Tài liệu ôn thi tốt nghiệp PTTH môn Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.8 MB, 63 trang )
Biên son:
Trang : 0
Biên son:
Trang : 1
Biên son:
Trang : 2
Nhng iu hc sinh cn lu ý khi làm bài thi TN THPT môn toán 3
Vn 1: Hình thc trình bày – k nng thc hin 3
Vn 2: Ni dung c th 5
Kho sát hàm s và bài toán liên quan 12
Vn 1: Kho sát hàm s 12
Vn 2: Phng trình tip tuyn 16
Vn 3: Cc tr ca hàm s 19
Vn 4: Bin lun s nghim ca phng trình bng th 21
Vn 5: Bài toán v cp im i xng 23
Vn 6: th hàm cha giá tr tuyt i 24
Bài tp tng hp 26
Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s 30
Hàm s ly th a, hàm s m và hàm s lôgarit 33
Vn 1: Phng trình m 34
Vn 2: Phng trình lôgarit 35
Vn 3: Bt phng trình m 37
Vn 4: Bt phng trình lôgarit 38
Bài tp tng hp 39
Tích phân và ng dng 40
Vn 1: Tính tích phân 40
Vn 2: Din tích hình ph!ng - Th tích khi tròn xoay 42
S phc 43
Khi a din –Mt nón, mt tr, mt cu 45
Phng pháp ta trong không gian 49
Mt s tham kho 54
Biên son:
Trang : 3
!"
!"!"
!"
# $% $&&&'&(& "
# $% $&&&'&(& "# $% $&&&'&(& "
# $% $&&&'&(& "
1. Li 1:
Vit ch xu, cu th.
Trình bày bài ln xn, không mch lc, ý tng không rõ ràng gây khó hiu
cho giám kho.
Cách khc phc:
C g"ng vit bài rõ ràng, c#n thn.
Phân tích bài, tìm cách gii ngoài nháp, s"p xp các bc thc hin, tính
toán trc các yu t cn thit.
Trình bày thành t ng bc rõ ràng, riêng bit t ng ni dung, v$ hình minh
ha nu cn.
Làm ng"n gn, chính xác.
2. Li 2:
Không c k bài, nhm ln các gi thit
Không nm y các yêu cu ca bài, cha làm ht câu, thiu kt lun
Thiu t các iu kin cn thit hoc quên so vi iu kin sau khi gii
Cách khc phc:
c c#n thn, xác nh chính xác gi thit ca bài. Chú ý t các iu
kin cn thit
Thc hin y các yêu cu, nên làm phn kt lun cho t ng câu có th
kim tra l%i ã thc hin ht các yêu cu ca câu hi cha ? ã so nghim
vi các iu kin t ra cha ?
Biên son:
Trang : 4
3. Li 3:
Chép các d kin t bài ra bài làm b sai.
Tính sai mt kt qu và s dng kt qu y làm tip dn ti sai hàng lot tuy
rng cách làm úng.
Cách khc phc:
Hãy ch"c ch"n rng các d kin c chép ra t bài là chính xác trc
khi s& dng
Kim tra kt qu các bc quan trng khi kt qu ó c s& dng cho
nhiu phn khác ca bài làm
4. Li 4:
Làm quá sát câu sau vi câu trc.
Gch b và xóa mt cách cu th gây mt cm tình ca giám kho, vit
chen phn sa vi phn gch b dn ti d b chm sót.
Không ánh s th t câu khi làm bài.
B trng nhiu ch! trên giy thi, làm mt câu kéo dài nhiu n"i trong bài
làm dn ti d b chm sai, chm sót và cng im thiu.
Cách khc phc:
Không nht thit phi làm theo th t câu trong bài, câu nào bit làm thì
làm trc nhng nên ghi rõ bài my, câu my khi làm.
Không dùng bút xóa hay g%ch b c#u th. Dùng thc g%ch chéo vào phn
cn b và vit l%i phn úng vào phía di. Không vit k bên hay ghi chèn
vào phn ã g%ch b
Nên nháp trc cách gii d oán trc các khó khn và làm trn v'n
t ng câu, tránh b trng giy thi và làm nhiu phn ca câu ( nhiu ni
trong bài
5. Li 5:
Biên son:
Trang : 5
S dng k#ý hiu tùy tin, không gii thiu.
Làm bài quá vn tt, không gii thích, thiu lp lun.
Làm bài quá dài dòng, vit c nhng bin $i lt vt vào bài dn ti bài
làm b ri và phc tp.
Chn các ph"ng pháp cu k%, nhiu k xo trong khi có th chn mt cách
làm "n gin
Cách khc phc:
Hãy gii thiu k)ý hiu trc khi s& dng nu ó là mt k)ý hiu không qui
c hoc do hc sinh t t ra (nht là VTCP và VTPT), ng th*i cng
không nên l%m dng ký hiu mà làm cho bài tr( nên ti ngh+a
Tránh các phng pháp gii cu k,, phng pháp tt nht là phng pháp
n gin mà v-n mang l%i kt qu, càng n gin càng ít sai sót và hiu qu.
Tuy nhiên không làm quá v"n t"t mà thiu s gii thích và lp lun cn thit
Các bin i lt vt nh qui ng m-u s, chuyn v rút gn có th làm
ngoài nháp và ghi kt qu vào bài vì th*ng các bin i này không c
tính im trong áp án.
Hãy tn dng máy tính cho vic gii phng trình và h phng trình.
ng dng o hàm kho sát hàm s và v th
A. Bài toán xét các tính cht ca hàm s:
Chú ý các bài toán:
Bài toán 1: Xét tính ng bin, nghch bin ca hàm s
Bài toán 2: Tìm các im cc tr ca hàm s (xem l%i iu kin cn và iu
kin hàm s có cc tr)
Biên son:
Trang : 6
B. Bài toán kho sát và v th hàm s:
Phi làm y các phn, m.i phn trên mt dòng riêng bit:
+ Tp xác nh
+ %o hàm, xét du %o hàm, lp bng bin thiên ( ghi y giá tr t%i các
u mi tên)
+ Ghi rõ :
* khong tng gim * các cc tr (nu có)
* các gii h%n khi
,
x x
→ +∞ → −∞
+ V$ th: Hình v$ nên thc hin bng bút mc, thay vì bng bút chì vì
bút chì không c xem là bút làm bài chính thc. Có th v$ bút chì
trc và l%i bng bút mc.
Khi thc hin v$ hàm s có cha tr tuyt i t mt hàm s ã v$ thì nên có
phn lp lun v s liên h gia chúng t ó suy ra cách v$
Chú ý:
3 2
y ax bx cx d
= + + +
,
4 2
y ax bx c
= + +
,
ax b
y
cx d
+
=
+
.
Hàm s ly tha – Hàm s m – Hàm s logarit
Hc sinh cn xem l%i:
Các tính cht ca hàm s m, %o hàm hàm s m, d%ng th (c
s >1 hay c s <1)
Các tính cht và phép bin i ly th a vi s m nguyên, hu t/, thc
Các tính cht ca hàm s logarit, %o hàm hàm s logarit, d%ng th
( c s >1 hay c s <1)
Các tính cht và phép bin i logarit
Hc sinh cn thuc lòng các d%ng phng trình và bt phng trình m,
logarit c bn. N"m vng các phng pháp gii:
Phng pháp 1: a v các ly th a cùng c s.
Biên son:
Trang : 7
Phng pháp 2: t #n ph ( lu ý: t = a
x
iu kink: t > 0,
t = log
a
x t ∈ R )
Phng pháp 3: Logarit hóa (hay m hóa)
Phng pháp 1: Dùng tính cht ng bin, nghch bin ca hàm s
m, logarit.
Các lu ý:
Chng trình không yêu cu gii phng trình, bt phng trình có
tham s hay có cha #n ng th*i ( c s và s m hay cha #n ng
th*i ( c s và biu thc di du logarit ( VD: log
4
(x+2).log
x
2 = 1 )
Khi gii phng trình, bt phng trình logarit: cn t iu kin cho
các biu thc logarit trc khi gii và so iu kin sau khi gii xong
(nu bin i mà cha t k thì các phép bin i phi tng ng)
Chú ý thc hin các bin i logarit sao cho không làm thay $i iu
kin xác nh ca biu thc logarit
Cn xác nh mt biu thc là dng trc khi ly logarit ca chúng
Nh i chiu bt !ng thc khi:
+ Nhân chia hai v cho s âm
+ B hoc thêm c s hai v khi c s < 1
+ B hoc ly logarit hai v khi c s < 1
Nguyên hàm, tích phân và ng dng
Cn thuc chính xác bng các công thc nguyên hàm và các tính cht ca
tích phân
Cn n"m vng các phng pháp i bin s [ d%ng t = ϕ(x) hay d%ng
x = ϕ(t)]
Cn n"m vng công thc tích phân t ng phn và cách áp dng
Lu ý:
Biên son:
Trang : 8
+ Cn phân bit rõ 2 phng pháp i bin s và cân nh"c xem nên dùng
phng pháp nào
+ Nh i cn tích phân khi dùng phng pháp i bin s
+ Trong phng pháp tích phân t ng phn cn tránh l-n ln gia nguyên
hàm và %o hàm, chú ý cách chn nguyên hàm v thích hp t dv d-n
n phép tính n gin hn
Tính din tích hình ph!ng: cn chú ý các vn sau
+ Cách tính da vào hình v$ ã có ( tính trc tip phn th cn tính hoc
cách tính gián tip)
+ Cách tính không dùng hình v$ (chú ý du tr tuyt i bên trong du
tích phân và cách x& lý du tr tuyt i tính)
Tính th tích vt th tròn xoay ( chú ý iu kin áp dng công thc):
Nhn trc Ox làm trc quay:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=
S phc
D%ng %i s, biu di0n hình hc, môun ca 1 s phc
Các s phc liên quan vi 1 s phc z: s phc liên hp, cách biu di0n, s
liên h v môun ca chúng
N"m vng các phép toán cng, tr , nhân, chia d%ng %i s và cách tính s
phc nghch o.
Cn n"m c iu kin mt s phc tr( thành s thc, s o và cách tìm
tp hp các im biu di0n ca mt s phc tha 1 iu kin cho trc
N"m c cách tính cn bc hai ca s phc d%ng %i s ( chú ý: không
dùng k)ý hiu cho s phc)
Phng trình bc hai vi h s thc, phng trình quy v bc hai vi h s
thc ( chú ý: ∆ < 0)
Biên son:
Trang : 9
Khi a din – Mt nón, mt tr, mt cu.
Hc sinh cn xem l%i toàn b các công thc tính th tích: khi chóp, khi
lng tr, khi cu, khi nón, khi tr và công thc tính din tích xung quanh
mt cu, hình tr, hình nón
Hc sinh cn xem l%i:
+ Các phng pháp chng minh song song, vuông góc. Cách xác nh và
tính góc, khong cách
+ Phng pháp tính th tích khi a din: công thc, dùng t/ s th tích,
dùng phân chia l"p ghép khi a din
+ nh tâm và bán kính mt cu ngo%i tip khi chóp và tính th tích,
din tích xung quanh m/cu
+ Chú ý: Phi v$ hình khi làm bài, phi xác nh úng các gi thit trc
khi làm c bit là gi thit v góc
+ Trong mt s tr*ng hp thun li, có th vn dng Ph"ng Pháp Ta
& có cách gii n gin hn
Phng pháp ta trong không gian
Cn hc thuc tt c các công thc áp dng chính xác, chú ý vit úng
tích vô hng hay có hng
Tính toán tht c#n thn vì d0 d-n n vic sai dây chuyn, c bit khi tính
tích có hng ca 2 vect
Tránh l-n ln gia phng trình *ng th!ng và phng trình mt ph!ng
Nên làm bài theo t ng ý mt cho rõ ràng và nên có hình v$ minh ha kèm
theo
Mt bài có th có nhiu cách gii và d-n ti nhiu áp s khác nhau nhng
v-n úng, c bit là phng trình *ng th!ng. Cn a áp s phng
Biên son:
Trang : 10
trình *ng th!ng v úng d%ng nu bài có yêu cu ( Phng trình tham
s, phng trình chính t"c).
Mt s cách gii cn kim tra l%i áp s có tha yêu cu bài hay không.
VECT: + Ta , môun, các phép toán
+ iu kin 2 vect bng nhau, cùng phng, vuông góc, ng
ph!ng ( ca 3 vect, ca 4 im )
+ Công thc tính din tích hình bình hành, tam giác và công thc
tính th tích khi hp, t din
MT CU: Phng trình mt cu, cách tìm phng trình mt cu, v trí
tng i ca mt cu và mt ph!ng.
MT PHNG:
+ Phng trình mt ph!ng, cách vip phng trình mt ph!ng.
Phng trình các mt ph!ng ta , phng trình mt ph!ng theo
o%n ch"n
+ Cách xét v trí tng i 2 mt ph!ng, tính góc ca 2 mt ph!ng,
khong cách gia 1 im và 1 mt ph!ng, gia 2 mt ph!ng song
song.
+ Tìm hình chiu ca 1 im trên 1 mt ph!ng.
NG THNG:
+ Phng trình tham s và phng trình chính t"c, cách vit
phng trình *ng th!ng.
+ Cách a phng trình *ng th!ng là giao tuyn ca 2 mt
ph!ng sang d%ng phng trình tham s hoc phng trình chính t"c
+ Cách xét v trí tng i ca 2 *ng th!ng. Cách vit phng
trình *ng th!ng vuông góc chung ca 2 *ng th!ng chéo nhau
+ Tìm hình chiu ca 1 im lên 1 *ng th!ng, hình chiu ca 1
Biên son:
Trang : 11
*ng th!ng lên 1 mt ph!ng.
KHONG CÁCH:
+ Công thc tính khong cách gia 2 im
+ Công thc tính khong cách gia 1 im và 1 mp
+ Khong cách gia 1 im M và 1 *ng th!ng ∆
Cách làm: tìm hình chiu H ca M trên ∆ và tính dài MH.
+ Khong cách gia 2 *ng th!ng chéo nhau (d
1
), (d
2
):
Cách làm: Vit pt mt ph!ng (P) cha (d
2
) và song song (d
1
)
Tính khong cách t 1 im M bt k, trên (d
1
) n mt ph!ng (P)
Biên son:
Trang : 12
# ) "& $*+ $% $& "(,
# ) "& $*+ $% $& "(, # ) "& $*+ $% $& "(,
# ) "& $*+ $% $& "(,
!"#$#
S chung Hàm a thc
Hàm hu t
ax b
y
cx d
+
=
+
Tp xác nh D = R
D = R \ {−
d
c
}
%o hàm
[
]
? ,'
y x D
= ∀ ∈
' 0 ?
y x
= =
[ ]
( )
/
2
0
( )
? , ,
ad bc
y x D
cx d
<= >
−
∀ ∈
+
Gii h%n
[
]
[ ]
lim
lim
?
?
x
x
y
y
→−∞
→+∞
= ∞
= ∞
( Ph thuc du ca
h s l'y tha bc
cao nht )
lim , lim
x x
a a
y y
c c
→−∞ →+∞
= =
Suy ra: :
a
y
c
=
[
]
[
]
? ?
lim , lim
d d
x x
c c
y y
− +
→ − → −
= ∞ = ∞
Suy ra: :
d
x
c
= −
( Lu ý tách xét riêng các gii hn )
( Lu ý gii hn các biên )
Bng bin thiên
(Kt lun tính
"n iu và c c
tr hàm s)
Hàm s (ng bin (nghch bin) trên
các khong (
−∞
;−
d
c
) và (
−
d
c
; +
∞
).
tùy vào du ca (ad
−
bc).
Hàm s không có c c tr.
Bng giá tr
(Cho 4 im tính
c c tr)
( Cho 4 im )
th
V) ( th V) các *ng tim cn và ( th
Biên son:
Trang : 13
Ví d minh ha: Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s
a.
3 2
2 3 2
y x x
= − −
b.
4 2
2 2
y x x
= − +
c.
3
1
x
y
x
+
=
−
Gii:
a.
3 2
2 3 2
y x x
= − −
Tp xác nh: D = R
%o hàm:
2
' 6 6 ,
y x x x D
= − ∀ ∈
(
)
( )
2
0 2
' 0 6 6 0
1 3
x y
y x x
x y
= = −
= ⇔ − = ⇔
= = −
Gii h%n:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bng bin thiên :
Kt lun: + Hàm s ng bin trên (-∞; 0), (1; +∞) và nghch bin trên (0; 1)
+ Hàm s %t cc %i t%i
0
x
=
và y
C
= - 2.
+ Hàm s %t cc tiu t%i
1
x
=
và y
CT
= - 3
+ th hàm s không có tim cn.
Bng giá tr :
x
-1 0 1 2
y
-7 -2 -3 2
th :
Biên son:
Trang : 14
b.
4 2
2 2
y x x
= − +
Tp xác nh: D = R
%o hàm:
3
' 4 4 ,
y x x x D
= − ∀ ∈
(
)
( )
3
0 2
' 0 4 4 0
1 1
x y
y x x
x y
= =
= ⇔ − = ⇔
= ± =
Gii h%n:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
Bng bin thiên :
Kt lun: + Hàm s ng bin trên (-1; 0), (1; +∞) và nghch bin trên
(-∞ ;-1),(0; 1)
+ Hàm s %t cc %i t%i
0
x
=
và y
C
= 2.
+ Hàm s %t cc tiu t%i
1
x
= ±
và y
CT
= 1
+ th hàm s không có tim cn.
Bng giá tr:
x
-2 -1 0 1 2
y
10 1 2 1 10
th :
Biên son:
Trang : 15
c.
3
1
x
y
x
+
=
−
Tp xác nh: D = R \
{
}
1
%o hàm:
2
4
' 0,
( 1)
y x D
x
−
= < ∀ ∈
−
Gii h%n:
lim 1, lim 1
x x
y y
→−∞ →+∞
= =
. Suy ra: y =1 là *ng tim cn ngang.
1 1
lim ,lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞
. Suy ra: x =1 là *ng tim cn ng.
Bng bin thiên :
Kt lun: + Hàm s nghch bin trên (-∞; 1), (1; +∞)
+ Hàm s không có cc tr.
Bng giá tr :
x
-1 0 2 3
y
-1 -3 5 3
th :
Biên son:
Trang : 16
%"&'&
Phng trình tip tuyn ca th (C): y = f(x) t%i im M
0
(x
0
; y
0
) ∈ (C):
Các yêu cu cn xác nh:
0
0
/
0
:
:
( ) :
x
y
k f x
=
Lu ý: Cho hai *ng th!ng (d
1
): y = a
1
x + b
1
và (d
2
): y = a
2
x + b
2
.
(d
1
) // (d
2
) ⇔
1 2
1 2
a a
b b
=
≠
(d
1
) ⊥ (d
2
) ⇔ a
1
.a
2
= −1.
M T S! D"NG C BN
Dng 1: Vit ph"ng trình tip tuyn ca *ng cong (C): y = f(x) ti im
M(x
0
;y
0
)
Gi (x
0
;y
0
) là tip im.
Tính f '(x) f '(x
0
)
Ph"ng trình tip tuyn có dng y - y
o
= f '(x
0
)(x - x
0
)
Dng 2: Vit ph"ng trình tip tuyn
∆
ca *ng cong (C) : y = f(x) bit
h s góc cho trc là k
Tính f '(x)
Gi M(x
0
;y) là tip im.
H s góc ca tip tuyn f '(x
0
) = k x
0
và y
0
.
Ph"ng trình tip tuyn có dng y - y
o
= f '(x
0
)(x - x
0
).
Dng 3: Vit ph"ng trình tip tuyn
∆
ca *ng cong (C) : y = f(x) bit
∆
qua im M
1
(x
1
;y
1
)
Gi
∆
là *ng th+ng qua M
1
(x
1
;y
1
) có h s góc k,
∆
: y = k(x-x
1
) + y
1
(
∆
∆∆
∆
): y
−
−−
−
y
0
= f
/
(x
0
).(x
−
−−
−
x
0
)
Biên son:
Trang : 17
∆
tip xúc(C) : y = f(x) khi và ch, khi h ph"ng trình
sau có nghim
(
)
( )
1 1
( ) ( ) 1
'( ) 2
f x k x x y
f x k
= − +
=
Thay (2) vào (1),gii ph"ng trình có -c x
.
Thay x vào (2) tìm k.
Kt lun ph"ng trình tip tuyn
∆
: y = k(x - x
1
) + y
1
Ví d minh ha: Cho hàm s
3 2
3 2
y x x
= − −
có th (C).
Vit phng trình tip tuyn ca (C) bit:
a. T%i im có tung bng -2
b. T%i giao im ca (C) và trc tung.
c. Bit tip tuyn vuông góc vi *ng th!ng
1
: 2012
3
y x∆ = +
Gii:
a. Vi#t phng trình ti#p tuy#n ca (C) ti im có tung b$ng -2:
Gi
(
)
;
o o
M x y
là tip im.
Ta có:
( )
3 2 2
0
2 3 2 2 3 0
3
o
o o o o o
o
x
y x x x x
x
=
= − − − = − ⇔ − = ⇔
=
%o hàm :
(
)
2
' 3 6
f x x x
= −
0
o
x
=
:
(
)
' 0
o
f x
=
. Phng trình tip tuyn:
(
)
(
)
'
o o o
y y f x x x
− = −
2 0 2
y y
+ = ⇔ = −
3
o
x
=
:
(
)
' 9
o
f x
=
. Phng trình tip tuyn:
(
)
(
)
'
o o o
y y f x x x
− = −
(
)
2 9 3 9 29
y x y x
+ = − ⇔ = −
Vy : có 2 tip tuyn cn tìm là:
2
y
= −
và
9 29
y x
= −
b. Vi#t phng trình ti#p tuy#n ca (C) ti giao im ca (C) và trc tung:
Gi
(
)
;
o o
M x y
là tip im.
Ta có:
(
)
; 0
o o o
M x y Oy x
∈ =
2
o
y
= −
Biên son:
Trang : 18
%o hàm :
(
)
2
' 3 6
f x x x
= −
0
o
x
=
:
(
)
' 0
o
f x
=
. Phng trình tip tuyn:
(
)
(
)
'
o o o
y y f x x x
− = −
2 0 2
y y
+ = ⇔ = −
Vy : có 1 tip tuyn cn tìm là:
2
y
= −
.
c. Vi#t phng trình ti#p tuy#n ca (C) bi#t ti#p tuy#n vuông góc v%i &ng
th'ng
1
: 2012
3
y x∆ = +
:
Gi
(
)
;
o o
M x y
là tip im.
%o hàm :
(
)
2
' 3 6
f x x x
= −
Vì tip tuyn vuông góc vi *ng th!ng
1
: 2012
3
y x∆ = +
nên h s góc
ca tip tuyn là
(
)
2
' 3 3 6 3 1
o o o o
f x x x x
= − ⇔ − = − ⇔ =
.
1 4
o o
x y
= = −
: Phng trình tip tuyn:
(
)
(
)
'
o o o
y y f x x x
− = −
(
)
4 3 1 3 1
y x y x
+ = − − ⇔ = − −
Vy : có 1 tip tuyn cn tìm là:
3 1
y x
= − −
.
Biên son:
Trang : 19
(")$#
A - i(u kin cn hàm s t c)c tr :
Nu
( )
f x
có %o hàm trên khong
( ; )
a b
và %t cc %i hoc cc tiu t%i
0
( ; )
x a b
∈
thì
0
'( ) 0
f x
=
.
B - i(u kin hàm s t c)c tr :
nh lý 1 :
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
x
f x x x b
> ∀ ∈
< ∀ ∈
là im C ca
( )
f x
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
x
f x x x b
< ∀ ∈
> ∀ ∈
là im CT ca
( )
f x
nh lý 2 :
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=
>
là im cc tiu ca
( )
f x
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=
<
là im cc %i ca
( )
f x
C – Mt s dng toán v( c)c tr:
Cho hàm sô
(
)
y f x
=
, th là (C).
Nghim ca
(
)
' 0
f x
=
là hoành ca im cc tr.
Nu
(
)
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=
<
thì hàm s %t cc %i t%i
0
x x
=
.
Nu
(
)
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=
>
thì hàm s %t cc tiu t%i
0
x x
=
.
Cho hàm s bc ba
3 2
y ax bx cx d
= + + +
(
)
y f x
=
có 2 cc tr
'
0
0
y
a
≠
⇔
∆ >
.
Biên son:
Trang : 20
(
)
y f x
=
có hai cc tr nm v 2 phía i vi trc hoành
. 0
C& CT
y y
⇔ <
.
(
)
y f x
=
có hai cc tr nm v 2 phía i vi trc tung
. 0
C& CT
x x
⇔ <
.
(
)
y f x
=
có hai cc tr nm phía trên trc hoành
0
. 0
C& CT
C& CT
y y
y y
+ >
⇔
>
.
(
)
y f x
=
có hai cc tr nm phía di trc hoành
0
. 0
C& CT
C& CT
y y
y y
+ <
⇔
>
.
(
)
y f x
=
có cc tr tip xúc vi trc hoành
. 0
C& CT
y y
⇔ =
.
Cách vit phng trình *ng th!ng i qua hai im cc tr ca hàm s
3 2
y ax bx cx d
= + + +
Ly y chia cho y’, c thng là q(x) và d là r(x).
Khi ó y = r(x) là *ng th!ng i qua 2 im cc tr.
Ví d minh ha:
Xác nh m hàm s
3 2
2
5
3
y x mx m x
= − + − +
%t cc tiu t%i
1
x
=
Gii:
Tp xác nh : D = R
%o hàm:
2
2
' 3 2
3
y x mx m
= − + −
Hàm s %t cc tiu t%i x = 1 nên
(
)
' 1 0
y
=
2 7
3 2 0
3 3
m m m
⇔ − + − = ⇔ =
Vi
7
3
m
=
, ta có:
3 2
7 5
5
3 3
y x x x
= − + +
,
2
14 5
' 3
3 3
y x x
= − +
,
14
'' 6
3
y x
= −
Ta có:
( )
4
'' 1 0 1
3
y x
= > =
là im cc tiu.
Vy :
7
3
m
=
tha yêu cu bài.
Biên son:
Trang : 21
*"+#$&', )
Bin lun theo m s nghim ca phng trình f(x;m) = 0 (1)
khi bit th (C): y = f(x).
&a ph"ng trình (1) v dng f(x) = g(m)
Gi y = f(x) có ( th (C)
y = g(m) có ( th là *ng th+ng d vuông góc vi Oy.
Ph"ng trình (1) là ph"ng trình hoành giao im ca (C) và d .
S giao im ca (C) và d là s nghim ca ph"ng trình (1).
D a vào ( th (C) bin lun
giá tr m.
Ví d minh ha:
Cho hàm s
3 2
3 1
y x x
= − + −
có th là (C)
1. Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s.
2. Da vào th (C) bin lun theo k s nghim thc ca phng trình
3 2
3 0
x x k
− + − =
.
3. Tìm a phng trình
3 2
2
3 1 log 0
x x a
− − + =
có 3 nghim thc phân bit.
Gii:
1. Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s.
2. Da vào th (C) bin lun theo k s nghim
thc ca phng trình
3 2
3 0
x x k
− + − =
.
Ta có :
(
)
3 2
3 0
*
x x k
− + − =
3 2
3 1 1
x x k
⇔ − + − = −
Gi :
3 2
3 1
y x x
= − + −
có th (C),
1
y k
= −
là *ng th!ng d vuông góc vi Oy.
S giao im ca (C) và d là s nghim ca phng trình (*)
Biên son:
Trang : 22
Da vào th (C), ta có:
1 1 0 :
k k
− < − ⇔ <
phng trình (*) có 1 nghim.
1 1 0 :
k k
− = − ⇔ =
phng trình (*) có 2 nghim.
1 1 3 0 4
k k
− < − < ⇔ < <
phng trình (*) có 3 nghim.
1 3 4:
k k
− = ⇔ =
phng trình (*) có 2 nghim.
1 3 4:
k k
− > ⇔ >
phng trình (*) có 1 nghim.
3. Tìm a phng trình
3 2
2
3 1 log 0
x x a
− − + =
có 3 nghim thc phân bit.
Ta có :
(
)
3 2
2
3 1 log 0
*
x x a
− − + =
3 2
2
3 2
2
3 2
2
3 log 1
3 log 1
3 1 log 2
x x a
x x a
x x a
⇔ − = − +
⇔ − + = −
⇔ − + − = −
Gi :
3 2
3 1
y x x
= − + −
có th (C)
2
log 2
y a
= −
là *ng th!ng d vuông góc vi Oy.
S giao im ca (C) và d là s nghim ca phng trình (*)
Da vào th (C), ta có:
Phng trình (*) có 3 nghim phân bit
2
1 log 2 3
a
⇔ − < − <
2
1 log 5 2 32
a a
⇔ < < ⇔ < <
Vy :
(
)
2;32
a
∈
tha yêu cu bài.
Biên son:
Trang : 23
-" .&$/
im
(
)
0 0
;
I x y
là tâm i xng ca th
(
)
(
)
:
C y f x
=
⇔
Tn t%i hai im M(x;y) và M’(x’;y’) thuc (C) tha
( ) ( )
0
0
' 2
' 2
x x x
f x f x y
+ =
+ =
( ) ( )
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
= −
⇔
+ − =
Vy:
(
)
0 0
;
I x y
là tâm i xng ca (C)
⇔
(
)
(
)
0 0
2 2
f x y f x x
= − −
Ví d minh ha:
Cho hàm s
3 2
3 1
y x x
= − + −
có th là (C)
Tìm trên th (C) các cp im i xng nhau qua im
1
;3
2
I
Gii:
Gi
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
là cp im tha bài.
1 2
,
M M
i xng qua
1
;3
2
I
nên theo h thc trung im, ta có:
1
1 2
1 1
2 2 1 2 2 1
6 6
1 2 1 2 2 1
3
(1)
2
(2)
x x
x x x x
y y y y y y
+
=
+ = = −
⇔ ⇔
+ + = = −
=
Ta có:
(
)
(
)
3 2
1 1 1 1 1 1
; 3 1
M x y C y x x
∈ = − + −
(
)
( )
( ) ( )
3 2
; 3 1
2 2 2 2 2 2
3 2
3
1 3 1 1 3 1
1 1 1 1
M x y C y x x
x x x x
∈ = − + −
= − − + − − = − +
Do (2):
(
)
3 2
3
6 3 1 6 3 1
1 1
2 1 1 1
y y x x x x
= − ⇔ − + = − − + −
1
1
2
2 0
1 1
2
1
x
x x
x
=−
⇔ − − = ⇔
=
Vy: Cp im tha bài là
(
)
1
1;3
M
−
và
(
)
2
2;3
M .
Biên son:
Trang : 24
0" )$#)
T th (C) ca hàm s y = f(x) suy ra th các hàm s khác:
Dng 1 : y = f( |
||
| x |
||
| ) có ( th là (C
1
)
Vi
0
x
≥
ta có :
( )
y f x
=
Mt khác:
(
)
(
)
f x f x
− =
(
)
y f x
=
là hàm s ch1n.
th (C
1
) gm 2 phn :
Phn 1 : Gi nguyên phn th (C) bên phi trc Oy, b phn th (C)
bên trái trc Oy.
Phn 2 : Ly i xng phn 1 qua Oy.
Dng 2 : y = |
||
| f( x )|
||
| có ( th là (C
2
)
Ta có :
( )
(
)
(
)
( ) ( )
f x f x
y f x
f x f x
≥
= =
− <
th (C
2
) gm 2 phn :
Phn 1 : Gi nguyên phn th (C) bên trên trc Ox
Phn 2 : Ly i xng qua Ox phn th (C) bên di trc Ox. Sau ó b
phn th (C) bên di trc Ox.
Ví d minh ha:
Cho hàm s
3 2
3 1
y x x
= − + −
có th là (C)
1. Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s.
2. T th (C), hãy v$ th các hàm s sau:
a.
3 2
3 1
y x x
= − + −
.
b.
3
2
3 1
y x x
= − + −
.
Gii:
1. Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s.
x
y
(C '')
x
y
(C')
