hình học tọa độ không gian - châu thanh hải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (214.03 KB, 11 trang )
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
1. Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng ⊂ hoặc cùng // với một mặt
phẳng.
2. Định lí: Cho 3 vectơ ⃗, ⃗, ⃗ trong đó ⃗, ⃗ khơng cùng phương. Khi đó 3 vectơ ⃗, ⃗, ⃗ đồng phẳng khi và
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
khi chỉ khi tồn tại các số m, n sao cho
⃗= .⃗+ .⃗
→
3. Định lí: Cho 3 vectơ ⃗, ⃗, ⃗ khơng đồng phẳng . Khi đó với mọi vectơ ⃗ ta đều có: =
4. Biểu thức tọa độ của điểm và vectơ: ( ; ; ), → = ( ; ;
→
→
* M(x;y;z)⇔ ⃗ = . ⃗ + . + . .
→
* → ± = ( ± ; ± ; ± ). * . → = (
;
;
=
→
⎯
=
*→= ⇔
*
= ( − ; − ; − ).
=
* Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k ⇔ ⃗ = . ⃗.
→
* Tích vơ hướng của 2 vectơ: → . = . + . + .
* Độ dài của vectơ : → =
+ + .
),
trong đó bộ 3 số m, n, k là duy nhất.
=
(
→
* Góc giữa 2 vectơ khác không: cos → ;
=
* Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là
* Lưu ý, góc giữa 2 đường thẳng : cos(
→
* ⃗ ⊥ ⃗ ⇔ →. = 0 ⟺
;
−
→.→
) +(
→.→
=
) = cos
.
⎯
;
−
⎯
)
→
=( ;
⇔
) +(
.
.
=
;
.
⎯
⎯
.
.
⎯
−
⎯
=
)
⎯
)
⃗= .
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
.
.
=
=
=
⃗+ ⃗+ →
⃗
− .
1−
− .
1−
− .
1−
⎯
⃗ ( ℎá →) ⇔ → = . →.
* ⃗ ù
ℎươ
0
→
5. Tích có hướng của 2 vectơ và ứng dụng: Cho 2 vectơ → = ( ; ; ), = ( ; ; ).
Tích có hướng của 2 vectơ ⃗ à ⃗ là vectơ → được tính bởi cơng thức sau:
+
→=
⃗; ⃗ = − ⃗; ⃗ .
* ⃗ ù
Tính chất:*
.
ℎươ
⃗ ⇔
.
+
⃗; ⃗ =
.
⃗
⃗; ⃗ = 0.
=
Ứng dụng: * Diện tích hình bình hành ABCD :
* Diện tích tam giác ABC:
= 0.
*
=
⃗; ⃗
* Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ :
⃗;
* Thể tích tứ diện ABCD : =
* ⃗ , ⃗, → đồng phẳng ⇔
* , , ,
;
⃗; ⃗ . → = 0.
*
=
⃗.
.
;
⃗; ⃗ ⊥ ⃗, ⃗; ⃗ ⊥ ⃗
⃗;
→
⃗; ⃗ = | ⃗|. ⃗ . sin → ; .
⃗
⃗
⃗;
⃗.
⃗
không đồng phẳng (là 4 đỉnh của một tứ diện) ⇔
⃗,
⃗,
⃗ không đồng phẳng.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
→
a
- Vectơ → ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
→ vng góc với (P), kí hiệu → ⊥ ( ).
[a;b]
nếu giá của nếu vectơ
- Vectơ → được gọi là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P)
b
→ song song hoặc trùng với (P).
nếu giá của nếu vectơ
(P)
→ = ( ; ; ),
- Nếu mặt phẳng (P) có 2 vectơ chỉ phương
→
→
= ( ; ; ) khác 0 , và khơng cùng phương. Lúc đó mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
→ = ⃗; ⃗ =
;
;
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
+
+
+ = 0, ( +
+
≠ 0).
Chú ý: *Từ phương trình tổng quát của mp (P) ta xác định được một vectơ pháp tuyến ⃗ = ( ; ; )
* Mặt phẳng (P) đi qua điểm ( ; ; ) và nhận → = ( ; ; ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình
tổng qt là: ( − ) + ( − ) + ( − ) = , ( +
+
≠ 0).
* Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm ( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; ) có phương trình:
+
+ = 1. ( ℎươ
3. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng (P):
+
+
+
a. (P) cắt (Q)⇔ (
c. (P) ≡(Q)⇔
=
:
:
=
)≠(
=
.
:
:
).
ì ℎ
= 0, (Q):
ặ
ℎẳ
+
ℎắ )
đ ạ
+
d. (P) ⊥(Q)⇔
b. (P) // (Q)⇔
+
=
.
= 0. Lúc đó:
=
+
.
≠
+
.
.
=0
*Chùm mặt phẳng: Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của (P) và (Q) đều có phương trình:
(
+
+
+ )+ (
+
+
+ )= 0(
+
≠ 0).
*Phát hiện nhanh: mp: 2x+3y+7=0 là mặt phẳng //oz, mp:3y+2z+9=0 //ox, mp:2y+9=0//mặt phẳng(xoz).
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Cho mặt phẳng (P):
+
+
+ = 0, ( +
+
≠ 0), điểm ( ; ; ). Khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (P) được tính bởi cơng thức:
+
+
+
= 0, (P’):
+
+
,( ) =
+ ′ = 0 là
|
( ); ( ) =
.
|
|
|
.
* Chú ý: Theo cơng thức trên ta có thể chứng minh rằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (P):
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1. Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng (D) đi qua điểm ( ; ; ) và có vectơ chỉ
= +
→ = ( ; ; ) có phương trình tham số là:
= +
( + +
phương
≠ 0)
= +
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Đường thẳng (D) đi qua điểm ( ; ; ) và có vectơ chỉ
( . . ≠ 0).
phương → = ( ; ; ) có phương trình chính tắc là:
=
=
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Đường thẳng (D) là giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau
(P) và (Q) có phương trình (P):
+
+
+
= 0, (Q):
+
+
+
= 0.
+
+
+
=0
Điểm ( ; ; ) ∈ ( ) ⇔ Tọa độ ( ; ; ) thỏa hệ phương trình
(1)
+
+
+
=0
Hệ phương trình (1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng (D).
Từ phương trình tổng qt của đường thẳng (D) ta có thể xác định được một vectơ chỉ phương là
→ = [ ⃗; ⃗] =
;
;
4. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (Δ ) đi qua diểm
, (Δ ) đi qua diểm
và có vectơ chỉ phương . Ta có các trường hợp sau:
⃗ = 0.
* (Δ ) và (Δ ) cùng nằm trong 1 mặt phẳng ⇔
,
.
* (Δ ) và (Δ ) chéo nhau ⇔
* (Δ ) và (Δ ) cắt nhau ⇔
* (Δ ) song song (Δ ) ⇔
* (Δ ) ≡ (Δ ) ⇔
,
,
,
,
,
,
.
.
⃗ ≠ 0.
⃗
≠0 ↔
⃗
=0
⃗
⃗ ≠0
⃗
=0
⇔
⃗
⃗ =0
⃗=0
⇔
∥
∦
∦
.
∥
và có vectơ chỉ phương
⃗
⃗
∥
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng : (Δ) đi qua diểm và có vectơ
chỉ phương → và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến →. Ta có các trường hợp sau:
→.→ = 0
* Đường thẳng (Δ) ∥ ( ) ⇔
.
∉( )
→.→ = 0
* Đường thẳng (Δ) ⊂ ( ) ⇔
∈( )
* Đường thẳng (Δ) cắt mặt phẳng ( ) ⇔ → . → ≠ 0.
* Đường thẳng ( ) ⊥ ( ) ⇔ → ∥ →.
6. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
* Cho đường thẳng : (Δ) đi qua diểm và có vectơ chỉ phương →. Lúc đó khoảng cách từ điểm A đến
,
đường thẳng (Δ)được tính bởi công thức:
,( ) =
* Cho 2 đường thẳng chéo nhau: +(Δ ) đi qua
⎯ →
,
→
.
có VTCP
và (Δ ) đi qua
(
,
)=
,
.
,
⃗
7.Góc: *Góc giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (Δ ) có VTCP → và (Δ ) có VTCP
→→
→;→ = . = | .
giữa 2 đường thẳng được tính bởi công thức sau:
=
→ →
khoảng cách giữa 2 đường thẳng được tính theo cơng thức sau:
. Lúc đó
có VTCP
.
.
→
. Lúc đó góc
.
.
.
|
* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng (Δ) có VTCP → = ( ; ; ) và mặt phẳng (P)
có VTPT là ⃗ = ( ; ; ). Lúc đó góc hợp bởi (Δ) và (P) được tính theo cơng thức sau:
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
→.→
| . + . + . |
= → → =
.
√ +
+ .√ +
+
* Góc giữa 2 mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:
⃗ = ( ; ; ) . Lúc đó góc hợp bởi (P) và (Q) được tính theo cơng thức sau:
=|
=
→;→
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
( ⃗; ⃗)| =
|
=
⃗|
| ⃗. ⃗|
⃗|.|
|
.
.
.
.
|
.
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
1. Phương trình mặt cầu: có 2 dạng
ạ 1: ( − ) + ( − ) + ( − ) = . Tâm ( ; ; ) và bán kính .
ạ 2: +
+ − 2 − 2 − 2 + = 0, với điều kiện
+ +
−
⃗=(
;
;
),
> 0. Lúc đó tâm
của mặt cầu có tọa độ ( ; ; ) bán kính = √ + + − .
2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ): ( − ) + ( − ) + ( − ) = , ( ):
+
+
+ = 0. Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và
bán kính R. Ta có các trường hợp sau:
a)
, ( ) > : (P) không cắt (S).
b)
, ( ) = : (P) tiếp xúc với (S).
, ( ) < : (P) cắt (S) theo đường trịn (C) có phương trình là:
( − ) +( − ) +( − ) =
+
+
+ =0
, với
Đường trịn (C) có tâm H là hình chiếu vng góc của I lên mặt phẳng (P) và bán kính = √ −
=
,( ) .
3. Chùm mặt cầu: *Cho 2 mặt cầu giao nhau (giao tuyến là một đường trịn hoặc 1 điểm) có phương trình:
( ): +
+ −2
−2
−2
+
=0
( ): +
+ −2
−2
−2
+
=0
Lúc đó phương trình mặt cầu ( ) đi qua giao tuyến của ( ) à ( ) là :
( ): ( +
+ −2
−2
−2
+ )+ ( +
+ −2
−2
−2
+ )=0
với
+
≠ 0.
Tương tự ta cũng suy ra phương trình mặt cầu chứa đường tròn ( ) = ( ) ∩ ( ) (với (S) có phương trình
dạng 2, (P) có phương trình như trên) có dạng:
( ): +
+ −2 −2 −2 + + ( +
+
+ )=0
* Chú ý: Từ vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ta có thể giải bài tốn sau:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : = | +
+
+ | ớ ( , , ) ℎỏ
ã đề
ệ : +
+
− 2 − 2 − 2 + = 0, ( + + − > 0).
c)
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
⃗,
N Một vài phương pháp giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng : N
⃗,
VTPT: ⃗ =
⃗, →
⃗,
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Giải: Tính
⃗ . Từ đó phương trình tổng quát (P): ....
phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B, C) có cặp vectơ chỉ phương
⃗,
⃗ . Mặt
⃗ . Do đó (P) có
*lưu ý: Nếu A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) thì phương trình (ABC): + + = 1(pt mặt phẳng đoạn chắn)
[ ⃗,
⃗ ]. Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B) có cặp vectơ chỉ phương
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B, và (P) //CD . Giải: Tính
⃗,
(P) có VTPT: ⃗ =
⃗,
trình của đường thẳng (∆) suy ra vectơ chỉ phương: ∆ Sau đó tính tích có hướng
⃗.
⃗
∆
⃗,
⃗, →
⃗ . Do đó
⃗ . Từ đó phương trình tổng qt (P):... (kiểm tra lại (P) có thoả ycbt khơng?)
⃗
∆
Bài tốn 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B, và (P) //(∆) . Giải: Tính
⃗,
⃗,
cần tìm là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B) có cặp vectơ chỉ phương
⃗,
⃗.
∆
⃗ , từ phương
Do đó (P) có VTPT: ⃗ =
. Mặt phẳng (P)
Bài tốn 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (đi qua) đường thẳng (∆ ) và (P) //(∆ ) . Giải: Từ
. Từ đó phương trình tổng qt (P):...(kiểm tra lại (P) có thoả ycbt khơng?)
phương trình của đường thẳng (∆ ), (∆ ) suy ra (∆ ) đi qua
⃗ . Sau đó tính tích có hướng [ ⃗,
⃗]. Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm
⃗. Do đó (P) có VTPT: ⃗ = [ ⃗,
vectơ chỉ phương ⃗,
phương
,vectơ chỉ phương: ⃗, (∆ ) có vectơ chỉ
⃗]. Từ đó phương trình tổng qt (P):...
có cặp
Bài tốn 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (∆ ) và (∆ ). Giải: Trước hết kiểm tra
xem vị trí tương đối của (
* Nếu (
), (
).
* Nếu (
)≡(
) chéo (
) thì có vơ số mặt phẳng thoả u cầu bài tốn.
* Nếu (
)∥(
) ℎì ( ) đ
* Nếu (
qua
( ) ó
∈(
) cắt (
⃗
[ ⃗, ⃗] = 0
) ℎ ặ
⃗=
(
) thì khơng tồn tại mặt phẳng thoả ycbt.
) thì tồn tại duy nhất mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng (
⃗,
)//(
∈(
) , ó ặ
∈(
⃗ hoặc ⃗ =
).
à
) ℎ ặ
⃗,
⃗, ⃗ ⟹ ⃗ = [ ⃗,
∈(
) ó ặ
⃗].
) à(
à
⃗ . Tuyệt đối không được dùng
⃗,
). Mặt phẳng (P)
⃗ ⇒
⃗ = [ ⃗, ⃗], vì lúc đó
Bài tốn 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (đi qua) đường thẳng (∆ ) và (P) ⊥ ( ) . Giải: Từ
phương trình của đường thẳng (∆ ), suy ra (∆ ) đi qua
suy ra (Q) có VTPT
⃗ . Sau đó tính tích có hướng
⃗,
,vectơ chỉ phương: ⃗, từ phương trình mp( )
⃗ . Mặt phẳng (P) chứa (∆ ) nên (P) có 1 vectơ
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
chỉ phương là ⃗, (P) ⊥ ( ) nên (P) có thêm 1 vectơ chỉ phương nữa là
⃗,
⃗. Do đó (P) có VTPT: ⃗ =
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
⃗ . Từ đó phương trình tổng qt (P):...
Bài tốn 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và (P) ⊥ ( ), (P) ⊥ ( ) . Giải: Từ phương
trình mp( ), mp(R) suy ra (Q) có VTPT
⃗ , (R) có VTPT: ⃗ . Ta có (P) ⊥ ( ), (P) ⊥ ( ) nên (P) có 2
⃗, ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ =
⃗,
⃗ . Từ đó phương trình tổng qt (P):...
Bài tốn 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và (P) chứa đường thẳng (∆). . Giải: Từ
vectơ chỉ phương nữa là
phương trình (∆), suy ra ∆ đi qua
) có cặp vectơ chỉ phương là
quát (P):...
và có vectơ chỉ phương: ∆ Khi đó mặt phẳng (P) qua điểm A (hoặc
⃗.
⃗, ∆ . Do đó (P) có VTPT: ⃗ =
⃗
⃗, ∆ . Từ đó phương trình tổng
⃗
Bài tốn 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (chứa) giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R) và (P) đi
á
( ) +
á
( ) = 0, (
+
≠ 0). Cho (P) đi qua điểm A ta được 1
qua A . Giải: Do mặt phẳng (P) đi qua (chứa) giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R) nên phương trình (P) có
phương trình: ?
dạng chùm :
+? ?
ể
=0→
=? ?? → ℎọ
ế
,
Bài tốn 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B ( hoặc chứa đường thẳng ∆) và khoảng
. Từ đó phương trình tổng qt (P):...
(P) hợp với (Q) 1 góc cho trước,..). Giải: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB (hoặc ∆) (tức là
cách từ điểm I cho trước đến mặt phẳng (P) bằng hằng số cho trước ( hoặc có thể thay bởi điều kiện khác: “
AB hay ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R)). Do đó mặt phẳng (P) đi qua A,B (hoặc chứa) ∆ nên
( ) +
( ) = 0, (
+
≠ 0). Sử dụng thêm điều kiện
( , ∆) = , hoặc điều kiện (P) hợp với (Q) 1 góc cho trước,.. ta được 1 phương trình: ?
phương trình (P) có dạng chùm :
? ?? → ℎọ
,
Bài tốn 11: Viết phương trình hình chiếu (
+? ?
=0→
) vng góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Giải:
. Từ đó phương trình tổng quát (P):...
=
Từ phương trình của (d) suy ra (d) đi qua A và có VTCP: ⃗, từ phương trình (P) suy ra (P) có VTPT: ⃗. Gọi
(Q) là mặt phẳng chứa (d) và ( ) ⊥ ( ). Lúc đó (Q) đi qua A và có cặp VTCP là ⃗, ⃗ , suy ra (Q) có VTPT:
⃗ = [ ⃗, ⃗]. Do đó ta viết được phương trình tổng quát của (Q). Hình chiếu của (d) lên mặt phẳng (P) chính
là giao tuyến của (P) và (Q). Phương trình tổng quát của hình chiếu(
PTTS, hoặc PTCT nếu đề yêu cầu.
(
), (
). Giải: Từ 2 phương trình của (
), (
), suy ra (
) đi qua
)
ì ℎ
ì ℎ
( )
, có thể đổi về
( )
và có VTCP: ⃗, (
) đi qua
Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A và vng góc với 2 đường thẳng
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
và có VTCP ⃗. Ta có (D) vng góc với (
), (
) nên (D) có VTCP:
⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng (
số (D):...
// (P). Giải: Từ phương trình của (
⃗. Ta có
( )⊥( )
→
( )∥( )
) suy ra (
) đi qua
⃗⊥ ⃗
. Do đó ta chọn
⃗⊥ ⃗
) và (D)
và có VTCP: ⃗, từ pt (P) suy ra (P) có VTPT
⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham số (D):...
⃗⊥ ⃗
. Do đó ta
⃗⊥ ⃗
( )∥( )
→
( )∥( )
Bài tốn 14: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A, (D) //mp(P) và (D)//mp(Q). Giải: Từ
phương trình của ( ), (Q) suy ra 2 VTCP tương ứng là:
⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham số (D):...
⃗,
⃗. Ta có
Bài tốn 15: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A,cắt 2 đường thẳng (
chọn
Cách1: Viết phương trình 2 đường thẳng (
(∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ (
). Tính
), (
⃗,
) về PTTS, Từ đó gọi
⃗,
⃗,
⃗
0. Giải hệ 2 ẩn 2 phương trình ta được t và t’, suy ra
( )=
( ;
), ( ) =
MN qua A có VTCP là
), (
(∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) ,
⃗ . Ta có A, M, N thẳng hàng ⇔
(∆) đi qua A, cịn chỉ cần kiểm tra lại (∆) có cắt (
⃗
∆
∦
⃗
∆ ∦
⃗
là xong).
⃗
) à(
) khơng. ( vì
(∆), (
(∆), (
( )
. lưu ý rõ ràng
( )
)⊂( )
nên chỉ cần kiểm
)⊂( )
Bài tốn 16: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A, cắt đường thẳng (
Giải: Từ phương trình của 2 đường thẳng ta suy ra (
phương trình đường thẳng (
Ta có AM⊥ (
)⇔
) về PTTS, Từ đó gọi
⃗⊥ ⃗⇔
⃗ =
). Giao tuyến (∆) của 2 mặt phẳng ( ) à ( ) chính là đường thẳng nghi
ngờ (99% (∆) là đường thẳng cần tìm). Ta thu được phương trình tổng quát của (∆):
tra
⃗,
⃗ . Đường thẳng (D) cần tìm chính là đường thẳng
⃗ → phương trình tham số (D):...Cách 2: Gọi mặt phẳng
( ;
). Giải:
) đi qua
và có VTCP: ⃗, (
⃗. ⃗ = 0. Giải phương trình 1 ẩn ta được t , suy ra
) có VTCP ⃗. Viết
⃗,
⃗ . Đường thẳng
⃗ → phương trình tham số (D):...
Bài tốn 17: Viết phương trình đường thẳng (D) cắt 2 đường thẳng (
) à ( )//(
).
(∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) , (1 ẩn t) Tính
(D) cần tìm chính là đường thẳng AM qua A có VTCP là
Cách1: Gọi (P) là mặt phẳng chứa (
) và ( ) ⊥ (
) ,(
)và ( )//(
) . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (
). Giải:
) à ( )//(
) . Viết
phương trình 2 mặt phẳng đó. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) chính là đường thẳng (D) cần tìm.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Cách 2: Từ phương trình của 3 đường thẳng ta suy ra (
thẳng (
Tính
ra
) có VTCP ⃗. Viết phương trình 2 đường
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
), (
) về PTTS, Từ đó gọi
⃗,
⃗, ⃗ . Ta có M N//(
(∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) ,
(∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ (
).
⃗
⃗ , ⃗ = 0. Giải hệ 2 ẩn 2 phương trình ta được t và t’, suy
) ⇔
⃗ . Đường thẳng (D) cần tìm chính là đường thẳng MN qua M (hoặc N) có VTCP là
⃗ → phương
trình tham số (D):...
Giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và ( ) ⊥ ( ). Lúc đó (P) qua A, có VTPT là ⃗ =
⃗⟹
Bài tốn 18: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’ của A qua (D) ) của điểm A lên đường thẳng (D).
( )
, nếu muốn tìm A’ đối xứng với A qua (D), do A’ đối
( )
của mặt phẳng(P). Tọa độ điểm H thỏa hệ:
2
−
= ⋯,
=2
xứng với A qua (D) nên H là trung điểm của AA’⟹
−
= ⋯,
=2
Giải: Gọi (D) là mặt phẳng đi qua A và ( ) ⊥ ( ). Lúc đó (D) qua A và có VTCP là
= ⋯,
=
⃗= ⃗⟹
Bài tốn 19: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’của A qua (P) ) của điểm A lên mặt phẳng (P).
số của đường thẳng (D). Tọa độ điểm H thỏa hệ:
2
−
tổng quát
−
= ⋯,
( )
, nếu muốn tìm A’ đối xứng với A qua (P), do A’
( )
đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’⟹
=2
−
= ⋯,
=2
−
tham
= ⋯,
=
Bài toán 20: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa độ điểm A. Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho MA nhỏ
nhất. Giải: Cách1: Từ pttsố của ( ) suy ra
( ) =
+ = ( )( ư ý
+
(∗ +? ;∗ +? ;∗ +? ) (1 ẩn t). Tính
↔ ( )
> 0). Ta có:
↔ =−
=( ) +( ) +
( ó ℎể ℎả
( ))
á
từ đó suy ra tọa độ điểm M. Cách 2: Điểm M cần tìm chính là hình chiếu của A lên đường thẳng (D). Để tìm
Bài tốn 21: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa độ 2 điểm A và B. Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho
tọa độ điểm M ta làm giống Bài toán 18.
−
+
=⋯=
nhỏ nhất. Giải: Cách1: Từ pttsố của ( ) suy ra
( ó ℎể ℎả
+
+
á
+ = ( )( ư ý
> 0). Ta có:
(∗ +? ;∗ +? ;∗ +? ) (1 ẩn t). Tính
+
nhỏ nhất ↔ ( )
↔ =
+
( )) từ đó suy ra tọa độ điểm M. Cách 2: Gọi H là trung điểm của AB suy ra tọa độ
nhỏ nhất ↔
điểm H. Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác MAB ta có:
+
=2
+
. Do
điểm M ta làm giống Bài tốn 18. Ta có thể tổng qt bài tốn lên: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa
đó:
nhỏ nhất↔ M là hình chiếu của H lên đường thẳng (D). Để tìm tọa độ
độ 3 điểm A, B và C.tìm M thuộc ( ) sao cho
+2
+3
nhỏ nhất.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Bài tốn 22: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ 2 điểm A, B. Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
+
+
=2
+
. Do đó:
+
nhỏ nhất ↔
nhỏ nhất. Giải: Gọi H là trung điểm của AB suy ra tọa độ điểm H. Theo công thức đường trung
tuyến trong tam giác MAB ta có:
nhỏ
tổng qt bài tốn lên: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ 3 điểm A, B,C. Tìm điểm M thuộc ( ) sao
nhất↔ M là hình chiếu của H lên mặt phẳng (P). Để tìm tọa độ điểm M ta làm giống Bài toán 19. Ta có thể
+2
+3
+ 2009
cho
− 2012
nhỏ nhất tìm M thuộc ( ) sao cho
+ 2009
+ 2010
nhỏ nhất hay
Bài toán 23: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ 2 điểm A, B. Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho
ế
+
á
lớn nhất ( giảng tại lớp ).
nhỏ nhất. Giải: Kiểm tra 2 điểm A, B có nằm cùng phía hay trái phía đối với ( ). đặt ( , , ) =
( ). Nếu ( ). ( ) < 0 ↔ ,
thỏa hệ
+
( )
≥
,
ℎí
ớ ( ),
+
ớ
ℎí . Trường hợp 1:
nhỏ nhất khi M nằm giữa A và B hay khi M là
. Trường hợp 2: Nếu A, B cùng phía so với (P) thì ta gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mặt
+
=
+
≥
nhỏ nhất ↔M nằm giữa A’ và B hay khi M là giao điểm của ′
phẳng (P), tìm tọa độ A’ (Bài tốn 18). Ta có
M ta viết phương trình đường thẳng A’B, tọa độ của M thỏa hệ
|
ạ ℎì ù
ượ
( ). Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ của M
Nếu A, B trái phía so với (P) thì
giao điểm của
+
á
′
.
( )
,
+
nhỏ nhất ↔
( ). Để tìm tọa độ điểm
ớ
Bài tốn 24: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ 2 điểm A, B. Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho
−
| lớn nhất. Giải: Kiểm tra 2 điểm A, B có nằm cùng phía hay trái phía đối với ( ). đặt
( , , )= ế
( ). Nếu ( ). ( ) < 0 ↔ ,
á
á
Trường hợp 1: Nếu A, B cùng phía so với (P) thì ta có |
, ,
−
ℎí
|≤
thẳng hàng và M nằm ngồi đoạn AB ↔ M là giao điểm của
ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ của M thỏa hệ
( )
ớ ( ),
,|
ớ
−
ượ
|
ạ ℎì ù
=
( ). Để tìm tọa độ điểm M
. Trường hợp 2: Nếu A, B trái phía so với
(P) thì gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P), tìm tọa độ A’ (Bài tốn 18). Lúc đó |
|
′−
đoạn ’
| ≤ ′ ,|
−
|
↔ M là giao điểm của ′
′ , tọa độ của M thỏa hệ
′
.
( )
=|
ớ
′−
|
= ′ ↔
↔
ℎí .
, ′,
−
|=
( ). Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng
thẳng hàng và M nằm ngoài
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Bài tốn 25: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A , cắt đường thẳng (
) và ( ) ⊥ (
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
). Giải:
Thực ra đây là bài tốn viết phương trình đường thẳng đi qua A và qua hình chiếu H của A lên đt (
Bài toán 26: Cho mặt phẳng (P) và 2 đường thẳng (
), (
toán 18)
trong mặt phẳng(P) và (D) cắt 2 đường thẳng (
( )
, gọi
( )
=( )∩(
), (
), tọa độ B thỏa hệ: :
) nằm trong mặt phẳng (P) , (
⃗, ⃗. Do
=( )∩(
) đi qua A và (
=( )∩(
), tọa độ A thỏa hệ: :
( )
. Đường thẳng cần tìm chính là đt AB.
( )
= ( ) ∩ ( ). Viết phương trình đường thẳng
) ⊥ ( ). Giải: Từ phương trình của (P) , (D) ta suy ra
( )
. Ta có
( )
), tọa độ A thỏa hệ: :
⃗ = [ ⃗, ⃗] , Đường thẳng (
). Viết phương trình đường thẳng (D) nằm
). Giải: Gọi
Bài toán 27: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng ( ), gọi
(
) đi qua A và có VTCP
⃗
⊥
⟺
⊂( )
.
⃗⊥ ⃗
. Ta
⃗ ⊥ ⃗.
Bài toán 28: Cho mặt phẳng (P), điểm A và đường thẳng ( ). Viết phương trình đường thẳng (
chọn
). (Bài
= ( ) ∩ ( ). Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB.
) đi qua
A song song với (P) đồng thời cắt đường thẳng (D). Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng qua A song song với (P),
Bài toán 29: Cho 2 đường thẳng chéo nhau (
gọi
thẳng (
), (
), (
) về dạng tham số. Gọi
Giải: Cách 1: Từ phương trình(
Tính
), (
).Viết phương trình đường thẳng vng góc chung.
) suy ra 2 VTCP tương ứng là:
(∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( ! ) ,
⃗ , khi đó MN là đường vng góc chung của (
), (
)⟺
⃗, ⃗. Viết phương trình đường
⊥
⊥
(∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ (
⟺
⃗⊥ ⃗
⟺
⃗⊥ ⃗
⃗. ⃗ = 0
Giải hệ này ( bấm máy) ta dược t và t’, suy ra tọa độ 2 điểm M, N, ọ độ
⃗. ⃗ = 0
vng góc chung là đường thẳng MN, phương trình tham số: ....
).
⃗ . Đường thẳng
Bài toán 30: Cho 2 điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ
≤
,
=
↔
≡
↔
( ) đi qua A và vuông
↔
( ) chứa (D) và vng góc với
B đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Ta ln có đường
vng góc bé hơn hoặc bằng đường xiên:
Bài toán 31: Cho điểm A và phương trình đường thẳng (D). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (∆)
góc với AB suy ra phương trình mặt phẳng (P).
(hay đi qua (∆)) sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu của A
lên mặt phẳng (P), gọi
hoặc bằng đường xiên:
≤
,
=
↔
≡
là hình chiếu của A lên đường thẳng (D). Ta ln có đường vng góc bé hơn
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
hay
⃗ làm vectơ pháp tuyến. Như vậy ta cần tìm tọa độ hình chiếu vng góc
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
(P) đi qua
và nhận
⃗ suy ra phương trình (P) cần tìm.
của A
Bài tốn 32: Cho phương trình mặt cầu (S), phương trình đường thẳng (∆). Viết phương trình mặt phẳng
lên đường thẳng (D) ( Bài tốn 17 ), sau đó tính
(P) chứa (∆) (hay đi qua (∆)) sao cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) là một đường trịn có bán kính bằng
cho trước. Giải: Từ phương trình (S) suy ra (S) có tâm ( ;
về dạng tổng quát: (∆)
+
+ )+ (
+
+
+
+
( , ) = 0. Theo Pytago ta có:
+
+
+
;
) và bán kính là . Viết phương trình (∆)
+ =0
, suy ra mặt phẳng (P) thuộc chùm nên có dạng:
+ =0
)=0(
,( ) = √
+
−
≠ 0) ↔ ( , ) + ( , ) + ( , ) +
=∗↔
|
√
, . từ đó xác định được phương trình (P) cần tìm. Đặc biệt: Nếu bán kính
tâm ( ;
;
(
|
=∗↔?
=
+? ?
+
= 0 →chọn
) của mặt cầu, yêu cầu bài tốn trở thành viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
(∆) và đi qua ( ;
;
).
thì mặt phẳng (P) đi qua
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây.
054.3931305__054.3811471__0935961321
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
