Ôn tập chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

ÔN TậP chơng II
Tóm tắt kiến thức trọng tâm
1.
Giá trị lợng giác của 1 góc
a) Định nghĩa:
0
0

(
0



180
) , ta xác định điểm M trên
- Với mỗi góc
nửa đờng tròn đơn vị sao cho góc MOx . Giả sử
điểm M có täa ®é (x;y). Khi ®ã:
I.

sin   y; cos   x
sin 
cos 
 cos  0; cot  
 sin  0
tan  
cos 
sin 


b) TÝnh chÊt:

NÕu hai gãc bï nhau th× sin cđa chúng bằng
nhau, còn côsin, tang và côtang của chúng đối
nhau, nghÜa lµ:


cos180
tan 180
cot 180


    cos 
    tan 
    cot 

sin 1800   sin 
0

0

0


2. Tích vô hớng của hai vectơ


a) Định nghÜa: a.b  a . b . cos a; b

 

b) TÝnh chÊt:

 
1)a.b b .a
 

2)(ka ).b k (a.b )
    
3)a.(b  c ) a.b  a.c
  
4)a  b  a.b 0
2  2
5)a  a


c) Biểu thức toạ độ của tích vô hớng và
khoảng cách giữa hai điểm



1) Nếu a ( x1 ; y1 ), b ( x2 ; y2 ) th×


a.b  x1 x2  y1 y2
2) NÕu M ( xM ; y M ), N ( x N ; y N ) th×
2

MN  ( x N  xM )  ( y N  yM )

2

3. Định lý côsin trong tam giác
a) Định lý:

a 2 b 2  c 2  2bc cos A
b 2 a 2  c 2  2ac cos B
2

2

2

c a  b  2ab cos C

b) HƯ qu¶:

b2  c2  a2
cos A 
2bc


4. Định lý sin trong tam giác

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

5. Công thức trung tuyến của tam giác
2

2

2

b c
a
m 

2
4
2
a


6. Các công thức tính diện tích tam giác
1
1
abc
S aha  ab sin C 
 pr  p( p a)( p b)( p c)
2
2
4R

Trong đó:
p là nửa chu vi
r là bán kính đờng tròn nội tiếp

R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp


II. Câu hỏi tự kiểm tra

1.

Phát biểu định nghĩa tích vô hớng của hai vectơ. Khi nào thì
tích vô hớng của hai véctơ là số dơng, là số âm, bằng 0?
Trả lời


Tích vô hớng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b




đợc xác ®Þnh bëi
a.b  a . b cos a; b

 

-TÝch vô hớng của hai véctơ là số dơng nếu góc giữa hai véctơ là
góc nhọn;
-Tích vô hớng của hai véctơ là số âm nếu góc giữa hai vectơ là
góc tù;
- Tích

nhau.

vô hớng của hai véc tơ bằng 0 khi hai vectơ vuông góc với


2) Để giải tam giác ta thờng dùng định lý
côsin trong những trờng hợp nào? Dùng định
lý sin trong những trờng hợp nào?

Trả lời
- Ta dùng định lý côsin trong trờng hợp tam giác đó
biết hai cạnh và một góc xen giữa hoặc để tìm góc
khi biết 3 cạnh của tam giác.
- Dùng định lý sin trong trờng hợp tam giác đó biết
3 cạnh hoặc biết hai góc và 1 c¹nh kỊ hai gãc Êy


3. Cho biết độ dài 3 cạnh của tam giác. Làm thế nào để tính
a) Các góc của tam giác?
Trả lời: Dùng hệ quả định lý côsin

b) Các đờng cao của tam giác?
Trả lời: - Tính S theo công thức Hêrông
1
- Tính h bằng công thức S aha
2

c) Bán kính đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác?
Trả lời: Dùng các công thức tính diện tích tam giác
d) Tính diện tích tam giác?
Trả lời: Bằng công thức Hêrông

4. Trong mặt phẳng tọa độ, biết tọa độ 3 đỉnh của
tam giác, làm thế nào để tìm chu vi, diện tích, tọa
độ trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác?
Trả lời
- Tìm chu vi bằng cách dùng công thức khoảng cách để tìm các
cạnh của tam giác
- Tìm diện tích bằng cách:
+ Dùng CT Hêrông sau khi biết 3 cạnh của tam giác;
+ Dùng CT tích vô hớng để tìm toạ độ chân đờng cao rồi tính đ
ờng cao....
- ...


Bài tập 1: Chứng minh các công thức:
1 
a )a.b   a  b 
2
  1   2
b)a.b   a  b 
4

 2 
a b 

 2 
a b 


Bµi lµm: Ta cã

 2   2 2 2
 2 2




a) a  b  a  b a  b  2a.b  a  b  2a.b
  1  2 2  2 
 a.b   a  b  a  b 

2





2
2



b) a  b  a  b  a  b 2  a  b 2 4a.b



 

  1   2  2 
 a.b   a  b  a  b 


4




Bài tập 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
a) CMR víi mäi M ta lu«n cã:
MA2  MB 2  MC 2 3MG 2  GA2  GB 2  GC 2

Bµi lµm: Ta cã
MA2  MB 2  MC 2 ( MG  GA) 2  ( MG  GB) 2  ( MG  GC ) 2
2

3MG  GA  GB  GC  2 MG (GA  GB  GC )
2

3MG  GA  GB GC

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho
trong ®ã k lµ mét sè cho tríc.

MA2  MB 2  MC 2 k 2


Bµi lµm:
MA2  MB 2  MC 2 k 2  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2 k 2
1
 MG 2   k 2  GA2  GB 2  GC 2 
3

VËy:
•NÕu k 2  GA2  GB 2  GC 2 th× tËp hợp điểm M là đờng tròn tâm G
bán kính

k 2  GA2  GB 2  GC 2
3

•NÕu k 2 GA2 GB 2 GC 2 thì tập hợp ®iĨm M chØ gåm mét ®iĨm G
•NÕu k 2  GA2 GB 2 GC 2 thì tập hợp điểm M là tập rỗng


a) Chøng minh

AI  CC '

Ta sÏ chøng minh
B’
I

0=

AI .CC

'

B
A
C’
J
C

C
E

Bµi 11

A

O

2

PC /( O ) CE CA.CB
2

PC /( O ') CF CA.CB
suy ra CE = CF

F
O’
B


Bài 12:
a) Gọi E, F lần lợt là trung điểm cña AB, CD

C

Ta cã AB 2  CD 2 (2 AE ) 2  (2CF ) 2

4( AO 2  OE 2  CO 2  OF 2 )

O

F

4(2 R 2  (OE 2  OF 2 ))
2

A

2

4(2 R  OP )
8R 2 4OP 2

không đổi

P

E

D

2
2
2
2
2
2

b) PA PB  PC  PD ( PA  PB )  ( PC  PD)  2 PA.PB  2 PC.PD

( PA  PB ) 2  ( PC  PD ) 2  2 PA.PB  2 PC PD
 AB 2  CD 2  4 PP /(O )
8 R 2  4 PO 2  4( PO 2  R 2 )
4 R 2 không phụ thuộc vào vị trÝ P

B