HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ LỚP 11 ( PHÂN LOẠI THEO TỪNG CHƯƠNG )

I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:
cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a
=
=
=
=
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
α
• tana xác đònh khi
,
2
a k k Z≠ + ∈
π
π
,
• cota xác đònh khi
,a k k Z≠ ∈
π
2. Dấu của các giá trò lượng giác:
Cung phần tư

Giá trò lượng giác
I II II IV
sina + + – –
cosa + – – +
tana + – + –
cota + – + –
3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a + cos
2
a = 1; tana.cota = 1
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a
+ = + =
4. Cung liên kết:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos( ) cosa a− =
( ) sinsin a a− =
π
sin cos
2
a a
 
− =

 ÷
 
π
sin( ) sina a− = −
cos( ) cosa a− = −
π
cos sin
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
tan( ) tana a− = −
tan( ) tana a− = −
π
tan cot
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
cot( ) cota a− = −
cot( ) cota a− = −
π
cot tan
2

a a
 
− =
 ÷
 
π
Trang 1
CHƯƠNG 0
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
CHƯƠNG 0
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin

tang
p
A
M
Q
B T'
α
T
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng:
Trang 2
Cung hơn kém π Cung hơn kém

2
π
sin( ) sina a+ = −
π
sin cos
2
a a
 
+ =
 ÷
 
π
cos( ) cosa a+ = −
π
cos sin
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
tan( ) tana a+ =
π
tan cot
2
a a
 
+ = −
 ÷

 
π
cot( ) cota a+ =
π
cot tan
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
π
3
2

π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2

1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3−
–1 0 0
cotg
3

1
3
3
0
3
3
−
–1 0
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+

Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
x x
x x
x x
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +
   
π π

III. CÔNG THỨC NHÂN
1. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = −

2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot2
2cot
1 tan
a a
a a
a

a
−
= =
−
2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
:
Đặt:
tan ( 2 )
2
a
t a k= ≠ +
π π
thì:
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
;
2
2
1
cos

1
t
a
t
−
=
+
;
2
2
tan
1
t
a
t
=
−
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −

− =
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )

cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
cot cot
sin .
b a
a b
a sinb
−
− =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
a a a a
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
π π
sin cos 2sin 2 cos
4 4
a a a a
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   

π π
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 
Trang 3
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos

3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
= −
= −
−
=
−
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a

a
a
−
=
+
=
−
=
+
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
siny x=
: Tập xác đònh D = R; tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác đònh

( )f x⇔
xác đònh.
cosy x=
: Tập xác đònh D = R; Tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = cos(f(x)) xác đònh
( )f x⇔
xác đònh.
tany x=
: Tập xác đònh
\ ,
2
D R k k Z
 
= + ∈

 
 
π
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = tan(f(x)) xác đònh
( )f x⇔

( )
2
k k Z≠ + ∈
π
π
coty x=
: Tập xác đònh
{ }
\ ,D R k k Z= ∈
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0

T =
π
.
* y = cot(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = cot(f(x)) xác đònh
( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈
π
.
* y = f
1
(x) có chu kỳ T
1
; y = f
2
(x) có chu kỳ T
2
Thì hàm số
1 2
( ) ( )y f x f x= ±
có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2

.
Trang 4



Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau:
a/
2
sin
1
x
y
x
 
=
 ÷
−
 
b/
siny x=
c/
2 siny x= −
d/
2
1 cosy x= −
e/
1
sin 1
y
x

=
+
f/
tan
6
y x
 
= −
 ÷
 
π
g/
cot
3
y x
 
= +
 ÷
 
π
h/
sin
cos( )
x
y
x
=
−
π
i/ y =

1
tan 1x −
Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1
4
x
 
+ +
 ÷
 
π
b/
2 cos 1 3y x= + −
c/
siny x=
d/
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e/
2
cos 2sin 2y x x= + +
f/
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
g/ y = sinx + cosx h/ y =
3sin2 cos2x x−
i/ y =
sin 3 cos 3x x+ +
Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx
d/ y = tanx + cotx e/ y = sin
4
x f/ y = sinx.cosx
g/ y =
sin tan
sin cot
x x
x x
−
+
h/ y =
3
3
cos 1
sin
x
x
+
i/ y =
tan x
Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số:
a/
sin2y x=
b/
cos
3
x
y =
c/

2
siny x=
d/
sin2 cos
2
x
y x= +
e/
tan cot3y x x= +
f/
3 2
cos sin
5 7
x x
y = −
g/
2sin . cos3y x x=
h/
2
cos 4y x=
i/ y = tan(−3x + 1)
ĐS: a/
.
π
b/ 6π. c/
.
π
d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/
.
4

π
i/
3
π
Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC
1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác:
– Tìm tập xác đònh D.
– Tìm chu kỳ T
0
của hàm số.
– Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần).
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T
0
có thể chọn:
0
0,x T
 
∈
 
hoặc
0 0
,
2 2
T T
x
 
∈ −
 
 
.

– Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ
0
. .v k T i=
r r
về bên trái
Trang 5
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
và phải song song với trục hoành Ox (với
i
r
là véc tơ đơn vò trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đồ thò:
a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y
= f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a
đơn vò nếu a < 0.
b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua
trục hoành.
c/ Đồ thò
( ), nếu f(x) 0
( )
-f(x), nếu f(x) < 0
f x
y f x

≥
= =


được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x)
nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
– Tònh tiến theo véctơ
2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = sinx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số đồng biến trên khoảng
0,
2
 
 ÷
 
π
và nghòch biến trên

, .
2
 
 ÷
 
π
π
Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
 
 
π
Trang 6
1
3
2
π
−
−π
2
π
−

0
2
π
3
2
π
π 2π
5
2
π
y = sinx
–1
y
x
1
3
2
π
−
−π
2
π
−
0
2
π
3
2
π
π

2π
5
2
π







x0y
1
0
–1
0 0




 

– Tònh tiến theo véctơ
2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Hàm số nghòch biến trên khoảng

0,
2
 
 ÷
 
π
và nghòch biến trên khoảng
3
, .
2
 
 ÷
 
π
π
Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx.
– Tập xác đònh: D = R
\ ,
2
k k Z
 
+ ∈
 
 
π
π
– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:
2
lim

x
y
→±
= ∞
π
:
2
x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
 
−
 ÷
 
π π
:
– Tònh tiến theo véctơ
.v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác đònh: D = R

{ }
\ ,k k Z∈
π
– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:

0
lim , lim
x x x
y y
→ →
= + ∞ = − ∞
tiệm cận đứng: x = 0, x = π.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0,
 
 
π
:
– Tònh tiến theo véctơ
.v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cotx.
Trang 7


∞
∞



∞
∞


3
2
π
−
π
2
π
−

2
π
π
3
2
π
2π
5
2
π




2− π

3
2
π
−

2
π
−
2
π
π
3
2
π


−π
2π
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn giảm trên tập xác đònh D.
Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx.
– Vẽ đồ thò y = sinx.
– Từ đồ thò y = sinx, ta suy ra đồ thò y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx
sin , nếu sin x 0
sin
-sin x, nếu sin x < 0.
x

y x

≥
= =


Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thò y = cosx.
– Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò
1 cosy x= +
bằng cách tònh tiến đồ thò
cosy x=
lên
trục hoành 1 đơn vò.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
Trang 8



π
3
2
π
−
3

2
π
2π
2
π
π
O
−π
2
π
−
y = –sinx
1
–1
π
2
π
−
3
2
π
2π
2
π
π
O
y = /sinx/
y
1
x

x0πy = cosx1
0
–1
01y = 1 + cosx2
1
0
12
2
π
−
O
y = 1 + cosx
y
x
−
π
2
π
π
3
2
π
y = cosx
2
1
–1

Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn

0, 2
 
 
π
:
Ví dụ 9: Vẽ đồ thò y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
Trang 9
2
π
−
O
y
x
π
4
π
−
4
π
1
3
2
π

2
π
5
4
π
y = sin2x
–1
x02x0y = sin2x
0
–1
01
0
x02x0y = cos2x
–1
0






2
π
4
π

2
π
4
π






3
4
π
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
Ví dụ 10: Vẽ đồ thò
sin
4
y x
 
= +
 ÷
 
π
có chu kỳ T = 2π.
Ví dụ 11: Vẽ đồ thò
cos
4
y x
 
= −
 ÷
 
π
có chu kỳ T = 2π.
Trang 10











3
2
π




−π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
4
π

2
π
3
4
π
π
5
4
π
7
4
π


2 / 2
2 / 2−



Vớ duù 12: Veừ ủo thũ
sin cos 2 sin
4
y x x x

= + = +
ữ


coự chu kyứ T = 2.
Vớ duù 13: Veừ ủo thũ

cos sin 2 cos
4
y x x x

= = +
ữ


coự chu kyứ T = 2.
Trang 11

3
2






3
4


2


4


4

2

3
4


5
4

7

4



2
2


4

2





3
4


2



5
4
3
2

4


3
2

7
4


2








Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
Ví dụ 14: Vẽ đồ thò y = tanx + cotx.
– Tập xác đònh:
\ . ,
2
D R k k Z
 
= ∈
 
 

π
– Chu kỳ T = π.
Trang 12


3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
−π

4
π
2
π 3
4
π
π
5
4
π

  
2

1
1−
2−


3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
−π

4
π
2
π 3
4
π
π
5
4
π


2

1
   

∞

∞∞

∞



   
4 3
3

4 3
3

2
π
−
3
π
−
4
π
−
6
π
−

6
π
4
π
3
π
2
π


I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sinα
a/
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k

= +
= ⇔ ∈

= − +

α π
α
π α π
b/
sin . : 1 1.

arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Điều kiện a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤

= +
= ⇔ ∈

= − +

π
π π
c/
sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −
d/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
sin cos sin sin
2

u v u v
 
= − ⇔ = −
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= − ⇔ = − + ∈
π
π
2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
π
π
2. Phương trình cosx = cosα
a/
cos cos 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ± + ∈
α α π

b/
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Điều kiện a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤
= ⇔ = ± + ∈
π
c/
cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = −
π
d/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:

cos 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π
cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π

cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈
π π
2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
π
3. Phương trình tanx = tanα
Trang 13




Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
a/
tan tan ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
b/
tan arctan ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π
c/
tan tan tan tan( )u v u v= − ⇔ = −
d/
tan cot tan tan

2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π

e/
tan cot tan tan
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
4. Phương trình cotx = cotα

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈

π
Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cot 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
5. Một số điều cần chú ý:
a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn
bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
( ).
2
x k k Z≠ + ∈
π
π
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
( )x k k Z≠ ∈
π
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
( )
2
x k k Z≠ ∈
π

* Phương trình có mẫu số:
•
sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cos 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π
•
tan 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh.
Bài 1. Giải các phương trình:
Trang 14

1)
cos 2 0

6
x
 
+ =
 ÷
 
π
2)
cos 4 1
3
x
 
− =
 ÷
 
π
3)
cos 1
5
x
 
− = −
 ÷
 
π
4)
sin 3 0
3
x
 

+ =
 ÷
 
π
5)
sin 1
2 4
x
 
− =
 ÷
 
π
6)
sin 2 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
7)
( )
1
sin 3 1
2
x + =
8)
( )

0
2
cos 15
2
x − =
9)
3
sin
2 3 2
x
 
− = −
 ÷
 
π
10)
1
cos 2
6 2
x
 
− = −
 ÷
 
π
11)
( )
tan 2 1 3x − =
12)
( )

0
3
cot 3 10
3
x + =
13)
tan 3 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
14)
cot 2 1
3
x
 
− =
 ÷
 
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−
Bài 2. Giải các phương trình:

1)
( ) ( )
sin 3 1 sin 2x x+ = −
2)
cos cos 2
3 6
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π
3)
cos3 sin2x x
=
4)
( )
0
sin 120 cos2 0x x− + =
5)
cos 2 cos 0
3 3
x x
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
π π
6)
sin3 sin 0

4 2
x
x
 
+ − =
 ÷
 
π
7)
tan 3 tan
4 6
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π
8)
cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π

9)
( )
tan 2 1 cot 0x x+ + =

10)
( )
2
cos 0x x+ =
11)
( )
2
sin 2 0x x− =
12)
( )
2
tan 2 3 tan2x x+ + =
13)
2
cot 1x =
14)
2
1
sin
2
x =
15)
1
cos
2
x =
16)
2 2
sin cos
4

x x
 
− =
 ÷
 
π
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.t x hoặc t x thì điều kiện t= = ≤ ≤
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Trang 15
Dạng Đặt Điều kiện
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t− ≤ ≤
2
cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx
1 1t− ≤ ≤
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z≠ + ∈
π
π
2

cot cot 0a x b x c+ + =
t = cotx
( )x k k Z≠ ∈
π
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
( )
2
tan 1 3 tan 3 0x x+ − − =

5)
( )
2
4sin 2 3 1 sin 3 0x x− + + =
6)
3
4cos 3 2 sin2 8cosx x x+ =
7) tan
2

x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +
( )
2 3 1 cos3 3x+ −
= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
− + − + =
5)
3
cos x
+ tan
2

x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan x+
= 0
7)
2
1
sin x
= cotx + 3 8)
2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x – 3cosx =
2
4cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5
Bài 3. Cho phương trình
sin3 cos3 3 cos2
sin
1 2sin2 5
x x x
x

x
 
+ +
+ =
 ÷
+
 
. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
0 ; 2
π
.
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
;−
π π
.
Bài 5. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
π π

.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
• Đặt:
( )
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
 
= = ∈
 
+ +
α α α π

phương trình trở thành:
2 2

sin .sin cos .cos
c
x x
a b
+ =
+
α α
2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
Trang 16

a/ Xét
2
2 2
x
x k k= + ⇔ = +
π
π π π
có là nghiệm hay không?
b/ Xét
2 cos 0.
2
x
x k≠ + ⇔ ≠
π π
Đặt:
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2
1 1
x t t
t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − =

Vì
2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan .
2
x
t=
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b và y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =

Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos 3sin 2x x+ =
2)
6
sin cos
2
x x+ =
3)
3 cos3 sin3 2x x+ =
4)
sin cos 2sin5x x x+ =
5)
( ) ( )
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x− − + + − =
6)
3sin2 sin 2 1
2
x x
 
+ + =
 ÷
 
π
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin 3sin2 3x x+ =
2)
( )

sin8 cos6 3 sin6 cos8x x x x− = +

3)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +
4) cosx –
3sin 2cos
3
x x
 
= −
 ÷
 
π
5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
4
x
 
+
 ÷
 
π
+ sin
4
x
 
−
 ÷
 
π
=
3 2
2
2)
3 cos2 sin2 2sin 2 2 2
6
x x x
 
+ + − =
 ÷
 
π
Bài 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .

Bài 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
Trang 17
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =±
π
π
• Khi
cos 0x ≠
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0x ≠
ta được:
2 2
.tan .tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d− + + − =

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
− +
⇔ + + =
.sin2 ( ).cos2 2b x c a x d a c⇔ + − = − −
(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x
và cos2x)
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2 2
2sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x+ − + − =
2)
( )
2 2
3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − =
3)
2 2
4sin 3 3sin .cos 2cos 4x x x x+ − =

4)
2 2
1
sin sin2 2cos
2
x x x+ − =

5)
( ) ( )
2 2
2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + − = −
6)
2 2
5sin 2 3 sin .cos 3cos 2x x x x+ + =
7)
2 2
3sin 8sin .cos 4cos 0x x x x+ + =

8)
( ) ( )
2 2
2 1 sin sin2 2 1 cos 2x x x− + + + =
9)
( ) ( )
2 2
3 1 sin 2 3sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ − + − =

10)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =
11) cos
2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0

12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + 2sin
2
x.cos
2
x – 3cos
3
x = 0 2)
2
2 1
3sin .cos sin
2
x x x
−
− =
Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin
2
x – sin2x + 2cos
2
x = 1 có nghiệm.
Bài 4. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin
2
x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos

2
x = 0 vô
nghiệm .
Trang 18

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt:
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
 
= ± = ≤
 ÷
 
m
π
2 2
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± −
• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa
2.t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4

x x x x
   
+ = − = +
 ÷  ÷
   
π π
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
− = + = − −
 ÷  ÷
   
π π

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt:
cos sin 2. cos ; : 0 2.
4
t x x x Đk t
 
= ± = ≤ ≤
 ÷
 
m
π
2
1
sin .cos ( 1).

2
x x t⇒ = ± −
• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối.
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
( )
2sin2 3 3 sin cos 8 0x x x− + + =
2)
( )
2 sin cos 3sin2 2x x x+ + =
3)
( )
3 sin cos 2sin2 3x x x+ + = −
4)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + + =
5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6)
( )
( )
1 2 sin cos sin2 1 2x x x+ + − = +
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
( )
sin2 4 cos sin 4x x x− − =
2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
3)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + − =

4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0
5) sin2x +
2 sin 1
4
x
 
− =
 ÷
 
π
6)
( )
( )
2
sin cos 2 1 (sin cos ) 2 0x x x x− − + − + =
Bài 3. Giải các phương trình:
1) sin
3
x + cos
3
x = 1 +
( )
2 2−
sinx.cosx 2) 2sin2x –
3 6 sin cos 8 0x x+ + =
Trang 19
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) sin

2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3
2
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2
Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin
8
x + cos
8
x =
1
8
3) cos
4
x + 2sin
6
x = cos2x 4) sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x +
2
1
4sin 2x
– 1 = 0
Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin

2
2x + sinx
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + cos
3
x +
1
sin2 .sin
4
2
x x
 
+
 ÷
 
π
= cosx + sin3x
2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x
Trang 20
A. TỔ HP
CHƯƠNG II
TỔ HP – XÁC SUẤT
CHƯƠNG II
TỔ HP – XÁC SUẤT

I. Qui tắc đếm
1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B.

Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không
trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m
cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc
đó có m.n cách thực hiện.
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C
có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến
thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố
C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.10
8
, chia hết cho 3, có thể được viết
bởi các chữ số 0, 1, 2?
ĐS: Có 2.3
7
– 1 = 4374 – 1 = 4373 (số)
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về).
Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các
chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trò của nó không thay đổi).

ĐS: Số cần tìm có dạng:
abcba
⇒
có 9.10.10 = 900 (số)
Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng.
Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác
nhau?
ĐS: a/ 18. b/ 15.
Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ
số?
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng
giữa thì giống nhau?
e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
ĐS: a/ 3125. b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000.
Trang 21
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bò được 2 vở kòch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn,
mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kòch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên
có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kòch, điệu
múa, các bài hát là như nhau?
ĐS: 36.
Bài 9: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt
màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a/ 35. b/ 29.
Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:

a/
,x A y A∈ ∈
b/
{ , }x y A⊂
c/
, 6x A y A và x y∈ ∈ + =
.
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp.
Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao
nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng:
, ,x A y A x y∈ ∈ >
.
ĐS:
( 1)
.
2
n n −
Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ
số?
d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24.
Bài 13: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48.

Bài 14: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác
nhau nhỏ hơn 400?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm
trong khoảng (300 , 500).
ĐS: a/ 35. b/ 24.
Bài 15: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán.
Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học
sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Bài 16: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một
chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Bài 17: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao
cho hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau.
II. Hoán vò
1. Giai thừa:
Trang 22

n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n
!
!
n
p
= (p+1).(p+2)…n (với n>p)
!
( )!
n
n p−
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
2. Hoán vò (không lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n

≥
1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự
nào đó được gọi là một hoán vò của n phần tử.
Số các hoán vò của n phần tử là: P
n
= n!
3. Hoán vò lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a
1
, a
2
, …, a
k
. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n
1
phần tử a
1
, n
2
phần tử a
2
, …, n
k
phần tử a
k
(n
1
+n
2
+ …+ n

k
= n) theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vò lặp cấp n và kiểu (n
1
, n
2
, …, n
k
) của k phần tử.
Số các hoán vò lặp cấp n, kiểu (n
1
, n
2
, …, n
k
) của k phần tử là:
P
n
(n
1
, n
2
, …, n
k
) =
1 2
!
! ! !
k
n

n n n
4. Hoán vò vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín
được gọi là một hoán vò vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vò vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
6! 1 ( 1)! .( 1)!
. .
( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!
m m m
m m m m m m
 
+ −
−
 
− − + − − −
 
(với m ≥ 5)
B =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 
−
 ÷
 
C =
5! ( 1)!

.
( 1) ( 1)!3!
m
m m m
+
+ −
ĐS: A = – 4(m–1)m; B =
2
3
; C = 20
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) P
n
– P
n–1
= (n–1)P
n–1
b)
1 2 2 1
( 1) ( 2) 2 1
n n n
P n P n P P P
− −
= − + − + + + +
c)
1 1 1 1
1 3
1! 2! 3! !n
+ + + + + <
d)

2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
= +
− −
Bài 3: Giải phương trình:
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
− −
=
+
ĐS: x = 2; x = 3
Bài 4: Giải bất phương trình:
1 5 ( 1)! .( 1)!
. 5
2 1 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!
n n n
n n n n n
 
+ −
− ≤
 ÷
− + − − −
 
(1)
ĐS: (1)

⇔

( 1)
5
6
n n−
≤
⇒
n = 4, n = 5, n = 6
Bài 5: Giải các phương trình:
a) P
2
.x
2
– P
3
.x = 8 b)
1
1
1
6
x x
x
P P
P
−
+
−
=
Trang 23

Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3
Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi
trong các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?
ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!
Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi
trong các số đó có bao nhiêu số:
a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135?
ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118.
Bài 8: Với mỗi hoán vò của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất
cả các số tự nhiên có được từ các hoán vò của 7 phần tử trên?
ĐS: Với mọi i, j
∈

{ }
1,2,3,4,5,6,7
, số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.
⇒
Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).10
6
= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+10
6
)
Bài 9: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vò của 6 chữ
số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ĐS: 279999720.
Bài 10: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các

quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn?
c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
ĐS: a) P
12
b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!)
Bài 11: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp
ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1?
c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?
ĐS: a) Q
8
= 7! b) Q
7
= 6! c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp
Bài 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
ĐS:
8! 7
3! 3!
−
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3
chữ số này bằng 9.
ĐS: 18.
Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi
trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh
nhau?
ĐS: 480.
Bài 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế
dài sao cho:

a/ Bạn C ngồi chính giữa?
b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: a/ 24. b/ 12.
Trang 24

Bài 16: Một hội nghò bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh
4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành
viên sao cho người cùng quốc tòch ngồi gần nhau?
ĐS: 143327232000.
Bài 17: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 86400. b/ 2903040.
Bài 18: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
chỗ ngồi nếu:
a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 34560. b/ 120960.
Bài 19: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm,
biết rằng trong đó phải có 5 em đònh trước đứng kề nhau?
ĐS: 4838400.
Bài 20: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối
11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng
thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối
đuôi nhau có cùng một đề?
ĐS: 26336378880000.
Bài 21: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác
nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên
thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
ĐS: 298598400.

Bài 22: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để
có:
a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS: a/ 2.29!. b/ 28.29!.
Bài 23: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ
số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng
một lần?
ĐS: 3360.
Bài 24: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
ĐS: 5880.
Bài 25: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4,
5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý?
ĐS: a/ 120. b/ 3024.
III. Chỉnh hợp
1. Chỉnh hợp (không lặp):
Trang 25