Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho sinh viên sư phạm toán theo định hướng gắn với hình học sơ cấp

nếu các điểm P1 , P2 , P3 và P4 đồng phẳng; là trọng tâm của tứ diện P1 P2 P3 P4 nếu
các điểm P1 , P2 , P3 và P4 không đồng phẳng mà SV đã biết trong chương trình phổ thông.
Qua hoạt động trên, GV sẽ giúp cho SV thấy được mối quan hệ giữa khái niệm Tâm tỉ cự
của một họ điểm Pi được học trong chương trình môn Hình học Afin và hình học Euclid ở trường
Sư phạm với các khái niệm trung điểm của một đoạn thẳng, trọng tâm của một tam giác, trọng tâm
của một tứ giác, trọng tâm của một tứ diện... đó là các khái niệm mà SV đã được biết trong chương
trình phổ thông.
ii) Tiếp theo, dưới sự hướng dẫn của GV, SV nghiên cứu nội dung hai định lí:
Định lí 2.2. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm P0 , P1 , . . . , Pk (với các họ hệ số khác nhau)
là cái phẳng bé nhất chứa các điểm ấy
Định lí 2.3. Cho m phẳng α đi qua m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , . . . , Pm và một điểm O tuỳ ý. Điều
m
m
−−→
−−→
kiện cần và đủ để điểm M thuộc α là OM =
λi OPi , trong đó
λi = 1.
i=0

i=0

Để giúp SV hiểu được và thấy được ý nghĩa của nội dung định lí (2.2) và định lí (2.3), với
cách làm tương tự như khi nghiên cứu về khái niệm Tâm tỉ cự của một họ điểm, GV phân tích và
đặc biệt hoá các định lí trên, khi đó SV sẽ thấy được nội dung định lí (2.3) trên là trường hợp tổng
quát của một số bài toán mà SV đã từng giải trong chương trình phổ thông:
Bài toán 2.1. Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC và một điểm O bất kì. G là trọng tâm của tam
−−→ −→ −−→ −−→
giác ABC khi và chỉ khi 3OG = OA + OB + OC.
45

Trần Trung, Trần Việt Cường

Bài toán 2.2. Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD và một điểm O bất kì. G là trọng tâm của tứ
giác ABCD khi và chỉ khi
−−→ −→ −−→ −−→ −−→
4OG = OA + OB + OC + OD
.
Bài toán 2.3. Trong không gian, cho tứ diện ABCD và một điểm O bất kì. G là trọng tâm của tứ
diện ABCD khi và chỉ khi
−−→ −→ −−→ −−→ −−→
4OG = OA + OB + OC + OD
.
iii) Sau đó, để giúp SV nắm vững được nội dung của bài Tâm tỉ cự của một họ điểm trong
không gian Afin, GV tiến hành phân tích cho SV thấy được ý nghĩa, vai trò của khái niệm này với
nội dung kiến thức hình học trong chương trình phổ thông, chẳng hạn như:
Trong không gian Afin n chiều An , xét hệ n + 1 điểm độc lập A0 , A1 , A2 , . . . , An . Khi đó,
ta có:
{A0 ; A1 , A2 , ..., An }
là mục tiêu Afin ứng với cơ sở Afin:
−−−→ −−−→
−−−→
A0 A1 , A0 A2 , ..., A0 An
Với mọi điểm M, ta có:
−−−→
A0 M =

n
i=1
n

=

−−−→
ti A0 Ai
−−−→ −−−→
ti A0 M + M Ai

i=1
n

ti

=

−−−→
A0 M +

n
i=0

−−−→ −
→
ti M Ai = 0 với t0 = 1 −

−−−→
ti M Ai

i=1

i=1

Từ đó, ta có:

n

n
i=1

ti hay

n

ti = 1 nên M là Tâm tỉ cự của hệ

i=0

điểm A0 , A1 , A2 , . . . , An gắn với họ hệ số t0 , t1 , t2 , . . . , tn , trong đó

n

ti = 1.
i=0

Khi đó, ta có t0 , t1 , t2 , . . . , tn là toạ độ của trọng tâm M đối với hệ điểm
A0 , A1 , A2 , . . . , An . Như vậy, nếu t0 , t1 , t2 , . . . , tn là toạ độ trọng tâm của M đối với hệ
A0 , A1 , A2 , . . . , An thì t1 , t2 , . . . , tn là toạ độ trọng tâm của M đối với mục tiêu Afin
{A0 ; A1 , A2 , ..., An }, với

n

ti = 1.
i=0

Từ nhận xét này, GV yêu cầu SV sử dụng kiến thức đề tâm tỉ cự để có thể định hướng lời
giải và giải bài toán sau [3]:
46


Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho sinh viên Sư phạm Toán...

Bài toán 2.4. Cho tứ diện ABCD và O là điểm bất kì trong tứ diện. Gọi V1 , V2 , V3 , V4 lần lượt là
thể tích của các tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Chứng minh rằng:
−→
−−→
−−→
−−→ −
→
V1 .OA + V2 .OB + V3 .OC + V4 .OD = 0

(2.1)

Ý tưởng vận dụng HHCC. Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD. Đẳng thức cần chứng minh
tương đương với hệ thức sau đây:
V1 −→ V2 −−→ V3 −−→ V4 −−→ −
→
.OA + .OB + .OC + .OD = 0
V
V
V

V
.
Điều này chứng tỏ O là tâm tỉ cự của hệ bốn điểm độc lập {A, B, C, D} trong A3 ứng
V1 V2 V3 V4
, , ,
, suy ra toạ độ của O trong mục tiêu Afin {A; B, C, D} là:
với họ hệ số:
V V V V
V2 V3 V4
, ,
V V V
Tức là ta có biểu diễn sau:
−→ V2 −
−→ V3 −→ V4 −−→
AO =
AB + AC + AD
V
V
V
Do đó, ta cần chứng tỏ
−−
→ −→ −−→
AB, AC, AD .

V2 V3 V4
, ,
V V V

−→
là hệ số của AO trong khai triển đối với cơ sở

Từ đó, ta có lời giải bài toán trên như sau:

−→
−
−
→
−→
−−→
Giả sử AO = xAB + y AC + z AD. Ta cần chứng minh:
x=

V3
V4
V2
,y =
,z =
.
V
V
V
47


Trần Trung, Trần Việt Cường

Thật vậy, dựng hình hộp M N OQAP RS nhận AO làm đường chéo chính, ba cạnh kề nằm
trên ba cạnh của tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
AM
Đặt x =

. Gọi O ′ là giao điểm của BO với mặt phẳng (ACD). Gọi H và K lần lươt
AB
là hình chiếu của B và O lên mặt phẳng (ACD). Gọi L là giao điểm của BN với AD. Khi đó, ta
có:
OK
OO ′
AM
NL
V2
=
=
=
=x
=
′
V
BH
BO
BL
AB
Chứng minh tương tự được y =
Nên ta có:
Vậy:

3.

V4
V3
,z =
.

V
V

−→ V3 −→ V4 −−→
−→ V2 −
AB + AC + AD
AO =
V
V
V
−→
−−→
−−→
−−→ −
→
V1 .OA + V2 .OB + V3 .OC + V4 .OD = 0 .

Kết luận

Khi dạy học, nếu các GV bộ môn Hình học dành một lượng thời gian thích hợp để phân tích
cho SV thấy được mối quan hệ giữa nội dung HHCC với nội dung HHSC thì sẽ giúp cho SV không
những hiểu rõ hơn các nội dung của HHCC mà còn thấy được mối quan hệ khăng khít giữa các
kiến thức của HHCC được học trong các trường Sư phạm với nội dung HHSC được trình bày trong
chương trình phổ thông, tứ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Văn Như Cương, Tạ Mân, 1998. Hình học Afin và hình học Euclid. Nxb Đại học Quốc gia
Hà Nội.

[2]

Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, 2013. Giáo trình hình học sơ cấp. Nxb Giáo dục
Việt Nam.

[3]

Đào Tam, 2004. Giáo trình hình học sơ cấp. Nxb Đại học Sư phạm.
ABSTRACT
Teaching the barycentric to mathematics students
with an Orientation towards elementary geometry

In this paper, we show how teaching the barycentric to mathematics high school students
with an orientation associated with elementary geometry helps students see the relationship to
high geometry

48