Một số kiến thức bổ sung về hình học phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (688.8 KB, 22 trang )
§ PHAÀN MOÄT
§ § MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG VỀ HÌNH HỌC PHẲNG
1. 1 Định lí Menelaus
□ Định lý
Cho tam giác ABC và 3 điểm M , N , P lần lượt thuộc BC , CA , AB .
Khi đó M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi:
( 1 )
1.2 Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích
□ Định lí
Cho tam giác ABC và 3 điểm M , N , P lần lượt nằm trên BC , CA , AB .
Khi đó ta có :
I.3 Định lý Menelaus cho tứ giác
□ Định lý
Cho tứ giác ABCD và một đường thẳng d cắt AB , BC , CD , DA
lần lượt ở M , N , P , Q . Khi đó ta có:
• Chú ý
1. Khi áp dụng cho tứ giác , định lí Menelaus chỉ phát biểu dạng thuận
bởi dạng đảo nói chung không đúng !
2. Các bạn thử suy nghĩ xem với dạng thuận như thế này thì có thể mở rộng
cho đa giác được không ? Một vấn đề khá thú vị !
2. 1 Định lý Ceva
□ Định lý
Cho tam giác ABC . Gọi E , F , G là ba điểm tương ứng nằm trên BC , CA , AB.
Ba đường thẳng AE , BF , CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi :
2. 2 Định lý Ceva sin
□ Định lý
Gọi E , F , G là ba điểm tương ứng nằm trên các đường thẳng BC , CA , AB
của tam giác ABC . Ba đường thẳng AE , BF , CG cắt nhau tại một điểm O
khi và chỉ khi :
3. Định lý Desargues
□ Định lý
Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó AA' , BB' , CC' đồng quy
khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B'C', CA và C'A', AB và A'B' thẳng hàng.
4. 1 Định lí Pappus
□ Định lí
Cho ba điểm A , B , C nằm trên đường thẳng a , X , Y , Z nằm trên đường thẳng b.
Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng ( AY , BX ) , ( AZ , CX ) ,
( CY , BZ ) . Khi đó M , N , P thẳng hàng .
□ Bổ đề
Cho góc xOy và các điểm A , B , C thuộc Ox ; D , E , F thuộc Oy .
Khi đó AD , BE , CF đồng quy khi và chỉ khi: ( OABC ) = ( ODEF ) .
2
Bổ đề trên bạn đọc tự chứng minh , bây giờ ta sẽ trở lại bài toán.
Kí hiệu :
là phép chiếu xuyên tâm E .
Gọi T, Q lần lượt là giao điểm của BX và AZ ; CX và BZ .
Sử dụng bổ đề trên thì ta sẽ cần chứng minh : ( BTMX ) = ( BZPQ )
• Trường hợp a // b Chứng minh nhờ Thales
• Khi a không song song với b . Gọi S là giao của a và b.
Ta thấy : Với : F
A
: ( BTMX ) = ( SZYX ) với F
C
: ( SZYX ) = ( BZPQ )
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
4.2 Một trường hợp đặc biệt của định lí Pappus qua góc nhìn hình xạ ảnh
Ở phần này chúng tôi chỉ dùng hình xạ ảnh để dẫn dắt đến kết quả còn nội dung định lí
và cách chứng minh thì hoàn toàn phù hợp với kiến thức hình THCS !
Ta có kết quả sau liên quan đến hình xạ ảnh : Các đường thẳng song song với nhau
thì gặp nhau tại một điểm ở vô cực và ngược lại .
Vận dụng vào định lí Pappus ở trên , cho các điểm A , B , C ra vô cực
thì theo kết quả về hình xạ ảnh ta có YM // ZN ( Vì YM , ZN cùng đi qua một điểm (A)
ở vô cực ) Tương tự thì :XN // YP , XM // ZP . Và khi ấy M , N , P vẫn thẳng hàng.
Ta phát biểu lại được một định lí đơn giản và hữu dụng sau đây:
□ Định lí
Trên mặt phẳng cho ba điểm X ,Y , Z thẳng hàng và ba điểm M , N , P thỏa mãn
XN // YP , YM // ZN , XM // ZP. Khi đó ta cũng có M , N , P thẳng hàng .
5 . 1 Đẳng thức Ptolemy
□ Định lí
Với tứ giác nội tiếp ABCD thì : AB.CD + AD.BC = AC.BD
5 . 2 Bất đẳng thức Ptolemy
□ Định lý
Cho tứ giác ABCD. Khi đó có : AC . BD AB . CD + AD . BC
6. Định lý Pascal
□ Định lý
Cho 6 điểm A , B , C , D , E , F cùng thuộc một đường tròn . Khi đó các
giao điểm của các cặp cạnh AB và DE , BC và EF , CD và FA thẳng hàng.
7. Định lý Brianchon
□ Định lý
Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp ( O ) .
Chứng minh rằng ba đường chéo lớn AD , BE , CF đồng quy.
8. Định lí Miquel
□ Định lí
Cho tam giác ABC và ba điểm M , N , P lần lượt nằm trên BC , CA , AB .
3
Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác APN , BPM và CMN đồng quy.
9. Công thức Carnot
□ Định lý
Cho ΔABC nội tiếp ( O , R ). Gọi x , y , z lần lượt là khoảng cách từ O đến BC ,
AC , AB. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Ta có :
a. Nếu Δ ABC nhọn thì công thức carno là : x + y + z = R + r .
b. Nếu
thì công thức carno là : y + z x = R + r .
10 . Định lí Carnot
□Định lý
Cho ΔABC gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC , CA , AB .
d
M
, d
N
, d
P
. lần lượt là các đường thẳng đi qua M , N , P và vuông góc
với BC , CA , AB . d
M
, d
N
, d
P
. đồng quy khi và chỉ khi :
MB
2
+ NC
2
+ PA
2
= MC
2
+ NA
2
+ PB
2
.
11 . Định lý Brokard
□ Định lý
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O .
AD BC = M , AB CD = N , AC BD = I .
Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MIN .
12 . Định lí Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác
□ Định lý
Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ; R ) và ngoại tiếp ( I ; r ).
Chứng minh rằng : OI
2
= R
2
2Rr .
13 . Định lí Euler về khoảng cách giữa tâm hai đường tròn nội ngoại tiếp tứ giác ( Định lí Fuss )
□ Định lí
Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp ( O , R ) vừa ngoại tiếp ( I , r ) .
Đặt d = OI . Khi đó ta có:
14. Định lí Casey ( Định lí Ptolemy mở rộng )
□ Định lí
Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( O , R ) . Đặt các đường tròn , , ,
là các đường tròn tiếp xúc với ( O ) tại các đỉnh A , B , C , D.
Đặt :
là độ dài đoạn tiếp tuyến chung của hai đường tròn , .
Trong đó
là độ dài tiếp tuyến chung ngoài nếu hai đường tròn ,
cùng tiếp xúc trong hoặc cùng tiếp xúc ngoài với ( O ) , và là độ dài đoạn tiếp xúc trong
nếu trong trường hợp còn lại . Các đoạn :
,
, , được xác định tương tự.
Khi đó ta có:
15 . Hệ thức Stewart
□ Định lí
Cho ba điểm A , B , C thẳng hàng. Và một điểm M bất kì . Ta luôn có hệ thức :
.
16 .Định lí Lyness
□ Định lí
4
Nếu đường tròn tâm O tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tại T và tiếp xúc với các cạnh AB,AC của tam giác lần lượt tại E và F thì tâm
đường tròn nội tiếp của tam giác nằm trên EF.
17 . Định lý Lyness mở rộng ( Bổ đề Sawayama )
□ Định lí
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) . M thuộc BC
( Có cách phát biểu khác là : cho tứ giác ABDC và M là giao của BC và AD .
nhưng hai cách phát biểu này là tương đương ) .
Một đường tròn ( O' ) tiếp xúc với hai cạnh MA và MC tại E và F đồng thời tiếp xúc
với cả đường tròn ( O ) tại K . Khi đó ta có tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
nằm trên đường thẳng EF.
18 . Định lí Thébault
□ Định lí
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) . là một điểm nằm trên cạnh BC.
Đường tròn tâm P tiếp xúc với 2 đoạn AD , DC và tiếp xúc trong với ( O ) .
Đường tròn tâm Q tiếp xúc với 2 đoạn AD , DB và tiếp xúc trong với ( O ) .
Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC. Ta có : P , I , Q thẳng hàng .
19 . Công thức Jacobi liên quan đến tâm tỉ cự , định lí Lebnitz
19 . 1 Công thức Jacobi
Nếu I là tâm tỉ cự của hệ điểm : A
1
, A
2
, , A
n
ứng với các hệ số
a
1
, a
2
, , a
n
thì với mọi điểm M trên mặt phẳng ta đều có:
19 . 2 . Định lí Lebnitz
Đây là trường hợp đặc biệt của công thức trên khi n = 3
19 . 3 . Hệ quả khác
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( với các kí hiệu như phần trên )
đạt được khi : M I .
20 . Định lí Newton cho tứ giác ngoại tiếp
□ Định lý
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( O ) .
Khi đó trung điểm hai đường chéo AC , BD và tâm O thẳng hàng.
21 . Định lí Breichneider ( định lý hàm số cos cho tứ giác )
□ Định lý
Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh AB , BC , CD , DA
lần lượt là a , b , c , d và độ dài hai đường chéo AC , BD là m , n.
Khi đó ta có: m
2
. n
2
= a
2
. c
2
+ b
2
. d
2
2 abcd . cos ( A + C ) .
22 . Định lí con nhím
□ Định lí
Cho đa giác lồi A
1
A
2
A
n
và các vectơ :
là các vectơ có độ dài bằng các cạnh A
1
A
2
, A
2
A
3 ,
, A
n
A
1
5
tương ứng vuông góc với các cạnh ấy và hướng ra phía ngoài đa giác .
Thế thì :
23 . Định lí Gergone-Euler
□ Định lí
Xét tam giác ABC và một điểm S trong mặt phẳng AS , BS , CS lần lượt cắt
BC , CA , AB ở D , E , F . Khi đó ta có :
24 . Định lí Viviani
□Định lí
Trong tam giác đều ABC ta lấy 1 điểm S .Ta sẽ có tổng các khoảng cách
từ điểm S tới ba cạnh sẽ có độ dài bằng một đường cao của tam giác .
25 . Công thức Lagrange mở rộng
□ Định lý
Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm { A
1
, A
2
, , A
n
}
ứng với các hệ số : a
1
, a
2
, , a
n
thì với mọi điểm M :
26 . Đường thẳng Simson
Định lí
Cho Δ ABC và điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tâm O của tam giác .
Gọi N , P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng
BC , CA , AB thì chúng cùng thuộc một đường thẳng
( đây gọi là đường thẳng Simson ) .
27 . Đường thẳng Steiner
Định lí
Cho Δ ABC và điểm D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tâm O của tam giác.
Gọi A
2
, B
2
, C
2
lần lượt là điểm đối xứng với của D qua các đường thẳng
BC , CA , AB thì chúng cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng này
đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Đường thẳng đó được gọi là
đường thẳng steiner ứng với điểm D của tam giác ABC .
Còn điểm D được gọi là điểm anti steiner.
28 . Điểm Anti Steiner ( Định lí Collings )
□ Định lí 1
Cho Δ ABC và đường thẳng d đi qua H trực tâm của tam giác ABC .
Gọi d
a
, d
b
, d
c
lần lượt là đường thẳng đối xứng của d qua BC , AC , AB .
Các đường thẳng đó đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp Δ ABC
( điểm anti steiner của d ) .
Và d được gọi là đường thẳng steiner của điểm đó ( gọi là G ) .
□ Định lí 2
Gọi P là một điểm thuộc đường thẳng d . P
A
, P
B
, P
C
lần lượt là điểm đối xứng với P
qua các cạnh của tam giác ABC. Ta có các đường tròn : ( A , P
C
, P
B
) , ( B , P
C
, P
A
) ,
( C , P
A
, P
B
) cùng đi qua điểm G .
6
29 . Định lí Napoleon
□ Định lí
Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BMC , CNA , APB và gọi
D , E , F lần lượt là tâm của ba tam giác ấy . Khi đó ta có tam giác DEF đều .
30 . Định lí Morley
□ Định lí
Trong tam giác ABC . D , E , F lần lượt là giao điểm của các đường
chia ba góc trong và cùng kề các cạnh tam giác ABC.
Khi đó ta có tam giác DEF đều và được gọi là tam giác Morley.
31 . Định lí con bướm với đường tròn
□ Định lí
Cho đường tròn ( O ) và dây cung AB . I là trung điểm của AB.
Qua I vẽ hai dây cung tùy ý MN và PQ sao cho MP và NQ
cắt AB tại E , F . Khi đó I là trung điểm của EF.
32 . Định lí con bướm với cặp đường thẳng
□ Định lí
Cho Δ ABC . Lấy I là trung điểm của BC . Qua I kẻ các đường thẳng Δ
cắt AB , AC tại N , Q , đường thẳng Δ’ cắt AB , AC tại P , M .
Gọi MN , PQ cắt BC tại F , E . Khi đó ta có I là trung điểm của EF
33 . Định lý Desargues
□ Định lý
Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó AA' , BB' , CC' đồng quy
khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B'C', CA và C'A' , AB và A'B' thẳng hàng .
34 . Định lí Blaikie
□ Định lí
Cho tam giác ABC và đường thẳng d sao cho d cắt BC , CA , AB
lần lượt ở M , N , P . Gọi S là 1 điểm bất kì trên d .
Gọi M' , N' , P' lần lượt là điểm đối xứng của M , N , P qua S .
Khi đó AM', BN', CP' đồng quy tại một điểm P
và ta gọi P là điểm Blaikie của d và S đối với tam giác ABC .
35 . Định lí chùm đường thẳng đồng quy
□Định lí
Ba đường thẳng đồng quy thì định ra trên
hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tỉ lệ.
36 . Đường tròn Apollonius
□ Định lí
Cho hai điểm A và B cố định. Khi đó quĩ tích điểm M sao cho :
là một đường tròn cố định được gọi là đường tròn Apollonius.
37. Định lí Blanchet
□ Định lí
7
Cho tam giác ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC .
Gọi I là một diểm tùy ý thuộc đoạn AH . Các đoạn thẳng BI , CI cắt
các cạnh tam giác tại E và F . Chứng minh rằng HA là phân giác của góc EHF
38 . Mở rộng của định lí Blanchet
□ Định lí
Cho tam giác ABC, lấy T , E , F lần lượt thuộc các đoạn BC , CA , AB
sao cho 3 đường thẳng AT , BE , CF đồng quy tại một điểm .
Gọi L là giao điểm của AT và EF . Gọi H là hình chiếu của L xuống BC.
Chứng minh rằng HL là phân giác của
.
39 . Định lí Jacobi
□ Định lí
Cho tam giác ABC và các điểm A
1
, B
1
, C
1
trên mặt phẳng sao cho:
Khi đó AA
1
, BB
1
, CC
1
đồng quy tại điểm Jacobi N.
40 . Định lí Kiepert
□ Định lí
Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác cân đồng dạng
BCM , CAN , ABP ( cân ở M , N , P ) . Khi ấy ta có AM , BN , CP đồng quy .
41 . Định lí Kariya
□ Định lí
Cho tam giác ABC nhận ( I ) là đường tròn nội tiếp .
Ở phía ngoài tam giác lấy các điểm M , N , P sao cho IM = IN = IP
và IM , IN , IP tương ứng vuông góc BC , CA , AB .
Khi đó ta có AM , BN , CP đồng quy .
42 . Cực trực giao
Đây là một khái niệm mở rộng kết quả về trực tâm tam giác.
□ Định lí
Cho tam giác ABC . ( d ) là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng .
Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là hình chiếu của A , B , C trên ( d ) .
Gọi A
2
, B
2
, C
2
lần lượt là hình chiếu của A
1
, B
1
, C
1
trên BC , CA , AB .
Khi đó A
1
A
2
, B
1
B
2
, C
1
C
2
đồng quy tại một điểm gọi là cực trực giao
của đường thẳng ( d ) đối với Δ ABC .
43 . Khái niệm tam giác hình chiếu , công thức Euler về diện tích tam giác hình chiếu
□ Định lí
Cho ( O , R ) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Cho điểm M nằm trong tam giác.
Gọi A
1
, B
1
, C
1
là hình chiếu của M lên ba cạnh BC , AC , AB .
Khi đó ta gọi A
1
B
1
C
1
là tam giác hình chiếu của điểm M đối với tam giác ABC .
Ta có công thức Euler về diện tích của tam giác hình chiếu :
44 . Khái niệm hai điểm đẳng giác
Định lí
8
Cho tam giác ABC. M là một điểm nằm trong tam giác.
1. Khi đó các đường thẳng đối xứng với AM , BM , CM qua tia phân giác
đồng quy tại M' . M' được gọi là điểm đẳng giác của M .
2. Lần lượt đặt D , E , F và D' , E' , F' là chân các đường cao hạ từ M và M'
xuống BC , AC , AB .
a . Khi đó D , E , F , D' , E' , F' cùng thuộc một đường tròn tâm O .
Và O là trung điểm của M và M'.
b . Khi đó cũng có AM’ .
và AM .
45 . Khái niệm tứ giác toàn phần
□ Khái niệm
Một tứ giác toàn phần là một hình được tạo nên bởi bốn đường thẳng ,
từng đôi một cắt nhau nhưng không có ba đường nào đồng qui.
Một hình tứ giác toàn phần có 4 cạnh là 4 đường thẳng ấy, có 6 đỉnh
là 6 giao điểm của chúng và 3 đường chéo là 3 đoạn đi qua đỉnh đối diện
( chú ý hai đỉnh này không cùng thuộc một cạnh ) .
Chúng ta có một kết quả cơ bản và thú vị về tứ giác này như sau :
□ Định lí
Trong hình tứ giác toàn phần cặp đỉnh đối diện nằm trên một đường chéo
và cặp giao điểm của đường chéo đó với hai đường chéo còn lại lập thành
một hàng điểm điều hòa .
46 . Đường thẳng Droz-Farny
□ Định lí
Cho hai đường thẳng bất kì vuông góc với nhau tại trực tâm của tam giác ABC .
Chúng tương ứng cắt các cạnh BC , AC , AB tại X , X' ; Y , Y' ; Z , Z' . Khi đó
ta có : M
a
, M
b
, M
c
tương ứng là các trung điểm của XX’ , YY’ , ZZ’ thẳng hàng
47 . Đường tròn Droz-Farny
□ Định lí
Cho điểm P bất kì và tam giác ABC. Điểm Q là điểm đẳng giác với P
đối với tam giác ABC. Chân các đường vuông góc với các cạnh BC , AC , AB
của P là P
a
, P
b
, P
c
. Lấy P
a
làm tâm vẽ đường tròn đi qua Q cắt BC tại A
1
, A
2
.
B
1
, B
2
, C
1
, C
2
định nghĩa tương tự .
Khi đó A
1
, A
2
, B
1
, B
2
, C
1
, C
2
cùng thuộc đường tròn tâm P.
48 . Định lí Van Aubel về tứ giác và các hình vuông dựng trên cạnh
□ Định lí
Về phía ngoài tứ giác ABCD ta dựng các hình vuông
ABUI , BCQP , CDJW , DAFE với các tâm tương ứng là T , N , V , M .
Khi đó ta có TV và MN vuông góc với nhau.
49 . Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích
□ Định lí
Cho tam giác ABC và 3 điểm M , N , P lần lượt nằm trên BC , CA , AB .
Khi đó ta có :
9
50 . Hệ thức Van Aubel
□ Định lí
Cho tam giác ABC và các điểm D , E , F lần lượt thuộc BC , CA , AB
sao cho AD , BE , CF đồng quy ở S . Khi đó ta có :
Và 2 hệ thức tương tự .
51 . Định lí Pithot
□ Định lí
Tứ giác lồi ABCD là tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi : AB + CD = BC + DA
52 . Định lí Johnson
□ Định lí
Cho ba đường tròn có cùng bán kính R với tâm lần lượt là M , N , P và
cùng đi qua một điểm A . Khi ấy ba giao điểm khác A của ba đường tròn ấy
cùng nằm trên một đường tròn có bán kính là R .
53 . Định lí Eyeball
□ Định lí
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O' ) ngoài nhau . Hai tiếp tuyến kẻ từ O tới ( O' )
cắt ( O' ) tại C , D . Hai tiếp tuyến kẻ từ O' tới ( O ) cắt ( O ) tại A , B .
Khi đó ta có : AB = CD .
54 . Bổ đề Haruki
□ Bổ đề
Cho AB và CD là hai dây cung không cắt nhau của cùng một đường tròn
và P là một điểm bất kì trên cung AB không chứa CD của đường tròn ấy .
Gọi E và F lần lượt là giao điểm của PC, PD với AB .
Thế thì giá trị biểu thức sau là không đổi :
55 . Bài toán Langley
□ Bài toán
Cho ΔABC cân tại A có :
. Trên cạnh AB , AC
lấy điểm D , E sao cho :
. Tính
56 . Định lí Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp
□ Định lí
Cho Δ ABC các đường tròn bàng tiếp góc A , B , C tiếp xúc với 3 cạnh lần lượt tại
M , N , P , Q , R , S . Các đường thẳng qua MN , PQ , RS giao nhau tại
A
1
, B
1
, C
1
Các đường thẳng qua NP , QS , MS giao nhau tại A
2
, B
2
, C
2
.
Chứng minh rằng các bộ ba điểm : ( A , A
1
, A
2
) , ( B , B
1
, B
2
) , ( C , C
1
, C
2
) ,
thẳng hàng và các đường thẳng qua chúng đồng quy .
57 . Định lí Maxwell
□ Định lí
Cho Δ ABC và một điểm P , các cạnh của Δ A'B'C' song song với các đường thẳng
đi qua một đỉnh ΔABC và điểm P . Qua A' , B' , C' kẻ các đường thẳng song song
với các cạnh của ΔABC. Khi đó ta có các đường thẳng này đồng quy tại một điểm P'.
10
58 . Định lí Brahmagupta về tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc
□ Định lí
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC vuông góc với BD tại S .
Khi đó đoạn nối trung điểm một cạnh với S sẽ vuông góc với cạnh đối diện.
59 . Định lí Schooten
□ Định lí
Cho tam giác đều ABC nhận ( O ) là đường tròn ngoại tiếp .
Khi đó với mọi điểm S nằm trên ( O ) thì một trong 3 đoạn SA , SB , SC
có một đoạn có độ dài bằng tổng độ dài hai đoạn còn lại .
60 . Định lí Bottema
□ Định lí
Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng hai hình vuông ABDE , ACFG .
Gọi M là trung điểm DF. Thế thì Vị trí điểm M không phụ thuộc
vào vị trí điểm A và tam giác MBC vuông cân tại M.
61 . Định lí Pompeiu
□ Định lí
Cho tam giác ABC đều ,và một điểm D trên mặt phẳng tam giác .
Khi đó luôn tồn tại một tam giác với độ dài các cạnh là DA , DB , DC .
62 . Định lí Zaslavsky
□ Định lí
Cho ΔABC và điểm O .Tam giác A
1
B
1
C
1
là ảnh của Δ ABC qua phép đối xứng
tâm O . Từ A
1
, B
1
, C
1
kẻ các đường thẳng song song với nhau cắt
BC , CA , AB tại N , P , M . Chứng minh rằng M , N , P thẳng hàng.
63 . Định lí Archimedes
□ Định lí
Cho M là trung điểm
, điểm C chuyển động tùy ý trên
.
Từ M kẻ MD AC . Chứng minh rằng AD = AC + CB .
64 . Định lí Urquhart
□ Định lí
Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng ABB
1
và AC
1
C , D là giao điểm của BC và B
1
C
1
.
Chứng minh rằng : AB + BD = AC
1
+ C
1
D khi và chỉ khi AB
1
+ B
1
D = AC + CD .
65 . Định lí Mairon Walters
□ Định lí
Cho tam giác ABC và các đường thẳng chia 3 cạnh đối diện như hình vẽ.
Chứng minh rằng :
66 . Định lí Poncelet về bán kính đường tròn nội tiếp,bàng tiếp trong tam giác vuông
□ Định lí
Cho tam giác ABC có r , r
a
, r
b
, r
c
lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp
bàng tiếp góc A , B , C . Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông tại A
khi và chỉ khi : r
a
= r + r
b
+ r
c
.
67 . Ðịnh lí Hansen
□ Ðịnh lí
11
Cho tam giác ABC .Chứng minh rằng các điều kiện sau tương đương :
1. Tam giác ABC vuông
2.
3.
• Chú thích
,
68 . Định lí Steinbart mở rộng
□ Định lí
Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ) .Các tiếp tuyến của đường tròn tại A , B , C
giao nhau tại A
1
, B
1
, C
1
. Trên ( O ) lấy các điểm A
2
, B
2
, C
2
.
Chứng minh rằng : A
1
A
2
, B
1
B
2
, C
1
C
2
đồng quy khi và chỉ khi AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy hoặc các giao điểm của AA
2
, BB
2
, CC
2
với 3 cạnh tam giác thẳng hàng.
69 . Định lí Monge & d'Alembert I
□ Định lí
Cho 3 đường tròn ( A , R
1
) , ( B , R
2
) , ( C , R
3
) có bán kính khác nhau
và không chứa nhau .Tiếp tuyến chung ngoài của mỗi đường tròn giao nhau
lần lượt tại M , N , P . Chứng minh rằng : M , N , P thẳng hàng .
*Chú thích :
là phép vị tự tâm P tỉ số
biến
thành
70 . Định lí Monge & d'Alembert II
□ Định lí
Cho 3 đường tròn ( A , R
1
) , ( B , R
2
) , ( C , R
3
) có bán kính khác nhau
và không chứa nhau .Tiếp tuyến chung trong của (A) và (C), (B) và (C)
giao nhau lần lượt tại N , M tiếp tuyến chung ngoài của ( A ) và ( B )
giao nhau tại M . Chứng minh rằng : M , N , P thẳng hàng .
71. Định lí Steiner về bán kính các đường tròn
□ Định lí
Chứng minh rằng trong tam giác ta có : r
a
+ r
b
+ r
c
= 4R + r
72 . Định lí Bellavitis
□ Định lí
Cho tứ giác ABCD là tứ giác điều hoà kí hiệu :
.
Chứng minh rằng : + + + = 180
0
.
73 . Đường thẳng Euler của tam giác
□ Định lí
Cho tam giác ABC gọi H , G , O là trực tâm, trọng tâm,
tâm đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh rằng : H , G , O thẳng hàng .
74 . Đường tròn và tâm Euler
□ Bài toán
Trong một tam giác , trung điểm các cạnh của tam giác ,chân các đường cao
12
và trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên
một đường tròn gọi là đường tròn Euler của tam giác ấy.
75 . Đường đối trung điểm Lemoine
□ Bài toán
Cho tam giác ABC thì 3 đường đối trung của tam giác
đồng quy tại điểm Lemoine của tam giác .
* Chú thích
Kí hiệu : L [ A ( a
2
) , B ( b
2
) , C ( c
2
) ]
tương đương với :
76 . Điểm Gergonne , điểm Nobb , đường thẳng Gergone
□ Kết quả về điểm Gergonne
Tam giác ABC với đường tròn nội tiếp ( I ) .Tiếp điểm của ( I ) trên
BC , CA , AB lần lượt là D , E , F . Khi đó AD , BE , CF
đồng quy tại một điểm gọi là điểm Gergonne của tam giác ABC .
□ Kết quả về điểm Nobb và đường thẳng Gergonne ( Vẫn với các kí hiệu trên )
Một tam giác không cân có 3 điểm Nobb tương ứng là giao điểm của các cặp
đường thẳng EF và CB ,DE và AB , DF và AC . Và 3 điểm Nobb cùng nằm trên
một đường thẳng gọi là đường thẳng Gergonne của tam giác ABC.
77 . Điểm Nagel
Cho tam giác ABC . Các đường tròn bàng tiếp xúc với 3 cạnh
tương ứng đỉnh lần lượt tại D , E , F thì ta có 3 đường thẳng
AD , BE , CF đồng quy tại điểm Nagel của tam giác.
78 . Điểm Brocard
□ Định nghĩa
Trong một tam giác ABC cho trước có hai điểm Brocard M , N
được xác định sao cho :
79 . Điểm Schiffler
□ Định nghĩa
Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Khi đó 4 đường thẳng Euler của các tam giác IBC , IAC , IAB , ABC
đồng quy tại điểm Schiffler của tam giác .
80 . Điểm Feuerbach
□ Bài toán
Trong một tam giác , đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của nó ,
và tiếp điểm đó được gọi là điểm Feuerbach của tam giác trên .
81 . Điểm Gergonne,điểm Nobb, đường thẳng Gergone
□ Kết quả về điểm Gergonne
Tam giác ABC với đường tròn nội tiếp ( I ) .Tiếp điểm của ( I ) trên BC , CA , AB
lần lượt là D , E , F . Khi đó AD , BE , CF đồng quy tại một điểm
gọi là điểm Gergonne của tam giác ABC .
□ Kết quả về điểm Nobb và đường thẳng Gergonne ( Vẫn với các kí hiệu trên )
Một tam giác không cân có 3 điểm Nobb tương ứng là giao điểm của các cặp
13
đường thẳng EF và CB , DE và AB , DF và AC. Và 3 điểm Nobb cùng nằm trên
một đường thẳng gọi là đường thẳng Gergonne của tam giác ABC.
Hướng dẫn
Xét cực và đối cực đối với ( I ) .
Đường đối cực của A là EF đi qua M,nên đường đối cực của M đi qua A .
Mặt khác dễ thấy đường đối cực của M đi qua D nên suy ra
đường đối cực của M là AD . Hoàn toàn tương tự ta có :
Đường đối cực của N là BE và đường đối cực của P là CF
Theo trên , do AD , BE , CF đồng quy nên sẽ có điều phải chứng minh .
• Nhận xét :
Kết quả trên có thể mở rộng như sau :
Cho tam giác ABC và 3 điểm D , E , F theo thứ tự thuộc BC , CA , AB
sao cho AD , BE , CF đồng quy và D , E , F khác trung điểm đoạn thẳng .
Gọi M , N , P lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng
( EF , BC ) , ( DF , CA ) , ( DE , AB ) . Khi đó M , N , P thẳng hàng .
Ta cũng có thể chứng minh kết quả trên bằng định lí Menelaus nhưng thậm chí
bài toán mở rộng này cũng chỉ là trường hợp đặc biệt của định lí Desargues .
82 . Điểm Konista
□ Định nghĩa
Cho tam giác ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Gọi O
1
, O
2
, O
3
là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC , AOC , AOB . Khi đó
ba đường thẳng AO
1
, BO
2
và CO
3
đồng quy tại điểm Konista của tam giác.
83 . Điểm Feuerbach
□ Bài toán
Trong một tam giác ,đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của nó,
và tiếp điểm đó được gọi là điểm Feuerbach của tam giác trên .
14
§ PHẦN HAI
Bài 1 ( KỲ THI LẦN II – 1963 Chung khảo )
Tính cạnh a và diện tích s của một tam giác biết hai góc A và B và nửa chu vi p .
Tính S với p 23 , 6 ; A 52° 42’ ; B 46° 16’ .
Bài 2 ( KỲ THI LẦN IV – 1965 )
Cho một vòng tròn lớn với hai dây cung song song AB và CD .
Gọi M là một điểm chạy trên vòng tròn ấy.
Đường thẳng M D cắt đường thẳng AB tại Q.
1 . Khi M tiến tới D hay tới C thì tâm vòng tròn MCQ tiến tới đâu ?
Tìm quỹ tích của tâm vòng tròn MCQ.
2. Người ta lấy một điếm K cố định ngồi mặt phẳng của hình vẽ.
Ta phải chọn điếm E như thế nào ( trên dường cong nào ) để cho quỹ tích
của tâm mặt cầu MCQE trùng với quỹ tích cùa tám vòng tròn MCQ ?
Bài 3 ( KỲ THI LẦN V – 1966 )
Trong một mặt phẳng P người ta cho hai đường thẳng cố định a , b
và hai đường thẳng biến thiên x , y ; trong khi biến thiên thì x và y
ln ln song song với nhau và theo thứ tự đi qua hai điểm A , B
nằm trên đường thẳng a ; x cắt b ở C ; y cắt b ở D.
Qua giao điểm M của AB và DC , người ta dựng đường thẳng
song song với x , nó cắt a ở L và b ở N .
1. Có nhận xét gì về ba điểm L , M , N ? Chứng minh nhận xét đó. Tìm quỹ tích của M.
2.Cho một mặt phẳng thứ hai P’ khơng song song với P và một điểm O ở ngồi P và P’.
Các mặt phẳng Oa , Ob , Ox , Oy có thể hoặc cắt P’ hoặc, song song với P’
trong trường hợp chúng cắt P’ thì các giao tuyến với P’ sẽ theo thứ tự gọi là a’, b’, x’, y’.
Như vậy trong mặt phẳng P’ sẽ có một bài tốn quỹ tích đối với giao điểm M’
của đường thẳng M với mặt phẳng P’ Hãy phát biểu bài tốn quỹ tích đó.
3. Tìm xem x và y phải ở vị tri nào thì x’, y’ song song với nhau,
ở vị trí nào thì A’D’ và B’C’ song với nhau.
Bài 4 ( KỲ THI LẦN VI – 1967 )
Cho một đường tròn ( L ) tâm O nội tiếp trong hình thoi ABCD.
Một tiếp tuyến biến thiên của đuờng tròn ( L ) cắt các đường thẳng AB , AD , BC , CD
theo thứ tự ở các điểm M , N , P , Q .
1. Hãy đốn nhận hệ thức giữa hai đoạn thẳng BM và DN; chứng minh hệ thức đó.
Trên hình vẽ còn những hệ thức nào đáng chú ý ? ( càng phát hiện được nhiêu càng tốt ).
2. Bốn đường tròn cùng đi qua O và theo thứ tự có tám là A , B , C , D cắt bốn đoạn thẳng
AB , BC , CD , DA ở tám điểm Hãy xét xem hình tám cạnh lồi nhận tám điểm đó làm đỉnh
có tính chất gì đặc biệt , chứng minh tính chất đó. Áp dụng vào việc dựng hình tám cạnh đều.
3. Hãy phát biểu một bài tốn trong khơng gian bằng cách cho hình vẽ của bài tốn trên đây
quay quanh trục AC
Bài 5 ( KỲ THI LẦN VII – 1968 )
Cho một đường tròn cố định O bán kính r. Một tam giác biến thiên ABC ln ln ngoại tiếp
đường tròn đó và có đỉnh A chạy trên một đường thẳng cố định x , còn hai đỉnh B và C
thì chạy trên một đường thẳng cơ' định y song song với x .
1. Cho trước đường tròn O , hai đường thẳng x , y và góc A , hãy dựng tam giác ABC.
Biện luận.
2. Tính các góc B và C theo góc A , bán kính r và khoảng cách h giữa hai đường thẳng x , y.
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG KỲ THI VÔ ĐỊCH TOÁN QUỐC GIA
15
Biện luận. Áp dụng bằng số : r ≈ 1 , 35 ; h ≈ 3 , 24 ; A ≈ 51°24’.
3. Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai đoạn thẳng IB và IC
( I là tiếp điểm của đường tròn O với đường thẳng y ) ?
Có cách gì để đoán nhận ra mối quan hệ đó mà chưa cần chứng minh gì cả ?
Hãy chứng minh điều đoán nhận đó.
Từ hộ thức giữa IB và IC hãy cô' gắng phát hiện ra những hệ thức
đáng chú ý khác ( phát hiện được càng nhíèu càng tốt ).
Bài 6 ( KỲ THI LẦN VIII – 1969 )
Cho hai vòng tròn tâm O, O’ bán kính R , R’ cắt nhau ở P và Q và mọi đường thẳng D
biến thiên luôn bị hai vòng tròn nói trên cắt thành một hàng điểm điêu hòa.
1. Từ hai tâm O và O’ người ta hạ các đường vuông góc OH và O’H’ xuống đường thẳng D.
Hãy dừng suy luận logic mà đoán nhận quỹ tích của H và H’
( càng đoán nhận được chính xác càng tốt ) và định giới hạn rõ ràng của quỹ tích.
Trong trường hợp nào thì quỹ tích đó đi qua O và O’ ?
3. Với giả thiết rằng :
hãy xác định trên đường
thẳng D một điểm M sao cho tổng các đoạn MO và MO’ là ngắn nhất so với mọi
con đường khác nối O , O’ và có đi qua một điểm trên D.
Chứng minh rằng đường đi ngắn nhất đó là không đổi khi D biến thiên.
Phải đổi câu hỏi như thế nào để :
?
Bài 7 ( KỲ THI LẦN IX – 1970 )
1. Cho một vòng tròn cô' định tâm O bán kính R , với hai đường kính vuông góc
cô' định AB, CD và tiếp tuyến At tại điểm A . Một điểm M chạy trên vòng tròn đó ,
các đường thẳng BM và DM cắt At theo thứ tự ở P và Q .
1. Khi M chạy trên vòng tròn thì P và Q luôn luôn có môi liên hệ sau đây :
khoảng cách giữa haỉ điểm P, Q là tỉ lệ thứ tư của ba đoạn AP , AQ và đường kính.
Sau đó tìm cách diễn tả mối liên hệ này bằng một công thức đơn giản nhất.
2. Dùng thước và compa dựng điểm M sao cho BQ và DP song song với nhau.
3. Hai đường thẳng OP và BQ cắt nhau ở N. Dự đoán quỹ tích của N rồi chứng minh.
4. BP và BQ cắt tiếp tuyến ở điểm D theo thứ tự ở P’ và Q’.
Có nhận xét gì vê mối quan hệ giữa P’ và Q’ Chứng minh nhận xét đó.
DP và DQ cắt đường thảng BC ở P” và Q”. Có nhận xét gì về mốì quan hệ giữa P” và Q”.
Chứng minh nhận xét đó .
Bài 8 ( KỲ THI LẦN XI – 1972 )
Cho một tam giác ABC và một đường thẳng d đi qua đỉnh A và không song song với BC.
1. Người ta dựng hình bình hành CEFG sao cho các đỉnh E , F , G theo thứ tự nằm trên
các đường thẳng d , AB , BC và sao cho CE song song với trung tuyến AI của tam giác ABC,
sau đó lại dựng hình bình hành EAKH sao cho các đỉnh K , H theo thứ tự nằm trên
16
các đường thẳng AB và BC. Hai đường thẳng BC và d cắt nhau ở điểm U.
Người ta lấy điểm V trên đường thẳng d đối xứng với U qua A
Chứng minh rằng điểm V, điểm I , giao điểm của FG và KH là ba điểm thẳng hàng với nhau
và thẳng hàng với hai đỉnh B’, C’ của hình bình hành BB’CC’ nhận B, C làm hai đỉnh đốì diện
và có các cạnh theo thứ tự song song với d và AI.
2. Xét cặp đường thẳng FG và KH cắt ba đường thẳng BC , CA , AB ở ba cặp điểm
được sắp xếp như thế nào trên ba đường đó.
Từ đó có thể phát biểu nên một định lý tổng quát như thế nào ?
Nếu trong mặt phẳng ABC có cho trước một điểm O thì qua O có dựng được
hai đường thẳng FG và KH không ? Biện luận .
Bài 9 ( KỲ THI LẦN XII – 1974 )
Cho một tam giác ABC cô' định vuông góc ở A và đường cao AH. Từ chân H của đường cao
ta hạ các đường vuông góc HP và HQ theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC.
Cho một điểm M chạy trên đường thẳng PQ ; đường thẳng vuông góc với đường thẳng MH
ở M cắt đường thẳng AB ở R và cắt đường thẳng AC ở S .
1. Có những nhận xét gì về đường tròn AES và chứng minh nhận xét đó .
2. Nếu ta lấy hai vị trí M
1
và M
2
của điểm M thì ta sẽ có các vị trí tương ứng R
1
và R
2
của điểm R , S
1
và S
2
của điểm S , Chứng minh rằng tỉ số :
không đổi.
Tam giác ABC phải thỏa mãn điếu kiện gì để cho R và S chạy với những vận tốc bằng nhau
( khi M chạy trên đường thẳng PQ ) ?
3. Ta lấy điểm K đốì xứng với điểm H qua tâm đối xứng M. Đường thẳng đi qua A và vuông góc
với đường thẳng PQ cắt đường thẳng RS ở điểm D. Chứng minh rằng :
Hãy phát hiện thêm một đẳng thức tương tự.
Bài 10 ( KỲ THI LẦN XIV – 1976 )
Chứng minh rằng với bất kỳ điểm M nào nằm trong tam giác ABC ta đều có:
trong đó d
a
, d
b
, d
c
là khoảng cách từ M lần lượt đến
các cạnh BC , CA , AB ; a , b , c là độ dài ba cạnh và S là diện tích
tam giác đã cho. Hãy mở rộng (1) cho trường hợp tứ diện trong không gian .
Bài 11 ( KỲ THI LẦN XXI – 1978 )
Ba cửa hàng lương thực A , B , C tạo thành tam giác ABC , trong đó :
AB = 0,75 AC , thưởng xuyên cung cấp mì sợi cho nhân dân trong từng khu vực
lần lượt theo tỉ lệ : 5 : 4 : 3 . Phải đặt địa điểm cán mì sợi M ở đâu để tiết kiệm
chi phí chuyên chở biết rằng chi phí đó tỉ lệ với số lượng hàng và đường đi.
Bài 12 ( KỲ THI LẦN XXI – 1978 )
Một con sông đào khúc đầu bề rộng a mét đến một chỗ rẽ theo góc vuông rộng
khúc sau là b mét. Tìm chiều dài lớn nhất của một bè gỗ hình chữ nhật mà chiều ngang
là c mét để khi bè trôi từ khúc đầu sang khúc sau đến chỗ rẽ không bị tắc.
Bài 13 ( KỲ THI LẦN XXII – 1979 )
Hãy chia một mảnh vườn hình tam giác ABC có ba cạnh không bằng nhau bằng đoạn thẳng
AM sao cho hai tam giác ABM và ACM có tỉ số diện tích bằng tỉ số chu vi tương ứng.
Bài 14 ( KỲ THI LẦN XXIII – 1980 )
Cho P là một điểm nằm trong tam giác A
1
A
2
A3. Đường thẳng PA
i
cắt cạnh đối diện
tại điểm B
i
. Gọi C
i
là trung điểm của A
i
B
i
và D
i
là trung điểm của PB
i
.
Hãy so sánh diện tích của hai tam giác C
1
C2C
3
và D
1
D
2
D
3
.
Bài 15 ( KỲ THI LẦN XXIV – 1981 )
Chứng minh rằng một tam giác là vuông khi và chỉ khi tổng của sin ba góc
17
bằng tổng của cosin ba góc đó cộng với 1.
Bài 16 ( KỲ THI LẦN XXIV – 1981 )
Cho hai điểm M và N ở ngoài một mặt phẳng R .
Xác định vị trí của điểm A trên R sao cho tỉ số :
là cực tiểu .
Bài 17 ( KỲ THI LẦN XXIV – 1981 )
Cho hai đường tròn tâm O
1
và O
2
bán kính khác nhau , tiếp xúc ngoài tại A và một điếm M
trong đường tròn tâm O
2
không nằm trên đường thẳng O
1
O
2
. Tìm một đường thẳng d đi qua M
sao cho đường tròn ABC tiếp xúc với đường thẳng O
1
O
2
, B là một giao điểm nào đó của d với
đường tròn tâm O
1
, và C là một giao điểm nào đó của d với đường tròn tâm O
2
.
Bài 18 ( KỲ THI LẦN XX – 1982 )
Cho tam giác bất kỳ ABC. Trên ba cạnh của nó dựng ba tam giác đều , sao cho mỗi tam giác
đều đó nằm khác phía với tam giác ABC đối với cạnh chung . Gọi là tam giác có các đỉnh
là tâm của tam giác đều đó. Tương tự , trên ba cạnh của tam giác A BC dựng ba tam giác đều
sao cho mỗi tam giác đều nằm cùng phía với tam giác ABC đối với cạnh chung.
Gọi ’ là tam giác có các đỉnh là tâm của các tam giác đều vừa dựng .
Chứng minh rằng diện tích Δ ABC bằng hiệu diện tích tam giác và diện tích tam giác ’ .
Bài 19 ( KỲ THI LẦN XXI – 1983 )
Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ nằm trong tam giác đó. Từ M hạ những đường
vuông góc MA
1
, MB
1
, MC
1
lần lượt đến các cạnh BC , CA , AB .
Tìm quỹ tích những điểm M sao cho số đo diện tích của tam giác A
1
B
1
C
1
bằng số k cho trước . Biện luận.
Bài 20 ( KỲ THI LẦN XXV – 1987 )
Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không cùng đi qua một điểm.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm là giao của hai và chỉ hai trong số n đường thẳng đó.
Bài 21 ( KỲ THI LẦN XXVI – 1988 )
Giả sử có tam giác ABC ba góc nhọn để tanA , tanB , tanC là ba nghiệm của phương trình :
x
3
+ px
2
+ qx + p = 0 ( q 1 ) . Chứng minh rằng
và q > 1 .
Bài 22 ( KỲ THI LẦN XXVII – 1989 )
Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 , các chữ A , B , C , D
xếp theo thứ tự đó trên hình vuông . Đoạn thẳng AB được dời chỗ liên tục để đến trùng với
đoạn thẳng CD sao cho A trùng với C và B trùng với D . Gọi S là diện tích của hình do
đoạn thẳng AB quét ra trong khi dời chỗ. Chứng minh rằng có thể tìm được một cách dời chỗ
sao cho : S < 5/6 ( nếu một diện tích nào đó được quét hai lần thì cũng chỉ tính một lần ) .
Bài 23 ( KỲ THI LẦN XXVIII – 1990 )
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M nào đó. Gọi A’ , B’, C’
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đường thẳng : BC , CA , AB .
Tìm quỹ tích những điểm M sao cho : MA . MA’ = MB . MB’ = MC . MC’
Bài 24 ( KỲ THI LẦN XXIX – 1991 )
Cho tam giác ABC với trọng tâm G và nội tiêp trong đường tròn bán kính R .
Các đường trung tuyến xuất phát từ A , B , C kéo dài cắt đường tròn lần lượt tại D , E , F.
Chứng minh rằng :
Bài 25 ( ĐỀ THI NĂM 1990 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M nào đó. Gọi A', B', C'
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đường thẳng BC, CA, AB.
Tìm quỹ tích những điểm M sao cho MA . MA' = MB . MB' = MC . MC'.
Bài 26 ( ĐỀ THI NĂM 1991, BẢNG A )
Cho tam giác ABC vói trọng tâm G và nội tiếp trong đường tròn bán kính R.
18
Các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, c kéo dài cắt đường tròn lần lượt
tại D, E, F. Chứng minh rằng :
Bài 27 ( ĐỀ THI NĂM 1992 , BẢNG A )
Cho hình chữ nhật có góc giữa hai đường chéo không lớn hơn 45°.
Hình quay quanh tâm của nó một góc X, với 0° < X < 360°, để thành hình chữ nhật .
Hãy xác định góc X để diện tích phần chung của MC và là nhỏ nhất.
Bài 28 ( ĐỀ THI NĂM 1992 , BẢNG B )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : (1 + cos
2
A)(l + cos
2
B)(l + cos
2
C)
trong đó A , B , c là ba góc của một tam giác.
Bài 29 ( ĐỀ THI NĂM 1993 , BẢNG A )
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD với các cạnh đối không song song.
Tìm quỹ tích tâm của các hình bình hành MNPQ mà các đỉnh M , N, P , Q
theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA nhưng không trùng với đỉnh nào của tứ giác.
Bài 30 ( ĐỂ THI NĂM 1993 , BẢNG B )
Tính giá trị lớn nhất của diện tích các ngũ giác phẳng lồi ABCDE mà AB + BC = a > 0
cho trước và mỗi cạnh song song với một đường chéo.
Bài 31 ( ĐỂ THI NĂM 1994 , BẢNG A )
Xét tam giác ABC. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC ,
B' là điểm đối xứng với B qua đường thẳng CA ; C' là điểm đối xứng với C
qua đường thẳng AB. Hãy tìm điều kiện cần và đủ về dạng của tam giác ABC
để tam giác A'B'C' là tam giác đều.
Bài 31 ( ĐỀ THI NĂM 1994 , BẢNG B )
Cho đường tròn tâm Q. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn bàng tiếp
của các tam giác nội tiếp đường tròn tâm Q đó.
Bài 32 ( ĐỀ THI NĂM 1995 , BẢNG A )
Xét tam giác không đều ABC với các đường cao AD, BE, CF.
Lấy các điểm A', B', C' sao cho AA' = k.AD , BB' = k.BE , CC' = k.CF ,
trong đó k là số thực khác không .
1. Với
chứng minh rằng tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác
ABC và hãy tính tỉ số đồng dạng theo các góc của tam giác ABC.
2. Tìm tất cả các giá trị k 0 sao cho với mọi tam giác không đều ABC
ta luôn có tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC.
Bài 33 ( ĐỀ THI NĂM 1995 , BẢNG B )
Cho đường tròn tâm I bán kính R và một điểm A cố định trên đường tròn.
Xét các dây cung BC của đường tròn thoả mãn điều kiện
AB
2
+ AC
2
BC
2
= k , với k : là số cho trước.
Tìm quỹ tích các trung điểm M của BC ( biện luận hình dạng quỹ tích theo k và R ) .
Bài 34 ( ĐỀ THI NĂM 1996 , BẢNG A )
Xét các tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng 1 và số đo góc BAC bằng α
Cho trước
Hỏi tam giác nào có khoảng cách từ tâm đường tròn
19
nội tiếp đến trọng tâm bé nhất ? Hãy tính khoảng cách bé nhất đó theo α .
Ký hiệu f ( α ) là khoảng cách bé nhất nói trên .
Hỏi khi α thay đổi trong khoảng
thì hàm số f ( α ) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị nào của α .
Bài 35 ( ĐỀ THI NĂM 1997 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P nằm trong
đường tròn ( OP = d < R ) . Trong các tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn
nói trên sao cho các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại P , hãy xác định
tứ giác có chu vi lớn nhất và tứ giác có cha vi nhỏ nhất. Tính các chu vi đó theo R và d .
Bài 36 ( ĐẾ THI NĂM 1999 , BẢNG A )
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cung BC , CA , AB không chứa các điểm A , B , C
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Các cạnh BC, CA và AB cắt các cặp đoạn thẳng
C’A’ A’B’ ; A’B’, B’C’ và B’C’,C’A’ lần lượt ở các cặp điểm M , N , P , Q và R , S.
Chứng minh rằng : MN = PQ = RS khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 37 ( ĐỂ THI NĂM 1999 , BẢNG B )
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định vị trí của điểm P
không thuộc đường tròn và nằm trong mặt phẳng ( ABC ) , để các đường thẳng
PA , PB, PC cắt lại đường tròn lần lượt ở A’ B’,C’ sao cho tam giác A’B’C’
là vuông cân với đáy B’C’.
Bài 38 ( ĐỂ THI NĂM 2000 , BẢNG A )
Trên mặt phẳng cho trước đường tròn (O
1
) tâm O
1
bán kính r
1
và đường tròn ( O
2
)
tâm O
2
bán kính r
2
. Trên đường tròn (O
1
) lấy một điểm M
1
và trên đường tròn ( O
2
)
lấy một điểm M
2
sao cho đường thẳng O
1
M
1
cắt đường thẳng O
2
M
2
tại một điểm Q.
Cho M
1
chuyển động trên đường tròn (O
1
), M
2
chuyển động trên đường tròn ( O
2
)
cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau.
1.Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng M
1
M
2
2. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M
1
QM
2
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 39 ( ĐỀ THI NĂM 2001 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng cho đường tròn (O
1
) tâm O
1
và đường tròn ( O
2
) tâm O
2
cắt nhau
tại hai điểm A , B với P
1
P
2
là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P
1
(O
1
)
P
2
(O
2
)) . Gọi M
1
và M
2
tương ứng là hình chiếu vuông góc của P
1
và P
2
trên đường thẳng O
1
O
2
. Đường thẳng AM
1
cắt đường tròn (O
1
) tại điểm thứ hai N
1
,
đường thẳng AM
2
cắt đường tròn (O
2
) tại điểm thứ hai N
2
Hãy chứng minh ba điểm
N
1
, B, N
2
thẳng hàng .
Bài 40 ( ĐỀ THI NĂM 2002 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC cân tại A. Xét đường tròn ( O ) thay đổi đi qua A ,
không tiếp xúc vói các đường thẳng AB , AC và có tâm O nằm trên đường thẳng BC.
Gọi M , N tương ứng là giao điểm thứ hai của đưòng tròn ( O ) với các đường thẳng
AB , AC . Hãy tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN.
Bài 41 ( ĐỀ THI NĂM 2002 , BẢNG B )
Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định ( O, R
1
) tâm O bán kính R
1
và ( O, R
2
)
tâm O bán kính R
2
với R
1
> R
2
. Một hình thang ABCD (AB // CD ) thay đổi sao cho
bốn đỉnh A , B , C, D nằm trên đường tròn ( O , R
1
) và giao điểm của hai đường chéo
AC , BD nằm trên đường tròn ( O , R
2
) .
Hãy tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD và BC .
Bài 42 ( ĐỀ THI NĂM 2003 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định ( O
1
) tâm O
1
bán kính R
1
và ( O
2
)
20
tâm O
2
bán kính R
2
tiếp xúc với nhau tại điểm M với R
2
> R
1
.
Xét điểm A nằm trên đường tròn ( O
2
) sao cho ba điểm O
1
, O
2
, A không thẳng hàng.
Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn ( O
1
) ( B và C là các tiếp điểm ).
Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn ( O
2
) tương ứng tại E và F.
Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O
2
).
Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động
trên đường tròn ( O
2
) sao cho ba điểm O
1
, O
2
, A không thẳng hàng.
Bài 43 ( ĐỀ THI NĂM 2003 , BẢNG B )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên đường thẳng AC
lấy các điểm M , N sao cho
. Gọi D là hình chiếu vuông góc của M
trên đường thẳng BC,E là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.
1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên đường tròn tâm O’
ngoại tiếp tam giác BED.
2. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng AN đối xứng với B
qua trung điểm của đoạn thẳng OO’ .
Bài 44 ( ĐỀ THI NĂM 2004 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng , cho tam giác ABC. Gọi D là giao điểm của cạnh AB
và đường phân giác trong của
. Xét một đường tròn ( O )
đi qua hai điểm C , D và không tiếp xúc với các đường thẳng BC, CA .
Đường tròn này cắt lại các đường thẳng BC và CA tương ứng tại M và N.
1. Chứng minh rằng có một đường tròn ( S ) tiếp xúc với đường thẳng
DM tại M và tiếp xúc với đường thẳng DN tại N.
2. Đường tròn ( S ) cắt lại các đường thẳng BC và CA tương ứng tại P và Q.
Chứng minh rằng các đoạn thẳng MP và NQ có độ dài không đổi ,
khi đường tròn ( O ) thay đổi.
Bài 45 ( ĐỂ THI NĂM 2004 , BẢNG B )
Trong mặt phẳng , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) và có trực tâm H .
Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn ( O ) , lấy một điểm P sao cho P
không trùng với B và C. Lấy điểm D sao cho :
và gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc
của K trên các đường thẳng BC và AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF
đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài 46 ( ĐỀ THI NĂM 2005 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng , cho đường tròn ( O ) cố định tâm O bán kính R .
Cho A và B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn ( O ) sao cho
ba điểm A , B , O không thẳng hàng.
Xét một điểm C nằm trên đường tròn ( O ) , C không trùng với A và B .
Dựng đường tròn ( O
1
) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C .
dựng đường tròn ( O
2
) đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C .
Hai đường tròn ( O
1
) và ( O
2
) cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C.
Chứng minh rằng :
1. CD ≤ R
2. Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định , khi điểm C di động
trên đường tròn ( O ) sao cho C không trùng với A và B .
Bài 47 ( ĐỂ THI NĂM 2005 , BẢNG B )
Trong mặt phẳng , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I .
Gọi M , N và P lần lượt là tâm của đường tròn bàng tiếp góc A ,
đường tròn bàng tiếp góc B và đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác đó.
21
Gọi O
1
, O
2
và O
3
tương ứng là tâm của các đường tròn đi qua ba điểm
( I , N , P ) , ( I , P , M ) và ( I , M , N ) . Chứng minh rằng :
1. Các đường tròn ( O
1
) , ( O
2
) và ( O
3
) có bán kính bằng nhau .
2. Các đường thẳng MO
1
, NO
2
và PO
3
cắt nhau tại một điểm.
Bài 48 ( ĐỀ THI NĂM 2006 , BẢNG A )
Cho tứ giác lồi ABCD. Xét một điểm M di động trên đường thẳng AB sao cho M
không trùng với A và B. Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đường tròn
đi qua ba điểm ( M , A , C) và đường tròn đi qua ba điểm ( M , B , D ).
Chứng minh rằng :
1. Điểm N di động trên một đường tròn cố định .
2. Đường thẳng MN luôn di qua một điểm cố định.
Bài 49 ( ĐỀ THI NĂM 2006 , BẢNG B )
Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn. Xét một điểm M di động
trên đường thẳng CD sao cho M không trùng với c và với D.
Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đường tròn đi qua ba điểm ( B , C , M )
và đường tròn đi qua ba điểm ( D, A , M ). Chứng minh rằng :
1. Điểm N di động trên một đường tròn cố định ;
2. Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 50 ( ĐỀ THI NĂM 2006 , BẢNG B )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đưòng tròn tâm O và có BC > AB > AC.
Đường thẳng OA cắt đường thẳng BC tại điểm A1 ; đường thẳng OB cắt
đường thẳng CA tại điểm B
2
. Gọi B
1
, C
1
, C
2
và A
2
tương ứng là tâm của
các đường tròn đi qua ba điểm (A , A
1
, B ) , ( A , A
1
, C ) , ( B , B
2
, C)
và ( B , B
2
, A ). Chứng minh rằng :
1. Tam giác A
1
B
1
C
1
đồng dạng với tam giác A
2
B
2
C
2
.
2. Tam giác A
1
B
1
C
1
đồng dạng với tam giác A
2
B
2
C
2
khi và chỉ khi góc C của tam giác ABC bằng 60°.
Bài 51 ( Đề thi năm 2007 )
Cho Δ ABC có hai đỉnh B , C cố định và đỉnh A thay đổi .
Gọi H , G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của Δ ABC .
Tìm quỹ tích điểm A , biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC .
Bài 52 ( Đề thi năm 2007 )
Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC và nội tiếp đường tròn ( O ) tâm O .
Gọi P là một điểm thay đổi trên đường thẳng BC và nằm ngoài đoạn BC sao cho PA
Không là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) . Đường tròn đường kính PD cắt ( O ) tại E
( E khác D ) . Gọi M là giao điểm của BC với DE , N là giao điểm khác A của PA
với ( O ) . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định .
Bài 53 ( Đề thi năm 2008 )
Cho Δ ABC có góc
là góc nhọn , trong đó E là trung điểm của cạnh AB .
Trên tia EC lấy điểm M sao cho
. Ký hiệu α là số đo của góc
Tính tỷ số MC / AB theo α .
□ Bài toán tổng quát
Cho Δ ABC . Gọi E là trung điểm của cạnh AB . Trên tia EC lấy điểm M
sao cho
. Ký hiệu α là số đo của góc
Tính tỷ số MC / AB theo α .
Bài 54 ( Đề thi năm 2008 )
Cho Δ ABC , trung tuyến AD . Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD .
Xét điểm M nằm trên d . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của MB và MC .
Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB tại P ,
22
đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q .
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi
Qua một điểm cố định , khi điểm M di động trên đường thẳng d
Bài 55 ( Đề thi năm 2009 )
Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định A , B ( A ≠ B ) .
Xét một điểm C di động trong mặt phẳng sao cho
,
Trong đó α là một góc cho trước ( 0
0
< α < 180
0
) .
Đường tròn tâm I nội tiếp Δ ABC tiếp xúc với các cạnh AB , BC và CA
tương ứng tại D , E và F . Các đường thẳng AI và BI lần lượt cắt đường thẳng EF
tại M và N . Chứng minh rằng :
1. Đoạn thẳng MN có độ dài không đổi .
2. Đường tròn ngoại tiếp Δ DMN luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 56 ( Đề thi năm 2011 )
Trong mặt phẳng , cho đường tròn ( O ) đường kính AB . Xét một điểm P di động
Trên tiếp tuyến tại B của ( O ) sao cho P không trùng với B .
Đường thẳng PA cắt ( O ) tại điểm thứ hai C . Gọi D là điểm đối xứng với C qua O
Đường thẳng PD cắt ( O ) tại điểm thứ hai E .
1. Chứng minh rằng các đường thẳng AE , BC và PO cùng đi qua một điểm .
Gọi điểm đó là M .
2. Hãy xác định vị trí của điểm P sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất .
Tính giá trị lớn nhất đó theo bán kính của đường tròn ( O ) .
Bài 57 ( Đề thi năm 2011 )
Cho ΔABC không cân tại A và có các góc
là các góc nhọn .
Xét một điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B , C
và hình chiếu vuông góc của A trên BC . Đường thẳng d vuông góc với
BC tại D cắt các đường thẳng AB và AC tương ứng tại E và F .
Gọi M , N và P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các Δ AEF , BDE và CDF .
Chứng minh rằng bốn điểm A , M , N , P cùng nằm trên một đường tròn khi
và chỉ khi đường thẳng d đi qua tâm đường tròn nội tiếp ΔABC .
Bài 58 ( Đề thi năm 2012 )
Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp cạnh đối
không song song . Gọi M , N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD
AD và BC . Gọi P , Q , S , T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các
cặp góc
và
,
và
,
và
,
và
.
Giả sử bốn điểm P , Q , S , T đôi một phân biệt .
1. Chứng minh rằng bốn điểm P , Q , S ,T cùng nằm trên một đường tròn .
Gọi I là tâm đường tròn đó .
2. Gọi E là giao điểm của các đường chéo AC và BD . Chứng minh rằng ba điểm E , O , I
thẳng hàng
Bài 59
Bốn điểm I
1
, I
2
, I
3
, I
4
thẳng hàng trên đường thẳng ( d )
Ta gọi bốn đường tròn ( I
1
) , ( I
2
) , ( I
3
) , ( I
4
) là bộ đường tròn (
1
) .
Bốn điểm I
5
, I
6
, I
7
, I
8
thẳng hàng trên đường thẳng ( l )
Ta gọi bốn đường tròn ( I
5
) , ( I
6
) , ( I
7
) , ( I
8
) là bộ đường tròn (
2
)
Đồng thời ( d ) vuông góc với ( l ) .
