Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán hình học không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (903.89 KB, 39 trang )
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI HHKG
“ Đại số hóa hình học “
Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG
“ Phương pháp là thầy của các thầy “
Email:
Bỉm sơn: 11 – 02 – 2014
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
1
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ
GIẢI HHKG
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích
hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
PHƯƠNG PHÁP
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (quan trọng là gốc tọa độ O)
Thích hợp có nghĩa là phải căn cứ vào các cặp cạnh vuông góc để từ đó xác định được gốc tọa độ thích
hợp, thông thường dựa vào đặc điểm của hình như hình chóp đều, cạnh bên vuông góc với đáy, mặt bên
vuông góc với đáy, hay đáy là hình gì….
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm
cần thiết)
Để xác định được tọa độ các điểm các bạn phải tính được độ dài các cạnh (khoảng cách từ điểm đó tới
gốc tọa độ) hay hình chiếu các điểm đó xuống các cạnh hay mặt phẳng
Xem điểm đó thuộc cạnh trục nào, mặt phẳng nào, hay không thuộc mặt phẳng nào, chiều dương hay âm
của các trục
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:
- Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
- Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm
chia đọan thẳng để tìm tọa độ, tịnh tiến
- Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
- Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Ưu điểm: Chỉ cần xác định đúng các tọa độ các điểm, áp dụng các kiến thức về hình giải tích như thể
tích, diện tích, góc, khoảng cách…, ngoài ra còn ôn lại được các kiến thức về hinh giải tích như viết
phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu…
Nhược điểm: Tính toán cồng kềnh, phức tạp làm học sinh dễ nản
Chú ý: Vì nhược điểm của bài toán nên khi tính toán chúng ta nên chọn các điểm có tọa độ liên
quan nhiều đến số 0 và tận dụng các câu có mối liên quan tới nhau để đỡ mất công tính toán và khi
tính các vtvp hoặc vtcp ta chọn sao cho các vecto đó đơn giản dễ tính. Mặt khác phải biết kết hợp
các công thức giữa tọa độ và không gian
Các dạng toán thường gặp:
Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …
Định lượng:
- Độ dài đoạn thẳng:
2 2 2
| | ( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
0 0 0
0
2 2 2
( ; )
Ax By Cz D
d M
A B C
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
0 1
1
;
( , )
M M u
d M
u
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
' '
0 0
1 2
'
, .
( , )
,
u u M M
d
u u
Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
2
'
'
,
( , )
,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
1 2 1 2 1 1
1 2 2 1 2 2
, , ,
, , ,
d P P d M P M P
d P P d M P M P
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
1 2 1 2 1 1
1 2 2 1 2 2
( , ) , ,
( , ) , ,
d d M M
d d M M
- Khoảng cách giữa một đường thẳng song song với một mặt phẳng:
, , ,d P M P M
- Góc giữa hai đường thẳng:
1 1
1 1
.
cos
u u
u u
Đặc biệt: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng:
'
,
cos
.
AB CD
AB CD
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
.
sin
.
nu
n u
- Góc giữa hai mặt phẳng:
1 2
1 2
.
cos
.
n n
n n
- Thể tích khối tứ diện:
1
. ; .
6
ABCD
V AB AC AD
hoặc
1
. .
3
ABCD BCD
V S AH
với
,
AH d A BCD
+ Thể tích hình hộp:
' ' ' '
'
.
; .
ABCD A BC D
V AB AD AA
- Diện tích thiết diện
+ Diện tích của tam giác:
1
. ;
2
ABC
S AB AC
+ Diện tích hình hình hành:
;
ABCD
S AB AD
Thể tích hoặc diện tích của một hình hỗn hợp thì ta chia thể tích thành các phần nhỏ hơn và cộng lại
Bài toán cực trị, quỹ tích.
……
Sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức, ứng dụng của đạo hàm…
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG
Dạng 1: Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
. ' ' ' '
ABCD A B C D
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; (0; ;0)
A O B a C a a D a
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a B a a C a a a a a
Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; (0; ;0)
A O B a C a b D b
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
3
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; '(0; ; )
A c B a c C a b c D b c
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐHA – 2006) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),
B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
, biết
1
cos
6
.
Giải:
Tọa độ của các đỉnh còn lại :
1;1;0 , ’ 1;01 , ’ 0;1;1 , ’ 1;1;1
C B D C
a. Ta có :
1
' 1;1;1 , 0;1;0 , ' ;0;1
2
A C MN A M
Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN là :
' , '
' ,
' ,
A C MN A M
d A C MN
A C MN
Hay :
2 2 2
1 1 1 1
1
3
1 0 0 1
2
3
2
’ ,
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1
d A C MN
b. Mặt phẳng (Oxy) có
0;0;1
n k
.
Mặt phẳng (P) có dạng :
0
ax by cz d
(P) qua A’(0;0;1) thì :
0
c d
(P) qua C(1;1;0) thì :
0
a b d
. Từ đó suy ra :
: 0 1
c d P ax by cz c
Như vậy :
; ;
P
n a b c
. Theo giả thiết :
.
1 1
2 2 2 2 2 2 2
cos 6 5 2
2 2 2
6 6
n k
c
P
c a b c a b c
n k
a b c
P
Như vậy :
2
2 2 2 2 2
2 2
2 0
5 2 0
5
b a c
a b c b a c
b a c
a c a c
a b c a ac c
a a c c
2
( ): 2 0 2 1 0
( ): 2 0 2 1 0
2 2
b a c b a
P ax ay az a x y z
c a c a
b a c b c
P cx cy cz c x y z
a c a c
Bài 2: (ĐH – B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng
MP và C’N.
HD:
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A O B a C a a a
M
z
y
x
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
N
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
4
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a B a a C a a a a a
a. Tính khoảng cách
2 2 2
' ;0; , ' ; ; , ' ' ;0;0
' , ' ;2 ;
' , ' , ' '
6
' , '
6
' , '
A B a a B D a a a A B a
A B B D a a a
A B B D A B
a
d A B B D
A B B D
b. Tính góc
;0; , ; ;0 , 0; ; ; ; , ' ;0; . ' '
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
M a N a P a MP a NC a MP NC MP C N
Đáp số: a.
6
6
a
b.
' .
MP C N
Bài 3: (ĐH A – 2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có A trùng với gốc của hệ tọa độ biết B(a;0;0), D(0;a;0), A
/
(0;0;b) (a > 0, b > 0). Gọi M là
trung điểm cạnh CC
/
.
a. Tính thể tích khối tứ diện BDA
/
M theo a và b.
b. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A
/
BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
HD:
Ta có
; ;0 , ' ; ; , ; ; ; ;0 , 0; ; ; ' ;0;
2 2
b b
C a a C a a b M a a BD a a BM a BA a b
a. Tính thể tích
2
2
'
2
, ; ;
1
2 2
, . '
6 6
3
, . '
2
BDA M
ab ab
BD BM a
a b
V BD BM BA
a b
BD BM BA
b. Xác định tỉ số
2 2
'
, ; ; ; , ' ; ;
2 2
BDM A BD
ab ab
n BD BM a n BD BA ab ab a
Mặt phẳng
2 2 2 2
4
'
' . 0 0 1
2 2
BDM A BD
a b a b a
BDM A BD n n a a b
b
Đáp số: a.
2
4
a b
b.
1.
a
b
Bài 4: (ĐH – D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông
cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo
a.
Giải:
A’AC vuông cân tại A. Ta có ' ' ,
2
2 2 2
a a a
A C a AC AA BC AD AB
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0
A O ,
;0;0 , 0; ;0 , ; ;0
2 2 2 2
a a a a
B Ox D Oy C
' 0;0; ; ' ;0; ; ' ; ; ; ' 0; ;
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a a a a a
A Oz B Oxz C D
Ta có
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
5
2
3
' '
3
;0;0
2
, ' 0; ;0
1 1
2 2
' ;0; , ' . ' .
2 6 6
2 4 2
, ' . '
4 2
' ; ;
2 2
2
ABB C
a
AB
a
AB AB
a a a
AB V AB AB AC
a
AB AB AC
a a a
AC
3
2
48
a
Ta có
2 2 2
0; ;0
2
, ' ;0; 2;0;1
4 4
2 2
' ; ;
2 2
2
a
BC
a a a
BC BD
a a a
BD
Mặt phẳng (BCD’) đi qua B và có vtpt
2;0;1
n
có phương trình
2 1 0 0 2 0
2
2
a a
x z x z
Khoảng cách
2
2
6
2
, ’
6
2 1
a
a
d A BCD
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHDB – A1 – 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A
1
(0;0;
2
).
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A
1
, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc
của đường thẳng B
1
D
1
trên mặt phẳng (P).
b. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A
1
C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A
1
.ABCD
với mặt phẳng (Q).
HD:
Tìm được tọa độ
2;0;0 ,
C Ox
a. Mặt phẳng
: 2 1 0
P x y z
. Phương trình hình chiếu: 1
2 2
x t
y t
z t
b. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A
1
C thì chứa AC
1
. Do tam giác AAC
1
vuông cân nên
mặt phẳng (Q) cắt BB
1
và CC
1
tại các trung điểm E và F
AE cắt A
1
B tại J, AF cắt A
1
D tại K. Thiết diện là tam giác IJK
Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có A(0;0;0), B(2;0;0), D
1
(0;2;2).
a. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt
phẳng (AB
1
D
1
) và (AMB
1
) vuông góc với nhau .
b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng
AC
1
(
N A
) đến hai mặt phẳng (AB
1
D
1
) và (AMB
1
) không phụ
thuộc vào vị trí của điểm N.
Hướng dẫn giải:
Ta có
0;0;0 ; 2;0;0 ; 2;2;0 , 0;2;0
A B C D
;
1 1 1 1
0;0;2 ; 2;0;2 ; 2;2;2 ; 0;2;2
A B C D
Mặt phẳng
1 1
AB D
có cặp vtcp là:
1
2,0,2
AB
;
1
0,2,2
AD
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
6
Mặt phẳng
1 1
AB D
có vtpt là
1 1
1
, 1, 1,1
4
u AB AD
Mặt phẳng
1
AMB
có cặp vtcp là:
2,1,0
AM
với
2,1,0
M
;
1
2,0,2
AB
Mặt phẳng
1
AMB
có vtpt là
1
, 1, 2, 1
2
v AM AB
Ta có:
1 1 1
. 1 1 1 2 1 1 0
u v u v AB D AMB
b.
1
2,2,2
AC
Phương trình tham số
1
:
x t
AC y t
z t
,
1
, ,
N AC N t t t
Phương trình
1 1
: 0 0 0 0 0
AB D x y z x y z
1 1 1
,
3 3
t t t t
d N AB D d
Phương trình
1
: 0 2 0 0 0 2 0
AMB x y z x y z
1 2
2 2
,
1 4 1 6
t t t t
d N AMB d
1
2
6 6 2
3
2
2 2
3 2 3
6
t
t
d
t
d t
Vậy tỉ số khoảng cách từ
1
0
N AC N A t
tới 2 mặt phẳng
1 1
AB D
và
1
AMB
không phụ
thuộc vào vị trí của điểm N.
Bài 3: (ĐHDB – A1 – 2006) Cho hình hộp đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có các cạnh
3
, '
2
a
AB AD a AA và góc
60 .
o
BAD Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
' '
A D
và
' '.
A B
Chứng minh
'
AC
vuông góc với mặt phẳng
.
BDMN
Tính thể tích khối chóp
. .
A BDMN
Hướng dẫn giải:
Vì
AB AD a
và góc
60
o
BAD
ABD
là tam giác đều nên đáy là hình thoi
Gọi O là tâm hình thoi qua O dựng
/ / '
Oz AA
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0
O
là gốc tọa độ
3
;0;0 ; ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ' ;0;
2 2 2 2 2 2
3 3 3
' 0; ; ; ' 0; ; ; ' ;0;
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
A Ox C Ox D Oy B Oy A Oxz
a a a a a a
D Oxz B Oxz C Oxz
Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
' '
A D
và
' '
A B
3
; ;
4 4 2
a a a
M
;
3
; ;
4 4 2
a a a
N
Tính
'
A C
và tính vecto pháp tuyến của mặt phẳng
BDMN
là
,
n BD BM
. Chứng minh
' / /
A C n
Tính thể tích khối chóp
3
3
.
16
ABDM ABDN
a
A BDMN V V
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
7
Bài 4: (ĐHDB – D2 – 2006) Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
và điểm K thuộc
cạnh
'
CC
sao cho
2
3
CK a
. Mặt phẳng
( )
đi qua A, K và song song với
BD
chia khối lập phương
thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
Đáp số:
3
1
3
a
V ;
3
2
2
3
a
V
Dạng 2: Với hình chóp đều
1. Hình chóp tam giác đều S. ABC
Dấu hiệu: Đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau
Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng
h
.
3 1 3
,
2 3 6
a a
CI HI CI
Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
I
Khi đó : ;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
A Ox B Ox
3 3
0; ;0 ; 0; ;
2 6
a a
C Oy S h Oz
Hoặc: Chọn hệ trục sao cho
0;0;0
H O
Tính
3 3 3 3
,
2 2 3 6
a a a
CI AB CH HI
Khi đó
3 3
; ;0 ; ; ;0
2 6 2 6
a a a a
A Ox B Ox
3 3 3
0; ;0 ; 0; ; ; 0; ;0
3 6 6
a a a
C Oy S h Oz I Oy
Hoặc:
Từ A ta dựng hai đường thẳng
/ / , / /
Az SH Ax BC
Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho
0;0;0 ,
A O
3 3 3
; ;0 , ; ;0 , 0; ;
2 2 2 2 3
a a a a a
B Oxy C Oxy S h Oz
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính theo a diện tích tam
giác AMN , biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải:
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm
ABC
. Gọi I
là trung điểm của BC, ta có:
3 3 3 3
,
2 2 3 6
a a a
AI BC OA OI
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ ta được:
z
a
x
y
h
M
N
O
I
C
A
B
S
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
8
O(0; 0; 0), S(0; 0; h),
3
; 0; 0
3
a
A
3
; 0; 0
6
a
I
,
3
; ;0
6 2
a a
B
,
3
; ; 0
6 2
a a
C
,
3
; ;
12 4 2
a a h
M
và
3
; ;
12 4 2
a a h
N
.
2
( )
5 3
, ; 0;
4 24
AMN
ah a
n AM AN
,
2
( )
3
, ; 0;
6
SBC
a
n SB SC ah
2 2
2
( ) ( )
5 1 10
( ) ( ) . 0 ,
12 2 16
AMN SBC
AMN
a a
AMN SBC n n h S AM AN
Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2003) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
bằng
0
(0 90 )
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
Vì S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao đỉnh S trùng
với tâm O đường tròn (ABC).
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:
2 3
3 3
a
AO AM
và
3
6
a
OM
,
AM BC SM BC SMA
SOM vuông có:
3
.tan tan
6
a
SO OM
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc,
0;0;0 ,
A
3 3
; ; 0 , ; ; 0
2 2 2 2
a a a a
B C
3 3 3 3
0; ; 0 , 0; ; 0 , 0; ; tan
2 3 3 6
a a a a
M O S
Thể tích hình chóp:
3
1 tan
. .
3 24
ABC
a
V SO S
Ta có:
3 3
; ; tan , ( ;0;0)
2 6 6
a a a
BS BC a
2 2
3 3
; 0; tan ;
6 6
a a
BS BC n
Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến
:
n
2 2
3 3 3
tan ( 0) 0
2 6 2 6
a a a a
O x y z
3
( ) : tan tan 0.
2
a
SBC y z
Khoảng cách d từ A đến (SBC):
2
3
3
tan . tan
tan
2
3
2
sin .
1
2
tan 1
cos
a
a
O O
a
d
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐH – B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối
chóp S.ABH theo a.
Đáp số: Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)
. 0
SC n
với
,
n BH BA
C
M
B
x
A
z
S
O
y
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
9
3
7 11
96
SABH
a
V
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt
phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau.
Hướng dẫn:
Gọi H là tâm của tam giác ABC vì M là trung điểm của BC
Ta có:
( deu)
SA SB SC
HA HB HC ABC
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc
(0; 0; 0),
A
3 3 3 3
; ; 0 , ; ; 0 , 0; ; 0 , 0; ;
2 2 2 2 2 3
a a a a a a
B C H S h
.
3 3 3
0; ; , ; ; , ; ;
3 2 6 2 6
a a a a a
SA h SB h SC h
2
1
3 3
[ ; ] ; ; (3 3; 3 ; 3) . ,
2 2 6 6 6
ah ah a a a
SA SB h h a n
với
1
(3 3; 3 ; 3)
n h h a
2
2
3 3
[ ; ] ; ; (3 3; 3 ; 3) . ,
2 2 6 6 6
ah ah a a a
SA SC h h a n
với
2
(3 3; 3 ; 3)
n h h a
.
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
;
SA SB
nên có pháp vectơ
1
n
.
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương
;
SA SC
nên có pháp vectơ
2
n
.
1 2
( ) ( ) cos( ; ) 0
SAB SAC n n
2 2 2
2 2
3 3.3 3 3 .3 3( 3) 0 27 9 3 0
6
18 3 .
6
h h h h a a h h a
a
h a h
Vậy khoảng cách cần tìm là
6
.
6
a
h
2. Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Dấu hiệu: Đáy là hình vuông, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau
Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao
SO h
và đường chéo
2
a
Chọn
0;0;0
O
là tâm của hình vuông và là gốc tọa độ
Khi đó :
2 2
;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
A Ox C Ox
2 2
0; ;0 ; 0; ;0 ; 0;0;
2 2
a a
B Oy D Oy S h Oz
Hoặc: Trục
/ /
Ox AD
,
/ /
Oy BC
Khi đó
; ;0 ; ; ;0
2 2 2 2
a a a a
A Oxy C Oxy
S
z
A
z
H
B
M
y
C
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
10
; ;0 ; ; ;0 ; 0;0;
2 2 2 2
a a a a
B Oxy D Oxy S h Oz
Hoặc:
Lấy một đỉnh bất kỳ và dựng đường thẳng song song với SO
Giả sử từ A ta dựng
/ /
Az SO
. Chọn hệ trục như sau
0;0;0
A O
,
;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , ; ;
2 2
a a
D a Ox B a Oy C a a Oxy S h
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐH B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Chọn hệ trục tọa độ
0;0;0
O
,
2
;0;0
2
a
A Ox
,
2
;0;0
2
a
C Ox
2
0; ;0
2
a
B Oy
,
2
0; ;0
2
a
D Oy
,
0;0;
S h Oz
Gọi H là trung điểm của SA
2
;0;
4 2
a h
H
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA
2 2
; ;
2 2
a a
E h
M là trung điểm của AE
2 2
; ;
2 4 2
a a h
M
N là trung điểm của BC
2 2
; ;0
4 4
a a
N
Chứng minh MN vuông góc với BD
3 2
;0;
4 2
. 0
0; 2;0
a h
MN
MN BD MN BD
BD a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
2
3 2
;0;
2
4 2
, 0; ;0
2
2;0;0
,
2
4
0; ;
4 2
a h
MN
ah
MN AC
AC a
a h
MN AC MA
a h
MA
2
,
2
4
,
4
2
,
2
a h
MN AC MA
a
d MN AC
ah
MN AC
z
S
x
A
B
y
C
D
O
h
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
11
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHDB – D1 – 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường
cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD.
Đáp số:
3
2 2
2
.
3
16
a b
V
a b
Bài 2: (ĐH – B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng
( 0
0
<
< 90
0
) . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
. Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD theo a và
.
Đáp số:
tan 2 tan
SMO
và
3
.
2
tan
6
S ABCD
V a
Dạng 3. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
A. Hình chóp S.ABCD có SA
(ABCD)
1. Đáy là một hình chữ nhật ABCD
Dấu hiệu: Các cạnh của hình chữ nhật vuông góc với nhau và cạnh bên SA vuông góc với đáy
Cách chọn:
ABCD là hình chữ nhật ;
AB a AD b
chiều cao bằng
SA h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
A O
Khi đó :
;0;0 ; ; ;0
B a Ox C a b Oxy
;
0; ;0 ; 0;0;
D b Oy S h Oz
2. Đáy là một hình thoi ABCD
Dấu hiệu: Hai đường chéo vuông góc với nhau và cạnh bên SA vuông góc với đáy
Cách chọn:
ABCD là hình thoi cạnh
a
chiều cao bằng
SA h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
O
là tâm hình thoi và là gốc tọa độ, từ O dựng
/ /
Oz SA
Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OC, OD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D và suy ra
tọa độ điểm S với , ; ,
A C Ox B D Oy
Hoặc:
ABCD là hình thoi cạnh
a
chiều cao bằng
h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
A O , qua A dựng
/ /
Ay BD
0;0;
S Oz S h
. Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OA, OB từ đó tìm được tọa độ các đỉnh
A, B, C, D
3. Đáy là hình thang vuông tại A, D (tương tự với B, D)
Dấu hiệu: Hình thang vuông tại A, D và cạnh bên SA vuông góc với đáy
Cách chọn: ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng
SA h
Chọn hệ tọa độ sao cho
0;0;0
A O
;
0;0;
S Oz S h
Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với
; ,
D Oy B Ox C Oxy
Hoặc:
ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng
SA h
Chọn hệ tọa độ sao cho
0;0;0
D O ;
/ /
Dz SA
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
12
Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với
; ,
A Oy C Ox B Oxy
4. Đáy là hình vuông ABCD (thiết lập tương tự như hình thoi hoặc hình chữ nhật)
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐH – D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang
0
90
ABC BAD , BA = BC = a ,
AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =
2
a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB .
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0 , 0; ;0 , 2 ;0;0 , ; ;0 , 0;0; 2
A O B a Oy D a Ox C a a Oxy S a Oz
0; ; 2
SB a a
. Đường thẳng SB đi qua B và có vtcp
SB
nên có
0
:
2
x
SB y a at
z a t
.
Gọi H là hình chiếu của A trên SB
0; ; 2 0; ; 2
H SB H a at a t AH a at a t
Ta có
2 2 2
1 2 2
. 0 2 0 0; ;
3 3 3
a a
AH SB a a t a t t H
Chứng minh tam giác SCD vuông
Ta có
; ; 2
. 0
; ;0
CS a a a
CS CD CS CD CSD
CD a a
vuông tại C
Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Mặt phẳng (SCD) đi qua C và có vtpt
2 2 2 2
. 2; 2;2 2 1;1; 2
n CS CD a a a a
có phương
trình
1 1 2 0 0 2 2 0
x a y a z x y z a
2 2
2 2
3 3
,
3
1 1 2
a a
a
a
d H SCD
Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến
đường thẳng BE.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ sao
cho
0;0;0
A O ,
;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;
B a Ox D a Oy C a a Oxy S a Oz
Gọi E là trung điểm của cạnh CD
2
2 2
; ;0 ; ;0 , ;0; , ; ;
2 2 2
a a a
E a BE a SB a a SB BE a a
4
2
4 4
2
2
2
3
,
3 5
4
2
,
5
5
2
4
a
a
a a
SB BE
a
d S BE
a
BE
a
a
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
13
Bài 3: (ĐH – A 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết
2;0;0 , 0;1;0 ,
A B
0;0;2 2 .
S
Gọi M là trung
điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
HD:
a. O là trung điểm BD
0; 1;0
D ; O là trung điểm AC
2;0;0
C
M là trung điểm SC
1;0; 2
M
( 2;0;2 2)
SA
;
( 1; 1; 2)
BM
;
Gọi là góc nhọn tạo bởi SA và BM : cos =
2 0 4
3
2
4 8 1 1 2
= 30
0
Gọi (
) là mặt phẳng chứa SA và // BM. Suy ra PT :
: 2 2 2 0
x z
Ta có :
2 6
, ,
3
d SA BM d B
PT mp (ABM):
2 2 2 3 2 2 0
x y z
PT tham số SD:
0
1 ( )
2 2
x
y t t R
z t
Tọa độ điểm N = SD
(ABM)
1
0; ; 2
2
N
(0; 1;2 2)
BS
;
(2; 1;0)
BA
;
3
0; ; 2
2
BN
;
( 1; 1; 2)
BM
, (2 2;0;0)
BS BN
;
, . 4 2
BS BN BA
;
, . 2 2
BS BN BM
Vậy V
SABMN
= V
SABN
+ V
SMNB
=
1 1
.4 2 .2 2 2
6 6
(đvdt)
Bài 4: (ĐH – B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 ,
SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích của khối tứ diện ANIB.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0 , ;0;0 , 0; 2;0 ,
; 2;0 , 0;0;
A O B a Ox D a Oy
C a a Oxy S a Oz
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC
2 2
0; ;0 ; ;
2 2 2 2
a a a a
M N
Đường thẳng BM đi qua điểm M và có vtcp
2
; ;0 2; 1;0
2
2
a a
BM a
có phương trình
2
:
0
x a t
BM y t
z
z
S
x
B
C
y
D
N
M A
I
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
14
Đường thẳng AC đi qua A và có vtcp
; 2;0 1; 2;0
AC a a a
có phương trình
'
: 2 '
0
x t
AC y t
z
Tọa độ điểm
I BM AC
là nghiệm của phương trình
2
2 '
2
3
; ;0
3 3
2 '
'
3
a
t
a t t
a a
I
a
t t
t
Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Mặt phẳng (SAC) có vtpt
2 2
; 2;0
, 2; ;0
0;0;
SAC
AC a a
n AC AS a a
AS a
Mặt phẳng (SBM) có vtpt
2 2
2
;0;
2 2
, ; ;
2
2 2
; ;0
2
SBM
BS a a
a a
n BS BM a
a
BM a
Vì
. 0
SAC SBM
n n SAC SBM
Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
2 2
3
3
;0;0
2
, 0; ;
2 2
2 1 2
; ; , .
2 2 2 6 36
2
, .
6
2
; ;0
3 3
ANBI
AB B a
a a
AB AN
a a a a
AN V AB AN AI
a
AB AN AI
a a
AI
Chú ý: Có thể nhận xét nhanh I là AC và BM nên I là trọng tâm của tam giác ABD
2
; ;0
3 3
a a
I
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHDB – B1 – 2006) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
,
a
60 ,
o
BAD
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
,
SA a
. Gọi
'
C
là trung điểm của
SC
. Mặt phẳng
P
đi qua
'
AC
và song song với
,
BD
cắt các cạnh
,
SB SD
của hình chóp lần lượt tại
', '.
B D
Tính thể tích của
khối chóp
. ' ' '.
S AB C D
Đáp số:
3
. ' ' '
3
18
S AB C D
a
V
Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho
0
( , ) 60
SAB SBC . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK
vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC.
Đáp số:
3
.
6
12
S ABC
R
V
Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a,
3
SA a
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính côsin
của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
15
Đáp số:
3
.
3
6
S ACD
a
V
và
1
cos
2 2
Bài 4: (ĐHDB – A2 – 2006) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2 ,
AB a AD a
cạnh
SA
vuông góc với đáy, cạnh
SB
tạo với mặt phẳng đáy một góc
60 .
o
Trên cạnh
SA
lấy điểm
M
sao cho
3
3
a
AM
. Mặt phẳng
BCM
cắt cạnh
SD
tại điểm
N
. Tính thể tích khối
chóp
. .
S BCNM
Đáp số:
3
.
10 3
27
S BCNM
a
V
Bài 5: (ĐHDB – B1 – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA =
2
a
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD . Chứng
minh
( )
SC AHK
và tính thể tích hình chóp OAHK.
Đáp số:
3
2
27
OAHK
a
V
B. Hình chóp S.ABC có SA
(ABC)
1. Đáy là tam giác vuông tại A (bài toán tam diện vuông)
Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại A và cạnh bên SA vuông góc với đáy
Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại A có ;
AB a AC b
đường cao bằng
SA h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
A O
Khi đó :
;0;0 ; C 0; ;0
B a Ox b Oy
;
0;0;
S h Oz
2. Đáy là tam giác vuông tại B (tương tự vuông tại C)
Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với đáy
Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại B có ;
BA a BC b
đường cao bằng
SA h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
B O
, dựng
/ /
Bz SA
Khi đó :
;0;0 ; 0; ;0
A a Ox C b Oy
;
;0;
S a h Oz
Hoặc:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
A O , dựng
/ /
Ay BC
Khi đó :
;0;0 ; ; ;0
B a Ox C a b Oxy
;
0;0;
S h Oz
Hoặc:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
A O
, dựng
/ /
Ay BI
, với I là trung điểm của AC
2 2
2 2
AC b a
AI BI
Khi đó :
2 2 2 2
2 2
;0;0 ; ; ;0
2 2
b a b a
C b a Ox B Oxy
;
0;0;
S h Oz
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐHDB – D2 – 2002) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng
6
2
a
SA .
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
16
Gọi I là trung điểm của BC. Chọn hệ trục như hình vẽ:
0;0;0
I O ,
3 3 6
;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;
2 2 2 2 2
a a a a a
C Ox B Ox A Oy S Oz
Ta có
2 2 2
;0;0
6 3 3
, 0; ; 0; 2; 1
3 6
2 2 2
; ;
2 2 2
BC a
a a a
BC BS
a a a
BS
Mặt phẳng (SBC) đi qua B và có vtpt
0; 2; 1
n
có phương trình
0 2 0 1 0 0 2 0
2
a
x y z y z
Khoảng cách
2
2
3
2.
2
2
,
2
2 1
a
a
d A SAC
Bài 2: (ĐHDB – D1 – 2003) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC
= 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác
AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a .
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0
B O ,
;0;0 , 0;2 ;0 , ;0;2
A a Ox C a Oy S a a Oxz
M là trung điểm của SC
; ;
2
a
M a a
.
Ta có
; ;
2
3
2
; ;
2
a
MA a a
a
MA MB MAB
a
MB a a
cân tại M
Mặt khác
2
2 2
1 2
, 0; ; ,
2 2
AMB
a
MA MB a a S MA MB
Cách khác:
Tam giác ABC vuông tại B có:
2 2 2 2 2 2
4 5 5
AC AB BC a a a AC a
Dựng
( ),
BH AC H AC
ta có:
2 2
5 5
AB a a
AH
AC
a
2 2 2 2
1 1 1 5
4
BH AB BC a
2
5
a
BH
Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc với
2
(0;0;0), (0; 5;0), (0;0;2 ), ; ;0
5 5
a a
A C a S a B
Tọa độ trung điểm M của SC là
5
0; ;
2
a
M a
Ta có:
5 3
0; ;
2 2
a a
MA a MA
2 3 3
; ; .
2
5 2 5
a a a
MB a MB
Suy ra: MA = MB tam giác MAB cân tại M.
z
S
2a
M
C
y
a 5
H
B
A
K
x
a
5
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
17
Ta có:
2 2
2 2
2
[ ; ] ; ; [ ; ] 2
5 5
a a
MA MB a MA MB a
Diện tích tam giác MAB:
2
2
1 1 2
[ ; ] . 2 .
2 2 2
MAB
a
S MA MB a
Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2004) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và vuông góc với đáy ABC, tam giác
ABC có AB = BC = 2a, góc ở B bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
Gọi I là trung điểm của AC.
Ta có trong tam giác vuông ABI tại I có
0
0
cos30 . 3
sin30 .
AI CI AB a
BI AB a
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0
I O
,
3 ;0;0 , 3 ;0;0 , 0; ;0 , 3 ;0;3
C a Ox A a Ox B a Oy S a a Oxz
Ta có
2 2 2 2
3 ; ;3
, 3 ;3 3;2 3 3 3;3;2
3 ; ;0
BS a a a
BS BC a a a a
BC a a
Mặt phẳng (SBC) đi qua điểm B và có vptp
3;3;2
n
có phương trình là
3 0 3 2 0 0 3 3 2 3 0
x y a z x y z a
Khoảng cách
2
2 2
3 . 3 3
6 3
,
4 2
3 3 2
a a
a a
d A SBC
Bài 4: (ĐH – D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường
thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Giải:
Gọi I là trung điểm của BC. Chọn hệ trục như hình vẽ:
0;0;0
I O
,
3 3
;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;2
2 2 2 2
a a a a
C Ox B Ox A Oy S a Oz
Đường thẳng SB đi qua điểm B và nhận vecto
3
; ; 2
2 2
a a
SB a
làm vtcp nên có phương trình
3
: ; ; 2
2 2 2
a a a
SB x t y t z at
Gọi M là hình chiếu của A trên SB
M
Đường thẳng SC đi qua điểm C và nhận vecto
3
; ; 2
2 2
a a
SC a
Gọi M là hình chiếu của A trên SC
N
Thể tích khối chóp A.BCNM
.
A BCNM ABCM ABCN
V V V
Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông có AB = AC = a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và
2
2
a
SA .
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung điểm của cạnh BC.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
18
Hướng dẫn:
Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O
(0;0;0)
A
, B(a;0;0),
C(0;a;0),
2
(0;0; )
2
a
S
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là
(1;0;0)
i
Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương:
2 2
( ;0; ); (0; ; )
2 2
a a
SB a SC a
Ta có
2 2 2
2
2 2 2
, ; ; (1;1; 2)
2 2 2
a a a
SB SC a
nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến
(1;1 2)
n
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) ta có:
0
.
1 1
cos 60
2
1 1 2
.
i n
i n
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC:
Vì I là trung điểm của BC
; ;0
2 2
a a
I
nên ta có:
2 2 2
3
4 4 4 2
2 2 2 2
; ;0 , 0; ; , , ; ; , 0;0;
2 2 2 4 4 2 2
2
, .
4
,
8 8 4
2
a a a a a a a
AI SC a AI SC AS
a
AI SC AS
a a a a
AI SC
Vậy khoảng cch giữa hai đường thẳng AI và SC là:
3
2
, .
2 2
( , ) .
4 2
,
AI SC AS
a a
d AI SC
a
AI SC
Dạng 4: Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy (hoặc mặt bên là tam giác vuông cân, vuông,
đều, cân)
A. Hình chóp S.ABCD có (SAB)
(ABCD)
Dấu hiệu: Đáy là hình vuông và mặt bên vuông góc với đáy nên từ S hạ SH vuông góc với AB
Cách chọn:
ABCD là hình vuông cạnh a, dựng
/ /
Az SH
với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB
Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho
0;0;0
A O ,
;0;0
B Ox B a ,
0; ;0
D Oy D a
,
; ;0
C Oxy C a a
, để tọa độ điểm S ta
tính đoạn SH và HA
Hoặc:
ABCD là hình vuông cạnh a, dựng
/ /
Hy BC
với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB
Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho
0;0;0
H O
, tính độ dài đoạn HA, HB, SH từ đó suy ra tạo độ các điểm còn lại với
B Ox
,
D Oy
,
,
C Oxy S Oz
z
x
y
A
S
B
C
I
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
19
Trường hợp đặc biệt khi các mặt bên là tam giác đều, tam giác cân thì ta dễ dàng tìm tọa độ các
điểm
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐH A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC,
CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
HD:
Vì mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy nên gọi H là tung điểm của AD thì
SH AD
Chọn hệ trục tọa độ
0;0;0
H O
, ;0;0
2
a
D Ox
, ;0;0
2
a
A Ox
, ; ;0
2
a
B a Oxy
; ;0
2
a
C a Oxy
,
3
0;0;
2
a
S Oz
M là trung điểm của SB
3
; ;
4 2 4
a a a
M
, N là trung điểm của BC
0; ;0
N a
P là trung điểm của CD
; ;0
2 2
a a
P
Chứng minh AM vuông góc với BP
3
; ;
4 2 4
. 0
; ;0
2
a a a
AM
AM BP AM BP
a
BP a
Tính thể tích của khối tứ diện CMNP
2
3
3
3 3
; ;
4 2 4
3
, 0; ;0
8
;0;0
2
3
, .
16
0; ;0
2
1 1 3 3
, . .
6 6 16
CMNP
a a a
CM
a
CM CN
a
CN
a
CM CN CP
a
CP
a a
V CM CN CP
3
96
Đáp số: V
CMNP
=
3
3
96
a
.
Chú ý: Có thể chọn hệ tọa độ như sau:
Qua A dựng Az vuông góc với AD
/ /
Az SH
0;0;0
A O
,
;0;0
D Ox D a
,
0; ;0
B Oy B a
,
; ;0
C Oxy C a a
,
3
;0;
2
a
S a
Bài 2: (ĐH – B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
3
a
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
Giải:
Dựng Az song song với SH với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
20
2
2 2 2
3
2 2
a a
HA SA SH a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
0;0;0 ;
A O
3
;0;
2 2
a a
S Oxz
,
0;2 ;0 , 2 ;0;0
D a B a ,
;0;0 ,
M a
2 ;2 ;0 ; 2 ; ;0
C a a N a a
3
;0;
2 2
a a
SM
;
(2 ; ;0)
DN a a
Từ đó ta tính
. . .
S BMDN S DMN S MNB
V V V
2
2 2
2 2
1
cos( , )
5
3
(4 )
4 4
a
SM DN
a a
a a
Chú ý: Ta có thể chọn hệ tọa độ như sau
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống AB
2
2 2 2
3
2 2
a a
HA SA SH a
;
2
2
2 2
3 3
3
2 2
a a
HB SB SH a
0;0;0
H O
,
3 3
;0;0 , ;0;0
2 2
a a
B A
,
3
;2 ;0
2
a
C a
,
3
;2 ;0
2
a
D a
;
3
0;0;
2
a
S
B. Hình chóp S.ABC có (SAB)
(ABC)
1. Khi tam giác
SAB cân tại S và
ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA CB a
đường cao bằng
SH h
.
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
H O
Khi đó :
;0;0 ; 0; ;0
2 2
a a
C Ox A Oy
;
0; ;0 ; 0;0;
2
a
B Oy S h Oz
Hoặc:
Từ C dựng
/ /
Cz SH
2. Khi tam giác
SAB cân tại S và
ABC vuông tại A (hoặc tại B)
ABC vuông tại A có ;
AB a AC b
chiều cao bằng
SH h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
A O
Khi đó :
;0;0 ; 0; ;0
B a Ox C b Oy
; 0; ;
2
a
S h Oz
Hoặc:
Từ H dựng
/ /
Hy AC
. Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0
H O
3. Khi tam giác
SAB cân tại S và
ABC vuông tại C
ABC vuông tại C ;
CA a CB b
chiều cao bằng
SH h
H là trung điểm của AB
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
21
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
0;0;0
C O
Khi đó :
;0;0 ; 0; ;0
A a Ox B b Oy
; ; ;
2 2
a b
S h Oz
Chú ý:
Khi giả thiết không cho tam giác SAB cân (vuông cân hoặc đều) mà không nói (SAB) vuông góc với
(ABC) thì giả thiết sẽ cho SI vuông góc với AB. Khi đó ta dựng tương tự như trên
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐH – D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
3 , 4 ;
BA a BC a
mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
2 3
a
và
SBC
= 30
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Giải:
Vì (SBC)
(ABC). Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống BC
SH BC
Ta có
0 0
.cos30 3 , .sin30 3
BH SB a SH SB a
Qua B dựng
/ /
Bz SH
. Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho
0;0;0
B O ,
4 ;0;0
C a Ox
,
0;3 ;0
A a Oy
,
3 ;0; 3
S a a Oxz
. Ta có
3 3
.
2 2 2
3
3 ; 3 ; 3
;0; 3
1 1
3 ;0; 3 , . 12 3 2 3
6 6
, 3 3; 4 3; 3
, . 12 3
S ABC
SA a a a
SC a a
SB a a V SA SC SB a a
SA SC a a a
SA SC SB a
Mặt phẳng (SAC) đi qua S và có vtpt
2 2 2 2
, 3 3; 4 3; 3 3 3;4; 3
n SA SC a a a a
nên có
phương trình
3 3 4 0 3 3 0 3 4 3 12 0
x a y z a x y z a
Khoảng cách
2
2 2
12
6 7
,
7
3 4 3
a
a
d B SAC
Bài 2: (ĐH – A 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA và BC theo a.
Giải:
Gọi M là trung điểm AB, ta có
2 3 6
a a a
MH MB HB
- Theo giả thiết ( )
SH ABC SH HC SHC
vuông tại H
và
0
,( ) 60
SC ABC SCH
- Theo định lý pitago trong tam giác vuông HCM ta có
2
2
2
2 2 2
3 28
2 6 36
a a a
CH CM MH
7
3
a
CH . Với
3
2
a
CM đường cao của tam giác đều ABC
M
S
H
B
C
A
z
x
y
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
22
Trong tam giác vuông SHC ta có SH = CH.tan60
0
=
21
3
a
Dựng Mz // HS . Chọn hệ trục Mxyz với
0;0;0
M O
(như hình vẽ)
Tính MH và SH như trên khi đó tọa độ các điểm như sau
3 21
;0;0 ; ;0;0 ; 0; ;0 ; ;0;
2 2 2 6 3
a a a a a
A B C S
Tính thể tích
Ta có
21 2 21
;0; ; ;0;
3 3 3 3
3 21 3
; ; ; ; ;0
6 2 3 2 2
a a a a
SB SA
a a a a a
SC BC
2
2 3 3
3
21
, 0; ;0
3
21 1 1 63 7
, , . .
3 6 6 6 12
63
, .
6
SABC
a
SA SB
a a a
SA SB V SA SB SC
a
SA SB SC
Tính khoảng cách
2 2 2
4 4 4 2 3
2
3
21 7 3
, ; ;
6 2 3
, .
21 63 12 4 6 7 6 42
, ,
36 36 36 6 2 8
4 6
,
7
, .
2
a a a
SA BC
SA BC AB
a a a a a a
SA BC d SA BC
a
SA BC
a
SA BC AB
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHDB – A2 – 2008) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB =
SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I
là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng
AD SI
và tính theo a thể
tích của khối tứ diện MBSI.
Đáp số:
3
18
a
V
Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các
mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc
giữa hai đường thẳng AD, BC.
Đáp số:
3
.
2
12
A BCD
a
V
và
0
, 60
AD BC
Bài 3: (ĐH – A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt
phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
0
. Tính thể tích khối chop S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a
HD:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
23
Theo giả thiết
SAB SAC
SA ABC SA
SAB SAC SA
là đường cao hình
chóp S. BCMN
Do
0
, 60
BC SA
BC SAB SBC ABC SAB
BC AB
Trong tam giác vuông SAB ta có
0
.tan 60 2 3
SA AB a
. Dựng
/ /
Bz SA
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0;0;0 , 2 ;0;0 , 0;2 ;0 , 2 ;0;2 3
B O A a Ox C a Oy S a a Oxz
M là trung điểm của AB nên
;0;0
M a
, N là trung điểm của BC nên
; ;0
N a a
Khi đó
3
. . .
3
S BCNM B MSN B CSN
V V V a và
, .
12
,
13
,
AB SN AS
a
d AB SN
AB SN
Dạng 5: Bài toán với hình lăng trụ
Việc thiết lập hệ trục tọa độ cho hình lăng trụ (đặc biệt là lăng trụ đứng) cũng giống như hình
chóp mà có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, khi đó ta xem đáy là hình gì để thiết lập hệ trục tọa độ
cho đúng
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐH – D 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết
;0;0 , ;0 :0 ;
A a B a
1
0;1;0 ; ;0; , 0, 0
C B a b a b
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a, b.
b. Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4 . Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C
và AC
1
lớn nhất .
Giải:
a. Dựa vào các tọa độ cho trước của giả thiết ta chọn hệ trục tọa độ như sau
Gọi
0;0;0
I O
là trung điểm của AB và cũng là gốc tọa độ
;0;0 , ;0 :0
A a Ox B a Ox
,
1
0;1;0 , ;0;
C Oy B a b Oxz
. Ta sẽ tìm được tọa độ điểm
1
0;1;
C b Oyz
.
a. Tính khoảng cách
Ta có
1
1
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
1 1
1 1
1 1 1
;1;
;1;
, .
2
2 ;0; , *
,
4
, 2 ;0;2
, . 2
B C a b
AC a b
B C AC B A
ab
ab
B A a b d BC AC
B C AC
a b a b
B C AC b a
B C AC B A ab
b. Tìm max khoảng cách
Ta có
2 2
4 16 2
a b a b ab
. Thay vào (*) ta được
16 2
ab
d
ab
Đặt
2
cos
0 4
2
i
a b
t ab
ta được
2
2
16 2
t
d f t
t
với
0;4
t
2
16
' 0
16 2
f t
t
với
0;4
t nên
f t
là hàm đồng biến trên
0;4
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
24
max
0;4
4 2 2
Max f t f d
Dấu “=” xảy ra
4
2
4
t ab
a b
a b
Hoặc:
cos
1 1
2 2
2.
,
2
2.
i
ab ab ab
d B C AC
ab
a b
. Mặt khác
2
cos
4
2
i
a b
ab
max
2
d
. Dấu “=” xảy ra
2
4
a b
a b
a b
Bài 2: (ĐH – B 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với
0; 3;0 , 4;0;0
A B ,
0;3;0
C ,
1
4;0;4
B
1. Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC
1
B
1
).
2. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song
với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
Giải:
Dựa vào các tọa độ cho trước của giả thiết ta chọn hệ trục tọa độ như sau
Gọi
0;0;0
I O là trung điểm của AC và cũng là gốc tọa độ
0; 3;0 , 4;0;0
A Oy B Ox
,
0;3;0
C Oy
,
1
4;0;4
B Oxz
. Ta sẽ tìm được tọa độ điểm
1 1
0; 3;4 , 0;3;4
A Oyz C Oyz
.
a. Ta có
1
1
4;3;0
, 12;16;0 4 3;4;0
4;3;4
BC
BC BC
BC
Mặt phẳng (BCC
1
B
1
) đi qua điểm B và có vptp
3;4;0
n
có phương trình
3 0 4 3 0 3 4 12 0
x y x y
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC
1
B
1
)
1 1
2 2
4. 3 12
24
,
5
3 4
d A BCC B R
Vậy phương trình mặt cầu tâm A, bán kính
24
5
R
có phương trình là
2
2 2
576
3
25
x y z
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
3 3
2; ;4 2; ;4
2 2
M AM
và
1
4;3;4
BC
Mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC
1
nên (P) đi qua A và có vtpt
1
, 6; 24;12 6 1;4; 2
P
n AM BC
nên có phương trình
1 0 4 3 2 0 0 4 2 12 0
x y z x y z
Đường thẳng A
1
C
1
đi điểm A
1
và có vtcp
1 1
0;6;0 6 0;1;0
AC
có phương trình
1 1
0
: 3
4
x
AC y t
z
Tọa độ điểm
1 1
N P A C
là nghiệm của phương trình
17
4 3 2.4 12 0 2 0; 1;4
2
t t N MN MN
Bài 3: (ĐHDB – A2 – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng
1 1 1
.
OAB O A B
với
O(0;0;0),
1
2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4 .
A B O
a. Tìm tọa độ các điểm A
1
, B
1
. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A
1
, B
1
, O
1
.
b. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O
1
A và cắt OA, A
1
A lần lượt tại K,
N . Tính độ dài đoạn KN.
