biến đổi fourier rời rạc

Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục
Chuỗi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc
Biến đổi Fourier theo thời gian
gián đoạn
Biến đổi Fourier rời rạc
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đôi khi còn được gọi là
biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu
thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực
hoặc số phức, làm biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên
các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu
và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong trong một tín hiệu, để giải
phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có
thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT).
Mục lục
1 Định nghĩa
2 Các tính chất
2.1 Đầy đủ
2.2 Trực giao
2.3 Định lý Plancherel và định lý Parseval
2.4 Tuần hoàn
2.5 Định lý dịch
2.6 Unita
3 Ứng dụng
3.1 Phân tích phổ
4 Một số cặp biến đổi Fourier rời rạc
5 Tham khảo
6 Liên kết ngoài
Định nghĩa

Dãy của N số phức : được biến đổi thành chuỗi của N số phức X
0
, , X
N−1
bởi công thức sau đây:
với e là cơ số của lôgarit tự nhiên, là đơn vị ảo ( ), và π là pi. Phép biến đổi đôi khi được kí hiệu bởi ,
như sau hoặc hoặc .
Phép biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT) được cho bởi công thức sau
Những phương trình này có thể được mô tả đơn giản như sau: các số phức X
k
đại diện cho biên độ và pha ở các
bước sóng khác nhau của "tín hiệu vào" x
n
. Phép biến đổi DFT tính các giá trị X
k
từ các giá trị x
n
, trong khi IDFT
tính x
n
bằng tổng của các sóng thành phần với tần số k / N. Khi viết các phương trình dưới dạng
như trên, ta đã sử dụng công thức Euler để biểu diễn các hàm lượng giác dưới dạng lũy thừa số phức để biến đổi
được dễ dàng. Khi viết X
k
dưới dạng tọa độ cực, ta thu được biên độ A
k
/ N và pha φ
k
từ modulus và argument
của X

k
:
trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan. Cần ghi chú rằng các thừa số chuẩn hóa của DFT và IDFT (ở
đây là 1 và 1/N) và dấu của các số mũ chỉ là quy ước, và có thể khác nhau trong các tài liệu khác nhau. Điều kiện
duy nhất cho các quy ước này là DFT và IDFT có dấu ngược nhau ở các số mũ và tích của hai thừa số chuẩn hóa
phải là 1/N.
Các tính chất
Đầy đủ
Phép biến đổi Fourier rời rạc là một biến đổi tuyến tính khả nghịch
trong đó C kí hiệu tập các số phức. Nói cách khác, với mọi N > 0, mọi vectơ phức N chiều đều có một DFT và
một IDFT, và chúng đều là các vectơ phức N chiều.
Trực giao
Các vectơ tạo thành một cơ sở trực giao của tập các vectơ phức N chiều:
trong đó là hàm delta Kronecker. Có thể dùng điều kiện trực giao để suy ra công thức cho IDFT từ định
nghĩa của DFT, và điều kiện này tương đương với điều kiện unita dưới đây.
Định lý Plancherel và định lý Parseval
Nếu X
k
và Y
k
là các DFT của x
n
và y
n
thì theo định lý Plancherel:
trong đó dấu sao kí hiệu số phức liên hợp. Định lý Parseval là một trường hợp đặc biệt của định lý Plancherel:
Các định lý này tương đương với điều kiện unita dưới đây.
Tuần hoàn
Nếu như ta tính biểu thức định nghĩa DFT tại mọi số nguyên k thay vì chỉ cho k=0, , N-1, thì dãy số nhận được là
một mở rộng tuần hoàn của DFT, và có chu kì N.

Tính tuần hoàn có được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa:
Tương tự như vậy, biểu thức của IDFT cũng cho một dãy mở rộng tuần hoàn.
Định lý dịch
Việc nhân các số x
n
với một pha tuyến tính (m là một số nguyên bất kì) tương ứng với việc dịch vòng tròn
các số X
k
: X
k
được thay bằng X
k-m
, trong đó các chỉ số được tính theo mô đun N. Tương tự như vậy, việc dịch
vòng tròn các số x
n
tương ứng với việc nhân các số X
k
với một pha tuyến tính. Dưới dạng công thức, nếu {x
n
} đại
diện cho vectơ x thì
nếu
thì
và
Unita
Có thể nhận thấy theo mô tả ở trên, toán tử DFT có thể được biểu diễn dưới dạng một ma trận Vandermonde:
trong đó
là một căn nguyên thủy bậc N của đơn vị. Phép biến đổi ngược chính là ma trận nghịch đảo của ma trận trên:
Với hằng số chuẩn hóa unita , DFT trở thành một biến đổi unita, định nghĩa bởi một ma trận unita:
trong đó det() là hàm tính định thức. Định thức là tích của các giá trị riêng (luôn là hoặc như mô tả dưới

đây). Trong không gian vectơ thực, một biến đổi unita có thể xem là phép quay vật rắn của hệ tọa độ, và tất cả các
tính chất của phép quay vật rắn đều đúng cho toán tử unita DFT.
Tính trực giao của DFT nay có thể viết dưới dạng điều kiện trực chuẩn:
Nếu X được định nghĩa là unita DFT của vectơ x thì
và định lý Plancherel có thể viết dưới dạng:
Nếu ta coi DFT chỉ là một phép biến đổi tọa độ trong đó chỉ cần chỉ ra các thành phần của vectơ trong hệ tọa độ
mới, thì mệnh đề trên chỉ nói rằng tích vô hướng của hai vectơ được giữ nguyên trong phép biến đổi unita DFT.
Trong trường hợp đặc biệt khi x=y, điều này có nghĩa là độ dài vectơ cũng được giữ nguyên—đây chính là định lý
Parseval:
Ứng dụng
DFT có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau. Ở đây chỉ mô tả một số ví dụ (tham khảo thêm các
tài liệu ở cuối trang). Tất cả các ứng dụng của DFT đều dựa trên một tính chất quan trọng là DFT và IDFT đều có
thể được tính nhanh chóng bằng thuật toán biến đổi Fourier nhanh.
Phân tích phổ
Khi sử dụng DFT để phân tích phổ, dãy {x_n} thường đại diện cho một dãy hữu hạn các mẫu tại các thời điểm
cách đều nhau của một tín hiệu x(t), trong đó t để chỉ thời gian. Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian
rời rạc) chuyển biến đổi Fourier liên tục của x(t) thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), và thường gây ra
hiệu ứng răng cưa. Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần số Nyquist) là vô cùng quan trọng cho việc
giảm thiểu hiệu ứng này.
Một số cặp biến đổi Fourier rời rạc
Một số cặp DFT
Ghi chú
Định lý dịch
DFT cho số
thực
từ công thức
cấp số nhân
từ định lý nhị
thức
là một hàm

chữ nhật gồm W
điểm quanh
trung điểm n=0,
trong đó W là
một số nguyên
lẻ, và là
một hàm tương
tự hàm sinc(cụ
thể hơn, là
một hàm hạt
nhân Dirichlet)
Rời rạc hóa và
tổng tuần hoàn
của Hàm Gauss
với . Vì
hoặc là lớn
hơn một và do
đó đảm bảo sự
hội tụ nhanh
chóng của một
trong hai tổng,
với lớn, có thể
tính phổ tần số
và chuyển về
miền thời gian
bằng biến đổi
Fourier rời rạc.
Tham khảo
Brigham, E. Oran (1988). The fast Fourier transform and its applications. Englewood Cliffs, N.J.:
Prentice Hall. ISBN 0-13-307505-2.

Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R. (1999). Discrete-time signal processing. Upper
Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
Smith, Steven W. (1997). The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
( . San Diego, Calif.: California Technical Publishing. ISBN 0-
9660176-3-3. />Cormen, Thomas H.; Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001). "Chapter 30:
Polynomials and the FFT". Introduction to Algorithms (ấn bản Second Edition). MIT Press and McGraw-
Hill. pp.822–848. ISBN 0-262-03293-7. esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830–838.
P. Duhamel, B. Piron, and J. M. Etcheto (1988). "On computing the inverse DFT". IEEE Trans. Acoust.,
Speech and Sig. Processing 36 (2): 285–286.
J. H. McClellan and T. W. Parks (1972). "Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier
transformation". IEEE Trans. Audio Electroacoust. 20 (1): 66-74.
Bradley W. Dickinson and Kenneth Steiglitz (1982). "Eigenvectors and functions of the discrete Fourier
transform". IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 30 (1): 25-31.
F. A. Grünbaum (1982). "The eigenvectors of the discrete Fourier transform". J. Math. Anal. Appl. 88 (2):
355-363.
Natig M. Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf (1997). "Fractional Fourier-Kravchuk transform". J. Opt.
Soc. Am. A 14 (7): 1467-1477.
C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas (2000). "The discrete fractional Fourier transform". IEEE
Trans. On Signal Processing 48 (5): 1329-1337.
Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). "Hermite-
Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value
decomposition of its orthogonal projection matrices". IEEE Trans. Circ. Syst. I 51 (11): 2245-2254.
Juan G. Vargas-Rubio and Balu Santhanam (2005). "On the multiangle centered discrete fractional Fourier
transform". IEEE Sig. Proc. Lett. 12 (4): 273-276.
J. Cooley, P. Lewis, and P. Welch (1969). "The finite Fourier transform". IEEE Trans. Audio
Electroacoustics 17 (2): 77-85.
Liên kết ngoài
Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O. Smith III
( />Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL) ()
Xử lý tín hiệu số

Lý
thuyết
tín hiệu thời gian rời rạc · định lý lấy mẫu · lý thuyết ước lượng · lý thuyết phát hiện tín hiệu
Các
chuyên
ngành
xử lý tín hiệu âm thanh · xử lý hình ảnh số · xử lý tiếng nói · xử lý tín hiệu thống kê
Các kĩ
thuật
Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) · biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) · Bất biến xung lực ·
biến đổi song tuyến tính · ánh xạ cực-không · biến đổi Z · biến đổi Z mở rộng
Lấy
mẫu
lấy thừa mẫu · lấy thiếu mẫu · giảm mẫu · tăng mẫu · hiệu ứng răng cưa · lọc khử răng cưa ·
khoảng lấy mẫu · khoảng Nyquist/tần số Nyquist
Lấy từ “ />Thể loại: Giải tích Fourier Xử lý tín hiệu Giải tích số
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 06:17, 9/3/2013.
Văn bản được phát hành theo Giấy phép Creative Commons Ghi công/Chia sẻ tương tự; có thể áp dụng
điều khoản bổ sung. Xem Điều khoản Sử dụng để biết thêm chi tiết.
Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của Wikimedia Foundation, Inc., một tổ chức phi lợi nhuận.