tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
ThS. Trần Mạnh Hân
Bài 1. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có:
. . . 0AB CD AC DB AD BC+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(Hệ thức Ơ-le)
Nhận xét: Có thể dùng hệ thức Ơ le để chứng minh: Trong tam giác ba đường cao
đồng quy
Bài 2. Trong tam giác ABC, trung tuyến AM, chứng minh rằng:
a)
2 2
1
.
4
AB AC AM B C= -
uuur uuur

b)
2 2 2
2
2( )
4
AB AC BC
AM
+ -
=
Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Chứng minh rằng:
a)
( )
2 2 2 2 2 2
1

3
GA GB GC a b c+ + = + +
(Hệ thức Lepnit)
b)
2 2 2 2 2 2
3
( )
4
a b c
m m m a b c+ + = + +

Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AC, BD. Chứng minh
rằng
2 2 2 2 2 2 2
4AB BC CD DA AC BD IJ+ + + = + +
.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2
1
. ( )
2
AB AC AB AC BC= + -
uuur uuur

b)
2 2 2
2 . .cosBC AB AC AB AC A= + -
Bài 6. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
2 2 2 2 2 2 2

3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + +

Nhận xét: Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) thì:
2 2 2 2 2
3( )R OG GA GB GC- = + +

Bài 7. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng
2 2 2
aIA bIB cIC abc+ + =
b) Nếu M là 1 điểm bất kì ta có
2 2 2
aMA bMB cMC abc+ + ³
Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa mãn
0,MA MB MCa b g+ + =
uuur uuur uuur r
( 0)a b g+ + ¹
. Chứng minh với M bất kì ta có (công thức Gia-cô-bi)
a)
2 2 2 2 2 2 2
( )MA MB MC IA IB IC MIa b g a b g a b g+ + = + + + + +

b)
2 2 2
2 2 2
c a b
IA IB IC
ab bg ga
a b g
a b g

+ +
+ + =
+ +

c)
1a b g+ + =
, ta có
2 2 2 2 2 2 2
( )MI MA MB MC c a ba b g ab bg ga= + + - + +

Bài 9: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O; R). Tìm trên đường
tròn điểm có tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác là
lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). D là trung điểm của
AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng
OE CD^
.
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E, F là các điểm xác định bởi
1
;
3
B E BC=
uuur uuur
1
2
CF CD= -
uuur uuur
, đường thẳng AE cắt BF tại I. Chứng minh rằng
·
0

90AIC =
.
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). B’ là
điểm đối xứng của B qua O. (I) tiếp xúc với các cạnh BA, BC tại P, Q. Trên BA,
BC lấy các điểm K, L sao cho BK = CQ, BL = AP. Chứng minh rằng B’I
^
KL.
Bài 13: Cho hai điểm A, B cố định, vec tơ
0a ¹
r
r
không đổi và số thực k. Tìm tập
hợp các điểm M sao cho:
a)
.MA MB k=
uuur uuur

b)
.AM a k=
uuuur r

Bài 14: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
( )( 2 3 ) 0MB MC MA MB MC+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 15: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
2 2 2
0MB MC MA+ - =
(1)

b)
2 2 2
2 0MB MC MA+ - =
(2)
Bài 16: Cho 2 điểm A, B phân biệt và số dương
1k ¹
. Tìm tập hợp các điểm M
sao cho
MA
k
MB
=
.
Bài 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta
có:
2 2 2 2 2 2
. . .MA MB MC MAGA MB GB MC GC GA GB GC+ + ³ + + ³ + +

Bài 18: Cho tam giác ABC. Gọi O, H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và
trực tâm tam giác ABC. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng
2 2 2
4AH R a= -

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm H là trung điểm của BC, D là hình
chiếu của H lên AC. M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM
^
BD.
Bài 20. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R).
Đặt
, ,AB c BC a CA b= = =

. Chứng minh rằng
3 3a b c R+ + £
.
Bài 21. Cho tam giác ABC, I là điểm xác định bởi
2 0IA IB IC+ - =
uur uur uur r

a) Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2MA MB MC MI IA IB IC+ - = + + -
với M là
điểm tùy ý. Suy ra vị trí của M để biểu thức
2 2 2
2MA MB MC+ -
nhỏ nhất.
b) Tính
2 2 2
2IA IB IC+ -
trong trường hợp tam giác đều cạnh a.
Bài 22. Cho tam giác ABC, điểm M tùy ý
a) Chứng minh rằng vec tơ
2 3m MA MB MC= + -
ur uuur uuur uuur
độc lập với M.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 3 2 .MA MB MC MO m+ - =
uuur ur
.
c) Tìm tập hợp những điểm M sao cho

2 2 2
2 3MA MB MC+ =
.