phát triển tư duy qua bài toán hình 9

Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
Mục lục:
Mục lục ………………………… trang 1
Phần I: Đặt vấn đề:
1/. Lý do chọn đề tài ………………………… trang 2
2/. Mục đích nghiên cứu ………………………… trang 3
3/. Kết quả cần đạt ………………………… trang 4
4/. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ………………………… trang 5
Phần II: Nội dung
1/. Cơ sở lí luận ………………………… trang 5
2/. Thực trạng vấn đề nghiên cứu ………………………… trang 6
3/. Giải pháp thực hiện ………………………… trang 6
4/. Kết quả thực hiện ………………………… trang 26
Phần III: Kết luận và khuyến nghị
1/. Đánh giá cơ bản về SKKN ………………………… trang 27
2/. Các khuyến nghị đề xuất ………………………… trang 27
Phần IV: Phụ lục
1/. Tài liệu tham khảo ………………………… trang 28
2/. Bản cam kết. ………………………… trang 29
3/. Danh sách các sáng kiến đã viết ………………………… trang 30
Phần I. Đặt vần đề:
1/. Lí do chọn đề tài:
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí
thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những
1
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên tượng trong
hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết.
Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không tự
nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần
được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc

biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS đang phát triển
mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề
này.
Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy
nhiên khi làm bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh
khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hình và hơn nữa tìm được cái đẹp của
môn Toán. Cái nhìn ở các phương diện khác nhau chính là cách thay đổi bài
toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài toán khó hơn.
Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài
tập khó sẽ trở nên dễ hơn, và quan trọng nhất là học sinh có được sự tự tin
khi làm bài tập.
Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu
quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu
kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm
thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi
học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống
bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu
từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài
toán có dạng tương tự như vậy.
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn
về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi,
bằng cách nêu nên cách dạy một số bài toán Hình cơ bản trong sách giáo
2
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
khoa, thay đổi, phát triển bài toán đó thành những bài toán khác nhau. Làm
được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng tự
tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc
sống hiện đại.
2/. Mục đích nghiên cứu:
Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp

của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học
sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm
góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc
dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ
trình bày một vài chương của môn Hình lớp 9, chủ yếu là phần đường tròn
do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kì thi.
Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng
dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá
lúng túng do chưa nắm được những bài toán cơ bản. Khi đi sâu tìm tòi
những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn
tìm được vẻ đẹp của môn Hình. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách
giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở
môn Hình mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình. Đó là
mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu gợi được niềm vui, sự
yêu thích của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc
dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học
sinh.Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo
và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới.
3
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
3/. Kết quả cần đạt:
Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong
sách giáo khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là HS trung bình
cần phải làm tốt những bài tập này.
Sau đó GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài toán phát triển
từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GV cần giúp cho học sinh hiểu
được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế
đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh
làm được điều này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố
gắng của cả HS và GV mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được

điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn
kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên GV cần phải động viên giúp
các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng
chắc chắn học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù hợp
với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học
sinh giỏi. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài
toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn
học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn
luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn.
4/. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học, được rút ra từ một số
kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy học ở trường THCS Vĩnh Phong và
trường THCS Nhân Hoà nên đương nhiên đối tượng là học sinh của các
trường đại trà không có nhiều học sinh khá giỏi. Đối tượng chính là học sinh
lớp 9 trường THCS Nhân Hoà. Trường THCS Nhân Hoà có 2 lớp 9 với 90
4
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
học sinh nhưng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lượng học sinh giỏi
rất ít nên việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là việc rất khó khăn của
nhà trường. Chính đối tượng học sinh chiếm chủ yếu là học sinh trung bình
và khá cộng thêm với phạm vi nhỏ hẹp nên vấn đề được nghiên cứu rất đơn
giản, nâng cao từng cấp độ để phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Phần II.
1/. Cơ sở lí luận:
Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo
từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt
phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan
tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một
cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng
môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được

thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy.
Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho
phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan
trọng. Do đặc điểm của môn Hình khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm
việc vẽ hình phức tạp nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và
hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản.
2. Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu:
Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường
có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh học khá và trung bình, kĩ
năng cơ bản không có. Những học sinh xuất sắc của xã đều chuyển trường
khác nên trường rất khó có học sinh giỏi. Việc dạy ôn thi học sinh giỏi là
5
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
trách nhiệm quan trọng của nhà trường. Năm học này tôi được phân công
dạy 2 lớp 9 của trường. Mỗi lớp có 45 học sinh trong đó quá nửa là học sinh
trung bình và khá . Mục tiêu chính của trường chúng tôi là nâng cao chất
lượng đại trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình thành cho
học sinh ý thức của con người mới: sáng tạo và năng động. Trong quá trình
dạy Hình tôi đã lựa chọn một phương pháp dạy cụ thể nhằm nâng cao chất
lượng cho học sinh. Sau đây là nội dung tôi trình bày:
3/. Giải pháp thực hiện:
Bài toán 1: (Bài 11 SGK tập 1/ trang 104 – NXBGD 2005)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính
AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến
CD. Chứng minh rằng: CH = DK
Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.
Vì đây là bài tập ở trong phần bài “đường kính
và dây của đường tròn” nên khi có hướng dẫn kẻ
OM vuông góc với CD thì học sinh sẽ nhận thấy CM = CD.
Vậy để chứng minh CH = DK ta phải chứng minh điều gì?

Khi đó học sinh sẽ nghĩ đến việc chứng minh MK = MH.
Việc chứng minh MK = MH không có gì khó khăn cả khi nhận xét được
ABKH là hình thang có OM là đường trung bình của hình thang.
Thông thường học sinh sẽ vẽ hình như hình vẽ trên.
6
A
B
C
D
M
O
H
K
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
GV gợi ý nếu dây CD song song với AB thì việc chứng minh sẽ như thế
nào? Dễ hơn hay khó hơn?
Bài toán 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB,
dây CD song song với đường kính AB. Gọi H và
K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ
A và B đến CD. Chứng minh rằng: CH = DK.
Khi CD song song với AB thì không cần thiết phải kẻ OM vuông góc với
CD như bài tập 1. Nhận thấy ngay rằng ABDC là hình thang cân suy ra AC
= BD, Như vậy ∆AHC = ∆BKD suy ra HC = DK.

Nếu dây CD cắt đường kính AB thì điều này còn đúng không? Hãy vẽ hình
và dự đoán. Học sinh sẽ nhận ra bài toán sau:
Bài toán 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB,
dây CD cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ
tự là chân các đường vuông góc kẻ từA và B đến
CD. Chứng minh rằng: CH = DK.

Bài tập này tương tự như bài toán 1, rất tự nhiên học sinh sẽ kẻ OM vuông
góc với CD. Khi đó CM = DM, bây giờ chứng minh HM = DM.
Đây là bài toán cơ bản của lớp 8:
Cho hình thang AHBK (AH//BK), O là trung
điểm của AB, M là điểm thuộc HK sao cho
OM song với AH. Chứng minh HM = MK
Như vậy bài toán 3 đã chứng minh song.
7
A
B
C
D
O
H K
D
A
B
C
O
H
K
M
A H
BK
M
O
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008

Tuy nhiên việc chứng minh bài toán 3 bằng cách trên không phải đơn giản vì
bài tập hình 8 nêu trên là một bài khó đối với học sinh yếu lớp 9.

GV cần khơi dậy cho học sinh sự tò mò tìm ra cách khác. Để tránh phải
chứng minh dựa vào tính chất hình thang học sinh phải kẻ thêm đường kính
EF song song với CD.
Ta có ∆AOQ = ∆BOP ⇒QO = PO
⇒ HM = MK mà MD = MC
nên CH = DK
Cách này chứng minh đơn giản hơn nhưng
phải kẻ thêm đường phụ.
Qua bài toán 1 nếu thay đổi giả thiết bài toán, từ C và D kẻ vuông góc với
CD thì bài toán có gì đặc biệt?
HS sẽ nhận thấy được bài toán mới tương tự:
Bài toán 4: Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD không cắt AB,
từ C và D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần
lượt tại H và K. Chứng minh rằng: AH = BK
Tương tự như bài tập 1, rất tự nhiên học sinh sẽ nghĩ
đến việc kẻ OM vuông góc với CD.
HC ⊥ CD; DK ⊥ CD ⇒HKDC là hình thang vuông,
vì OM ⊥CD nên CM = DM
⇒ OM là đường trung bình của hình thang HKDC nên OH = OK
Từ đó suy ra AH = BK.
8
C
A
B
O
H
K
M
D
E

F
P
Q
C
A
B
O
H
D
K
M
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
Nếu CD // AB thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều, tương tự như bài tập
2, không cần kẻ thêm đường phụ OM
⊥
CD ta cũng có thể chứng minh được
dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác.
Khi CD cắt AB thì bài toán này còn đúng không? Hãy để cho học sinh
suy nghĩ, tự vẽ hình và dự đoán AH = BK? Khi đó GV cho học sinh làm bài
tập mới tương tự:
Bài toán 5: Cho đường tròn (O) và đường kính AB dây CD cắt AB, từ C và
D kẻ các đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng AB lần lượt tại H
và K. Chứng minh rằng: AH = BK.
Kẻ OM vuông góc với CD,
HC ⊥ CD; DK ⊥ CD ⇒ HDKC
là hình thang vuông, vì OM ⊥CD
nên CM = DM ⇒ OM là đường nối trung điểm hai đường chéo của hình
thang HDKC nên OH = OK. Từ đó suy ra AH = BK.
Cách khác:
Kẻ thêm đường kính EF song song với

dây CD, vì OM ⊥ với dây CD nên
CM = MD ⇒ FO = EO
⇒ ∆HOF = ∆KOE (g.c.g)
⇒ OH = OK ⇒ AH = BK.
Lại quay trở lại bài toán 1 ta thay đổi đề thành bài tập có dạng lạ hơn:
Bài toán 6: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh
điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB.
Vẽ AP ⊥ CD, BQ ⊥ CD. Chứng minh: P, Q nằm bên ngoài (O).
9
C
A B
O
H
D
K
M
C
A B
O
H
D
K
M
E
F
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
Bài toán này không có gì đặc biệt, rất dễ nhận
thấy sự tồn tại của bài toán nhưng chính sự hiển
nhiên này mà bài toán làm cho nhiều học sinh lúng
túng. GV cần hướng dẫn chi tiết giúp cho học sinh

có thể giải quyết vấn đề thật tự nhiên và nhẹ nhàng:
Nối O với P và O với Q
Vì ABQP là hình thang nên góc A + góc B = 180
0
Giả sử góc A ≤ 90
0
thì góc B ≥ 90
0

Xét ∆OBQ có góc B ≥ 90
0
nên OQ > OB = R
vậy Q nằm ngoài đường tròn.
ta lại có ∆OPQ cân tại O nên OP = OQ > R
vậy P nằm ngoài đường tròn.

Dây CD quay quanh điểm I thì kéo theo rất nhiều yếu tố thay đổi. Khi đó
ta có bài toán mới hay hơn:
Bài toán 7: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh
điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB.
Vẽ AP ⊥ CD, BQ ⊥ CD. Tìm vị trí của dây CD để AP + BQ lớn nhất.

Ở bài toán 1 ta biết khi kẻ OM ⊥ CD thì OM là
đường trung bình của hình thang ABQP.
⇒ AP + BQ = 2OM ≤ 2OI
Vậy AP + BQ lớn nhất bằng 2OI, dấu ‘=’ xảy ra
10
A
B
C

D
I
O
P
Q
A
B
C
D
I
O
P
Q
A
B
C
D
I
O
M
P
Q
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
khi CD ⊥ với OI.

Ta có nhận xét khi CD quay quanh I, độ dài của đoạn CD sẽ thay đổi,
như vậy ta có bài toán mới:
Bài toán 8: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh
điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB.
Tìm vị trí của dây CD sao cho dây cung CD có độ dài ngắn nhất.

Theo tính chất mối quan hệ giữa dây cung
và khoảng cách từ tâm đến dây. CD ngắn
nhất khi OM dài nhất.
Xét ∆OMI vuông tại M ta có:
OM ≤ OI. CD ngắn nhất khi OM = OI
Vậy dây CD ngắn nhất khi CD ⊥ OI.
Bài toán 9: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh
điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD không cắt đường kính AB.
Tìm vị trí của dây CD sao cho dây cung CD có độ dài dài nhất.
Nếu hình chiếu của điểm I trên AB nằm giữa
A và O thì vị trí để CD dài nhất là dây đi qua
I và B
Nếu hình chiếu của điểm I trên AB nằm giữa
B và O thì vị trí để CD dài nhất là dây đi qua
11
A
B
C
D
I
O
M
A
B
C
D
I
O
M

P
Q
Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa - năm học 2007-2008
I và A
Khi dây CD cắt đường kính AB thì ta có hệ thống bài tập tương tự, đầu tiên
là bài tập sau:
Bài toán 10: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD quay quanh
điểm I cố định trong (O) (I ≠O) sao cho dây CD cắt đường kính AB. Vẽ AP
⊥ CD, BQ ⊥ CD. Chứng minh: P, Q nằm bên trong (O).
Cách làm bài này tương tự như cách chứng minh
P, Q nằm ngoài đường tròn (O)
Yêu cầu học sinh về nhà làm bài tập này.
Chúng ta xét bài toán tiếp theo
Bài toán 11: (Bài 30 SGK toán 9 tập 1 trang 116, NXBGD năm 2005)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường
tròn chia đường tròn đó thành 2 nửa đường tròn). Gọi Ax và By là các tia
vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp
tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng
minh rằng: a, góc COD = 90
0
b, CD = AC + BD
c, Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
Rõ ràng đây là bài toán khó đối với học sinh
đại trà, giáo viên cần hướng dẫn chi tiết kể cả
lời giải để học sinh có thể học cách trình bày:
a, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một
12
A
B

C
D
. I
O
P
Q
M
A
BO
x
y
M
C
D