Chung minh bat dang thuc.doc

Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
của hàm số bằng phương pháp chuyển về lượng giác
-----------
Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến x k (k >0)
Đặt x = k.sina;
22
ππ
≤≤−
a
hoặc đặt x = k.cosa; 0 a
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau:
a,
154aa93
2
≤+−
b,
9
2
8a
2
a16a1
≤+−≤−
c,
3a1 víi12645a
2
24a
3
4a ≤≤≤−+−
Giải:
a, Điều kiện:
22

- 3sina; a Æt § 3.a
π
α
π
≤≤=≤
Khi đó
αααα
3sin3cos4.3sin3.3cos4aa93
2
+=+=+−
3
=
151515
≤=+
)-3cos(sin
5
4
cos
5
3
φα
Với
5
4
sin ;
5
3
cos
==
ϕϕ

b, Điều kiện a 1. Đặt a = cos; 0
Ta có
9
2
8a
2
a16a1
≤+−≤−

5
2
4(2a
2
a16a ≤−+−≤− )15

51)
2
4(2cossin 6cos
≤−+
ααα

524cos3sin
≤+
αα

)
5
3
vµsin
5

4
cos (víi
==≤−
ϕϕϕα
52(cos5
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
c, Từ 1 a 3 - 1 a - 2 1
Đặt a - 2 = cos với [0; ]
Khi đó:
A = 4a
3
- 24a
2
+ 45a - 26
= 4 (cos +2)
3
- 24(cos +2)
2
+ 45 (cos + 2) - 26
= 4cos
3
- 3cos = cos3
Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức:
a,
1
2
x1y
2
y1x ≤−+−
b,

2
2
x12x1)
2
(2x3 ≤−+−
Giải:
a, Điều kiện x 1; y 1
Đặt x = sina, y = sinb với






−∈
2
;
2
ππ
ba,
Khi đó:
2
x1y
2
y1x −+−
= sinacosb + sinbcosa = sin(a + b)

1b)sin(a
2
x1y

2
y1x ≤+=−+−
(đpcm)
b, Điều kiện x 1
Đặt x = cosa với 0 a
Khi đó:
2cosasina1)a
2
(cos3
2
x12x1)
2
(2x3
+−=−+−
=
sin2a)
2
1
cos2a
2
3
2( sin2a cos2a 3
+=+
=
)
6
(cos(2a2 sin2a)
6
sin cos2a
6

2(cos
πππ
−=+
=
2
≤−=−+−
)
6
(cos(2a2
2
x12x1)
2
(2x3
π
(đpcm)
Ví dụ 3:
Chứng minh nếu x < 1 và n là số nguyên (n 2) thì ta có BĐT:
(1 - x)
n
+ (1 +x)
n
< 2
n
Giải:
Với điều kiện bài toán x < 1
đặt x = cosa, a K
Khi đó (1 - x)
n
+ (1 +x)
n

= (1- cosa)
n
+ (1 + cosa)
n
=
n
2
a
2
2cos
n
2
a
2
2sin












+
=
n

2)
2
a
2
cos
2
a
2
(sin
n
2 )
2
a
2n
cos
2
a
2n
(sin
n
2
=+<+
(vì với n 2 sin
2n
x < sin
2
x và cos
2n
x < cos
2

x)
Dạng 2: Biến x, y của biểu thức có điều kiện: x
2
+ y
2
= k
2
(k >0)
Đặt x = k.cos; y = k.cos; [0; 2]
Ví dụ 1:
Cho x
2
+ y
2
= 1, chứng minh rằng:
a,
1
y2
x3
≤
+
b,
1yx
4
1
66
≤+≤
c, a + b = 2; chứng minh: a
4
+ b

4
a
3
+ b
3
d, a + b = c. Chứng minh:
4
3
4
3
4
3
cba
>+
e, x
2
+ y
2
= u
2
+ v
2
= 1
Chứng minh:
2v)y(uv)x(u
≤++−
Giải:
a, Từ điều kiện x
2
+ y

2
= 1
Ta đặt x= sin; y = cos
( [0; 2] khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:
-1
ααα
α
α
cos2sin
cos
sin
+≤≤⇔≤
+
3 cos - -21
2
3
(vì 2 + cos >0)






≥−
≥+
(2) 2 cos sin3
(1) -2 cos sin3
αα
αα
Ta có:

) cos
2
1
sin
2
3
2( cos sin3
αααα
+=+
=
) cos
6
sin
6
2(
α
π
α
π
+
=
(1) -2)
6
2sin(
⇒≥+
π
α
và
) cos
2

1
sin
2
3
2( cos sin3
αααα
+=−
=
(2) )
6
- 2sin(
⇒≥
π
α
Vậy
1
y2
x3
≤
+
b, Đặt x = sin; y = cos
Khi đó:
x
6
+ y
6
= sin
6
+ cos
6

= (sin
2
+ cos
2
) (sin
4
- sin
2
cos
2
+ cos
4
)
= (sin
2
+ cos
2
)
2
- 3sin
2
cos
2
= 1-
4
3
sin
2
2
Vì 0 sin

2
2 1 nên
4
3
1
4
1
−≤
sin
2
2 1

1yx
4
1
66
≤+≤
(đpcm)
c, * Nếu một trong hai số có hai số âm, chẳng hạn b <0
Khi đó a> 2 và ta có a
4
> a
3
; b
4
> b
3
Vậy a
4
+ b

4
> a
3
+ b
3
* Giả sử a 0; b 0. Từ điều kiện a + b = 2
Ta đặt a = 2sin
2
; b = 2cos
2
khi đó:
a
4
+ b
4
> a
3
+ b
3
16sin
8
+ 16cos
8
8sin
6
+ 8cos
6

8sin
6

(2sin
2
- 1) + 8cos
6
(2cos
2
- 1) 0
8cos2 (cos
6
- sin
6
) 0
8cos
2
2 (sin
4
+ sin
2
cos
2
+ cos
4
) 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos2 = 0 hay sin
2
= cos
2
hay a = b
d, Từ giả thiết

1
=+
c
b
c
a
Đặt
αα
2
cos
c
b
;
2
sin
c
a
==
Khi đó (1)
4
3
4
3
4
3
cba
>+
>1
1
4

3
)
4
3
)
>+
αα
2
(cos
2
(sin

1
2
3
)
2
3
)
>+
αα
(cos(sin
(2)
Vì 0 < sin < 1 và 0 < cos < 1 nên
αα
2
sin(sin >
2
3
)

và
αα
2
(cos cos
2
3
) >
do đó
1
2
cos
2
sin
2
3
)
2
3
)
=+>+
αααα
(cos(sin
tức là ta có (2) từ đó suy ra đpcm
Dạng 3: Sử dụng điều kiện x k (k > 0)
Đặt
α
cos
k
x
=

; [ 0;
2
π
) [ ;
2
3
π
)
Khi đó x
2
- k
2
= k
2
(
)1
−
α
2
cos
1
= k
2
tg
2
và tg > 0
Ví dụ 1:
a, Cho a 1, chứng minh rằng
2
a

31
2
a
2
≤
+−
≤−
b, Cho a 1, b 1 chứng minh rằng
ab1
2
b1
2
a ≤−+−
c, Cho x, y, x, t là nghiệm hệ







≥+
=+
=+
12tyzx
16
2
z
2
t

9
2
y
2
x
Chứng minh rằng: (x+z) 5
a, Từ điều kiện a 1 đặt:
α
cos
k
a
=
; [ 0;
2
π
) [ ;
2
3
π
)
Khi đó:
A =
)3(cos
cos
1
2
cos
1
+=
+−

=
+−
αα
α
α
tg
31
a
31
2
a
=
3
cos + sin = 2 (
αα
sin
2
1
cos
2
3
+
)
= 2 (cos
6
π
cos + sin
6
π
sin) = 2 cos( -

6
π
)
A 2 (đpcm)
b, Ta có (1)
1
ab
1
2
b1
2
a
≤
−+−
Đặt
α
cos
1
a
=
;
β
cos
1
b =
với , [ 0;
2
π
) [ ;
2

3
π
)
Khi đó:
A =
ab
1
2
b1
2
a
−+−
=
βα
βα
cos
1
.
cos
1
1
2
cos
1
1
2
cos
1
−+−
= coscos(tg + tg) = sin( + )

A 1 (đpcm)
Dạng 4: Bài toán có biểu thức x
2
+ k
2

Đặt x = ktg ( (-
2
π
;
2
π
))
x
2
+ k
2
= k
2
(1+tg
2
) =
α
2
cos
2
k
(cos >0)
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức
a, 1 + ab

1
2
b1
2
a ++ .
b,
2
1
)1)(
2
1
≤
+
−+
≤−
22
ba-(1
ab)b)(a(a
Giải:
a, Đặt a = tg; b = tg với , (-
2
π
;
2
π
)
Khi đó: 1 + ab 1 + tgtg =
βα
ααβα
coscos

sinsincoscos
+++
=
βα
βα
βα
coscos
1
coscos
)cos(
≤
−
=
2
b1
2
a1
2
tg1
2
tg1 ++=++ ..
αα
1 + ab
1
2
b1
2
a ++ .
b, Đặt a = tg; b = tg với (-
2

π
;
2
π
)
Khi đó:
A=
βα
βαβα
2
tgtg (1
gtg-)(1tg(tg
)
2
b)(1
2
a(1
ab)b)(1(a
2
+++
+
=
++
−+
1()
t
= cos
2
.cos
2

.
)2
2
1
cos
)
.
cos
)
βα
βα
βα
βα
βα
+
=
++
sin(2
c
cos(
c
sin(
osos
=
)2
2
1
βα
+
sin(2

A
2
1
(đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh a, b, c R ta có:
2
c1.
2
b1
c-b
2
b1.
2
a1
ba
2
c1.
2
a1
ca
++
+
++
−
≤
++
−
Đặt a = tg; b = tg, c= tg
Biểu thức cần chứng minh:

γβ
γβ
βα
βα
γα
γα
cos.cos
1
cos.cos
1
cos.cos
1
tgttgt
tgt
−
+
−
≤
−
gg
g