Trọn Bộ Bài Tập Toán 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (963.56 KB, 92 trang )
WWW.ToanCapBa.Net
HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu
(gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định cịn được kí hiệu là a, b, x, y,...
B
a
A
b
(Chú ý: AB BA )
+ Vectơ – khơng (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhơng, kí hiệu 0
Ví dụ: MM , AA ,....
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Cịn vectơ
khơng AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
Chú ý:
+ Độ dàicủa vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí
hiệu là | a |,
| AB | AB BA
Hai vectơ bằng
nhau:
nếu chúng
cùng
hướng và cùng độ dài
Nếu a bằng b thì ta viết a = b .
AA BB = 0 , | 0 |= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD.
Tìm
A
B
a) Tất các vectơ khác 0 ;
o
b) Các vectơ cùng phương;
D
c) Các vectơ bằng nhau.
C
Các kí hiệu thường gặp
cùng
phương
kí
hiệu:
//
CD
AB
AB CD
cùng hướng CD
kí hiệu: AB
AB
CD
AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD
-1-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau
{A,B},
{A,C},
{A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},
{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho:
AM cùng phương a
Giải
m
Gọi là giá của a
a
Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //
Ngược lại, mọi điểm M thc m thì AM cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
| a || b |
+ Sử dụng định nghĩa:
a b
a, b cùng hướng
+ Sử dụng
bình hành thì
tính
chất của các hình . Nếu ABCD là hình
A
B
AB DC , BC AD ,…
o
(hoặc
viếtngược
lại)
D
+ Nếu a b, b c a c
C
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC
có
D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
A
Chứng minh: EF CD
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
E
F
1
EF= BC=CD EF=CD EF CD (1)
2
CD
EF cùng hướng
(2)
C
B
D
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
1
EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD
2
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao
điểm
của DM và CN.
M
D
C
Chứng minh: AM NC , DK NI
Giải
I
Ta có MC//AN
K
và
MC=ANMACN là hình bình hành
AM NC
Tương tự MCDN
là hình bình hành nên K là trung điểm A
B
N
của MD
=
.
Tứ
giá
IMKN
là
hình
bình
hành,
DK
KM
suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
-2-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giải
Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùngnhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
a) AM = a ;
b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |.
Giải
Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//
(nếu A thuộc thì d trùng
cho:
). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao
AM1=AM2=| a |
d
Khi đó ta có:
a) AM 1 = a
a
A
b) AM 1 = AM 2 cùng phương với a
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có
Hlà trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O. Chứng minh: AH B ' C .
Giải
BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay khơng một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi
P,Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP .
-3-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB
;
c) Tìm các vectơ ngược hướng
với AB ;
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF
có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng
phương OA ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD
có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB ; OB
b) Có độ dài bằng OB
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi
và
chỉ
khi
ABDC
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN QP ; NP MQ
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm
phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-khơng
Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
A
P
B
R
Q
C
Bài 6:
A
B
M
N
O
D
-4-
WWW.ToanCapBa.Net
C
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 7: a) DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF
b) OC , ED, FO
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB ' AB
* FO là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy
C’
sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC ' AB
+tương
tự
Bài 8: a) AB DC , OB DO
A
B
O
D
b) | OB || BO || DO || OD |
C
Bài 9:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành
AB // CD
AB CD
AB // CD
AB DC
*
AB CD
Chứng minh chiều :
* AB = DC AB , DC cùng hướng và AB DC
* AB và DC cùng hướng AB // CD (1)
* AB CD AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình
bình
hành
Bài 10: AB DC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
AC
2
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Bài 12 : Xác
phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
định vị trí tương đối của 3 điểm
a) AB và
AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng
phương;
HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B
b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng
hay ngược hướng
hướng
+ cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C.
+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
-5-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD: Ta có AM BA; NP DC AB
AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2) AQ AQ 0
-6-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : MQ = NP
1. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN
b/ Xác định các vectơ bằng NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR :
a/ I là trung điểm AB và DI = CB
b/ AI = IB = DC
4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN
a/ CMR : KP = PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL = 0
-7-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết
1. Tổng các vectơ
Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB
= a , BC = b .
B
Khi đó a + b = AC
b
a
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ
. A
c
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC
C
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
B
C
2. Vectơ đối
A
D
+ Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ
a +(- a )= 0
a , kí hiệu là - a
+ Mọi vectơ đều
có
vectơ
đối,
ví
dụ
có
vectơ
đối
là
AB
BA nghĩa là
= - BA
AB
+ vectơ đối của 0 là 0 .
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa: a - b = a +(- b )
Quy tắc về hiệu
tacó:
vec
tơ
: Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước
(hoặc OA OB BA )hay AB OB OA
OB
OA AB
4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có:
+ Giao hoán : a b = b a
+ Kết hợp
( a b ) + c = a (b + c )
+ a +0=0+a =a
+ a +( a )= a + a = 0
+ | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng.
+ a b và | b | ≥ | a | | a + b |=| b || a |
+ a =b a +c =b +c
+ a +c =b a =b c , c =b a
+ a ( b + c )= a b c ; a ( b c )= a b + c
A
B
Ghi chú:
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA IB0
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
G
C
I
D
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hình bình
hành
ABCD.
Hai
điểm
M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng NC MC ; AM CD; AD NC
b) Chứng minh : AM AN AB AD
Giải:
-8-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
a) + Vì MC AN nên
tacó
=
=
=
NC
MC
NC
AN
AN
NC
AC
+Vì CDBA nên ta có
=
=
=
AM
CD
AM BA BA AM BM
+Vì NC AM nên ta có
AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh củahình
bình
hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có
AM
AN AC
Vì tứgiác
ABCD
là hình bình hành nên AB AD AC
Vậy AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác đều
ABCDEF
tâm
O.
Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
OA OD 0; OB OE 0; OC OF 0
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm
O.
a) Chứng minh rằng vectơ OA OB; OC OE đều cùng phương OD
b) Chứng minh AB và EC cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đườngthẳng
chứa
OD d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có OA OB OM , trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC OE ON
, N d. Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng
vng góc d AB//EC
AB // EC
Bài 4: Cho tamgiác ABC.
Cácđiểm
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm AM AN ; MN NC ; MN PN ; BP CP .
b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP .
Giải
a) AM AN =NM
=
=
(Vì
MN
NC
MN
MP
PN
NC MP )
MN
PN =MN
NP =
MP
BP CP = BP PC = BC
b) AM NP MP MN
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD
=600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | AB AD |;| BA BC |;| OB DC |
Giải
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD
=600 nên AC= a 3
và BD=a. Khi đó ta có :
AB
AD
AC
| AB AD | AC a 3
BA BC CA | AB AD |CA a 3
B
A
-9-
WWW.ToanCapBa.Net
C
D
WWW.ToanCapBa.Net
a 3
OB DC DO DC CO | OB DC |CO
2
Bài 6: Cho hình
vng
ABCD
cạnh
a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | OA CB |; | AB DC |;| CD DA |
Giải
Ta có AC=BD= a 2 ; OA CB CO CB BO
a 2
| OA CB |BO
2
(vì AB DC )
|
AB
DC
|
|
AB
|
|
DC
|
2
a
Ta có CD DA CD CB BD | CD DA |=BD= a 2
Do đó
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng: AB CD AD CB
(theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB
Cách 2: (sử dụng hiệu)
AB AD CB CD DB DB
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C,
D,E, F.
Chứng minh: AB BE CF AE BF CD
Giải
VT = AB BE CF AE ED BF FE CD DF
= AE BF CD ED DF FE
= AE BF CD (vì ED DF FE 0 )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D,
E.
Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Giải
Ta có DC CD; CE EC nên
VT = AC DE DC CE CB = AC DE CD EC CB
= AC CD DE EC CB AB =VP đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
OA OB OC OM ON OP
Giải
VT = OA OB OC
= OM MA ON NB OP PC
= OM ON OP MA NB PC
Mà NB NM NP
-10-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
MA NB PC = MA NM NP PC NA NC 0
VT= OM ON OP =VP đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR : AB + CD + EA = CB + ED
6. Cho 6 điểm
A, B,
C,D,E, F.
CMR : AE BF CD AF BD CE
7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/ DO + AO = AB
c/ OA + OB + OC + OD = 0
b/ OD + OC = BC
d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : OD + OC = AD + BC
10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'
CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .
11. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính AB AD theo a
12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính AB AD
b/ Dựng u = AB AC . Tính u
13. Cho ABC vng tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v = AB AC .
b/ Tính v .
14. Cho tứ giác
ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC , OD có độ dài bằng
nhau và OA OB OC OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB
15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ CD + FA BA ED + BC FE = 0
b/ AD FC EB = CD EA FB
c/ AB DC FE = CF DA + EB
16. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ MA MB + MC = 0
b/ MB MC + BC = 0
c/ MB MC + MA = 0
d/ MA MB MC = 0
e/ MC + MA MB + BC = 0
17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
-11-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
a/ Tính AD AB
b/ Dựng u = CA AB . Tính u
18. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính AB AC
b/ Tính BA BI
19. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB AC
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
a) v AB DC
b) m AB CD BC DA
BD CA
c) n BC CD AB DB .
d) p AB BC CD DE
Bài 2: Cho hình
bình
hành
ABCD
tâm
O
.
Đặt
=
;
=
AO
a
BO
b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB - AC theo a.
Bài 4: Cho hình
có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
chữ
nhật ABCD
a) AO - AD = MO
b) AC - AD = NB
Bài 5: Cho 7 điểm
A; B ; C; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a) AB
= CB + ED
+ CD
+ EA
b) AD + BE + CF
+ BF + CD
= AE
c) AB +CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA OB OM , OA OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngồi của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OA OB OC OD OE O
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’
là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
OA OB OC OA' OB ' OC '
Bài 9: Cho lụ giác
đềuABCDEF
có tâm
là O . CMR :
a) OA
+
+
+
+
+
=
b)
+
+
=
OB
OC
OD
OE
OF
0
OA
OC
OE
0
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nộitiếp trong
đường
tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng HB + HC = HD
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng
minh
rằng
+
+
=
HC
HA
HB
HH
'
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA - CB
-12-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
PHÉP NHÂN VECTƠ
VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+ c cùng phương a
+ c cùng hướng a khi k>0
+ c ngược hướng a khi k<0
+ | c |=| k a |=|k|.| a |
Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0
2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h , khi đó
+ k( a + b )= k a +k b
+ (k+h) a = k a +h b
+ k(h a )= (kh) a
+ 1. a = a ; (1) a = a
* Tính chất trung điểm:
I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
Nếu
MA MB 2MI
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:
MA MB MC 3MG
3) Điều kiện để
hai vectơ cùng phương
a , b ; a cùng phương b ≠ 0 0≠k : a =k b
( a , b ; b cùng phương a ≠ 0 0≠k : b =k a )
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương:
Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m,
n sao cho: x = m a +n b .
A
Nếu G là trọng tâm
AG=
AG=2GI
G
B
2
1
AI; GI= AI
3
3
C
I
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k a
PP: Dựa
vào
định
nghĩa
vectơ
k
và các tính chất
a
1) Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
OM 3a; ON 4a
Giải
a
N
O
M
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a )
-13-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó
OM 3a .
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON 4a
1
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các
5
đẳng thức
sau:
a ) AM k AB;
b) MA k MB;
c) MA k AB
Giải
A
M
B
| AM
| AM 1
1
, vì AM AB k=
a) AM k AB | k |
AB 5
5
| AB |
1
1
b) k=
c) k=
4
5
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b
Giải
a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a
b) (2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng cùng phương
1) Cho ABC có trọng âtm G. Cho các điểm
cạnh
BC, CA, AB và
D,E, F lần lượt là trung điểm của các
I là giao điểm của AD và EF. Đặt u AE ; v AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC theo
hai vectơ u, v .
1
1
1
1
Giải Ta có AI AD ( AE AF ) u v )
2
2
2
2
2 2
2
AG AD u v
3
3
3
DE FA
0.u ( 1)v
AF
A
DC FE AE AF u v
C
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
vectơ u AB, v AC .
Giải
Ta có AM AB BM AB
2
BC
3
mà BC AC AB
2
1
2
AM AB ( AC AB ) u v
3
3
3
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B,C thẳng
hàng
cùng
phương
0≠k
:
AC
AB k AC
AB
+ Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
-14-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
1
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC.
3
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
1
2 BI BA BM BA BC
2
Ta có
4 BI 2 BA BC (1)
Ta có
1
BK BA AK BA AC
3
1
2
1
BA ( BC BA) BA BC
3
3
3
3BK 2 BA BC
(2)
4
Từ (1)&(2) 3BK 4 BI BK BI B, I, K thẳng hàng.
3
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm
bởi hệ thức:
M, N được
xác
định
BC MA 0 , AB NA 3 AC 0 . Chứng minh MN//AC
Giải
BC MA AB NA 3 AC 0
hay AC MN 3 AC 0 MN 2 AC
.
Theo
giả
thiết
MN / / AC
BC AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
M khơng thuộc AC MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N
lần
lượtlà trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD
M
Giải
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
2MN AM BM ND NC
2MN
A
C
N
B
D
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2 AC AD 3 AC .
Giải
Áp dụngqi tắc
hình
bình
hành
ta
có
AB AD AC
VT= AC 2 AC 3 AC VP (đpcm)
3) Chứng minh rằng
nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG ' AA ' BB ' CC ' .
Giải
-15-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
VP AA ' BB ' CC '
AG GG ' G ' A ' BG GG ' G ' B ' CG GG ' G ' C '
3GG ' AG BG CG G ' A ' G ' B ' G ' C '
3GG ' (GA GB GC ) G ' A ' G ' B ' G ' C '
3GG '
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+ AB 0 A B
+ Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM a
+ AB AC B C ; AD BD A B
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD .
Giải
A
AG 2GD A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
G
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA 2 IB 0 .
I
B
HD
A
C
D
B
I
IA 2 IB 0 IA 2 IB IA 2 IB
1
hay IA=2IB , IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB
3
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
Giải
Ta có GA GB 2GI , trong đó I là trung điểm AB
B
Tương tự GC GD 2GK , K là trung điểm CD
C
GA GB GC
GD 2GI 2GK
I
hay GI GK 0
K
A
G là trung điểm IK
D
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AM + BN + CP = 0
b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC
a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM
b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG
-16-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : AD + BC = 2 EF
b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0
b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH
c/ CMR : AB AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ OA + OB + OC + OD = 0
b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB
c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC
1
Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = NC .
2
Gọi K là trung điểm của MN.
1
1
a/ CMR : AK =
+
4 AB 6 AC
1
1
b/ CMR : KD =
+
4 AB 3 AC
Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1
1
a/ AM = AB + AC
3
8
1
3
b/ MI = AB + AC
6
8
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF
tâm O cạnh a
a) Phân tích AD theo AB và AF
1
1
b) Tinh AB BC theo a
2
2
Bài 10: Cho tam giác
AM (M là trung điểm BC).
ABC có trung tuyến
Phân tích AM theo AB và AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB,
N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
a) Tính AI , AJ theo AB, AC
-17-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0
a/ Tính PM , PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
C
a/ MA MB .
b/ MA MB MC O
c/ |
C
d/
e/ | C
-18-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng
1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox
i
x
x '
O
I
O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM mi . Số m gọi là
tọa độ của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của OM ).
+ Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u xi . Số x gọi là tọa độ của
vectơ u đối với trục (O; i ).
Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài
đại số của AB đối với trục đã cho.
Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i
*Nhận xét:
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB = ba
Tính
chất:
+ AB CD AB CD
+ AB BC AC (hệ thức Salơ)
2. Hệ trục tọa độ
y
j
i
O
x
Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vng góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oyvng góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là
,
vectơ
đơn
vị
trên
Oy
là
j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ).
i
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.
Tọa độ của vectơ đối với
hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .
Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’)
x x '
a = b y y '
Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó:
1) a b = (x x’; y y’)
2) k a =(kx ; ky) với k
-19-
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’)
x
y
x kx '
4) a // b 0 có số k thỏa a =k b
xy ' yx ' 0
y ky ' x ' y '
Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy,
y
cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y)
M(x;y)
M2
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành
độ điểm
là tung độ điểm M
M,y gọi
M1
O
x
+ M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y)
x= OM1 ; y= OM 2
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(xM ; y M) và N(xN ; yN) ta có :
MN = (xM – xN ; yM – yN)
Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:
xP =
xM xN
y yN
; yP = M
2
2
Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
G(xG;yG) được tính theo cơng thức:
xG =
x A xB xC
y yB yC
; yG = A
3
3
1) | u | = x 2 y 2 với u = (x;y)
2) | AB | = ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai điểm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
M(xM ; yM) có toạ độ là:
x kx B
y ky B
xM A
yM A
;
(nếu k= 1 thì M là trung điểm AB)
1 k
1 k
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng
AC / / AB
x
xC x A yC y A
ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi C
xB x A
yB y A
x
1 thì
x A yC y A
x
yB y A
B
A
-20-
WWW.ToanCapBa.Net
