Các dạng toán về hình học giải tích trong không gian ôn thi đại học 2013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (434.4 KB, 28 trang )
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
1
CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
Phần I: Các phương pháp lập phương trình mặt phẳng
Bài toán 1. Lập phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ
phương
, .
u v
Phương pháp:
Bước 1: Tính vectơ
, .
n u v
Bước 2: Mặt phẳng
đi qua điểm A nhận
,
n k u v
(với
k R
,
0
k
) làm vectơ pháp
tuyến. Chú ý :
, 0.
u v
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng
P
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
(Q) biết
3; 2;5 , 1; 1;3 , : 3 2 4 0.
A B Q x y z
Giải
Ta có
2;1;2
MN
,
1; 3;2
Q
n
,
, 4;2;5
Q
MN n
. Mặt phẳng (P) qua
3; 2;5
M , có vectơ pháp tuyến
4;2;5
P
n
: 4 3 2 2 5 5 0
P x y z
.
Vậy :
: 4 2 5 9 0
P x y z
.
Bài tập: Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
1) Đi qua điểm A
1; 2;1
và có cặp vectơ chỉ phương
1;0;1 , 2;1;0
u v
.
Đáp số:
2 4 0.
x y z
2) Đi qua điểm A, vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) với:
3;1; 1 , 2; 1;4 , : 2 3 1 0.
A B Q x y z
Đáp số:
13 5 5 0.
x y z
3) Đi qua hai điểm
3;1; 1 , 2; 1;4
A B và vuông góc với mặt phẳng
: 2 3 1 0
Q x y z
. Đáp số:
13 5 5 0.
x y z
Bài toán 2. Lập phương trình mặt phẳng
P
theo đoạn chắn.
Phương pháp:
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
2
Bước 1: Viết phương trình
P
qua 3 điểm
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
với a
0
abc
có
dạng
: 1.
x y z
P
a b c
Bước 2: Từ giả thiết bài toán tìm a,b,c từ đó suy ra phương trình mặt
phẳng
P
.
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng
P
qua
1;2;3
M , cắt Ox, Oy, Oz tại tại A, B, C sao cho
thể tích OABC có giá trị nhỏ nhất.
Giải
Gọi
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
thuộc Ox, Oy, Oz (
, , 0
a b c
). Phương trình mặt phẳng
: 1.
x y z
P
a b c
Vì
1;2;3
M thuộc
P
nên
1 2 3
1
a b c
. Áp dụng bất đẳng thức cô si ta
có:
3
1 2 3 6
3 27.6
abc
a b c abc
. Mặt khác
27 ( ) 27
6
OABC OABC
abc
V V Min
. Dấu bằng
xảy ra khi:
1 2 3
3
1
6 : 1
1 2 3
3 6 9
9
a
x y z
a b c
b P
c
a b c
. Vậy
: 6 3 2 18 0.
P x y z
Bài tập:
Bài 1. Cho hai điểm
4; 9;12
M ,
2;0;0
A .
a. Lập phương trình
P
qua M , A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B, C sao cho
1.
OB OC
Đáp số:
:3 2 3 6 0.
P x y z
b. Lập phương trình
P
qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại N, P, Q sao cho
OQ ON OP
và:
4 1 1
.
OQ OP ON
Đáp số:
: 2 2 14 0.
P x y z
Bài 2. Lập phương trình mặt phẳng
P
trong các trường hợp sau:
a. Đi qua
2; 1;4
M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại P; Q; R sao cho:
OR 2 2 .
OP OQ
Đáp
số:
2 2 6 0;2 2 10 0;2 2 2 0;2 2 2 0.
x y z x y z x y z x y z
b. Đi qua
1;2;3
M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C sao cho tam giác ABC đều. Đáp số:
: 6 0.
P x y z
Bài toán 3. Lập phương trình mặt phẳng (P) sử dụng công thức về góc giữa hai mặt phẳng.
Phương pháp:
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
3
Bước 1: Gọi
; ;
P
n A B C
tìm mối liên hệ của các đại lượng trong vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (P) ( Thông thường
P
n
chỉ còn hai trong ba đại lượng A, B, C).
Bước 2: sử dụng công thức
.
os
Q P
Q P
n n
c
n n
với
là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q).
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua
0;0;1 , 3;0;0
M N và tạo với mặt phẳng Oxy một
góc
60
.
Giải
Gọi
: Ax 0
P By Cz D
với
2 2 2
0
A B C
. Do M và N thuộc (P) nên
0
3 0
C D
A D
3
C A
C D
: Ax 3 3 0
P By Az A
; ;3
P
n A B A
;
Ox
0;0;1
y
n
Ox
2 2
2 2 2
Ox
.
3
1
Cos60 26
2
9
y P
y P
n n
A
B A
n n
A B A
. Chọn
1 26
A B .
Vậy:
: 26 3 3 0
: 26 3 3 0
P x y z
P x y z
.
Bài tập: Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) Qua
0;0;1 , 0;3;0
A B tạo với mặt phẳng Oxy một góc
30
.
Đáp số:
2 3 3 0.
x y z
b) Chứa trục Oz tạo với mặt phẳng
: 2 5 7 0
Q x y z
một góc
60
.
Đáp số:
3 0; 3 0.
x y x y
Bài toán 4. Lập phương trình mặt phẳng (P) sử dụng công thức về khoảng cách.
Phương pháp: Bước 1: Định dạng mặt phẳng
P
theo giả thiết bài toán ( Tìm mối liên hệ giữa
A, B, C, D). Bước 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ
0 0 0
; ;
M x y z
đến mặt phẳng
( ) : Ax 0
P By Cz D
là
0 0 0
,
2 2 2
Ax
M P
By Cz D
d
A B C
.
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
( ) : 2 2 5 0
Q x y z
và
cách điểm
2; 1;4
B một khoảng bằng 4.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
4
Giải
Vì (P)
/ /
(Q) nên
: 2 2 0 5
Q x y z D D
. Khoảng cách từ B đến (P)
,
2 2 1 2.4
1 4 4
B P
D
d
20
8
4
4
3
D
D
D
Vậy:
( ) : 2 2 20 0;
P x y z
( ) : 2 2 4 0
P x y z
.
Ví dụ 2: Cho 4 điểm
1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1 , 0;3;1
A B C D . Lập phương trình mặt phẳng
(P) qua A, B và cách đều C, D.
Giải
Giả sử
: Ax 0
P By Cz D
với
2 2 2
0
A B C
. Vì A, B thuộc (P) nên ta có:
2 0 3 2 0
2 3 0 2 3
A B C D A B C
A B C D D A B C
.
Do
( ; )
;
2 3
C P
D P
d d A B C D B C D
2
2
3 2
A B
A B C A B C
A C
Với
2
A B
thì
2 7
C D
, chọn
7 2, 4, 15
C B A D
: 4 2 7 15 0
P x y z
Với
3 2
A C
thì
0
B
, chọn
2 3, 5
A C D
: 2 3 5 0
P x z
Vậy:
: 4 2 7 15 0
P x y z
và
: 2 3 5 0
P x z
Bài tập: Bài 1. Cho 4 điểm
1; 2; 1 , 3; 2; 3 , 4;4; 2 , 3;2; 4
A B C D
. Lập phương
trình mặt phẳng (P) qua C, D sao cho
, ;
2
A P B P
d d
. Đáp số:
2 8 28 0
x y z
;
34 31 88 188 0
x y z
.
Bài 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với
: 4 3 12 1 0
Q x y z
và tiếp xúc với
mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 2 0.
S x y z x y z
Đáp số:
4 3 12 26 0;
x y z
4 3 12 78 0.
x y z
Phần II: Các phương pháp lập phương trình đường thẳng
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua một điểm M cho trước và vuông góc
với mặt phẳng
P
cho trước.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
5
Phương pháp:
Vì
d P
nên chọn
d P
u n
.
d
qua M , có vectơ chỉ phương
d P
u n
.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có
1; 2;1 ; 4;0;2 ; 2; 1; 4
A B C
. Viết phương trình
d
đi qua gốc
tọa độ và vuông góc với mặt phẳng
ABC
.
Giải
Ta có :
3;2;1
AB
;
1;1; 5
AC
;
11;16;1
AB AC
. Chọn
11;16;1
n
là VTPT của
mặt phẳng
ABC
.
Vì
d ABC
nên
11;16;1
d
u n
. Đường thẳng
d
qua điểm
0;0;0
O , có VTCP
11;16;1
d
u
nên :
11 16 1
x y z
d
.
Bài tập: Cho
2;1;1
A và mặt phẳng
: 2 0
P x y z
.
1) Viết phương trình d qua A và vuông góc với
.
P
2) Tìm tọa độ H là giao điểm của d và
P
. Tính khoảng cách từ H đến
P
.
Đáp số : 1)
2 1 1
:
2 1 1
x y z
d
; 2)
6
.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với
1 2
,
d d
(
1 2
,
d d
không
cùng phương).
Phương pháp:
Vì
1 1
2
2
d d u u
d d
u u
nên chọn
1 2
u u u
là VTCP của d.
d qua điểm A, có VTCP
u
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
1;1;3
A , vuông goác với hai đường thẳng
1
1 3 4
:
1 1 2
x y z
d
và
2
1 12
: .
2 1 1
x y z
d
Giải
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
6
Ta có :
1 2
1; 1;2 ; 2;1;1
u u
; Chọn
1 2
3;3;3
u u u
là VTCP của đường thẳng d. Mặt
khác d đi qua
1;1;3
A nên d có phương trình là
1 1 3
:
1 1 1
x y z
d
.
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
2; 1;1
A và vuông góc với hai đường thẳng sau
1
1 2 2
:
1 1 2
x y z
d
và
2
2
: 3 2 , .
0
x t
d y t t R
z
Đáp số:
2 1 1
:
4 2 1
x y z
d
.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
(
2
A d
).
Phương pháp:
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc vớ i
1
d
.
Tìm giao điểm B của
2
d
với (P).
Phương trình d là phương trình qua 2 điểm A và B.
Ví dụ: Viết phương trình d qua
1;1;1
A , vuông góc với
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
và cắt đường
thẳng
2
:
1 2 2
x y z
d
.
Giải
Gọi (P) là mặt phẳng qua
1;1;1
A vuông góc với
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
. Ta có :
(P) là mặt phẳng qua
1;1;1
A có VTPT
1; 2;1
n
: 2 0
P x y z
. Gọi
B là giao điểm của
2
d
với mặt phẳng
P
0;0;0
B
1; 1; 1
AB
. Đường thẳng d qua
1;1;1
A có VTCP
1;1;1
u
nên đường
thẳng d có phương trình
1 1 1
: .
1 1 1
x y z
d
Bài tập: Viết phương trình d qua
1;2;3
A , vuông góc với
1
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d
và cắt
đường thẳng
2
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d
. Đáp số:
1 2 3
: .
1 3 5
x y z
d
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt hai đường thẳng
1 2
;
d d
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
7
Phương pháp:
Gọi
1 2
;
M d N d
.
Vì A, M, N thẳng hàng nên
AM k AN
từ đó suy ra toan độ M, N.
Phương trình d qua 2 điểm A,M hoặc A, N.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua
1;1;1
A , cắt cả hai đường
1 2
;
d d
có phương trình
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
và
2
:
1 2 2
x y z
d
.
Giải
Gọi
;1 2 ;1
M t t t
và
;2 ;2
N u u u
thuộc
1 2
;
d d
. Ta có :
1; 2 ;
AM t t t
;
1;2 1;2 1
AN u u u
.
Vì A, M, N thẳng hàng nên
AM k AN
1 1
1
2 2 1 2
0
2 1
t k u
ku
t k u k
t
t k u
1;0;0
AM
. Suy ra d có phương trình
1
: 1 , .
1
x t
d y t R
z
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
1; 1;1
A , cắt cả hai đường
1 2
;
d d
có phương
trình
1
1 2
: ,
3
x t
d y t t R
z t
và
2
1 2
:
1 2 1
x y z
d
. Đáp số:
1 1 1
: .
6 1 7
x y z
d
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng
.
Phương pháp:
Gọi
M
AM
.
Vì
. 0
AM AM u
M
.
Phương trình d qua hai điểm A và M.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua
4; 2;4
A , cắt và vuông góc với đường thẳng
3 2
: 1 , .
1 4
x t
y t t R
z t
Giải
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
8
Gọi M thuộc
3 2 ;1 ; 1 4
M t t t
1 2 ;3 ; 5 4 ; 2; 1;4
AM t t t u
.
Ta có :
. 0 1 3;2; 1
MA AM u t AM
. Đường thẳng d qua
4; 2;4
A , có
VTCP
3;2; 1
u
. Vậy
4 2 4
: .
3 2 1
x y z
d
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua
4; 2;4
A , cắt và vuông góc với đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
. Đáp số:
4 2 4
:
5 6 7
x y z
d
.
Bài toán 6: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
.
Phương pháp:
Gọi A, B thuộc
1 2
;
d d
(theo 2 tham số khác nhau).
Ta có:
1 1
2
2
. 0
. 0
AB d AB u
AB d
AB u
, từ đó tìm được A, B.
Phương trình d là phương trình AB.
Ví dụ: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
biết:
1
3 1 4
:
1 1 1
x y z
d
;
2
2 4 3
:
2 1 4
x y z
d
.
Giải
Gọi
3 ; 1 ;4
A t t t
;
2 2 ;4 ; 3 4
B u u u
1 2
;
d d
,
1 2 ;5 ; 7 4
AB u t u t u t
Ta có:
1 1
2
2
1;1;2
. 0
7 3 13 1
21 7 35 2
4;3;1
. 0
A
AB d AB u
u t u
AB d u t t
B
AB u
Đường thẳng d qua
1;1; 2
A , có VTCP
3;2; 1
u
. Vậy
1 1 2
:
3 2 1
x y z
d
.
Bài tập: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
biết:
1
1 1 2
:
2 3 1
x y z
d
;
2
2 2
:
1 5 2
x y z
d
. Đáp số:
17 7 24
13 13 13
: .
11 5 7
x y z
d
Bài toán 7: Viết phương trình d nằm trong (P) cắt cả hai đường thẳng
1 2
;
d d
.
Phương pháp:
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
9
Xác định
1 2
;
A d P B d P
.
Phương trinh AB chính là phương trình d.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
: 2 4 0
P x y z
và cắt cả
hai đường
1
3 2 6
:
2 1 5
x y z
d
và
2
6 1
:
3 2 1
x y z
d
.
Giải
Gọi
1 2
3 2 ;2 ;6 5 ; 6 3 ;2 ;1
A t t t d B u u u d
. Vì A và B cùng thuộc (P) nên ta có:
1;1;1
2 3 2 2 6 5 4 0 1
2; 3;1
1
3; 2;0
2(6 3 ) 2 1 4 0
A
t t t t
AB
u
B
u u u
. Đường thẳng d qua
1;1;1
A và có VTCP
2; 3;1
u
. Vậy
1 1 1
: .
2 3 1
x y z
d
Bài tập:Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
: 2 0
P y z
và cắt cả hai
đường
1
1
:
4
x t
d y t
z
và
2
2
: 4 2
1
x u
d y u
z
. Đáp số:
1
: .
4 2 1
x y z
d
Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc
với đường thẳng
.
Phương pháp:
Ta có:
P
u n
d P
d
u u
Chọn
P
u n u
.
Gọi
.
M d M P
Viết phương trình d qua M có VTCP
u
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
: 1 0
P x y z
cắt và
vuông góc với
1 1 1
:
1 2 2
x y z
.
Giải
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
10
Ta có:
1;1; 1
P
n
;
(1;2;2)
u
vì
P
u n
d P
d
u u
Chọn
4; 3;1
P
u n u
. Gọi M
là giao điểm của
d
với
P
tọa độ M là nghiệm của hệ:
1
0
1 2
1;1;1
1 2
1 0
x t
t
y t
M
z t
x y z
Đường thẳng d qua
1;1;1
M , có VTCP
4; 3;1
u
. Vậy
1 1 1
: .
4 3 1
x y z
d
Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
: 2 2 9 0
P x y z
cắt và
vuông góc với
1 3 3
:
1 2 1
x y z
. Đáp số:
: 1 , .
4
x t
d y t R
z t
Bài toán 9: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d là hình chiếu vuông
góc của
lên mặt phẳng (P) (
d
không vuông góc với
P
).
Phương pháp:
Nếu
/ /
P
thì:
Chọn điểm M thuộc
. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên
.
P
d qua H và có VTCP là
u
.
Nếu d cắt
P
thì:
Viết phương trình mặt phẳng
Q
chứa
và vuông góc với
.
P
Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
Q
và
.
P
Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của
2 1 2
:
2 2 1
x y z
lên mặt phẳng
: 3 4 0
P x y z
.
Giải
Nhận xét :
cắt
P
.
Gọi
Q
là mặt phẳng chứa
và vuông góc với mặt phẳng (P).
Q
qua M
2; 1;2
có VTPT
5;1;8
n
: 5 8 5
Q x y z
.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
11
d là giao tuyến của
;
P Q
5 8 5 0
:
3 4 0
x y z
d
x y z
hay
4 1 3
: .
25 13 14
x y z
d
Bài tập: Cho đường thẳng
8 3
:
1 1 3
x y z
d
và mặt phẳng
P
đi qua 3 điểm
7;0;0
A ,
0;7;0
B ,
(0;0;7)
C . Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên
P
. Đáp số:
4
: 4 8 , .
7 8
x
d y t t R
z t
Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng d sử dụng công thức về góc.
Phương pháp:
Gọi
là góc của
d
và
ta có
.
os
.
d
d
u u
c
u u
.
Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d qua
1;1; 2
A và vuông góc với
1 2
:
2 1 2
x y z
và
tạo với trục Oz 1 góc
sao cho:
1)
45 ;
2)
nhỏ nhất.
Giải
Giả sử:
; ;
d
u a b c
với
2 2 2
0
a b c
là VTCP của d. Vì d
nên
. 0
d
u u
2 2 .
b a c
Ta có
2 2 2 2 2
os( , ) os .
5 8 5
c c
C d Oz C
a b c a ac c
1)
2 2
2 2
1
45 5 8 3 0
5 3
2
5 8 5
a c
c
a ac c
a c
a ac c
.
Với
a c
. Chọn
1 1; 0
c a b
1
: 1 , .
2
x t
d y t R
z t
Với
5 3
a c
. Chọn
1 3
5 3; 4 : 1 4 , .
2 5
x t
c a b d y t t R
z t
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
12
2) Ta có :
2
2
2 2
os
5 8 5
c
C
a ac c
Với
0 os 90
c C
Với
0
c
, đặt
a
t
c
ta có
2
2
2
1 1 5
Cos
5 8 5 9
4 9
5
5 5
t t
t
. Với
0 90
thì
nhỏ
nhất khi
os
C
lớn nhất
2
os
C
lớn nhất
4 4
5 5
a
t
c
. Chọn
5
c
4; 2.
a b
Phương trình
1 1 2
:
4 2 5
x y z
d
.
Bài tập:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua
1;2;3
A và tạo với các trục Ox, Oy các góc lần
lượt là
60
và
45
. Đáp số:
1
: 2 2 , .
3
x t
d y t t R
z t
Bài 2: Cho đường thẳng
2
:
1 2 2
x y z
và mặt phẳng
: 5 0
P x y z
. Viết phương
trình đường thẳng d qua
3; 1;1
A vuông góc với
P
và tạo với đường thẳng
một góc
45
.
Đáp số:
3
: 1
1
x t
d y t
z
hoặc
3 7
: 1 8 , .
1 15
x t
d y t t R
z t
Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng sử dụng công thức về khoảng cách.
Phương pháp: Đường thẳng
qua điểm M, và có VTCP là
u
khi đó khoảng cách từ A đến
là:
;A
u AM
d
u
.
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d qua
1;0;1
A vuông góc với
1 1 1
:
1 2 1
x y z
,
đồng thời d cách gốc tọa độ một khoảng bằng
2.
Giải
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
13
Gọi
; ;
u a b c
với
2 2 2
0
a b c
là VTCP của đường thẳng d. Vì d
nên
. 0
d
u u
2 0
a b c
2
c a b
. Ta có d qua
1;0;1
A
1;0;1 ; ;
d
OA OA u b a c b
; 2 ;
b b b
2 2
;
2 2 2 2 2
6 6
2
5 4 5
d
o d
d
OA u
b b
d
u
a b c a ab b
2
0
a b
a b
. Chọn
1 1; 1
a b c
, đường thẳng
1 1
: .
1 1 1
x y z
d
Bài tập:
Bài 1: Cho điểm
3;0;1 , 1; 1;3
A B và mặt phẳng
: 2 2 5 0
P x y z
. Viết phương trình
đường thẳng d qua A song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d ngắn nhất.
Đáp số:
3 1
: .
26 11 2
x y z
d
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
: 1 0
P x y z
, vuông góc với
1 1 1
:
1 2 2
x y z
và cách giao điểm của
với
P
một khoảng là
78.
Đáp số:
3 6 8
:
4 3 1
x y z
d
hoặc
1 4 6
:
4 3 1
x y z
d
.
Bài 3: Cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 1
x y z
và mặt phẳng
: 2 0
P x y z
. Viết
phương trình
d
nằm trong mặt phẳng
P
sao cho cho
d
vuông góc với
và khoẳng cách
giữa hai đường
d
và
bằng
2 21
3
.
Đáp số:
5 2 5
:
2 3 1
x y z
d
hoặc
3 4 5
:
2 3 1
x y z
d
.
Phần III: Các phương pháp lập phương trình mặt cầu
Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu dùng phương trình tổng quát.
Phương pháp:
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
14
Phương trình mặt cầu có dạng tổng quát là
2 2 2
: 2 2 2 0
S x y z ax by cz d
với
2 2 2
a b c d
. Tâm của mặt cầu là
; ;
I a b c
và bán kính mặt cầu là
2 2 2
R a b c d
.
Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Đi qua 3 điểm
0;1;0 , 1;0;0 , 0;0;1
A B C và có tâm thuộc mặt phẳng
: 3 0
P x y z
.
2) Đi qua 4 điểm
1;1;0 , 0;2;0 , 0;0;2
A B C và gốc tọa độ.
Giải
1) Giả sử mặt cầu có dạng:
2 2 2
: 2 2 2 0
S x y z ax by cz d
( với
2 2 2
a b c d
). Vì 3 điểm
, ,
A B C
cùng
thuộc
S
nên ta có:
1 2 0
1 2 0
1 2 0
b d
a d
c d
1
2
3
. Mặt khác tâm
; ;
I a b c P
nên ta có:
3 0
a b c
4
. Giải hệ gồm 4 phương trình ta được :
1; 1; 1; 1
a b c d
( Thỏa mãn)
Vậy
2 2 2
: 2 2 2 1 0.
S x y z x y z
2) Giả sử mặt cầu có dạng:
2 2 2
: 2 2 2 0
S x y z ax by cz d
( với
2 2 2
a b c d
). Vì 4 điểm
, , ,
A B C O
cùng
thuộc
S
nên ta có:
2 2 2 0
4 4 0
4 4 0
0
a b d
b d
c d
d
1
2
3
4
. Giải hệ gồm 4 phương trình ta được :
0; 1; 1; 0
a b c d
. Vậy
2 2 2
: 2 2 0.
S x y z y z
Bài tập: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Đi qua 3 điểm
3;6;1 , 2;2; 3 , 6;2;0
A B C và có tâm thuộc mặt phẳng
: 2 3 0
P x y z
. Đáp sô:
2 2 2
39 51 57 272
: 0.
5 5 5 10
S x y z x y z
2) Đi qua 4 điểm
1;4;0 , 4;0;0 , 2; 2;0 , 1;1;6
A B C D .
Đáp số:
2 2 2
: 4 12 0.
S x y z x y z
Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
Phương pháp:
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
15
Mặt cầu có tâm
; ;
I a b c
, bán kính R có phương trình là
2 2 2
2
: .
S x a y b z c R
Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Qua
3;1; 1
A
và có tâm
1;2; 1
I
.
2) Qua hai điểm
3;1; 1
A
,
5;5;0
B và có tâm thuộc trục Ox.
Giải
1) Mặt cầu
S
có tâm
1;2; 1
I
có dạng :
2 2 2
2
: 1 2 1
S x y z R
.
Điểm
3;1; 1
A
S
2 2 2
2 2
3 1 1 2 1 1 5.
R R
Vậy phương trình mặt
cầu là
2 2 2
: 1 2 1 5
S x y z
.
2) Mặt cầu
S
có tâm
Ox
I
, có dạng:
2
2 2 2
: .
S x a y z R
Điểm
3;1; 1
A
2
2
3 1
S a R
1
.
Điểm
5;5;0
B
2
2
5 25
S a R
2
.
Giải hệ phương trình
1 ; 2
ta được
2
10; 50
a R
. Vậy mặt cầu cần tìm có phương
trình là:
2
2 2
: 10 50
S x y z
.
Bài tập: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Qua
3;2;8
A và có tâm
1;3;6
I . Đáp số:
2 2 2
: 1 3 6 9.
S x y z
2) Qua ba điểm
2;3;3
A ,
1;1; 2
B ,
4;2;2
C và có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz).
Đáp số:
2 2
2
: 9 10 209
S x y z .
Bài toán 4: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn, viết phương
trình mặt cầu (S).
Phương pháp:
Cho mặt cầu
S
tâm I và có bán kính R. Mặt phẳng (P), khoảng cách từ I đến (P) là
,
d I P
.
Nếu
,
d I P R
thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là một đường tròn tâm
H
,
có bán kính
r
với:
H
là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P).
2 2
,
r R d I P
.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm
1; 2;3
I , cắt mặt phẳng
: 2 2 12 0
P x y z
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
3.
r
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
16
Giải
Ta có:
2
2
1.1 2. 2 2.3 12
; 1
1 2 2
d I P
. Gọi
R
là bán kính mặt cầu
S
ta có
2 2 2
; 4
R r d I P
. Vậy
2 2 2
: 1 2 3 4.
S x y z
Bài tập: Viết phương trình mặt cầu có tâm
1;2;0
I , cắt mặt phẳng
: 2 2 2 0
P x y z
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
2 2.
r
Đáp số:
2 2
2
: 1 2 9.
S x y z
Ví dụ 2: Đề thi ĐH khối A năm 2009.
Cho mặt phẳng
( ) :2 2 4 0
P x y z
, và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 6 11 0
S x y z x y z
.
Chứng minh rằng mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo một đường tròn. Xác định tâm và bán
kính của đường tròn đó.
Giải
Mặt cầu
S
có: Tâm
1;2;3
I và bán kính
2 2 2
1 2 3 11 5
R
. Ta có
,d I P
2 2
2
1.2 2.2 1.3 4
3
2 2 1
R
mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo một đường tròn.
Gọi H và r là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến .Ta có
2 2
, 4
r R d I P
,
Phương trình đường thẳng
:
IH
Qua
1;2;3
I , có VTCP
2; 2; 1
u
,
1 2
: 2 2 , .
3
x t
IH y t t R
z t
H là giao điểm của IH và
P
là nghiệm của hệ:
1 2
3
2 2
0 3;0;2
3
2
2 2 4 0
x t
x
y t
y H
z t
z
x y z
.
Vậy
4; 3;0;2 .
r H
Bài tập: Gọi
T
là giao tuyến của
2 2
2
( ) : 3 ( 2) 1 100
S x y z với mặt phẳng
( ) : 2 2 9 0
P x y z
.Xác định tâm và bán kính của
T
.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
17
S: 1; 2;3 , 8
Đ H r
.
Bài toán 5: Đường thẳng
cắt mặt cầu
S
tại hai điểm A và B. Biết độ dài AB viết
phương trình mặt cầu
S
.
Phương pháp:
Gọi
,
d I
là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng
khi đó:
2
2 2
,
4
AB
R d I AB
.
Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu có tâm
1;1;1
I , cắt đường thẳng
14 5
:
4 1 2
x y z
tại hai
điểm A và B sao cho
16.
AB
Giải
Ta có: VTCP của
là
4;1; 2
u
và
qua
4;0; 5
M
13;1;6MI
8; 2; 17
MI u
,
64 4 289
, 17
16 1 4
MI u
d I
u
. Gọi R là bán kính của mặt
cầu
S
thì
2
2 2
,
4
AB
R d I
81
. Vậy:
2 2
2
: 1 1 ( 1) 81.
S x y z
Bài tập: Viết phương trình mặt cầu có tâm
1;3;5
I , cắt đường thẳng
2 3
:
1 1 1
x y z
tại
hai điểm A và B sao cho
12.
AB
Đáp số:
2 2
2
: 1 3 ( 5) 50.
S x y z
Bài toán 6: Viết phương trình mặt cầu
S
có tâm thuộc đường thẳng
và tiếp xúc với hai
mặt phẳng
P
và
.
Q
Phương pháp:
Gọi
I
(theo tham số).
Vì
S
tiếp xúc với hai mặt phẳng
P
và
Q
nên
, , .
d I P d I Q
Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu
S
có tâm thuộc đường thẳng
2 1 8
:
1 2 2
x y z
và tiếp
xúc với hai mặt phẳng:
: 2 2 2 0; : 2 2 4 0.
P x y z Q x y z
Giải
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
18
Vì
2 ;1 2 ;8 2
I I t t t
;
14
,
3
t
d I P
,
8
,
3
t
d I Q
. Do
S
tiếp xúc với
hai mặt phẳng
P
và
Q
nên
, , 14 8 11
d I P d I Q R t t t
13; 21; 14 1
I R
. Vậy
2 2
2
: 13 21 ( 14) 1.
S x y z
Bài tập:Viết phương trình mặt cầu
S
có tâm thuộc đường thẳng
3 6
:
1 1 1
x y z
và tiếp
xúc với hai mặt phẳng:
: 2 2 6 0; : 2 2 7 0.
P x y z Q x y z
Đáp số:
2 2
2
4
: 2 1 ( 4) .
9
S x y z
Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng cắt hoặc tiếp xúc với một mặt cầu cho trước.
Phương pháp:
Mặt phẳng
P
tiếp xúc với mặt cầu
S
, .
d I P R
Mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
tâm
I
, bán kính
R
theo một đường tròn tâm
H
, bán
kính
.
r
Khi đó chọn
P
IH n
.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng
Q
và tiếp xúc với mặt
cầu
( )
S
với:
: 4 3 12 1 0
Q x y z
và
2 2 2
( ) : 2 4 6 2 0
S x y z x y z
.
Giải
Mặt cầu
S
có: Tâm
1;2;3
I và bán kính
2 2 2
1 2 3 2 4
R
. Vì
/ /
P Q
nên
( ):4 3 12 0 1
P x y z d d
. Mặt khác
P
tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
nên
, .
d I P R
78
26
4 .
26
13
dd
d
Vậy:
( ):4 3 12 78 0
( ):4 3 12 26 0
P x y z
P x y z
.
Bài tập: Viết phương trình mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng
Q
và tiếp xúc với mặt
cầu
( )
S
với:
: 4 3 17 0
Q x z
và
2 2 2
( ) : 6 4 2 11 0
S x y z x y z
.
Đáp số:
( ):4 3 40 0
( ):4 3 10 0
P x z
P x z
.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng
Q
:
2 3 4 0
x y z
và
cắt mặt cầu
2 2 2
: 1 1 2 6
S x y z
theo một đường tròn có chu vi là
2
.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
19
Giải
Vì
/ /
P Q
nên
( ): 2 3 0
P x y z d
1
d
. Đường tròn có chu vi
2
nên
1
r
2 2
1 2 6
, 5 5 9 70.
14
d
d I P R r d
Vậy mặt phẳng cần tìm là
: 2 3 9 70 0.
P x y z
Bài tập: Cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 25
S x y z
,mặt phẳng
( ) : 1 0
Q x y z
,đường thẳng
3 1
( ) :
4 2 1
x y z
.Viết phương trình
( ) / /
P
,vuông góc với
( )
Q
và cắt
( )
S
theo một đường
tròn có bán kính bằng 4.
S:( ) : 3 2 3 14 0
Đ P x y z
.
Bài toán 9: Bài tập tổng hợp.
Bài 1: Cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 4 8 16 0
S x y z x y z
, và đường thẳng có phương trình
3 1
( ) :
1 1 2
x y z
.Viết phương trình
( )
P
,chứa đường thẳng
tiếp xúc với
.
S
S:( ) : 2 5 0
Đ P y z
hoặc
: 2 1 0.
P x z
2 2 2
S:( ): 3 5 1 20
Đ S x y z
.
Bài 2: Cho
( ) : 2 2 3 0;( ) : 2 2 4 0
P x y z Q x y z
;
2 4
:
1 2 3
x y z
.Viết phương
trình mặt cầu tâm
I
và tiếp xúc với
( )
P
và
( )
Q
.
2 2 2 2 2 2
2 2
S:( ): 11 26 35 38 ;( ): 1 2 1 2
Đ S x y z S x y z
.
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa
10 10
:
10 8 1
x y z
và tiếp xúc với
2 2 2
( ) : 2 6 4 15 0
S x y z x y z
.
S:( ) :3 4 2 10 0;( ) : 2 3 4 10 0
Đ P x y z P x y z
.
Bài 4: Cho
2 2 3
0;0; 2 , :
2 3 2
x y z
A
.Viết phương trình mặt cầu tâm
A
,cắt
tại hai
điểm
,
B C
sao cho
8
BC
.
2
2 2
S: ( ): 2 25
Đ S x y z
.
Bài 5: Cho
( ) : 3 6 21 0
P x y z
và mặt cầu
( )
S
có bán kính bằng 5,tâm thuộc Ox và tiếp
xúc với mặt phẳng Oyz.Tính bán kính tọa độ tâm của đường tròn
( )
C
là giao của mặt cầu
( )
S
với mặt phẳng
( )
P
.
S: 6;3; 6 , 3
Đ H r
.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
20
Bài 6: Cho ba điểm
(1;0;0), (3;1; 2), ( 1;2;1)
A B C
và đường thẳng
2 1
:
1 3 1
x y z
.
Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm thuộc
,đi qua
A
cắt mặt phẳng
ABC
theo một đường
tròn có bán kính nhỏ nhất.
2
2 2
17 9 7 179
S: ( ):( ) ( )
10 10 10 100
Đ S x y z
.
Bài 7: ĐH khối
1
,
A A
_ 2012
Cho đường thẳng
1 2
( ) :
1 2 1
x y z
.Viết phương trình mặt cầu
( )
S
tâm
0;0;3
I cắt
tại
hai điểm
,
A B
sao cho
IAB
vuông tại
I
.
2
2 2
8
S: ( ): 3
3
Đ S x y z
.
Bài 8: ĐH khối B_2012
Cho đường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
d
và hai điểm
2;1;0 , 2;3;2
A B . Viết phương trình mặt
cầu qua A, B và có tâm thuộc
.
d
2
2 2
S:( ):( 1) ( 1) 2 17.
Đ S x y z
Bài 9: ĐH khối D_2012
Cho mặt phẳng
( ) : 2 2 10 0
P x y z
và điểm
2;1;3
I . Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt
mặt phẳng
P
theo một đường tròn có bán kính bằng 4
2
2 2
S: ( ):( 2) ( 1) 3 25.
Đ S x y z
Bài 10: Cho mặt phẳng
( ) : 2 2 3 0
P x y z
, mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 4 8 4 0
S x y z x y z
.
Viết phương trình mặt cầu
'
S
đối xứng với mặt cầu
S
qua mặt phẳng.
2 2 2
S: ( ) : ( 3) 25.
Đ S x y z
Phần IV: Các bài toán phối hợp giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
Bài toán 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng
, từ
đó suy ra M’ đối xứng với M qua
.
Phương pháp:
Bước 1: Chuyển
về dạng tham số suy ra
H
. Vì
MH
nên
. 0
MH u
, từ
đó suy ra tọa độ điểm H.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
21
Bước 2: H là trung điểm của MM’ nên ta có:
'
'
'
2
2
2
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
z z z
.
Ví dụ: Cho
2;3;5
M và
1 2
:
2 1 2
x y z
. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên
, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua
.
Giải
Ta có
1 2
:
2 2
x t
y t
z t
, gọi
H
1 2 ; ;2 2 2 1; 5;2 1
H t t t MH t t t
,
2;1;2
u
.
Vì
MH
nên
. 0 2 2 1 5 2 2 1 0 1 3;1;4
MH u t t t t H
.
H là trung điểm của MM’ nên :
'
'
'
2 4
2 3 ' 4; 3;5
2 5
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y M
z z z
.
Vậy:
3;1;4
H ,
' 4; 3;5
M .
Bài tập:
1. Cho ba điểm
1;3;2
A ,
4;0; 3
B
,
5; 1;4
C . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên
đường thẳng BC. Đáp số:
231 27 36
; ;
51 51 51
H
.
2. Cho
2; 1;1
M , và đường thẳng
1 1
:
2 1 2
x y z
. Tìm tọa độ M’ đối xứng với m
qua
.
Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng
, từ
đó suy ra M’ đối xứng với M qua
.
Phương pháp:
Bước 1: Viết phương trình MH qua M và vuông góc với
P
, từ đó suy ra tọa độ
điểm
H MH P
.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
22
Bước 2: H là trung điểm của MM’ nên ta có:
'
'
'
2
2
2
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
z z z
.
Ví dụ: Cho
1;2; 1
M
và
: 3 0
P x y z
. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M
trên
P
, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua
P
.
Giải
Đường thẳng MH qua M và vuông góc với
P
, suy ra MH qua
2;1; 1
M
và có vtcp
1
1;1;1 : 2
3
x t
u MH y t
z t
,
t R
. Ta có tọa độ H là nghiệm:
1
2
1
3
3 0
x t
y t
t
z t
x y z
2;1;0
H .
H là trung điểm của MM’ nên :
'
'
'
2 3
2 0 ' 3;0;1
2 1
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y M
z z z
.
Vậy:
2;1;0
H ,
' 3;0;1
M .
Bài tập:
1. Cho
3;3;3
M và mặt phẳng
: 2 3 4 0
P x y z
. Tìm điểm H là hình chiếu vuông
góc của M trên
P
, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua
P
. Đáp số:
1;2;0
H ,
' 1;1; 3
M
.
2. Cho mặt phẳng
: 1 0
P x y z
và hai điểm
1;2;3
A ,
2;0;4
B .
a) Tìm A’ đối xứng với A qua
P
. Đáp số:
11 8 5
' ; ;
3 3 3
A
.
b) Tìm
M P
sao cho :
MA MB
nhỏ nhất. Đáp số:
5 4 7
; ;
6 3 6
M
.
Bài toán 3: Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Biểu diễn điểm đó theo tham số, sau đó dùng công thức về độ dài đoạn
thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt, khoảng cách từ một điểm đến một đường
từ đó suy ra điểm cần tìm.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
23
Ví dụ 1: TSĐH khối B_ 2010 ( Ban nâng cao). Cho đường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
.Tìm tọa độ M
thuộc trục Ox sao cho
,
d M OM
.
Giải
Vì
Ox
M
nên
;0;0
M m OM OM m
. Đường thẳng
qua
2;1;2
A có
2;1;2
u
.
2;2 ; 2
MA u m m
. Ta có
2
,
5 4 8
3
M
MA u
m m
d
u
Ta có:
2
2
1
5 4 8
, 2 0
2
3
m
m m
d M OM m m m
m
. Vậy có hai điểm
1;0;0 ;
M
2;0;0 .
M
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
và mặt phẳng
: 10 0
P x y z
. Tìm điểm
M thuộc
sao cho
; 3
d M .
Giải
Ta có:
1 2
:
2 2
x t
y t
z t
, vì M thuộc
nên
9
1 2 ; ; 2 2 ;
3
t
M t t t d M
.
5; 6;10
9 3 6
9
; 3 3
9 3 12
23; 12;22
3
M
t t
t
d M
t t
M
.
Vậy :
5; 6;10
M và
23; 12;22
M .
Ví dụ 3: TSĐH khối A_2009 (Ban nâng cao) . Cho hai đường thẳng
1
1 9
:
1 1 6
x y z
và
2
1 2
: 3
1 2
x t
y t
z t
và mặt phẳng
: 2 2 1 0
P x y z
. Tìm
1
M
sao cho
2
; ;
d M d M P
.
Giải
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
24
Ta có:
2
1;3; 1A
,
2
2
1 2
1 ; ; 9 6 ;
MA u
M M t t t d M
u
=
2
29 88 68
t t
; Mà :
11 20
;
3
t
d M P
. Vì
2
; ;
d M d M P
nên :
2 2
1
11 20
29 88 68 35 88 53 0
53
3
35
t
t
t t t t
t
. Vậy có hai điểm :
0;1; 3
M
và
18 53 3
; ;
35 35 35
M
thỏa mãn.
Bài tập:
1. TSĐH khối D_2009 ( Ban nâng cao) . Cho hai đường thẳng
1
3
:
x t
y t
z t
và
2
2 1
:
2 1 2
x y z
. Tìm
1
M
sao cho
2
; 1
d M
. Đáp số:
4;1;1 ,
M
7;4;4
M
2. TSĐH khối B_2009 ( Ban cơ bản). Cho điểm
1;0;0
A ,
0; ;0
B b
,
0;0;
C c
với b, c
dương, và mặt phẳng
( ): 1 0
P y z
. Tìm tọa độ B và C biết
ABC P
và
1
;
3
d O ABC
. Đáp số:
1
0; ;0
2
A
và
1
0;0;
2
M
.
3. TSĐH khối B_2011 ( Ban nâng cao) . Cho đường thẳng
2 1 5
:
1 3 2
x y z
và hai
điểm
2;1;1
A ,
3; 1;2
B . Tìm
M
sao cho tam giác
MAB
có diện tích
3 5
.
Đáp số:
2;1; 5
M
và
14; 35;19
M .
4. Cho hai đường thẳng
1
:
1 1 2
x y z
d
;
2
1 1
:
2 1 1
x y z
d
và
: 0
P x y z
. Tìm tọa
độ
1
M d
;
2
N d
sao cho:
/ /
MN P
và
2
MN .
Đáp số:
0;0;0
M ;
1;0;1
N và
4 4 8
; ;
7 7 7
M
;
1 4 3
; ;
7 7 7
N
.
Bài toán 4: Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Từ các giả thiết của bài toán ta tìm được 2 mối liên hệ giữa hoành độ, tung
độ và cao độ của điểm đó. Kết hợp với điểm đó thuộc mặt phẳng cho trước ta suy ra điểm
cần tìm.
Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học
Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
25
Ví dụ 1: Cho hai điểm
(0;3; 1)
A
;
2;0; 1
B
và mặt phẳng
( ) :3 8 7 1 0
P x y z
. Tìm điểm
C thuộc mặt phẳng
P
sao cho tam giác ABC đều.
Giải
Gọi
; ;
M a b c P
,và tam giác ABC đều nên ta có:
2
2 2
2 2
2 2
3 8
4 4 4
3 8 7 1 0
AC AB a b c
AC BC a c
a b c
C P
2
2
1
a
b
c
;
2
3
2
3
1
3
a
b
c
. Vậy :
2; 2;1
M và
2 2 1
; ;
3 3 3
M
.
Ví dụ 2: TSĐH khối B_2011 (Ban cơ bản) . Cho đường thẳng
2 1
:
1 2 1
x y z
và mặt
phẳng
: 3 0
P x y z
. Gọi
I P
. Tìm
M P
sao cho
MI
và
4 14
MI .
Giải
Tọa độ giao điểm I là nghiệm của hệ
1 1
1;1;1
1 2 1
3 0
x y z
I
x y z
. Vì
M P
,
MI
và
4 14
MI nên
2 2 2
3 0 5 3
2 2 0 9 ; 7
11 13
1 1 1 224
a b c a a
a b c b b
c c
a b c
.
Vậy :
5;9; 11
M ;
3; 7;13
M .
Bài tập:
1. TSĐH khối A_2011 (Ban cơ bản) . Cho điểm
2;0;1
A ,
0; 2;3
B và mặt phẳng
: 2 4 0
P x y z
. Tìm
M P
sao cho :
3
MA MB
.
Đáp số:
0;1;3
M và
6 4 12
; ;
7 7 7
M
.
