G5 - Tâm Tỉ Cự Giải Toán Oxyz.pdf

GROUP FACEBOOK
a

BÀI 5 – TÂM TỈ CỰ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho 3 điểm A, B, C (có thể cho 2 điểm hoặc n điểm trong trường hợp tổng quát). Điểm I

T
e:
ag

gọi là tâm tỉ cự của hệ 3 điểm A, B, C gắn với các hệ số α , β , γ

(α + β + γ

≠ 0) :

ie

L
ai

α x A + β xB + γ xC

 xI =
α + β +γ



  
α y A + β yB + γ yC

1) Tọa độ điểm I thỏa mãn α IA + β IB + γ IC =
0 ⇒  yI =
α + β +γ


α z A + β z B + γ zC
 zI =
α + β +γ


u

2) Với mọi điểm M , ta đều có

a

ho

K





(α + β + γ ) MI
α MA + β MB + γ MC =

2
2
2

(α β + γ ) MI 2 + α IA2 + β IB 2 + γ IC 2
α MA + β MB + γ MC =+

Giả thiết

oc

DẠNG 1 - CỰC TRỊ ĐỘ DÀI VECTƠ

H

Đặc biệt: Nếu α= β= γ= 1 thì M là trọng tâm ∆ABC.

H

ay

Cho n điểm A1 , A2 , ..., An với n số k1 , k2 , ..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0 và đường thẳng

ie

M

d (hoặc mặt phẳng ( P ) ). Tìm điểm M trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P ) ) sao cho



k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn nhỏ nhất

n

Phương pháp giải

i
Ph

Gọi I là tâm tỉ cự hệ n điểm A1 , A2 , ..., An với n số k1 , k2 , ..., kn , nghĩa là điểm I thỏa mãn


 
k1 IA1 + k2 IA2 +…+ kn IAn = 0 .

im



( k1 + k2 + ... + kn ) MI

K

Áp dụng công thức:



k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn =

= k1 + k2 + ... + kn .MI

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

n
Va


Bài toán trở về tìm vị trí điểm M để MI nhỏ nhất


GROUP FACEBOOK
Thầy Đỗ Văn Đức – Website: />
56

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1.

Cho 3 điểm A ( 2; − 3;7 ) , B ( 0; 4; − 3) , C ( 4; 2;3) . Biết M ( a ; b ; c ) là điểm thuộc ( Oxy ) để
  
biểu thức T = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

T
e:
ag

A. 3.

2.

B. 6.

D. 0.

Cho ∆ABC có A (1;0;0 ) , B ( 3; 2; 4 ) , C ( 0;5; 4 ) . Biết M ( a ; b ; c ) là điểm thuộc ( Oxy ) sao
  
cho MA + MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng

L
ai
A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0; − 2; − 1) , B ( −2; − 4;3) , C (1;3; − 1) và mặt
  
0. Điểm M ∈ ( P ) thỏa mãn MA + MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ
phẳng ( P ) : x + y − 2 z − 3 =

u

ie

3.

C. 9.

B.

1

C. − .
2

D.

1
.
2

Cho tứ diện ABCD có A ( 0;1;0 ) , B (1;0;1) , C ( 5; − 1;1) , D ( 3; − 3; 2 ) . Điểm M ( a ; b ; c )
   
thỏa mãn MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng:

a

4.

3
.
2

ho

3
A. − .
2

K

nhất. Hồnh độ của điểm M bằng

B.

1
.
2

C.

5
.
2

7
.
2

ay

0.
Trong khơng gian Oxyz , cho A (1; 2;3) , B ( 2;1; − 3) , C ( 0; − 1;1) và ( P ) : x + y − z =
  
Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc ( P ) thỏa mãn MA + 3MB − 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của
1
B. − .
6

1
C. − .
3

1
D. − .
2

n

A. 1.

ie

M

c bằng

i
Ph

6.

D.

H

5.

3
.
2

oc

H

A.

im

K

Trong không gian Oxyz , cho A ( 0;1; 2 ) , B ( −1;0;3) , C ( 3; 2; − 2 ) và đường thẳng
  
x −1 y +1
d : = = z. Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc d thỏa mãn MA − 3MB + MC nhỏ nhất. Giá
3
2
trị của a + b + c bằng
53
53
55
48
A. − .
B. − .
C. − .
D. − .
8
7
7
7

n
Va

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE


GROUP FACEBOOK
Bài 5 – Tâm tỉ cự

57

A ( −1;3;5 ) , B ( 2;6; − 1) , C ( −4; − 12;5 )
và
    
( P ) : x + 2 y − 2 z − 5 =0. Gọi M là điểm thuộc ( P ) sao cho MA − 4MB + MA + MB + MC

Trong

7.

không

gian

Oxyz ,

cho

đạt giá trị nhỏ nhất. Cao độ của điểm M bằng
5

3
3
A. zM = .
B. zM = .
C. zM = .
2
8
4

T
e:
ag

3
D. zM = .
2

0. Gọi
Trong không gian Oxyz , cho A (1; 2;3) , B ( 2; − 1;3) , C (1;3;0 ) và ( P ) : x + y + z =
  
 
M là điểm bất kỳ thuộc ( P ) . Giá trị nhỏ nhất của MA + MB + 2 MC + 3MB + MC là

8.

L
ai
A.

ie

không

u

Trong

9.

446
.
4

B.

446.

gian

C.

B (1; 2;3) , C ( −2;1; 4 )

cho

Oxyz ,

D.

223.

223
.
4

và

mặt

2

2

B. −81.

C. −82.

a

A. −80.

ho

K

11
10
( S ) : x + y +  z −  = . Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc ( S ) thỏa
2
23


    
MO + 2 MB + MO + MB − 5MC đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của a + b − 14c bằng
2

cầu
mãn

D. −83.

H

oc

DẠNG 2 – CỰC TRỊ ĐỘ DÀI BÌNH PHƯƠNG VƠ HƯỚNG CỦA VECTƠ
Giả thiết

H

Cho n điểm A1 , A2 , ..., An với n số k1 , k2 , ..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0 và đường thẳng

M

=
T k1MA12 + k2 MA22 +…+ kn MAn2 nhỏ nhất

ay

d (hoặc mặt phẳng ( P ) ). Tìm điểm M trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng ( P ) ) sao cho

ie

Phương pháp giải

n

Gọi I là tâm tỉ cự hệ n điểm A1 , A2 , ..., An với n số k1 , k2 , ..., kn , nghĩa là điểm I thỏa mãn


 
k1 IA1 + k2 IA2 +…+ kn IAn = 0 .

i
Ph

T k1 IA12 + k2 IA22 + ... + kn IAn2 + ( k1 + k2 + ... + kn ) MI 2
Áp dụng cơng thức: =

K
im

Bài tốn trở về tìm vị trí điểm M để MI nhỏ nhất
BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Cho 3 điểm A (1;1;1) , B ( −1; 2;1) , C ( 3;6; − 5 ) . Biết M ( a ; b ; c ) thỏa mãn M ∈ ( Oxy ) và
biểu thức T = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng
A. 3.

B. 4.

C. 5.

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

D. 6.

n
Va

10.


GROUP FACEBOOK
Thầy Đỗ Văn Đức – Website: />
58

11.

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0;0; − 1) , B ( −1;1;0 ) , C (1;0;1) . Điểm M ( a ; b ; c )
thỏa mãn 3MA2 + 2 MB 2 − MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 4a + 2b + c bằng
A. −3.
Trong không gian

T
e:
ag
12.

C. −2.

B. 3.

Oxyz ,

D. 2.

0 và
( P ) : x − y + 2z =
M ( a ; b ; c ) thuộc ( P )

cho mặt phẳng

A (1; 2; − 1) , B ( 3;1; − 2 ) , C (1; − 2;1) .

Điểm

các điểm
sao

cho

MA2 − MB 2 − MC 2 lớn nhất. Giá trị của a + b + c bằng

B. −2.

C. −4.

D. −6.

 x= 2 + t

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( ∆ ) :  y =−1 + 2t ( t ∈  ) và

 z = 3t


u

ie

13.

L
ai

A. 0.

A. 200.

B. 400.

C. 100.

D. 300.

a

 8 4 8
Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; 2;1) , B  − ; ;  . Đường thẳng d đi qua tâm
 3 3 3
đường tròn nội tiếp của ∆OAB và vng góc với mặt phẳng ( OAB ) . Biết M là 1 điểm di

oc

H

14.

ho

MA4 + MB 4 là

K

hai điểm A ( 2;0;3) , B ( 2; − 2; − 3) . Điểm M thuộc đường thẳng ( ∆ ) . Giá trị nhỏ nhất của

15.

B. 25.

C. 30.

D. 35.

ay

A. 20.

H

động trên d . Giá trị nhỏ nhất của MA2 + 2 MB 2 bằng
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1;1; − 1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 3; − 1; − 2 ) . Giả sử
2

M

M ( a ; b ; c ) thuộc ( S ) : ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) =
861 sao cho P = 2 MA2 − 7 MB 2 + 4 MC 2 đạt
2

A. 49.

B. 51.

C. 55.

n

ie

giá trị nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng

D. 47.

i
Ph
K

16.

im

PHẦN 3 - LUYỆN TẬP

A. 1.

B.

3
.
2

C.

1
.
2

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

D.

1
.
4

n
Va

Trong không gian Oxyz , cho các điểm A (1;1; 2 ) , B ( 0; − 1; − 3) . Xét điểm M thay đổi trên
  
mặt phẳng ( Oxz ) , giá trị nhỏ nhất của OM + 2 MA + 3MB bằng?

GROUP FACEBOOK
Bài 5 – Tâm tỉ cự

17.

59

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2;3) , B ( −1;0; −3) , C ( 2; −3; −1) .
a) Tìm M thuộc mặt phẳng (α ) : 2 x + y − 2 z − 1 =0 sao cho S = 3MA2 + 4 MB 2 − 6 MC 2 đạt
giá trị nhỏ nhất.

T
e:
ag

  
x −1 y +1 z −1
b) Tìm M thuộc đường thẳng Δ : = =
sao cho P = MA − 7 MB + 5MC đạt
−1
2
3
giá trị nhỏ nhất.
36 thỏa mãn
c) Tìm M thuộc mặt cầu ( S ) : ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 8) 2 =

18.

L

ai

F =MA2 − 4 MB 2 + 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2;3;1) , B ( −1; −2;0 ) , C (1; 2; −2 )

ie

u

a) Lập phương trình mặt phẳng ( ABC ) .

ho

( ABC ) .

K

0 song song với
b) Tìm a, b sao cho mặt phẳng (α ) : ( 2a + b ) x + ( 3a + 2b ) y − z + 1 =

a

c) Tìm M ∈ ( β ) : 3 x + y − z + 1 =
0 sao cho S = 2 MA2 + 4 MB 2 − 3MC 2 nhỏ nhất;
  
d) Tìm N ∈ (γ ) : 3 x + 3 y − z − 29 =
0 sao cho P = 3 NA − 5 NB + 7 NA nhỏ nhất.

H

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −2;3;1) , B ( 5; −2;7 ) , C (1;8; −1) . Tìm tập hợp các

oc

19.

điểm M trong không gian thỏa mãn

H

x −1 y + 2 z
Cho A (1; 4; 2 ) , B ( −1; 2; 4 ) và Δ : = =
. Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆
−1
1
2
sao cho

ie

M

20.

   
b) AM + AB = BM + CM .

ay

a) MA2 + MB 2 =
MC 2 .

n

a) MA2 + MB 2 nhỏ nhất
  
b) 3OM + 2 AM − 4 BM nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

B. M ( 2; −1;1) .

C. M ( 6; − 18;12 ) .

--- Hết ---

DANG KY KHOA HOC INBOX PAGE

D. M ( −6;18;12 ) .

n
Va

A. M ( −2;1;1) .

M trên mặt phẳng ( P ) sao cho MA2 − 2 MB 2 lớn nhất.

im

0. Tìm tọa độ điểm
( P) : x + y + z =

A ( −3;5; −5 ) , B ( 5; −3;7 ) và mặt phẳng

K

21.

i
Ph

c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.