Sv tich phan bat dinh

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH


ĐỊNH NGHĨA

F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x)

f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định


BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
dx
dx
1
x
1/ 
arctan x  C
2/  2
 arctan  C
2
2
a
a
1 x
a x
dx
dx
x
3/ 
arcsin x  C
4/ 

arcsin  C
2
2
2
a
1 x
a  x
dx
5/ 
ln x  x 2  k  C
x2  k
2
x
a
x
2
2
2
2
6 /  a  x dx  a  x  arcsin  C
2
2
a
x 2
k
2
7 /  x  kdx  x  k  ln x  x 2  k  C
2
2

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

8 / chx dx shx  C
9 / shx dx chx  C

dx
10 /  2 thx  C
ch x
dx
11 /  2  cothx  C
sh x
dx
x
12 / 
ln tan  C
sin x
2
dx
x 

13 / 
ln tan     C
cos x
 2 4


Ví dụ



dx
4 x

2

x
arcsin  C
2

dx

1
x
x 2  4  2 arctan 2  C
1
x
3 e dx (3e) dx ln 3  1(3e)  C
x x

x


CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Đổi biến:
Đổi biến 1: x = u(t)  dx = u’(t) dt
f(x) dx = f(u(t))u’(t)
dt
Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt
f(u(x))u’(x) dx = f(t)

dt
2. Tích phân từng phần:
u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ­u’(x)v(x)
dx


Ví dụ

x

2 x3

e dx

1 x3
3
 e d ( x )
3

x
arctan
2 dx
 4  x2

1 x3
 e C
3

1
x 

x
 arctan d  arctan 
2
2 
2


Một số lưu ý khi dùng tp từng phần
Pn ( x )

là đa thức bậc n.

Pn .ln( x )dx
Pn .arctan xdx
Pn .arcsin xdx

dv Pndx, u là phần còn lại

x

Pn .e dx
Pn .sin xdx

u Pn ( x ), dv là phần còn lại


Ví dụ

I arcsin xdx

u arcsin x  du 

dx

1 x
dv dx , chon v x


2

2

1 d (1  x )
I  x arcsin x  
 x arcsin x  
2 2 1 x2
1 x2
xdx

1
 x arcsin x  1  x 2  C
2


TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Ngun tắc: chuyển về các tích phân cơ bản

dx
( Ax  B )dx
( x  a)m , x 2  px  q

Trong đó: * m là các số tự nhiên,
* Các tam thức bậc 2 có = p2 - 4q< 0


Tích phân các phân thức cơ bản

dx
x  a ln x  a  C
dx
1
1
( x  a)m 1  m ( x  a)m 1  C (m > 1)


Tích phân các phân thức cơ bản

( Ax  B)dx
x2  px  q

Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)

A
2x  p
Ap
dx

 2
dx   B 
 2
2 x  px  q

2  x  px  q

2x  p
du
x2  px  qdx u ln u  C


Tích phân các phân thức cơ bản

dx
x2  px  q

dx


2
2
 x  p  q  p


2
4

dv
1
v
 2
 arctan  C
2
a

v a a


Ví dụ

x- 1

ị x2 -

dx
x +1

ỉ
1
2x - 1
1
= ị
dx + ç
ç
è2
2 x 2 - x +1

ư
dx
÷
1÷
÷ị 2
ø
x - x +1

1
dx
1
2
= ln( x - x + 1) - ũ
2
2
2
ổ 1ử 3
ữ
ỗ
x
+
ữ
ỗ
ữ
ố 2ø 4
1
x
1
1 2
2
2 +C
= ln( x - x + 1) - . arctan 2.
2
2 3
3


Tích phân các phân thức cơ bản

( Ax  B)dx
A (2 x  p)dx
Ap
dx
( x2  px  q)n  2 ( x2  px  q)n  (B  2 )( x2  px  q)n
(2 x  p) dx
du
( x2  px  q)n un
dx
dv
( x2  px  q)n (v2  a2 )n I n

1 
v
I n1 
 (2n  1) I n 
2
2
2 n
2na  (v  a )



Chứng minh quy nạp In
2
2 n
2
2  n 1
dx
u


(
x

a
)

du

2
nx
(
x

a
) dx
I n  2
( x  a2 ) n dv dx, choïn v  x

I n  x( x2  a2 )  n  2nx2 ( x2  a2 )  n 1 dx
I n  x( x2  a2 )  n  2n( x2  a2  a2 )( x2  a2 ) n 1 dx
 x( x2  a2 )  n  2n( x2  a2 )  n dx  2na2 ( x2  a2 )  n 1 dx
I n  x( x2  a2 )  n  2nI n  2na2 I n1

1 
x
 I n1 
 (2n  1) I n 
2
2

2 2
2na  ( x  a )



ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH

p( x )
Hàm hữu tỷ: f ( x ) 
m
n
2
r
( x  a) ( x  b) ( x  px  q )
Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam
thức ở mẫu có  < 0, sẽ được phân tích ở dạng

A1
A2
Am
B1
Bn
f (x) 

 ... 

 ... 
2
m
x  a ( x  a)

x b
( x  a)
( x  b)n
C1x  D1
C2 x  D2
Cr x  Dr
 2
 2
 ...  2
2
x  px  q ( x  px  q )
( x  px  q )r


MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH

2x  1
2x  1
A
B
f (x)  2



x  2 x  3 ( x  1)( x  3) x  1 x  3
Tính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1
x 1

2x  1
B

1
A 
( x  1)  A 
x 3
x 3
4
2
x

1
Để tính nhanh, trong biểu thức
( x  1)( x  3)
Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A

Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3
(hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4


2x  1
A
B
C
f (x) 



2
2
( x  1) ( x  3) x  1 ( x  1) x  3
Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1

2x  1
A
1/ 4
C
f (x) 



2
2
( x  1) ( x  3) x  1 ( x  1) x  3
Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3