bài giảng tích phân bất định

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN
1. Tích phân bất định
2. Tích phân xác định
3. Tích phân suy rộng
4. Ứng dụng hình học của tích phân


Tích phân bất định
Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của
hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc
(a,b) ta đều có F’(x) = f(x)
Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra:
1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C
cũng là nguyên hàm của hàm f(x)
2. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C
Định lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục ∀x ∈ (a, b)
và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có ngun
hàm trên [a,b]


Tích phân bất định
Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một
nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số)
được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Tính chất:
∫ f ′( x)dx = f ( x) + C
d
∫ f ( x)dx = f ( x)
dx

∫ a. f ( x)dx = a.∫ f ( x)dx
∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx


Tích phân bất định
Bảng tích phân các hàm cơ bản
α +1
1
x
α
∫ 2 dx = tan x + C
x dx =
+ C , α ≠ −1
∫
cos x
α +1
1
1
∫ 2 dx = − cot x + c
∫ x dx = ln x + C
sin x
1
1
x
ax
x
∫ 2 2 dx = a arctan a + C
∫ a dx = ln a + C
a +x

∫ sin xdx = − cos x + C
∫ cos xdx = sin x + c

1
1
x+a
∫ 2 2 dx = 2a ln x − a + C
a −x

dx
x
∫ sin x = ln tan 2 + C

dx
x π
∫ cos x = ln tan  2 + 4 ÷ + C




Tích phân bất định
Bảng tích phân các hàm cơ bản
1

x
∫ 2 2 dx = arcsin a + c
a −x

∫

1
x2 ± a2

dx = ln x + x 2 ± a 2 + C

a2
x x a2 − x2
a 2 − x 2 dx =
arcsin +
+C
∫
2
a
2
dx
∫ 2 = thx + C
ch x
∫ shxdx = chx + C
dx
∫ chxdx = chx + C
∫ 2 = −cthx + C
sh x


Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến:
Định lý: Nếu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Thì: ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt = F (ϕ (t )) + C
Với φ(t) là hàm khả vi
Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải:

( F (ϕ (t )) + C ) ′ = F ′(ϕ (t )).ϕ ′(t )

= f (ϕ (t )).ϕ ′(t )

Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là định
lý được chứng minh
Định lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặp
sau đây


Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả
vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt
Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì
f ( x)dx = G (t ) + C = G (ϕ −1 ( x)) + C
∫
Ví dụ: Tính tích phân I1 = ∫ 1 − x 2 dx
Đặt x = sint thì

dx = cos tdt


1 − x 2 = cos t



t = arcsin x


và 
sin2t = 2 x 1 − x 2



I1 = ∫ cos 2 tdt
1 + cos 2t
1 1
arcsin x x 1 − x 2
=∫
dt = t + sin2t + C =
+
+C
2
2 4
2
4


Tích phân bất định
Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx và
giả sử ∫ f ( x)dx = ∫ g (ϕ ( x ))ϕ ′( x)dx với

∫ g ( x)dx = G ( x) + C
Thì ∫ f ( x)dx = G (ϕ ( x)) + C
dx
Ví dụ: Tính I 2 = ∫
x2 + a2
x

1
Đặt u = ⇒ du = dx ⇒ dx = adu
a
a
1 adu
1
1
x
I2 = 2 ∫ 2
= arctan u + C = arctan + C
a
a
a u +1 a


Tích phân bất định
Ví dụ: Tính I 3 = ∫ e x 4 + e x dx
2udu
Đặt u = 4 + e ⇒ e = u − 4 ⇒ e dx = 2udu ⇒ dx = 2
u −4
2udu
2 3
2
2
2
I 3 = ∫ (u − 4)u 2
(e x + 4)3 + C
= ∫ 2u du = u + C =
3
3

u −4
dx
Ví dụ: Tính I 4 = ∫ x
2 +1
2 x dx
1  x
 1
I4 = ∫ x x
= ∫ x − x
÷2 dx = ∫ dx − J
2 (2 + 1)
2 +1
2
x
x
du
2 dx
du
ln(2 − 1)
x
x
= 2 dx ⇒ J = ∫ x
=∫
=
Đặt u = 2 +1 ⇒
ln 2
u ln 2
ln 2
2 +1
x

ln(2 − 1)
⇒ I4 = x −
+C
ln 2
x

x

2

x


Tích phân bất định
Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x)
có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x)
cũng có nguyên hàm trên (a,b) và ta có

∫ u′( x)v( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u ( x)v′( x)dx
Đẳng thức trên tương đương với:
∫ ( u′( x)v( x) + u ( x)v′( x) ) dx = u ( x)v( x)
Đẳng thức này hiển nhiên đúng theo công thức đạo
hàm của tích
Ta cịn viết CT trên ở dạng

∫ udv = uv − ∫ vdu


Tích phân bất định

Ví dụ: Tính I 5 = ∫ arcsin xdx
Đặt u=arcsinx, dv=dx
I 5 = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x arcsin x − ∫ xd (arcsin x)
1 d (1 − x 2 )
= x arcsin x − ∫
= x arcsin x + ∫
2
1 − x2
1 − x2
xdx

= x arcsin x + 1 − x 2 + C
2

Ví dụ: Tính I 6 = ∫ x ln xdx
1
Đặt x 2 dx = dx3 = du , v = ln x
3
x3 ln x
x3
x3 ln x
x2
x3 ln x x3
I6 =
− ∫ d (ln x) =
− ∫ dx =
− +C
3
3
3

3
3
9


Tích phân bất định
Ví dụ: Tìm cơng thức truy hồi cho tích phân
dx
In = ∫ 2
( x + a 2 )n
x
1
x
2nxdx
In = 2
− ∫ xd 2
+∫x 2
2 n
2 n =
2
2 n
(x + a )
(x + a )
(x + a )
( x + a 2 ) n +1
x
( x2 + a2 ) − a2
= 2
+ 2n ∫ 2
dx

2 n
2 n +1
(x + a )
(x + a )
x
= 2
+ 2nI n − 2na 2 I n +1
( x + a 2 )n


x
Vậy: I n +1 = 1 
+ (2n − 1) I n 
2
2
2 n
2na  ( x + a )



Tích phân bất định

dx
1 
x
In = ∫ 2
⇒ I n +1 =
+ (2n − 1) I n  , n = 1,2,..
2 n
2  2

2 n
(x + a )
2na  ( x + a )


Với n=1:

dx
1
x
I1 = ∫ 2
= arctan + C
2
a
a
x +a

dx
1  x
1
x
Với n=2: I 2 = ∫ 2
= 2 2
+ arctan ÷+ C
2 2
2
a
a
(x + a )
2a  x + a

Tích phân bất định
1. Tích phân phân thức đơn giản lọai 1:
d x+b
M
M
M 1
a
dx =
∫
=
x+b
∫
k
a
a
(ax + b) k
a 1− k
b
x+
a

(

(

)

)

(

)

1− k

+C

2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c
là tam thức bậc 2 khơng có nghiệm thực
Mx + N
dx
∫ 2
k
(ax + bx + c)

Thêm bới để tử số thành đạo
hàm của mẫu số cộng 1 hằng số

M
(2ax + b)dx
=
+
∫ 2
k ∫
2a (ax + bx + c)

Mb
(N −

)dx
a

k

 2 b
b
b 
a x + x+ 2 +c− 2 ÷
a
4a
4a 

k

2

2


Tích phân bất định
M
(2ax + b)dx
=
+
∫ 2
k ∫
2a (ax + bx + c)

Mb

(N −
)dx
a

k

 2 b
b
b 
a x + x+ 2 +c− 2 ÷
a
4a
4a 

Thêm bớt để mẫu số có dạng u2+a2
k

M d (ax 2 + bx + x)
=
+∫
∫ 2
k
2a (ax + bx + c)

2

2

Mb 
b 

(N −
)d  x +
÷
a
2a 


k


b 
b2 
ak   x + ÷ + c − 2 ÷

2a 
4a ÷


du
du
Ta đựơc tổng của 2 tp cơ bản dạng
∫ k ,∫ 2 2 k
u
(u + a )
2


Tích phân bất định
2x + 3
dx

Ví dụ: Tính I 7 = ∫ 2
2
( x + x + 1)
Tách tử số thành tổng đạo hàm của mẫu số và 1
hằng số để chia hàm thành tổng 2 hàm với hàm thứ
2 có mẫu số đã tách thành tổng bình phương của 1
nhị thức và hằng số
1
2d ( x + )
(2 x + 1)dx
2
I7 = ∫ 2
+∫
2
( x + x + 1) 2

1 2
3 2
 (x + ) + ( ) ÷
2
2 

−1
1
2x +1
2
2x +1 
= 2
+ 2. 
+

arctan
÷+ C
2
3  2( x + x + 1)
3
3 
x + x +1


Tích phân bất định
Pn ( x)
Tích phân hàm hữu tỉ: f ( x) =
Qm ( x)
Trường hợp 1: n ≥ m
Ta chia đa thức : Pn ( x) = Qm ( x).Tk ( x) + Rl ( x), l < m
Và được:
Pn ( x)
Rl ( x)
∫ f ( x)dx = ∫ Q ( x) dx = ∫ Tk ( x)dx + ∫ Q ( x) dx
m
m
Khi đó, hàm hữu tỉ cần tính tích phân là phân thức thực
sự tức là bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Ta
chuyển sang trường hợp 2.


Tích phân bất định
Trường hợp 2: n < m
Bước 1: Giả sử
Qm ( x) = ( a1x + b1 )l1 ...(ar x + br )lr (c1x 2 + d1x + e1) k1 ...(cs x 2 + d s x + es ) ks

Trong đó l1+l2+…+lr+k1+k2+…+ks=m và các tam thức
bậc 2 dạng - cx2+dx+e - khơng có nghiệm thực
Bước 2: Ta giả sử hàm f(x) thành tổng các phân thức
M jx + N j
đơn giản dạng
Mi
,
li
(ai x + bi ) (c j x 2 + d j x + e j ) k j
Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế để xác định cụ thể các
hệ số M, N, a, b, c, d, e
Bước 4: Tính các tp các hàm đơn giản, cộng lại ta
được tp cần tính


Tích phân bất định
2x − 3
Ví dụ: Tính I8 = ∫ 3
dx
2
x − 5x + 6x
2x − 3
a
b
c
Giả sử : 3
= +
+
2

x − 5x + 6x x x − 2 x − 3
⇔ 2 x − 3 = a ( x − 2)( x − 3) + bx( x − 3) + cx( x − 2)
Ta chọn các giá trị đặc biệt
x = 2 : 1 = −2b ⇔ b = −1
x = 0 : −3 = 6a ⇔ a = −1
2
2
x = 3 : 3 = 3c ⇔ c = 1
−dx
−dx
dx
I8 = ∫
+∫
+∫
2x
2( x − 2)
x −3
−1
−1
= ln x + ln x − 2 + ln x − 3 + C
2
2


Tích phân bất định
x3 + x − 1
Ví dụ: Tính I 9 = ∫ 2
dx
x + 5x + 4
22 x + 19 


I9 = ∫  x − 5 + 2
÷dx
x + 5x + 4 

22 xx19
x 19
x =−1 4 −369
xa
Giả sử: 2222+++ 19=ab= → −b= a b
= ¬ 
¬ =−→
+
=
(( x+++ 1) + 4) x + 1 x −3
x( x1)( x
4)
3+ 4
Cho x = -1, bỏ (x+1) ở mẫu số của VT và giữ hệ số
của 1/(x+1) ở VP, ta được a = - 1
Cho x = -4, bỏ (x+4) ở mẫu số của VT và giữ hệ số c
của 1/(x+4) ở VP, ta được b=23
−1
23
I 9 = ∫ ( x − 5)dx + ∫
dx + ∫
dx
x +1
x+4
2

x
=
− 5 x − ln x + 1 + 23ln x + 4 + C
2


Tích phân bất định
3x − 1
Ví dụ: Tính I10 = ∫ 2
dx
2
( x + 1)( x − 1)
3x − 1
ax + b
c
d
= 2
+
+
Giả sử
2
2
( x + 1)( x − 1)
x + 1 x − 1 ( x − 1) 2
Cho x=1: bỏ (x-1)2 ở VT, a, b, c ở VP, ta được d=1
Cho x=i hoặc x=-i: bỏ (x2+1) ở VT, c, d ở VP, ta được:
3i − 1 = (ai + b)(i − 1) 2 ⇔ a = −1 , b = −3
2
2
Lấy thêm 1 giá trị tùy ý của x: x=0 và thay a, b, d đã

có vào để được c = 1/2
dx
Vậy: I = −1 x + 3 dx + 1 dx +
∫ 2
∫ x −1 ∫
10
2 x +1
2
( x − 1) 2
−1  1
1
 1
2
=  ln( x + 1) + 3arctan x ÷+ ln x − 1 −
+C
2 2
x −1
 2


Tích phân bất định
Tích phân 1 số hàm vơ tỉ

ax + b
)dx
cx + d

Đặt: t = n ax + b
1.∫ f
cx + d

Để đưa về tp này thành tp hàm hữu tỉ

( x, n

x + 1 dx
I11 = ∫
x − 1 ( x − 1)3
x +1
2
−6t 2dt
Đặt: t = 3
Ta được:
⇒ x − 1 = 3 , dx = 3
2
x −1
t −1
(t − 1)
 t7 t4 
−6t 2 dt (t 3 − 1)3
I11 = ∫ t 3
= −6 ∫ t 3 (t 3 − 1)dt = −6  − ÷+ C
8
(t − 1) 2
7 4
Ví dụ: Tính

3

7

4

−6 3  x + 1 
6 3  x +1
=

÷ +

÷ +C
7  x −1 
4  x −1 


Tích phân bất định
dx
Ví dụ: Tính I11 = ∫
x + 3( 4 x + 3 − 1)
Đặt: t = 4 x + 3
⇒ x = t 4 − 3, dx = 4t 3dt
4t 3dt
⇒ I11 = ∫ 2
t (t − 1)
1 

I11 = 4 ∫ 1 +
÷dt
 t −1 
= 4t + 4ln t − 1 + C
= 4 4 x + 3 + ln

4

x + 3 −1 + C


Tích phân bất định
Ví dụ : Tính I12 = ∫ 1
x
Đặt: t =
⇒ I12

x −1
dx
x +1
2

x −1
1+ t
4tdt
⇒x=
, dx =
2
x +1
1− t
(1 − t 2 ) 2

4t 2 dt
1
2 
 1

=∫
= ∫
+
−
dt
2
2
2÷
(1 − t )(t + 1)
1− t 1+ t 1+ t 
= ln t + 1 − ln 1 − t − 2arctan t + C
= ln

x +1 + x −1
x −1
− 2arctan
+C
x +1
x +1 − x −1


Tích phân bất định

b
2.∫ f ( x, ax + bx + c )dx Đặt u = a ( x + 2a )
Đưa tam thức bậc 2 về dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 và
dùng các cách đổi biến cụ thể:
2

a. Dạng u2+a2: đặt u=a.tant hoặc u=a.cotant

b. Dạng u2-a2: đặt u=a/cost hoặc u=a/sint
c. Dạng a2-u2: đặt u=a.cost hoặc u=a.sint
Ví dụ: Tính I13 = ∫
I13 = ∫

d ( x − 1)
( x − 1) 2 + 22

dx
x2 − 2 x + 5
= ln ( x − 1) + ( x − 1) 2 + 22 + C