Nguyên hàm tích phân và ứng dụng (Cao Hồng Sơn)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.96 KB, 30 trang )
CAO HỒNG SƠN
NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Dùng cho học sinh lớp 12
Ôn thi tốt nghiệp và luyện thi đại học
QUY NHƠN, NĂM 2010
1
Mục lục
0 Lời nói đầu 4
1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 5
1.1 Nguyên hàm - Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.2.0.1 Dạng 1. Tích phân
√
1 −x
2
dx hoặc
dx
√
1 −x
2
. . 7
1.2.2.2.0.2 Dạng 2. Tích phân
dx
x
2
+ 1
hoặc
√
x
2
+ 1dx . . . 7
1.2.2.2.0.3 Dạng 3. Tích phân I =
a + x
a −x
dx hoặc I =
a − x
a + x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.2.0.4 Dạng 4. Tích phân I =
(x −a)(b − x)dx . . . . 7
1.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Các phương pháp tính tí ch phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Các dạng tích phân thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Tích phân của hàm phân thức
P
n
(x)
Q
m
(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2.1 Dạng 1:
sin nx. cos mxdx,
sin nx. sin mxdx,
cos nx. cos mxdx . 11
1.4.2.2 Dạng 2:
sin
n
x. cos
m
xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2.3 Dạng 3:
R(sin x, cos x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2.4 Dạng 4:
dx
a sin x + b cos x + c
, a
2
+ b
2
> 0 . . . . . . . . . . . . . . 11
2
1.4.2.5 Dạng 5:
a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
a sin cx + b cos x + c
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Tích phân của hàm chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3.1 Dạng 1: I =
R
x,
n
ax + b
cx + d
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3.2 Dạng 2: I =
R
x,
ax + b
cx + d
m
n
, ,
ax + b
cx + d
r
s
dx . . . . . . . 12
1.4.3.3 Dạng 3: I =
R[x,
√
a
2
−x
2
]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3.4 Dạng 4: I =
R[x,
√
a
2
+ x
2
]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3.5 Dạng 5: I =
R[x,
√
x
2
−a
2
]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3.6 Dạng 6: I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3.7 Dạng 7: I =
dx
√
ax
2
+ bx + c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3.8 Dạng 8: I =
P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
, (n ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Tích phân xác định 15
2.1 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Các phương pháp tính tí ch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Các dạng tích phân thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
P
n
(x)
Q
m
(x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1.1 Dạng 1: I =
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1.2 Dạng 2: I =
A
(ax + b)
k
dx với k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1.3 Dạng 3: I =
dx
ax
2
+ bx + c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1.4 Dạng 4: I =
Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1.5 Dạng 5: Tích phân tổng quát I =
P
n
(x)
Q
m
(x)
. . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2.1 Dạng 1: I=
sin nx. cos mxdx,
sin nx. sin mxdx,
cos nx. cos mxdx 20
2.3.2.2 Dạng 2: I =
sin
n
x. cos
m
xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2.3 Dạng 3: I =
sin
n
x. cos
m
x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2.4 Dạng 4: I =
dx
a sin x + b co s x + c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2.5 Dạng 5: I=
a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
a sin cx + b cos x + c
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2.6 Dạng 6: I
1
=
dx
sin(x + a). sin(x + b)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2.7 Dạng 7: I =
dx
sin x + sin α
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2.8 Dạng 8: I
1
=
tan x. tan(x + α)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2.9 Dạng 9: I =
a
1
sin
2
x + b
1
sin x cos x + c
1
cos
2
x
a
2
sin x + b
2
cos x
dx . . . . . . . . . 22
2.3.3 Tích phân của hàm chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3.1 Dạng 1: I =
R
x,
n
ax + b
cx + d
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3.2 Dạng 2: I =
R[x,
√
a
2
−x
2
]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.3 Dạng 3: I =
R[x,
√
a
2
+ x
2
]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.4 Dạng 4: I =
R[x,
√
x
2
−a
2
]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.5 Dạng 5: I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.6 Dạng 6: I =
dx
√
ax
2
+ bx + c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3.7 Dạng 7: I =
P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
, (n ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4 Tích phân của hàm số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4.1 Dạng 1: I =
a
−a
f(x)dx
α
x
+ 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4.2 Dạng 2: I =
a
−a
f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4.3 Dạng 3: I =
b
−a
f(a + b −x)dx =
b
a
f(x)dx . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4.4 Dạng 4:
π
2
0
f(sin x)dx =
π
2
0
f(cos x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4.5 Dạng 5: I =
2a
0
f(x)dx =
a
0
f(x) + f(2a −x)
dx . . . . . . . . . . 26
2.3.4.6 Dạng 6: I =
b
a
xf(x)dx =
a + b
2
b
a
f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.5 Tích phân truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.6 Tích phân liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Ứng dụng của tích phân 27
3.1 Một số ứng dung hình họ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và Ox, x = a, x = b . . 27
3.1.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C
1
) và (C
2
) . . . . . . 27
3.1.2 Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2.1 Thể t ích khối tròn xoay của hình phẳng quay quanh trọc Ox . . . . 27
3.1.2.2 Thể t ích khối tròn xoay của hình phẳng quay quanh trọc Oy . . . . 28
3.2 Một số ứng dụng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Tài liệu tham khảo 29
4
Lời nói đầu
Phép tính tích phân không chỉ là một phần quan trọng trong giải tích toán học mà còn được
ứng dụng nhiều trong vật lí, thiên văn học, cơ học, Chính vì tầm quan trọng này mà nó thường
đươc đề cập đến trong hầu hết các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các kì thi tuyển vào các
trường cao đẳng và đại học. Tuy nhiên, các học sinh thường gặp không ít khó khăn trong việc học
và ứng dụng tích phân. Nhằm giúp các em học sinh nắm vững các phương pháp tính tích phân,
trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày một số phương pháp tính tích phân cơ bản cho các dạng
hàm số thường gặp.
Chuyên đề này gồm 3 chương:
Chương 1: Nguyên hàm.
Chương 2: Tích phân.
Chương 3: Các ứng dụng của tích phân.
Trong mỗi chương, tác giả trình bày 2 phần:
1. Tóm tắt lí thuyết chung.
2. Phân loại và phương pháp t ính tích phân từng dạng, cụ thể.
Phương pháp.
Ví dụ mẫu.
Bài tập tự luyện.
Tác giả đã rất có gắng trong quá trình biên soạn, song chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót
vì sự hiểu biết có hạn và còn ít kinh nghiệm. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ phía các
đồng nghiệp cũng như từ các bậc phụ huynh và các em học sinh.
Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ:
Email:
Phone: 0975 472725
Quy Nhơn, 28 tháng 02 năm 2010.
Cao Hồng Sơn
5
Chương 1
Nguyên hàm - Tích phân bất định
1.1 Nguyê n hàm - Tích phân bất định
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a; b) nếu
với mọi x ∈ (a; b), ta có
F
(x) = f(x)
Chú ý 1.1. Nếu thay khoảng (a; b) là đoạn [a; b] thì ta phải thêm điều kiện F
(a
+
) = f(a) và
F
(b
−
) = f(b).
Định lí 1.1. Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì:
1) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng đó.
2) Ngược lại, mọ i nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có thể viết dạng F (x)+C,
với C là hằng số.
Định lí 1.2. (Định lí về sự tồn tại của nguyên hàm ) Mọi hàm số f(x) li ên t ục t rên đọan [a; b]
đều có nguyên hàm trên khoảng đó.
Người ta kí hiệu họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx đọ c là tích phân bất đị nh
của f(x) hay họ nguyên hàm của f( x).
Định nghĩa 1.2. Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) gọi là tích phân
bất định của hàm f (x) trên khoảng đó. Kí hiệu tích phân bất định của hàm f (x) là
f(x)dx
1.1.2 Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1.1.
f(x)dx
= f(x)
Tính chất 1.2.
af(x)dx = a
f(x)dx
Tính chất 1.3.
[f(x) + g(x)]dx=
f(x)dx +
g(x)dx
6
Tính chất 1.4.
f(t)dx = F (t) + C ⇒
f(u(x))u
(x)dx = F (u(x)) + C
Bảng nguyên hàm
dx = x + C
du = u + C
x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C
(ax + b)
α
dx =
1
a
(ax + b)
α+1
α + 1
+ C
dx
x
= ln |x|+ C
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b|+ C
e
x
dx = e
x
+ C
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+ C
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, (0 < a 1)
a
u
du =
a
u
ln a
+ C
cos xdx = sin x + C
cos(ax + b)dx =
1
a
sin(ax + b) + C
sin xdx = −cos x + C
sin(ax + b)dx = −
1
a
cos(ax + b) + C
dx
cos
2
x
= tan x + C
dx
cos
2
(ax + b)
=
1
a
tan(ax + b) + C
dx
sin
2
x
= −cot x + C
dx
sin
2
(ax + b)
= −
1
a
cot(ax + b) + C
1
x
2
+ 1
dx = arctan x + C
1
x
2
+ a
2
dx = arctan
x
a
+ C
1
√
1 −x
2
dx = arcsin x + C
1
√
a
2
−x
2
dx = arcsin
x
a
+ C
1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm
1.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp
Bằng việc sử dụng một số phép biến đổi sơ cấp, ta có thể đưa tích phân cần tính về tích phân
có dạng các hàm số đã có trong bảng nguyên hàm.
Ví dụ 1.1. Tính các tích phân bất định sau:
1. y = x
2
−3x + 2
2. y = 4x
5
−3x
3
−
1
x
3. y =
2x
4
+ 4x −1
x
2
4. y =
x
3
−3x
2
−x + 4
x
3
5. y =
(x −3)
2
x
2
6. y =
√
x +
3
√
x +
3
√
x
2
7. y =
1
√
x
−
1
3
√
x
8. y =
(
√
x − 1)
2
x
9. y =
x − 1
3
√
x
10. y = 2 sin
2
x
2
11. y = cot
2
x
12. y = cos
2
x
2
13. y =
1
sin
2
x cos
2
x
14. y = e
x
(1 − e
−x
)
15. y = e
x
2 +
e
−x
cos
2
x
16. y = 2a
x
+
√
x
17. y = 2
x
+ 3
x
18. y = 2sinx + 3cosx
19. y =
3
√
x +
1
√
x
2
20. y =
3x
5
− x
4
+ 2x
3
− 1
x
4
21. y =
e
3x
+ 1
e
x
+ 1
1.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số
1.2.2.1 Đổi biến số dạng 1:
Đặt u = ϕ(x) ⇒ du = ϕ
(x)dx
7
Khi đó I =
f(x)dx =
g(u)du
Ví dụ 1.2. Tính tích phân bât định sau:
I
1
=
ax + bdx
I
2
=
sin(ax + b)dx
I
3
=
cos(ax + b)dx
I
4
=
dx
sin
2
(ax + b)
I
5
=
dx
cos
2
(ax + b)
I
6
=
sin
3
x cos xdx
I
7
=
cos
7
x sin xdx
I
8
=
sin
4
2x cos 2xdx
I
9
=
(2e
x
− 3)e
x
dx
K
1
=
(2x
3
+ 1)x
2
dx
K
2
=
x
2x
2
+ 1
dx
K
3
=
dx
ax + b
K
4
=
dx
x
2
−1
dx
K
5
=
dx
x(x −2)
K
6
=
dx
x
2
+3x−4
K
7
=
xdx
(2x−1)(x+3)
K
8
=
2x + 3
x − 2
dx
K
9
=
2x + 1
x
2
− x + 2
dx
L
1
=
xdx
√
x
2
+ 1
1.2.2.2 Đổi biến số dạng 2:
Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ
(t)dt. Khi đó I =
f(x)dx =
f[ϕ(t)]ϕ
(t)dt
1.2.2.2.0.1 Dạng 1. Tích phân
√
1 − x
2
dx hoặc
dx
√
1 −x
2
.
Đặt x = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
Tổng quát
√
k
2
− x
2
dx hoặc
dx
√
k
2
−x
2
. Đặt x = k. sin t, với
−
π
2
;
π
2
1.2.2.2.0.2 Dạng 2. Tích phân
dx
x
2
+ 1
hoặc
√
x
2
+ 1dx .
Đặt x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
Tổng quát
dx
x
2
+ k
2
, Đặt x = k t an t, t ∈
−
π
2
;
π
2
dx
(αx + β)
2
+ k
2
. Đặt αx + β = k tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
f
(x)dx
f
2
(x) + k
2
. Đặt f(x) = k tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
√
x
2
+ k
2
dx, Đặt x = k tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
(αx + β)
2
+ k
2
dx, Đặt αx + β = k tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
1.2.2.2.0.3 Dạng 3. Tích phân I =
a + x
a −x
dx hoặc I =
a −x
a + x
dx Đặt x = a. cos 2t
1.2.2.2.0.4 Dạng 4. Tích phân I =
(x −a)(b − x)dx Đặt x = a + (b − a) sin
2
t
Ví dụ 1.3. Tich tích phân bất đị nh sau;
I
1
=
dx
1 + x
2
dx
I
2
=
dx
a
2
+ x
2
dx
I
3
=
dx
√
1 − x
2
dx
I
4
=
dx
√
a
2
− x
2
dx
I
5
=
√
1 −x
2
dx
I
6
=
√
a
2
−x
2
dx
8
1.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần
Đặt
u =
dv =
⇒
du =
v =
Công thức tích phân từng phần
u.dv = u.v −
v. du
Chú ý 1.2. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng.
2) Nếu f(x) có dạng f(x) =
P (x). sin(ax + b)
P (x). cos(ax + b)
thì đặt u = P (x)
3) Nếu f(x) có dạng f(x) =
e
ax+b
. sin(a
x + b
)
e
ax+b
. cos(a
x + b
)
thì đặt u = e
ax+b
4) Nếu f(x) có dạng f(x) =
P (x). ln
n
(ax + b)
k. ln
n
(ax + b)
thì đặt u = ln
n
(ax + b)
Ví dụ 1.4. Tích các tích phân bất định sau:
I
1
=
x
2
e
x
dx
I
2
=
ln xdx
I
3
=
x sin xdx
I
4
=
x
2
cos xdx
I
5
=
e
x
sin xdx
I
6
=
e
x
cos 2xdx
I
7
=
ln
3
x
x
3
dx
I
8
=
√
x
2
+ 1dx
1.3 Các phương pháp tính tích phân xác định
1.3.1 Tính chất của tích phân xác định
Định nghĩa 1.3. Gi ả sử f(x) là hàm số liên tục trên đọan [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm
của f (x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x),
kí hiệu là
b
a
f(x)dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a)
Tính chất 1.5.
b
a
kf(x)dx = k
b
a
f(x)dx
Tính chất 1.6.
a
b
[f(x) ± g(x)]dx=
b
a
f(x)dx ±
b
a
g(x)dx
Tính chất 1.7.
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx
1.3.2 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp
1.3.3 Phương pháp 2: Đổi biến số
Giả s ử ta cần tính tích phân
b
a
f(x)dx, trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
9
1.3.3.1 Đổi biến số dạng 1:
Bước 1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β], f(u(t))
xác định trên đoạn [α; β] và u(α) = a, u(β) = b.
Bước 2: Biến đổi f (x)dx = f[u(t)]u
(t)dt = g(t)dt.
Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t).
Bước 4: Tí nh
β
α
g(t)dt = G(t)
β
α
1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2:
Bước 1: Đặ t t = v(x) sao cho v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục.
Bước 2: Biểu thị f (x)dx theo t, giả sử f(x)dx = g(t)dt
Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t).
Bước 4: Tí nh
v(b)
v(a)
g(t)dt = G(t)
β
α
Bước 5: Kết luận
b
a
f(x)dx = G(t)
β
α
1.3.4 Phương pháp 3: Tích phân từng phần
b
a
u(x)v
(x)dx = u(x)v(x)
β
α
−
b
a
v(x)u
(x)dx
Hay
b
a
u(x)dv = u(x)v(x)
β
α
−
b
a
v(x)du
Chú ý 1.3. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng.
2) Nếu f(x) có dạng f(x) =
P (x). sin(ax + b)
P (x). cos(ax + b)
thì đặt u = P (x)
3) Nếu f(x) có dạng f(x) =
e
ax+b
. sin(a
x + b
)
e
ax+b
. cos(a
x + b
)
thì đặt u = e
ax+b
4) Nếu f(x) có dạng f(x) =
P (x). ln
n
(ax + b)
k. ln
n
(ax + b)
thì đặt u = ln
n
(ax + b)
1.4 Các dạng tích phân thường gặp
1.4.1 Tích phân của hàm phân thức
P
n
(x)
Q
m
(x)
Trong đó P
n
(x) và Q
m
(x) là các đa thức theo x có bậc lần lượt là n và m. ta xét các dạng sau:
Dạng 1: I =
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b|+ C
Dạng 2: I =
dx
ax
2
+ bx + c
Xét ∆ = b
2
− 4ac, ta có 3 khả năng xảy ra:
Khả năng 1: ∆ > 0, ta có ax
2
+ bx + c = a(x −x
1
)(x − x
2
)
Hơn nữa
1
(x −x
1
)(x − x
2
)
=
1
x
1
− x
2
1
x −x
1
−
1
x − x
2
trong đó x
1
− x
2
=
√
∆
a
10
Do đó I =
1
√
∆
dx
x −x
1
−
dx
x − x
2
=
1
√
∆
ln
x − x
1
x − x
2
+ C
Khả năng 2: ∆ = 0, ta có
I =
1
a
dx
x +
b
2a
2
= −
1
a
.
1
x +
b
2a
+ C
Khả năng 3: ∆ < 0, ta có ax
2
+ bx + c = a
(x +
b
2a
)
2
+ α
2
với
4ac − b
2
4a
2
= α
2
> 0
Đặt t = x +
b
2a
ta đưa về dạng I =
1
a
dt
t
2
+ α
2
Để tính tích phân
dt
t
2
+ α
2
, ta đặt t = α. tan u
Dạng 3: I =
Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx
Dạng 4: Tích phân tổng quát I =
P
n
(x)
Q
m
(x)
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu n < m, ta phân tích các đa thức P
n
(x), Q
m
(x) thành các nhân tử là các
tam thức bậc hai, hay các nhị thức bậc nhất.
P
n
(x) = (a
1
x + b
1
)
k
1
. . . (a
s
x + b
s
)
k
s
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
l
1
. . . (a
t
x
2
+ b
t
x + c
t
)
l
t
Q
m
(x) = (c
1
x + d
1
)
i
1
. . . (c
h
x + d
h
)
i
h
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
j
1
. . . (a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
)
j
q
Khi đó ta có
P
n
(x)
Q
m
(x)
=
A
i
1
(c
1
x + d
1
)
i
1
+
A
i
1
−1
(c
1
x + d
1
)
i
1
−1
+ ···+
A
2
(c
1
x + d
1
)
2
+
A
1
(c
1
x + d
1
)
+ . . .
+
B
i
h
(c
h
x + d
h
)
i
h
+
B
i
h
−1
(c
h
x + d
h
)
i
h
−1
+ ···+
B
2
(c
h
x + d
h
)
2
+
B
1
(c
h
x + d
h
)
+
C
j
1
x + D
j
1
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
j
1
+
C
j
1
−1
x + D
j
1
−1
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
j
1
−1
+ ···+
C
1
x + D
1
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
+ . . .
+
E
j
q
x + F
j
q
(a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
)
j
q
+
E
j
q
−1
x + F
j
q
−1
(a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
)
j
q
−1
+ ···+
E
1
x + F
1
a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
Trường hợp 2: Nếu n ≥ m, ta chia đa thức, ta được
P
n
(x)
Q
m
(x)
= H( x) +
G
k
(x)
Q
m
(x)
trong đó H(x), G
k
(x) là các đa thức theo x và k < m
1.4.2 Tích phân của hàm số lượng giác
Trong mục này, chúng tôi trình bày 5 dạng cơ bản.
11
1.4.2.1 Dạng 1:
sin nx. cos mxdx,
sin nx. sin mxdx,
cos nx. cos mxdx
Phương pháp: Ta biến đổi tích thành tổng
cos a. cos b =
1
2
[cos(a −b) + cos(a + b)]
sin a. sin b =
1
2
[cos(a −b) − cos(a + b)]
sin a. cos b =
1
2
[sin(a − b) + sin(a + b)]
1.4.2.2 Dạng 2:
sin
n
x. cos
m
xdx
Phương pháp: Ta xét 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu n lẻ. Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx
Trường hợp 2: Nếu m lẻ. Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Trường hợp 3: Nếu cả hai số n và m đều chẵn. Ta sử dụng công thức hạ bậc.
sin
2
x =
1 − 2 cos 2x
2
cos
2
x =
1 + 2 cos 2x
2
sin x. cos x =
1
2
sin 2x
1.4.2.3 Dạng 3:
R(sin x, cos x)dx
Phương pháp: Ta xét 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu hàm số R lẻ theo sin x, R(sin x, cos x) = −R(−sin x, cos x)
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx
Trường hợp 2: Nếu hàm số R lẻ theo cos x, R(sin x, cos x) = −R(sin x, −cos x)
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Trường hợp 3: Nếu hàm số R không lẻ theo cả sin x và cos x.
Đặt t = tan
x
2
⇒ dx =
2dt
1 + t
2
, đưa về tích phân hàm số hữu tỉ.
sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 −t
2
1 + t
2
1.4.2.4 Dạng 4:
dx
a sin x + b cos x + c
, a
2
+ b
2
> 0
Phương pháp: Đặt t = ta n
x
2
⇒ dx =
2dt
1 + t
2
, đưa về tích phân hàm số hữu tỉ.
12
1.4.2.5 Dạng 5:
a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
a sin cx + b cos x + c
dx
Phương pháp: Ta xác định các số A, B, C sao cho
a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
= A(a sin cx + b cos x + c ) + B(a sin cx + b cosx + c)
+ C
Bằng phương pháp đồng nhất thức, ta xác định được
A =
aa
1
+ bb
1
a
2
+ b
2
, B =
ab
1
+ a
1
b
a
2
+ b
2
, C =
(a
2
+ b
2
)c
1
−(aa
1
+ bb
1
)c
a
2
+ b
2
Từ đó tích phân được viết lại là
I =A
dx + B
(a sin cx + b cos x + c)
a sin cx + b cos x + c
dx + C
dx
a sin cx + b cos x + c
=Ax + B ln
a sin cx + b cos x + c
+ C
dx
a sin cx + b cos x + c
Để tính
dx
a sin cx + b cos x + c
ta trở lại Dạng 4.
1.4.3 Tích phân của hàm chứa căn thức
Hầu hết phép tính tích phân của các hàm số chứa căn thức là bài toán phức tạp. Trong mục
này, chúng tô i trình bày 8 dạng tích phân của hàm số chứa dấu tích phân cơ bản.
1.4.3.1 Dạng 1: I =
R
x,
n
ax + b
cx + d
dx
Bước 1: Đặ t t =
n
ax + b
cx + d
⇒ x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ
(t)dt
Bước 2: Tí nh I =
R[ϕ(t), t]dt
1.4.3.2 Dạng 2: I =
R
x,
ax + b
cx + d
m
n
, ,
ax + b
cx + d
r
s
dx
Đặt
ax + b
cx + d
= t
k
trong đó k = BSCNN{n, , s}
1.4.3.3 Dạng 3: I =
R[x,
√
a
2
−x
2
]dx
Bước 1: Đặ t x = a. cos t, (−
π
2
< t <
π
2
) ⇒ dx = −a sin tdt
Bước 2: Tí nh I =
R[a. co s t, −a
2
sin
2
t]dt
1.4.3.4 Dạng 4: I =
R[x,
√
a
2
+ x
2
]dx
Bước 1: Đặ t x = a. tan t, (0 < t <
π
2
) ⇒ dx = −a(1 + tan
2
t)dt
Bước 2: Tí nh I =
R[a. tan t, −a
2
tan t(1 + tan
2
t)]dt
13
1.4.3.5 Dạng 5: I =
R[x,
√
x
2
−a
2
]dx
Bước 1: Đặ t x =
a
cos t
, (−
π
2
< t <
π
2
) ⇒ dx = −
a. sin t
cos
2
t
dt
Bước 2: Tí nh I =
R[
a
cos t
,
a
2
. sin
2
t
cos
3
t
]dx
1.4.3.6 Dạng 6: I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx
Ta có
√
ax
2
+ bx + c =
a(x
2
+
b
a
x +
c
a
) =
a[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
− 4ac
4a
2
]
Ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu ∆ = b
2
− 4ac ≥ 0, ta có
ax
2
+ bx + c =
√
a.
√
u
2
− α
2
nếu a > 0
√
−a.
√
α
2
−u
2
nếu a < 0
trong đó u = x +
b
2a
và α =
b
2
−4ac
4a
2
Khi đó tích phân I là một trong 2 dạng sau:
I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx =
R
1
(u,
√
α
2
−u
2
)du trở lại dạng 3.
I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx =
R
2
(u,
√
u
2
−α
2
)du trở lại dạng 5.
Trường hợp 2: Nếu ∆ = b
2
− 4ac < 0, không xảy ra khả năng a < 0. Do đó t a chỉ xét a > 0, khi
đó ta có
ax
2
+ bx + c =
√
a.
u
2
+ β
2
với β
2
=
4ac − b
2
4a
2
Khi đó tích phân được viết dưới dạng
I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx =
R
3
(u,
u
2
+ β
2
)du trở lại dạng 3.
1.4.3.7 Dạng 7: I =
dx
√
ax
2
+ bx + c
Ta có
√
ax
2
+ bx + c =
a(x
2
+
b
a
x +
c
a
) =
a[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
−4ac
4a
2
]
∗ Nếu a > 0, tích phân có dạng I =
1
√
a
du
√
u
2
+ m
(i)
Giải tích phân (i) bằng cách đặt t = u +
√
u
2
+ m ⇒
dt
t
=
du
√
u
2
+ m
Khi đó (1) có dạng I =
1
√
a
dt
t
=
1
√
a
ln |t|
Vậy I =
1
√
a
ln
(x +
b
2a
) +
[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
− 4ac
4a
2
]
∗ Nếu a < 0, tích phân có dạng I =
1
√
a
du
√
k
2
− u
2
(ii)
Giải tích phân (ii) bằng như dạng 1 .
14
1.4.3.8 Dạng 8: I =
P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
, (n ≥ 1)
Với tích phân dạng này, ta xét hai trường hợp như sau:
Trường hợp 1: Nếu n = 1. Khi đó tích phân có dạng I =
a
1
x + b
1
√
ax
2
+ bx + c
dx
Ta tìm các số A, B sao cho
a
1
x + b
1
= A(ax
2
+ bx + c)
+ B
Bằng phương pháp đồng nhất, ta xác định được A =
a
1
2a
, B =
2ab
1
− bb
1
2a
Khi đó tích phân có dạng
I =A
d((ax
2
+ bx + c)
)
√
ax
2
+ bx + c
+ B
dx
√
ax
2
+ bx + c
dx
=A. ln
ax
2
+ bx + c
+ B
dx
√
ax
2
+ bx + c
Trường hợp 2: Nếu n ≥ 2, ta đưa tích phân về dạng
I =
P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
= Q
n−1
(x)
ax
2
+ bx + c + λ
dx
√
ax
2
+ bx + c
(∗)
trong đó Q
n−1
(x) là một đa thức biến x bậc (n −1), λ ∈ R. Để xác đinh Q
n−1
(x) và hệ số λ ta lấy
vi phân hai vế của (∗), sau đó đồng nhất các hệ số.
15
Chương 2
Tích phân xác định
2.1 Tích phân
2.1.1 Định nghĩa
2.1.2 Tính chất
2.2 Các phương pháp tính tích phân
2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp
Với các tích phân dạng này, ta biến đổi về các hàm số sơ cấp mà ta đã có nguyên hàm trong
bảng nguyên hàm
Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau:
a. I =
1
0
(2x
2
+ 3x)dx b. I =
2
1
1
x
2
dx c. I =
2
1
2x
2
+5x+1
x
dx
Giải
a. Ta có
I =
1
0
(2x
2
+ 3x)dx = 2
1
0
x
2
dx + 3
1
0
xdx
=
2x
3
3
1
0
+
3x
2
2
1
0
=
2
3
+
3
2
=
13
6
b. Ta có
I =
2
1
1
x
2
dx = −x
−1
2
1
= −
1
2
−(−
1
1
) =
1
2
c. Ta có
I =
2
1
2x
2
+ 5x + 1
x
dx =
2
1
2x
2
x
dx +
2
1
5x
x
dx +
2
1
1
x
dx
= 2
2
1
xdx + 5
2
1
dx +
2
1
1
x
dx = x
2
2
1
+ 5x
2
1
+ ln |x|
2
1
= (4 − 1) + 5(2 −1) + (ln 1 − ln 2) = 8 − ln 2
16
Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau:
a. I =
3
1
dx
3
√
x
2
dx b. I =
2
1
x
3
1 +
1
√
x
dx
c. I =
2
1
√
x +
1
3
√
x
2
dx
Giải
a. Ta có I =
3
1
dx
3
√
x
2
dx =
3
1
x
−
2
3
dx = 3x
1
3
3
1
= 3
3
√
x
3
1
= 3(
3
√
3 −1)
b. Ta có
I =
2
1
x
3
1 +
1
√
x
dx =
2
1
x
3
+ x
3
.
1
x
1
2
dx
=
2
1
x
3
+ x
3
.x
−
1
2
dx =
2
1
x
3
+ x
5
2
dx
=
1
4
x
4
2
1
+
2
7
x
7
2
2
1
=
1
4
x
4
2
1
+
2
7
x
3
√
x
2
1
=
1
4
(16 − 1) +
7
2
(8
√
2 −1) =
1
4
+ 28
√
2
c. Ta có
I =
2
1
√
x +
1
3
√
x
2
dx =
2
1
x + 2
√
x
1
3
√
x
+
1
3
√
x
2
dx
=
2
1
x + 2x
1
6
+ x
−
2
3
dx =
2
1
xdx + 2
2
1
x
1
6
dx +
2
1
x
−
2
3
dx
=
x
2
2
2
1
+ 2.
x
7
6
7
6
2
1
+
x
1
3
1
3
2
1
=
x
2
2
2
1
+
12
7
x
6
√
x
2
1
+ 3
3
√
x
2
1
=
1
2
(4 − 1) +
12
7
(2
6
√
2 −1) + 3(
3
√
2 −1) = −
12
7
+
24
6
√
2
7
+ 3
3
√
2
Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau:
a. I =
2
1
√
x
4
−x
−4
+2
x
3
dx
b. I =
2
0
|x − 1|dx c. I =
3
−3
|x
2
−1|dx
Ví dụ 2.4. Tính các tích phân sau:
a. I =
π
2
0
sin 2xdx b. I =
π
2
0
sin x cos xdx c. I =
π
4
0
sin
2
xdx
2.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số
Giả s ử ta cần tính tích phân
b
a
f(x)dx, trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
2.2.2.1 Đổi biến số dạng 1:
Bước 1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β], f(u(t))
xác định trên đoạn [α; β] và u(α) = a, u(β) = b.
17
Bước 2: Biến đổi f (x)dx = f[u(t)]u
(t)dt = g(t)dt.
Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t).
Bước 4: Tí nh
β
α
g(t)dt = G(t)
β
α
Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau:
a. I =
1
0
√
1 −x
2
dx b. I =
2
0
√
4 −x
2
dx
2.2.2.2 Đổi biến số dạng 2:
Bước 1: Đặ t t = v(x) sao cho v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục.
Bước 2: Biểu thị f (x)dx theo t, giả sử f(x)dx = g(t)dt
Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t).
Bước 4: Tí nh
v(b)
v(a)
g(t)dt = G(t)
β
α
Bước 5: Kết luận
b
a
f(x)dx = G(t)
β
α
2.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần
b
a
u(x)v
(x)dx = u(x)v(x)
β
α
−
b
a
v(x)u
(x)dx
Hay
b
a
u(x)dv = u(x)v(x)
β
α
−
b
a
v(x)du
Chú ý 2.4. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng.
2) Nếu f(x) có dạng f(x) =
P (x). sin(ax + b)
P (x). cos(ax + b)
thì đặt u = P (x)
3) Nếu f(x) có dạng f(x) =
e
ax+b
. sin(a
x + b
)
e
ax+b
. cos(a
x + b
)
thì đặt u = e
ax+b
4) Nếu f(x) có dạng f(x) =
P (x). ln
m
(ax + b)
k. ln
m
(ax + b)
thì đặt u = ln
m
(ax + b)
2.3 Các dạng tích phân thường gặp
2.3.1 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
P
n
(x)
Q
m
(x)
Trong đó P
n
(x) và Q
m
(x) là các đa thức theo x có bậc lần lượ t là n và m. Ta xét cá c dạng
sau:
18
2.3.1.1 Dạng 1: I =
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C
2.3.1.2 Dạng 2: I =
A
(ax + b)
k
dx với k = 1
Ta có
I =
dx
(ax + b)
k
= A
dx
(ax + b)
k
= A
(ax + b)
−k
dx =
A
a
(ax + b)
−k
d(ax + b)
=
A
a
.
1
−k + 1
.(ax + b)
−k+1
+ C
2.3.1.3 Dạng 3: I =
dx
ax
2
+ bx + c
Xét ∆ = b
2
− 4ac, ta có 3 khả năng xảy ra:
Khả năng 1: ∆ > 0, ta có ax
2
+ bx + c = a(x −x
1
)(x − x
2
)
Hơn nữa
1
(x −x
1
)(x − x
2
)
=
1
x
1
− x
2
1
x −x
1
−
1
x − x
2
trong đó x
1
− x
2
=
√
∆
a
Do đó I =
1
√
∆
dx
x − x
1
−
dx
x − x
2
=
1
√
∆
ln
x − x
1
x − x
2
+ C
Khả năng 2: ∆ = 0, ta có
I =
1
a
dx
x +
b
2a
2
= −
1
a
.
1
x +
b
2a
+ C
Khả năng 3: ∆ < 0, ta có ax
2
+ bx + c = a
(x +
b
2a
)
2
+ α
2
với
4ac − b
2
4a
2
= α
2
> 0
Đặt t = x +
b
2a
ta đưa về dạng I =
1
a
dt
t
2
+ α
2
Để tính tích phân
dt
t
2
+ α
2
, ta đặt t = α. tan u
2.3.1.4 Dạng 4: I =
Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx
Ta có
Ax + B
ax
2
+ bx + c
=
A
2a
.
2ax + b
ax
2
+ bx + c
+
1
2a
.
2aB − bA
ax
2
+ bx + c
Do đó
I =
Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx
=
A
2a
2ax + b
ax
2
+ bx + c
dx +
2aB − bA
2a
dx
ax
2
+ bx + c
=
A
2a
d(ax
2
+ bx + c)
ax
2
+ bx + c
+
2aB − bA
2a
dx
ax
2
+ bx + c
=
A
2a
ln |ax
2
+ bx + c|+
2aB − bA
2a
J
Tính tích phân J =
dx
ax
2
+ bx + c
theo dạng 3
19
2.3.1.5 Dạng 5: Tích phân tổng quát I =
P
n
(x)
Q
m
(x)
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu n < m, ta phân tich các đa thức P
n
(x), Q
m
(x) thành các nhân tử là các
tam thức bậc hai, hay các nhị thức bậc nhất.
P
n
(x) = (a
1
x + b
1
)
k
1
. . . (a
s
x + b
s
)
k
s
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
l
1
. . . (a
t
x
2
+ b
t
x + c
t
)
l
t
Q
m
(x) = (c
1
x + d
1
)
i
1
. . . (c
h
x + d
h
)
i
h
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
j
1
. . . (a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
)
j
q
Khi đó ta có
P
n
(x)
Q
m
(x)
=
A
i
1
(c
1
x + d
1
)
i
1
+
A
i
1
−1
(c
1
x + d
1
)
i
1
−1
+ ···+
A
2
(c
1
x + d
1
)
2
+
A
1
(c
1
x + d
1
)
+ . . .
+
B
i
h
(c
h
x + d
h
)
i
h
+
B
i
h
−1
(c
h
x + d
h
)
i
h
−1
+ ···+
B
2
(c
h
x + d
h
)
2
+
B
1
(c
h
x + d
h
)
+
C
j
1
x + D
j
1
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
j
1
+
C
j
1
−1
x + D
j
1
−1
(a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
)
j
1
−1
+ ···+
C
1
x + D
1
a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
+ . . .
+
E
j
q
x + F
j
q
(a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
)
j
q
+
E
j
q
−1
x + F
j
q
−1
(a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
)
j
q
−1
+ ···+
E
1
x + F
1
a
q
x
2
+ b
q
x + c
q
Trường hợp 2: Nếu n ≥ m, ta chia đa thức, ta được
P
n
(x)
Q
m
(x)
= H( x) +
G
k
(x)
Q
m
(x)
trong đó H(x), G
k
(x) là các đa thức theo x và k < m
Ví dụ 2.6. Tính I =
dx
x(x + 1)
Giải
Ta có đồng nhất thức: 1 = 1 + x − x
Nên
1
x(x + 1)
1 + x − x
x(x + 1)
=
1 + x
x(x + 1)
−
x
x(x + 1)
=
1
x
−
1
x + 1
Do đó I =
dx
x(x + 1)
=
dx
x
−
dx
x + 1
+ C = ln |x| −ln |x + 1| = ln |
x
x + 1
| + C
Ví dụ 2.7. Tính
dx
x
2
(x + 1)
Giải
20
Ta có đồng nhất:
1
x
2
(x + 1)
=
1 − x
2
+ x
2
x
2
(x + 1)
=
1 −x
2
x
2
(x + 1)
+
x
2
x
2
(x + 1)
=
1 − x
x
2
+
1
x + 1
=
1
x
2
+
1
x
+
1
1 + x
Do đó
I =
dx
x
2
(x + 1)
=
1
x
2
dx +
dx
x
+
dx
x + 1
= −
1
x
−ln |x|+ ln |1 + x|+ C
= −
1
x
+ ln |
1 + x
x
| + C
2.3.2 Tích phân của hàm số lượng giác
Trong mục này, chúng tôi trình bày 9 dạng cơ bản.
2.3.2.1 Dạng 1: I=
sin nx. cos mxdx,
sin nx. sin mxdx,
cos nx. cos mxdx
Phương pháp chung: Ta bi ến đổi tích t hành tổ ng
cos a. cos b =
1
2
[cos(a −b) + cos(a + b)]
sin a. sin b =
1
2
[cos(a −b) − cos(a + b)]
sin a. cos b =
1
2
[sin(a − b) + sin(a + b)]
Ví dụ 2.8. Tính các tích phân sau:
a.
sin 3x. cos 2xdx b.
sin 5x. cos xdx c.
sin 3x cos 2x sinxdx
2.3.2.2 Dạng 2: I =
sin
n
x. cos
m
xdx
Phương pháp chung: Ta xét 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu n lẻ. Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx
Trường hợp 2: Nếu m lẻ. Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Trường hợp 3: Nếu cả hai số n và m đều chẵn. Ta sử dụng công thức hạ bậc.
sin
2
x =
1 − 2 cos 2x
2
cos
2
x =
1 + 2 cos 2x
2
sin x. cos x =
1
2
sin 2x
Ví dụ 2.9. Tính các tích phân sau:
21
a. I =
sin
4
x. cos
3
xdx
b. I =
sin
2
x. cos
4
xdx
c. I =
sin
4
cos
3
xdx
d. I =
sin
6
x cos
2
xdx
Giải
2.3.2.3 Dạng 3: I =
sin
n
x. cos
m
x)dx
Phương pháp: Ta xét 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu hàm số R lẻ theo sin x, R(sin x, cos x) = −R(−sin x, cos x)
Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin xdx
Trường hợp 2: Nếu hàm số R lẻ theo cos x, R(sin x, cos x) = −R(sin x, −cos x)
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Trường hợp 3: Nếu hàm số R không lẻ theo cả sin x và cos x.
Đặt t = tan
x
2
⇒ dx =
2dt
1 + t
2
, đưa về tích phân hàm số hữu tỉ.
sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 −t
2
1 + t
2
Ví dụ 2.10. Tính các tích phân sau:
a. I =
sin x + sin
3
x
cos 2x
dx
b. I =
cos
3
x
4 sin
2
x −1
dx
2.3.2.4 Dạng 4: I =
dx
a sin x + b co s x + c
Phương pháp chung: Đặt t = tan
x
2
⇒ dx =
2dt
1 + t
2
, đưa về tích phân hàm số hữu tỉ.
Ví dụ 2.11. Tính các tích phân sau:
a. I =
dx
2 + sin x + cos x
b. I =
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
2.3.2.5 Dạng 5: I=
a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
a sin cx + b cos x + c
dx
Phương pháp chung: Ta xác định các số A, B, C s ao cho
a
1
sin x + b
1
cos x + c
1
= A(a sin x + b cos x + c) + B(a sin cx + b cos x + c)
+ C
Bằng phương pháp đồng nhất thức, ta xác định được
A =
aa
1
+ bb
1
a
2
+ b
2
, B =
ab
1
+ a
1
b
a
2
+ b
2
, C =
(a
2
+ b
2
)c
1
−(aa
1
+ bb
1
)c
a
2
+ b
2
Từ đó tích phân được viết lại là
I =A
dx + B
(a sin cx + b cos x + c)
a sin cx + b cos x + c
dx + C
dx
a sin cx + b cos x + c
=Ax + B ln
a sin cx + b cos x + c
+ C.J
Để tính J =
dx
a sin cx + b cos x + c
ta trở lại Dạng 4.
Ví dụ 2.12. Tính các tích phân sau:
22
a. I =
sin x
sin x + cos x
dx b. I =
sin x −cos x + 1
sin x + 2 cos x + 3
dx
2.3.2.6 Dạng 6: I
1
=
dx
sin(x + a). sin(x + b)
Phương pháp chung: Sử dụng đồng nhất thức : 1 =
sin(a − b )
sin(a − b )
=
sin[(x + a) −(x + b)]
sin(a − b)
.
Khi đó ta có
I
1
=
dx
sin(x + a). sin(x + b)
=
1
sin(a − b)
ln
sin(x + b)
sin(x + a)
+ C
I
2
=
dx
cos(x + a). cos(x + b)
. Sử dụng đồng nhất thức 1 =
sin(a − b)
sin(a − b)
I
3
=
dx
sin(x + a). cos(x + b)
và I
4
=
dx
cos(x + a). sin(x + b)
. đồng nhất thức 1 =
cos(a − b)
cos(a − b)
2.3.2.7 Dạng 7: I =
dx
sin x + sin α
Ta có I =
dx
sin x + sin α
=
1
2
dx
sin
x+α
2
. cos
x−α
2
. Trở lại dạng 6.
2.3.2.8 Dạng 8: I
1
=
tan x. tan(x + α)dx
Phân tích tan x. tan(x + α) =
sin x. sin(x + α)
cos x. cos(x + α)
=
cos α
cos x. cos(x + α)
− 1
Khi đó I
1
=
tan x. tan(x + α)dx = cos α
dx
cos x. cos(x + α)
− x. Trở lại dạng 6.
Tương tự cho tích phân I
2
=
tan x. cot(x + α)dx và I
3
=
cot x. cot(x + α)dx
2.3.2.9 Dạng 9: I =
a
1
sin
2
x + b
1
sin x cos x + c
1
cos
2
x
a
2
sin x + b
2
cos x
dx
Phương pháp chung: Ta thực hiện phép biến đổi
a
1
sin
2
x + b
1
sin x cos x + c
1
cos
2
x = (A sin x + B cos x)(a
2
sin x + b
2
cos x) + C(sin
2
x + cos
2
x).
Khi đó ta có
I = −A cos x + B sin x +
C
a
2
2
+ b
2
2
ln
tan
x + α
2
+ C.
trong đó sin α =
b
2
a
2
2
+ b
2
2
và cos α =
a
2
a
2
2
+ b
2
2
2.3.3 Tích phân của hàm chứa căn thức
Hầu hết phép tính tích phân của các hàm số chứa căn thức là bài toán phức tạp. Trong mục
này, chúng tô i trình bày 7 dạng tích phân của hàm số chứa dấu tích phân cơ bản.
2.3.3.1 Dạng 1: I =
R
x,
n
ax + b
cx + d
dx
Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt t =
n
ax + b
cx + d
⇒ x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ
(t)dt
23
Bước 2: Tính I =
R[ϕ(t), t]dt
2.3.3.2 Dạng 2: I =
R[x,
√
a
2
−x
2
]dx
Phương pháp chung: : Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt x = a. cos t, (−
π
2
< t <
π
2
) ⇒ dx = −a sin tdt
Bước 2: Tính I =
R[a. co s t, −a
2
sin
2
t]dt
2.3.3.3 Dạng 3: I =
R[x,
√
a
2
+ x
2
]dx
Phương pháp chung: : Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt x = a. tan t, (0 < t <
π
2
) ⇒ dx = −a(1 + tan
2
t)dt
Bước 2: Tính I =
R[a. tan t, −a
2
tan t(1 + tan
2
t)]dt
2.3.3.4 Dạng 4: I =
R[x,
√
x
2
−a
2
]dx
Phương pháp chung: : ta thực hiện t heo các bước sau:
Bước 1: Đặt x =
a
cos t
, (−
π
2
< t <
π
2
) ⇒ dx = −
a. sin t
cos
2
t
dt
Bước 2: Tính I =
R[
a
cos t
,
a
2
. sin
2
t
cos
3
t
]dx
2.3.3.5 Dạng 5: I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx
Phương pháp chung: Ta xét các trường hợp sau:
Ta có
√
ax
2
+ bx + c =
a(x
2
+
b
a
x +
c
a
) =
a[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
−4ac
4a
2
]
Ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu ∆ = b
2
− 4ac ≥ 0, ta có
ax
2
+ bx + c =
√
a.
√
u
2
− α
2
nếu a > 0
√
−a.
√
α
2
−u
2
nếu a < 0
trong đó u = x +
b
2a
và α =
b
2
−4ac
4a
2
Khi đó tích phân I là một trong 2 dạng sau:
I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx =
R
1
(u,
√
α
2
−u
2
)du trở lại dạng 2.
I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx =
R
2
(u,
√
u
2
−α
2
)du trở lại dạng 4.
Trường hợp 2: Nếu ∆ = b
2
− 4ac < 0, không xảy ra khả năng a < 0. Do đó t a chỉ xét a > 0, khi
đó ta có
ax
2
+ bx + c =
√
a.
u
2
+ β
2
với β
2
=
4ac − b
2
4a
2
Khi đó tích phân được viết dưới dạng
I =
R(x,
√
ax
2
+ bx + c)dx =
R
3
(u,
u
2
+ β
2
)du trở lại dạng 3.
2.3.3.6 Dạng 6: I =
dx
√
ax
2
+ bx + c
Phương pháp chung: : Ta xet các trường hợp sau:
Ta có
√
ax
2
+ bx + c =
a(x
2
+
b
a
x +
c
a
) =
a[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
−4ac
4a
2
]
24
∗ Nếu a > 0, tích phân có dạng I =
1
√
a
du
√
u
2
+ m
(i)
Giải tích phân (i) bằng cách đặt t = u +
√
u
2
+ m ⇒
dt
t
=
du
√
u
2
+ m
Khi đó (1) có dạng I =
1
√
a
dt
t
=
1
√
a
ln |t|
Vậy I =
1
√
a
ln
(x +
b
2a
) +
[(x +
b
2a
)
2
−
b
2
−4ac
4a
2
]
∗ Nếu a < 0, tích phân có dạng I =
1
√
a
du
√
k
2
− u
2
(ii)
Giải tích phân (ii) bằng như dạng 1.
2.3.3.7 Dạng 7: I =
P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
, (n ≥ 1)
Với tích phân dạng này, ta xét hai trường hợp như sau:
Trường hợp 1: Nếu n = 1. Khi đó tích phân có dạng I =
a
1
x + b
1
√
ax
2
+ bx + c
dx
Ta tìm các số A, B sao cho
a
1
x + b
1
= A(ax
2
+ bx + c)
+ B
Bằng phương pháp đồng nhất, ta xác định được A =
a
1
2a
, B =
2ab
1
− bb
1
2a
Khi đó tích phân có dạng
I =A
d((ax
2
+ bx + c)
)
√
ax
2
+ bx + c
+ B
dx
√
ax
2
+ bx + c
dx
=A. ln
ax
2
+ bx + c
+ B
dx
√
ax
2
+ bx + c
Trường hợp 2: Nếu n ≥ 2, ta đưa tích phân về dạng
I =
P
n
(x)dx
√
ax
2
+ bx + c
= Q
n−1
(x)
ax
2
+ bx + c + λ
dx
√
ax
2
+ bx + c
(∗)
trong đó Q
n−1
(x) là một đa thức biến x bậc (n −1), λ ∈ R. Để xác đinh Q
n−1
(x) và hệ số λ ta lấy
vi phân hai vế của (∗), sau đó đồng nhất các hệ số.
2.3.4 Tích phân của hàm số đặc biệt
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tích phân của hàm số có tính chất đặc biệt như:
hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn,
2.3.4.1 Dạng 1: I =
a
−a
f(x)dx
α
x
+ 1
I =
a
−a
f(x)dx
α
x
+ 1
với f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a], α > 0.
Ta có I =
a
−a
f(x)dx
α
x
+ 1
=
0
−a
f(x)dx
α
x
+ 1
+
a
0
f (x)dx
α
x
+1
