TRỌN BỘ BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 (ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.11 MB, 240 trang )
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:
OP
OQ
AT
BT
cos
sin
tan
' cot
α
α
α
α
=
=
=
=
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1
α α α
∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
•
tan
α
xác định khi
k k Z
,
2
π
α π
≠ + ∈
•
cot
α
xác định khi
k k Z
,
α π
≠ ∈
2. Dấu của các giá trị lượng giác:
Cung phần tư
Giá trị lượng giác
I II II IV
sin
α
+ + – –
cos
α
+ – – +
tan
α
+ – + –
cot
α
+ – + –
3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
α
+ cos
2
α
= 1; tan
α
.cot
α
= 1
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
α α
α α
+ = + =
4. Cung liên kết:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos( ) cos
α α
− =
sin( ) sin
π α α
− =
sin cos
2
π
α α
− =
sin( ) sin
α α
− = −
cos( ) cos
π α α
− = −
cos sin
2
π
α α
− =
tan( ) tan
α α
− = −
tan( ) tan
π α α
− = −
tan cot
2
π
α α
− =
cot( ) cot
α α
− = −
cot( ) cot
π α α
− = −
cot tan
2
π
α α
− =
CHƯƠNG 0
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin
tang
p
A
M
Q
B
T'
α
αα
α
T
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
II. CƠNG THỨC CỘNG
Cơng thức cộng:
Cung hơn kém
π
Cung hơn kém
2
π
sin( ) sin
π α α
+ = −
sin cos
2
π
α α
+ =
cos( ) cos
π α α
+ = −
cos sin
2
π
α α
+ = −
tan( ) tan
π α α
+ =
tan cot
2
π
α α
+ = −
cot( ) cot
π α α
+ =
cot tan
2
π
α α
+ = −
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
π
3
2
π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3
−
–1 0
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
−
–1
0
sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
+ = +
sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
− = −
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
+ = −
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
+ −
+ = − =
− +
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
III. CƠNG THỨC NHÂN
1. Cơng thức nhân đơi:
sin 2 2sin .cos
α α α
=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin
α α α α α
= − = − = −
2
2
2 tan cot 1
tan 2 ; cot 2
2 cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =
−
2. Cơng thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t =
tan
2
α
:
Đặt:
t k
tan ( 2 )
2
α
α π π
= ≠ +
thì:
t
t
2
2
sin
1
α
=
+
;
t
t
2
2
1
cos
1
α
−
=
+
;
t
t
2
2
tan
1
α
=
−
IV. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
2. Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +
cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2 cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
−
− =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
π π
α α α α
+ = + = −
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
− = − =− +
Cơng thức hạ bậc Cơng thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos 2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
−
=
+
=
−
=
+
3
3
3
2
sin 3 3sin 4sin
cos3 4 cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
α α α
α α α
α α
α
α
= −
= −
−
=
−
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
sin
y x
=
: Tập xác định D = R; tập giá trị
1, 1
T
= −
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2
T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác định
( )
f x
⇔
xác định.
cos
y x
=
: Tập xác định D = R; Tập giá trị
1, 1
T
= −
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2
T =
π
.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = cos(f(x)) xác định
( )
f x
⇔
xác định.
tan
y x
=
: Tập xác định
\ ,
2
D R k k Z
= + ∈
π
π
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T
=
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = tan(f(x)) xác định
( )
f x
⇔
( )
2
k k Z
≠ + ∈
π
π
cot
y x
=
: Tập xác định
{
}
\ ,
D R k k Z
= ∈
π
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T
=
π
.
* y = cot(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = cot(f(x)) xác định
( ) ( )
f x k k Z
⇔ ≠ ∈
π
.
* y = f
1
(x) có chu kỳ T
1
; y = f
2
(x) có chu kỳ T
2
Thì hàm số
1 2
( ) ( )
y f x f x
= ±
có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2
.
CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
Bài 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a)
2
sin
1
x
y
x
=
−
b)
sin
y x
=
c)
2 sin
y x
= −
d)
2
1 cos
y x
= −
e)
1
sin 1
y
x
=
+
f)
tan
6
y x
= −
π
g)
cot
3
y x
= +
π
h)
sin
cos( )
x
y
x
=
−
π
i) y =
1
tan 1
x
−
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y =
2sin 1
4
x
+ +
π
b)
2 cos 1 3
y x
= + −
c)
sin
y x
=
d)
2
4sin 4sin 3
y x x
= − +
e)
2
cos 2sin 2
y x x
= + +
f)
4 2
sin 2 cos 1
y x x
= − +
g) y = sinx + cosx h) y =
3 sin 2 cos2
x x
−
i) y =
sin 3 cos 3
x x
+ +
Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx
d) y = tanx + cotx e) y = sin
4
x f) y = sinx.cosx
g) y =
sin tan
sin cot
x x
x x
−
+
h) y =
3
3
cos 1
sin
x
x
+
i) y =
tan
x
Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số:
a)
sin 2
y x
=
b)
cos
3
x
y
=
c)
2
sin
y x
=
d)
sin 2 cos
2
x
y x
= +
e)
tan cot 3
y x x
= +
f)
3 2
cos sin
5 7
x x
y
= −
g)
2sin . cos3
y x x
=
h)
2
cos 4
y x
=
i) y = tan(
−
3x + 1)
HD: a)
π
b)
6
π
c)
π
d)
4
π
e)
π
f)
70
π
g)
π
h)
4
π
i)
3
π
Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
– Tìm tập xác định D.
– Tìm chu kỳ T
0
của hàm số.
– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T
0
có thể chọn:
0
0,
x T
∈
hoặc
0 0
,
2 2
T T
x
∈ −
.
– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ
v k T i
0
. .
=
về bên trái và
phải song song với trục hồnh Ox (với
i
là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
2) Một số phép biến đổi đồ thị:
a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y =
f(x) lên trên trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a đơn
vị nếu a < 0.
b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục
hồnh.
c) Đồ thị
f x nếu f x
y f x
f x nếu f x
( ), ( ) 0
( )
( ), ( ) 0
≥
= =
− <
được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ
ngun phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hồnh và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x)
nằm ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị:
1, 1 .
−
– Chu kỳ: T = 2.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
π
– Tịnh tiến theo véctơ
2 .
v k i
=
π
ta được đồ thị y = sinx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số đồng biến trên khoảng 0,
2
π
và nghịch biến trên
, .
2
π
π
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị:
1, 1 .
−
– Chu kỳ: T = 2.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
π
– Tịnh tiến theo véctơ
2 .
v k i
=
π
ta được đồ thị y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
1
3
2
π
−
−π
2
π
−
0
2
π
3
2
π
π
2π
5
2
π
y = sinx
–1
y
x
1
3
2
π
−
−π
2
π
−
0
2
π
3
2
π
π
2π
5
2
π
y = cosx
–1
y
x
x 0
2
π
π
3
2
π
2
π
y
1
0
–1
0
0
x 0
2
π
π
3
2
π
2
π
y
0
–1
0
1
1
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
– Hàm số nghịch biến trên khoảng 0,
2
π
và nghịch biến trên khoảng
3
, .
2
π
π
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.
– Tập xác định: D = R \ ,
2
k k Z
+ ∈
π
π
– Tập giá trị: R.
– Giới hạn:
2
lim
x
y
→±
= ∞
π
:
2
x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = .
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
−
π π
:
– Tịnh tiến theo véctơ
.
v k i
=
π
ta được đồ thị y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số ln đồng biến trên tập xác định D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác định: D = R
{
}
\ ,
k k Z
∈
π
– Tập giá trị: R.
– Giới hạn:
0
lim , lim
x x x
y y
→ →
= + ∞ = −∞
tiệm cận đứng: x = 0, x = .
– Chu kỳ: T = .
– Bảng biến thiên trên đoạn
0,
π
:
– Tịnh tiến theo véctơ
.
v k i
=
π
ta được đồ thị y = cotx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số ln giảm trên tập xác định D.
x
2
π
−
0
2
π
y
0
–
∞
+
∞
x 0
2
π
π
y
0
+
∞
–
∞
x
y
3
2
π
ππ
π
−
−−
−
π
ππ
π
2
π
ππ
π
−
−−
−
O
2
π
ππ
π
π
ππ
π
3
2
π
ππ
π
2
π
ππ
π
5
2
π
ππ
π
y = tanx
x
y
2
− π
− π− π
− π
3
2
π
ππ
π
−
−−
−
O
2
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
π
ππ
π
3
2
π
ππ
π
y = cotx
−π
−π−π
−π
2
π
ππ
π
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.
– Vẽ đồ thị y = sinx.
– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y =
sinx
sin , nếu sin x 0
sin
-sin x, nếu sin x < 0.
x
y x
≥
= =
Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thị y = cosx.
– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị
1 cos
y x
= +
bằng cách tịnh tiến đồ thị
cos
y x
=
lên
trục hồnh 1 đơn vị.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
π
:
y
x
–2
3
2
π
ππ
π
−
−−
−
3
2
π
ππ
π
2
π
ππ
π
2
π
ππ
π
π
ππ
π
O
−π
−π−π
−π
2
π
ππ
π
−
−−
−
y = –sinx
1
–1
π
ππ
π
2
π
ππ
π
−
−−
−
3
2
π
ππ
π
2
π
ππ
π
2
π
ππ
π
π
ππ
π
O
y = /sinx/
y
1
x
x 0
2
π
π
3
2
π
2
π
y = cosx
1
0
–1
0
1
y = 1 + cosx
2
1
0
1
2
2
π
ππ
π
−
−−
−
O
y = 1 + cosx
y
x
−π
−π−π
−π
2
π
ππ
π
π
ππ
π
3
2
π
ππ
π
y = cosx
2
1
–
1
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T =
π
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
π
:
Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T =
π
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
π
:
O
y
x
2
π
ππ
π
4
π
ππ
π
1
2
π
ππ
π
4
π
ππ
π
y = cos2x
–
1
3
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
−
−−
−
O
y
x
π
ππ
π
4
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
1
3
2
π
ππ
π
2
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
y = sin2x
–
1
x
2
−
π
4
−
π
0
2
π
2
π
2x
−π
2
π
−
0
2
π
π
y = sin2x
0
–1
0
1
0
x
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
2x
−π
2
π
−
0
2
π
π
y = cos2x
–1
0
1
0
–1
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin
4
y x
= +
π
có chu kỳ T =
2
π
.
Ví dụ 11: Vẽ đồ thị
cos
4
y x
= −
π
có chu kỳ T =
2
π
.
x
–
π
3
4
−
π
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
3
4
π
π
x
4
π
+
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
3
2
π
0
5
4
π
y sin x
4
π
= +
2
2
−
–1
2
2
−
0
2
2
1
2
2
0
2
2
−
x
–
π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
3
4
π
π
x
4
π
−
5
4
π
−
−π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
3
4
π
y cos x
4
π
= −
2
2
−
–1
2
2
−
0
2
2
1
2
2
0
2
2
−
3
2
π
ππ
π
O
y
x
−π
−π−π
−π
3
4
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
3
4
π
ππ
π
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
7
4
π
ππ
π
y = sin x
4
π
ππ
π
+
++
+
1
2 / 2
2 / 2
−
−−
−
–1
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
Ví dụ 12: Vẽ đồ thị sin cos 2 sin
4
y x x x
= + = +
π
có chu kỳ T =
2
π
.
Ví dụ 13: Vẽ đồ thị
cos sin 2 cos
4
y x x x
= − = +
π
có chu kỳ T =
2
π
.
x
–
π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
3
4
π
π
x
4
π
+
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
3
4
π
π
5
4
π
π
+
sin x
4
2
2
−
–1
2
2
0
2
2
1
2
2
0
2
2
−
2 sin x
4
π
+
–1
2
−
–1
0
1
2
1
0
–1
sin x cosx
+
1
2
1
0
1
2
1
0
1
3
2
π
ππ
π
O
y
x
−π
−π−π
−π
3
4
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
3
4
π
ππ
π
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
7
4
π
ππ
π
y = 2 sin x
4
π
ππ
π
+
++
+
1
2
2
−
−−
−
–1
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
O
y
x
3
4
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
−
−−
−
−π
−π−π
−π
5
4
π
ππ
π
3
2
π
ππ
π
π
ππ
π
y =
sin x cos x
+
++
+
4
π
ππ
π
−
−−
−
3
2
π
ππ
π
7
4
π
ππ
π
1
2
x
π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
0
4
π
2
π
3
4
π
π
cosx –1
2
2
−
0
2
2
1
2
2
0
2
2
−
–1
sinx 0
2
2
−
–1
2
2
−
0
2
2
1
2
2
0
cosx – sinx –1 0 1
2
1 0 –1
2
−
–1
cosx sin x
−
1
0
1
2
1
0
1
2
1
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.
– Tập xác định: \ . ,
2
D R k k Z
= ∈
π
– Chu kỳ T =
π
.
y
x
3
4
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
−
−−
−
−π
−π−π
−π
o
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
3
4
π
ππ
π
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
y = cosx – sinx
2
1
1
−
−−
−
2
−
−−
−
y
x
3
4
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
−
−−
−
−π
−π−π
−π
o
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
3
4
π
ππ
π
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
y =
cosx – sinx
2
1
x
2
π
−
3
π
−
4
π
−
6
π
−
0
6
π
4
π
3
π
2
π
tanx
||
3
−
–1
3
3
0
3
3
1
3
||
cotx 0
3
3
−
–1
3
−
||
3
1
3
3
0
y =
tanx + cotx
–∞
4 3
3
−
2
4 3
3
−
–∞
+
∞
4 3
3
2
4 3
3
+
∞
x
y
y = tanx + cotx
4 3
3
2
4 3
3
–2
2
π
ππ
π
−
−−
−
3
π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
−
−−
−
6
π
ππ
π
−
−−
−
6
π
ππ
π
4
π
ππ
π
3
π
ππ
π
2
π
ππ
π
O
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sin
α
αα
α
a)
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k
= +
= ⇔ ∈
= − +
α π
α
π α π
b)
sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Điều kiện a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤
= +
= ⇔ ∈
= − +
π
π π
c)
sin sin sin sin( )
u v u v
= − ⇔ = −
d) sin cos sin sin
2
u v u v
= ⇔ = −
π
e) sin cos sin sin
2
u v u v
= − ⇔ = −
π
Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )
x x k k Z
= ⇔ = ∈
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z
= ⇔ = + ∈
π
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z
= − ⇔ = − + ∈
π
π
2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z
= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
π
π
2. Phương trình cosx = cosα
αα
α
a)
cos cos 2 ( )
x x k k Z
= ⇔ = ± + ∈
α α π
b)
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Điều kiện a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤
= ⇔ = ± + ∈
π
c)
cos cos cos cos( )
u v u v
= − ⇔ = −
π
d) cos sin cos cos
2
u v u v
= ⇔ = −
π
e) cos sin cos cos
2
u v u v
= − ⇔ = +
π
Các trường hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k k Z
= ⇔ = + ∈
π
π
cos 1 2 ( )
x x k k Z
= ⇔ = ∈
π
cos 1 2 ( )
x x k k Z
= − ⇔ = + ∈
π π
2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )
x x x x x k k Z
= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
π
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 13/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
3. Phương trình tanx = tanα
αα
α
a)
tan tan ( )
x x k k Z
= ⇔ = + ∈
α α π
b)
tan arctan ( )
x a x a k k Z
= ⇔ = + ∈
π
c)
tan tan tan tan( )
u v u v
= − ⇔ = −
d) tan cot tan tan
2
u v u v
= ⇔ = −
π
e) tan cot tan tan
2
u v u v
= − ⇔ = +
π
Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )
x x k k Z
= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z
= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
4. Phương trình cotx = cotα
αα
α
cot cot ( )
x x k k Z
= ⇔ = + ∈
α α π
cot arccot ( )
x a x a k k Z
= ⇔ = + ∈
π
Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z
= ⇔ = + ∈
π
π
cot 1 ( )
4
x x k k Z
= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
5. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
( ).
2
x k k Z
≠ + ∈
π
π
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
( )
x k k Z
≠ ∈
π
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
( )
2
x k k Z
≠ ∈
π
* Phương trình có mẫu số:
•
sin 0 ( )
x x k k Z
≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cos 0 ( )
2
x x k k Z
≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π
•
tan 0 ( )
2
x x k k Z
≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cot 0 ( )
2
x x k k Z
≠ ⇔ ≠ ∈
π
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vơ định.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 14/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
cos 2 0
6
x
+ =
π
2)
cos 4 1
3
x
− =
π
3)
cos 1
5
x
− = −
π
4)
sin 3 0
3
x
+ =
π
5)
sin 1
2 4
x
− =
π
6)
sin 2 1
6
x
+ = −
π
7)
( )
1
sin 3 1
2
x
+ =
8)
( )
0
2
cos 15
2
x − =
9)
3
sin
2 3 2
x
− = −
π
10)
1
cos 2
6 2
x
− = −
π
11)
(
)
tan 2 1 3
x − = 12)
( )
0
3
cot 3 10
3
x + =
13)
tan 3 1
6
x
+ = −
π
14)
cot 2 1
3
x
− =
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
x x
sin(3 1) sin( 2)
+ = −
2) cos cos 2
3 6
x x
− = +
π π
3)
cos3 sin 2
x x
=
4) x x
0
sin( 120 ) cos2 0
− + =
5)
cos 2 cos 0
3 3
x x
+ + − =
π π
6)
sin 3 sin 0
4 2
x
x
+ − =
π
7) tan 3 tan
4 6
x x
− = +
π π
8) cot 2 cot
4 3
x x
− = +
π π
9)
x x
tan(2 1) cot 0
+ + =
10) x x
2
cos( ) 0
+ =
11) x x
2
sin( 2 ) 0
− =
12) x x
2
tan( 2 3) tan 2
+ + =
13)
2
cot 1
x
=
14)
2
1
sin
2
x
=
15)
1
cos
2
x
=
16)
2 2
sin cos
4
x x
− =
π
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.
t x hoặc t x thì điều kiện t
= = ≤ ≤
Dạng Đặt Điều kiện
2
sin 0
asin x b x c
+ + =
t = sinx
1 1
t
− ≤ ≤
2
cos cos 0
a x b x c
+ + =
t = cosx
1 1
t
− ≤ ≤
2
tan tan 0
a x b x c
+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z
≠ + ∈
π
π
2
cot cot 0
a x b x c
+ + =
t = cotx
( )
x k k Z
≠ ∈
π
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 15/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
(
)
2
tan 1 3 tan 3 0
x x
+ − − =
5)
(
)
2
4sin 2 3 1 sin 3 0
x x
− + + =
6)
3
4 cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
+ =
7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +
(
)
2 3 1 cos3 3
x+ −
= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
− + − + =
5)
3
cos
x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan
x
+
= 0
7)
2
1
sin
x
= cotx + 3 8)
2
1
cos
x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x – 3cosx =
2
4 cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5
Bài 3. Cho phương trình
sin 3 cos3 3 cos2
sin
1 2sin 2 5
x x x
x
x
+ +
+ =
+
. Tìm các nghiệm của phương
trình thuộc
(
)
0 ; 2
π
.
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
(
)
;
−
π π
.
Bài 5. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
+ + + − =
π π
.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+ ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
• Đặt:
( )
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
= = ∈
+ +
α α α π
phương trình trở thành:
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
+ =
+
α α
2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )
x k k Z
⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 16/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
a) Xét 2
2 2
x
x k k
= + ⇔ = +
π
π π π
có là nghiệm hay khơng?
b) Xét
2 cos 0.
2
x
x k
≠ + ⇔ ≠
π π
Đặt:
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2
1 1
x t t
t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)
b c t at c b+ − + − =
Vì
2 0,
x k b c
≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .
a c b a b c
= − − ≥ ⇔ + ≥
∆
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan .
2
x
t
=
Ghi chú:
1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.
a b c
+ ≥
3) Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cos
y a x b x a b x x a b
= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b và y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos 3 sin 2
x x+ = 2)
6
sin cos
2
x x+ =
3)
3 cos3 sin3 2
x x+ =
4)
sin cos 2 sin 5
x x x
+ = 5)
(
)
(
)
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0
x x
− − + + − =
6)
3 sin 2 sin 2 1
2
x x
+ + =
π
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin 3 sin 2 3
x x
+ =
2)
( )
sin8 cos6 3 sin 6 cos8
x x x x
− = +
3)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +
4) cosx – 3sin 2 cos
3
x x
= −
π
5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
4
x
+
π
+ sin
4
x
−
π
=
3 2
2
2)
3 cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x
+ + − =
π
Bài 5. Tìm m để phương trình: (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .
Bài 6. Tìm m để phương trình: (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vơ nghiệm.
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1)
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 17/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay khơng?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x
⇔ = + ⇔ = ⇔ = ±
π
π
• Khi
cos 0
x
≠
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0
x
≠
ta được:
2 2
.tan .tan (1 tan )
a x b x c d x
+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0
a d t b t c d
− + + − =
Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc
1 cos2 sin 2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
− +
⇔ + + =
.sin 2 ( ).cos2 2
b x c a x d a c
⇔ + − = − −
(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
2 2
2sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1
x x x x
+ − + − =
2)
(
)
2 2
3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0
x x x x
+ + − =
3)
2 2
4sin 3 3 sin .cos 2cos 4
x x x x
+ − =
4)
2 2
1
sin sin2 2cos
2
x x x
+ − =
5)
(
)
(
)
2 2
2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1
x x x x
+ + − = −
6)
2 2
5sin 2 3 sin .cos 3cos 2
x x x x
+ + =
7)
2 2
3sin 8sin .cos 4 cos 0
x x x x
+ + =
8)
(
)
(
)
2 2
2 1 sin sin2 2 1 cos 2
x x x− + + + =
9)
(
)
(
)
2 2
3 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos 0
x x x x
+ − + − =
10)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0
x x x x
− + =
11) cos
2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
3 2 3
sin 2sin .cos – 3cos 0
+ =
x x x x 2)
2
2 1
3 sin .cos sin
2
x x x
−
− =
3)
x x x x x x
3 2 2 3
sin 5sin .cos 3sin .cos 3cos 0
− − + =
Bài 3.
Tìm m để phương trình:
(
)
2 2
1 2 2 1
m x x x
sin – sin cos
+ + =
có nghiệm.
Bài 4.
Tìm m để phương trình: (3m – 2)sin
2
x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos
2
x = 0 vơ
nghiệm .
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 18/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
Dạng 1: a.(sinx ±
±±
± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
•
Đặt:
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
= ± = ≤
∓
π
2 2
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t
⇒ = ± ⇒ = ± −
•
Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này
tìm t thỏa
2.
t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
+ = − = +
π π
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
− = + = − −
π π
Dạng 2: a.|sinx ±
±±
± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
•
Đặt:
cos sin 2. cos ; : 0 2.
4
t x x x Đk t
= ± = ≤ ≤
∓
π
2
1
sin .cos ( 1).
2
x x t
⇒ = ± −
•
Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1.
Giải các phương trình:
1)
( )
2sin 2 3 3 sin cos 8 0
x x x
− + + =
2)
(
)
2 sin cos 3sin 2 2
x x x
+ + =
3)
(
)
3 sin cos 2sin 2 3
x x x
+ + = −
4)
(
)
( )
1 2 1 sin cos sin2
x x x
− + + =
5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6)
(
)
( )
1 2 sin cos sin 2 1 2
x x x+ + − = +
Bài 2.
Giải các phương trình:
1)
(
)
sin 2 4 cos sin 4
x x x
− − =
2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
3)
(
)
( )
1 2 1 sin cos sin 2
x x x
− + − =
4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0
5) sin2x +
2 sin 1
4
x
− =
π
6)
( )
(
)
2
sin cos 2 1 (sin cos ) 2 0
x x x x
− − + − + =
Bài 3.
Giải các phương trình:
1) sin
3
x + cos
3
x = 1 +
(
)
2 2
−
sinx.cosx 2) 2sin2x –
3 6 sin cos 8 0
x x
+ + =
VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 19/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Bài 1.
Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3
2
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2
Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin
8
x + cos
8
x =
1
8
3) cos
4
x + 2sin
6
x = cos2x 4) sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x +
2
1
4sin 2
x
– 1 = 0
Bài 3.
Giải các phương trình sau:
1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Bài 4.
Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Bài 5.
Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx
Bài 6.
Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + cos
3
x +
1
sin 2 .sin
4
2
x x
+
π
= cosx + sin3x
2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 20/240.
ĐỀ 1
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm tập xác định của các hàm số sau:
i)
2sin 1
1 cos
x
y
x
−
=
−
. ii)
1
3 cot 2 1
y
x
=
+
.
b)
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
2 2
2 3sin cos cos 1
x x
y x= − +
Bài 2: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
2cos 3 0
3
x
π
+ + =
. c)
tan .tan 3 1
x x
=
.
b)
2 2
sin 3sin 2 3cos 0x x x− + = . d)
2 2 2
cos cos 2 cos 3 1
x x x
+ + = .
Bài 3: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
2
1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
x
x
−
+ = . c)
( )
6 6
10 10
2 2
1 sin cos
sin cos
4 sin 2 4cos 2
x x
x x
x x
+
+ =
+
.
b)
2
sin (1 tan ) 3sin (cos sin ) 3x x x x x+ = − + d) sin 3 os3 2cos 0x c x x+ + =
Bài 4: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
6 6 4 4
1
sin cos (sin cos ) cos 2
2
y x x x x x= + + + + trên
;
6 6
π π
−
ĐỀ 2
Bài 1: (2 điểm)
a)
Xét tính chẵn lẻ của hàm số
tan3
cos2 1
x
y
x
=
+
.
b)
Tìm GTLN và GTNN của hàm số 3cos 2 2sin cos 2y x x x= + − .
Bài 2: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
(
)
0
2sin 45 3x + = − . b)
sin cos 2 0
3
x x
π
− + =
.
b)
cos2 3sin 2x x+ = . d) cos 2 sin cos3 cos 0x x x x+ + = .
Bài 3: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
3
cos 2 3 cos 2 3
2
x x
π
− − =
, với
3 6
x
π π
− <
. c)
2
4
cos cos
3
x
x
=
b)
(
)
3 3 5 5
sin cos 2 sin cos
x x x x
+ = + d)
2
cos 4cos 3 .(2sin )
x x x x x
− + = −
Bài 4: (1 điểm)
Cho phương trình:
2 2
sin 5 sin 3 2sin 2 7 8sin
4 2
x
x x x
π
− − + = −
. Tìm các nghiệm của
phương trình thoả mãn điều kiện
1 3x − <
ĐỀ 3
Bài 1: (2 điểm)
a)
Tìm tập xác định của hàm số:
1
sin 2 cos
y
x x
=
−
b)
Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
Bài 2: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
2sin 2
4
x
π
+ = −
. c)
cos sin 2 sin 2
x x x
− =
.
b)
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
+ =
. d)
( )
2sin cos 1 3 cos2
x x x
− = .
Bài 3: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
cos5 sin 4 cos3 .sin 2
x x x x
= , với
0;
2
x
π
∈
c)
1 3 cos3 1
tan 2
2sin 2 sin 2
x
x
x x
π
−
+ − =
b)
sin 3 1
2 tan cos .
sin 2 cos
x
x x
x x
−
+ =
−
d)
sin 3 sin5
3 5
x x
=
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 21/240.
Bài 4: (1 điểm)
Tìm m để phương trình : sin 2( ) sin(3 ) sin
x x m x
π π
− − − = có nghiệm
x k
π
≠ ( k Z∈ )
ĐỀ 4
Bài 1: (2 điểm)
a)
Tìm tập xác định của hàm số:
1
1 cos2
2tan 2
3
y x
x
π
= + −
−
.
b) Tìm tập giá trị của hàm số:
4 4
sin cos 1y x x= + +
Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
3
2sin 2 0
4
x
π
− − =
. b)
0
3 tan(2 30 ) 1 0x − − = .
b)
sin 3 cos( 3 ) 2 cos 2
x x x
π
− − = . d)
2
2sin 3 sin 2 3x x+ = .
Bài 3: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
2 2
2sin ( ) 2sin tan
4
x x x
π
− = − c)
1
cos cos2 cos3 cos 4 cos5
2
x x x x x+ + + + = −
b)
( )
4 4
2
1 cot 2x cot
2 sin cos 3
cos
x
x x
x
+
+ + = d)
1 2cos
2 2 sin
cos (sin cos ) sin cos
x
x
x x x x x
= +
− −
Bài 4: (1 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 1 1
sin sin 2 sin 3 sin 4
2 3 4
y x x x x= + + + với
0 x
π
≤ ≤
ĐỀ 5
Bài 1: (2 điểm)
a) Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
3
tan 2 2coty x x= +
b)
Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
2 sin 2 sin 2
4 4
y x x
π π
= + − −
trên
0;
2
π
Bài 2: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
( )
tan 2 1 3x − = c)
0 0
cos(2 30 ) cos( 60 ) 0x x+ + − =
b)
2
1
cos 3
6 2
x
π
− =
d)
1
3sin cos
cos
x x
x
= −
Bài 3: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
2 2
1 sin sin cos sin 2cos
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ − = −
c)
( )( )
1 tan 1 sin2x 1 tan
x x
− + = +
b)
2
(sin cos ) 3 cos2 2x x x+ + = . d)
2
sin 2 2cos 3sin cos 0x x x x− + − =
Bài 4: (1 điểm)
Xác định m để hai phương trình sau tương đương với nhau:
3
4cos (1 2cos )cos 2 3cos 1 0x x x x+ − − + = và
2
2( 2)cos cos cos3m x m x x− − =
ĐỀ 6
Bài 1: (2 điểm)
a) Tập xác định của hàm số:
tan cot
1 sin 2
x x
y
x
+
=
−
.
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
4 2 4 2
sin (1 sin ) cos (1 cos )y x x x x= + + +
Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
3 cot 2 1 0
3
x
π
− + =
. c)
sin 3 cos 2 0
4 3
x x
π π
− + − =
.
b)
2 2
3
4sin 3 cos 2 1 2cos
2 4
x
x x
π
− = + −
d)
3 tan 2 2sin 2 0x x− =
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 22/240.
Bài 3: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
3
2sin cos2 cos 0x x x− + = c)
( )
3 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =
−
b)
2
3sin 2 2sin 1
x x
− = d)
2
(sinx cos ) os2 3sin cos 0x c x x x− + − + =
Bài 4: (1 điểm) Cho phương trình:
(
)
4 4
2 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m+ + + + =
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
ĐỀ 7
Bài 1: (2 điểm)
a)
Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
3
sin
cos2
x x
y
x
−
= .
b)
Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
2
2cos 1
4
y x
π
= + +
Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
2
cos 3
6 2
x
π
− = −
. c)
3tan 3
2
x
= , với
)
0;2x
π
∈
.
b)
sin (1 sin ) cos (cos 3)x x x x− = + . d)
4 4
1
cos sin sin cos
2
x x x x− + =
Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
( )
tan3 tan 2 sin 4 sin 2
x x x x
− = −
. c)
2
tan 2 cot 8cos
x x x
+ = .
b)
2
3sin 2 2cos( ) 2cos 1
3
x x x
π
+ − + = d)
2
cos sin 2
3 0
1 sin 2cos
x x
x x
−
+ =
+ −
Bài 1: (3 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
(
)
2
cos 3 9 160 800 1
8
x x x
π
− + + =
ĐỀ 8
Bài 1: (2 điểm)
a)
Xét tính chẵn lẻ của hàm số :
1 tan
1 tan
x
y
x
+
=
−
b)
Tìm tập giá trị của hàm số:
1 2 sin3y x= −
Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
2cos 3 0, (0;2 )x x
π
− = ∈ c)
2
3tan 2 3 tan 3 0x x− − =
b)
4 4
1
cos sin sin 2
3
x x x
− = d)
2 2
sin 3cos 3sin 2 1
x x x
+ = +
Bài 3: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
( )
3 3
sin cos cos2 2cos sin
x x x x x
+ = −
c)
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
− = −
b)
2
sin (sin cos ) 1
0
cos sin 1
x x x
x x
+ −
=
+ −
d)
3 1 cot
3tan 2 2 2cos2 0
cos2 1 cot
x
x x
x x
−
− − + =
+
Bài 4: (1 điểm) Cho phương trình:
2
2
2 10
2tan 0
sin sin 2
x m
x x
+ + − =
a) Giải phương trình với
4m = −
.
b)
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 23/240.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
I. Qui tắc đếm
1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu
phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất
kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách
thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n
cách thực hiện.
Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2
con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố
D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả
bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 đường.
Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi
có bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có
mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
ĐS: a) 18. b) 15.
Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội
chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu
cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là
như nhau?
ĐS: 36.
Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu
vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a) 35. b) 29.
Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập
một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin.
Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế
dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
A. TỔ HỢP
CHƯƠNG II
T
Ổ HỢP
–
XÁC SU
ẤT
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 24/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Baøi 8: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai
viên bi cùng màu không được ở gần nhau.
Baøi 9: Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hộ
đồng quản trị đó, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ban thường trực sao cho trong đó phải có ít nhất một người nam.
ĐS: 161.
Baøi 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng:
a)
,
x A y A
∈ ∈
b)
{ , }
x y A
⊂
c)
, 6
x A y A vaø x y
∈ ∈ + =
.
ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 cặp.
Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao
nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng:
, ,
x A y A x y
∈ ∈ >
.
ĐS:
( 1)
.
2
n n
−
Baøi 12: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số
theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi).
ĐS: Số cần tìm có dạng:
abcba
⇒
có 9.10.10 = 900 (số)
Baøi 13: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Baøi 14: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì
giống nhau?
e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000.
Baøi 15: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24.
Baøi 16: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a) Khác nhau?
b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48.
Baøi 17: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau
nhỏ hơn 400?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong
khoảng (300 , 500).
ĐS: a) 35. b) 24.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 25/240.
