Chương Iii. Các Phương Trình Vi Phân Vận Động Cơ Bản Của Ndđ.ppt

CƠ SỞ THỦY ĐỊA
CƠ HỌC
CHƯƠNG III.
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VẬN ĐỘNG CỦA NDĐ


1. Phương trình liên tục






Phương trình liên tục của dịng thấm là phương trình tổng
quát vận động của chất lỏng đồng nhất trong mơi trường
lỗ hổng; phương trình đó là biểu thức toán học của qui
luật bảo tồn khối lượng của chất lỏng vận động. Phương
trình liên tục gặp hầu như trong tất cả các lĩnh vực vật lý.
Để thành lập phương trình phương trình liên tục chúng ta
lấy một hình hợp ngun tố có
cạnh dx, dy, dz song song với
các trục tọa độ (hình 11).
Chúng ta sẽ nghiên cứu sự cân
bằng vật chất sau khoảng thời
gian vô cùng nhỏ dt trong hình
hộp ngun tố.
Hình I.1. Ngun tố vơ cùng
bé của dịng thấm khơng gian

1. Phương trình liên tục








Thể tích của hình hộp ngun tố
ký hiệu là V, bằng dxdydz. Thể
tích hổng trong hình hộp là Vh,
được xác định theo biểu thức
Vh nV
sau .
Khối lượng chất lỏng lấp đầy
các lỗ hổng trong nguyên tố Hình I.1. Ngun tố vơ cùng
dịng thấm sẽ bằng
bé của dịng thấm khơng gian
M = nV
(II-1)
ở đây,  - mật độ của chất lỏng.
Vi phân phương trình (II-1) chúng ta tìm được sự thay đổi
khối lượng của chất lỏng trong hình hộp sau thời gian dt.
M
V(n )
(II-2)

t

dt 

t

dt


1. Phương trình liên tục




Bằng cách khác chúng ta thấy
rằng khối lượng của chất lỏng
chảy vào nguyên tố nghiên cứu
hướng trục x sẽ bằng
– hình chiếu của
động trên trục x).
khoảng thời gian đó
của chất lỏng chảy
hộp nguyên tố sẽ bằng.

theo
vxdydzdt (vx
tốc độ vận
Cũng trong
Hình I.1. Ngun
tố vơ cùng
khối lượng
bé của dịng thấm khơng gian

ra từ hình
vx  


v

dx  dydzdt
 x
x


Như vậy, hiệu số giữa khối lượng nước chảy đến và chảy
ra khỏi nguyên tố nghiên cứu sau khoảng thời gian dt
v x 
theo phương trục x sẽ là



x

dxdydzdt


1. Phương trình liên tục


Tương tự, sự thay đổi khối lượng
của chất lỏng trong hình hộp
nguyên tố theo các trục y và z sẽ
bằng:  v

y

.dxdydzdt
y
và
v z 
Hình I.1. Nguyên tố vơ cùng

dxdydzdt
bé của dịng thấm khơng gian
z
Tồn bộ khối lượng chất lỏng thay đổi trong nguyên tố
dòng thấm sau thời gian dt sẽ là:
 vx  v y  vz 
(II-3)


 


Vdt


div

v
V
dt

x



y

z


So sách các biểu thức (II-2) và (II-3) chúng ta nhận được
phương trình cân bằng div v  n 
(II-4)
t

 








 


1. Phương trình liên tục








Phương trình trên là phương trình liên tục của dịng thấm.
Để tìm phương trình phân bố áp lực trong dịng thấm cần
phải tìm liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình
liên tục với áp lực.
Trước tiên, chúng ta nghiên cứu động thái cứng trong
dòng thấm đồng nhất. Khi đó người ta bỏ qua sự thay đổi
mật độ của chất lỏng và sự biến dạng của đất đá, tức là
trong phương trình (II-4) n  0 ; ngồi ra, chúng ta cho
t
rằng dịng chất lỏng đồng nhất nên có thể mang  ra
ngồi dấu vi phân theo các toạ độ. Lúc ấy, phương trình
liên tục của dòng thấm đồng nhất về thành phần khi động
thái cứng có dạng
(II-5)
v x v y v z
x



y



z

0

1. Phương trình liên tục










ở đây vận động của chất lỏng tuân theo định luật Đacxi và
các thành phần của tốc độ thấm được biểu diễn bằng các
biểu thức sau:
H
H
H
(II-6)
v x  k x
; v y  k y
; vz  k z
x
y
z
ở đây kx, ky, kz - hệ số thấm theo hướng của các trục tọa
độ.
Thay các giá trị của vx, vy và vz từ phương trình (II-6) vào
phương trình liên tục, chúng ta nhận được
  H    H    H 

(II-7)
   k z
 kx
   k y
 0
x  x  y  y  z  z 
Phương trình trên là phương trình eliptit của tốn lý.


1. Phương trình liên tục










Trong lớp đồng nhất - đẳng hướng (kx = ky = kz = const và
có thể đưa ra ngoài dấu vi phân), sự phân bố áp lực trong
lớp được biểu diễn bằng phương trình Laplace.
2 H 2 H 2 H
(II-8)


0
x 2

y 2

z 2

Phương trình Laplace là một trong những phương trình
quan trọng nhất của vật lý tốn; hàm số thỏa mãn
phương trình Laplace gọi là hàm số điều hòa hoặc hàm
số thế
Các thành phần của tốc độ thấm có thể biểu diễn qua
hàm số  = kH ( gọi là hàm số thế của tốc độ thấm), khi
đó các biểu thức (II-6) viết lại ở dạng sau:



(II-9)
vx 
; v y 
; vz 
x
y
z


1. Phương trình liên tục







Nhờ biểu thức (II-9) phương trình liên tục của dịng thấm
khi động thái cứng có dạng:
2 2 2
(II-10)



0
x 2 y 2 z 2
Phương trình Laplace có một tính chất rất quan trọng, có
ý nghĩa rất lớn trong thủy động lực đó là tổ hợp bất kỳ các
lời giải thích nào của phương trình Laplace cũng là lời
giải của phương trình Laplace.
Từ đây rút ra kết luận: có thể cộng các thế của dịng
phẳng nước dưới đất; vận động tổng hợp cũng là vận
động thế.


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp








Để thành lập phương trình của dịng
phẳng ngang khơng áp chúng ta nghiên

cứu sự cân bằng của nước trong nguyên
tố vô cùng bé có các cạnh dx, dy và
chiều cao bằng tồn bộ chiều dày của tầng
chứa nước (hình II.2)
Lưu lượng nước chảy đến ngun tố theo Hình II.2. Sơ đồ
dịng ngun tố
hướng trục x là qxdy và theo trục y là qydx;
lưu lượng chảy ra từ nguyên tố trong ứng với các trục tọa
độ như sau :
q x
dxdy Lượng nước chảy đến
theo trục x là
qxdy +
x
theo trục y là

qydx +

q y
x

dydx

lấy dấu dương nếu
chiều chảy trùng với
chiều của trục tọa độ.


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp


Ngồi các đại lượng trên trong dòng
nguyên tố còn nhận được lượng nước
cung cấp ngấm từ trên xuống Wdxdy.
Hiệu số giữa lưu lượng nước chảy đến
và
chảy đi chính là sự thay đổi thể tích
nước trong ngun tố nghiên cứu. Trị
Hình II.2. Sơ đồ
số nước thay đổi được biểu diễn ở dạng
dòng nguyên tố
khác và bằng  H dxdy (ở đây,  - độ
t
nhả nước hoặc độ thiếu hụt bão hịa). Khi đó phương trình
cân bằng của nước trong lịng ngun tố có dạng sau
q y
q x
H
q x dy  q y dx  Wdxdy q x dy 
dxdy  q y dx 
dydx  
dxdy
x
y
t


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp











Sau khi rút gọn phương trình trên chúng
ta
nhận được phương trình liên tục của
dịng phẳng ngang khơng áp:
(II-11)
qx q y
H


 W 
x
y
t
Đối với dịng phẳng ngang khơng áp ở
Hình II.2. Sơ đồ
mỗi một mặt cắt thẳng đứng gradien áp
dịng ngun tố
lực khơng đổi và bằng độ nghiêng bề mặt nước ngầm
(II-12)
 H
 H

ix 
; iy 
x
y
Các biểu thức đối với lưu lượng đơn vị qx và qy có thể viết ở
dạng sau:
qx = Tix; qy = Tiy
(II-13)
T - độ dẫn nước ở mặt cắt tính tốn và bằng tích số giữa hệ số thấm và
chiều dày của tầng chứa nước;


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp


đối với tầng chứa nước không đồng
nhất gồm nhiều lớp, độ dẫn nước T
được xác định theo công thức sau
n

T  ki hi k1h1  k 2 h2  ...





i 1

Nhờ các biểu thức trên phương trình (II11) viết lại được ở dạng
  H    H 

H(II-14)
  W 
T
   T
x  x  y  y 
t
Hình II.3. Mặt cắt thẳng
Phương trình (II-14) là phương trình vi
đứng của tầng chứa
phân phi tuyến tính. Trong nhiều trường
nước có cấu tạo lớp
hợp độ dẫn nước có thể coi như khơng
đổi và khi đó phương trình (II-14) sẽ có 2 H 2 H W  H
 2   .
2
dạng đơn giản hơn:(II-15)
x
y
T T t


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp


Khi vận động ổn định và khi khơng có
nước ngấm từ trên xuống, phương
trình (II-15) sẽ có dạng sau
2 H 2 H
 2 0
2

x
y





Trong lớp đồng nhất độ dẫn nước
T = kh (ở đây, h - chiều dày của dịng
nước ngầm và có thể lấy h = H), khi đó
phương trình (II-15) có dạng sau
2 h 2 2 h 2 2W 2  h
(II-16)
x



2



y

2



k



k

.

t

h
Thừa số
ở vế phải phương trình
t
(II-16) có thể biểu diễn ở dạng sau

Hình II.3. Mặt cắt thẳng
đứng của tầng chứa
nước có cấu tạo lớp

h 1 h 2
 .
t 2h t


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp



2

và ký hiệu U  12 h , khi đó phương trình
(II-6) có dạng

2U 2U W  U
(II-17)

  .
x 2



y 2

k

kh t

ở vế phải phương trình (II-17) coi h
kh
a

bằng giá trị trung bình và ký hiệu

(1959 Selkatsev V.N đề nghị gọi a là
hệ số truyền mực nước đối với nước
không áp và là hệ số truyền áp đối với
nước áp lực), khi đó phương trình của
dịng phẳng ngang khơng áp sẽ có
dạng đơn giản sau 2
2

Hình II.3. Mặt cắt thẳng
đứng của tầng chứa

nước có cấu tạo lớp

 U  U W 1 U
 2   .
2
x
y
k a t

(II-18)


3. Phương trình động thái đàn hồi của dịng thấm






Động thái đàn hồi của dịng thấm phát sinh khi có sự thay
đổi tải trọng trên tầng chứa nước làm thay đổi áp lực. Động
thái đàn hồi biểu diễn rõ rệt trong các tầng chứa nước áp
lực. Đơrêxôv, Selkatsev V.N. là những người đầu tiên xây
dựng lý thuyết về dòng thấm trong điều kiện động thái đàn
hồi.
Tương tự như khi thành lập phương trình liên tục của dịng
thấm, ta lập được cân bằng nước trong ngun tố dịng
thấm vơ cùng bé
(II-19)
v x  v y  v z  n 

x






y



z



t

ở đây,  - tỉ trọng của nước.
Chúng ta sẽ tìm biểu thức đạo hàm đối với thời gian của tích
số n trong điều kiện đàn hồi.


3. Phương trình động thái đàn hồi của dịng thấm





Khi áp lực thay đổi nước là vật thể đàn hồi lý tưởng, vì sự
thay đổi tỉ trọng của nước  tuân theo định luật Huc sẽ tỉ

lệ thuận với sự thay đổi áp P

  n P
(II-20)

n - hệ số co giãn thể tích của nước, nó là sự thay đổi
tương đối thể tích của nước khi thay đổi áp lực là 1at. Đối
với nước nhạt n = 4,75.10-51/at, còn đối với nước kháong
với độ khống hóa M(g/l) dùng cơng thức Maminun V.N.
 n 4,75.10  5  7,15.10  8 



M 1
.
 at

Đồng thời có thể cho rằng sự thay đổi áp lực làm cho độ lỗ
hổng của đất đá trong vỉa cũng thay đổi và tỷ lệ thuận với
sự thay đối áp lực lên cốt đất.
n = - dPd
(II-21)


3. Phương trình động thái đàn hồi của dịng thấm


Coi áp lực bên ngồi khơng thay đổi, chúng ta có Pđ = P và
n = dP
(II-22)



ở đây, d - hệ số giãn thể tích của đất đá; trị số của nó thay
đổi trong phạm vi rất rộng và phụ thuộc và loại đá và chiều
sâu thế nằm.
Theo Selkatsev V.N đối với đất đá trầm tích nằm sâu có
thể lấy đ = (1÷5).10-41/at





Dùng các quan hệ (II-20) và (II-22) vế phải của phương
trình (II-19) viết lại ở dạng sau
n 

n
n

(II-23)

t

t

t


3. Phương trình động thái đàn hồi của dịng thấm



chú ý rằng

P
H

t
t

chúng ta có


P
H
2
n
  n
t
t
t

n
P
H
 d
d
t
t
t







khi có (II-23) có dạng

.n 
H
H
H
 2 .n.n
 2d
n
;
t
t
t
t
 n n n   d 

(II-24)

ở đây n - hệ số đàn hồi, hệ số đàn hồi là sự thay đổi thể
tích nước trong nguyên tố đơn vị của dòng khi áp lực thay
đổi.

3. Phương trình động thái đàn hồi của dịng thấm








Phân tích tài liệu thăm dị tỉ mỉ nước dưới đất đã chứng tỏ
rằng trong các tầng chứa nước áp lực sự thay đổi hệ số đàn
hồi của đới trao đổi mạnh thường không lớn (thực tế n = 106
– 10-51/atm).
Nhờ biểu thức (II-24) và áp dụng định luật thấm đường
thẳng Đacxi, từ phương trình (II-19) chúng ta nhận được
phương trình vi phân của dịng thấm khơng gian trong lớp
đồng nhất đẳng hướng khi động thái đàn hồi
k
2 H 2 H 2 H 1 H
(II-25)
a




.
(n n   d
x 2
y 2
z 2 a t

Thơng số a đặc trưng cho q trình phát triển động thái
thấm đàn hồi của dòng thấm theo thời gian; Selkatsev V.N.
gọi a là hệ số truyền áp và theo ơng nó phụ thuộc vào độ co
giãn của lớp.