Tải bản đầy đủ (.pdf) (24 trang)

Tài liệu Chuyên đề tiếp tuyến: Câu hỏi bài tập và hướng dẫn giải doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (307.68 KB, 24 trang )

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
xm
−+
=

.
Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

y
|
= =
|
m
f(x)
2
2
m
(x m)



Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác
2
():y xΔ =− , ta phải có:


2
|2
m
2
m
f1 1m(4m)m
(4 m)

=− ⇔ =− ⇔ = − ⇔ =

2
2


Cho
2
(3m 1)x m m
(C): y ,m 0.
xm
+−+
=
+
≠Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành
song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến.

Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành
2
0
mm 1
x,m0,

3m 1 3

⎧⎫
=∉
⎨⎬
+
⎩⎭
,1−

2
|
2
4m
y
(x m)
=
+

Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x
2
22
000
2
0
4m
14m(xm) xmx 3m
(x m)
=⇔ = + ⇔ = ∨ =−
+


2
2
mm
m1
m
3m 1
1
m
mm
3m
5
3m 1


=−
=


+


⇔⇔

=−


−=


⎣+




tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1
m=−1


1
m
5
=−
tiếp tuyến tại
3
,0
5


⎝⎠


có pt :
3
yx
5
= −

Cho
m
(C): y x 1
x1

=−+
+
.Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò vuông góc nhau

Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M
000
M(x,y)
0
yk(xx)y⇒= − +
0
0

(d) là t
2

00 0
2
0
m
x1 k(xx)y kxkkkx y
x1
1
1k
(x 1)

−+ = − + = + − − +

+





−=
+


0

00
m
x1 k(x1)(1x)ky
x1
1
x1 k(x1)
x1

−+ = + − + +


+



+− = +

⎩+

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

00

2
m1
x1 x1 (1x)k y
x1 x1
1
1k
(x 1)

−+ = +− − − +

++




=−

+


[]
0
00
0
2
2
2
2
00
m1

y2
y2(x1)k
k
x1
x1
m1
(1 k)(m 1)
y2(x1)k (1k)(m1)
x1
+

+

=+− +


+


+
⇔⇔
⎨⎨
+
⎛⎞
⎪⎪
=− +
+− + = − +
⎜⎟



+
⎝⎠


0
0
22 2
000000
y2
k
x1
(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)
+



+



++− −−−++−=


Từ M
0
kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
pt (*)⇔
có 2 nghiệm thỏa k
1
k

2
= -1 và khác
0
0
y2
x1
+
+

0
0
22
00
y2
k
x1
m0
(x 1) (y 2) 4m
+



+
⇔⇒


++ + =

>



Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thò
x1
y
x3
+
=

với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng y = x + 2006

|
2
4
y,
(x 3)
=− ∀ ≠

x3
Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là K
T
= -1
. Gọi (x
0
,y
0
) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có
0
|
2

0
0
T
x5
4
Ky 1
x1
(x 3)
=

=⇔−=− ⇒

=






00 1
x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =−



00 2
x5y3(T):y x=⇒ =⇒ =−+8
{ } { }
12
(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩= ∩=



Cho hàm số
x2
yf(x)
x1
+
==

; gọi đồ thò hàm số là (C) , và A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox


Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại
0
000 0 0
|
(x )
M(x,y):y y f
(x x )
−=


0 0
00
2 2
00 00
x2 x2
33
y(xx);A(0,a)(T):a
x 1 (x 1) x 1 (x 1)

⎛⎞ ⎛⎞
++
⇔− =− − ∈ − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
(x)

0
0
2
2
00
00
0
(x )
x1
x10
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0
(a 1)x 2(a 2)x a 2 0


−≠


⇔⇔
⎨⎨
= −−+ ++=
−−+ ++=





Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi
0
(x )
g 0
=
có 2 nghiệm phân biệt khác 1

|2
2
g
a1 0
(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1
g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0

−≠

Δ= + − + − > ⇔−< ≠


=− − + ++≠

Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox
111 2 2 2
M (x ,y ),M (x ,y )
12 1212

12
12 1212
x2x2 xx2(xx)4
yy 0 0 0(1)
x1 x1 xx (xx)1
⎛⎞⎛⎞
++ +++
⇔<⇔ <⇔ <
⎜⎟⎜⎟
−− −++
⎝⎠⎝⎠

Trong đó x
1
,x
2
là nghiệm của có
0
g(x ) 0=
12
12
2(a 2)
xx
a1
a2
xx
a1
+

+=





+

=

⎩−

(1)
a24(a2)4(a1) 9a6
00
a22(a2)a1 3
++ + + − +
⇔<⇔
+− + +− −
<
2
0a
2
a1
3
3
Đk 2 a 1

⇔⇔>−

⇒− < ≠



−<≠



Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ
32
y2x 3x 12x1=+−−


Ta có
|2
00
y 6x 6x 12 , M(x ,y )=+− ⇒
tiếp tuyến tại M
(C)∈

|2 32
00 0 0 0 0 0 0
0
(x )
yy (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)
=−+=+−−++−−

(T) qua gốc toạ độ O(0,0)
32 2
00 0 00
:4x3x10 (x1)(4xx1)0
++=⇔+ −+=

00
x1y12 M(1,1⇔=−⇒= ⇒−2)

Cho hàm số
3
1
yxx
33
=−+
2
có đồ thò (C) . Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C)
vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +


Gọi
3
000
1
Ax, x x
33

−+

⎝⎠
2



là điểm bất kỳ thộc (C) .
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc
2
0
0
|
(x )
k y (x 1) (1)==−

Do (T) vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +

k3
⇒=
Khi đó
2
00
x13 x 2
−= ⇔ =±
Vậy
12
4
A2, ,A(2,0)
3
⎛⎞


⎜⎟
⎝⎠


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số
2
x3x6
y
x1
−+
=

, đồ thò (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số
(C) , tìm toạ độ tiếp điểm

Gọi (T) là tiếp tuyến của (C)
QuaO
Hệ số góc k



(T) : y kx⇔=
2
2
2
x3x6
kx
x1

x2x3
k
(x 1)

−+
=





−−

=



có nghiệm
22
(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x1

−−+=−−




2
x6x30
x3 6

x1

−+=
⇔⇔=



±

Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C)
1
2
M(3 6,363)
x3 6 y363
M(36,363
x3 6 y 363

⎡⎡
=+ −
=+ = −
⇒⇒

⎢⎢
=− − −
=− =− −

⎢⎢
⎣⎣

)



Cho hàm số
32
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++−
1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1
2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

1.m =1
2.
3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d) : y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3
2
x3xk(xa)2
3x 3 k

− =−+

−=


2
x1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
=−




=−+++=


Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1
f(x) 0⇔=
f
(1)
0
f0

Δ>





2
(3a 2) 8(3a 2) 0
aa
3
23a23a2 0
a1

+− +>
2
< −∨>


⇔⇔
⎨⎨

++++≠


≠−


Vậy điểm cần tìm là A(a,2)
;
2
aa2a
3
<− ∨ > ∧ ≠−
1
1


Cho hàm số , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
42
yx2x=− + −

Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng
Oy∈ :y kx a= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :
42
42
3
x2x1kxa
3x 2x 1 a 0 (1)

4x 4x k

−+ −= +
⇔−−−=

−+=


Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1a 0 a 1
⇔− − = ⇔ =−
. Khi đó
42
2
3x 2x 0 x 0 x
3
−=⇔=∨=±

Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)



Cho hàm số ; đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên


1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng
yk(x1)= −
là tiếp tuyến của (C) khi hệ
32
2
x3x2k(x1
3x 6x k

−+=−

−=

)
3
b
có nghiệm
3
(x 1) 0 x 1 k 3⇔− =⇒=⇒=−
Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C)
y3x=− +
2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng
y3x= −+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :
32
2
x3x2 3xb
3x 6 3

−+=−+


−=−

32
bx 3x 2
b3 (T):y 3x3
x1

=− +
⇔⇒=⇒=−

=

+

(T) (d)≡
vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

Cho hàm số
4
2
x
y3x
22
=− +
5
a
, có đồ thò (C)
1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ
M

x=
.CMR hoành độ các giao điểm của
tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình
22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0− ++−=

2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm
qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ

1.Gọi
44
22
(a)
|
(a)
a5 a5
Ma, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
22 22
⎛⎞
−+∈⇒=−+⇒ = −
⎜⎟
⎝⎠
2

Tiếp tuyến tại M có phương trình
242
35
y2a(a 3)x a 3a
22
=−−++


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là :
4
224
x5 3
3x 2a(a 3)x a 3a
22 2
−+= −− ++
2
5
2
2

22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔− + + −=
2.Qũy tích trung điểm K
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có
2 nghiệm khác a
2
x2ax3a6++−
|2 2
222
a3
a(3a6)0
a1
a2a3a60


<
Δ= − − >



⎨⎨

++−≠




Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó
K
42
KKK
xa;x3;x
K
75
yx9x
22

=− ≤ ≠


=− + +


1

Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong

42
7
yx9x
22
5
= −++
và giới hạn bởi 1x 3≠≤

Cho hàm số có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và
B điểm cố đònh vuông góc nhau
42
yx2mx2m=− + − +1
x

Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và
|3
y4x4m=− +
||
AB
y 44m;y 44m
⇒=− =−+

Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau
||
B
A
y .y 1
⇔ =−

35

(4 4m)(4m 4) 1 m m
44
⇔− −=−⇒=∨=

Cho hàm số
x1
y
x1
+
=

có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) qua A có phương trình
Oy∈ (d)⇒ ykxa= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
2
2
2
x1
kx a
x1 2x
x1
a(a1)x2(a1)xa10(1
2
x1 (x1)
k
(x 1)

+

=+

+−


⇒= +⇔−−+++=


−−

=



)

Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C)
(1)⇔
có 1 nghệm

Xét
(1)
1
a1 0 a 1 4x2 0 x A(0,1)
2
−= ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒




a1 0 a 1
a1A(a,1
'0 2a20

−≠ ≠

⇔⇔=−⇒
⎨⎨
Δ= + =


)−

Cho hàm số
x1
y
x1

=
+
có đồ thò (C)
Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2
tiếp tuyến đó bằng
4
π


Gọi M(x
0

,y
0
) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng
00
yx M(x,x)∈=⇔ ⇒
0
yk(xx)x
0
= −+ (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C)
00
x1
kx kx x (1)
x1

−+=
+

Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép
2
00 0 0
kx (k kx x 1)x x kx 1 0
⇔+−+−+−+=
có nghiệm kép
22 2 2
000
k0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)





Δ= + − + + − =

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc
4
π

(2)⇔
có 2 nghiệm phân biệt thỏa
2
12 12
12 12
kk kk
tan 1 1
1k.k 4 1k.k
⎛⎞
−−
π
= =⇔ =
⎜⎟
++
⎝⎠

0
0
22
2

2
0
00
12 12
00
k
x1
x10
8(x 1) 0
2(x 3) x 1
51
(k k ) 5k .k 1 0
(1 x ) x 1


+≠



⇔Δ= + > ⇔
⎡⎤⎡⎤
⎨⎨
+−
0
− −=
⎢⎥⎢⎥
⎪⎪
+− −=
++


⎣⎦⎣⎦


0
0
2
0
x1
M( 7, 7)
x7
x18
M( 7, 7)

≠−
−−


⇔⇔=±⇒
⎨⎨
+=





Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45
2
(P) : y 2x x 3=+−
0


Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là
ykOy∈ xm(d)= +

Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :
22
2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+−= + ⇔ +− − −=
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép
0
⇔ Δ=

2
k2k8m250(2⇔−+ += )
5


12 12
kk 2;k.k 8m2+= = +
Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 45
0
khi
0
21
12
kk
tan 45 1
1k.k

==
+


22
1 2 12 12
(k k) 4kk (1 kk)
⇔+ − =+
(3)
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 45
0
khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3)
|
2
2
k
m3
18m 25 0
16m 112m 193 0
44(8m25)(8m26)
<−⎧
Δ=− − = ⎧
⇔⇔
⎨⎨
+ +=
−+=+



314 314
mm
44
+−

⇔=− ∨=

Vậy
12
314 314
M0, ,M0,
44
⎛⎞⎛
+−

⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝






Cho hàm số
2
x
y
x1
=

gọi đồ thò là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể
kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 45
0


Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4
Gọi (T) là đường thẳng
Qua A(a,4)
có dạng: y k(x a) 4
Có hệ số góc là k

= −+



Và mọi đường thẳng (T
1
) và (T
2
) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :
12
yk(xa)4vàyk(xa)4=−+ =−+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Do (T
1
) và (T
2
) tạo nhau 1 góc 45
0
khi
0
12
12
kk

tan 45
1k.k

=
+

22 22
12 1 2 12 1 2 12
(1 kk) (k k) (1 kk) (k k) 4kk 0 (1)
⇔+ = − ⇔+ − + + =

Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C)
2
x
k(x a) 4
x1
⇔=−+

có nghiệm kép
2
(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔− −− − +− = có nghiệm kép khác
1
2
22
k1
1k 0
k (a 1) 4(a 2) 0 (2)
(a 1) k 4(a 2)k 0




−≠
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎡⎤
−− − =
Δ= − − − =


⎣⎦


Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45
0
khi phương trình (2) có 2 nghiệm k
1
,k
2
(k 1)≠

và thỏa mãn hệ thức (1)
2
k0
4(a 2)
k
(a 1)
=





=



thỏa mãn (1) khi
2
2
2
2
2
4(a 2)
k1
a3
(a 1)
a1
4(a 2)
a2a70
k0.(10) 0 4.00
(a 1)


=≠




⎪⎪
⇔≠

⎨⎨

⎡⎤
⎪⎪
+ −=
=+−+ +=

⎢⎥


⎣⎦


a12
a12

=− −


=− +


2
2

Vậy
12
A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+



Cho hàm số
2
xx2
y
x1
++
=

có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông
góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò

Giả sử
00
0
4
Ax,x 2
x1

++


⎝⎠


là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận
00
0
4
AI 1 x ,1 x
x1

⎛⎞
⇒=− −−
⎜⎟

⎝⎠
uur

Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI
AI
uur
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc
|
2
00
0
(x )
4
ky 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛⎞
==− ⇒=−

−−
⎝⎠
r
2
4

là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó
(d) (AI) a.AI 0

⊥⇔=
r uur

0
4
x18⇒=±

Vậy có 2 điểm
44
44
12
44
4388 4388
A1 8, ,A1 8,
88
⎛⎞⎛
−+ ++
−+
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝






Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số

2
x3x2
y
x
−+
=
.Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng :
x1∈=
yk(x1)m= −+

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ
2
2
2
x3x2
k(x 1) m
x
x2
k
x

−+
=−+






=


( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn
11
22
(x ,k )
(x ,k )



12
k.k 1= −
Từ ( I )
2
(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒+ −+= ≠
Theo ycbt
22
12
22
12
m20
'42(m2)0
(x 2) (x 2)
.1
xx


+≠



⇔Δ=− + >


−−

=−



22
12 1 2 12 12
m2
m0
(xx ) 2 (x x ) 2xx 4 (xx )

≠−


⇔<


⎡⎤
−+− +=−

⎣⎦

22
2m0

244
24
m2 m2 m2 m2
−≠ <


⎡⎤


⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
−−+=−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟

+++
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦

2
2
+
2
2m0
2m0
m3
m6m20
m37
−≠ <


−≠ <


⇔⇔⇔=
⎨⎨
++=
=− ±



7−±

Vậy
12
M(1, 3 7),M(1, 3 7)−− −+


Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ
thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3
yx 3x=+
2

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành
Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng :
yk(xm)= −

(d) là tiếp tuyến (C) khi
32
2

x3x k(xm)
(I)
3x 6x k

+=−

+=

Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k
sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1
Khi đó ( I )
32 2 2
x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0
⎡⎤
⇔+ = + − ⇔ +− − =
⎣⎦
2
x0
2x 3(1 m)x 6m 0 (*)
=



+− − =


Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
m3
3m 10m 0

1
m0
m0
3
<−


Δ= + +>

⇔⇔


− <≠




×