Toán hình 9 hay

VẤN ĐỀ 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Nêu khái niệm đường tròn tâm O bán kính R.
 Cho đường tròn


;
O R
và điểm M. Xét vị trí tương đối của điểm M với


; .
O R

 Nếu BC là đường kính của


;
O R
, A là điểm thuộc đường tròn thì
ABC

vuông
tại A.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn


,
O

điểm B nằm bên trong đường tròn


.
O

Hãy so sánh
OAB

và
.
OBA

Đs:
.
OAB OBA
  

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có
12 , 16 .
AD cm CD cm
 
Chứng minh rằng bốn điểm A, B,
C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Đs:
10 .
R cm


Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC, cắt các cạnh AB, AC theo
thứ tự ở D, E.

a) Chứng minh rằng
, .
CD AB BE AC
 

b) Gọi
.
K BE CD
 
Chứng minh rằng
.
AK BC



C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Cho tam giác ABC. Hãy vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. a) Cho đường tròn


,
O A
là một điểm bất kỳ nằm trên


.
O
Gọi
'
A

là điểm đối xứng với
A qua


.
O
Chứng minh rằng
'
A
cũng nằm trên


.
O

b) Từ kết quả câu a, kết luận về tâm đối xứng của đường tròn.
3. a) Cho đường tròn


,
O AB
là một đường kính bất kỳ và C là một điểm nằm trên


.
O
Gọi
'
C
là điểm đối xứng với C qua AB. Chứng minh rằng

'
C
cũng nằm trên


.
O

b) Từ kết quả câu a, kết luận về trục đối xứng của đường tròn.
4. Chứng minh các định lý sau:
a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngọai tiếp thì tam giác đó là
tam giác vuông.
5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm sau đối với đường
tròn


;2 :
O
 


 
1; 1 , 2; 2 , 1;2 .
M N P  Đs:
2, 2, 5.
OM ON OP  
6. Cho góc nhọn xOy và hai điểm D, E thuộc Oy. Dựng đường tròn tâm M đi qua D, E sao cho
M nằm trên tia Ox.
7. Cho hình vuông ABCD, O là giao của hai đường chéo,

2 .
OA cm

Xét vị trí tương đối của
năm điểm
, , , ,
A B C D O
với đường tròn


; 2 .
A cm

8. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh a. Đs:
3
.
3
a

9. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn


.
O
Đường cao AH cắt đường tròn ở D.
a) Vì sao AD là đường kính của


.
O

b) Tính số đo góc
.
ACD


c) Cho
24 , 20 .
BC cm AC cm
 
Tính AH và bán kính đường tròn


.
O

d) Cho
12 , 4 .
BC cm AH cm
 
Tính bán kính đường tròn


.
O

VẤN ĐỀ 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chứng minh định lý 1: Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.

a) Chứng minh định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi
qua trung điểm của dây đó.
b) Chứng minh định lý 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây
(không đi qua tâm) thì vuông góc với một dây đó.
Tứ giác ABCD gọi là tứ giác nội tiếp nếu có một đường tròn đi qua bốn đỉnh của nó.
c) Như vậy, trong một đường tròn
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại.
Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn và ngược lại.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Dây cung với đường tròn
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK.
a) Chứng minh rằng tứ giác BCHK nội tiếp.
b) So sánh HK và BC.
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, các dây AC, AD. Gọi M là điểm bất kỳ
trên (O), H, K lần lượt là hình chiếu của M trên AC, AD. Chứng minh rằng
.
HK AB


Luyện tập
1. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và dây MN không cắt đường kính.
a) Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A, B đến MN. Chứng minh rằng
.
HM KN


b) Các đường vuông góc với MN kẻ từ M, N đến AB cắt AB lần lượt tại C, D. Chứng minh
rằng
.

AC BD


Dạng 2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Ví dụ 3: Cho AB và CD là hai dây khác đường kính của đường tròn


; .
O R
Gọi OH, OK
lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng
2 2 2 2
.
OH HB OK KD
  
Luyện tập
2. * Cho đường tròn


;
O R
và điểm M cách O một khoảng


.
r r R

Tính độ dài dây ngắn
nhất và dài nhất qua M.
3. Cho đường tròn (O) và hai dây MN, PQ dài bằng nhau cắt nhau tại A.

a) Chứng minh rằng OA là phân giác của hai góc tạo bởi MN và PQ.
b) Chứng minh rằng
.
AN AQ


C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
4. Cho tứ giác ABCD có
0
90 .
A C   
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.
b) So sánh hai đường chéo
AC
và
.
BD
Tứ giác ABCD là hình gì nếu
.
AC BD


5. Cho đường tròn (O) bán kính
11 .
OA cm

Điểm I nằm trên OA và
7 .
OI cm


Qua I kẻ dây
MN dài
18 .
cm
Tìm độ dài IM, IN.
6.
7. Cho đường tròn (O), đường kính
2 .
AD R

Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường
tròn (O) ở B và C.
a) Tứ giác OBDC là hình gì?
b) Tính
, , .
CBD CBO OBA
  

c) Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
8. Cho đường tròn


;25 .
O cm
Hai dây AB, CD song song với nhau và có độ dài lần lượt bằng
40 ,48 .
cm cm
Tính khoảng cách giữa hai dây đó.
9. * Cho đường tròn



,
O
hai dây AB và CD cắt nhau tại M nằm bên trong đường tròn. Gọi H
và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
,
MH MK

biết rằng
.
AB CD


10. * Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD. Gọi H, K lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ A, B đến CD.
a) Chứng minh rằng
.
AHKB ACB ADB
S S S 
b) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết
30 , 18 .
AB cm CD cm
 


VẤN ĐỀ 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Cho đường thẳng
d

và đường tròn


; .
O R
Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d. Khi đó ta có
Số giao điểm của
d
và


;
O R

Vị trí tương đối giữa đường
thẳng
d
và


;
O R

Quan hệ giữa khoảng
cách OH và bán kính R
0 Không giao nhau
OH R


1 Tiếp xúc nhau

OH R


2 Cắt nhau
OH R



B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến 󴁁 đường tròn
 Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn


,
O
ta làm như sau:
Cách 1: Chứng tỏ rằng khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính của đường
tròn


O
.
1. Cho hình thang vuông ABCD có
0
90 , 12 , 13 , 9 .
A D AD cm BC cm CD cm
      
Chứng
minh rằng đường thẳng ÀD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Cách 2: Chứng tỏ rằng đường thẳng d đi qua một điểm của đường tròn



O
và vuông góc
với bán kính đi qua điểm đó.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán
kính CA, chúng cắt nhau tại điểm
D
(khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của
đường tròn tâm B bán kính BA.
d

O

d

d

O

O

H

H

H


3. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có

đường kính AH. Chứng minh rằng:
a) Điểm E nằm trên đường tròn
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Dạng 2. Sử dụng kiến thức về tiếp tuyến để giải các bài toán khác
 Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính của
đường tròn đi qua tiếp điểm.
4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp
tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB.
a) So sánh CE và CF.
b) Chứng minh rằng AC là tia phân giác góc
.
BAE


c) Chứng minh rằng
2
. .
CH AE BF

5. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O)
sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
6. Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a) Tứ giác OCAD là hình gì? vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính độ
dài CI biết OA = R.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
7. Cho tam giác ABC vuông tại



,
A AB AC
 đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua
H. Đường tròn đường kính EC cắt AC tại K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn.
8. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn tâm O
đường kính AH. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
9. Cho đoạn thẳng AB và các đường thẳng
1 2
,
d d
lần lượt vuông góc với AB tại A, B. Gọi O là
trung điểm của AB và qua O dựng một góc vuông cắt
1 2
,
d d
lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng
CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
10. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường thẳng kẻ
qua I vuông góc với BD cắt AD tại E.
a) So sánh các đoạn thẳng AE, EI, ID;
b) Xác định trí tương đối của BD với đường tròn (E; EA).
10\1. Cho đường tròn (O; 15cm), AB là dây cung của đường tròn. Tìm tập hợp trung điểm I của
AB khi AB thay đổi trong đường tròn (O), biết rằng AB = 24cm.
ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1. Hướng dẫn: Sử dụng cách 1.
Tìm được
13 .
BC cm



Gọi O là trung điểm của BC

Đường tròn tâm O đường kính BC có bán kính
6,5 .
R cm


Kẻ
.
OH AD

Phải chứng minh
.
OH R

Thật vậy, do OH là đường trung bình của hình
thang nên
 
1
6,5 .
2
OH AB CD cm R
   

2. Hướng dẫn: Sử dụng cách 2.
Ta có



0
. . 90 .
ABC DBC c c c A D       

Đường thẳng CD đi qua điểm D của đường tròn tâm B bán kính BA và vuông góc với bán
kính BD nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đó.
3. a) Vì d là tiếp tuyến nên
.
OC d


Ta có
OC AE BF
 
và O là trung điểm của AB nên OC là đường trung bình của hình
thang ABFE. Do đó
.
CE CF


b) Ta có
EAC ACO
  
(so le trong). Mặt khác
ACO CAO
  
(vì tam giác OAC cân
tại O). Do đó
EAC OAC
   

Đpcm.
c) Theo câu b) ta có
.
AE AH

Tương tự
.
BF BH


Ta có
2
. . .
CH AH BH AE BF
 

4. Hướng dẫn: Sử dụng cách 2. Phải chứng minh
0
90 .
HKO 
Gọi O là trung điểm của


1 .
EC OKC OCK   
Ta có
0
90 .
EKC 

Gọi M là trung điểm của
AK HM

là đường trung bình của hình thang ABEK
HM AK HAK
   
cân


2 .
HAK AKH   

Từ (1) và (2) suy ra
0 0
90 90 .
HKA OKC HAK OCK HKO          
5. Hướng dẫn: Sử dụng cách 2.
Ta có E thuộc đường tròn (O). Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O), chỉ cần
phải chứng minh
.
DE OE


Thật vậy ta có
0
90 .
DEO DEB BEO DBH OHE DBH BHD           

6.

Vấn đề 4: TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

I. Tóm tắt lý thuyết
Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn thì chúng
ta có các kết quả sau:
- MA = MB
-
MO AB

tại trung điểm H của AB.
-
OM
là tia phân giác của góc

AMB

-
, .
OA MA OB MB
 

Nếu từ M bên ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCD thì ta có:
MA
2
= MC.MD.
II. Các ví dụ minh hoạ
Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (M, N là tiếp điểm).
a) Chứng minh

AO MN

;
b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO;
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm.
Bài 2: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB, AC kẻ từ A tới đường tròn vuông góc với nhau
tại A (B, C là tiếp điểm).
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Tại sao?
b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và
AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
c) Tính số đo góc DOE.
III. Luyện tập
Trên lớp:
Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường
tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MD và
ME theo thứ tự tại P và Q. Biết MD =4cm, tính chu vi tam giác MPQ.
Bài 4: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A thoả mãn OA = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với
đường tròn. Gọi H là giao điểm của AO với BC.
a) Tính OH.
b) Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại
D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
Bài 5: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên AC, AB lần lượt tại D, E. Cho
biết BC = a, AC = b, AB = c. Tính độ dài AD, AE theo a, b,c.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi bằng 2p, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r
thì diện tích tam giác ABC là: S = p.r.
Về nhà:
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến
BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng.
b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By cùng thuộc
nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến
tại M cắt Ax, By tại C, D.
a) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết rằng AB = 4cm.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB và
AC tại D và E.
a) Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao?
b) Tính bán kính của đường tròn (O) biết rằng AB = 3cm, AC = 4cm.

Vấn đề 5: Ví trí tương đối giữa hai đường tròn
 Nêu điều kiện để hai đường tròn cắt nhau, ngoài nhau, tiếp xúc trong, tiếp xúc ngoài
 Khái niệm tiếp tuyến chung của hai đường tròn và tính chất.
II. Các ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) và ( O’; R’) cắt nhau tại A và B. Biết góc
0
90O'OA , R =
6cm, R’=4,5cm.
a) Tính OO’, AB.
b) Gọi P là trung điểm của OO’, qua A kẻ cát tuyến vuông góc với AP cắt (O) và (O’) lần
lượt tại C và D. So sánh AC, AD, AB.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc ngoài ở A. Một đường thẳng tiếp xúc với đường
tròn (O
1
) ở B, (O

2
) ở C. Biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính độ dài BC
b) Tính bán kính của các đường tròn (O
1
), (O
2
).
Bài 3: Cho đường tròn (O’, r) tiếp xúc trong với đường tròn (O, R) và tiếp xúc với đường kính
AB của đường tròn này tại M. Chứng minh: AM. BM = 2Rr.
III. Luyện tập
Trên lớp
Bài 4: Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài ở A. Đường nối tâm OO’ cắt hai đường tròn
(O), (O’) lần lượt ở B và C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D
)(O'E O),(


). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD, CE. Chứng minh:
a)
0
90EMD
b) MA là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
c) MB.MD = ME. MC
Bài 5: Cho hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm), OO’ = 6cm.
a) Hai đường tròn trên có vị trí tương đối như thế nào với nhau?
b) Vẽ đường tròn (O’, 1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó (A là tiếp
I. Lý thuyết trọng tâm
điểm). Tia O’A cắt đường tròn (O’, 3cm) ở B. Kẻ bán kính OC của đường tròn (O) song song với
O’B, B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO’. Chứng minh BC là tiếp tuyến chung của
hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm).

c) Gọi I là giao điểm của BC và OO’. Tính độ dài IO.
Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’=3cm. Qua A kẻ một đường
thẳng cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại E và F (A nằm giữa E và F). Tính xem độ dài
đoạn thẳng EF lớn nhất bằng bao nhiêu?
Về nhà
Bài 7: Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài ở A. Gọi OM và O’M’ là các bán kính của hai
đường tròn sao cho OM//O’M’.
a) Chứng minh rằng đường thẳng MM’ luôn đi qua một điểm cố định S khi các bán kính
OM, O’M’ thay đổi
b) Tính SO và SO’ biết bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là 5cm và 3cm .
c) Tam giác AMM’ là tam giác gì? Vì sao?
Bài 8: Cho hai đường tròn (O
1
, 5cm), (O
2
, 2cm) nằm ngoài nhau. Một tiếp tuyến chung ngoài AB
của hai đường tròn ( A )(),O(
21
OB  ) và một tiếp tuyến chung CD của hai đường tròn
C )(),O(
21
OD  ) . Tính độ dài đoạn O
1
O
2
biết AB=1,5CD.
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc
với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối
xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng:
a) AB


KB
b) Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.
Vấn đề 6: ÔN TẬP CHƯƠNG 2 DÂY CUNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn (O). Đường cao AH cắt
đường tròn ở D.
a) Vì sao AD là đường kính tròn (O)?
b) Tính số đo góc ACD,
c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính AH và bán kính đường tròn (O)
Bài 2: Tam giác ABC cân tại A, BC = 12cm. Đường cao AH = 4cm. Tính bán kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm trong đường tròn (O; R) (A khác O).
Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB khi điểm B di chuyển trên đường tròn (O: R).
Dạng 2: Đường kính và dây cung của đường tròn
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I
và K lần lượt là các chân đường cao hạ từ A và B đến EF. Cmr IE = KF.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và
K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B xuống CD. Cmr CH = DK.
Bài 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn , điểm B nằm bên ngoài
đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây CD vuông góc
với OI tại I. Hãy cho biết tứ giác ACBD là hình gì? Vì sao?
Dạng 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Bài 7: Cho đường tròn (O) bán kính băng 25cm. Hai dây cung AB và CD song song với
nhau và có độ dài theo thứ tự 40cm, 48cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy
Bài 8: Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M, N sao
cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Cmr
a) OC là tia phân giác của AOB
b) OC vuông góc với AB
Bài 9: Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong

đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB > CD, cmr
MH > MK
Dạng 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Bài 10: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại
I. Tính CI biết OA = R.
Bài 11: Cho hình thang ABCD có A = B = 90
0
, AB = BC = 1cm, AD = 2cm.

Cmr đường thẳng AC tiếp xúc đường tròn (D;
2
cm).
Bài 12: Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường
thẳng kẻ từ I vuông góc với BD cắt AD tại E.
a) so sánh các đoạn thẳng AE, EI và ID
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn (E; EA).
Dạng 5: Tiếp tuyến với đường tròn, tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường
tròn (O) có đường kính AH. Cmr:
a) Điểm E nằm trên đường tròn (O);
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( cùng thuộc
một nửa đường tròn bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại
M cắt Ax, By tại C và D.
a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết rằng
AB = 4cm.

Dạng 6: Vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 15: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O)
tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O)
tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A
qua B. Cmr:
a) AB

KB;
b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên cùng một đường tròn.
Bài 16: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là
điểm đối xứng với N qua OO’. Cmr:
a) MNQP là hình thang cân;
b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
c) MN + PQ = MP + NQ.