Kinh nghiệm CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
1
A. PHN M U

Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh
trong quỏ trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m
hu ht hc sinh THPT u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt
dng thng gp trong cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia,
Olympic khu vc v Olympic quc t.
giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm
nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh
hot hn trong vic gii cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti
ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp,
kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc.
ti gm 2 phn c bn:
Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.
Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc.
Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc
c bn v bt ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong
sỏch giỏo khoa trung hc ph thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin
i ng thi nờu mt s vớ d minh ha.

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
2
B. NI DUNG
Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC
1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp
2) Tam thc bc 2
3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s
4) Quy np
5) Lng giỏc húa
6) Phng phỏp hỡnh hc
7) Cỏc BT thụng dng
8) Mt s phng phỏp khỏc
I. S dng cỏc phộp bin i.
Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ
21






ac
c

cb
b
ba
a

Gii: Vỡ a,b,c l 3 s dng nờn ta cú
cba
c
ac
c
cba
b
cb
b
cba
a
ba
a








Cng v theo v ta c
ac
c
cb

b
ba
a





1

Mt khỏc ta cú
cba
cb
ac
c
cba
ba
cb
b
cba
ca
ba
a

Cng v theo v ta c
2




ac
c
cb
b
ba
a

Vớ d 2: CM
Rx
ta luụn cú
3
2
258
xxxx

Gii:
Rxx
x
x
x

xxx
xxxxxx


















0
3
1
3
1
3
1
2
3
2

3
1
3
1
3
1
.
2
3
.2
4
3
42
.2
3
2
2
2
4
22
48258


Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
3
Do ú
3

2
258
xxxx
(pcm)
Vớ d 3: CMR
Nn
nn


1
)1(
1

3.2
1
2.1
1

Gii: Ta cú
)(
1
11
)1(
1
*
Nk
kkkk

Cho k=1, 2, n ri cng cỏc ng thc theo v ta cú
1
1
1
1
1
11

3
1
2
1
2
1
1
)1(
1

3.2
1
2.1
1

nnnnn

Vy ta cú pcm.
II. Phng phỏp Tam thc bc 2.
Vớ d 1: CMR
11
5913
423
25
11
5913
2
2






xx
x

Gii: TX:
Rx

Gi
423
25
2

2



xx
x
P
thỡ
0242)53(
2
PPxxP
(*)
(*) cú nghim x thỡ
11
5913
11
5913
0102611
0)53)(24(0
2
2'






P
PP
PPP

Vy
11
5913
423
25
11
5913
2
2






xx
x

Du t bờn trỏi xy ra
121
)5913(13
x

Du t bờn phi xy ra

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình

4
121
)5913(13
x

III. Phng phỏp hm s, dựng o hm.
Vớ d 1 : CMR
0x
thỡ
xx sin

Gii : Xột hm s
( ) sin
'( ) 1 cos 0
f x x x
f x x



)(xf
ng bin
Mt khỏc f(0)=0. Vy f(x)>0 vi mi x>0 hay vi mi x>0 thỡ
xx sin

Vớ d 2: CMR nu 0<b<a thỡ
b
ba
b
a
a

ba


ln

Gii: Xột hm s f(x)=lnx liờn tc v cú o hm trờn

,0


x
xf
1
)('
. Theo nh lớ Lagrange tn ti x
0
vi b<x
0
<a sao cho
ab
afbf
xf



)()(
)('
0

b

a
x
ba
ba
ba
x
ln
lnln1
00







Vỡ b<x
0
<a nờn
bxa
111
0

suy ra pcm.
Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM
64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc

Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s
dcba

Xột hm s
))()()(()( dxcxbxaxxfy

f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R
Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt hm bc 3 nờn tn ti
321
,, yyy
sao cho
dycybya
321
sao cho
0)(')(')('
321
yfyfyf

Vy
))()((4)('
321
yxyxyxxf

Trong khai trin ta cú

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình

5
)(2)(4
)(4
133221
321
cdbdbcadacabyyyyyy
bcdabdacdabcyyy



Theo BT Cauchy
3
2
321
133221
)(
3
yyy
yyyyyy



64
3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc




IV. Phng phỏp quy np.

Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s
Nn
, vi
cỏc bc chng minh nh sau:
+ Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n
0

+ Bc 2. Gi s BT ỳng vi n=k
)(
0
nk
ta cn chng minh BT
ỳng vi n = k+1.
+ Bc 3. Kt lun BT ỳng vi mi
Nn
.
Vớ d 1 : C/m
*
,2 Nnn
ta cú :
(*)
13
1
2
12

6
5
.
4

3
.
2
1



n
n
n

Gii: + Khi n=2 ta cú

7
1
8
3
(*)
ỳng.
+ Gi s BT ỳng vi n=k tc l
13
1
2
12

6
5
.
4
3

.
2
1



k
k
k

Ta cn chng minh (*) cng ỳng vi n=k+1
)2( k
. Tht vy
1 3 5 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1
. . . . .
2 4 6 2 2 4 2 2 2 2 2
3 1 3 1
k k k k
k k k k
kk





Ta cn chng minh
1420419
)484)(13()43)(144(
)22.(1343).12(
43

1
1)1(3
1
22
12
.
13
1
22










kkk
kkkkkk
kkkk
kk
k
k
k

n õy ta thy (*) ỳng vi n=k+1.

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
6
Vy theo gi thit quy np (*) ỳng vi
2n

Vớ d 2: Cho x>0 CMR vi
1n
ta cú
!

!3!2
1
32
n
xxx
xe
n
x


Gii: +Vi n=1 ta cú


xye
y
,01

Vy

011
00


xxexedydye
xx
xx
x

Vy BT ỳng vi n=1.
+ Gi s BT ỳng vi n=k
0)1( xk
tc l
!

!3!2
1
32
k
xxx
xe
k
x


Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l :
)!1(

!3!2
1

132



k
xxx
xe
k
x

Tht vy theo gi thit quy np ta cú:
0
!

!3!2
1
32
x
k
xxx
xe
k
x

Nh vy ta cú


xy
k
yyy

ye
k
y
,0
!

!3!2
1
32


Do ú ta cú:
2
00
2 3 1
(1 )
2! !
1
2! 3! ( 1)!
xx
k
y
k
x
yy
e dy y dy
k
x x x
ex
k

2 3 1
1
2! 3! ( 1)!
k
x
x x x
ex
k




+Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi
1n

V. S dng phng phỏp lng giỏc húa.
s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm
vng cỏc tớnh cht, cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú,

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
7

trong mt s bi toỏn nu t cỏc giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc
thỡ rt thun tin.
Vớ d 1: CMR
yx,
ta cú:
4
1
1()1(
)1)((
4
1
2
)222
2222




yx
yxyx

Gii: t

2
,
2

tgytgx

Ta cú:
dpcmA
b
tgtg
tgtgtgtg
yx
yxyx
A










4
1
)22sin()22sin(
2

1
)cos()cos()sin()sin(
)sinsincos)(coscossincos(sin
)1()1(
).1)((
1()1(
)1)((
22222222
2222
2222
)222
2222
2






*) Mt s bi tp:
1. CMR
Ryx ,
thỡ
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22

yx
xyyx


2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món








1
1
22
22
dc
ba

CMR
11 bdac

VI. Phng phỏp hỡnh hc.
a) S dng cỏc BT v vect
1.

vuvu

Du = xy ra
vu,
cựng chiu
2.
vuvuvuvu


Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
8
Vớ d 1: Cho a, b, c l 3 s thc bt kỡ CM
222222
2)()( cacbacba

Gii: t
);();( cbavcbau
thỡ
)2;2( cavu

Ta cú
vuvu
suy ra pcm.

Vớ d 2: CM
Ryx ,
thỡ

5101224964
2222
yxyxxyx

Gii: t
)23;1()2;3( yxvyxu
thỡ
)3;4(vu

Li ỏp dng
vuvu
suy ra pcm.
Vớ d 3: CM
cba ,,
thỡ
444
)( cbacbaabc

Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu
din cỏc thnh phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng
thng thi khi khụng cú s rng buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc
thỡ ta thng dựng phng phỏp ta .
b) Phng phỏp ta :
Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0.
CMR
6)7()5()5()3(
2222
baba

Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7)

M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0
)(
. Ly A

i xng A qua
)(
ta cú A

(5; 1)
Ta cú MA+MB=MA

+MB

A

B
Hay
6)7()5()5()3(
2222
baba

Du = xy ra
2
7
5 ba

c) Cỏc phng phỏp khỏc:
Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM
1)1()1(()1( xzzyyx

Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v
x
y
M
A
A
B
A
C
P
N
A
z

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
9
Ta cú

A

1)1()1()1(
1.1.60sin.
2
1
)1()1()1(60sin
2
1

00




xzzyyx
xzzyyx
SSSS
ABCBNMCPNAMP


Vớ d 6: Cho a, b, c dng. CM
222222
3232 cacacbcbbaba

Gii: Dng hỡnh nh hỡnh v sao cho:
OA=a ; OB=b ; OC=c

00
3045 BOCAOB

p dng nh lớ hm s cosin
trong tam giỏc ta cú:
22
22
2
3
AB a ab b
BC b bc c

0 0 0 0 0 0
cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin45 sin30
1 3 1 1 1 3 1 1
. . . 2 3
2 2 2 2
2 2 2
AOC



Vy
22
32 cacaAC
tc l
222222
3232 cacacbcbbaba

Du ng thc xy ra
0
2 1 2 3
sin75
4 4 2
AOB BOC AOC
ab bc ac
S S S ac b
ac

*) Mt s bi tp
1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món








)(1236
)(21
22
22
dcdc
baba

CM:
6226
)12()()()12( dbca

c
b
a
A
O
B

C

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
10
2. CMR
x
ta cú

31)13(21)13(2122
222
xxxxxx

3. Cho x, y thừa









042
02
082
xy
yx

yx

C/m
20
5
16
22
yx

4. Cho x, y, z dng thừa món xyz(x+y+z)=1
Tỡm MIN (x+y)(x+z)
VII. S dng cỏc BT quen thuc.
1. Bt ng thc Cauchy
a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú

xy
yx


2
. Du =
yx

Dng khỏc
baba

411
Du =
ba

b. Tng quỏt cho n s khụng õm
n
aaa , ,,
21
ta cú

n
n
n
aaa
n
aaa


21
21



Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s dng tựy ý
CMR
Rx
ta cú

xxx
xxx
cba
b
ca
a

bc
c
ab






















Gii : p dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :

x
xxx
x

xxx
x
xxx
a
bc
abca
c
ab
b
ca
c
ab
cabc
b
ca
a
bc
b
ca
bcab
a
bc
c
ab
2
.
2
2
.
2

2
.
2

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
11
Cng v theo v ta cú ta cú pcm.
Du = xy ra khi v ch khi x=0.

Vớ d 2 : Vi a, b, c dng CM

cabcab
a
c
c
b
b
a

333

Gii : ỏp dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :

2
33
2
33
2
33
2.2
2.2
2.2
cca
a
c
ca
a
c
bbc
c
b
bc
c
b
aab
b
a
ab
b
a

Cng v theo v ta cú :

)1()(2
222
333
cbacabcab
a
c
c
b
b
a


Mt khỏc ta cú


cabcabcba
accbbabcacabcba


222
222222
0)()()(
2
1

Thay vo (1) suy ra pcm. Du = xy ra khi v ch khi a=b=c.
c. Mt s dng toỏn c bn s dng BT Cauchy tng quỏt c/m.

1) Cho n s thc dng
n
aaa , ,,
21
thừa món

0(
1

11
21
kk
aaa
n
cho trc)
CMR

1 1 2 2 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 2
11


1

n n n
n n n n
m a m a m a m a m a m a
k
m a m a m a m m m

Vi
n
mmm , ,,
21
l cỏc s nguyờn dng tựy ý.

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
12
Gii: ỏp dng BT Cauchy cho
n
mmmm
21
s ta cú:

)1(
21
212211
m
m
n
mm
nn

n
aaamamamam

Li ỏp dng cho m s dng ta cú

)2(


21
21
2
2
1
1
m
m
n
mm
n
n
n
aaa
m
a
m
a
m
a
m

T (1) v (2) ta cú
(
nn
amamam
2211
)
2
2
2
1
1
m
a
m
a
m
a
m
n
n

(*)
1

1
2
2
1
1
2
2211











n
n
nn
a
m
a

m
a
m
m
amamam

Tng t cho cỏc phõn thc cũn li cui cựng cng cỏc bt dng nh (*)
li v theo v ta cú
nnnnnn
mm
k
km
m
amamamamamam






).(
1

1


1
1
2
12112211

*) Mt s bi tp
1. Cho 3 s dng a, b, c. CMR

accbbacba





222111

2. CMR
3
abc
cba
a
c
c
b
b
a


Tng quỏt

n
n
n
kkk

aaa
aaa
a
a
a
a
a
a



21
21
2
1
2
1
2
1

3. Cho





1
0,
ba
ba
. Tỡm MIN
ab

abS
1


2. S dng BT Bunhiacopxki(BCS)
Vi 2 b s

n
aaa , ,,
21
v

n
bbb , ,,
21
bt kỡ ta cú


) )( (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa

ng thc xy ra
n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1


Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
13
Vi quy c a
i
=0 thỡ b
i
=0
Chng minh:
+Nu
22

2
2
1

n
aaa
=0 suy ra BT luụn luụn ỳng
+Nu
22
2
2
1

n
aaa
>0. Xột tam thc

) )( () (
00)(
) () (2) ()(
)( )()()(
22
2
2
1
22
2
2
1
2

2211
'
22
2
2
12211
222
2
2
1
22
22
2
11
nnnn
nnnn
nn
bbbaaabababa
Rxxf
bbbxbababaxaaaxf
bxabxabxaxf





Vớ d 1: Cho 2 s thc x, y thừa món
23 yx
.
CMR

3
8
32
22
yx

Gii: Theo BT BCS ta cú


3
8
32321
2
1
3.12.
2
1
2222
2

yxyxyx

Du = xy ra










33
4
3
2
1
3
2
1
2
y
x
yx

Vớ d 2: a) Cho n s thc

n
aaa , ,,
21
v n s dng

n
bbb , ,,
21

CMR

n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a

21
2
21
2
2
2
2
1
2
1

b) CMR

0,1
21
1
22
2
2
2
2






ba
ab
ba

b
ab
a

Gii: a) p dng BT BCS cho 2 b s dng








n
n
b
a
b
a
b
a
; ;;
2
2
1
1
v

n
bbb ; ;;

21

Ta cú

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
14


) (
) (

) (
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
2

1
2
1
2
21
n
n
n
n
n
n
n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
bbb
b
a
b
a
b
a
aaa

b) p dng kt qu a) ta cú










1
1222
)1(
21
1
22

22
2
2
2
2
2
abbaab
ba
ab
ba
b
ab
a
pcm
Vớ d 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng
CMR
2
)( cba
a
c
c
b
b
a


Gii: p dng BT BCS ta cú a, b, c dng nờn


2

2
2
)(
)(
cba
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
cabcab
a
c
ca
c
b
bc
b
a
abcba

=
3
1
cba
a
c
ac
c
b
bc
b
a
ab

VII. Cỏc phng phỏp khỏc

1. S dng khai trin nh thc Newton
c/m A

B ta cú th lm nh sau
a) Nu a A v dng





n
i
iini
n
n
baCbaA
0
)(

Ta tỡm cỏch c/m B khụng ln hn tng T ca mt s phn t ca chui
thỡ
ATB
(cỏch ngt chui dng)
b) Nu a c B v dng

(*))(
0

n
i
iini
n
n
yxCyxB

Ta tỡm cỏch ỏnh giỏ mi s hng ca chui (*) khụng ln hn cỏc biu
thc T
J
m
AT
n
j
j


0
lỳc ú
ATB
n
j
j


0


Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
15
Vớ d 1: Nu
1x
v n nguyờn, n>1 thỡ

nnn
xx 2)1()1(

Gii: Ta cú





n
i
iini
n
nnnn
xxCxxxx
1
)1()1()1()1()11(2

Vỡ
1x
nờn
1, 2,10)1()1(

nixx
iin
. Vy
nnn
xx )1()1(2

Vớ d 2: CMR
m
nguyờn dng, m

2 ta cú:

)1(1
1
1
1.
1
2
12
2
2

m
m
m
m

Gii:

2 1 2 2 1
2 2 2
1 1 1 2 1
(1) 1 1 1 1
1 1 1 1 ( 1)
mm
m m m m m

2 2 1
1 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
1 1 1 2 1
1 1
1 1 1 1 ( 1)
m
m
m m m
C C C
m m m m m








Mt khỏc ta cú:

1
2
)1(
1
)1(3
)12)(12(

)1(
)12(
1
12
3314
232222
22














m
mm
mmm
m
mm
m
m
mm

pcm
Vớ d 3: Nu n l s t nhiờn ln hn 1. CM
n
n
n
2
1

Gii: Vỡ
11
n
nn
. t
)0(1 xxn
n
. Lỳc ú ta cú
n
n
n
x
n
x
n
xx
nn
nxx
nn
nxxn

n
nn
2
1
2
11
22
2
)1(
1
2
)1(
1)1(
222







2. S dng phng phỏp phõn chia.
a) Nu hm s bin thiờn phc tp trong tp xỏc nh ta chia tp xỏc nh D
thnh cỏc tp con D
1
, D
2
,.sao cho vic tỡm cc tr ca hm s trờn cỏc tp con
d dng hn.

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
16
b) Nu tớnh cht ca hm thay i c trờn cỏc tp con thỡ ta phõn tớch hm
thnh tng ca cỏc hm n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn.
Vớ d 1: Tỡm Max ca
)4(),(
2002
yxyxyxF
vi x,y l cỏc s thc thừa món









6
0
0
yx
y
x

Gii:
+ Khi

4 yx
ta cú
0F
. Du = xy ra
4 yx

+ Khi
4 yx
ta cú
04,0,0 yxyx

p dng BT Cauchy cho 2004 s khụng õm ta c
2002
2004
2002
2002
2004
2002 . . . .(4 )
2002 2002 2002
2002. 4
2002
2002
2002
2004 501
x x x
F y x y
x
y x y
F

2002
501
' ' 4
1
2002
501
x
x
y x y
y










Vy
2004

2002
501
2002
F

Vớ d 2: Tỡm Min
RxxxxF 200220011)(

Gii: Xột cỏc trng hp:
+
2002x
. Lỳc ú

2002''
1)(40032)(


x
xFxxF

+

1)(2002,2001 xFx

+
124003)(2001 xxFx


2001'' x

Vy Min

2002,20011)( xxF

Vớ d 3: Tỡm Min
)()( yxzzyxA
trong ú x, y, z l cỏc s thc thừa món

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
17
1
222
zyx
.
Gii: t
2121
; AAAzxAzxyzxyA

Ta cú:
2
1
020)(
11
2222
AAzyxzyx

ng thc xy ra

1
0
222
zyx
zyx
(1)
Ta cng cú

2 2 2
22
1 1 1 1 1
( ) (1 )
2 2 2 2 2
A z x z x y A

ng thc xy ra

1
0
222
zyx
zx
y
(2)

1
2
(1)
11
1; ' ' 0
(2)
22
1
2
x
Ay
z

3. S dng mi quan h gia cỏc bt ng thc:
Vớ d t ng thc
1 zxyzxy
ta cú bt
20)(
2222
zyxzyx
.
T ú ta cú th chng minh d dng cỏc BT
Vớ d : t
ac
ac
z
cb
cb
y
ba
ba
x

;;

Ta cú

)2(
2
5
)()()(
)1(2
2
22
2
22
2
22
222

ac
ac
cb
cb
ba
ba
ac
ac
cb
cb
ba
ba

v
)3(
4
1
)()()(
222





ac
ca
cb
bc
ba

ab


Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
18
Cng (2) v (3) ri bin i ta cú:

4
9
)()()(
3
33
3
33
3
33









ac
ac

cb
cb
ba
ba

Vi mt s mi quan h nh trờn ta cú nhiu bt. Vỡ vy trong c/m cn
s dng khộo lộo quan h ú.

Phn II: BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC
I. S liờn quan gia cỏc bt ng thc trong tam giỏc:
Trong quỏ trỡnh chng minh cỏc BT trong tam giỏc, bng cỏc phộp bin
i tng ng ta cú th tỡm c mi quan h mt thit t nhng bt ng
thc cú v hon ton khỏc nhau.
Vớ d 1: Xột BT
8
))()((
abc
cpbpap
(1)
trong ú
cba ,,
l di 3 cnh 1 tam giỏc ;
p
l na chu vi.
CM: Theo BT Cauchy ta cú

44
)(
))((
44

)(
))((
44
)(
))((
22
22
22
bapcp
apcp
acpbp
cpbp
cbpap
bpap










Nhõn tng ng theo v cỏc s khụng õm ta c


2
2
8

))()((







abc
cpbpap
suy ra pcm.
Bõy gi ta bin i (1) nh sau :

)2(2
84
.
8
8
.))()(()1(
2
rR
abc
p
R
abc
prabc
p
S
abc
pcpbpapp

(2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1)
CM (2) nh sau: Ta cú

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
19
)(2
2
1
1
2
3
1coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin4
2
cos
2
cos
2

cos4
sinsinsin2
sinsinsin
sinsinsin2
2
sinsinsin2
sinsinsin2sin
2
1
2
2
dpcmrRCBA
R
r
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
R
r
r
cba
CBAR
prCBARCabS

(
2
3
coscoscos CBA
l BT c bn)
Tip tc bin i theo hng khỏc :

)3(
848
)1(
2
2
2
cba
R
abc
abc
p
R
abc
abc
p
S

)4(sinsinsinsinsinsin4 CBACBA

(4) l mt BT mi liờn quan gia cỏc gúc. CM (4) nh sau :

2
3
coscoscos
1
2
sin
2
sin
2
sin8
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin)4(

CBA
CBA
CBA
CBA

Suy ra pcm.
Tip tc bin i (1) :

)5(
4
1
4
1111
1
)3()1(
2
2
222
2
R
S
hhhhhh
RS
hhhhhh
R
abcabc
R
abc
cba
accbba

accbba








(5) l mt BT mi liờn quan n cỏc ng cao.
Ta bin i (1)

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
20
1 8 2 8( )
(1)
( )( )( ) ( )( )( )
p a b c
p a p b p c abc p a p b p c abc




2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 1 1 1
8
( )( )( )

1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
8
4
2( ) (6)
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca
r r r r r r h h h h h h
S S S S
r r r r r r h h h h h h















( ) ( ) ( ) 1 1 1

8
( )( )( )
1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca












(6) l BT liờn quan n bỏn kớnh ng trũn bng tip v ng cao.
T cỏc bin i ta thy cỏc BT sau l tng ng :
8
))()((
abc
cpbpap
(1)
rR 2
(2)
cba

R
abc

2
(3)
CBACBA sinsinsinsinsinsin4
(4)
2
2
4
R
S
hhhhhh
accbba

(5)
)(2
accbbaaccbba
hhhhhhrrrrrr
(6)
T (5) v (6) suy ra

2
2
8
R
S
rrrrrr
accbba

(7)
Túm li, gia cỏc BT tam giỏc trụng rt khỏc nhau nhng li cú mt mi
quan h tng ng hoc h qu.
d nh v CM cỏc BT ta thng i t mt h thc hoc mt BT
quen thuc ri bin i v cỏc BT mi, t ú suy ra cỏch CM BT ú khi gp.
Vớ d 2: Ta cú 2 h thc trong tam giỏc

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
21








)2(1
222222
)1(
A
tg
C
tg
C
tg
B

tg
B
tg
A
tg
tgAtgBtgCtgCtgBtgA

T (1) ta cú th suy ra cỏc BT

33 tgCtgBtgA
(3)

33tgAtgBtgC
(4)
)6(9)5(
)5(93)4(
222
3
222


tgCtgAtgBtgCtgAtgBCtgBtgAtg
CBtgAtgtgtgCtgAtgBtgCtgAtgB

Vy t (1) cú c (3),(4),(5),(6).
Xut phỏt t (2) ta cú:

)9(
33
1

222
1
222222222
3
)8(1
2223
1
222
)7(
)7(3
222
3
222222
3
222
3
2
2
222
2

C

tg
B
tg
A
tg
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
C

tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg

T (3) v (9)
222
27
C
tg
B
tg
A
tgtgCtgBtgA
(10)
Túm li t mt s h thc ta cú th thy trong nú n cha nhiu BT cn
c khai thỏc.
II. Nhng phng phỏp chng minh chn lc cỏc BT tam giỏc.
Vic la chn phng phỏp chng minh cỏc BT c bn quen thuc
trong tam giỏc giỳp rỳt ngn thi gian lm bi.
Vớ d 1 : CM BT:
2
33
sinsinsin CBA
(1)
Gii : (1) c CM theo nhiu phng phỏp, sau õy l phng phỏp ngn gn:
Ta cú

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
22

2

33
1
2
1
3
2
62
cos
2
1
3
2
2
1
2
sin1
2
cos3
3
2
2
sin1
2
cos3
3
2
2
sin
2
cos

2
cos2sinsinsin
2
22

CCC
CCCBAC
CBA

Vớ d 2 : CM BT
)2(
2
3
coscoscos CBA

(2) c CM n gin nh sau :
2
cos cos cos 2cos cos 1 2sin
2 2 2
A B A B C
A B C



2sin cos sin 1
2 2 2
C A B C




2
13

2sin 1 sin 1 sin 1 sin 1
2 2 2 2 2 2
C C C C





Vớ d 3: CM BT
)3(
8
33
sinsinsin CBA

(3) c cm d dng t (1), nhng ta cng cú th cm (3) nh sau


8
33
3
cos21
8
3
3.
3
sin
cos1
4
1
.

2
1
3
3
sin
)cos1(
2
1
sin.cos)cos(
2
1
sinsinsin
22

C
C
C
C
CCCBACBA

Vớ d 4: CM BT
)4(
8
1
coscoscos CBA

Ta cú

8
1
)coscos1(
4
1
.
2
1
cos)cos1(
2
1
coscos
2
cos
2
1
coscoscos
2

CC
CCCC
BA
CBA

Vớ d 5 : CM
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
CBA

Ta cú
4
sin21
4
cos
4
sin2
2
sin
2
sin
2
sin

2
BABABACBA




2
3
2
3
2
1
4
sin2
4
sin21
4
sin2
2
2

BABABA


Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức


Đinh Thị L-u Tr-ờng THPT Chuyên Quảng Bình
23
C. KT LUN
Trờn õy l mt s kinh nghim ỳc rỳt trong quỏ trỡnh ging dy hn 30
nm qua, c bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii. T nhng vn
trỡnh by trờn õy cú th rỳt ra kt lun rng: vic nghiờn cu gii cỏc bi toỏn
v bt ng thc i vi hc sinh phi l mt quỏ trỡnh thng xuyờn v c bit
l phi c nghiờn cu chu ỏo ngay t nhng kin thc c bn lp 10.
Trong ú phng phỏp chng minh BT theo sut chng trỡnh t lp 10 v
c hon thin lp 12 l tỡm cc tr v GTLN, GTNN ca hm s. BT
lng giỏc trong tam giỏc l mt s vn dng ca BT v cỏc h thc lng
trong tam giỏc nhng li n cha nhng phộp bin i rt tinh vi m ớt ngi cú
th thy c.
Mc dự cú th cũn nhiu hn ch nhng tụi hy vng rng ti ny s
úng gúp rt tt cho cỏc bn ng nghip v hc sinh cú th tỡm hiu sõu sc
hn v bt ng thc nhm nõng cao hiu qu trong ging dy v hc tp. Tụi
rt mong nhn c ý kin úng gúp ca c gi.

D. TI LIU THAM KHO
1. B sỏch giỏo khoa hp nht nm 2000.
2. B sỏch giỏo khoa-Ban khoa hc t nhiờn-B sỏch th nht-NXBGD
2003.
3. Phng phỏp tỡm GTLN v GTNN ca Phan Huy Khi
4. Ti liu bi dng giỏo viờn THPT chuyờn. Bt ng thc v cỏc vn
liờn quan ca Trn Nam Dung, Nguyn Vn Mu
5. Bt ng thc: suy lun v khỏm phỏ - Phm Vn Thun Lờ V
6. 500 Bt ng thc ca Cao Minh Quang.
7. Sỏng to bt ng thc - Phm Kim Hựng