
y k x m= +

⇒
hệ số góc của tiếp tuyến
1
k k=

. Nếu bài toán cho tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng :
2
y k x m= +

⇒
hệ số góc của tiếp tuyến
2
2
1
( . 1)k do k k
k
−
= = −
. Nếu bài
toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
'
y k x m= +
một góc là
α
, các em có thể dùng công thức sau để
tìm k :
'
'
tan
1
k k
kk
α
−

=
+
( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí nhớ Toán
học , Nguyễn Dương 2008)
Một số ví Dụ Điển Hình
Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)
cho hàm số
3
1 2
3 3
y x x= − +
, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 2
( )
3 3
y x d= − +
Nha Trang 8/2009
Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số
( )y f x=
(C) khi biết trước hệ số góc của nó
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau
Cách 1 :
Tiếp tuyến (d) có dạng
y kx m= +
( k đã biết )
(d) tiếp xúc (C )
'
( ) (1)
( ) (2)
f x kx m

f x k
= +

⇔

=

có nghiệm
Từ phương trình 2 ta giải ra được
0
x x=
( hoành độ tiếp điểm ) thế vào (1) ta tìm được k
⇒
tiếp
tuyến
Cách 2 :
Gọi
0 0
( , )M x y
là tiếp điểm , giải phương trình
'
0 0
( )f x k x x= ⇒ =
,
0 0
( )y f x=
Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi :
0 0
( )y k x x y= − +
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949

……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)
⇒
tiếp tuyến có dạng :
3y x m= +
Điều kiện tiếp xúc :
3
2
1 2
3 (1)
3 3
1 3 (2)
x x x m
x

− + = +



− =

có nghiệm
3
3
2
1 2
4
1 2
14

4
3 3
2,
3 3
3
2
2, 6
4
2
x x m
x x m
x m
x
x m
x
x

− + =



− + =
= = −
 

⇔ ⇔ ⇔
 
=



 
= − =
=




= −


Với
14
3
m = −
tiếp tuyến có dạng
14
3
3
y x= −

Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6
Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)
Cho hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
+ +

=
+
; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :
y = -3x +2
Bài giải :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2
⇒
tiếp tuyến có dạng y = -3x + m
Điều kiện tiếp xúc
2
2
2
3 3
3 (1)
2
4 3
3 (2)
( 2)
x x
x m
x
x x
x

+ +
= − +

+



+ +

= −

+

có nghiệm
2x ≠ −
(2)
2
3
2
4 16 15 0
5
2
x
x x
x

= −

⇔ + + = ⇔


= −



Với
3

3
2
x m= − ⇒ = −
tiếp tuyến có dạng :
3 3y x= − −

Với
5
11
2
x m= − ⇒ = −
tiếp tuyến có dạng :
3 11y x= − −
Ví dụ 3 :
Cho hàm số
3
3 4y x= +
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
3 6 0y x− + =
một góc
0
30

Hướng dẫn giải:
(d)
1
2 3
3
y x⇔ = −
có hệ số góc

1
1
3
k =
; tiếp tuyến có hệ số góc
2
k

Áp dụng công thức (*) :
0
1 2
1 2
tan30
1
k k
k k
−
=
+
dễ dàng tính được
2
k
Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của
bài toán đó là :
1 2 2
11 3 11 3
( ) : 4 ; ( ) : 3 ; ( ) : 3
3 3
d y d y x d y x
+ −

= = + = +
Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998)
Cho hàm số
3 2
3 9 5 ( )y x x x C= + − +
. trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
TXĐ:
D R=
Ta có :
, 2
3 6 9y x x= + −
; gọi
0 0
( , ) ( )M x y C∈

⇒
hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại M :

2
0 0 0
' '
0 0 0 0
( ) 3 6 9
( ) 6 6 ; ( ) 0 1
k f x x x

f x x f x x
= = + −
= + = ⇔ = −

( 1)f⇒ − =
-12
Bảng biến thiên :
x
0
−∞
-1
+∞
f’(x
0
)
- 0 +
f(x)

-12
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
0 0 0
min ( ) 12 1 , 16f x x y= − ⇔ = − =

Vậy tại điểm có
( 1,16)M −
thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị )
Cach khác :
Ta có :
2 2
0 0 0 0

( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 min 12,k f x x x x k= = + − = + − ≥ − ⇒ = −
đạt được khi

0 0
1 12x y= − ⇒ = −

Vậy tại điểm có
( 1,16)M −
thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị)
Một số ví Dụ Điển Hình
Ví dụ 1 : (ĐH Ngoại Thương 1999)
Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm
( 6,5)A −

Bài giải :
Tiếp tuyến đi qua
( 6,5)A −
có dạng :
( 6) 5y k x= + +

Điều kiện tiếp xúc :

2
2
( 6) 5 (1)
2
4
(2)
( 2)
x
k x
x
k
x
+

= + +

−


−

=
−


có nghiệm
2x ≠

Thế (2) vào (1) ta được :
2

2
0
2 4
( 6) 5 6 0
6
2 ( 2)
x
x
x x x
x
x x
=

+
= − + + ⇔ − = ⇔

=
− −

Với x = 0
1k→ = −
tiếp tuyến có dạng :
1y x= − −

Nha Trang 8/2009
+∞
+
∞
Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước
Bài toán : cho hàm số :

( )y f x=
và điểm
0 0
( , )A x y
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua
điểm A
Cách giải :
bước 1 : tiếp tuyến đi qua
0 0
( , )A x y
có dạng :
0 0
( )y k x x y= − +
bước 2: điều kiện tiếp xúc
0 0
'
( ) ( ) (1)
ó
( ) (2)
f x k x x y
c
f x k
= − +


=

nghiệm
bước 3: giải hệ này ta tìm được k
⇒

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Với x = 6
1
4
k→ = −
tiếp tuyến có dạng :
1 7
4 2
y x= − +
Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998)
Cho hàm số :
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua
4 4
( , )
9 3
A
Bài giải :
Tiếp tuyến đi qua A có dạng :
4 4
( )
9 3
y k x= − +

Điều kiện tiếp xúc :
3 2
2
1 4 4
2 3 ( ) (1)
ó
3 9 3
4 3 (2)
x x x k x
c
x x k

− + = − +



− + =

nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được :
3 2 2 3 2
0
1 4 4 8
2 3 ( 4 3)( ) 3 11 8 0
3 9 3 3
1
x
x x x x x x x x x x
x

=



− + = − + − + ⇔ − + = ⇔ =


=


Với x = 0
3k
→ =
tiếp tuyến có dạng :
3y x=

Với x =
8 5
3 9
k→ = −
tiếp tuyến là :
5 128
9 81
y x= − +
Với x = 1
0k
→ =
tiếp tuyến có dạng : y =
4
3

Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
Ví dụ 3 : (dự bị B 2005)
Cho hàm số :
2
2 2
( )
1
x x
y C
x
+ +
=
+
, chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I của
hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )
Bài giải:

2
2 2 1
1
1 1
x x
y x
x x
+ +
= = + +
+ +
tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai
đường tiệm cận trên

( 1,0)I⇒ −
Đường thẳng (d) qua I có dạng :
( 1)y k x= +
(d) là tiếp tuyến của (C )
2
2
2
2 2
( 1) (1)
1
2
(2)
( 1)
x x
k x
x
x x
k
x

+ +
= +

+

⇔

+

=


+

có nghiệm
1x
≠ −
Thay (2) vào (1) ta được :
2 2
2
2 2 2
( 1) 2 0
1 ( 1)
x x x x
x
x x
+ + +
= + ⇔ =
+ +
(vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)
Nha Trang 8/2009