Các hướng tư DUY để giải toán hình học tọa độ KHông gian OXYZ

GIẢI ðÁP TOÁN CẤP 3 – THI ðẠI HỌC
THUẬT TOÁN TÌM ðIỂM
CÁCH VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH MẶT PHẲNG
CÁCH VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH ðƯỜNG THẲNG
CÁCH VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH MẶT CẦU

CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TRONG HÌNH HỌC OXYZ

Biên soạn: Thanh Tùng


*) Tóm tắt lý thuyết ñầy ñủ theo một trình tự logic và có hệ thống.
*) ðưa ra các hướng tư duy và phương pháp giải khái quát cho từng lớp bài toán.
*) Có bài toán mẫu minh họa ñi kèm.
*) Phần bài tập áp dụng có gợi ý.
*) Lời giải chi tiết cho từng bài toán cụ thể
(tham khảo thêm trên ).


BÀI TOÁN CỰC TRỊ
(tham khảo thêm)
H À N Ộ I 2 / 2 0 1 3
2

CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXYZ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

II. CÁC CÔNG THỨC VỀ ðỊNH LƯỢNG

3

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ðỐI GIỮA MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU.
4

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM

CÁC BÀI TOÁN MẪU
Trước khi làm các bài tập trong Chuyên ðề này thầy có một vài quy ước sau (ñể các em tiện theo dõi) :
+)
( )M t
∈∆
: ta ràng buộc tọa ñộ ñiểm M theo một ẩn là t.
+)
( )
a t
r
: ta ràng buộc tọa ñộ véc tơ
a
r
theo một ẩn là t.

+)
1 2
( , )
M t t
: ñiểm M có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn
1
t
và
2
t
.
+)
a
r
1 2
( , )
t t
: véc tơ
a
r
có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn
1
t
và
2
t
.
1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng
1 1
:

2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và hai ñiểm
(1; 1;2)
A
−
,
(2; 1;0)
B
−
. Xác ñịnh tọa ñộ

ñiểm M thuộc
d
sao cho tam giác
AMB
vuông tại
M
.

Hướng giải: +) Gọi
( )
M t d
∈

( )

( )
MA t
MB t


→



uuur
uuur

+) Khai thác dữ kiện bài toán ( tam giác
AMB
vuông tại
M
) :
. 0 ( ) 0 ?
MAMB f t t M
= ⇔ = ⇔ = ⇒
uuur uuur

Giải: +) Gọi
( 2 ; ;2 )
(1 2 ; 1 ; )
(1 2 ; ; )
MA t t t
M t t t d
MB t t t


= − −

+ − − ∈ ⇒

= − −


uuur
uuur

+) Tam giác
AMB
vuông tại
M

nên :
MA MB
⊥
uuur uuur


2 2
0
2 (1 2 ) (2 ) 0 6 4 0
2
3
t
t t t t t t t
t
=



⇔ − − + − − = ⇔ − = ⇔ ⇒

=

(1; 1;0)
7 5 2
; ;
3 3 3
M
M
−


 

−
 

 






5

2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñiểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M

thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.


Hướng giải:
+) Gọi
( ; ; ) ( ) 2 4 0
M x y z P x y z
∈ ⇒ − − + =
(1)
+) Khai thác dữ kiện bài toán (MA = MB = 3) :
3 ( , , ) 0 (2)
3 ( , , ) 0 (3)
MA f x y z
MB g x y z
= =
 
⇒
 
= =
 

+) Từ (1); (2) và (3)
, , ?
x y z M
⇒ = ⇒

Giải:
+) Gọi

( ; ; ) ( ) 2 4 0
M x y z P x y z
∈ ⇒ − − + =
(1)
+) Ta có: MA = MB = 3
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 0 (2)
9 ( 2) ( 1) 9
( 2) ( 3) 9 (3)
9 ( 2) ( 3) 9
x y z
MA x y z
x y z
MB x y z
+ − + =
 
= − + + − =

 
⇒ ⇒ ⇔
  
+ + + − =
= + + + − =
 

 

+) Từ (1) và (2)

2 2
3
x y
z y
= −

⇒

=

(*) . Thay (*) vào (3) ta ñược:
2 2 2
(2 2) ( 2) (3 3) 9
y y y
− + + + − =


2
1
7 11 4 0
4
7
y
y y
y
=


⇔ − + = ⇔ ⇒


=

(0;1;3)
6 4 12
; ;
7 7 7
M
M


 

−
 

 



BÀI TẬP ÁP DỤNG

1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−

và hai ñiểm
(1; 1;2)
A
−
,
(2; 1;0)
B
−
. Xác ñịnh tọa ñộ
ñiểm M thuộc
d
sao cho tam giác
AMB
vuông tại
M
. (ñã giải)
2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñiểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M
thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. (ñã giải)
3) (B – 2011: CB) Cho ñường thẳng
∆
:
2 1
1 2 1
x y z
− +
= =
− −
và mp (P) : x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao của
∆
và (P).

Tìm ñiểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với
∆
và MI =
4 14

4) ( B – 2011: NC) Cho ñường thẳng
2 1 5
:
1 3 2
x y z
+ − +
∆ = =
−
và hai ñiểm A(- 2; 1; 1), B(-3; - 1; 2). Tìm ñiểm M
thuộc
∆
sao cho tam giác MAB có diện tích bằng
3 5

5) (A – 2010: CB) Cho ñường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
− +
∆ = =
−
và mp (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao của
∆
với (P), M

là ñiểm thuộc
∆
. Tính khoảng cách từ M ñến (P), biết MC =
6

6) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với
, 0
b c
>
và mp (P): y – z + 1 = 0. Tìm b và c, biết mp
(ABC) vuông góc với mp (P) và kcách từ O ñến mp (ABC) bằng
1
3


7) (B –2010: NC) Cho ñường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
−
∆ = =
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách
từ M ñến
∆
bằng OM
6

8) (D – 2010:NC) Cho hai ñường thẳng
1

3
:
x t
y t
z t
= +


∆ =


=

và
2
2 1
:
2 1 2
x y z
− −
∆ = =
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc
1
∆

sao cho khoảng cách từ M tới
2
∆
bằng 1
9) (A – 2009 - NC) Cho mp (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai ñường thẳng

1
1 9
:
1 1 6
x y z
+ +
∆ = =
,
2
1 1 1
:
2 3 2
x y z
− − +
∆ = =
−
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiêm M thuộc ñường thẳng
1
∆
sao cho khoảng cách từ M ñến ñường
thẳng
2
∆
và khoảng cách từ M ñến mp (P) bằng nhau
10) (D – 2009: CB) Cho A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mp (P): x + y + z – 20 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm D thuộc
ñường thẳng AB sao cho ñường thẳng CD song song với mp (P)
11) (A – 2008) Cho ñiểm A(2; 5; 3) và ñường thẳng d:
1 2
2 1 2
x y z

− −
= =
. Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của ñiểm
A trên ñường thẳng d.
12) (B – 2008): Cho 3 ñiểm A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng
2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
13) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3). Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
14) (B – 2007) Cho mặt cầu (S) :
2 2 2
2 4 2 3 0
x y z x y z
+ + − + + − =

và mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0. Tìm tọa ñộ
ñiểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M ñến mp (P) lớn nhất.
15) (D – 2007) Cho hai ñiểm A(1; 4; 2),B(-1; 2; 4) và ñường thẳng :
1 2
:
1 1 2
x y z
− +
∆ = =
−
. Tìm tọa ñộ ñiểm M
thuộc
∆
sao cho
2 2
MA MB

+
nhỏ nhất
16) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng :
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
,
2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


= +


Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc

1
d
, N thuộc
2
d
sao cho 3 ñiểm A, M, N thẳng hàng.
17) (D – 2006) : Cho ñiểm A(1; 2; 3) và ñường thẳng :
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d
− + −
= =
−

Tìm tọa ñộ ñiểm A’ ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng d
18) (A – 2005) Cho ñường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
và mp (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm I thuộc d
sao cho khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (P) bằng 2.
19) (D – 2005) Cho hai ñường thẳng :
1

1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
;
2
:
d

3
4
2 2
x t
y t
z t
=


= −


= +

và mp Oxz cắt
1 2
,

d d
lần lượt tại
các ñiểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa ñộ ).

20) ( A – 2002) Cho ñường thẳng
1
: 2
1 2
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= +


Cho ñiểm M(2;1;4). Tìm tọa ñộ ñiểm H thuộc
∆
sao cho ñoạn
thẳng MH có ñộ dài nhỏ nhất
7

21) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt cầu (S) :
2 2 2
2 2 2 0
x y z x z

+ + − + − =
sao cho khoảng cách từ M ñến mặt phẳng
(P): 2x – 2y + z + 6 = 0 là lớn nhất, nhỏ nhất.
22) Cho hai ñường thẳng :
1
:
1 1 2
x y z
d
= =

2
1 2
:
1
x t
d y t
z t
= − −


=


= +


Xác ñinh tọa ñộ ñiểm M,N lần lượt thuộc
1
d

và
2
d
sao cho ñường thăng MN song song với mặt phẳng
(P) : x – y + z = 0 và ñộ dài ñoạn MN bằng
2
.
23) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2; -3; 1) trên mặt phẳng (P) : x + 3y – z + 2=0.
24) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2 ; -1; 1) trên ñường thẳng d :
1 2
1
2
x t
y t
z t
= +


= − −


=


25) Tìm hình chiếu của d:
2 6
1 1 4
x y z
− +
= =

−
trên mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z + 1 = 0

II. BÀI TOÁN 2: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN 2.1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG




8


CÁC BÀI TOÁN MẪU
1) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng :
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
,
2
1
: 1 2
2
x t

d y t
z t
= +


= − −


= +


Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ñồng thời song song với
1 2
,
d d
.


Phân tích:
+) Bài toán cho ñi qua ñiểm A(0; 1; 2) (biết một yếu tố - vẫn còn thiếu véc tơ pháp tuyến của (P))
+) Khai thác dữ kiện: “(P) ñồng thời song song với
1 2
,
d d
”
⇒

1 2
,
u u

ur uur
là cặp vtcp của (P)
⇒
( ) 1 2
,
P
n u u
 
=
 
uuur ur uur

Như vậy theo Hướng tư duy ở TH1 ta sẽ có lời giải như sau:
Giải: Từ phương trình của ñường thẳng
1 2
,
d d
ta có :
1
(2;1; 1)
u
= −
ur
và
2
(1; 2;1)
u = −
uur

mà (P) ñồng thời song song với

1 2
,
d d

( ) 1 2
, (1;3;5)
P
n u u
 
⇒ = =
 
uuur ur uur

Vậy phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A(0; 1; 2) và có
( )
(1;3;5)
P
n =
uuur
là:

( 0) 3( 1) 5( 2) 0
x y z
− + − + − =
hay
3 5 13 0
x y z
+ + − =

Kiểm tra kết quả:

(vì chúng ta khai thác bài toán chưa triệt ñể :
1 2
;
d d
có thể nằm trên (P) –
1 2
,
u u
ur uur
là cặp vtcp của (P) mới cho ta ñiều
kiện cần nhưng chưa ñủ nên ta phải có bước kiểm tra lại kết quả)
Chọn
1 1
(0;1; 1)
M d
− ∈
và
2 2
(1; 1;2)
M d
− ∈
. Ta có:
1 2
( ); ( )
M P M P
∉ ∉
1
2
/ /( )
/ /( )

d P
d P

⇒


(thỏa mãn)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
3 5 13 0
x y z
+ + − =



2) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt

phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2.


Phân tích:
+) Như vậy với dữ kiện của ñề bài ta không khai thác ñược yếu tố ñiểm. Thế còn véc tơ pháp tuyến ?
+) Dữ kiện: “mp (R) vuông góc với (P) và (Q)”
⇒

( ) ( )
,
P Q
n n
uuur uuur
là cặp vtcp của (R)

⇒
( ) ( ) ( )
, ( ; ; )
R P Q
n n n a b c
 
= =
 
uuur uuur uuur


⇒
mp (R):
0
ax by cz m
+ + + =
+) Cắt nghĩa dữ kiện: O ñến (R) bằng 2
( ) 0 ?
f m m
⇒ = ⇔ = ⇒
mp (R)
Với những phân tích trên ta sẽ ñi theo Hướng tư duy ở TH2 . Và ta có lời giải cụ thể sau:
Giải:
Từ phương trình của mặt phẳng (P) và (Q) ta có :
( )
(1;1;1)
P
n =
uuur
và

( )
(1; 1;1)
Q
n = −
uuur

mà mp (R) vuông góc với (P) và (Q)”
( ) ( ) ( )
, (2;0; 2) 2.(1;0; 1)
R P Q
n n n
 
⇒ = = − = −
 
uuur uuur uuur

Vậy phương trình (R) có dạng:
0
x z m
− + =
Ta có:
( ;( )) 2
d O R
=

2 2
2 2 2 2 2
1 1
m
m m⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

+

Vậy phương trình của (R):
2 2 0
x z
− + =
hoặc
2 2 0
x z
− − =



9


3) (B – 2009:CB) Cho tứ diện A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3), C(2 ; - 1 ; 1) và D(0 ; 3 ; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P)

ñi qua A, B sao cho khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P).


Phân tích:
+) Như vậy với dữ kiện của ñề bài (nếu không khai thác ñược số liệu ñặc biệt của bài toán ) ta không tìm ñược yếu tố
véc tơ pháp tuyến. Vì vậy gọi (P) có dạng:
0
ax by cz d
+ + + =

+) Khai thác : “(P) ñi qua A, B và khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P)”
⇒

, , , ?
a b c d
=

Với phân tích trên ta sẽ ñi theo Hướng tư duy ở TH3 . Và ta có lời giải cụ thể sau:
Giải:
Gọi mp (P) có dạng:
0
ax by cz d
+ + + =
. Vì (P) ñi qua A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3)
2 0
2 3 0
a b c d
a b c d
+ + + =

⇒

− + + + =



3
2
5 5
2
a b
c
a b

d
+

=


⇔

− −

=


nên (P):
3 5 5
0 2 2 (3 ) (5 5 ) 0
2 2
a b a b
ax by z ax by a b z a b
+ +
+ + − = ⇔ + + + − + =
(P)
Mà:
2 2 2 2 2 2
2
2 6 2 2
( ;( )) ( ;( )) 3
0
4 4 (3 ) 4 4 (3 )
a b

a b b a
d C P d D P a b b a
b
a b a b a b a b
=
− −

= ⇔ = ⇔ − = − ⇔

=
+ + + + + +


+) Với
2
a b
=
chọn
4; 2 7
a b c
= = ⇒ =
và
15
d
= −
⇒
mp (P):
4 2 7 15 0
x y z
+ + − =

+) Với
0
b
=
chọn
2 3
a c
= ⇒ =
và
5
d
= −
⇒
mp (P):
2 3 5 0
x z
+ − =

Chú ý: Với số liệu ñặc biệt của bài toán trên các em có thể có cách giải khác là: “khoảng cách từ C ñến (P) bằng
khoảng cách từ D ñến (P)”
⇔
(P) song song với CD hoặc (P) ñi qua trung ñiểm của CD. Và quay về Hướng tư duy ở
TH1 (ñây cũng là cách giải của Bộ Giáo Dục – cách giải này là hay nhất với số liệu trên). Nhưng nếu khoảng cách
không bằng nhau ? thì cách này lại không làm ñược. Hướng tư duy ở TH3 lúc này vẫn phát huy tác dụng.

4) (B – 2012: NC) Cho
(0;0;3), (1;2;0)
A M
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt

tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM.


Phân tích: Với dữ kiện (P) ñi qua
(0;0;3)
A
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C cho ta hướng tư duy của TH4
Nên theo Hướng tư duy của TH4 ta có lời giải như sau:
Giải: Vì (P) ñi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C nên
( ;0;0)
B b
và
(0; ;0)
C c

⇒
phương trình (P):
1
3
x y z
b c
+ + =

Ta có:
(1;2; 3)
AM
= −
uuuur
⇒

phương trình
:
AM
2
3 3
x t
y t
z t
=


=


= −

Gọi
( ;2 ;3 3 )
G t t t AM
− ∈
(1) ( thuật toán tìm ñiểm)
Mặt khác:
G
là trọng tâm tam giác ABC
; ;1
3 3
b c
G
 
⇒

 
 
(2) Từ (1) và (2)
2
3
3
2 2
3
4
1 3 3
b
t
t
c
t b
c
t

=


=




⇒ = ⇔ =
 
 
=

= −
 




⇒
phương trình (P):
1
2 4 3
x y z
+ + = ⇔
6 3 4 12 0
x y z
+ + − =


10

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1)

1) (B – 2008) Cho 3 ñiểm A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1).Viết phương trình mặt phẳng ñi qua ba ñiểm A, B, C.
2) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng :
1
1 1
:
2 1 1
x y z

d
− +
= =
−
,
2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


= +


Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ñồng thời song song với
1 2
,
d d
. (ñã giải)
3) (B – 2005) Cho lăng trụ ñứng
1 1 1
.
ABC AB C

với A(0 ; - 3 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 3 ; 0),
1
B
(4; 0 ; 4). Gọi M là trung
ñiểm của
1 1
A B
. Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua hai ñiểm A, M và song song với
1
BC
. Mặt phẳng (P) cắt
ñường thẳng
1 1
AC
tại ñiểm N. Tính ñộ dài ñoạn MN.
4) ( D – 2005) Cho hai ñường thẳng
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
và
2
3
: 4
2 2

x t
d y t
z t
=


= −


= +


Chứng minh
1
d
và
2
d
song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai ñường thẳng
1
d
và
2
d
.
5) (A – 2002) Cho hai ñường thẳng
1
2 1 4
:
2 3 4

x y z
− − −
∆ = =
và
2
1
: 2
1 2
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= +


Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng
1
∆
và song song với ñường thẳng
2
∆
.
6) Cho ñiểm M(1; -1; 1) và hai mặt phẳng (P): 3x + y – 2 z – 2011 = 0, (Q): x – 3y + 2 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng
( )

α
ñi qua M và ñồng thời vuông góc với (P) và (Q).
7) Cho ñiểm M(0 ; – 2; -1), ñường thẳng d:
1 1
2 2 1
x y z
− +
= =
−
và mặt phẳng (P): x – y – 2z + 2012 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng
( )
α
ñi qua M song song với d và vuông góc với (P).

Bài 2. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)

1) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2. (ñã giải)
2) (TN – 2005) Trong không gian cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 4 3 0
x y z x y z
+ + − + + − =
và hai ñường thẳng
1
1
:
1 1 1
x y z

−
∆ = =
−
,
2
1
:
2 1 1
x y z
−
∆ = =
−
. Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) và song song với
1
∆
,
2
∆
.
3) (TN – 2003) Trong không gian cho bốn ñiểm A(2; 4; -1), C(2; 4; 3),
4
OB i j k
= + −
uuur r r r
và
2 2
OD i j k
= + −
uuur r r r
.

Gọi (S) là mặt cầu qua bốn ñiểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện của (S) và song song với (ABD).
4) Trong không gian cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 10 0
x y z x y z
+ + − + + − =
và hai ñiểm A(-1; 2; 1), B(2; 3; -1).
Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Bài 3. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH3)
1) (A – 2011:NC) Cho mặt cầu
2 2 2
( ): 4 4 4 0
S x y z x y z
+ + − − − =
và ñiểm A(4 ; 4 ; 0). Viết phương trình mặt
phẳng (OAB), biết ñiểm B thuộc (S) và tam giác OAB ñều.
11

2) (B – 2009:CB) Cho tứ diện A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3), C(2 ; - 1 ; 1) và D(0 ; 3 ; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P)
ñi qua A, B sao cho khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P). (ñã giải)
3) (A – 2008): Cho ñiểm A(2; 5; 3) và ñường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
. Viết phương trình mặt phẳng

( )
α
chứa d
sao cho khoảng cách từ A ñến
( )
α
lớn nhất.
4) (B – 2007) Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 3 0
x y z x y z
+ + − + + − =
và mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0. Viết phương
trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một ñường tròn có bán kính bằng 3.
5) ( A – 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Viết phương
trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
biết
1
cos
6
α
=
.
6) Cho ñường thẳng
2 1 1
:
4 1 1
x y z
− − +

∆ = =
− −
và ñiểm A(1; 0; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, song song
với ñường thẳng
∆
và khoảng cách giữa ñường thẳng
∆
với mặt phẳng (P) bằng 3.


Bài 4. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH4)
1) (B – 2012 – NC) Cho
(0;0;3), (1;2;0)
A M . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt
tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM. (ñã giải)
2) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với
, 0
b c
>
và mp (P): y – z + 1 = 0. Tìm b và c, biết mp
(ABC) vuông góc với mp (P) và kcách từ O ñến mp (ABC) bằng
1
3

3) Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
ñi qua ñiểm
(1;2;3)
M

và cắt các trục
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt tại
, ,
A B C
sao cho :
a)
M
là trọng tâm của tam giác
ABC
.
b)
M
là trực tâm của tam giác
ABC
.
4) Viết phương trình

mặt phẳng
( )
P
cắt các trục
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt tại
, ,
A B C
sao cho
ABC

là tam giác ñều và
có diện tích bằng
2 3
.
5) Viết phương trình

mặt phẳng
( )
P
ñi qua ñiểm
(9;1;1)
M
và cắt các tia
, ,
Ox Oy Oz
lần lượt tại
, ,
A B C
sao cho
a)
OA OB OC
+ +
nhỏ nhất .
b) Thể tích tứ diện
OABC
lớn nhất.

12



BÀI TOÁN 2.2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG

CÁC BÀI TOÁN MẪU


1) ( D – 2007) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) . Viết phương trình ñường
thẳng d ñi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).


Phân tích:
+) Yếu tố ñiểm: G là trọng tậm của tam giác OAB
⇒

tọa ñộ G
+) Véc tớ Chỉ Phương:
( )
( ) ,
d OAB
d OAB u n OA OB
 
⊥ ⇒ = =
 
uur uuuuur uuur uuur

Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:
Giải:
+) Vì G là trọng tậm của tam giác OAB
⇒
(
)
0;2;2
G
(với
(0;0;0)
O
)
+) Ta có:
(1;4;2)
( 1;2;4)
OA
OB

=



= −


uuur
uuur
mà
( ) ( )
( )
( ) , 12; 6;6 6. 2; 1;1
d OAB
d OAB u n OA OB
 
⊥ ⇒ = = = − = −
 
uur uuuuur uuur uuur

Vậy phương trình của ñường thẳng d là:
2 2
2 1 1
x y z
− −
= =
−




13

2) (A – 2005) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho ñường thẳng d :
1 3 3
1 2 1
x y z
− + −
= =
−

và mặt phẳng
(P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa ñộ giao ñiểm A của ñường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số

của ñường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P), biết
∆
ñi qua A và vuông góc với d.


Phân tích:
+) Yếu tố ñiểm:
{
}
( )d P A
∩ = ⇒
tọa ñộ ñiểm
A

+) Véc tơ chỉ phương:
( )
( )
,
P
P
u n u
d
∆ ∆
∆ ⊂

 
⇒ =

 
∆ ⊥

uur uuur uur
Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:
Giải:
+) Gọi
(1 ; 3 2 ;3 )
A t t t d
− − + + ∈
mà
( )
A P
∈
(do
{

}
( )
d P A
∩ =
)
2(1 ) 3 2 2(3 ) 9 0
t t t
⇒ − − + − + + =


2 2 0 1 (0; 1;4)
t t A
⇔ − = ⇔ = ⇒ −

+) Ta có:
( )
(2;1; 2)
P
n
= −
uuur
và
( 1;2;1)
d
u = −
uur
.Mà
( )
( )
, (5;0;5) 5.(1;0;1)

P
P
u n u
d
∆ ∆
∆ ⊂

 
⇒ = = =

 
∆ ⊥

uur uuur uur

Vậy phương trình của ñường thẳng
∆
là:
1
4
x t
y
z t
=


= −


= +




3) (A, A1 – 2012 :NC) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
, mặt phẳng

( ): 2 5 0
P x y z
+ − + =
và ñiểm
(1; 1;2)
A
−
. Viết phương trình ñường thẳng
∆
cắt
d
và
( )
P
lần lượt tại M và N

sao cho A là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN.

Phân tích:
+) Yếu tố ñiểm: “
∆
cắt
d
và
( )
P
lần lượt tại M và N”
→
tìm
,
M N
theo TTTð (Thuật Toán Tìm ðiểm)
+) Véc tơ chỉ phương:
u MN
∆
=
uur uuuur

Như vậy với dữ kiện của bài toán ta sẽ ñi theo hướng tư duy ở TH2 và có lời giải như sau:
Giải: +) Gọi
( 1 2 ; ;2 )
M t t t d
− + + ∈

Vì
(1; 1;2)

A
−
là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN
2 3 2
2 2 (3 2 ; 2 ;2 )
2 2
N A M
N A M
N A M
x x x t
y y y t N t t t
z z z t
= − = −


⇒ = − = − − ⇒ − − − −


= − = −


Mặt khác:
{
}
( ) ( ) 3 2 2 2(2 ) 5 0 2 0 2
P N N P t t t t t
∆ ∩ = ⇒ ∈ ⇒ − − − − − + = ⇔ − = ⇔ =


(3;2;4)

M
⇒
và
( 1; 4;0)
N
− −

+) Vậy
( 4; 6; 4) 2.(2;3;2)
u MN
∆
= = − − − = −
uur uuuur

⇒
Phương trình
:
∆
3 2 4
2 3 2
x y z
− − −
= =

CHÚ Ý:
Bài toán trên khi viết phương trình
∆
chúng ta có 3 sự lựa chọn ñiểm (là những ñiểm chúng ta nhìn thấy rõ nhất) là:

(1; 1;2), (3;2;4), ( 1; 4;0)

A M N
− − −
(Bài toán trên thầy ñã chọn ñiểm
(3;2;4)
M
)



14


4) ( D – 2011) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(1 ; 2 ; 3) và ñường thẳng d :
1 3
2 1 2
x y z
+ −
= =
−

Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua ñiểm A, vuông góc với d và cắt trục Ox.


Phân tích:
+) Yếu tố ñiểm:
∆
ñi qua ñiểm A (1 ; 2 ; 3)
+) Véc tơ chỉ phương:

∆
cắt trục Ox
→
gọi
( ;0;0)
B x Ox
∈
và do
d
∆ ⊥
⇒
tọa ñộ ñiểm
B
u AB
∆
⇒ =
uur uuur

Như vậy với dữ kiện của bài toán ta sẽ ñi theo hướng tư duy ở TH2 và có lời giải như sau:
Giải:
Gọi
( ;0;0)
B x Ox
∈
( với
{
}
B Ox
= ∆ ∩
)

( 1; 2; 3)
AB x
⇒ = − − −
uuur

Ta có:
(2;1; 2)
d
u
= −
uur
Mà
. 0 . 0
d d
d u u AB u
∆
∆ ⊥ ⇔ = ⇔ =
uur uur uuur uur

2( 1) 2 6 0 1
x x
⇔ − − + = ⇔ = −
( 1;0;0)
B
⇒ −

(
)
( 2; 2; 3) 2;2;3
u AB

∆
⇒ = = − − − = −
uur uuur
⇒
Phương trình ñường thẳng
∆
:
1 2 3
2 2 3
x y z
− − −
= =


BÀI TẬP ÁP DỤNG


Bài 1. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1)
1) ( D – 2007) Cho hai ñiểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) . Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua trọng tâm G của tam
giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). (ñã giải)
2) (A – 2005) Cho ñường thẳng d :
1 3 3
1 2 1
x y z
− + −
= =
−
và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa ñộ giao
ñiểm A của ñường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của ñường thẳng
∆

nằm trong mặt phẳng (P),
biết
∆
ñi qua A và vuông góc với d. (ñã giải)
3) Cho ñường thẳng d :
1
1 2 3
x y z
−
= =
−
và hai mặt phẳng (P): x + y – 3z + 4 = 0, (Q) : x – y + 2z – 2 = 0
Viết phương trình ñường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (Q) ñi qua ñiểm M và song song với (P), biết M là giao
ñiểm của ñường thẳng d và mặt phẳng (Q).
4) Cho ñiểm M(- 1 ; 2 ; 1) và hai ñường thẳng
1
:
d
1 2
2 1 3
x y z
− +
= =
−

và
2
4

: 2
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


= −


Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua ñiểm M và vuông góc ñồng thời với
1 2
,
d d
.
5) Cho ñiểm M(0 ; 2 ; -3) và hai mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2011 = 0, (Q): x + 3y – z + 2013 = 0.
Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua ñiểm M cùng song song với (P) và (Q).
6) Cho ñiểm M(2 ; 1 ; -1), ñường thẳng
1 1
:
2 2 1
x y z

d
− +
= =
−
và mặt phẳng
( )
α
: x + y – 2z + 2012 = 0. Viết phương
trình ñường thẳng
∆
ñi qua M song song với
( )
α
và vuông góc với
d
.
7) Cho hai ñiểm A(2; 4; -1), B(-5; 2; 4) và ñường thẳng
1 2
:
1 1 2
x y z
d
− +
= =
−
. Viết phương trình ñường thẳng ñi
qua M và song song với
d
biết
2

MA MB
= −
uuur uuur
.
Bài 2. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)
1) (A, A1- 2012:NC) Cho ñường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
, mp
( ): 2 5 0
P x y z
+ − + =
và ñiểm
(1; 1;2)
A
−
.
Viết phương trình ñường thẳng
∆
cắt
d
và
( )
P
lần lượt tại M và N sao cho A là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN.

(ñã giải)
15

2) ( D – 2011) Cho ñiểm A(1 ; 2 ; 3) và ñường thẳng d :
1 3
2 1 2
x y z
+ −
= =
. Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua
ñiểm A, vuông góc với d và cắt trục Ox. (ñã giải)
3) )(D – 2009 : NC) Cho ñường thẳng
2 2
:
1 1 1
x y z
+ −
∆ = =
−
và mặt phẳng (P) : x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương
trình ñường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với ñường thẳng
∆
.
4) (A – 2007) Cho hai ñường thẳng :
1
1 2
:
2 1 1

x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=


Viết phương trình ñường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai ñường thẳng
1 2
,
d d
.
5) (B – 2004) Cho ñiểm
( 4; 2;4)
A

− −
và ñường thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua
ñiểm A, cắt và vuông góc với ñường thẳng d.
6) Cho ñường thẳng
1
1 2 2
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
−

,
2
2 3 4
:
1 1 1
x y z
d
− − −
= =
−
và mặt phẳng
( ): 6 0
x y z
α
− + − =
. Lập
phương trình ñường thẳng
∆
song song với
( )
α
và cắt
1 2
,
d d
lần lượt tại M và N sao cho
3 6
MN = .
7) Cho hai ñường thẳng
1

1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=


Chứng minh rằng
1 2
,
d d
chéo nhau và viết phương trình ñường vuông góc chung của

1
d
và
2
d
.

BÀI TOÁN 2.3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

16



CÁC BÀI TOÁN MẪU
1) (A, A1 – 2012: CB) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
và ñiểm
(0;0;3)
I . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai ñiểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.


Phân tích:
+) Yếu tố Tâm: ðề bài ñã cho tâm
(0;0;3)

I

+) Yếu tố Bán Kính: Tam giác IAB vuông cân tại I ( vì IA = IB = R)
⇒

2
R IH
=
⇒
cần tính
IH
:
C1: Tìm tọa ñộ ñiểm
H
(dùng Thuật Toán Tìm ðiểm)
IH
⇒

C2:
IH
bằng khoảng khoảng cách từ
I
ñến
d
(Áp dụng công thức khoảng cách)
Vậy theo hướng tư duy ở TH1 ta có lời giải như sau:


Giải:
+) Gọi

( 1;2 ; 2)
H t t t d
− + ∈
là hình chiếu của
I
xuống ñường thẳng
d

( 1;2 ; 1)
IH t t t
⇒ = − −
uuur

Ta có véc tơ chỉ phương của
d
:
(1;2;1)
d
u =
uur

và
IH d
⊥

1 2 2 7
. 0 1 4 1 0 6 2 0 ; ;
3 3 3 3
d
IH u t t t t t H

 
⇒ = ⇔ − + + − = ⇔ − = ⇔ = ⇒ −
 
 
uuur uur


2 2 2
2 2 2 2 3
3 3 3 3
IH
     
⇒ = + + =
     
     
(có thể tính
( ; )
IH d I AB
= =
2 3
3
- Công thức có ở ban Nâng Cao).
+) Vì tam giác IAB vuông tại I và IA = IB = R
⇒
tam giác IAB vuông cân tại
I


0
cos45

R IA AB⇒ = =
2 2 3 2 6
2 . 2 2.
2 3 3
IH IH= = = =

Vậy phương trình mặt cầu (S):
2 2 2
8
( 3)
3
x y z
+ + − =


2) (D – 2012: CB) Cho mặt phẳng (P):
2 2 10 0
x y z
+ − + =
và ñiểm I(2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và
cắt (P) theo một ñường tròn có bán kính bằng 4.




Phân tích:
+) Yếu tố Tâm: ðề bài ñã cho tâm
(2;1;3)
I

+) Yếu tố Bán Kính: Mặt cầu cắt (P) theo một ñường tròn có bán kính bằng 4
2 2 2
R r h R
⇒ = + →


Giải:
+) Gọi mặt cầu cắt (P) theo một ñường tròn có tâm
'
I
và bán kính
4
r
=
. Suy ra
' ( )
II P
⊥
. Nên:

2 2 2
4 1 6 10
9
' ( ;( )) 3
3
2 1 2
h II d I P
+ − +
= = = = =

+ +

+) Theo Pitago ta có:
2 2 2 2 2
4 3 25 5
R r h R
= + = + = ⇒ =

Vậy phương trình mặt cầu là:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 25
x y z
− + − + − =




17

3) (B – 2012: CB). Cho ñường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
d
−
= =
−
và hai ñiểm
(2;1;0)

A
,
( 2;3;2)
B
−
. Viết phương trình mặt
cầu ñi qua
,
A B
và có tâm thuộc ñường thẳng
d
.

Phân tích:
+) Yếu tố Tâm: ðề bài ñã cho tâm
I d
∈
→
Dựa vào Thuật Toán Tìm ðiểm
I
⇒

+) Yếu tố Bán Kính:
R IA
=


Vậy theo hướng tư duy ở TH2 ta có lời giải như sau:
Giải: +) Gọi mặt cầu có tâm
I

và gọi
(2 1; ; 2 )
I t t t d
+ − ∈

+) Mặt cầu ñi qua
,
A B
nên
IA IB R
= =
2 2
IA IB
⇒ =


2 2 2 2 2 2
(2 1) ( 1) 4 (2 3) ( 3) (2 2)
t t t t t t⇔ − + − + = + + − + +
6 2 14 22 1
t t t
⇔ − + = + ⇔ = −

Suy ra:
( 1; 1;2)
I
− −
và bán kính
2 2 2
3 2 2 17

R IA= = + + =

Vậy phương trình mặt cầu là:
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 17
x y z
+ + + + − =

4) (D – 2011 - NC) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng
1 3
:
2 4 1
x y z
− −
∆ = =
và mặt phẳng
(P) : 2x – y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ñương thẳng
∆
, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt
phẳng (P).

Phân tích:
+) Yếu tố Tâm: ðề bài ñã cho tâm
I
∈ ∆

→
Dựa vào Thuật Toán Tìm ðiểm
I
⇒

+) Yếu tố Bán Kính: ðề bài cho
1
R
=

Vậy theo hướng tư duy ở TH2 ta có lời giải như sau:
Giải: +) Gọi tâm
(2 1;4 3; )I t t t
+ + ∈ ∆
. Ta có: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P)
( ,( ))
d I P R
⇔ =


2 2 2
2 (5;11;2)
2(2 1) (4 3) 2
1 2 1 3
1 ( 1; 1; 1)
2 1 2
t I
t t t
t
t I
=
+ − + +
 
⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇒

 
= − − − −
+ +
 

+) Vậy phương trình mặt cầu là:
2 2 2
( 5) ( 11) ( 2) 1
x y z
− + − + − =
hoặc
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 1
x y z
+ + + + + =

BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1: ((Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1)
1) (D – 2012) Cho mặt phẳng (P):
2 2 10 0
x y z
+ − + =
và ñiểm I(2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P)
theo một ñường tròn có bán kính bằng 4. (ñã giải)
2) (A, A1 – 2012) Cho ñường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d

+ −
= =
và ñiểm
(0;0;3)
I . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I
và cắt d tại hai ñiểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. (ñã giải)
3) ( A – 2010 : NC) Cho ñiểm A(0 ; 0 ; -2) và ñường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z
+ − +
∆ = =
. Tính khoảng cách từ A ñến
∆
.
Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt
∆
tại hai ñiểm B và C sao cho BC = 8.
4) ( B – 2005) Cho hình lăng trụ ñứng
1 1 1
.
ABC A BC
với A(0 ; - 3 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 3 ; 0),
1
(4;0;4)
B . Tìm tọa ñộ
các ñỉnh
1 1
,

A C
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
1 1
( )
BCC B
.
5) Cho ñiểm I(1 ; 2 ; -2) và mặt phẳng (P) : 2x +2y + z + 5 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, sao cho (P)
cắt (S) theo một ñường tròn có chu vi là
8
π

6) Cho mặt phẳng (P) : 5x – 4y + z – 6 = 0, mặt phẳng (Q) : 2x – y + z + 7 = 0 và ñường thẳng d :
1 1
7 3 2
x y z
− −
= =
− −
.
18

Viết phương trình mặt cầu (S), biết rằng tâm I của mặt cầu là giao ñiểm của d với (P) và mặt phẳng (Q) cắt hình cầu
(S) theo thiết diện là hình tròn với diện tích là
20
π

7) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2 ; 3 ; -1) và cắt ñường thẳng d :
11 25
2 1 2
x y z

− +
= =
−

tại hai ñiểm A, B
sao cho AB = 16.
8) Cho hai ñường thẳng
1 2
,
d d
có phương trình
1
2
:
4
x t
d y t
z
=


=


=

và
2
3 2
:

0
x t
d y t
z
= +


= −


=


a) Chứng minh
1 2
,
d d
chéo nhau.
b) Lập phương trình mặt cầu (S) nhận ñoạn vuông góc chung của
1
d
và
2
d
làm ñường kính.
BÀI 2: ((Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2)

1) Cho hai ñiểm A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 1 ; -2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên trục Oy và
A, B là hai ñiểm thuộc (S).
2) (B – 2012: CB): Cho ñường thẳng

1
:
2 1 2
x y z
d
−
= =
−
và hai ñiểm
(2;1;0)
A
,
( 2;3;2)
B
−
. Viết phương trình mặt
cầu ñi qua
,
A B
và có tâm thuộc ñường thẳng
d
. (ñã giải)
3) (D – 2011 - NC) Cho ñường thẳng
1 3
:
2 4 1
x y z
− −
∆ = =
và mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z = 0. Viết phương trình

mặt cầu có tâm thuộc ñương thẳng
∆
, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). (ñã giải)
4) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3). Viết phương trình mặt cầu ñi qua bốn
ñiểm A, B, C, D.
5) (D – 2004) Cho ba ñiểm A(2 ; 0 ; 1), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu ñi qua ba ñiểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
6) (TN – 2004) Trong không gian cho bốn ñiểm A(1 ; -1 ; 2), B(1 ; 3 ; 2), C(4 ; 3 ; 2) và D(4 ; -1 ; 2). Gọi A’ là hình
chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Viết phương trình mặt cầu ñi qua A’, B, C, D.
7) Cho ñường thẳng d :
1 2
3 1 1
x y z
− +
= =
và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1.
8) Cho hai ñiểm A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 1 ; -2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên trục Oy và A, B là hai ñiểm
thuộc (S).
9) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên ñường thẳng
: 0
1
x t
d y
z
=


=



= −

tiếp xúc với hai mặt phẳng
(P) : 3x + 4y + 3 = 0 và (Q) : 2x + 2y – z + 39 = 0.
10) Cho hai ñiểm A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0). Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng
(P) : 2x + y – z – 5 = 0.








19



PHẦN THAM KHẢO: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Ý tưởng cho các bài toán tìm GTLN ,GTNN nói chung cũng như các bài toán GTLN ,GTNN của hình học giải tích
trong không gian nói riêng, là ta tìm cách thiết lập biểu thức cần xác ñịnh GTLN, GTNN theo một ẩn t nào ñó bằng
cách “cắt nghĩa” dữ kiện bài toán. Sau ñó dùng các kĩ thuật, và phương pháp tìm GTLN, GTNN ñể giải quyết (thường
là bài toán tìm ñiểm). Hoặc cắt nghĩa bài toán (không cần thiết lập biểu thức) ñể khai thác ñược yếu tố vuông góc,
song song (thường với những bài toán viết phương trình ñường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu). Và sau ñây chúng ta sẽ ñi
tìm hiểu các hướng ñi này.

Bài toán 1: Cho ñường thẳng d và hai ñiểm A, B. Tìm tọa ñộ ñiểm
M d

∈
sao cho:
1)
2 2
1 2
k MA k MB
+
nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) 2)
1 2
k MA k MB
+
uuur uuur
nhỏ nhấ
t.
3) MA + MB nhỏ nhất (hoặc chu vi tam giác
MAB
nhỏ nhất). 4)
MA MB
− lớn nhấ
t.

Cách giải chung: Gọi
( )
M t d
∈

→

Câu 1)
2 2 2

1 2
k MA k MB at bt c
+ = + +

C1: +) Tách ghép theo hằng ñẳng thức
2 2
( ) ( )
2 4
b
f t at bt c a t
a a
−∆
= + + = + +

+) Nếu:
( )
( )
2 2
1 2
min
2 2
1 2
max
0 ( )
4 4 2
0 ( )
4 4 2
b
a f t k MA K MB khi t M
a a a

b
a f t k MA K MB khi t M
a a a
−∆ −∆

> → ≥ → + = = − →


−∆ −∆

< → ≤ → + = = − →



C2: Hàm số bậc hai:
2
( )
f t at bt c
= + +
ñạt cực tiểu khi
0
a
>
và cực ñại khi
0
a
<
tại
2
b

t M
a
= − →

C3: Dùng hàm số ñể tìm min (hoặc max) của
2
( )
f t at bt c
= + +


Câu 2)
2
1 2 1 2
( )
( )
( )
MA t
k MA k MB u t k MA k MB at bt c
MB t


→ + = → + = + +



uuur
uuur uuur r uuur uuur
uuur
( với

0
a
>
) (*)
Từ (*)
1 2
min
4
k MA k MB
a
−∆
→ + =
uuur uuur
khi
2
b
t M
a
= − →


Câu 3)
2 2
1 1 2 2
MA MB at bt c at b t c
+ = + + + + +
(*)
C1: +) Từ (*)
→
(

)
2 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
MA MB a t x y t x y
+ = − + + − +
(2*)
C1.1:
+) Trong mặt phẳng Oxy xét các ñiểm
( ;0) Ox
N t
∈
,
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
H x y K x y
(với
1 2
. 0
y y
<
) (3*)
+) Từ (2*) và (3*)
→
.( ) .
MA MB a NH NK a HK
+ = + ≥
= const (4*)
→
min

( )
MA MB
+
.
a HK
=
+) Dấu “=” (4*) xảy ra khi:
{ } Ox
N HK
=
I
? ?
N t M
→ = → = →

C1.2:
+) Trong mặt phẳng Oxy xét :
1 1
2 2
( ; )
( ; )
u t x y
v x t y

−


−



r
r
→

2 1 1 2
( ; )
u v x x y y
+ = − +
r r
(với
1 2
. 0
y y
>
)
20

+) Từ (2*)
⇒
(
)
2 2
2 1 1 2
[( ) ( ) ]
MA MB a u v a u v a x x y y const
+ = + ≥ + = − + + =
r r r r

+) Dấu “=” (4*) xảy ra khi:
,

u v
r r
cùng hướng

1 1
2 2
0
t x y
x t y
−
→ = >
−
?
t M
→ = →

C2: Dùng hàm số ñể tìm min của
2 2
1 1 2 2
( )
f t at bt c at b t c
= + + + + +


Câu 4)
2 2
1 1 2 2
MA MB at bt c at b t c
− = + + − + +
(*)

+) Từ (*)
→
2 2 2 2
1 1 2 2
. ( ) ( )
MA MB a t x y t x y
− = − + − − +
(2*)
+) Trong mặt phẳng Oxy xét các ñiểm
( ;0) Ox
N t
∈
,
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
H x y K x y
(với
1 2
. 0
y y
>
) (3*)
+) Từ (2*) và (3*)
→
. .
MA MB a NH NK a HK
− = − ≤ = const
→
max
MA MB−

.
a HK
= (4*)
+) Dấu “=” (4*) xảy ra khi:
{ } Ox
N HK
=
I
? ?
N t M
→ = → = →

CHÚ Ý:
+) Ở Câu 3 (và Câu 4) ta phải chọn
1 2
. 0
y y
<
(và
1 2
. 0
y y
>
) ñể hai ñiểm H, K khác phía (và cùng phía) với Ox.
+) Ở phần cách giải chung trong Câu 3 và Câu 4 ta ñang giải quyết trong trường hợp khó là AB và ñường thẳng d
là chéo nhau (không ñồng phẳng). Nhưng nếu AB và d ñồng phẳng (có thể cắt nhau, song song, trùng nhau) thì ta sẽ
có cách giải quyết nhẹ nhàng hơn ??? (thầy sẽ nói rõ ñiều này qua các ví dụ) .
+) Ở Câu 1,Câu 2 chúng ta có thể mở rộng bài toán thành n ñiểm
1 2
, , ,

n
A A A
.

Ví dụ 1: Cho ñường thẳng
:
1 1 1
x y z
∆ = =
và hai ñiểm
(0;0;3)
A
,
(0;3;3)
B
. Tìm tọa ñộ ñiểm
M
∈∆
sao cho
1)
2 2
2
MA MB
+
nhỏ nhất. 2)
3
MA MB
−
uuur uuur
nhỏ nhất.

3) MA + MB nhỏ nhất. 4)
MA MB
−
lớn nhất.
Ví dụ 2: Cho hai ñiểm A(1; 1; 0), B(3; – 1;4) và ñường thẳng
1 1 2
:
1 1 2
x y z
d
+ − +
= =
−

Tìm ñiểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho hai ñiểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và ñường thẳng
1 2
: 1
2
x t
y t
z t
= − +


∆ = −


=


. Xác ñịnh vị trí ñiểm M nằm trên ñường
thẳng
∆
ñể chu vi tam giác MAB ñạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 4: Cho ñương thẳng
1 1
:
1 2 2
x y z
d
− +
= =
−
và hai ñiểm A(0; 1; 2), B(–1; 2; 3). Tìm M thuộc d sao cho
1)
2 2
MA MB
+
nhỏ nhất. 2)
MA MB
+
nhỏ nhất.
3)
2
MA MB
−
uuur uuur
nhỏ nhất. 4)
2
MA MB

+
uuur uuur
nhỏ nhất.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 2; -1), B(7; - 2; 3) và ñường thẳng d có phương
trình:
2 4
3 2 2
x y z
− −
= =
−
. Tìm trên d những ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ M ñến A và B là nhỏ nhất.



21



Bài toán 2: Cho mặt phẳng (P) và ba ñiểm A, B, C. Tìm tọa ñộ ñiểm
( )
M P
∈
sao cho:
1)
2 2 2
1 2 3
k MA k MB k MC
+ +
nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có). 2)

1 2 3
k MA k MB k MC
+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhấ
t.
3) MA + MB nhỏ nhất (hoặc chu vi tam giác
MAB
nhỏ nhất). 4)
MA MB
− lớn nhất.


Cách giải chung:
Câu 1)
+) Xét ñiểm
I
thỏa mãn:
1 2 3
0
k IA k IB k IC
+ + =
uur uur uur r
(*)
→
tọa ñộ ñiểm
I

+) Ta có:
2 2 2

2 2 2
1 2 3 1 2 3
k MA k MB k MC k MA k MB k MC
+ + = + +
uuur uuur uuuur


2 2 2
1 2 3
( ) ( ) ( )
k MI IA k MI IB k MI IC
= + + + + +
uuur uur uuur uur uuur uur

=
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) 2 ( )
k k k MI k IA k IB k IC MI k IA k IB k IC
+ + + + + + + +
uuur uur uur uur

=
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( )
k k k MI k IA k IB k IC
+ + + + +
(2*) (do có (*))
+) Mà

2 2 2
1 2 3
k IA k IB k IC
+ +
= const ( vì A, B, C, I là các ñiểm cố ñịnh) (3*)

+) Từ (2*) và (3*)
→
Nếu:
(
)
( )
2 2 2
1 2 3 1 2 3
min
min
2 2 2
1 2 3 1 2 3
0
0
max
k k k k MA k MB k MC
MI
k k k k MA k MB k MC

+ + > → + +

↔

+ + < → + +


(4*)
+) Từ (4*)
→
M là hình chiếu của
I
trên (P)
M
→

Câu 2)
+) Xét ñiểm
I
thỏa mãn:
1 2 3
0
k IA k IB k IC
+ + =
uur uur uur r
(*)
→
tọa ñộ ñiểm
I

+) Ta có:
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
k MA k MB k MC k MI IA k MI IB k MI IC
+ + = + + + + +
uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur

1 2 3 1 2 3
( )
k k k MI k IA k IB k IC
= + + + + +
uuur uur uur uur


1 2 3
( )
k k k MI
= + +
uuur
(do có (*))

1 2 3 1 2 3 1 2 3
( )
k MA k MB k MC k k k MI k k k MI
→ + + = + + = + +
uuur uuur uuuur uuur

Vậy
1 2 3
min
k MA k MB k MC+ +
uuur uuur uuuur
khi
min
MI

(2*)
→
M là hình chiếu của
I
trên (P)
M
→


CHÚ Ý: Các em có thể tìm nhanh ñiểm I nhờ vào công thức sau:

1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
0 .( )
k IA k IB k IC OI k OA k OB k OC
k k k
+ + = ↔ = + +
+ +
uur uur uur r uur uuur uuur uuur
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
.( )
1

.( )
1
.( )
I A B C
I A B C
I A B C
x k x k x k x
k k k
y k y k y k y
k k k
z k z k z k z
k k k

= + +

+ +


→ = + +

+ +


= + +

+ +


22



Câu 3)
Xét vị trí tương ñối của A, B so với mặt phẳng (P) ( giống như trong mặt phẳng ñiểm với ñường thẳng). Nếu :

TH1 TH2
TH1: A, B khác phía so với (P)
MA MB AB const
→ + ≥ =
min
( )
MA MB AB
→ + =
khi
0
( )
M M AB P
≡ =
I
TH2: A, B cùng phía so với (P)
+) Xác ñịnh ñiểm
'
A
ñối xứng với A qua (P)
+) Ta có:

' '
MA MB MA MB A B const
+ = + ≥ =
min
( ) '
MA MB A B
→ + =
khi
{
}
' ( )
M A B P
= I


Câu 4) (về mặt ý tưởng ta sẽ làm tương tự như Câu 3 – song cách giải ngược với Câu 3)
Xét vị trí tương ñối của A, B so với mặt phẳng (P) . Nếu :

TH1 TH2
TH1: A, B cùng phía so với (P)
MA MB AB const
→ − ≤ =
max
MA MB AB
→ − =
khi
0
( )
M M AB P
≡ =

I
TH2: A, B cùng phía so với (P)
+) Xác ñịnh ñiểm
'
A
ñối xứng với A qua (P)
+) Ta có: ' '
MA MB MA MB A B const
− = − ≤ =
max
'
MA MB A B
→ − = khi
0
' ( )
M M A B P
≡ =
I
CHÚ Ý: Qua Câu 3 và Câu 4 ta nhận thấy ñể giải ñược bài toán:
+)
min
( )
MA MB
+
thì A, B khác phía (nếu cùng phía thì phải chuyển về khác phía – phần giải ñã làm rõ ñiều này).
+)
max
MA MB−
thì A, B cùng phía (nếu khác phía thì phải chuyển về cùng phía).

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng
( ): 4 0
P x y z
+ + − =
. Tìm ñiểm
( )
M P
∈
sao cho:
1)
2 2
3
MA MB
+ nhỏ nhất, biết
(1;2;1)
A
,
(0;1;2)
B
.
2)

2 2 2
3 2
MA MB MC
+ +

nhỏ nhất , biết
(1;2;1), (0;1;2), (0;0;3)
A B C

.
3)
2 2 2
3 5
MA MB MC
+ −
lớn nhất , biết
(1;2;1), (0;1;2), (0;0;3)
A B C
.
4)
3 4
MA MB MC
+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất, biết
(1;2;1), (0;1;2), (0;0;3)
A B C
.
5)
MA MB
+
nhỏ nhất, biết
(1;0;0)
A
,
(1;2;0)
B
.
6)

MA MB
− lớn nhất, biết
(1;2;1)
A
,
(0;1;2)
B
.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho các ñiểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) và mặt phẳng
( ) : 2 0
x y z
α
− + =
.
23

Tìm ñiểm M thuộc mặt phẳng
( )
α
sao cho
2 2 2
MA MB MC
− −
có giá trị lớn nhất.



Bài toán 3: Bài toán GTLN, GTNN liên quan tới khoảng cách, ñộ dài ñoạn thẳng,chu vi tam giác, diện tích tam giác,
thể tích của khối hình ña diện.

Cách giải chung:
Với dạng toán trên chúng ta thường ñi theo hai hướng :
+) Cắt nghĩa bài toán ñể khai thác ñược yếu tố vuông góc, song song.
+) Thiết lập biểu thức khoảng cách theo ẩn t. Và chuyển về bài toán tìm t ñể khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Cho ñiểm A(10; 2: - 1) và ñường thẳng
1 1
:
2 1 3
x y z
d
− −
= =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A,
song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
Ví dụ 2: (
2
t
) Cho ñiểm A(2; –1; 0), B(0; 1; – 1) và ñường thẳng
1 1
:
1 2 2
x y z
− +
∆ = =
−
. Viết phương trình ñường
thẳng d ñi qua B cắt
∆

sao cho khoảng cách từ A tới d là lớn nhất.
Ví dụ 3: Cho ba ñiểm A(1; 5; 4), B (0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm tọa ñộ ñiểm ñiểm D thuộc ñường thẳng AB sao cho ñộ
dài ñoạn thẳng CD nhỏ nhất.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho M(1;2;3). Lập phương trình mặt phẳng ñi qua M cắt ba tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Ví dụ 5: Trong không gian cho mặt cầu
2 2 2
( ): 2 4 2 16
S x y z x y z
+ + − − + =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
M(2; 1; 1) sao cho (P) cắt (S) theo giao tuyến là một ñường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Ví dụ 6: Cho hai ñường thẳng
1
1 1 3
:
1 2 2
x y z
+ + −
∆ = =
−
và
2
1
: 2 2
2
x t
y t
z t
= − −



∆ = +


= −

.
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
1
∆
và cách
2
∆
một khoảng lớn nhất.
Ví dụ 7: Cho ñường thẳng
2
: 1
2
x t
y t
z t
=


∆ = −


= +


và hai ñiểm
(2; 1;1), (0;1;2)
A B
−
. Viết phương trình ñường thẳng d qua A,
vuông góc với
∆
và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

Cảm ơn các em và các bạn ñã ñọc tại liệu !
Mọi ý kiến ñóng góp các em và các bạn gửi qua E- mail:
hoặc ñịa chỉ : số 9 – Ngõ 880 – Bạch ðằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội
ðiện thoại : 043.9871450 hoặc Dð: 0947141139
Lời giải các bài tập các em có thể tham khảo trên web: