Công thức và bài tập ví dụ Ma Trận Tán Xạ

Chương III

MA TRẬN TÁN XẠ

I. Dẫn Nhập
I1
Cửa 1

V1

I2
Mạng
2 Cửa

V2

Cửa 2

Chỉ quan tâm đến quan hệ vào ra mà không cần quan
tâm đến cấu trúc bên trong của mạng ⇒ Người
ta đưa ra các khái niệm: Hàm truyền, ma trận đặc
tính (ma trận trở kháng [Z], ma trận dẫn nạp [Y], ma
traän H, ma traän ABCD,…)


Cửa 1

VN

I1

V1

Cửa N

IN
Mạng
N Cửa
I2

Cửa 2

V2

Ij

Vj

Cửa j


I
Z0

ZL

V
E

E
I=

Z0 + Z L

E
V=
. ZL
Z0 + Z L

Để tối đa công suất đưa đến tải:

Z L = Z 0*

Áp hoặc dòng tại mỗi điểm đều có thể xem
như tổng của 2 thành phần sóng tới (incident)
vàsóng phản xạ (reflection).

V = Vi + Vr ;

I = Ii − I r


Ii

Sóng dòng điện tới chính là dòng
điện trong mạch khi có sự phối hợp
trở kháng:

E
E
Ii =
=

*
Z 0 + Z 0 2 R0

Z0

Vi

E

Tương tự, Sóng điện áp tới :

E.Z 0*
E.Z 0*
Vi =
=
*
Z0 + Z0
2 R0
Quan hệ giữa Sóng điện áp tới và sóng dòng điện tới:

Vi = Z 0* . I i

Z 0*


Sóng phản xạ điện áp:

Vr = V − Vi
E.Z 0*
E.Z L

Vr =
−
Z 0 + Z L Z 0 + Z 0*

I
Z0
V

ZL

E

Z 0 Z L − Z 0*
Vr = * .
.Vi
Z0 Z L + Z0
Sóng phản xạ dòng điện:

I r = −( I − I i )

Z L − Z 0*
E
E
Ir =
−
=
. Ii
*
Z0 + Z0 Z0 + Z L Z L + Z0

Quan hệ giữa Sóng điện áp phản xạ và sóng dòng điện phản xạ:

Vr = Z 0 . I r


Cửa 1

Cửa N
EN

Z 01
I1

E1

VN

V1

Z0 N
IN

Mạng
N Cửa
Vj

V2
Cửa 2

Ij

Z0 j

E2

⎛ Z 01
⎞
0
⎜
⎟
%
[Z0 ] = ⎜
⎟
⎜
⎟
Z
0
0N ⎠
⎝
Ma trận điện áp, dòng
điện tới và phản xạ:

⎛ Vi1 ⎞
⎛ Vr1 ⎞
[Vi ] = ⎜ # ⎟ [Vr ] = ⎜ # ⎟
⎜V ⎟
⎜V ⎟
⎝ iN ⎠
⎝ rN ⎠

I2

Z 02

Ma trận trở kháng chuẩn:

⎛ I i1 ⎞
⎛ I r1 ⎞
[ Ii ] = ⎜ # ⎟ [ I r ] = ⎜ # ⎟
⎜I ⎟
⎜I ⎟
Cửa j
⎝ iN ⎠
⎝ rN ⎠
Ej


Ma trận Tán Xạ của mạng N cửa: [S]

[b ]
⎡b1 ⎤
⎛ S11
⎢# ⎥ = ⎜ S
⎜ 21
⎢ ⎥
⎜S
⎢⎣bN ⎦⎥
⎝ N1

= [ S ].[ a ]

S12 " S1N ⎞ ⎡ a1 ⎤

⎟ ⎢ ⎥
S 22 " S 2 N ⎟ . ⎢# ⎥
S N 2 " S NN ⎟⎠ ⎢⎣ aN ⎥⎦

Ma trận tán xạ thể hiện quan hệ giữa Sóng Tới [a]
và Sóng Về [b] tại các cửa.


2) Quan hệ giữa sóng tới và sóng về với điện áp, dòng điện.

E j = V j + Z 0 j .I j

Ij

Ta cũng có:

V j = Vij + Vrj ;

I j = I ij − I rj

Vaø:

Z0 j
Ej

Vij = Z .I ij ; Vrj = Z 0 j .I rj
*
0j

aj

Cửa j

Vj
bj

⇒ E j = V j + Z 0 j .I j = ( Z oj* I ij + Z 0 j I rj ) + Z 0 j ( I ij − I rj )
⇒ E j = Z oj* I ij + Z 0 j I ij = 2 R0 j .I ij
⇒ I ij =

Ej
2 R0 j

=

V j + Z 0 j .I j
2 R0 j

⇒ a j = R0 j .I ij =

V j + Z 0 j .I j
2 R0 j


Quan hệ của sóng về theo dòng, áp tại cửa j:
Ta cũng có:

V j = Vij + Vrj ;

I j = I ij − I rj

Vaø:

Vij = Z 0* j .I ij ; Vrj = Z 0 j .I rj

⇒ V j − Z 0* j .I j = ( Z oj* I ij + Z 0 j I rj ) − Z 0* j ( I ij − I rj )
⇒ V j − Z 0* j .I j = Z 0 j I rj + Z oj* I rj = 2 R0 j .I rj
⇒ I rj =

V j − Z .I j
*
0j

2 R0 j

⇒ b j = R0 j .I rj =

V j − Z 0* j .I j
2 R0 j


Tổng quát hoá cho N cửa:

1
−1/ 2
=
a
R
.
[ ]
[ 0 ] . {[V ] + [ Z 0 ].[ I ]}

2

{

}

1
−1/ 2
[b] = .[ R0 ] . [V ] − ⎡⎣ Z 0* ⎤⎦ .[ I ]
2

Tính Vj Và I j Theo a j , b j :
a j − bj =
a j + bj =

V j + Z 0 j .I j
2 R0 j
Vj
R0 j

+

−

V j − Z 0* j .I j
2 R0 j

Z 0 j − Z 0* j
2 R0 j

Nếu Z0j =R 0j là số thực :

=

Z 0 j + Z 0* j
2 R0 j

Ij

⇒ a j + bj =

Vj
R0 j

I j = R0 j .I j


3) Quan hệ giữa công suất với sóng tới và sóng về.

Ij
R0 j
Ej

Pij

Pj

Prj

Cửa j

Vj

(
)

)

1
Công suất truyền vào cửa j: Pj = Re V j .I *j
2
1
Pj = Re R0 j ( a j + b j ) . a*j − b*j / R0 j
2
1
Pj = Re a j a*j − a j b*j + (a j b*j )* − b j b*j
2
2
2
1
⇒ Pj =
a j − bj
2

{
{

(

{

}

}

}


4) Ý Nghóa Vật Lý Của Các Hệ Số Trong Ma trận [S]
I1
R01

V1
E1

I2
a1
b1

Sóng tới tại cửa j:
Sóng Về tại cửa j:

Mạng Hai Cửa
[S]

a j = R0 j .I ij =
b j = R0 j .I rj =

a2
b2

R02

V2

V j + R0 j .I j
2 R0 j
V j − R0 j .I j
2 R0 j

E2


S12 ⎞ ⎡ a1 ⎤
⎧b1 = S11.a1 + S12 .a2
⎟. ⎢ ⎥ ⇔ ⎨
S 22 ⎠ ⎣ a2 ⎦
⎩b2 = S 21.a1 + S 22 .a2

⎡b1 ⎤
⎛ S11
⎢b ⎥ = ⎜ S
⎝ 21
⎣ 2⎦

b1
S11 =
a1

Ý nghóa của S11 :

a2 = 0

a2 = 0: Có nghóa không có sóng vào của 2 , Tức là: Nguồn
E2 bị triệt tiêu và có phối hợp trở kháng ở cửa 2.

I1

R01
E1

V1

I2
a1
b1

Mạng Hai Cửa
[S]

S11

b2

V2

R02


V1 + R01.I1

a1 =
2 R01
V1 − R01.I1
b1 =
2 R01
R01

b1
⇒ S11 =
a1

a2 = 0

V1 − R01.I1
⇒ S11 =
V1 + R01.I1

I1

V1

E1

E2 = 0, Tải R02

I2

a1
b1

Mạng Hai Cửa
[S]

b2

V2

R02

S11 = Γ1

V1
Đặt : Z11 =
Là trở kháng ngõvào trong trường hợp :
I1
Z11 − R01
⇒ S11 =
Z11 + R01

E2 = 0, Taûi R02
= Γ1


⎧b1 = S11.a1 + S12 .a2
⎨
⎩b2 = S 21.a1 + S 22 .a2
Ý nghóa của S 21 :

b2
S 21 =

a1

a2 = 0

I1

R01
E1

V1

I2
a1
b1

Mạng Hai Cửa
[S]

b2

V2

R02

Hệ số S 21 : thể hiện hệ số truyền đạt từ cửa 1 sang cửa 2


2

S 21 =

b2
a1

2
2
a2 = 0

1 2
Pi1 = a1
2

1 2
b2
= 2
1 2
a1
2
1 2
Pr 2 = b2
2

I1

R01

I2
a1
b1

V1

E1

Mạng Hai Cửa
[S]

b2

V2

R02

Hệ số S 21 : thể hiện hệ số truyền đạt công suất từ cửa 1
sang cửa 2 trong điều kiện cửa 2 phối hợp trở kháng.
2


⎧b1 = S11.a1 + S12 .a2
⎨
⎩b2 = S 21.a1 + S 22 .a2
Ý nghóa của S 22 :

b2
S 22 =
a2

= Γ2
a1 = 0

a1 = 0: Có nghóa không có sóng vào của 1 , Tức là: Nguồn
E1 bị triệt tiêu và có phối hợp trở kháng ở cửa 1.

I1

R01

V1

I2
b1

a2
b2

Mạng Hai Cửa
[S]

S22

V2

R02
E2


⎧b1 = S11.a1 + S12 .a2
⎨
⎩b2 = S 21.a1 + S 22 .a2
Ý nghóa của S12 :

I1

R01

V1

b1
S12 =
a2

a1 = 0

I2
b1

a2
b2

Mạng Hai Cửa
[S]

S22

V2

R02
E2

Hệ số S12 : thể hiện hệ số truyền đạt từ cửa 2 sang cửa 1

5) Đo Các Hệ Số Ma trận tán xạ [S]
Bộ Chỉ Thị
Sóng Đứng

R0
E

a1

R0

b1

Phần tử cần đo
[S]

a2
b2

ZL
Γ2

Γ1

⎧b1 = S11.a1 + S12 .a2
⎨
⎩b2 = S 21.a1 + S 22 .a2

a2

Γ2 =
b2

⎧b1 = S11.a1 + S12 .(Γ 2b2 )
⇒⎨
⎩b2 = S 21.a1 + S 22 .(Γ 2b2 )


⎧b1 = S11.a1 + S12 .(Γ 2b2 )
⎨
⎩b2 = S 21.a1 + S 22 .(Γ 2b2 )
S21
b2 = a1 .
1 − S22 .Γ 2

⎡
S21S12 Γ 2 ⎤
b1 = a1 ⎢ S11 +
⎥
S
1
−
.
Γ
22
2 ⎦
⎣

b1
S21S12 Γ 2

Γ1 =
= S11 +
a1
1 − S22 .Γ 2