TRON BỘ BÀI TẬP VA DẠNG TOÁN HÌNH HỌC 12 (HAY)

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12




1. Hai đường thẳng song song
a) Đònh nghóa:
a b P
a b
a b
, ( )

⊂
⇔

∩ = ∅



b) Tính chất


•

( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ( )
( ) ( )
P Q R
P Q a a b c đồng qui
P R b a b c

Q R c

≠ ≠



∩ =
⇒


∩ =


∩ =


 

•

( ) ( )
( ) ,( )
( )
P Q d
d a b
P a Q b
d a d b
a b

∩ =



⊃ ⊃ ⇒


≡ ≡



 



•

,
a b
a b
a c b c

≠
⇒



 

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa:
d // (P)

⇔
d
∩
(P) =
∅

b) Tính chất


•

( ), ' ( )
( )
'
d P d P
d P
d d

⊄ ⊂
⇒





•

( )
( ) ,( ) ( )
d P

d a
Q d Q P a

⇒

⊃ ∩ =





•

( ) ( )
( ) ,( )
P Q d
d a
P a Q a

∩ =
⇒



 

3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa:
(P) // (Q)
⇔

(P)
∩
(Q) =
∅

b) Tính chất


•

( ) ,
( ) ( )
( ), ( )
P a b
a b M P Q
a Q b Q

⊃

∩ = ⇒




 

•

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )
P Q
P R P Q
Q R

≠

⇒



 


•

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Q R
P Q a a b
P R b


∩ = ⇒


∩ =





4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

•
Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)

•
Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

•
Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh
( )
d P

, ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một
đường thẳng d
′
nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai
đường thẳng trong mặt phẳng kia.
ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

I.

QUAN HỆ SONG SONG


Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk


1. Hai đường thẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: a
⊥
b
⇔


(
)
0
, 90
a b =
b) Tính chất

• Giả sử
u

là VTCP của a,
v

là VTCP của b. Khi đó
. 0
a b u v

⊥ ⇔ =
 
.


•

b c
a b
a c

⁄⁄
⇒
⊥

⊥


2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa:
d
⊥
(P)
⇔
d
⊥
a,
∀
a
⊂

(P)
b) Tính chất

•
••
•
Điều kiện để đường thẳng
⊥
⊥⊥
⊥
mặt phẳng:
, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b

⊂ ∩ =
⇒
⊥

⊥ ⊥


•
a b
P b
P a
( )

( )

⇒
⊥

⊥


•
a b
a b
a P b P( ), ( )

≠
⇒

⊥ ⊥



•
P Q
a Q
a P
( ) ( )
( )
( )

⇒
⊥


⊥


•
P Q
P Q
P a Q a
( ) ( )
( ) )
( ) ,( )

≠
⇒
(

⊥ ⊥



•
a P
b a
b P
( )
( )

⇒
⊥


⊥


•
a P
a P
a b P b
( )
)
,( )

⊄
⇒
(

⊥ ⊥



•
Mặt phẳng trung trực
của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng
tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.

•
••
•
Đònh lí ba đường vuông góc

Cho
( ), ( )
a P b P
⊥ ⊂
, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′

3. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đònh nghóa:
(P)
⊥
(Q)
⇔


(
)
0
90
P Q( ),( ) =

b) Tính chất
•
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

( )
( ) ( )
( )
P a

P Q
a Q

⊃
⇒
⊥

⊥


•
( ) ( ),( ) ( )
( )
( ),
P Q P Q c
a Q
a P a c

⊥ ∩ =
⇒
⊥

⊂ ⊥

•
( ) ( )
( ) ( )
, ( )
P Q
A P a P

a A a Q

⊥

∈
⇒
⊂


∋ ⊥


•
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R

∩ =

⊥
⇒
⊥


⊥


4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh
d a
⊥
, ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

•
Chứng minh góc giữa a và d bằng 90
0
.

•
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.

•
Chứng minh
d b
⊥
mà
b a

.
I
I.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12

•
Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

•
Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.

•
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

•
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

•
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

•
Chứng minh d // a và a
⊥
(P).

•
Chứng minh d
⊂
(Q) với (Q)
⊥
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

•

Chứng minh d = (Q)
∩
(R) với (Q)
⊥
(P) và (R)
⊥
(P).

c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

•
Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a
⊥
(Q).

•
Chứng minh

(
)
0
( ),( ) 90
P Q =

1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng:
a//a', b//b'
⇒


(
)

(
)
, ', '
a b a b
=
Chú ý:
0
0
≤

(
)
a b
,
≤ 90
0

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:

• Nếu d ⊥ (P) thì


(
)
,( )
d P
= 90
0
.
• Nếu
( )
d P
⊥
thì

(
)
,( )
d P
=

(
)
, '
d d
với d′ là hình chiếu của d trên (P).

Chú ý:
0
0
≤


(
)
,( )
d P
≤ 90
0

c) Góc giữa hai mặt phẳng


(
)

(
)
( )
( ),( ) ,
( )
a P
P Q a b
b Q

⊥
⇒
=

⊥


• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng
( ),
( ),
a P a c
b Q b c

⊂ ⊥

⊂ ⊥


⇒


(
)

(
)
( ),( ) ,
P Q a b
=


Chú ý:


(
)
0 0

0 ( ),( ) 90
P Q≤ ≤

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H)
trên (Q), ϕ =

(
)
( ),( )
P Q
. Khi đó: S
′
= S.cos
ϕ

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng)
bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
bằng khoảng cách từ
một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
I
I
I

.
GÓC
–

KHOẢNG CÁCH

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng:

•
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

•
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

•
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.





1. Hệ thức lượng trong tam giác
a)
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
•

2 2 2
AB AC BC
+ =

•

2 2
AB BC BH AC BC CH
. , .
= =

•

2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +


•

AB BC C BC B AC C AC B
.sin .cos .tan .cot
= = = =


b)
Cho
∆
ABC có độ dài ba cạnh là:

a, b, c; độ dài các trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán
kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.

•
Đònh lí hàm số cosin:

2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C
– . .cos ; .cos
+ = + − = + −


•
Đònh lí hàm số sin:
R
C
c
B
b
A
a
2

sin
sin
sin
===


•
Công thức độ dài trung tuyến:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m; ;
+ + +
= − = − = −

2. Các công thức tính diện tích

a) Tam giác
:

•

cba
hchbhaS
.
2
1

.
2
1
.
2
1
===

•

CabBcaAbcS
sin
2
1
sin.
2
1
sin
2
1
===


•

R
abc
S
4
=

•

prS
=

•

(
)
(
)
(
)
S p p a p b p c
= − − −


•

∆
ABC vuông tại A: 2
S AB AC BC AH
. .
= =


•

∆

ABC đều, cạnh
a
:
2
3
4
a
S =


b) Hình vuông
:
S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật
:
S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành:

S = đáy
×
cao =

AB AD sinBAD
. .
e) Hình thoi:

1

2
S AB AD sinBAD AC BD
. . .
= =
f) Hình thang:
( )
hbaS
.
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
S AC BD
.
=
IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12



1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:

V abc
=
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:

1
3
đáy
V S h
.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ:

đáy
V S h
.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức

•
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

•
Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể
tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.

c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện
thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OABC
OA B C
V
OA OB OC
V OA OB OC
' ' '
. .
' ' '
=

* Bổ sung
•
••
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
•
••
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh
với diện tích các đáy.


Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng α (45

0
< α < 90
0
). Tính thể tích hình chóp.
HD: Tính h =
1
2
a
tan
α

⇒
V a
3
1
tan
6
= α

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh
bên SA = a
5
. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt
SC và SD tại C′ và D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD

⇒

a
V

3
5 3
6
=

CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)

⇒

xy
V x y
2 2
4
12
= − −

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính
thể tích tứ diện theo a, b, c.
HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của
PQ, QR, RP. Chú ý: V
APQR
= 4V
ABCD
=

1
6
AP AQ AR
. .


⇒

V a b c b c a c a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
( )( )( )
12
= + − + − + −

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥
(ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích khối chóp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SA SM SN SA
V SA SB SC
SB

. .
 
= = =
 
 
 

⇒

a
V
3
3 3
50
=

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB
= 7
3
cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 45
0
và

diện tích ∆ABC′ bằng 49
6
cm
2
. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với
mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy
các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a
2
, SA
⊥ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và
AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể
tích khối chóp A.BCNM.
Bài 13. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là
trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2
đường thẳng AA’ và B’C’.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
HD:
3
1
2 4

a
V ; cos
ϕ
= =

Bài 14. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a
3
và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và
DN.
HD:
3
3 5
3 5
a
V ; cos
ϕ
= =

Bài 15. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC
= a, cạnh bên AA’ = a
2
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B′C.
HD:
3
2 7
2 7
a a

V d;= =

Bài 16. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối CMNP.
HD:
3
3
96
a
V =

Bài 17. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
HD:
2
4
a
d =

Bài 18. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với


0
90
ABC BAD= = , BC = BA = a, AD = 2a. SA⊥(ABCD),
2aSA
=

. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến (SCD).
HD:
3
a
d
=

Bài 19. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.
HD:
3
3
12
a
V =

Bài 20. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD
=
, SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
HD:
3
2
36
a

V =

Bài 21. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
2a và SA ⊥ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính
thể tích của hình chóp A.BCMN.
HD:
3
3 3
50
a
V =

Bài 22. (Dự bò 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
=
52a và

0
120
BAC = . Gọi M là trung điểm CC
1
. Chứng minh MB ⊥ MA

1
và tính
khoảng cách d từ A đến (A
1
BM).
HD:
5
3
a
d =

Bài 23. (Dự bò 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc

(
)
0
60
SBC ABC( ),( ) =
, ABC và SBC
là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD:
3
13
a
d =
Bài 24. (Dự bò 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥
(ABCD). AB = a,
2aSA
=
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,

SD. Chứng minh SC⊥(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
HD:
3
2
27
a
V =

Bài 25. (Dự bò 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P)
tại A lấy điểm S sao cho

(
)
0
60
(SAB) SBC,( ) =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A
trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC.
HD:
3
6
12
R
V =

Bài 26. (Dự bò 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1

C
1
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, AA
1
=
2a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện
MA
1
BC
1
.
HD:
3
2
12
a
V =

Bài 27. (Dự bò 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A

1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M
là trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B
1
C.
HD:
30
10
a
d =

Bài 28. (Dự bò 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a,
AA' =
3
2
a
và

0
60
BAD = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'.

Chứng minh AC'
⊥ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
HD:
3
3
16
a
V =

Bài 29. (Dự bò 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
.
Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
HD:
3
10 3
27
V a
=

Bài 30. (Dự bò 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,


0
60
BAD = , SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối
chóp S.AB'C'D'.
HD:
3
3
18
a
V =

Bài 31. (Dự bò 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác
đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
HD: tanα =
2 2
2 3
b a
a
−
;
2 2 2
3
6
a b a
V
−
=

Bài 32. (Dự bò 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH
là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng
(SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
HD:
3
2 2
2
3
16
a b
V
a b
.=
−

Bài 33. (Dự bò 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K
thuộc cạnh CC′ sao cho CK =
2
3
a
. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD,
chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
HD:
3 3
1 2
2
3 3
a a
V V;= =

Bài 34. (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ⊥ (ABC). Tam giác ABC có
BA = BC = a, góc ABC bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 35. (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
HD:
2
2
2
AMB
S a
∆
=




Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk


Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và

ASB
α
=
.
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.

b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng
2
1
2 2
a
cot
α
−

c) Tính thể tích khối chóp.
HD: a) S
xq
=
2
2
a
cot
α
c) V =
3 2
1
1
6 2
a cot
α
−

Bài 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC
là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc α và tạo
với mp(SAD) góc β.

a) Xác đònh các góc α, β.
b) Chứng minh: SB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
.
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
HD: a)


SBA BSD;
α β
= =

c) S
tp
=
2 2
2 2
2 2
1
2 2
2
a a sin
(sin sin )
cos sin

cos sin
β
α β
α β
α β
+ +
−
−

V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−

Bài 3.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động
trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.
HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK =
2 2
2 2
7 4 4

2
a a ax x
a x
− +
+

Bài 4.
Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta
lấy điểm S với SA = 2a. Gọi B′, D′ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng
(AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp SAB′C′D′.
HD:
8
15
SAB C
SABC
V
V
′ ′
=

⇒
V
SAB
′
C
′
D
′

=

3
16
45
a

Bài 5.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh:

SA SC SB SD
SA SC SB SD
+ = +
′ ′ ′ ′

HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Bài 6.
Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ⊥ BC.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau.
HD: b) V =
3
2
12
a

; S
tp
=
2
3
a .
Bài 7.
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh
đáy bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P)
và hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a

Bài 8.
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên
là α.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo α và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).

HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h
tan
tan
α
α
−
; V =
3
2
4
3 1
h
(tan )
α
−

Bài 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0
≤ x ≤ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông,
người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết x

2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trò lớn nhất của thể tích với SABCM.
e) I là trung điểm của SC. Tìm q tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x
c) V =
1
6
ay x a
( )
+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB một
góc β.
a) Chứng minh: SC

2
=
2
2 2
a
cos sin
α β
−
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB
= AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) và SD = a .
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk

a) Chứng minh ∆SBC vuông. Tính diện tích ∆SBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB
= AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD), SD
3
a
=
. Từ trung điểm E của DC
dựng EK ⊥ SC (K ∈ SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ⊥
(EBK).
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.
Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Bài 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD
⊥
SB và AE
⊥
SC. Biết AB = a, BC =
b, SA = c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Bài 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
′
B
′
C
′
, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên

BCC
′
B
′
hợp với mặt bên ABB
′
A
′
một góc
α
.
a) Xác đònh góc
α
.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
3 3
8
a
sin
sin
α
α
.
HD: a)

C BI
′ ′
với I

′
là trung điểm của A
′
B
′

Bài 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, chiều cao h. Mặt phẳng (A
′
BD) hợp với
mặt bên ABB
′
A
′
một góc
α
. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
3 2
1
h tan
α
−

, S
xq
=
2 2
4 1
h tan
α
−
.
Bài 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A
′
B
′
C
′
, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA
′
đến
mặt bên BCC
′
B
′
bằng a, mp(ABC
′
) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc
α
.
a) Dựng AH
⊥
BC, CK

⊥
AC
′
. Chứng minh: AH = a,

CAC
′
=
α
, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn
α
thay đổi. Đònh
α
để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
2 2 2
2
ab
b a
sin sin
α α
−
c)
α
= arctan
2
2

Bài 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC
′
và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2
6

Bài 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2
mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là
α
. Tính diện tích xung quanh hình lăng
trụ.
HD: S

xq
= 4h
2
1
cos
cos
α
α
−
.
Bài 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A
′
B
′
C
′
, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC
′
) hợp
với mp(BCC
′
B
′
) một góc
α
. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC
′
.
a) Chứng minh


AJI
=
α
.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
4 3
a
tan
α
−
; S
xq
= 3a
2
2
3
3
tan
α
−
.
Bài 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A
′
B

′
C
′
, đáy là tam giác đều cạnh a, AA
′
= A
′
B = A
′
C = b.
a) Xác đònh đường cao của lăng trụ vẽ từ A
′
. Chứng minh mặt bên BCC
′
B
′
là hình chữ
nhật.
b) Đònh b theo a để mặt bên ABB
′
A
′
hợp với đáy góc 60
0
.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trò b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S

tp
=
2
7 3 21
6
a
( )
+

Bài 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A
′
B
′
C
′
, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB
′
A
′
là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC
′
A
′
hợp với đáy góc nhò diện có số đo
α
(0 <
α
< 90

0
).
a) Chứng minh:

A AB
′
=
α
.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác đònh thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi
β
là góc nhọn mà mp(BCC
′
B
′
) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tan
β
=
2
tan
α
.
HD: b) V =
1
2
a
3

sin
α
c) S
xq
= a
2
(1 + sin
α
+
2
1
sin
α
+
)
Bài 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A
′
B
′
C
′
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
′
lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho

BAA
′
= 45
0

.
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
HD: a) V =
2
2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).
Bài 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A
′
B
′
C
′
, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Hình chiếu của C
′
lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC
′
là d và số
đo nhò diện cạnh CC
′
là 2

ϕ
.
a) Tính thể tích lăng trụ.
b) Gọi
α
là góc giữa 2 mp(ABB
′
A
′
) và (ABC) (0 <
α
< 90
0
).
Tính
ϕ
biết
α
+
ϕ
= 90
0
.
HD: a) V =
3 3
2
2
3 1
d tan
tan

ϕ
ϕ
−
b) tan
α
=
2
1
3 1
tan
ϕ
−
;
ϕ
= arctan
2
2

Bài 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a.
Mặt bên ABBA
′
là hình thoi, mặt bên BCC
′
B

′
nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc
α
.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC
′
B
′
). Xác đònh góc
α
.
b) Tính thể tích lăng trụ.
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
∆
ABC; vẽ KH
⊥
BB
′
.

AHK
=
α
.
b) V =

3
3
2
a
cot
α
.
Bài 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 13/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
ACC
′
A
′
, BDD
′
B
′
là S
1
, S
2

.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết

BA D
′
= 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD: a) S
xq
= 2
2 2
1 2
S S
+
b) V =
1 2
2 2
4
2 1
2
2
S S
S S
.
−

Bài 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
′
B
′

C
′
D
′
, đường chéo AC
′
= d hợp với đáy ABCD
một góc
α
và hợp với mặt bên BCC
′
B
′
một góc
β
.
a) Chứng minh:


CAC và AC B
α β
′ ′
= =
.
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d
3
sin
α
.sin
β

cos( ).cos( )
α β α β
+ −

c) Tìm hệ thức giữa
α
,
β
để A
′
D
′
CB là hình vuông. Cho d không đổi,
α
và
β
thay đổi
mà A
′
D
′
CB luôn là hình vuông, đònh
α
,
β
để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
α
– sin

2
β
) = 1 ; V
max
=
3
2
32
d
khi
α
=
β
= 30
0
(dùng Côsi).
Bài 30. Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,

A
= 60
0
. Chân
đường vuông góc hà từ B
′

xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của
đáy. Cho BB
′
= a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3
3
4
a
; S
xq
= a
2
15
.
Bài 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và

BAD

= 60
0
;
A
′
A = A
′
B = A
′
D và cạnh bên hợp với đáy góc
α
.
a) Xác đònh chân đường cao của hình hộp vẽ từ A
′
và góc
α
. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC
′
A
′
, BDD
′
B
′
.
c) Đặt
β
=


(
)
ABB A ABCD
,
′ ′
. Tính
α
biết
α
+
β
=
4
π
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
b) S
BDD
′
B
′
=
2
3
3
a
sin
α
; S
ACC

′
A
′
= a
2
tan
α
c)
α
= arctan
17 3
4
−



Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 14/236


THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
o
1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo
của hình hộp hợp với mặt đáy một góc 30 .

o
2 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp.
o
o
3 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình
hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối hộp .

·
=
a
o
4 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy
(ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp .

^
a
5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với
mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .

a6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc .
Tính thể tích của khối chóp .

o
a 3
7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và
2
mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) .
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

c) Gọi M là trung điểm AB
D
8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') .
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' .

9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 .

10 Cho hình chóp tứ giác đều có die
än tích đáy bằng 4 và diện tích
của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó .

^
o
11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và
cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể tích của khối chóp S.A BCD .
12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a .
a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính góc tạo
D
^
bởi SC và mặt phẳng (SBD) .
d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a .
Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a .
a
13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .

14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .
a

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 15/236


·
= a a
15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và

16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng .a

17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương

19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của khối tứ diện đều
·
=
o
a 5
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .
^

tp

b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
c) Tính S của hình chóp .


THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
1 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính thể tích của lăng
trụ .

2
2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm . Mặt đáy của lăng trụ là một tam
giác vuông có cạnh huyền 13cm , die
än tích là 30cm . Tính diện tích xung
quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ .

3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện
tích xung quanh bằng 480 . Tính thể tích của khối lăng trụ .

o
4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30 và
có chiều cao bằng 8 . Tính thể tích của khối lăng trụ .

5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung
bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ .

·
6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC vuông tại A , AC = a , ACB = 60 .Đường thẳng
BC , tạo với mp(AA CC) một góc 30 .
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC .

¢ ¢ ¢
D
¢ ¢ ¢
¢
o
o

b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho .

^
7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' .
¢ ¢ ¢
o
8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B Ccó đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vuông góc của A lên mp
(ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối lăng
trụ này .

o
9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A'
cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó .
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật .
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ .

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 16/236

10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a.
Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' va
ø BB' tại M và N .

^
D
a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB .
b) Chứng minh rằng : AN A'B .
c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN .
d) Tính diện tích AMN .

j
j
11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường tha
úng AB' và mặt phẳng
(BB'C'C) bằng .
a 3
a) Chứng minh rằng : AB' = .
2sin
b) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ .
c) Tính thể tích của lăng trụ .

·
·
12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC ;
BC hợp với mặt đáy (ABC) một góc . Gọi I là trung điểm cạnh AA .
Biết BIC = 90 .
¢ ¢ ¢
= a
¢ ¢

b
o
2 2
a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân .
b) Chứng minh : tan + tan 1a b =


1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
nhau . Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC .
3
a
ĐS : V =
8
2 Cho hình chóp S.ABC có SA AB, SA BC , BC AB . Biết AB = BC a 3, SA = a .Tính the
å
tích của khối chóp S.ABC .
^ ^ ^ =
3
a
ĐS : V =
2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với
đáy góc 60 . Tính th
o
ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3

µ
a 3
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = .
2

a) Tính thể tích của khối chóp .
=
o
3
S.ABCD
2
tp tp
a 5
V =
12
b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
a
c) Tính S của hình chóp . S ( 2
2
^
= +
2 3)
5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình
chóp ấy .
HD : Kẻ SH (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điể^ m BC , ta được :


2
2 2 2 2
a 3 1 a 3
AM = ,SH 9b 3a V 9b 3a
3 3 36
= - Þ = -
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 17/236

6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có ca
ïnh huyền AB = 2a . Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .
a) Tính thể tích của khối chóp
3
H.ABC
a 3
H.ABC . V
7
b) Chứng minh rằng : AH SB và SB (AHK) .
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK .
=
^ ^
3
H.ABC
2a 3
V
21
7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B CD . Biết khối chóp C.CB D là một tứ diện đều cạnh a .

=
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
3
a 2
V =
2

¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢
8 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB CC và khối
lăng trụ ABC.A B C

¢ ¢
=
A.BB'C'C
ABC.A'B C
V
2
Đáp số :
V 3

9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy
điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với
o
mặt đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp .
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .

o
·
xq
30
2 2
Đáp số : a) V = b) S 2(1 3) c) SCA arctan
3 10
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=
= + =
·

2
SBD
AB= a.
a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính (SC,(SBD)).
d) Tính thể tích hình chóp .
a 3
Đáp số : a) S c) HS
2
D
^
=
·
3
S.ABCD
2 2 a
C = arccos d) V
3 3
=

3
11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có chiều cao h và hai đường thẳng B C,BC vuông góc với nhau .
h 3
Tính thể tích lăng trụ đó. V=
4
¢ ¢ ¢ ¢ ¢

1
12 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ

3
diện ABMD và ABMC .
=
ABDM
ABCM
V
Đáp số : 2
V


Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 18/236
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN THỂ TÍCH HÌNH KHƠNG GIAN
Bài 01: Cho lăng trụ tư ù giác đều ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có chiều cao bằng a và góc của hai mặt bên kề nhau phát
xuất tư ø một đỉnh là

.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ .
b) Gọi M, N là trung điểm của BB
/
và DD
/

, tính góc của mp(AMN) và mặt đáy của lăng trụ .
Bài 02: Cho lăng trụ xiên ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu của C
/
trên đáy
(ABC) trùng với O. Cho khoảng cách tư ø O đến CC
/
là a và số đo nhò diện cạnh CC
/
là 120
0
.
a) Chư ùng minh mặt bên ABB
/
A
/
là hình chữ nhật.
b) Tính thể tích lăng trụ .
c) Tính góc của mặt bên BCC
/
B
/
và mặt đáy ABC.
Bài 03: Cho hình hộp ABCDA
/

B
/
C
/
D
/
có các mặt đều là hình thoi cạnh a. Ba cạnh xuất phát tư ø đỉnh A tạo
với nhau các góc nhọn bằng nhau và bằng

.
a) Chư ùng minh hình chiếu H của A
/
trên (ABCD) nằm trên đư ờng chéo AC.
b) Tính thể tích hình hộp .
c) Tính góc của đư ờng chéo CA
/
và mặt đáy của hình hộp .
Bài 04: Cho hình lập phư ơng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau là
2
2
a
a) Tính thể tích hình lập phư ơng .

b) Lấy điểm M trên BC. Mặt phẳng MB
/
D cắt A
/
D
/
tại N. Chư ùng minh MN

C
/
D.
c) Tính góc của hai mặt phẳng (A
/
BD) với mặt phẳng (ABCD).
Bài 05: Cho hình lập phư ơng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đư ờng chéo bằng a
a) Dư ïng và tính đoạn vuông góc chung của hai đư ờng thẳng AC và DC
/
.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác A
/
C
/

D
/
. Mặt phẳng (GCA) cắt hình lập phư ơng theo hình gì. Tính diện
tích của hình này.
c) Điểm M lư u động trên BC. Tìm quỹ tích hình chiếu của A
/
lên DM.
Bài 06: Cho lập phư ơng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a. Gọi N là điểm giữa của BC.
a) Tính góc và đoạn vuông góc chung giư õa hai đư ờng thẳng AN và BC
/
.
b) Điểm M lư u động trên AA
/
. Xác đònh giá trò nhỏ nhất của diện tích thiết diện giư õa mặt phẳng MBD
/
và
hình lập phư ơng .
Bài 07: Cho hình chóp tư ù giác đều S.ABCD có chiều cao SH = a và góc ở đáy của mặt bên là

.
a) Tính diên tích xung quanh và thể tích hình chóp này theo a và


.
b) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
c) Điểm M lư u động trên SC. Tìm quỹ tích hình chiếu của S xuống mặt phẳng MAB.
Bài 08: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy a và góc giư õa hai cạnh bên kề nhau là

.
a) Tính thể tích hình chóp .
b) Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp trong hình chóp .
c) Tính diện tích của thiết diện giư õa hình chóp và mặt phẳng qua AB và vuông góc với SC.
Bài 09: Đáy của hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền là a và một góc nhọn 60
0
. Mặt bên qua
cạnh huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt còn lại hợp với đáy góc

.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 19/236
a) Tính thể tích hình chóp này .
b) Một mặt phẳng qua cạnh đáy và cắt cạnh bên đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với 2 và 3 . Tìm tỉ số thể tích
của hai phần của hình chóp do mặt phẳng ấy tạo ra .
Bài 10: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AD = a và hai mặt bên SAB
và SAC vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy một góc

và hợp với mặt phẳng SAD góc

.
a) Tính thể tích hình chóp .
b) Tính khoảng cách tư ø A đến mặt (SBC).
Bài 11: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABCvuông tại A và góc C = 60
0

, bán kính đư ờng tròn nội
tiếp là a. Ba mặt bên của hình chóp đều hợp với đáy góc

.
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp .
b) Tính diện tích thiết diện qua cạnh bên SA và đư ờng cao của hình chóp .
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi có góc nhọn A =

. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông
góc với đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc

. Cho SA = a.
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình chóp .
b) Tính góc của SB và mặt phẳng (SAC).
Bài 13: Cho tam giác đều ABC cạnh a trên đư ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng của tam giác tại B và C
lần lư ợt lấy điểm D lư u động và E cố đònh sao cho CE = a
2
. Đặt BD = x.
a) Tính x để tam giác DAE vuông tại D. Trong trư ờng hợp này tính góc của hai mặt phẳng (DAE) và
(ABC).
b) Giả sư û x =
2
2
a
. Tính thể tích hình chóp ABCED.
c) Kẻ CH vuông góc với AD . Tìm quỹ tích của H khi x biến thiên.
Bài 14:
Cho hình chóp tư ù giác đều SABCD có cạnh đáy là a. Mặt phẳng qua AB và trung điểm M của SC
hợp với đáy một góc


.
a) Tính thể tích của hình chóp.
b) Gọi I và J là điểm giư õa của AB và BC. Mặt phẳng qua IJ và vuông góc với đáy chia hình chóp thành hai
phần. Tính thể tích của hai phần này .
Bài 15: Lấy điểm C lư u động trên nư ûa đư ờng tròn đư ờng kính AB = 2R và H là hình chiếu của C lên AB.
Gọi I là trung điểm của CH. Trên nư ûa đư ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng của nư ûa đư ờng tròn tại I ta lấy
điểm D sao cho góc ADB bằng 90
0
. Đặt AH = x.
a) Tính thể tích của tư ù diện DABC theo R vàx . Tính x để thể tích này lớn nhất .
b) Xác đònh tâm I và tính hình cầu ngoại tiếp tư ù diện AIBD.
c) Chư ùng minh khi C lư u động trên nư ûa đư ờng tròn thì tâm hình cầu ở câu b chạy trên đư ờng thẳng cố đònh.
Bài 16: Đáy của hình chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền
vuông góc với đáy, mỗi mặt bên còn lại tạo với đáy góc 45
0
.
a) Chư ùng minh rằng chân đư ờng cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh huyền.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần hình chóp.
Bài 17: Cho hình lập phư ơng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
. Gọi O làgiao điểm các đư ờng chéo của ABCD. Biết OA
/
= a.
a) Tính thể tích hình chóp A

/
.ABD, tư ø đó suy ra khoảng cách tư ø đỉnh A đến mặt phẳng A
/
BD.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 20/236
b) Chư ùng minh rằng AC
/
vuông góc với mặt phẳng A
/
BD.
Bài 18: Một hình chóp tư ù giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB =

.
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp .
b) Chư ùng minh rằng đư ờng cao hình chóp bằng
2
cot 1
2 2
a 

.
c) Gọi O là giao điểm các đư ờng chéo của đáy ABCD. Xác đònh góc

để mặt cầu tâm O đi qua năm điểm
S, A, B, C, D.
Bài 19: Cho hình chóp tư ù giác đều có cạnh bên tạo với đáy góc 60
0
và cạnh đáy bằng a.
a) Tính thể tích hình chóp.

b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy.
c) Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính bán kính mặt cầu đó .
Bài 20: Một lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB
/
= a, chân đư ờng vuông góc
hạ tư ø B
/
xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC .
a) Tính góc giư õa cạnh bên và đáy và tính thể tích của lăng trụ .
b) Chư ùng minh rằng mặt bên AA
/
C
/
C là hình chư õ nhật.
Bài 21:
Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng ( α) đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón
một góc 60
0
, đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB
có số đo bằng 60
0
. Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vng góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của

khối chóp A.BCNM.
Bài 22: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với, , AB = a, AD =
2a
, SA = a và SA vng góc
với mặt đáy (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 23:
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ
diện OO'AB.
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang,

ABC =

BAD, BA = BC = a, AD = 2a, SA = a
2
, SA

(ABCD). H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vng và tính khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD).
Bài 25: Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung
điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt
phẳng (SBC).
Bài 26: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bài 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a, góc SAB = α. Tính thể tích hình chóp
S.ABCD theo a và α.
Bài 28: Hình chóp S.ABCcó SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vng tại B. Cho

BSC = 45

0
, gọi

ASB = α; tìm α để góc nhị diện (SC) bằng 60
0
.
Bài 29:
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh a. Gọi O
1
là tâm của hình vng A
1
B
1
C
1
D
1
. Tính thể tích
khối tứ diện A
1
B
1

OD.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 21/236
Bài 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên
' = a 3AA
. Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của AB và A'B'.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'.
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB').
Bài 31:
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 60
0
.
Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30
0
.
a. Tính độ dài đoạn AC’.
b. Tính thể tích của khối lăng trụ .
Bài 32: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 60
0
,
BC = a, SA =
3a
. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 33:
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc ABC = 60
0
, BC = a, SB vuông góc với
mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc 45

0
. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC.
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC
b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bài 34: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng ( α ) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB tương
ứng tại các điểm M, N, P, Q.
a. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SD = a.
a. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
b. Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD)
Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao
cho:
2
SM SN
BM DN
 
.
a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số
SP
CP
.
b. Tính thể tích hình chóp S.AMNP theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
a. Tính thể tích hình chóp theo x, y.
b. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Bài 38: Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB = a, (a > 0) là đoạn vuông góc
chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM = BN = 2a. Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B

kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác
BHK biết rằng AC = a, BC =
3a
và
2SB a
.
Bài 40:
Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần lượt song
song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm
M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
1 1 1
CMAB CMBD CMAD
P
V V V
  
Bài 41: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có các cạnh bằng
2 6
. Điểm
M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.AMN.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 22/236
Bài 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng
2a
.
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với
mặt phẳng (MEF).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 43:

Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Kí hiệu
K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của
CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bài 44: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD =
6a
. Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SAC).
Bài 45:
Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để: P = MA + MB + MC + MD
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA
1
= a. Tính cosin của góc
giữa 2 mặt phẳng (ABC
1
) và (BCA
1
).
Bài 47: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi M, N là trung điểm AB và AC.
a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC).

Bài 48: Cho hình thoi ABCD có tâm O, cạnh a và AC = a . Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) với SH = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 49: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', có chiều cao a và cạnh đấy 2a. Với M là một điểm trên
cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A'MC'
Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a; AD = 2a. Tam giác SAB vuông
cân tại A . M điểm trên cạnh AD (M khác A và B). Mặt phẳng (α) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt
BC; SC; SD lần lượt tại N; P; Q.
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông .
b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x
Bài 51: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD .
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc giữa AC và BM.
Bài 52: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
, đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh AA
1
=
2a
. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm AB và A
1
C
1
.

a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mp (P) qua MN và vuông góc với mp(BCC
1
B
1
). Thiết diện là hình gì.
b) Tính diện tích thiết diện.
Bài 53:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M; N lần lượt là trung điểm SA và
BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 23/236
Bài 54: Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường
thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
Bài 55: Cho tứ diện ABCD có
= 2, AB = BC = CD = DA = DB = 1AC
.
a. Chứng minh rằng các tam giác ABC và ADC là tam giác vuông .
b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
Bài 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC = 2a.
Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho
= = 2
SM SN
SB SD
. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .Tính thể tích
hình chóp S.MANP theo a
Bài 57: Cho lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ B, A’C, D]

Bài 58: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 60
0
. Gọi M
là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt
phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông .
Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD có SA

(ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = SB = a, BC = 2a. Gọi M và
N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a.
Bài 60: Cho hình chóp S.ABC.Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 60
0
,
BC = a, SA = a
3
. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 61:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = a, BC = b, AA' = c.
a. Tính diện tích của tam giác ACD' theo a, b, c.
b. Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích của tứ diện D'DMN theo a, b, c.
Bài 62: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.
a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.
b. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.
Bài 63: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a.
a. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BD'.
b. Chứng minh rằng đường chéo BD' vuông góc với mặt phẳng (DA'C').
Bài 64: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'; với AA' = a, AB = b, AC = c. Tính thể tích của tứ diện
ACB'D' theo a, b, c.
Bài 65: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C.
a. Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c.

b. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi.
Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
Bài 66: Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm
trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng
hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 45
0
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Bài 67: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mặt
phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của hình vuông A'B'C'D'.
a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P) .
b. Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa
diện đó gấp đôi diện tích của khối đa diện kia.
Bài 68: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng
2a
.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 24/236
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
b. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với
mặt phẳng (MEF).
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông
aACAB 

, AA
1
= a
2
. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính
11
BCMA
V
.
Bài 70: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD = 60
0
. Biết
' 'AB BD
 
. Tính thể tích lăng trụ trên theo a.
Bài 71: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường
thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD ( M

CB, N

CD ), và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN)

tạo với nhau một góc 45
0
.
Bài 72:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a :
a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'.
b. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM:MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp (AB'C).
c. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'.
Bài 73: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao
3
=
4
h a
; và cho hình chóp đỉnh S, đáy
là một đa giác lồi ngoại tiếp C.
a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên
của hình chóp).
b. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Bài 74: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao
cho
3
BN
SN
BM
SM

.
a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số
SP
CP

.
b. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Bài 75: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = góc AOC = 60
0
, góc BOC = 90
0
. Tính độ dài
các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
Bài 76: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 60
0
,
BC = a, SA =
3a
. Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 77:
Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC = α và ba cạnh
bên nghiêng đều trên đáy một góc nhọn β. Hãy tính thể tích hình chóp đã cho theo a , α, β.
Bài 78: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông ABCD cạnh bên AA' = h. Tính thể tích tứ
diện BDD'C'.
Bài 79: Cho hình chóp S.ABC có
(ABC)SA 
, tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = a , BC = 2a. Gọi M ,
N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a.
Bài 80: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b và AD = BC =c ( a, b , c > 0). Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp theo a, b, c.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 25/236